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Macroeconometría
Notas sobre la classe de tipo de tendencias
Josep Lluís Carrion i Silvestre
Marzo de 2002
1 Tipos de tendencia en los procesos estocásticos
En el segundo tema se denió el concepto de proceso estocástico haciendo especial incapié
en el concepto de estacionariedad. Recordar que se mencionó que la denición de estacionariedad que se iba a utilizar más habitualmente era la de estacionariedad en sentido débil, de
segundo orden o estacionariedad en covarianzas. Esta denición se concretaba en asegurar que
se cumplían las condiciones:
E (xt ) = ¹;
V (xt ) = ° 0 < 1;
Cov (xt ; xs ) = ° ¿ < 1;
8¿ = t ¡ s;
t = 1; : : : ; T
es decir, que los momentos de primer y segundo orden no dependían del tiempo.
A continuación vamos a ver qué consecuencias tiene para el tratamiento de las series temporales el hecho de que se incumplan las condiciones anteriores, ya que darán lugar a procesos
estocásticos con diferente tipo de tendencias y diferentes propiedades estadísticas.
1.1
Proceso con ausencia de tendencias
Un proceso habitual, almenos a nivel teórico, en econometría es el ruido blanco:
xt = ¹ + "t ;
"t » iid (0; ¾ 2 ). La esperanza de este proceso es
E (xt ) = E (¹ + "t ) = ¹;
la varianza
V (xt ) = V (¹ + "t ) = ¾ 2 ;
y las covarianzas
Cov (xt ; xs ) = 0;
al ser "t iid.
Como se puede ver, este proceso presenta momentos de primer y segundo orden que no
dependen del tiempo ) es un proceso estacionario en sentido débil.
2
Otro tipo de procesos que satisfacen estas condiciones son los procesos AR(1) denidos
como
xt = ¹ + Á xt¡1 + "t ;
(1)
con jÁj < 1 y "t » iid (0; ¾ 2 ). Habida cuenta que este proceso puede ser expresado como
¹
"t
xt =
+
;
(1 ¡ Á) (1 ¡ ÁL)
la esperanza de este proceso es
¹
E (xt ) =
;
(1 ¡ Á)
la varianza es
¾2
¢;
V (xt ) = ¡
1 ¡ Á2
y las covarianzas
° k = Á° k¡1
¾2
= Ák
:
1 ¡ Á2
Se comprueba nuevamente el cumplimiento de las condiciones anteriores. El comportamiento
de un proceso de este tipo se describe en la Figura 1.
Figure 1. xt = 2 + 0:5 xt¡1 + "t , con "t » iid N (0; ¾ 2 )
La estimación MCO de (1) proporcionará estimaciones sesgadas, pero consistentes y asintóticamente ecientes si el término de perturbación es ruido blanco (en este caso además se
distribuirán según una normal).
1.2
Proceso con tendencia en la media
Otro proceso que se puede presentar en la práctica es el que viene dado por:
xt = ¹ + ¯ t + Á xt¡1 + "t ;
3
(2)
con jÁj < 1 y "t » iid (0; ¾ 2 ). La esperanza de este proceso es
Á¯
¹
¯
E (xt ) =
¡
t;
2 +
(1 ¡ Á) (Á ¡ 1)
(1 ¡ Á)
la varianza
¾2
¢;
V (xt ) = ¡
1 ¡ Á2
y las covarianzas
° k = Á° k¡1
¾2
= Ák
:
1 ¡ Á2
Nótese que en este caso fxt g no cumpliría la primera condición de la denición de estacionariedad de segundo orden ya que el primer momento depende del tiempo.
En este caso se dice que el proceso presenta una tendencia en la media, ya que ésta depende
del tiempo. Este tipo de tendencias es determinista, ya que se conoce a priori cual va a ser su
realización dado un determinado valor de t.
+
La tendencia puede ser predicha
Este tipo de modelos recibe el nombre de modelos Tendencia-Estacionarios (TS) -TrendStationary models.
El comportamiento gráco de procesos de este tipo se recogen en la Figura 2.
