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Práctica 1
Óptica geométrica:
Lentes y espejos.
Ingeniería Óptica
C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación
Zaragoza
Curso 2006/07
Objetivo
En esta primera práctica vamos a familiarizarnos con algunos componentes de
óptica geométrica como pueden ser lentes, prismas y espejos, utilizándolas para
obtener imágenes y estudiando sus características principales.
La práctica consta de dos partes autoconsistentes: una en la que trabajaremos
básicamente con lentes, y otra en la que emplearemos espejos y prismas (1hora
por parte, aproximadamente)
Parte A: Lentes.
En esta parte de la práctica dispondremos de una fuentes de luz (una bombilla
halógena) y tres lentes: una lente doble cóncava, una lente doble convexa y una
lente plano convexa. Tratarlas con cuidado y procurar no tocarlas con los dedos,
pues al ensuciarse no actúan convenientemente. Si las manchais, preguntar cómo
limpiarlas. Las lentes estan dispuestas sobre unos soportes y colocadas en unos
postes. Encontrareis asimismo un rail donde se pueden colocar las lentes para
formar las imágenes.
En un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a
las cuestiones que se hacen.
A1.- Intenta distinguir entre las tres lentes cual es cada una de ellas. Mirar a través
de las lentes a un lugar más o menos lejano (la pizarra, por ejemplo) y acerca y
aleja la lente de tu ojo. Escribir qué se observa con cada una de ellas.
A2.- Intenta formar la imagen de los fluorescentes sobre la pantalla. ¿Puede
formarse imagen con las tres lentes? ¿Con cual no? ¿Porqué? Como el fluorescente
está a una distancia considerable, la distancia desde la lente a la imagen será la
focal de forma aproximada. Anota los valores que obtengas (la plano convexa tiene
la focal más grande).
A3.- Encender la fuente de luz. Colocar la lente plano convexa sobre el rail, y
procurar que la altura sea tal que está centrada con el haz de luz que sale de la
fuente. Colocar el objeto que son dos flechas perpendiculares. Teniendo en cuenta
la focal calculada anteriormente colocar la lente a una distancia del objeto mayor
que la focal. Buscar con la pantalla la imagen e ir comprobando si se produce
inversión de la imagen, aumento o disminución, etc. Repetir esto para distancias
mayores que dos veces la focal y para distancias menores que la focal.
A4.- Cambiar ahora el objeto, y colocar la línea segmentada. Utilizando la regla, y
de forma aproximada, comprobar la ley: 1/f = -1/z1 + 1/z2 para tres puntos, y
obtener de ahí el valor de la focal. Comprobar que el aumento lateral es ß = z2/z1.
A5.- Tomar la lente doble cóncava. Intentar formar imágenes con ella. Mirar al
objeto a través de la lente, y sacar conclusiones.
A6.- Colocar ahora la lente doble convexa a unos 4 cm del objeto, y la doble
cóncava a unos 4 cm de la otra. Intenta formar imagen. ¿Es posible? Introduce la
pantalla entre las dos lentes e intenta buscar la imagen de la primera lente. Anota
lo que observes y saca conclusiones.
Parte B: Prismas y espejos
En esta parte de la práctica disponemos de una fuente de luz (halógena) dos
prismas (uno equilateral y otro de ángulo recto), dos espejos, uno cóncavo y otro
convexo y un doblete acromático (lente convergente gruesa). (Muy importante, no
tocar las caras de los espejos!!!!). Los espejos estan dispuestos sobre unos
soportes y colocadas en unos postes. Encontrareis asimismo un rail donde se
pueden colocar las lentes y espejos para formar las imágenes.
En un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a
las cuestiones que se hacen.
En la primera parte de esta práctica vamos a utilizar la fuente halógena, la cual
vamos a colocar aproximadamente a unos 40 cm de una cartulina negra en la que
se ha practicado una ranura, de forma que la luz de la lámpara salga por la ranura
más o menos colimada. Hacer pasar la luz por el prisma equilateral (aquel cuyos
ángulos son todos de 60º).
B1.- Hacer pasar la luz por el prisma y observar el resultado en una pantalla
blanca. ¿Qué se observa? ¿Por qué ocurre esto? A la vista de lo ocurrido, deducir si
el índice de refracción para el rojo es mayor o menor que para el azul.
B2.- Tomar ahora el prisma recto y colocarlo encima de la base. Colocar en la
fuente halógena el objeto que representan dos flechas perpendiculares. Utilizando
el prisma, colocarlo según muestran las figuras y observar, anotando lo que
consideres conveniente de las imágenes que ves.
B3.- Tomar los dos espejos, y miraros en ellos, alejándolos y acercándolos a
vuestros ojos. Anotar lo que observais y porqué.
B4.- Coger el espejo cóncavo y ponerlo en el rail. Coger la pantalla y ponerla a
unos 20 cm del espejo. Encender una cerilla y colocarla entre pantalla y espejo.
