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Funciones trigonométricas inversas
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2)
Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con el uso de
las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos.
Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas, así
como de su escritura, son:
a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.
b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir, la fórmula
del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última es negativa; la fórmula
de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendo ésta última negativa. Y algo
semejante sucede con la arco secante y la arco cosecante.
c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, debe ser arc
sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “seno cuyo ángulo es”,
ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que abarca. En matemáticas el
símbolo universal para denotar un inverso es un exponente a la menos uno, por ejemplo, A1
significa el inverso de A.
Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, para evitar
confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significados diferentes, resulta
incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primera simbología podría tener
dos significados que confundirían al lector, una como el seno inverso, la otra como
sen − 1u =
1
1
=
= cscu
sen1u
senu
124
Funciones trigonométricas inversas
FÓRMULAS:
(17)
d
arc sen u =
dx
du
dx
1 − u2
du
dx
1 − u2
(18)
d
arccosu = −
dx
(19)
du
d
a r c t a n u = 2dx
dx
u +1
(20)
du
d
a r c c o t u = − 2dx
dx
u +1
(21)
(22)
d
arc sec u =
dx
u
d
arccscu = −
dx
u
125
du
dx
u2 −1
du
dx
u2 − 1
Funciones trigonométricas inversas
(
Ejemplo 54: Derivar y = arc sen x 3 − x
Solución:
)
El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17):
d
( x3 − x )
dx
dy
=
dx
1 − ( x3 − x )
3x2 − 1
dy
=
dx
(
1 − x3 − x
Ejemplo 55: Calcular la derivada de y = arctan
Solución:
El argumento es u =
2
)
2
x
x , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene:
dy
=
dx
(
d
dx
x
x
)
2
+1
1
dy
2 x
=
dx
x +1
dy
1
=
dx
2 x ( x + 1)
126
Funciones trigonométricas inversas
EJERCICIO 14 (Área 2)
Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas:
4
5x
2)
y = arc cos ( 3 − 8 x )
4)
 2 
y = arccot 

 3x − 1 
6)
y = arc c s c ( 4 x − 1 )
8)
y = arc c o s
10)
y = arc c o t 5 x 7 − x
12)
y = arccsc ( − 6 − x )
14)
 2 
y = arccos  
 x 
15)
 x6 
y = arctan 

 7 
16)
3x − 7 
y = arccot 

 5 
17)
 7 x2 + 8 
y = arcsec 

 13 
18)
8 − 7x 
y = arccsc 

 9 
19)
y = arc sen 7 2 x
20)
y = arccos 5 7 x
21)
y = arc t a n 6 ( 2 x − 19 )
22)
y=
arccot 6 x
23)
y=
24)
y=
arccsc 7 x 8
1)
y = arcsen
3)
y = arc t a n 5 − x 7
5)
y = arc sec e 2x
7)
y = arcsen
9)
y = arctan 3 x 2 − 11x + 5
11)
y = arc sec 5 x 3 − x
13)
y = arcsen
(
5
)
3x − 11
(
(
)
)
1
x
2
arcsec 6x
127
4
8
(1 − x )
3
(
)
7
7