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EXAME 1ºBAC
Repaso Evaluación 1ª
Fecha: 05-12-01 Hora: 16:00 Tiempo: 1:30'
I.B. As Lagoas
S. Matemáticas
1.a) Expresa 12123º como un ángulo del primer cuadrante y da sen (12123º).
¿Cuántos radianes son 12123º?
b) Expresa –433º como un ángulo del primer cuadrante y calcula cos (-433º)
c) Con calculadora dado sen x=0’23, cuanto vale x en radianes
d) Con calculadora cuanto vale sen (1’35 rad)
e) Con calculadora valor en radianes y grados de x, sabiendo sen x=-0’75 y x<270º
Solución:
a) 12123= 360*33+243, por tanto 243º=180+63ºà 63º ;
sen (12123º)=-0.89 ;
12123º=211’59 rad.
b) –433º à-73º à360º-73ºà73º; cos (-433º)=cos (433º)=cos 73º=0’29
c) x=0’23
d) sen (1’35)=0’98
e) x en primer cuadrante: sen x=0’75àx=48’59º
pasado al 3º cuadrante 180+48’59º=228’59º=3’99 radianes
2.a) log 2 x = 5
→
25 = x
→
b) log3 x = 3 → 33 = x
log 27
= 2'05
c) log 5 27 =
log 5
x = 32
→ x = 27
d ) x·log 2 = log 3; x =
log 3
= 1'58
log 2
e) x = 31 / 7 = 1'17
f) 6 2 / 3 − 2 15 + 71 / 3 = 3'30 − 7'75 + 1'91 = −2'54
3.-Usando las propiedades trigonométricas (y la calculadora como complemento)
a) Dado sen x=0’35º y cos x<0, calcula cos x y tg x.
b) Sen (2x)
c) Cos (x/2)
d) tg(π + x )
Solución:
a) Estamos hablando del 2º cuadrante.
Por la propiedad fundamental cos x = ± 1 − sen x = ± 1 − 0'35 = ±0'94
Como estamos en el segundo cuadrante (cos negativo), por lo tanto, cos x=-0’94
2
tgx =
senx
0'35
=
= −0.37
cos x − 0'94
b) sen (2x)=2· sen x · cos x = 2· 0’35· (-0’94)=-0’66
c) cos (x/2)= cos( x / 2) = ±
1 + cos x
1 − 0'94
=±
= ±0'17
2
2
Como x está en el segundo cuadrante x/2 está en el primer cuadrante. Por tanto, cos (x/2)=0’17
d) tg(π + x) =
tgπ + tgx 0 − 0'37
=
= −0'37
1 − tgπ ·tgx
1− 0
4.- a) Calcula y representa la solución obtenida:
i 30 ( 5 − i )
− 1+ i
Solución:
i 30 ( 5 − i ) − 1( 5 − 1) − 5 + i (− 5 + i )(− 1− i ) 5 + 5i − i − i 2 5 + 5 i − i + 1 6 + 4i 6 4i
=
=
=
=
=
=
= +
= 3 + 2i
1+ 1
2
2 2
−1+ i
−1+ i
− 1 + i (− 1 + i )(− 1 − i )
1− i 2
Representación gráfica:
b) Halla todas las soluciones de la ecuación:
2z6 + 2 = 0
Solución:
2z 6 + 2 = 0
→
2 z 6 = −2
→
z 6 = −1
z = 6 − 1 = 6 1180o = 1180o + 360o k = 130o +60o k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
6
Las seis soluciones son:
130o ; 190o ; 1150o ; 1210o ; 1270o ; 1330o
5.- a) Resuelve el sistema:
3 x + 1 = y − 2

3x + y = −1

Solución:
3 x + 1 = y − 2 3 x + 1 = y − 2 

 3 x + 1 = −1 − 3x − 2
3x + y = −1
 y = −1 − 3x

3 x + 1 = − 3x − 3
x + 1 = (− x − 1)
x (x + 1) = 0
2
→
→
→
x +1 =
−3 x − 3
3
→
x + 1 = −x − 1
x + 1 = x 2 + 2x + 1 → 0 = x 2 + x
x = 0 → no válida


x = −1 → y = 2
Hay una única solución: x = −1; y = 2
b) Resuelve la ecuación trigonométrica: 2cos²x+cos2x· cos x=0
2 cos²x+ (cos²x-sen²x)· cos x =0 ; 2 cos²x + (cos²x-(1-cos²x))· cos x = 0
2 cos²x + (2· cos²x – 1) cos x =0 ; 2 cos²x + (2 cos3x-cos x)=0
Hacemos el cambio de variable
cos x = m
2m3+2m²-m=0; sacamos m factor común m(2m²+2m-1)=0 ;
m=0
2m²+2m-1=0 à
m=0’37
m=1’35
deshaciando los cambios, obtemosl os valores de x
m=0
àx=90º
m=0’37
àx=68’28º=68º17’38”
m=1’35
àx no existe
6.-Dos observadores miran un globo que está en el plano vertical que pasa por
ellos. La distancia entre ellos es de 4,5 Km y los ángulos de elevación del globo
desde los observadores son 46° y 52°, respectivamente. Determinar la distancia del
globo a cada observador y su altura.
Solución
Datos A=46º B=52º c (distancia entre observadores)=4’5 km
Por tanto, como la suma de ángulos de un triángulo es 180º,
obtemos C=180º-(46º+52º)=82º
Aplicamos el teorema del seno:
C
b
A
h
c
a
B
c·senA 4'5·sen46 º
=
= 3'27km
senC
sen82 º
c·senB 4'5·sen52 º
b=
=
= 3'58km
senB
sen82º
a=
La altura la podemos hallar mediante el seno de A
sen 45º =
h
; h = b·sen 45º = 3'58·sen46 = 2'57km
b