Intentar ver la imagen que se forma, y describirla.
B5.- Poner ahora un objeto en la fuente de luz halógena y colocar el espejo cóncavo
frente a él, como a 10 cm. Utilizando la pantalla, intentar formar la imagen del
objeto que nos da el espejo.
B6.- Colocar el doblete acromático sobre el rail y formar la imagen de un punto.
Una vez está formada, girar unos 20 a 30º la lente y buscar la imagen del punto.
Observar la forma de la imagen, moviendo el plano imagen y anotando lo que
observeis.
Práctica 2
Óptica electromagnética:
Polarización de la luz.
Ingeniería Óptica
C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación
Zaragoza
Curso 2006/07
Parte Teórica
Hemos visto en teoría lo que es la luz polarizada. Ahora vamos a desarrollar
la base de las técnicas utilizadas para generarla, cambiarla, medirla y en general
manipularla para ajustarla a nuestras necesidades. Un aparato óptico cuya entrada
es luz natural y cuya salida es luz polarizada se conoce como polarizador.
La luz natural se dice despolarizada aunque en realidad puede verse como
una sucesión rápida de distintos estados de polarización. Por ello, puede
representarse como una combinación de dos ondas polarizadas linealmente de igual
amplitud, incoherentes, y cuyos estados de polarización son ortogonales:
E x = E 0 cos("t # kz )
E y = E 0 cos("t # kz + ! (t ) )
Un instrumento que separa estas dos componentes, descartando una y
dejando pasar la otra se conoce como polarizador lineal. Dependiendo de la
forma de la salida también podríamos conseguir otros estados de polarización.
Entonces se habla de polarizadores circulares o elípticos. Los polarizadores
toman configuraciones muy diferentes pero todos ellos están basados en una
asimetría generalmente propia del material del que están fabricados. Los medios
cuyas propiedades ópticas macroscópicas son diferentes según la dirección se
llaman medios anisótropos. Los mecanismos físicos que sirven de base a los
polarizadores son fundamentalmente el dicroísmo, la reflexión, el scattering y la
birrefringencia (o doble refracción). Veremos con más detalle el primero y último
de estos efectos, aunque primero vamos a enunciar una ley importante que nos
ayudará a determinar la calidad de un polarizador lineal.
Ley de Malus:
Malus hizo pasar luz natural a través de un polarizador cuyo eje forma un
ángulo φ con el eje y. A la salida de este polarizador, se obtiene luz linealmente
polarizada en dicha dirección. Tras este polarizador, se añade otro cuyo eje coincide
con el eje y. Este segundo polarizador se llama analizador. A la salida del analizador
la orientación del eje de polarización es vertical. Si en este punto se sitúa un
detector, la medida de intensidad obtenida será:
I = I (0 )cos 2 (! )
Luz
natural
φ
Luz LP (0)
Luz LP
(φ)
Polarizador
Lineal
(φ=0)
Polarizador
Lineal (φ)
Esta variación de la intensidad de luz medida en función de la orientación del
primer polarizador se conoce como Ley de Malus. El experimento que realizó se
representa esquemáticamente en la figura. Los polarizadores lineales (LP) se
representan con una doble flecha que indica la dirección de su eje, para el cual se
transmite el campo E sin atenuarse.
Dicroismo:
Los medios dicroicos absorben selectivamente una de las dos componentes
perpendiculares en las cuales se puede dividir cualquier estado de polarización,
mientras que idealmente la otra componente se transmite por ellos sin verse
afectada.
Ejemplos:
Un polarizador dicroico puede construirse como una rejilla de alambre que
deja pasar la componente cuyo campo es perpendicular a los hilos.
Luz natural
Luz LP (0)
Ciertos materiales son inherentemente dicroicos debido a una anisotropía en
sus estructuras cristalinas. Un ejemplo es la turmalina, para la cual hay una
dirección específica llamada eje óptico o principal. La componente del campo de
la onda incidente que es perpendicular al eje óptico de este material es fuertemente
absorbida. Su problema es que la componente transmitida también se absorbe
aunque en menor medida y además, esta absorción es dependiente de su longitud
de onda. Por ello, este tipo de materiales presenta distintos colores según la
polarización de la luz incidente de donde viene el nombre de dicroismo (“dos
colores”).
E
n
E
p
Eje
óptico
En 1938 Land fabricó un polaroide que llamó hoja H y que hoy es
posiblemente el polarizador lineal más utilizado. Este es un análogo molecular a la
rejilla de alambre. Su ventaja es que actúa de la misma manera sobre todo el
espectro visible salvo quizá en el extremo azul. Por ello se denomina polarizador
neutro (‘sin color’): NH. En principio, HN-50 sería la denominación de una hoja H
ideal, que transmite el 50% de la luz natural incidente y absorbe el resto. Como en
la práctica siempre hay algo de reflexión (sobre el 4%) en cada superficie, se
obtiene un polaroide HN-46. También se fabrican polaroides con otros factores de
absorción: HN-38, HN32, y NH-22 son los más comunes.
