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Formulas y relaciones para cálculos básicos 1. Fórmulas de estadística descriptiva 2. Propiedades y teoremas básicos de probabilidad. Modelos de probabilidad 3. Inferencia estadística José Aurelio Pina Romero Inmaculada Melchor Registro de Mortalidad Conselleria de Sanitat Fórmulas y relaciones para cálculos básicos 1. Formulas de estadística descriptiva Tipo de datos Medidas de tendencia central Media: x N o a g r u p a d o s i 1 i x n n Varianza = s 2 i 1 x i 2 Coeficiente de asimetría: n Mediana = Md = Valor de Desviación típica o estándar = n 3 la observación que ocupa xi x la posición o rango i 1 n 2 n 1 n xi x As rMd i 1 s3 2 s n En caso de que rMd no sea Coeficiente de Variación = entero, Md se calcula como la semisuma de los valores s anterior y posterior CV (x100) x Moda = M0 = Valor de la Percentil de orden q = Valor de la Coeficiente de curtosis: variable con mayor variables con rango o posición n 4 frecuencia q xi x rq (n 1) una vez ordenadas i 1 100 n de menor a mayor las observaciones Cu de la variable, calculado a través del s4 promedios ponderado entre los valores que ocupen los rangos anterior y posterior: p q (1 f ) xi f x i 1 Con f parte fraccionaria de rq n Media: x x i 1 i fi Mediana = n / 2 Fi 1 ai Md Li 1 Fi Fi 1 Rango = R = x max x min Coeficiente de asimetría: x n n xi = marca de clase Varianza = s 2 A g r u p a d o s Medidas de forma Rango = R = x max x min n x Medidas de dispersión i 1 2 i x fi x n i 1 n 3 i x fi n s3 As Desviación típica o estándar = s s2 Coeficiente de Variación = Moda = Intervalo modal s CV (x100) = Intervalo para el que fi es x máxima Percentil de orden q = qn Fi 1 ai Pq Li 1 100 Fi Fi 1 2 Coeficiente de curtosis: x n i 1 Cu 4 i x fi n s4 Fórmulas y relaciones para cálculos básicos 2. Propiedades y teoremas básicos de probabilidad. Modelos de probabilidad Tipo Dados A, B sucesos cualesquiera, suceso seguro, suceso imposible AXIOMAS DE KOLGOMOROV Dados A, B sucesos cualesquiera, suceso seguro, suceso imposible PROPIEDAS BÁSICAS Relación 0 p ( A) 1 p ( ) 1 p ( A B ) p ( A) p ( B ) si A B p ( A) 1 p ( A) p ( ) 0 p ( A B ) p ( A) p ( B ) p ( A B ) p( A B) p( A B) p( A B) p( A B) PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA P( A B) P( B A) p ( B / A) p( B) p ( A) p( A / B) p ( A / B ) P ( A) A y B son independientes p ( A B ) P ( A) P ( B ) A y B son independientes Teorema de la probabilidad total: n p ( X ) p ( X / Ai ) p ( Ai ) i 1 TEOREMAS BÁSICOS Teorema de Bayes: p ( Ai / X ) 3 p ( X / Ai ) p ( Ai ) p( X ) Fórmulas y relaciones para cálculos básicos 3. Inferencia estadística PARÁMETRO INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS MAS HABITUALES INTERVALOS DE CONFIANZA DE NIVEL 1-α DISTRIBUCIÓN MUESTRAL I 1 ( ) [ Estimador Coeficiente Error Media s I 1 ( ) x t1n1 / 2 n I 1 ( p ) pˆ z1 / 2 Proporción p I 1 ( 2 ) Linf ; Lsup Varianza 2 Linf Diferencias de medias 1 2 pˆ 1 pˆ n n 1s 2 Linf X 12 / 2 n 1s 2 X 2 / 2 1. Con varianzas desconocidas pero iguales s 2p s 2p I 1 ( 1 2 ) x 1 x 2 t1n1 n/ 22 2 n1 n 2 REQUERIMIENT OS t de Student con n-1 Normalidad grados de libertad de la variable a estudio o n 30 Aproximadamente normal npˆ 5 n1 pˆ 5 Basada en la Ji- Normalidad cuadrado de la variable 2 2 a estudio X 1 / 2 ; X / 2 percentiles de una Ji-cuadrado con n-1 grados de libertad 1.t de Student con n1+n2-2 grados de libertad 2. Con varianzas desconocidas y diferentes s 2p s 2p I 1 ( 1 2 ) x 1 x 2 t1gl / 2 n1 n 2 s 2p 2. t de Student con gl grados de libertad n1 1s12 n2 1s 22 n1 n 2 2 Normalidad de la variable a estudio o n1 30 n 2 30 2 s12 s22 n1 n2 gl 2 s12 / n1 s2 / n 2 2 n1 n2 Diferencia de 2 Z* Aproximadamente 4 n n1 n2 20 Fórmulas y relaciones para cálculos básicos normal proporciones p1-p2 Si n n1 n2 , está entre 20 y 40, n1 pˆ 1 5 n1 1 pˆ 1 5 y n2 pˆ 2 5 n2 1 pˆ 2 5 Z * = I 1 ( p1 p 2 ) pˆ 1 pˆ 2 z1 / 2 pˆ 1 1 pˆ 1 pˆ 2 1 pˆ 2 n n 5 Fórmulas y relaciones para cálculos básicos CONTRASTES DE HIPOTESIS PARA LOS PARÁMETROS MAS HABITUALES ESTADÍSTICO DE CONTRASTE DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARÁMETRO Media t H 0 : 0 x 0 t de Student con n-1 Normalidad de grados de libertad la variable a estudio o n 30 s/ n H a : 0 Proporción p H 0 : p p0 H a : p p0 Comparación o diferencias de media 1 2 t pˆ p 0 Aproximadamente normal p 0 (1 p 0 ) n 1. Con varianzas desconocidas pero iguales x1 x 2 t s 2p H 0 : 1 2 n1 H a : 1 2 s 2 p npˆ 5 n1 pˆ 5 1.t de Student con n1+n2-2 grados de libertad s 2p n2 2. Con varianzas desconocidas y diferentes x1 x 2 t REQUERIMIENTOS 2. t de Student con gl grados de libertad Normalidad de la variable a estudio o n1 30 n 2 30 s12 s 22 n1 n2 n1 1s12 n2 1s 22 n1 n 2 2 2 s12 s22 n1 n2 gl 2 s12 / n1 s2 / n 2 2 n1 n2 Comparación o Diferencia de proporcionespp p1-p2 H 0 : p1 p 2 H a : p1 p 2 z pˆ 1 r1 n1 2 pˆ 1 pˆ 2 1 1 pˆ (1 pˆ ) n1 n 2 r r r pˆ 2 2 pˆ 1 2 n2 n1 n2 6 Aproximadamente normal n n1 n2 20 Si n n1 n2 , está entre 20 y 40, n1 pˆ 1 5 Fórmulas y relaciones para cálculos básicos n1 1 pˆ 1 5 y n2 pˆ 2 5 n2 1 pˆ 2 5 Asociación entre variables cualitativas H 0 : Noasociación X 2 oi ei 2 ei oi y ei frecuencias observadas y esperadas H a : Asociación ei (Totalfila ) (TotalColum na ) n 7 Ji-cuadrado con (nº filas-1) x(nº de columnas -1) grados de libertad ei 5i Si la tabla tiene dimensión distinta a la 2x2, 1 ei 5 en el 20% de las celdas, como máximo