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Problemas de Ingeniería Óptica
OPTICA GEOMETRICA
A) Leyes fundamentales
A.1. Demostrar las leyes de reflexión y refracción a partir del Teorema de
Fermat.
A.2. Considere el siguiente esquema de guía óptica, basado en reflexión
total:
n2
n1
n2
La apertura numérica de una fibra óptica se define como:
NA = n0 sen (! MAX )
Donde αMAX es el máximo ángulo de incidencia para el cual se produce
reflexión total. Determine NA en función de los índices de refracción del
núcleo (n1) y la cubierta (n2). Suponga que el medio externo es aire.
Obtenga NA para una fibra de vidrio (n1=1.451; n2=1.449) y una fibra de
plástico (n1=1.492; n2=1.417).
A.3. En el centro de un cubo de GaAs (n=3.6) rodeado de aire hay una
fuente de luz que emite en todas las direcciones. ¿ Qué ángulo tiene el cono
de luz que emerge del cubo ? ¿ Qué ocurre con el resto de los rayos ?
B) Optica paraxial
Superficies refractoras. Lentes.
B.1 Calcule la posición de la imagen de un punto que se encuentra en el
centro de una esfera de vidrio de índice n=1.54 y radio 10mm cuando el
medio externo es aire. ¿ qué ocurre cuando es agua (n=1.33) ?.
B.2 Una lente bicóncava de índice 1.5, tiene radios de 20cm y 10cm
respectivamente y un espesor de 5cm. Calcule la posición de un objeto que
se encuentra a 8cm del primer vértice considerando cada una de las
superficies. Después, haga lo mismo con la aproximación para lentes
delgadas. Dibuje el diagrama de rayos.
B.3 Utilizando la ecuación Gaussiana para las lentes complete el siguiente
cuadro. Dibuje un esquema de rayos para todos los casos.
Lente convexa
Posición objeto
Tipo de imagen
Posición imagen Orientación
Tamaño relativo
Inf>s0>2f
s0=2f
F<s0<2f
s0=f
s0<f
Real
f<si<2f
Disminuida
Invertida
Lente cóncava
Posición objeto
Tipo de imagen
Posición imagen Orientación
Tamaño relativo
Cualquiera
B.4 ¿ Por qué podemos “ver” las imágenes virtuales ?
B.5 ¿ Qué focal tendrá que tener una lente que queremos utilizar para
inyectar la luz de un láser cuyo haz tiene un diámetro de 0.4 mm en una
fibra de vidrio con índices n1=1.525 y n2=1.517.
B.6 Calcule para una combinación de dos lentes delgadas de focal f=50cm
separadas una distancia d=f/2 la posición y tamaño de la imagen de un
objeto de 5cm situado a 25cm de la primera lente y dibuje el diagrama de
rayos en los siguientes casos:
a) Ambas lentes convergentes.
b) Primera lente convergente y segunda divergente.
c) Primera lente divergente y segunda convergente.
d) Ambas lentes divergentes.
Espejos
B.7
Muy frecuentemente los espejos planos se utilizan para medir
rotaciones pequeñas de ciertos aparatos de laboratorio (galvanómetros,
péndulos de torsión, etc). Calcule que ángulo girará la imagen cuando el
espejo gira un ángulo α.
B.8 Un espejo cóncavo ha de formar una imagen invertida de una objeto
sobre una pantalla situada a una distancia de 4.2m delante del espejo. El
objeto mide 5cm y la imagen queremos que quepa justa en la pantalla que
mide 30cm desde el eje óptico. ¿A qué distancia del espejo debe colocarse
el objeto? ¿ Cual es el radio de curvatura del espejo?
B.9 Cuando un objeto inicialmente a 60cm de un espejo cóncavo se acerca
10cm a él, la distancia entre el espejo y la imagen se hace 5/2 mayor.
Determine la focal del espejo.
C) Instrumentos ópticos
C.1. Un modelo muy simple del ojo humano es considerarlo como una lente
convergente inmersa en aire que enfocada al infinito presenta una focal
f=16mm:
16mm
Además, el ojo puede “acomodar” lo que significa que es un sistema óptico
que puede variar su focal para visualizar objetos cercanos. Esto lo consigue
mediante los músculos ciliares que modifican (estiran o encogen) el
cristalino. Con este modelo, obtenga la focal para visión cercana a 25cm y
7cm.
C.2. Siguiendo con el mismo modelo, obtenga el tamaño de un objeto de
5cm a 1m de distancia. ¿Cuál es su tamaño angular en grados?
