Download Problemas de campo gravitatorio II

“sapere aude”
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Ronda de los Molinos, s/n. Écija.
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BOLETÍN II DE PROBLEMAS SOBRE CAMPO GRAVITATORIO
Segundo de bachillerato
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Calcular la energía mínima necesaria para enviar un vehículo espacial de 5 toneladas desde la Tierra hasta un lugar donde la gravedad sea despreciable. Si el viaje dura 20 días, ¿cuál deberá ser la potencia que han de desarrollar los motores? (Radio terrestre = 6,37 · 106 m; g0 = 9,8 NKg-­‐1) Disparamos un cohete desde la superficie terrestre con una rapidez inicial de 2 · 104 m/s. Calcular la velocidad del cohete cuando está fuera del campo gravitatorio terrestre (admitimos despreciable el rozamiento). (Radio terrestre = 6,37 · 106 m; g0 = 9,8 NKg-­‐1) Demostrar que la velocidad de escape y la velocidad orbital de un satélite en torno a un planeta están relacionados por la expresión Ve = 21/2 Vo Tres partículas de 1, 2 y 3 kg de masa están en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Hallar la energía potencial total del sistema. Los agujeros negros se denominan así porque su increíble densidad hace que si acción gravitatoria sea tan intensa que la luz tiene suficiente velocidad de escape para salir de él. A la distancia crítica en la que este hecho sucede (medida desde el centro del agujero negro) se la denomina “radio de Schwarzchild”. ¿Cuál sería ese radio para un agujero de 10 masas solares? (Masa del Sol = 2 · 1030 kg, velocidad de la luz, c = 3 · 108 m/s) Se desea poner en órbita un satélite de 50 kg que describa una órbita circular en el plano del ecuador, de radio doble de la Tierra. La Tierra puede suponerse aislada en el espacio y girando con un periodo de 86400 segundos y go = 9,8 m/s2. Calcular (a) energía mínima que hay que comunicarle al satélite; (b) energía adicional que habrá que comunicarle para una vez en órbita, enviarlo al infinito. (A) ¿A qué altura orbita un satélite geoestacionario?; (B) ¿Qué momento cinético respecto al centro de la Tierra tiene uno de estos satélites de 100 kg de masa?; (C) ¿Por qué no puede haber un satélite geoestacionario en la vertical de las isla Baleares? Un satélite artificial de 100 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra a 500 km de altura. Si su periodo de revolución es T1 = 5665 segundos, calcula: (a) velocidad del satélite en la órbita; (b) Energía cinética, potencial y total del satélite en esa órbita y la energía necesaria para transferir ese satélite a otra órbita de periodo T2 = 7200 segundos [Sol.: 7620 m/s, 0,43 · 109 J, aprox] Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura “ h ”sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar (usando los datos de otros problemas) (a) La velocidad del satélite; (b) Su energía mecánica. La Tierra y la Luna están separadas 3,8 · 108 m girando nuestro satélite en unos 27 días alrededor el planeta. (a) ¿Cuál es la masa de la Tierra?; (b) ¿Cuánta energía se necesita para separar, una distancia infinita, la Luna de la Tierra si la masa de la Luna es de 7,34 · 1022 kg? Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. A) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? B) Si cae a la Tierra, hacer un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razonar las respuestas. Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece. A) Poner un ejemplo real en que se observe este comportamiento; B) Describir la variación de la energía potencial y de la energía mecánica de la partícula durante ese movimiento. Un planeta esférico tiene una masa M y un radio R. Lanzamos verticalmente y hacia arriba, una partícula de masa m desde su superficie con una velocidad igual a tres cuartas partes de la velocidad de escape. Calcular (A) la distancia más lejana (medida desde el centro de ese planeta) que alcanza la partícula. (B) Ese planeta tiene un satélite natural de masa M’ orbitando a su alrededor a una distancia “d” (desde el centro del planeta). ¿Cuál será el periodo de revolución de este satélite? ¿Cómo se vería modificado el periodo de rotación del satélite alrededor del planeta si se modificara la masa del planeta? EXPLICACIÓN. (C) ¿Cuánto pesaría un satélite artificial que situáramos a una altura de 9700 km (desde el centro del planeta) si en su superficie pesa 5000 N? (DATO: suponer que la masa del planeta es de 4.1024 kg, y que su radio es de 6900 km) (D) ¿Qué trabajo habrá que efectuar para poner el satélite anterior, desde la superficie del planeta y a velocidad constante, en esa órbita? (Expresar los resultados de los apartados a y b en función de los datos ofrecidos y/o de las constantes Universales) El asteroide B612, sobre el que se encuentra el principito de la novela de Saint-­‐Exupéry, tiene un radio de 60 m y una densidad de 6000 kg/m3. El principito (m = 30 kg) desea abandonar el lugar y da un salto que le proporciona una rapidez inicial de 0,1 m/s. Determina A) Hasta qué altura subirá nuestro personaje y hasta qué altura subiría con ese mismo impulso en la Tierra; B) Determina el trabajo que realizará la fuerza ejercida por el asteroide para llevar una masa de 100 kg desde un lugar muy alejado hasta una distancia de 200 m de su centro. ¿Sería espontáneo ese proceso? EXPLICACIÓN.