Birrefringencia:
Es un fenómeno que presentan substancias, generalmente sólidos
cristalinos, cuyas propiedades ópticas no son las mismas en todas las direcciones.
Esto se debe a asimetrías en las fuerzas de ligadura de las moléculas que forman el
cristal que se manifiestan en que el índice de refracción es diferente para cada
dirección.
Los medios en que el índice de refracción es igual para dos direcciones (por
ejemplo: x e y): no ,pero difiere del índice para la tercera dirección (z) que es el eje
del material: ne ,se llaman medios uniáxicos y tienen en aplicación en la
manipulación de la polarización. Ejemplos de este tipo de medio son la calcita, el
cuarzo, la mica y los plásticos poliméricos orgánicos (celofán).
Vamos a ver cómo se comporta la luz al entrar en un medio uniáxico. Para
estos medios, D y E en general NO son paralelos. Lo que se mantiene es que D es
perpendicular a k (dirección de propagación), y H. E es perpendicular a H pero no,
en general, a k. Si enviamos un haz de luz despolarizado a un material anisótropo,
la polarización correspondiente a E perpendicular al plano de incidencia, En, es a su
vez perpendicular al eje óptico, luego se comporta como si el medio fuese isótropo
de índice no: En//Dn:
ni sen (! i ) = no sen (! o )
Sin embargo, la otra polarización, Ep, no es perpendicular al eje óptico y
“ve” otro índice diferente del anterior que depende del ángulo que forma con el eje
óptico:
ni sen (! i ) = ne (! i )sen (! e )
φi
Ep
ni
En
e.o
.
φo
φe
El rayo que se comporta como si el medio fuese isótropo se llama rayo
ordinario y el otro, se conoce como rayo extraordinario. Si rotamos el rayo
incidente en torno a la normal, el rayo ordinario no se modifica mientras que el
extraordinario describe una rotación.
Vemos pues que debido a la birrefringencia tenemos un método que nos
permite separar luz con distintos estados de polarización. Un ejemplo de un sistema
basado en birrefringencia para separar el rayo ordinario y el rayo extraordinario y
por tanto las dos polarizaciones, es el prisma de Nikol. En este dispositivo se hace
pasar el rayo extraordinario sin que experimente desviación (incidencia normal),
mientras que se busca la condición para que el rayo ordinario sufra reflexión total
en la interfase.
Otras disposiciones son el prisma de Wollaston y el de Rochon (ver hoja de
problemas).
Otra aplicación de estos materiales es para construir retardadores, que son
sistemas que introducen un desfase en una de las componentes del campo y así,
permiten cambiar el estado de polarización de la onda. Para dicha aplicación, el
material debe prepararse de forma que su superficie frontal sea paralela al eje
óptico.
vp
O. extraordinaria
O. ordinaria
vn
Eje óptico
De esta forma hay dos ondas planas monocromáticas con polarizaciones
perpendiculares que se propagan paralelamente por el cristal a distinta velocidad.
Así pues, tras atravesar una lámina de espesor d, ambas ondas volverán a
superponerse dando lugar a una onda cuya polarización depende del desfase
introducido por la lámina:
"% =
2$
d no ! ne
#0
La dirección que corresponde a una velocidad mayor (en este caso, la que
corresponde a la onda extraordinaria) se llama eje rápido y la perpendicular, eje
lento. Variando el valor de d se puede controlar el desfase y obtener los siguientes
tipos de láminas:
Lámina de onda completa: el desfase es 2π y no hay cambio en el estado
de polarización de la luz incidente. Sin embargo, debido a la variación de n con la
longitud de onda, esto sólo será cierto para un valor específico de λ.
Lámina de media onda: la diferencia de fase relativa es de π entre las
ondas ordinaria y extraordinaria. De esta forma, al pasar por una lámina de media
onda, un campo E inicialmente orientado θ respecto de la vertical, rotará un ángulo
de 2θ y quedará a la salida a –θ de la vertical. Estas láminas se utilizan para
invertir el sentido de la luz elíptica o circular cambiándola de derecha a izquierda o
viceversa.. Para que una lámina se comporte como de media onda el espesor del
material deberá ser:
(2m + 1)
"0
= d no ! ne
2
m = 0,1,2
Una lámina de media onda muy fácil de conseguir es un papel de celofán. El
eje rápido se encuentra paralelo a su anchura y el eje rápido paralelo a su longitud.
Lámina de cuarto de onda: el desfase que produce es de π/2 y se utiliza
para pasar de luz lineal a elíptica y viceversa. El espesor debe satisfacer la
siguiente expresión:
(4m + 1)
"0
= d no ! ne
4
m = 0,1,2
Las láminas comerciales se designan generalmente por su retraso lineal (en
nm). Por ejemplo, una lámina de cuarto de onda de espesor 140nm, inducirá un
retardo de π/2 solo para luz verde (λ=560nm).