C.3. Considere el siguiente sistema de dos lentes delgadas: L1 es una lente
de aumento (lupa) y L2 es la lente de ojo según el modelo simple que se ha
utilizado hasta el momento. Para el ojo sin lupa, el mayor tamaño angular
del objeto se logra cuando la distancia entre éste y el ojo es el punto
cercano: 25cm). Obtenga la posición y tamaño de imagen del objeto O por
la primera lente L1 para los siguientes valores de los parámetros:
s 0 = 20mm
h0 = 5mm
f L = 30mm
Calcule el valor de l para que la imagen retiniana tenga un aumento angular
de 10 respecto a la imagen sin lupa.¿ Cómo variaran los aumentos si
hacemos mayor la focal de la lente ? ¿ Y si aumentamos la distancia al
objeto ?
L1
O
F
L2
ojo
h0
S0
fL
16mm
l
C.4. Una versión muy simple de microscopio es la que describe la figura. La
lente simple más cercana al objeto recibe el nombre de objetivo y forma
una imagen del objeto generalmente invertida y aumentada sobre el
diafragma de campo del ocular, que es la segunda lente que permite que el
ojo vea la imagen aumentada del objeto como si ésta estuviera en el
infinito. Dibuje los rayos necesarios para visualizar lo explicado
anteriormente.
La distancia entre el segundo foco del objetivo al primer foco del
ocular se conoce como longitud del tubo L y toma el valor estándar de
160mm. Calcule los aumentos del sistema completo, utilizando el modelo
simplificado del ojo para el caso en que:
f 0 = 8mm
Objeto
f e = 32mm
Ocular
Diafragma
de campo
Objetivo
Fo
Fo
f0
L
fe
fe
C.5. Los dos sistemas representados abajo son sistemas telescópicos que se
utilizan para visualizar objetos muy lejanos. Dibuje trazando los rayos
necesarios las imágenes para cada uno de los dos sistemas. Calcule el
aumento angular y lateral para cada uno de ellos sabiendo que:
f1 = 300mm
f 2 = 200mm
¿ Cúal será mejor para visión terrestre ?
Objeto
L1
En el
infinito
L2
F1/F
2
f1
Objeto
En el
infinito
f2
L1
L2
F1/F
2
f1
f2
OPTICA ELECTROMAGNÉTICA
D.1. El campo eléctrico de onda EM plana polarizada linealmente que se
propaga por un vidrio de índice n es:
Ex = 0
Ey = 0
&
x ##
&
E z = E 0 cos$$ ( 1015 $ t '
! !!
% 0.65c " "
%
Obtenga:
a) El valor del índice de refracción del vidrio.
b) La frecuencia de la onda en Hz.
c) La longitud de onda en el vacío de la radiación.
d) El campo magnético (no olvide indicar su dirección).
D.2. El campo eléctrico de una onda EM plana que se propaga por el vacío
se representa por:
Ex = 0
x = r sen (! )cos(" )
&
& z ##
E y = 0.5 cos$$ 2( 1014 $ t ' ! !!
% c ""
%
y = r sen (! )sen (" )
Ez = 0
z = r cos(! )
a) Determine la longitud de onda, el estado de polarización y la dirección
de propagación de la onda.
b) Calcule el campo magnético.
c) Calcule la intensidad luminosa que propaga la onda y diga en qué
dirección.
D.3. Si radiación solar sobre la tierra es de 1429W/m2. Suponiendo que es
una onda plana, calcule el módulo de los campos E y H.
D.4. Escriba una expresión para los campos E y H que constituyen una onda
armónica plana que viaja en dirección z y que está linealmente polarizada
con su plano de vibración a 45º del plano yz.
D.5. ¿ Qué tipo de polarización representan las ondas descritas por los
siguientes campos ?:
D.6. Describa un método para utilizar la reflexión en alguna superficie para
determinar la dirección del eje de polarización de un polarizador lineal.
D.7. Suponga que una onda LP en el plano de incidencia, incide bajo un
ángulo de 30º en una placa de vidrio de n=1.52. Calcule los coeficientes de
amplitud de reflexión y transmisión en la interfase.
D.8. Una antena a la orilla de un lago recoge la señal de radio de una
estrella lejana. Escriba la diferencia de fase para los dos rayos
representados en la figura (uno directo de la estrella y el otro que llega a la
antena después de reflejarse en el lago). Obtenga la posición angular de la
estrella cuando la antena registra el primer máximo. Considere que hay un
cambio de fase π en la reflexión.
α
a/2
D.9. Compruebe que la diferencia de fase para una película dieléctrica es:
" = 2knd cos(! t )
D.10. Compruebe que la diferencia de fase para el experimento de las
rendijas de Young es:
# =
2" yd
! L
r1
d/2
y
Pista: Ponga primero la diferencia
o
de camino óptico como r2-r1 y
utilice la aproximación:
1
1+ x = 1+ x
2
teniendo en cuenta que:
r2
L
y, d << L
D.11. Particularizar las ecuaciones de Fresnel para el caso de incidencia
normal. Calcular cuanto debe valer el índice de refracción de un medio para
que, incidiendo normalmente desde aire, la fracción de luz reflejada sea del
34%. ¿Es este valor independiente de la polarización de la luz?
