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Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Nacional de San Luis
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales
Departamento: Matematicas
Area: Matematicas
I - Oferta Académica
Materia
Carrera
(OPTATIVA) MATEMATICA DE APOYO
TFA
II - Equipo Docente
Docente
Función
ALVAREZ, HUGO CESAR
BALLADORE, ADA MARIA
BARROZO, MARIA FERNANDA
PEPA RISMA, ELIANA BEATRIZ
ALBARRACIN, JESSICA BELEN
FUNES OCHOA, JUAN EDUARDO
JALAF, ERNESTO FLAVIO
SPINELLI, MARGARITA DANIELA
Prof. Responsable
Responsable de Práctico
Responsable de Práctico
Responsable de Práctico
Auxiliar de Práctico
Auxiliar de Práctico
Auxiliar de Práctico
Auxiliar de Práctico
(Programa del año 2009)
(Programa en trámite de aprobación)
(Presentado el 07/09/2009 11:28:13)
Plan Año
2009
Período
1° cuatrimestre
Cargo
Dedicación
P.Tit. Exc
A.1ra Semi
A.1ra Exc
A.1ra Exc
A.2da Simp
A.2da Simp
A.2da Simp
A.2da Simp
40 Hs
20 Hs
40 Hs
40 Hs
10 Hs
10 Hs
10 Hs
10 Hs
III - Características del Curso
Credito Horario Semanal
Teórico/Práctico Teóricas Prácticas de Aula Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.
8 Hs
Hs
Hs
Hs
8 Hs
Tipificación
Periodo
C - Teoria con prácticas de aula
1º Cuatrimestre
Desde
Hasta
09/03/2009
19/06/2009
Duración
Cantidad de Semanas
15
Total
Cantidad de Horas
112
IV - Fundamentación
Este curso forma parte del trayecto de formación asistida para alumnos de la FCFM y N, cuyo diagnóstico recomendó la
necesidad del mismo antes de encarar los cursos usuales de Cálculo I o Matemática Aplicada, según la carrera.
La decisión de la facultad de que los estudiantes de diversas carreras compartan un grupo de cursos introductorios favorece la
interacción de éstos -en contra del aislamiento disciplinar- permitiendo a la vez la ratificación o rectificación de la elección de
carrera. El nivel elemental del curso permite una enseñanza no diferenciada para todo el grupo de alumnos. Aquellos que
tienen un interés más instrumental, no se perjudican con un ligero matiz formal que resulta a la postre de utilidad en el
desarrollo del pensamiento lógico. Por su parte, los amantes del rigor formalista se obligan a pensar en la función
modelizadora de la Matemática, que es el aspecto fundamental que este curso destaca.
El curso comienza con una revisión muy rápida de aspectos operacionales de tipo algebraico, con los que se trata de enseñar
la utilidad del lenguaje matemático para la descripción de procedimientos generales, mostrando el uso de letras como
constantes y variables. La posibilidad de apoyar el razonamiento con interpretaciones geométricas es aprovechada cada vez
que se ofrece, tanto para desarrollar la intuición geométrica como para usarla en la comprensión de ideas más abstractas.
Pasada esta etapa inicial, el resto del curso es una enseñanza conjunta de funciones y geometría analítica, apoyando cada
concepto con el otro y usando ambos en la resolución de problemas concretos, avanzando desde los problemas lineales de
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proporcionalidad directa hacia problemas geométricos con uso de Trigonometría
V - Objetivos
Huyendo de la explicitación de lo obvio, omitiremos la enumeración de objetivos que, palabra más palabra menos, postulan
la comprensión, por parte de los alumnos, de cada uno de los puntos del programa.
Los objetivos generales son:
•Superación de deficiencias operatorias.
•Desarrollo del pensamiento lógico.
•Desarrollo de lenguaje matemático.
•Desarrollo de intuición geométrica.
VI - Contenidos
Unidad 1: PRELIMINARES.