Otro dispositivo interesante es el compensador, que es un dispositivo
óptico que puede imprimir un retardo controlable en una onda. El que se muestra
en la figura es el compensador de Babinet. La cuña superior tiene el eje óptico
orientado según las líneas, y la inferior de forma perpendicular. De esta forma, un
rayo vertical atraviesa un espesor d1 de la cuña superior y un espesor d2 de la
inferior. El rayo extraordinario en la primera cuña se convierte en el rayo ordinario
para la segunda y viceversa. Teniendo todo esto en cuenta, la diferencia de fase
total es:
"% =
2$
(d1 ! d 2 )(no ! ne
#0
)
d1
d2
Trabajo Previo.
1) Considere una fuente de luz incoherente, que produce luz natural despolarizada
(sucesión rápida de estados con distinta polarización) con una intensidad I0. Si se
introduce un polarizador, ¿cuanto se reducirá la intensidad respecto a I0? Esta
reducción, ¿depende del ángulo en el que coloquemos el polarizador respecto de la
fuente?
2) Considere el experimento de Malus con los dos polarizadores lineales descrito en
la parte teórica de esta práctica y responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué medida obtendremos cuando el primer polarizador tenga su eje
horizontal? Justifíquelo cualitativamente, es decir basándose en la lógica
y NO en la fórmula de Malus.
b) ¿Y si su eje es vertical? Justifíquelo.
c) Demuestre la ley de Malus basándose en la expresión de la intensidad
obtenida en teoría.
3) Considere la siguiente disposición:
Luz natural
Polarizador
Lineal (0º)
Polarizador
Lineal
(45º)
Polarizador
Lineal (90º)
Calcule a través de proyecciones entre los vectores de campo eléctrico la intensidad
que obtendría a la salida de este sistema en función de la intensidad de la fuente de
luz natural.
4) Considere una lámina de un material uniáxico cortada perpendicularmente en
lugar de paralelamente al eje óptico. ¿Se podrá inducir algún retardo entre las dos
componentes ortogonales de E? Razone por qué.
Eje óptico
5) Explique lo que ocurriría si pone una lámina de media onda entre dos
polarizadores cruzados (a 90º) con el eje de la lámina a 45º de los de los
polarizadores.
6) Explique como la combinación en serie de un polarizador lineal y una lámina de
cuarto de onda funciona como un polarizador circular. Suponga que el eje de la
lámina y el del LP forman 45º. ¿Es importante el orden ?
Objetivo
En esta práctica vamos a intentar visualizar algunos de los efectos que se producen
por el hecho de que la luz puede ser considerada como una onda electromagnética,
en particular vamos a ver algunos hechos experimentales que tienen que ver con la
polarización. La parte A se puede hacer con la teoría descrita en esta práctica. La
parte B es algo más avanzada y se necesita haber dado en clase la parte de medios
anisótropos.
Realiza los puntos marcados a continuación y en un folio aparte, que se deberá
entregar al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen.
Parte A: Luz polarizada
A1.- Tenemos un láser que está linealmente polarizado. Medir la potencia. A
continuación, introducir un polarizador entre la fuente y la lente y maximizar la
potencia recibida en el detector. Medir la potencia de nuevo. Girar el polarizador un
ángulo de 90º . Volver a medir la potencia.
- Estimar de forma teórica cuanto serían los valores que deberíais medir en los dos
casos últimos supuesto que la fuente de luz está totalmente polarizada y que sin
polarizador se mide una potencia P.
- ¿Coincide lo medido con lo esperado? Explicar.
- ¿Qué ocurriría si la fuente emitiera luz natural?
A2.- Con el sistema montado tal y como se quedó en el punto anterior ir rotando el
polarizador de 20 en 20 grados midiendo la potencia durante una vuelta completa
(360 grados)
- Realizar una gráfica de la potencia medida en función del ángulo de rotación.
Comprobar si se cumple la Ley de Malus.
A3.- Colocar ahora el polarizador cruzado con respecto a la de la luz (mínima
potencia). Introducir ahora un polarizador entre ambos con el eje de polarización
girado 45º con respecto al primero.
- Observar lo que ocurre. Explicarlo a través de proyecciones entre vectores campo
eléctrico.
A4.- Colocar dos polarizadores cruzados e introducir entre medio un trozo de
celofán.
- Observar lo que ocurre y tratar de explicarlo.
Parte B: El aislador óptico
A continuación vamos a observar cómo construir un aislador óptico, esto es, un
sistema que origina que la luz que pasa a su través a la ida no pase a la vuelta. El
aislador óptico se suele utilizar, en mayor o menor medida, en un CD-ROM para
evitar la reflexión del láser sobre el disco recaiga otra vez en el láser, lo que le
podría desestabilizar. Cuidado! En este caso el láser está despolarizado.
B1.- Montar el sistema como en la figura 1: la luz del láser va a parar a un espejo,
rebota y de ahí la mandamos a un detector (procurar que el ángulo sea pequeño).
