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PRECALCULO 2010
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Profesor Hugo Alvarez
1
CARACTERISTICAS DEL CURSO
Este curso forma parte del trayecto de formación asistida para
alumnos de la FCFM y N, cuyo diagnóstico recomendó la necesidad del
mismo antes de encarar los cursos usuales de Cálculo I o Matemática
Aplicada, según la carrera.
La decisión de la facultad de que los estudiantes de diversas
carreras compartan un grupo de cursos introductorios favorece la
interacción de éstos -en contra del aislamiento disciplinar- permitiendo a la
vez la ratificación o rectificación de la elección de carrera. El nivel
elemental del curso permite una enseñanza no diferenciada para todo el
grupo de alumnos. Aquellos que tienen un interés más instrumental, no se
perjudican con un ligero matiz formal que resulta a la postre de utilidad en
el desarrollo del pensamiento lógico. Por su parte, los amantes del rigor
formalista se obligan a pensar en la función modelizadora de la
Matemática, que es el aspecto fundamental que este curso destaca.
La importante oferta editorial existente en este nivel ha permitido la
elección de un libro de texto, y se advertirá en toda la programación que
ésta es en realidad un instructivo para elegir un grupo de temas y
ejercicios de ese libro, que dejan un conocimiento suficiente en el tiempo
de que se dispone. La tarea desarrollada en los últimos años por los
autores de textos elementales en la búsqueda de ejemplos de aplicación
de la temática del curso, ampliamente reflejada en el libro elegido, permite
un curso interesante para una amplia gama de expectativas.
El curso comienza con una revisión muy rápida de aspectos
operacionales de tipo algebraico, durante los que se trata de enseñar la
utilidad del lenguaje matemático para la descripción de procedimientos
generales, mostrando el uso de letras como constantes y variables. La
posibilidad de apoyar el razonamiento con interpretaciones geométricas
es aprovechada cada vez que se ofrece, tanto para desarrollar la intuición
geométrica como para usarla en la comprensión de ideas más abstractas.
Pasada esta etapa inicial, el resto del curso es una enseñanza
conjunta de funciones y geometría analítica, apoyando cada concepto con
el otro y usando ambos en la resolución de problemas concretos,
avanzando desde los problemas lineales de proporcionalidad directa
hacia problemas geométricos con uso de Trigonometría
2
PLAN DE ACTIVIDADES
Esta es la planificación del curso. Está confeccionada para ser
usada con el libro de texto adoptado: “Michael Sullivan, Precálculo, 4ª
edición, Prentice Hall”. Las referencias de páginas, parágrafos y números
de ejemplos corresponden, pues, a ese libro. Las unidades que aparecen
como títulos sobre el margen derecho son las del programa de la materia.
Los números de ejercicio son los de la guía de trabajos prácticos. Los
símbolos en el margen tienen la siguiente significación:
E
Representa el material desarrollado por el docente como
explicación general para toda la clase.
R
Identifica a los ejercicios que los estudiantes deberán
resolver en clase con auxilio personal de los docentes del grupo
UNIDAD 1. PRELIMINARES
§1.1 Repaso de temas de Algebra y Geometría
E
Conjuntos (como lenguaje). Ejemplo 1
Números Reales. Representación geométrica: la recta real. Orden.
Graficación de desigualdades. Intervalos. Valor absoluto. Distancia entre
dos puntos.
R
E
Ejercicios: 1:a,c,e - 2 ; 3:a,c,e - 4:a,d - 5:a,c - 6:d.
R
E
R
E
Ejercicios 7 - 8
R
E
Ejercicio 14
R
Ejercicio 17.
Exponentes. Definición. Leyes de los exponentes. Ejemplo 5.
Raíces principales. Ejemplos 6,7 y 8.
Teorema de Pitágoras. Ejemplo 9. Teorema recíproco. Ejemplo 10.
Ejercicios 9 - 10
Resolución de problemas. Desarrollo de la solución de los
problemas 12 y 13 (Perpendicularidad entre la tangente a un círculo y el
radio en el punto de tangencia)
Demostraciones. Desarrollo de problemas 15 y 16. Racionales e
irracionales. Ejercicios 18, 19 y 20.
UNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES
§1.2 Ecuaciones
3
E
Ecuaciones en una variable. Conjunto solución. Ecuaciones
equivalentes. Procedimientos que conducen a ecuaciones equivalentes.
Ejemplos 1 y 2. Pasos para resolver ecuaciones. Ejemplo 3.
R
E
Ejercicio 1.
R
E
Ejercicio 2: a,b
R
E
R
Completar ejercicio 3.
Ecuaciones cuadráticas. Fórmula para
cuadráticas (sin deducción). Ejemplos 7 y 8.
resolver
ecuaciones
Otros trucos para resolver ecuaciones. Factorización: Extracción de
factores comunes puede simplificar ecuaciones. Ejercicios 2: c, d.
Ecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 4. Ejercicios 3: e, f, h.
Problemas que originan ecuaciones. Ejercicios 4 y 6.
Ejercicios 5 - 7
§1.3 Aplicaciones
E
R
E
Modelización matemática. Ejemplo 1.
Ejercicio 8.
Planteamiento de ecuaciones: ejemplo 2. Interés: ejemplo 3.
Ejercicio 14.
R
E
R
E
R
Ejercicios 12 - 13 – 15 - 16.
Movimiento uniforme: ejemplos 4 y 5.
Ejercicios 18 – 21 – 22 - 23.
Problemas geométricos: ejemplos 6 y 7. Mezclas: ejercicio 19.
Ejercicios 24 – 25 – 26 – 27 - 29.
§1.4. Inecuaciones
E
Concepto de inecuación. Propiedades. Resolución de
inecuaciones. Conjunto solución. Notación de intervalos. Ejemplos 1 y 2.
R
E
Ejercicio 31.
R
E
Ejercicio 32.
R
Ejercicio 33.
inecuaciones cuadráticas. Ejemplos 3 y 4. Inecuaciones
polinómicas de mayor grado. Ejemplo 5.
Inecuaciones racionales. Ejemplo 6. Inecuaciones con valor
absoluto. Ejemplos 9 - 10
4
UNIDAD 3: COORDENADAS
§1.6. Coordenadas rectangulares y gráficos
E
Coordenadas de puntos en el plano. Distancia. Ejemplo 1. Punto
medio de un segmento. Ejemplo 3.
R
E
Ejercicios 1 – 2 - 3: a, b, c - 4.
R
E
Ejercicios 6 – 7 – 8.
R
Ejercicios 9 – 10 - 11.
Gráfico de una ecuación. Ejemplos 4 –5. Intersecciones con los
ejes. Simetrías. Ejemplos 6 –7 y 8.
Ecuación de un círculo. Formas standard y general. Graficación.
Ejemplos 11 – 12
§1.7. La línea recta
E
Pendiente. Ejemplos 1 – 2. Ecuación de una recta. Forma puntopendiente. Rectas horizontales y verticales. Ecuación dados dos puntos.
R
E
Ejercicios 12 – 13 – 14.
R
Ejercicios 15:a, b, c, g – 17 - 18.
Ecuaciones en forma general y en forma pendiente-ordenada al
origen. Ejemplo 7. Rectas paralelas y perpendiculares. Teoremas.
Ejemplo 11
UNIDAD 4: FUNCIONES
§ 2.1. Funciones y sus gráficas
E
Definición. Evaluar funciones en puntos. Dominio de una función.
Variable independiente y dependiente. Ejemplo 5 y 6. Ejercicio 1: a, b, d.
R
E
Completar ejercicio 1.
Gráfica. Identificar valores máximos y mínimos. Identificación de
curvas en el plano que son la gráfica de funciones. Ejemplo 7. Pares
ordenados. Rango de una función. Ejercicio 2.
R
Ejercicios. 3 – 7 - 8: b, d – 9 – 10 – 11.
§ 2.4. Operaciones con funciones.