Conjuntos numéricos. Representación de los números reales en la recta. Gráfica de desigualdades en la recta real. Intervalos.
Valor absoluto de un número real. El valor absoluto como distancia entre dos puntos en la recta.
Exponentes. Uso de las propiedades de los exponentes. Simplificación de radicales.
Teorema de Pitágoras. Algunas Fórmulas útiles de la Geometría.
Unidad 2: ECUACIONES E INECUACIONES.
Ecuación de una variable. Conjunto solución. Restricciones sobre el dominio de la variable. Procedimientos que conducen a
ecuaciones equivalentes.
Ecuaciones cuadráticas. Completación del cuadrado. Resolución por factorización. Resolución utilizando la fórmula
cuadrática.
Traducción de descripciones verbales a ecuaciones.
Notación de porcentaje. Conversión a notación decimal y fraccionaria. Conversión de notación decimal y fraccionaria a
porcentaje.
Resolver problemas de aplicación variados, por ejemplo que involucren: Porcentajes. Movimiento uniforme y otros conceptos
físicos. Conceptos geométricos: área, perímetro, volumen. Comercio y finanzas, etc.
Desigualdades o inecuaciones en una variable. Propiedades. Uso de las propiedades para obtener el conjunto solución de
inecuaciones.
Resolución de desigualdades sencillas que involucren valor absoluto.
Unidad 3: COORDENADAS
Coordenadas Rectangulares. Fórmula de distancia. Punto medio. Gráfica de ecuaciones en el plano. Localización de algunos
puntos. Intersecciones con los ejes. Simetrías. Efectos gráficos.
Circunferencia. Definición. Ecuación. Gráfica de una circunferencia dada la forma general. (Uso de completar cuadrados).
Recta. Pendiente. Ecuación de la recta dados: a) un punto y la pendiente, b) dos puntos. Gráficas, intersecciones con los ejes.
Forma general de la ecuación de la recta. Rectas paralelas y perpendiculares.
Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Definición. Dominio, Imagen. Ejemplos. Dada una fórmula encontrar los valores de la función. Dado un punto, determinar si
pertenece a la función. Fórmula implícita y explícita. Identificación gráfica de funciones. Obtención de información de una
función a partir de su gráfica. (dominio, rango, puntos de intersección con los ejes) .
Funciones crecientes y decrecientes. Pares e impares. Funciones especiales: función lineal, función identidad, función
cuadrática, cúbica, valor absoluto, de proporcionalidad inversa, funciones definidas por partes.
Técnicas de graficación. Corrimientos horizontales y verticales. Reflexiones respecto de los ejes.
Operaciones con funciones.
Composición de funciones. Funciones 1-1. Definición de inversa de una función. Determinación de la inversa.
Construcción de Funciones.
Unidad 5: FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES.
Funciones cuadráticas. Graficación utilizando corrimientos. Localización del vértice. Eje e intersecciones.
Funciones polinomiales. Función potencia de grado n. Funciones racionales. Determinación del dominio. Asíntotas.
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Graficación de funciones racionales. Análisis de algunas gráficas. Descomposición en fracciones parciales.
Unidad 6: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Ángulos y sus medidas. Funciones trigonométricas definidas por medio de la circunferencia unitaria.
Propiedades de las funciones trigonométricas. Dominio y rango. Período y signo. Identidades fundamentales.
Trigonometría del triángulo rectángulo.
Gráficas de las funciones seno y coseno. Gráficas de tangente, cosecante, secante y cotangente. Funciones trigonométricas
inversas.
Unidad 7: TRIGONOMETRÍA
Identidades trigonométricas. Coseno y seno de la suma y diferencia. Fórmula para ángulo doble y mitad. Ley del seno y del
coseno. Resolución de triángulos. Aplicaciones.
Unidad 8: CONICAS EN EL PLANO
Parábola. Definición como lugar geométrico y deducción de la fórmula. Lado recto. Gráfico. Propiedades reflectantes.