Medir la potencia. Introducir un polarizador entre los dos haces como marca la
figura. Medir la potencia.
- ¿Qué está pasando?
- ¿Sabrías argumentar que hay un desfase entre las polarizaciones x e y de π
cuando la luz choca en el espejo? (Suponer para ello que la luz lleva un ángulo de
45º con respecto a cualquiera de los ejes?
- Si esto es así, ¿debería pasar la luz otra vez por el polarizador sin cambiar la
señal?
B2.- A continuación introducir en vez del polarizador lineal un polarizador circular
(está formado por un polarizador lineal más una lámina λ/4, que desfasa π/2 las
componentes x e y).
- ¿Funcionará igual un polarizar circular si la luz proviene desde un mismo lado o
desde el opuesto? ¿Por qué?
- Introducir el polarizador circular en las dos posiciones posibles, y medir la
potencia en ambos casos. ¿Qué se observa? ¿Sabrías decir por qué lado se
comporta el polarizador como circular? ¿Por qué? ¿Y por el otro lado?
Espejo
Láser
Polarizador
Detector
Figura1
Práctica 3
Óptica electromagnética:
Difracción de la luz.
Ingeniería Óptica
C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación
Zaragoza
Curso 2006/07
TEORíA
Vamos a introducir el fenómeno de la difracción desde distintos puntos de vista y a
describir algunas de sus manifestaciones más habituales, así como algunas de sus
aplicaciones como es la espectrografía.
I. Distintos enfoques de la difracción.
Grimaldi (sXVII) observó que cuando la luz era interceptada por objetos
opacos o atravesaba aberturas pequeñas se producían unas sombras con una cierta
estructura (franjas alternativamente claras y oscuras) que no podían ser explicadas
con los axiomas de la óptica geométrica. Ya entonces, se demostró que este
fenómeno es característico del comportamiento ondulatorio de la luz que aparece
siempre que se obstruye una parte del frente de ondas. Huygens, en el marco de la
óptica ondulatoria, postuló que en propagación cada punto del frente de onda se
convierte en una fuente de ondas esféricas (ondas secundarias) de la misma
frecuencia que la onda primaria. Esta teoría fue completada por Fresnel que dijo
que estas ondas se superponen dando un patrón de interferencias según su
amplitud y fase. La superposición es constructiva en la proyección directa de la
abertura pero en la zona donde comienza la sombra algunas de ellas pueden
interferir destructivamente. En este sentido, el concepto de interferencia y el de
difracción se confunden ya que su base es el mismo fenómeno físico (superposición
de ondas). A veces se llama interferencia al proceso de superposición de dos (o
pocas) ondas y difracción al de un gran número de ondas. Veremos como se
distinguen ambos efectos “revisando” el experimento de Young más adelante.
Una teoría más rigurosa de la difracción fue la que dio Kirchoff
(contemporáneo de Maxwell) basada en una ecuación diferencial que satisface las
condiciones de borde impuestas por la obstrucción.
También se puede dar un significado al fenómeno de la difracción desde el
punto de vista microscópico, siguiendo el modelo de la materia como un conjunto
de osciladores. Si hacemos una abertura en forma de disco en una pantalla, el
campo en la pantalla cambia debido a los osciladores que ya no están presentes.
Idealmente sería el campo creado por toda la pantalla menos el que crean los
osciladores del disco. Esto supone despreciar las interacciones mutuas de los
osciladores del borde. Si la abertura es grande, el efecto de las interacciones
mutuas se puede despreciar, ya que el número de osciladores del borde es pequeño
comparado con el número total en el disco. Pero si la abertura es pequeña, esta
relación empieza a ser importante. Estos efectos de “borde” son los que dan lugar a
los efectos de difracción, que son importantes para aberturas pequeñas
comparadas a la longitud de onda.
Otra forma de ver los efectos de la difracción es como una versión “espacial”
del efecto dispersivo del prisma, que actúa sobre la luz blanca separándola en sus
componentes con distintas longitudes de onda. Una transparencia con un cierto
contenido espacial, actúa sobre la luz separándola en componentes con distintas
frecuencias espaciales.
x
k
f(x,y)
θx
1/fx
z
θx
Para obtener una idea intuitiva del concepto de frecuencia espacial, observe
en la figura que cuanto más juntas están las franjas en la transparencia f(x,y) (es
decir, menor periodo y, por tanto, mayor frecuencia espacial fx) mayor será el
ángulo de propagación de la onda plana difractada por dicha estructura. Por tanto,
si ponemos una pantalla en el infinito (TF) lo que obtendremos es un par de puntos
(impulsos) más alejados de la horizontal cuanto mayor sea el ángulo, es decir,
cuanto mayor sea la frecuencia espacial (recuerde que el espectro de amplitud de
un coseno o de un seno son dos impulsos).
II. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel
Supongamos que tenemos un blindaje opaco P1, con una abertura pequeña
iluminada por ondas planas que proceden de una fuente puntual S, muy lejana. El
plano de observación P2 es una pantalla paralela a P1. Vamos a desplazar la
pantalla P2, para ver como cambia la imagen de la abertura proyectada sobre ella:
1) Cuando P2 esta muy próxima a P1, la imagen de la abertura es
claramente reconocible aunque hay unas pequeñas franjas en su
periferia.
2) Conforme alejamos P2 de P1, la imagen sigue siendo reconocible aunque
las franjas se hacen más prominentes. Este fenómeno se conoce como
difracción de Fresnel o de campo cercano.
3) Cuando la distancia entre P1 y P2 es muy grande, el patrón proyectado
se esparce notablemente y no se parece en nada a la abertura real. Al
desplazar desde este punto, cambia el tamaño del patrón pero no su
forma. Esta es la difracción de Fraunhofer o de campo lejano.
Si en la situación para la que tenemos difracción de Fraunhofer cambiamos
la longitud de onda de la luz incidente λ haciendo que sea mucho menor,
volveremos a tener el patrón de difracción de Fresnel, y disminuyendo λ aún mas,
la imagen tendrá la forma de la abertura como predice la óptica geométrica (que es
una aproximación de la óptica física cuando λ tiende a 0).
En general, cuando S y P2 están muy lejos de P1, tenemos difracción de
Fraunhofer, mientras que cuando están cerca, tenemos difracción de Fresnel. Una
forma de garantizar que se cumplen las condiciones para obtener difracción de
Fraunhofer es mediante un par de lentes tal como muestra la siguiente figura.
P1
P2
S
F1
F2
Para estudiar ahora los efectos de difracción de Fraunhofer producidos por
aperturas de distintas geometría consideraremos una función de apertura que se
define de la siguiente forma: P(x,y)=1 para puntos dentro de la apertura y
P(x,y)=0 para puntos fuera de la apertura y estudiaremos la distribución de
intensidad en un plano muy alejado o con una disposición de lentes como la de la
figura de arriba.
p(x,y)
I0
I(x,y)
d
La figura de difracción que se obtiene en el infinito o en el plano focal de una
lente será proporcional al módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la
función de apertura:
I0
& x y #
I ( x, y ) =
P$
, !
2
('d )
% 'd 'd "
2
La transformada de Fourier de una señal espacial en 2D p(x,y): P(fx,fy) , se
define como sigue:
P (f x , f y )=
" "
! ! p( x, y) exp{# j 2$ (f
# "# "
Donde:
x
x + f y y )}dxdy
x
!d
y
fy =
!d
fx =
Con d la distancia entre la pantalla P1 con la abertura y P2, o bien la focal de
la segunda lente (F2). Se puede comprobar que las unidades de la frecuencia son
efectivamente de longitud inversa.
También se puede estudiar la difracción de Fraunhofer de una estructura
como la superposición de las ondas secundarias generadas en la apertura para dar
un patrón de interferencias. Vamos a ver el ejemplo de una abertura rectangular en
una dimensión (x) de tamaño d como la que se representa en la figura. Para
calcular la amplitud de la onda que sale de la rendija en dirección φ, supongamos
que cada elemento de anchura dx actúa como fuente de ondas secundarias en
dicha dirección.
x=d
x=0
φ
La amplitud de todas ellas será E0 y la fase relativa a x=0:
$ =
2#
x sen(! )
"
Así, la amplitud total de la onda que sale de la rendija en dicha dirección
será la integral:
d
E (" ) = E 0 ! exp( jkx sen(" ))dx
0
Que resulta:
E (! ) = E 0 d
"=
sen (" ) j"
e
"
kd
sen(! )
2
Esta expresión es en efecto la transformada de Fourier de una apertura
cuadrada (pulso cuadrado) donde la frecuencia fx=sen( φ)/λ. La intensidad que
detectaríamos en la pantalla será el módulo al cuadrado de la amplitud calculada.
En las figuras del anexo se representan los patrones de difracción
(intensidad en la pantalla) de distintas aperturas y la variación del tamaño del
patrón de difracción al variar el tamaño de la apertura. Puede comprobarse que las
propiedades de la Transformada de Fourier en 2D son similares a las que estudió en
1D.
III. Difracción por un conjunto de estructuras similares.
El patrón de difracción de un conjunto de estructuras de la misma forma y
en la misma orientación es el producto de dos factores: el factor de estructura
que depende de la forma en que están situadas y el factor de forma, que depende
de la forma de las mismas. Este hecho se relaciona con el teorema de convolución.
Si se considera el conjunto de estructuras como una convolución de un conjunto de
deltas situadas en las posiciones de cada elemento con uno de dichos elementos,
su transformada será el producto de las correspondientes transformadas. Así, el
factor de forma se asocia a la TF de un elemento y el de estructura al de la
distribución de deltas.
Cuando la distribución es aleatoria, sus fases también lo son, de forma que
el factor de estructura no influye sobre el patrón de difracción. El patrón de
difracción es igual que el que se obtendría para una estructura sola pero N veces
más intenso.