Figure 2. xt = 2 + 0:3 t + 0:5 xt¡1 + "t , con "t » iid N (0; ¾ 2 )
La estimación MCO de (2) proporcionará estimaciones sesgadas, pero consistentes y asintóticamente ecientes si el término de perturbación es ruido blanco (igual que en la situación
anterior, en este caso además se distribuirán según una normal).
4
1.3
Proceso con tendencia en la varianza
Sea fxt g un proceso estocástico denido por
xt = xt¡1 + "t ;
"t » iid (0; ¾ 2 ) y x0 constante -por ejemplo, x0 = 0. Este proceso, conocido como camino
aleatorio simple, puede ser expresado como
xt = xt¡2 + "t + "t¡1 ;
= xt¡3 + "t + "t¡1 + "t¡2 ;
= :::
= x0 +
t¡1
X
"t¡j ;
j=0
expresión a partir de la cual se puede calcular la esperanza
E (xt ) = x0 ;
la varianza
V (xt ) =
y las covarianzas
Cov (xt ; xs ) = E
t¡1
X
¾ 2 = ¾ 2 t;
j=0
ÃÃ t¡1
X
j=0
"t¡j
! Ã s¡1
X
"s¡j
j=0
!!
= min ft; sg ¾ 2 :
Se puede ver que el proceso incumple la condición de que los momentos de segundo orden no
dependan del tiempo.
Este proceso presenta una tendencia en la varianza. Como la tendencia se presenta en la
componente estocástica del proceso, se dice que la tendencia es estocástica y el proceso es
catalogado como un proceso integrado
xt » I (d) ;
donde el parámetro d indica el orden de integración que presenta la variable.
Nótese que una vez diferenciado el proceso
xt = xt¡1 + "t ;
¢xt = "t ;
lo que se obtiene es un nuevo proceso estocástico que cumple las condiciones de estacionariedad en sentido débil. Así, el número de veces que hay que diferenciar un proceso estocástico
5
para transformarlo en un proceso estacionario en sentido débil es lo que determina el orden de
integración, recogido por el paráemtro d.
En nuestro ejemplo hay que concluir que
xt » I (1) ;
dado que sólo se requiere tomar una difencia del proceso fxt g para obtener un proceso estacionario
es decir, ¢xt es integrado de orden 0.
¢xt » I (0) ;
Este tipo de modelos recibe el nombre de modelos Diferencia-Estacionarios (DS) -DifferenceStationary models.
La Figura 3 muestra como evoluciona este tipo de procesos.
Figure 3. xt = xt¡1 + "t ; con "t » iid N (0; ¾ 2 ) y x0 = 0
El comportamiento de la variable a lo largo del tiempo es similar (grácamente) al mostrado
por un proceso estacionario sobre una tendencia determinista (caso anterior). La principal
diferencia es que ahora la tendencia es estocástica y no puede ser predicha.
La estimación MCO de Á en la ecuación
xt = Á xt¡1 + "t ;
es (súper) consistente aunque sesgada (a la baja) e ineciente.
1.4
Tendencia en la media y en la varianza
Finalmente, es posible tener procesos estocásticos que presenten tendencia tanto en la media
(momentos de primer orden) como en la varianza (momentos de segundo orden). Un ejemplo
6
de este tipo de procesos lo constituye el camino aleatorio con deriva
xt = ¯ + xt¡1 + "t ;
"t » iid (0; ¾ 2 ) y x0 constante -por ejemplo, x0 = 0- y ¯ 6= 0. El parámetro ¯ recibe el nombre
de deriva del modelo.
Sustituyendo de manera recursiva se comprueba como el proceso se puede expresar en los
siguientes términos
xt = 2¯ + xt¡2 + "t + "t¡1 ;
= 3¯ + xt¡3 + "t + "t¡1 + "t¡2 ;
= :::
= ¯ t + x0 +
t¡1
X
"t¡j ;
j=0
con esperanza igual a
E (xt ) = x0 + ¯ t;
varianza
V (xt ) =
t¡1
X
¾ 2 = ¾ 2 t;
j=0
y covarianzas
Cov (xt ; xs ) = E
ÃÃ t¡1
X
j=0
"t¡j
! Ã s¡1
X
"s¡j
j=0
!!