Elipse. Definición y fórmula. Relaciones entre los semiejes y la distancia focal. Gráficos y propiedad reflectante.
Hipérbola. Fórmula. Asíntotas. Cambio de centro.
VII - Plan de Trabajos Prácticos
Esta es la planificación del curso. Está confeccionada para ser usada con el libro de texto adoptado: “Michael Sullivan,
Precálculo, 4ª edición, Prentice Hall”. Las referencias de páginas, parágrafos y números de ejemplos corresponden, pues, a
ese libro. Las unidades que aparecen como títulos sobre el margen derecho son las del programa de la materia. Los números
de ejercicio son los de la guía de trabajos prácticos. Los símbolos en el margen tienen la siguiente significación:
ERepresenta el material desarrollado por el docente como explicación general para toda la clase.
RIdentifica a los ejercicios que los estudiantes deberán resolver en clase con auxilio personal de los docentes del grupo
UNIDAD 1. PRELIMINARES
§1.1 Repaso de temas de Algebra y Geometría
EConjuntos (como lenguaje). Ejemplo 1
Números Reales. Representación geométrica: la recta real. Orden. Graficación de desigualdades. Intervalos. Valor absoluto.
Distancia entre dos puntos.
REjercicios: 1:a,c,e - 2 ; 3:a,c,e - 4:a,d - 5:a,c - 6:d.
EExponentes. Definición. Leyes de los exponentes. Ejemplo 5. Raíces principales. Ejemplos 6,7 y 8.
REjercicios 7 - 8
ETeorema de Pitágoras. Ejemplo 9. Teorema recíproco. Ejemplo 10.
REjercicios 9 - 10
EResolución de problemas. Desarrollo de la solución de los problemas 12 y 13 (Perpendicularidad entre la tangente a un
círculo y el radio en el punto de tangencia)
REjercicio 14
EDemostraciones. Desarrollo de problemas 15 y 16. Racionales e irracionales. Ejercicios 18, 19 y 20.
REjercicio 17.
UNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES
§1.2 Ecuaciones
EEcuaciones en una variable. Conjunto solución. Ecuaciones equivalentes. Procedimientos que conducen a ecuaciones
equivalentes. Ejemplos 1 y 2. Pasos para resolver ecuaciones. Ejemplo 3.
REjercicio 1.
EEcuaciones cuadráticas. Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas (sin deducción). Ejemplos 7 y 8.
REjercicio 2: a,b
EOtros trucos para resolver ecuaciones. Factorización: Extracción de factores comunes puede simplificar ecuaciones.
Ejercicios 2: c, d. Ecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 4. Ejercicios 3: e, f, h.
RCompletar ejercicio 3.
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EProblemas que originan ecuaciones. Ejercicios 4 y 6.
REjercicios 5 - 7
§1.3 Aplicaciones
EModelización matemática. Ejemplo 1.
REjercicio 8.
EPlanteamiento de ecuaciones: ejemplo 2. Interés: ejemplo 3. Ejercicio 14.
REjercicios 12 - 13 – 15 - 16.
EMovimiento uniforme: ejemplos 4 y 5.
REjercicios 18 – 21 – 22 - 23.
EProblemas geométricos: ejemplos 6 y 7. Mezclas: ejercicio 19.
REjercicios 24 – 25 – 26 – 27 - 29.
§1.4. Inecuaciones
EConcepto de inecuación. Propiedades. Resolución de inecuaciones. Conjunto solución. Notación de intervalos. Ejemplos 1
y 2.
REjercicio 31.
Einecuaciones cuadráticas. Ejemplos 3 y 4. Inecuaciones polinómicas de mayor grado. Ejemplo 5.
REjercicio 32.
EInecuaciones racionales. Ejemplo 6. Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos 9 - 10
REjercicio 33.
