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Funciones trigonométricas inversas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2) Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con el uso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos. Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas, así como de su escritura, son: a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento. b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir, la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última es negativa; la fórmula de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendo ésta última negativa. Y algo semejante sucede con la arco secante y la arco cosecante. c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, debe ser arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “seno cuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponente a la menos uno, por ejemplo, A1 significa el inverso de A. Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, para evitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significados diferentes, resulta incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primera simbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el seno inverso, la otra como sen − 1u = 1 1 = = cscu sen1u senu 124 Funciones trigonométricas inversas FÓRMULAS: (17) d arc sen u = dx du dx 1 − u2 du dx 1 − u2 (18) d arccosu = − dx (19) du d a r c t a n u = 2dx dx u +1 (20) du d a r c c o t u = − 2dx dx u +1 (21) (22) d arc sec u = dx u d arccscu = − dx u 125 du dx u2 −1 du dx u2 − 1 Funciones trigonométricas inversas ( Ejemplo 54: Derivar y = arc sen x 3 − x Solución: ) El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17): d ( x3 − x ) dx dy = dx 1 − ( x3 − x ) 3x2 − 1 dy = dx ( 1 − x3 − x Ejemplo 55: Calcular la derivada de y = arctan Solución: El argumento es u = 2 ) 2 x x , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene: dy = dx ( d dx x x ) 2 +1 1 dy 2 x = dx x +1 dy 1 = dx 2 x ( x + 1) 126 Funciones trigonométricas inversas EJERCICIO 14 (Área 2) Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas: 4 5x 2) y = arc cos ( 3 − 8 x ) 4) 2 y = arccot 3x − 1 6) y = arc c s c ( 4 x − 1 ) 8) y = arc c o s 10) y = arc c o t 5 x 7 − x 12) y = arccsc ( − 6 − x ) 14) 2 y = arccos x 15) x6 y = arctan 7 16) 3x − 7 y = arccot 5 17) 7 x2 + 8 y = arcsec 13 18) 8 − 7x y = arccsc 9 19) y = arc sen 7 2 x 20) y = arccos 5 7 x 21) y = arc t a n 6 ( 2 x − 19 ) 22) y= arccot 6 x 23) y= 24) y= arccsc 7 x 8 1) y = arcsen 3) y = arc t a n 5 − x 7 5) y = arc sec e 2x 7) y = arcsen 9) y = arctan 3 x 2 − 11x + 5 11) y = arc sec 5 x 3 − x 13) y = arcsen ( 5 ) 3x − 11 ( ( ) ) 1 x 2 arcsec 6x 127 4 8 (1 − x ) 3 ( ) 7 7