E
Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones
(Dominio). Ejemplo 1. Composición de funciones. Definición. Ejemplo 4.
Ejercicio 14 a. Ejemplo 5. Ejercicio 15 a. Ejemplo 6.
R
Ejercicios. 12: a, b, d – 13: c – 15 b – 16 c.
§ 2.5. Funciones Inversas.
E
Definición. Función 1-1. Ejemplo 1. Inversa de una función
(definición). Ejemplos 2 y 3. Ejercicio 19 b. Determinación de una inversa.
5
Ejemplo 4 y 5.
R
Ejercicios. 18 c – 19 c – 20 a, b. – 21 d.
UNIDAD 5. FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
§ 3.1. Funciones cuadráticas
E
Definición. Gráfica de f ( x) = x 2 y de
simetría. Ejemplo 1. Ejemplo 2. Ejemplo 3.
R
f ( x) = − x 2 . Vértice, eje de
Ejercicios. 1 – 2: a, c. – 3.
§ 3.2. Funciones polinomiales
E
R
E
R
Definición. Ejemplo 1.
Ejercicio 5.
Funciones potencia. Definición. Gráfica de x n , n par e impar.
Ejercicio 6.
§ 3.3. Funciones Racionales
E
Definición. Dominio. Ejemplos 1 y 2. Fracciones propias e
impropias. Escritura de una función racional como un polinomio más una
fracción propia. Asíntotas verticales, ejemplo 4. Asíntotas horizontales y
oblicuas: Ejemplos 6,7 y 8.
R
E
Ejercicios 7: a, d. – 8: b, d, e.
R
Ejercicios 9: a, c, e.
Técnicas de graficación: seis pasos para graficar una función
racional. Ejemplos 9 y 10.
UNIDAD 6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
§5.1.- Angulos y sus medidas
E
R
E
R
Sistema sexagesimal. Ejemplo2. Radianes. Ejemplo 3.
Ejercicio 1.
Conversiones de grados a radianes y viceversa. Ejemplos 4 y 5.
Ejercicios 2 – 3 (algunos) – 4 b.
§5.2.- Funciones Trigonométricas
E
R
E
R
Definición a través del círculo unidad. Ejemplos 1 y 2.
Ejercicio 5.
Ejemplos 3, 4 y 5. Funciones trigonométricas en 30º y 60º.
Ejercicios 6 – 7 – 8.
6
§5.3.- Propiedades de las Funciones Trigonométricas
(Restringirse a seno, coseno y tangente)
E
Dominio y rango. Período. Ejemplo 1. Signo de las funciones
trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Ejemplo 2. Identidades
fundamentales: (3) y (5). Ejemplo 4. Paridad. Ejemplo 5 (a,b,d)
R
Ejercicios 10: a, e – 11, a – 12 a – 13 a – 15 – 16 – 17.
§5.4.- Trigonometría del Triángulo Rectángulo
E
Funciones trigonométricas de un ángulo como razones de los lados
de un triángulo rectángulo. Cofunciones de ángulos complementarios.
Ejemplo 2 (a,b,c). Angulo de referencia. Ejemolos 3, 4 y 5
R
Ejercicios 19: a, f – 20: a, e – 21: a, c.
§5.5.- Aplicaciones
E
Solución de triángulos rectángulos. Ejemplos 1 y 2. Problemas de
aplicación. Ejemplos 3, 5, 7 y 9
R
Ejercicios 23 a – 24 – 25 – 26 – 28.
§ 6.1. Gráficos de las funciones seno y coseno
E
El gráfico de la función y = sen x . Características de la función
seno. Gráfico de y = cos x . Características. Ejemplos 3-4.
R
Ejercicios 31 y 32.
§ 6. 4. Gráfico de la función tangente
E
R
Pag. 412 hasta características de la función tangente inclusive.
Ejercicio 36.
§ 6. 5. Funciones trigonométricas inversas
E
La función seno inversa: pag.417/19. Ejemplos 1-2-3-4.
La función coseno inversa. Ejemplo 6.