UNIDAD 3: COORDENADAS
§1.6. Coordenadas rectangulares y gráficos
ECoordenadas de puntos en el plano. Distancia. Ejemplo 1. Punto medio de un segmento. Ejemplo 3.
REjercicios 1 – 2 - 3:a, b, c - 4.
EGráfico de una ecuación. Ejemplos 4 –5. Intersecciones con los ejes. Simetrías. Ejemplos 6 –7 y 8.
REjercicios 6 – 7 - 8.
EEcuación de un círculo. Formas standard y general. Graficación. Ejemplos 11 – 12
REjercicios 9 – 10 - 11.
§1.7. La línea recta
EPendiente. Ejemplos 1 – 2. Ecuación de una recta. Forma punto-pendiente. Rectas horizontales y verticales. Ecuación dados
dos puntos.
REjercicios 12 – 13 – 14.
EEcuaciones en forma general y en forma pendiente-ordenada al origen. Ejemplo 7. Rectas paralelas y perpendiculares.
Teoremas. Ejemplo 11
REjercicios 15:a, b, c, g – 17 - 18.
UNIDAD 4: FUNCIONES
§ 2.1. Funciones y sus gráficas
EDefinición. Evaluar funciones en puntos. Dominio de una función. Variable independiente y dependiente. Ejemplo 5 y 6.
Ejercicio 1: a, b, d.
RCompletar ejercicio 1.
EGráfica. Identificar valores máximos y mínimos. Identificación de curvas en el plano que son la gráfica de funciones.
Ejemplo 7. Pares ordenados. Rango de una función. Ejercicio 2.
REjercicios. 3 – 7 - 8: b, d – 9 – 10 – 11.
§ 2.4. Operaciones con funciones.
EDefinición de suma, resta, producto y cociente de funciones (Dominio). Ejemplo 1. Composición de funciones. Definición.
Ejemplo 4. Ejercicio 14 a. Ejemplo 5. Ejercicio 15 a. Ejemplo 6.
REjercicios. 12: a, b, d – 13: c – 15 b – 16 c.
§ 2.5. Funciones Inversas.
EDefinición. Función 1-1. Ejemplo 1. Inversa de una función (definición). Ejemplos 2 y 3. Ejercicio 19 b. Determinación de
una inversa. Ejemplo 4 y 5.
REjercicios. 18 c – 19 c – 20 a, b. – 21 d.
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UNIDAD 5. FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
§ 3.1. Funciones cuadráticas
EDefinición. Gráfica de y de . Vértice, eje de simetría. Ejemplo 1. Ejemplo 2. Ejemplo 3.
REjercicios. 1 – 2: a, c. – 3.
§ 3.2. Funciones polinomiales
EDefinición. Ejemplo 1.
REjercicio 5.
EFunciones potencia. Definición. Gráfica de , n par e impar.
REjercicio 6.
§ 3.3. Funciones Racionales
EDefinición. Dominio. Ejemplos 1 y 2. Fracciones propias e impropias. Escritura de una función racional como un
polinomio más una fracción propia. Asíntotas verticales, ejemplo 4. Asíntotas horizontales y oblicuas: Ejemplos 6,7 y 8.
REjercicios 7: a, d. – 8: b, d, e.
ETécnicas de graficación: seis pasos para graficar una función racional. Ejemplos 9 y 10.
REjercicios 9: a, c, e.
UNIDAD 6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
§5.1.- Ángulos y sus medidas
ESistema sexagesimal. Ejemplo2. Radianes. Ejemplo 3.
REjercicio 1.
EConversiones de grados a radianes y viceversa. Ejemplos 4 y 5.
REjercicios 2 – 3 (algunos) – 4 b.
§5.2.- Funciones Trigonométricas
EDefinición a través del círculo unidad. Ejemplos 1 y 2.
REjercicio 5.
EEjemplos 3, 4 y 5. Funciones trigonométricas en 30º y 60º.
REjercicios 6 – 7 – 8.