PROPIEDADES ÓPTICAS DE MATERIALES
E.1.- Calcular la constante de absorción y la constante de propagación de
un haz de luz propagándose por un material si la constante dieléctrica del
material es 2.5+3.2 10 -5 i. La longitud de onda del haz es de 1.17 µm.
Calcular asimismo la atenuación del haz en su propagación (en dB/cm).
E.2.- Calcular la máxima distancia de oscilación de un electrón de un dipolo
oscilante a una frecuencia de 10 14 Hz si éste emite en todo el espacio una
potencia de 2.4 10-16 W.
E.3.Explique y complete el siguiente esquema referente a láminas
retardadoras de media onda y de cuarto de onda. Utilice las expresiones
para Ex y Ey que vimos en teoría y suponga que el desfase que introduce la
lámina es sobre el eje y.
Lámina
λ/2
Lámina
λ/2
dextro
¿?
Lámina
λ/4
LP 45º
dextr
o
Lámina
λ/4
¿?
dextr
o
Lámina
λ/4
¿?
levo
Lámina
λ/4
levo
LP 45º
E.4.- Si el índice ordinario es 1.46 y el extraordinario es 1.49, calcular para
el sistema de la figura las características del haz para cada polarización a la
salida. Calcular en las figuras cual sería el ne necesario para que con no =
1.37 haya reflexión total para alguna polarización (decir cual) y los angulos
mostrados.
e.o.
45º
e.o.
30º
E.5.- Calcular qué espesor ha de tener una lámina hecha de calcita (y en
qué posición la cortarías y colocarías con respecto al eje óptico) para
conseguir un desfase de 3π/2 a una longitud de onda de 560 nm.
E.6.- Calcular el estado de polarización de una onda al haber atravesado un
material de 3µm de espesor con índice ordinario 1.5 y extraordinario de
1.57 si al entrar tiene una polarización lineal de 30o con respecto al eje x.
(e.o. paralelo al eje x, longitud de onda 633 nm )
e.o.
E
3µm
y
x
RADIACIÓN ÓPTICA
F.1.- Calcular el ángulo sólido que substiende un cono de ángulo 60º.
Calcular el área del casquete esférico que genera a una distancia de 1 km.
F.2.- La radiancia de una fuente de luz lambertiana es de 50 W m-2 sr-1.
Calcular el flujo de energía que llega a una superficie de 3 cm2 si la fuente
tiene 1 cm2 y está a 5m de distancia.
F.3.- Ponemos un detector a una distancia de 1m de una fuente de luz. El
detector tiene 3 cm2 de área y mide 7 mW. Además, por un error de
alineamiento, el detector forma un ángulo de 30º con la línea de unión de
éste con la fuente. Calcular la intensidad radiante de la fuente si el área de
la misma es 1 cm2.
F.4.- El sol manda al espacio 4 x 10 26 J de energía radiante cada segundo.
Sabiendo que el sol está a 1.5 x 1011 m de la tierra, calcular la cantidad de
energía que llega a cada metro cuadrado de la tierra.
F.5.- Calcular las anchuras espectrales en longitudes de onda, si dichas
anchuras en frecuencia son: 100 MHz, 3 GHz y 100 GHz (suponer que la
frecuencia de emisión central es 400 THz).
F.6.- Calcular las longitudes de coherencia de las siguientes fuentes:
LED de 860 nm, Δλ = 100 nm
Laser de 1300 nm, Δλ = 4 nm
Fuente blanca, Δλ = 1000 nm
Laser DFB a 1500 nm, Δλ = 0.03 nm
Láser de He-Ne a 633 nm, Δω = 1.4 GHz
F.7.- Como se ve en una de las transparencias, una fuente de 1kW de Xe
presenta una irradiancia a 50 cm de distancia de 11 µW cm-2 nm-1 a 633
nm. Calcular la irradiancia que presentará un láser de He-Ne de 1mW de
potencia de salida, 2 GHz de anchura espectral y divergencia de 5 e-4
radianes a 50 cm de distancia.
PROBLEMAS DE EXAMEN
1.- Deseamos formar la imagen de un póster de 55x75 cm (horizontal x
vertical) sobre una CCD de 2048x2048 píxels y de tamaño 35x35 mm
utilizando una lente convergente de 20 cm de focal.
a) A qué distancia ha de estar el póster del objeto y a qué distancia la
CCD de la lente para que quepa la imagen del poster totalmente en la CCD.
b) En el póster aparecen una serie de líneas horizontales paralelas
separadas entre sí 0.1mm. ¿Se verán separadas en la CCD? (Es decir,
formarán imagen sobre píxels distintos?)