= min ft; sg ¾ 2 :
Este tipo de procesos presenta momentos de primer y segundo orden que dependen del tiempo,
por lo que es un proceso no estacionario con tendencia en la media y en la varianza () proceso
integrado), xt » I (d).
Nótese que igual que sucedía con el ejemplo anterior, la diferenciación de la serie permite
obtener un proceso que es estacionario en sentido débil.
Este tipo de modelos recibe el nombre de modelos Diferencia-Estacionarios (DS) -DifferenceStationary models.
Así,
xt = ¯ + xt¡1 + "t ;
¢xt = ¯ + "t ;
con esperanza igual a
E (¢xt ) = ¯;
7
varianza
V (¢xt ) = ¾ 2 ;
y covarianzas
Cov (¢xt ; ¢xs ) = 0;
al ser "t » iid (0; ¾ 2 ).
Por tanto,
ya que
xt » I (1) ;
¢xt » I (0) :
El compotamiento gráco de este tipo de procesos se recoge en la Figura 4.
Figure 4. xt = 0:3 + xt¡1 + "t ; con "t » iid N (0; ¾ 2 ) y x0 = 0
La estimación MCO de Á en la ecuación
xt = ¯ + Á xt¡1 + "t ;
es (súper) consistente aunque sesgada (a la baja) e ineciente.
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2 Características de los procesos estacionarios y no estacionarios
Las características de este tipo de procesos se pueden resumir en la siguiente Tabla 1. Cabe
destacar como diferencia más relevante la que afecta al uso de la inferencia estadística.
Tabla 1. Comparación de las propiedades de los procesos estacionarios y no estacionarios
I (0)
I (1)
² Media constante + uctuaciones
² Comportamiento divagante
(mean reverting)
² FAS ! 0 a medida que k ! 1
² FAS ' 1 a medida que k ! 1
² V (xt ) nita y constante
² V (xt ) innita
² Memoria limitada
² Memoria ilimitada
² Distribución de los estadísticos basada en ² Distribución de los estadísticos basada en
la Normal
procesos Brownianos
3 Consideraciones prácticas
² Es importante realizar una correcta especicación de la tendencia determinista a la hora de
decidir si la serie temporal presenta una tendencia estocástica o no.
² Un proceso estocástico no estacionario en media presenta un comportamiento sistemático
(crece o decrece) a lo largo del tiempo que a simple vista podría parecer que es debido a la
presencia de una tendencia determinista -comportamiento que sí que es sistemático.
² La especicación errónea de una tendencia determinista puede enmascarar o enfatizar el
comportamiento sistemático de la serie temporal.
² Las propiedades de los contrastes de integración se ven afectados por especicaciones incorrectas de la componente determinista (es importante decidir a priori que tipo de tendencia
determinista es adecuada a la variable que se analiza).
² Las especicaciones más habituales de la tendencia determinista son las lineales. Debemos
asumir la constancia de los parámetros asociados a dichas especicaciones a lo largo de
todo el período analizado?
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4 Práctica
Haciendo uso del programa GAUSS se pide que programen las instrucciones necesarias para
generar los cuatro tipos de procesos estocásticos que se han visto en las secciones anteriores.
En concreto, a partir de la jación de un tamaño muestral de T = 100 observaciones se pide
que se generen:
1. Un proceso estocástico fxt g cuyo proceso generador de datos (PGD) venga dado por:
xt = ¹ + Á xt¡1 + "t ;
con ¹ = 2, Á = f¡0:5; 0:5g ; "t » N (0; 1) con x0 = 0.
2. Un proceso estocástico fxt g cuyo proceso generador de datos (PGD) venga dado por:
xt = ¹ + ¯ t + Á xt¡1 + "t ;
con ¹ = 2, ¯ = 0:3, Á = f¡0:5; 0:5g y "t » N (0; 1) con x0 = 0.
3. Un proceso estocástico fxt g cuyo proceso generador de datos (PGD) venga dado por:
xt = xt¡1 + "t ;
con "t » N (0; 1) y x0 = 0.
4. Un proceso estocástico fxt g cuyo proceso generador de datos (PGD) venga dado por:
xt = ¯ + xt¡1 + "t ;
con ¯ = 0:3, "t » N (0; 1) y x0 = 0.
Para todos estos modelos se pide generar los grácos correspondientes.
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