§5.3.- Propiedades de las Funciones Trigonométricas
(Restringirse a seno, coseno y tangente)
EDominio y rango. Período. Ejemplo 1. Signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Ejemplo 2.
Identidades fundamentales: (3) y (5). Ejemplo 4. Paridad. Ejemplo 5 (a,b,d)
REjercicios 10: a, e – 11, a – 12 a – 13 a – 15 – 16 – 17.
§5.4.- Trigonometría del Triángulo Rectángulo
EFunciones trigonométricas de un ángulo como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Cofunciones de ángulos
complementarios. Ejemplo 2 (a,b,c). Angulo de referencia. Ejemplos 3, 4 y 5
REjercicios 19: a, f – 20: a, e – 21: a, c.
§5.5.- Aplicaciones
ESolución de triángulos rectángulos. Ejemplos 1 y 2. Problemas de aplicación. Ejemplos 3, 5, 7 y 9
REjercicios 23 a – 24 – 25 – 26 – 28.
§ 6.1. Gráficos de las funciones seno y coseno
EEl gráfico de la función . Características de la función seno.
REjercicios 31:a, c, e.
EGráfico de . Características. Ejemplos 3-4.
REjercicios 31: b, d, f – 32.
§ 6. 4. Gráfico de la función tangente
EPag. 412 hasta características de la función tangente inclusive.
REjercicio 36.
Página 5
§ 6. 5. Funciones trigonométricas inversas
ELa función seno inversa: pag.417/19. Ejemplos 1-2-3-4.
La función coseno inversa. Ejemplo 6.
La función tangente inversa (tener a mano la tabla 7 de pag. 412). Ejemplo 8.
REjercicios 37 – 38
EEjemplos 10-13-14-17.
REjercicios 39: a, c – 40 a – 41: a, d – 42. .
UNIDAD 7. TRIGONOMETRIA
§ 7.1. Identidades trigonométricas
E
REjercicios 1: a, b, e.
§ 7.2. Teorema de adición
ETeorema (c/demostración)
Ejemplos 1-2. Funciones del ángulo complementario: (7a) y (7b)
REjercicios 1:c – 4: a.
ETeorema de adición para seno (c/dem.). fórmulas (8) y (9). Ejemplo 3.
REjercicios 1: a, b, d.
ETeorema de adición para tangente (s/dem.). flas. (10) y (11). Ejemplo 8.
REjercicios 4: d, e
§ 7.3. Angulo doble
EEjemplos 1-2, flas. (3), (4) y (5). Polinomios en para . Deducción de las flas. (6), (7), (8) y (9).
REjercicios 6: a, b - 7.
§ 8.1. Teorema del seno
EFórmula (1). Demostración parcial (triángulos acutángulos). Ejemplo 1
REjercicios 11 - 12: a, b , i, k, l.
EEjemplos 3, 4, 5 y 6
REjercicio 13.
§ 8.2. Teorema del coseno
EFórmula (1). Dem. Caso acutángulo. Ejemplos 1-2
REjercicio 18: a, d – 19
UNIDAD 8.- CONICAS EN EL PLANO
§ 9.2. Parábola
EDefinición. Fla. (1). Teorema :fla. (2). Ejemplo 1. Lado recto. Ejemplo 2. Tabla 1
REjercicios 1 – 2: a, b - 3: a, b.
ETabla 2. Ejemplos 6 y 7. Propiedad reflectante (fig. 14)
REjercicios 3: e, f – 4.
§ 9.3. Elipse
EDefinición. Deducción de la fla. (2). Relación entre a, b y c. Ejemplos 1 y 2. Fla. (3) para elipses de eje mayor vertical.
Tabla 3. Método del jardinero y propiedad reflectante
REjercicios 6 – 7 – 8 – 9: a, c – 10 a.