2.- El prisma separador de polarizaciones de la figura está hecho con dos
trozos de calcita dispuestos como se muestra. La calcita es un medio
uniáxico para el cual no > ne.
a) Indicar qué índices de refracción "ven" las polarizaciones paralela (al
plano del papel) y perpendicular en los medios 1 y 2
b) Señalar por tanto qué polarización sigue el camino A y cual el B.
c) Calcular el ángulo de separación entre los caminos A y B a la salida del
prisma sabiendo que no = 1.66 y ne = 1.49
d) Suponiendo que no es 1.66, calcular cual debe ser ne para que el rayo B
sufra reflexión total.
45º
3.- Un haz de luz que contiene dos longitudes de onda muy próximas, λ1 y
λ2 incide sobre una red de difracción de 800 líneas por milímetro de forma
perpendicular. A una cierta distancia, existe una matriz lineal de detectores
(1024 detectores) cada uno de los cuales mide 0.01 mm (se supone que no
hay distancias entre detectores, luego la longitud total de la matriz es 1.024
cm)
a) Si λ1 = 633 nm y λ2 = 635 nm, calcular a qué distancia d hay que poner
la matriz de detectores para estar seguros de que separa ambas longitudes
de onda.
b) Si el primer detector empieza en x = 0 tal y como muestra la figura,
calcular en qué detectores incidirá cada longitud de onda.
c) Calcular asímismo en qué detectores incidirá cada longitud de onda si d =
1cm.
(La figura está en la siguiente hoja)
!1, !2
d
0
x
4.- Estamos observando la pantalla de un ordenador de 14 pulgadas cuya
resolución es de 460 x 680 píxels. Calcular a qué distancia mínima me
tendré que poner para que mi ojo integre los píxels y no los vea separados.
NOTAS.- Las 14 pulgadas de un monitor se refieren a la diagonal. 1
pulgada: 2.54 cm. Los píxels son cuadrados.
5.- Un haz de luz como el de la figura incide sobre una lámina construida a
partir de un material anisótropo uniáxico. Este haz de luz tiene una
polarización lineal que forma un ángulo de 135 grados con respecto al eje x.
Calcular el espesor de la lámina para que el haz salga con el mismo estado
de polarización a la salida. no = 1.491; ne = 1.478.
y
x
e.o.
6.- Compramos una cámara de fotografía digital, la cual tiene una CCD en
vez de película, a la cual le instalamos un objetivo de 135 mm de focal.
Suponiendo que se trata a la lente como una lente delgada y sin
aberraciones, calcular cual debe ser la apertura del diafragma para que si
enfocamos un punto a 3 metros, esté también enfocado otro que se
encuentra 7 metros más allá. Dimensiones de la CCD: 36 x 24 mm. Nº de
píxels: 1024 x 1024.
7.- Colocamos una bombilla halógena que emite 100 W a 50 cm de una
lente de 1 cm de diámetro y focal de 10 cm. Queremos colocar un detector
de silicio circular, de 10 µm2 de área al otro lado de la lente para medir la
luz de la bombilla que entra a través de ella. Calcular:
a) en qué rango de distancias desde la lente vamos a poder colocar el
detector para que le llegue la máxima potencia
b) qué potencia le llega al detector en ese caso. ¿Medirá el detector toda la
potencia que le llega?
8.- Un láser de He-Ne, que emite a 633 nm, tiene 2 mW de potencia y
emite en un haz de 1mm de diámetro. Calcular a qué distancia me tendré
que poner para que pueda mirar de frente al láser indefinidamente sin que
me dañe el ojo (Potencia de seguridad en el ojo: 10 -2 mW, diámetro de la
pupila: de 2 a 7 mm dependiendo del observador y de si está dilatada o
cerrada).
9.- Un haz de luz incide sobre una red de difracción tal y como marca la
figura. La red tiene 800 líneas por milímetro, y forma un ángulo de 90º con
el eje óptico de una lente de 20 mm de focal que recoge la luz difractada y
la focaliza sobre un detector de 6 mm2 de área situado a la distancia focal
de la lente. Estudiar qué rango de longitudes de onda recibe el detector y
por qué. (Suponer que el haz de luz emite en todas las longitudes de onda
entre 300 y 1900).
45°
20 mm.
¿Hacia donde debería moverse la red para que aumentase la longitud de
onda de recepción en el detector? ¿Qué angulo debe tener la red con
respecto al eje óptico para que el detector reciba una longitud de onda de
980 nm?
NOTA: La fórmula respecto a una red de difracción de reflexión es
m λ = d [sen r - sen d] y teniendo en cuenta el signo de r respecto de d
d
i
r