La función tangente inversa (tener a mano la tabla 7 de pag. 412).
Ejemplo 8.
R
E
R
Ejercicios 37 – 38
Ejemplos 10-13-14-17.
Ejercicios 39: a, c – 40 a – 41: a, d – 42. .
7
UNIDAD 7. TRIGONOMETRIA
Suprimir ejercicio 1.
§ 7.2. Teorema de adición
E
Teorema (c/idea de demostración)
cos(α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
cos(α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
Ejemplos 1-2. Funciones del ángulo complementario: (7a) y (7b)
R
E
Ejercicios 2:c – 4: a.
Teorema de adición para seno (s/dem.). fórmulas (8) y (9). Ejemplo
3.
R
E
Ejercicios 2: a, b, d.
Teorema de adición para tangente (s/dem.). flas. (10) y (11).
Ejemplo 8.
R
Ejercicios 4: d, e
§ 7.3. Angulo doble
E
Ejemplos 1-2a, flas. (3), (4) y (5). Deducción de las flas. (6), (7), (8)
y (9).
R
Ejercicios 6: a, b . Suprimir ejercicios 7,8 y de 11 en adelante.
UNIDAD 8.- CONICAS EN EL PLANO
§ 9.2. Parábola
E
Definición. Fla. (1). Teorema :fla. (2). Ejemplo 1. Lado recto.
Ejemplo 2. Tabla 1
R
E
R
Ejercicios 1 – 2: a, b - 3: a, b.
Tabla 2. Ejemplos 6 y 7. Propiedad reflectante (fig. 14)
Ejercicios 3: e, f – 4.
§ 9.3. Elipse
E
Definición. Deducción de la fla. (2). Relación entre a, b y c.
Ejemplos 1 y 2. Fla. (3) para elipses de eje mayor vertical. Tabla 3.
Método del jardinero y propiedad reflectante
R
Ejercicios 6 – 7 – 8 – 9: a, c – 10 a.
§ 9.4. Hipérbola
E
Definición. Fla. (2) sin demostración. Ejemplos 1 y 2. Fla. (3).
Asíntotas. Ejemplo 5. Cambio de centro. Tabla 4
R
R
Ejercicios 12 – 13 – 14.
Ejercicio 18: a, d – 19
8
PROGRAMA ANALITICO
Unidad 1: PRELIMINARES.
Conjuntos numéricos. Representación de los números reales en la recta.
Gráfica de desigualdades en la recta real. Intervalos.
Valor absoluto de un número real. El valor absoluto como distancia entre
dos puntos en la recta.
Exponentes. Uso de las propiedades de los exponentes. Simplificación de
radicales.
Teorema de Pitágoras. Algunas Fórmulas útiles de la Geometría.
Unidad 2: ECUACIONES E INECUACIONES.
Ecuación de una variable. Conjunto solución. Restricciones sobre el
dominio de la variable. Procedimientos que conducen a ecuaciones
equivalentes.
Ecuaciones cuadráticas. Completación del cuadrado. Resolución por
factorización. Resolución utilizando la fórmula cuadrática.
Traducción de descripciones verbales a ecuaciones.
Notación de porcentaje. Conversión a notación decimal y fraccionaria.
Conversión de notación decimal y fraccionaria a porcentaje.
Resolver problemas de aplicación variados, por ejemplo que involucren:
Porcentajes. Movimiento uniforme y otros conceptos físicos. Conceptos
geométricos: área, perímetro, volumen. Comercio y finanzas, etc.
Desigualdades o inecuaciones en una variable. Propiedades. Uso de las
propiedades para obtener el conjunto solución de inecuaciones.
Resolución de desigualdades sencillas que involucren valor absoluto.
Unidad 3: COORDENADAS
Coordenadas Rectangulares. Fórmula de distancia. Punto medio. Gráfica
de ecuaciones en el plano. Localización de algunos puntos.
Intersecciones con los ejes. Simetrías. Efectos gráficos.
Circunferencia. Definición. Ecuación. Gráfica de una circunferencia dada
la forma general. (Uso de completar cuadrados).