§ 9.4. Hipérbola
EDefinición. Fla. (2) sin demostración. Ejemplos 1 y 2. Fla. (3). Asíntotas. Ejemplo 5. Cambio de centro. Tabla 4
Página 6
REjercicios 12 – 13 – 14.
VIII - Regimen de Aprobación
Asistencia: La asistencia a las clases no es obligatoria. Pero sí es obligatorio conocer todo lo que en ellas se comunica
y cumplimentar los trabajos prácticos evaluables que en ellas se proponen, previo anuncio, con 48 horas de anticipación, en la
página de la materia, en http://bd.unsl.edu.ar. La aprobación del 75% de estas actividades es condición necesaria para
acceder a la recuperación general.
Parciales: Existen dos exámenes escritos compuestos de problemas y ejercicios semejantes a los resueltos en la guía de
ejercitación. Cada uno de ellos es recuperable en la semana siguiente a la de su realización. La aprobación de los dos
parciales (directamente o por recuperación) es condición suficiente para la aprobación de la materia. Caso contrario, previo
cumplimiento de los requisitos de asistencia, se puede aprobar a través de una recuperación general. La recuperación
adicional para alumnos con capacidades especiales prevista por las resoluciones 52/85 y 66/85 C. S., se aplica a uno de los
parciales pero no a la recuperación general.
No existe examen final y, consecuentemente, tampoco examen libre. La materia sólo se aprueba por promoción.
IX - Bibliografía Básica
[1] Michael Sullivan, Precálculo - 4ta. Edición - Prentice Hall.
X - Bibliografia Complementaria
[1] Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas (Bachillerato) 3 volúmenes., Anaya
[2] Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas (C.O.U.) tomos I y II., Anaya.
[3] Hugo Álvarez, Notas de Cálculo, N. E. U., San Luis, 2009.
XI - Resumen de Objetivos
Este curso forma parte del trayecto de formación asistida para alumnos de la FCFM y N, cuyo diagnóstico recomendó la
necesidad del mismo antes de encarar los cursos usuales de Cálculo I o Matemática Aplicada, según la carrera.
La decisión de la facultad de que los estudiantes de diversas carreras compartan un grupo de cursos introductorios favorece la
interacción de éstos -en contra del aislamiento disciplinar- permitiendo a la vez la ratificación o rectificación de la elección de
carrera. El nivel elemental del curso permite una enseñanza no diferenciada para todo el grupo de alumnos. Aquellos que
tienen un interés más instrumental, no se perjudican con un ligero matiz formal que resulta a la postre de utilidad en el
desarrollo del pensamiento lógico. Por su parte, los amantes del rigor formalista se obligan a pensar en la función
modelizadora de la Matemática, que es el aspecto fundamental que este curso destaca.
El curso comienza con una revisión muy rápida de aspectos operacionales de tipo algebraico, durante los que se trata de
enseñar la utilidad del lenguaje matemático para la descripción de procedimientos generales, mostrando el uso de letras como
constantes y variables. La posibilidad de apoyar el razonamiento con interpretaciones geométricas es aprovechada cada vez
que se ofrece, tanto para desarrollar la intuición geométrica como para usarla en la comprensión de ideas más abstractas.
Pasada esta etapa inicial, el resto del curso es una enseñanza conjunta de funciones y geometría analítica, apoyando cada
concepto con el otro y usando ambos en la resolución de problemas concretos, avanzando desde los problemas lineales de
proporcionalidad directa hacia problemas geométricos con uso de Trigonometría
XII - Resumen del Programa
Unidad 1: PRELIMINARES.
Unidad 2: ECUACIONES E INECUACIONES.
Unidad 3: COORDENADAS
Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Unidad 5: FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES.
Unidad 6: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Página 7
Unidad 7: TRIGONOMETRÍA
Unidad 8: CONICAS EN EL PLANO
XIII - Imprevistos
ELEVACIÓN y APROBACIÓN DE ESTE PROGRAMA
Profesor Responsable
Firma:
Aclaración:
Fecha:
Página 8