En cambio, cuando la distribución es regular la suma de fases es distinta
para distintas direcciones. Por ejemplo, hay direcciones en que la suma de fases es
un múltiplo de π y en ellas aparecen máximos intensos.
El estudio de estos conjuntos de estructuras tiene aplicación en el estudio de
materiales ya que mediante el patrón de difracción se puede obtener información
sobre el tamaño y posición de los constituyentes de la materia (cristalografía de
rayos X, medidas de diámetros de partículas, etc).
Redes de difracción
Este es el ejemplo más simple de difracción por estructuras similares ya que
las redes de difracción consisten simplemente en un conjunto de líneas o aperturas
paralelas en una película de metal o plástico sobre un cristal. Si se observa una
fuente lejana de luz blanca perpendicularmente a través de una red veremos un
patrón de difracción que consiste en un máximo central (m=0) que es la imagen de
la fuente, no deflectada, y máximos coloreados a ambos lados del máximo central
(m=-1,+1,-2,+2,etc). La ecuación de la red, que relaciona los valores de m
(orden del máximo) con la estructura de la red (a es la distancia entre rendijas) y
la longitud de onda de la luz incidente es:
a sen " m = m!
Para obtener ángulos de difracción medibles, la separación entre las
estructuras debe ser del orden de la λ utilizada.
Cuando la incidencia de la luz sobre la red es oblicua (con un ángulo θi) la
ecuación tanto para red de transmisión como para red de reflexión es:
a (sen " m # sen " i ) = m!
Las redes de difracción se utilizan fundamentalmente en espectroscopía para
estudiar la radiación emitida por la materia, tanto a pequeña escala (espectro de
emisión del átomo de hidrógeno) como a gran escala como las que se utilizan en
astrofísica para determinar la temperatura de una estrella o la rotación de una
galaxia.
ESTUDIO PREVIO
1. Compruebe que efectivamente la amplitud total de la onda que sale de la
rendija en la dirección φ es:
E(" ) = E0 d
sen( #)
#
kd
#=
sen(" )
2
e j#
2. Calcule el ángulo de salida para un haz de luz de longitud de onda de 633 nm
que incide normalmente a una red de difracción de 650 líneas por milímetro
!
3. Diga qué patrón de difracción corresponde a cada una de las siguientes figuras,
teniendo en cuenta propiedades de simetría de la tranformada de Fourier en
2D:
Aperturas:
a)
b)
c)
d)
Patrones:
a)
b)
c)
d)
PRÁCTICA
Objetivo
El objetivo de esta práctica es visualizar algunos efectos de la difracción, y
aplicarlos en la caracterización de redes de difracción y espectroscopía.
Trabajo práctico:
Parte A: Caracterización de una red de difracción.
El montaje consiste en un haz láser que se hace incidir sobre la red de difracción,
de forma que a la salida obtendremos el patrón de difracción de una red de
difracción
1) Deducir cómo es la red de difracción de acuerdo al patrón de difracción e
intente explicarlo de acuerdo a la teoría
2) Obtenga el valor aproximado de la distancia de separación entre las
rendijas de la red a partir de una medida con la regla, sabiendo que la
longitud de onda del láser de He-Ne es de 632.8 nm.
Parte B: Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.
El montaje consiste en un haz láser que se expande mediante un objetivo de
microscopio y se introduce en una fibra óptica. Esta fibra actúa como filtro espacial
para eliminar ruido espacial que puede venir de defectos en los espejos del láser o
en las superficies de las lentes que consituyen el objetivo de microscopio. El haz
que sale de la punta exterior de la fibra es un haz divergente y mediante la lente
hacemos que se convierta en un haz colimado (formado por rayos paralelos).
Acerque o aleje la punta de la fibra hasta que logre colimar el haz de salida (esto se
consigue cuando el haz tiene aproximadamente el mismo tamaño a la salida de la
lente que alejado de ella).
A partir de aquí vamos a observar el patrón de difracción obtenido en un plano muy
alejado del plano objeto.
1) Coloque sobre la lente los distintos objetos que tiene sobre la mesa
observando la forma que tiene el patrón de difracción que se forma
poniendo la pantalla a una distancia de unos 5m de la lente
(aproximadamente en la pared).
2) Compruebe las propiedades de escalado y simetría de la transformada de
Fourier. Explique como lo ha hecho, describa los resultados y discútalos
de acuerdo a la teoría.
3) Si pone el plano imagen mucho más cerca de la lente (menos de 1m), ¿
se ve el mismo patrón de difracción ? ¿ Depende del tamaño del objeto
sobre la lente ? ¿ Por qué ?
Parte C: Espectroscopía de gases.