Recta. Pendiente. Ecuación de la recta dados: a) un punto y la pendiente,
b) dos puntos. Gráficas, intersecciones con los ejes. Forma general de la
ecuación de la recta. Rectas paralelas y perpendiculares.
Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Definición. Dominio, Imagen. Ejemplos. Dada una fórmula encontrar los
valores de la función. Dado un punto, determinar si pertenece a la
función. Fórmula implícita y explícita. Identificación gráfica de funciones.
Obtención de información de una función a partir de su gráfica. (dominio,
rango, puntos de intersección con los ejes) .
9
Funciones crecientes y decrecientes. Pares e impares. Funciones
especiales: función lineal, función identidad, función cuadrática, cúbica,
valor absoluto, de proporcionalidad inversa, funciones definidas por
partes.
Técnicas de graficación. Corrimientos horizontales y verticales.
Reflexiones respecto de los ejes.
Operaciones con funciones.
Composición de funciones. Funciones 1-1. Definición de inversa de una
función. Determinación de la inversa.
Construcción de Funciones.
Unidad 5: FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES.
Funciones cuadráticas. Graficación utilizando corrimientos. Localización
del vértice. Eje e intersecciones.
Funciones polinomiales. Función potencia de grado n. Funciones
racionales. Determinación del dominio. Asíntotas. Graficación de
funciones racionales. Análisis de algunas gráficas. Descomposición en
fracciones parciales.
Unidad 6: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Angulos y sus medidas. Funciones trigonométricas definidas por medio
de la circunferencia unitaria.
Propiedades de las funciones trigonométricas. Dominio y rango. Período y
signo. Identidades fundamentales.
Trigonometría del triángulo rectángulo.
Gráficas de las funciones seno y coseno. Gráficas de tangente,
cosecante, secante y cotangente. Funciones trigonométricas inversas.
Unidad 7: TRIGONOMETRÍA
Identidades trigonométricas. Coseno y seno de la suma y diferencia.
Fórmula para ángulo doble y mitad. Ley del seno y del coseno.
Resolución de triángulos. Aplicaciones.
Unidad 8: CONICAS EN EL PLANO
Parábola. Definición como lugar geométrico y deducción de la fórmula.
Lado recto. Gráfico. Propiedades reflectantes.
Elipse. Definición y fórmula. Relaciones entre los semiejes y la distancia
focal. Gráficos y propiedad reflectante.
Hipérbola. Fórmula. Asíntotas. Cambio de centro.
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RÉGIMEN DE APROBACIÓN
Asistencia: La asistencia a las clases no es obligatoria. Pero sí es
obligatorio conocer todo lo que en ellas se comunica y cumplimentar los
trabajos prácticos evaluables que en ellas se proponen, previo anuncio,
con 48 horas de anticipación, en la página de la materia, en
http://bd.unsl.edu.ar.
La aprobación del 75% de estas actividades es
condición necesaria para acceder a la recuperación general.
Parciales: Existen dos exámenes escritos compuestos de
problemas y ejercicios semejantes a los resueltos en la guía de
ejercitación. Cada uno de ellos es recuperable en la semana siguiente a
la de su realización. La aprobación de los dos parciales (directamente o
por recuperación) es condición suficiente para la aprobación de la materia.
Caso contrario, previo cumplimiento de los requisitos de asistencia, se
puede aprobar a través de una recuperación general. La recuperación
adicional para alumnos con capacidades especiales prevista por las
resoluciones 52/85 y 66/85 C. S., se aplica a uno de los parciales pero no
a la recuperación general.
No existe examen final y, consecuentemente, tampoco examen
libre. La materia sólo se aprueba por promoción.
BIBLIOGRAFÍA
Michael Sullivan, Precálculo - 4ta. Edición - Prentice Hall.
Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas
(Bachillerato) 3 volúmenes., Anaya
Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas (C.O.U.)
tomos I y II., Anaya.
Hugo Alvarez, Notas de Cálculo, N. E. U., San Luis, 2009.
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