En esta parte de la práctica vamos a utilizar una red de difracción para observar las
emisiones de fuentes de descarga en gases a baja presión, particularmente gases
de mercurio, krypton y neon. De acuerdo a lo que observéis mirando la fuente a
través de la red de difracción explicar cómo es la forma de emisión de las fuentes,
cuales son las líneas que veis en cada una de ellas y compararlas con la emisión de
uno de los fluorescentes. ¿Se parece a la de alguna de las fuentes observadas?
Práctica 4
LEDs y fotodetectores:
modulación
Ingeniería Óptica
C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación
Zaragoza
Curso 2006/07
Objetivo
En esta práctica vamos a trabajar con un diodo emisor de luz (LED) y un fotodetector
de silicio, de forma que nos hagamos idea de la característica más importantes que
presentan estos dispositivos: la posibilidad de modular la potencia emitida y la
capacidad de recibirla y reconvertirla a una señal eléctrica. En particular, y pese a que
no son dispositivos propios de telecomunicaciones (más bien al contrario), vamos a
intentar transmitir una señal de baja frecuencia via óptica.
Realiza los puntos marcados a continuación y en un folio aparte, que se deberá entregar
al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen.
Fuentes y detectores.
1.- LED.
En primer lugar vamos a observar un emisor LED, el cual es como sabemos un diodo
realizado con una serie de materiales de forma que cuando se polariza en directa puede
llegar a emitir en determinadas longitudes de onda. Para que emita el diodo, deben
cumplirse determinadas condiciones:
- que el gap esté dentro del rango de las frecuencias ópticas. La longitud de onda de
emisión viene dada por
1.24
! (µm) =
GAP(eV )
- que exista un número razonablemente alto de electrones en el estado excitado (banda
de conducción en este caso) para que se puedan desexcitar y recombinarse con un hueco
de banda de valencia: también debe existir un número elevado de huecos en esta banda.
- que la eficiencia cuántica de emisión sea elevada (escogiendo los materiales).
Vamos a utilizar un LED que emite en longitudes de onda del rojo (unos 650 nm) y que
está montado como muestra la figura.
+ - Sabiendo que para que funcione el LED a máxima potencia
deberían pasar unos 50 mA, calcular la resistencia que hay que
poner en serie si el LED se polariza con 5 voltios y no hay caida de
tensión en el diodo.
i
- Polarizar el diodo con 5 voltios en contínua. La resistencia que se
ha puesto es de 220 Ω . ¿Es cierto que no hay caida de tensión en el
diodo? ¿Qué intensidad está pasando por el diodo?
- - La luz que emite el LED, ¿está polarizada? ¿por qué? ¿qué energía
tiene el GAP?
- ¿Por qué no emite el LED si no está polarizado en activa?
2.- Detector.
C
R
+
A continuación, vamos a coger un detector al cual
vamos a conectar un circuito de preamplificación
como el que muestra la figura. El amplificador
operacional ha de ser de muy alta impedancia de
entrada, para que las corrientes que consume la
Vout etapa sean despreciables frente a las que genera el
fotodetector cuando le llega luz (que también son
muy pequeñas). Conectar el circuito como se
indique, y mirar en el osciloscopio la señal que
sale del operacional, Vout (en primer lugar,
observar la señal que se recibe de los
fluorescentes).
(R = 1.2 MΩ, C = 68 pF)
- ¿A qué frecuencia funcionan los fluorescentes?
- Sabiendo que la ganancia del sistema es básicamente la que da la resistencia de
realimentación (V≈ ipd x R) calcular la potencia máxima de luz que llega al detector,
suponiendo una responsividad constante con la longitud de onda de 0.5 A/W
- Viendo la figura, el detector no necesita estar polarizado en inversa para funcionar
como detector. ¿por qué?
3.- Modulación del emisor
A continuación vamos a modular el emisor a partir de una onda sinusoidal desde el
generador de funciones. Intentar que el pico máximo de voltaje no exceda de 7.5
voltios.
- Primero utilizar una frecuencia de 0.6 Hz con modulación cuadrada. ¿Qué se
observa en el LED? ¿Se observa lo mismo al acercarlo al detector? (Al acercarlo al
detector, procurar tapar a la vez los fluorescentes para que no afecten).
- Cambiar las modulaciones a triangular y sinusoidal. ¿Qué diferencias existen con el
caso anterior? (Mirar a la vez la señal del generador en el osciloscopio)
- Subir la frecuencia hasta que el ojo no sea capaz de seguirla. Anotar dicha
frecuencia. ¿La sigue el detector?
- Utilizando onda sinusoidal, subir la frecuencia hasta 0.5 kHz. ¿Sabrías decir de lo
que se mide en el máximo cuanta potencia óptica le está llegando al detector?
(suponer la misma responsividad que antes)
- Pasar a onda cuadrada. ¿qué se observa en el receptor? ¿Porqué? ¿Qué elementos
están limitando la frecuencia?
- Subir la frecuencia hasta que la amplitud observada en el detector decaiga
considerablemente. ¿A qué frecuencia se produce? ¿Se produce lo mismo con onda
sinusoidal? Explicar.