Download Campo gravitatorio

Interacción gravitatoria
15
5. CAMPO GRAVITATORIO.
Desarrollamos la unidad de acuerdo con el siguiente hilo conductor:
1. ¿Cómo tienen lugar las interacciones a distancia? Concepto de campo de fuerzas.
1.1. Campo de fuerzas conservativo.
2. ¿Cómo describir el campo gravitatorio?
2.1. Perspectiva dinámica: fuerza e intensidad de campo.
2.2. Enfoque energético: energía potencial y potencial.
2.3. Relaciones fuerza-energía potencial e intensidad de campo-potencial.
3. Estudio de sistemas gravitatorios cerrados y abiertos. Aplicación al lanzamiento de satélites artificiales y
a los viajes espaciales.
APÉNDICE: El fenómeno de la ingravidez.
1. ¿CÓMO TIENEN LUGAR LAS INTERACCIONES A DISTANCIA? CONCEPTO DE CAMPO
DE FUERZAS.
Las interacciones entre masas distantes, como la que existe entre el Sol y la Tierra, quedan reguladas por la
ley de la gravitación universal de Newton. Pero estas fuerzas gravitatorias de acción a distancia, al igual que las de
tipo electrostático o magnético que estudiaremos en el bloque siguiente, siempre han chocado a los científicos,
incluido el propio Newton: ¿son distintas las interacciones entre cuerpos distantes y entre cuerpos “en contacto”?,
¿cómo tiene lugar la interacción entre cuerpos separados, a veces, millones de kilómetros, incluso a través del vacío
y de forma aparentemente instantánea?
Al analizar rigurosamente el término “contacto”, pronto se deduce que no hay diferencia entre la acción a
distancia y “por contacto” (como al empujar una mesa con la mano). El “contacto” responde a una sensación
fisiológica que deriva de nuestro sentido del tacto, pero ello no implica distancia nula entre los cuerpos (al empujar
la mesa, los electrones más externos de los átomos situados en la superficie de la mano y de la mesa no llegan a
estar en contacto; ello requeriría, según la ley de Coulomb, ejercer una fuerza infinita).
Por tanto, todas las interacciones que se producen entre cuerpos son a distancia. Para explicar cómo es
posible que un cuerpo pueda actuar allí donde no se encuentra, el inglés Michael Faraday (1791-1867) introdujo en
1831 el concepto de campo:
Decimos que en una región del espacio existe un campo creado por una magnitud física si es posible
asignar en cada instante un valor a dicha magnitud para todos los puntos de dicha región.
La magnitud que caracteriza el campo:
- depende de la posición y del tiempo; si no depende del tiempo, el
campo se denomina estacionario.
- puede ser escalar (campo de temperaturas, de presiones,...) y/o
vectorial (campo de velocidades, de fuerzas,...).
- puede variar de un punto a otro o permanecer constante en todos
los puntos (campo uniforme).
Un campo escalar se puede representar gráficamente
mediante superficies isoescalares: cada una de ellas es el lugar
Figura 1
geométrico de aquellos puntos del espacio en los que la magnitud
escalar que define el campo toma el mismo valor. Así, las líneas isobaras de un mapa del tiempo ( figura 1)
representan los puntos del espacio, a cierta altura sobre el nivel del mar, donde coincide el valor de la presión
atmosférica.
Un campo vectorial se puede representar mediante líneas de campo (figura 2), líneas tangentes en cada
punto a la magnitud vectorial que define el campo. La densidad de líneas dibujadas (número de líneas por unidad
de área) es proporcional a la intensidad de la magnitud que define el campo; ello implica que las líneas de campo
son rectas paralelas si el campo es uniforme.
En las primeras ideas sobre la teoría del campo, la interacción a distancia se transmite a través del medio.
El no reconocer la existencia del vacío, llevó a postular la existencia del “eter”, un medio a veces indetectable, con
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
16
propiedades muy especiales (la idea del “eter” no desaparece hasta 1887, fecha en la que Michelson y Morley
comprobaron experimentalmente su inexistencia con medidas de interferencia de dos haces de luz).
De un punto del campo del que salen más líneas que llegan se dice que es una fuente; por contra, si llegan más líneas de las que salen, es un sumidero.
El campo gravitatorio sólo consta de
sumideros; las líneas de fuerza son abiertas.
El campo eléctrico puede constar de fuentes
(cargas positivas) y sumideros (cargas negativas);
las líneas de fuerza son abiertas.
Figura 2
El campo magnético no consta de fuentes ni
sumideros; las líneas de campo son cerradas.
Además, ¿son las interacciones instantáneas? (una respuesta afirmativa implicaría que se transmiten a una
velocidad infinita). En el siglo XX, Albert Einstein (1879-1955) propone que las partículas deforman el mundo
tetradimensional del espacio-tiempo
de su alrededor (figura 3), generando
una perturbación que se propaga a
una ve-locidad enorme, pero finita, la
veloci-dad de la luz (300.000 km/s en
Figura 3
el vacío).
1.1. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVO.
Durante este curso vamos es estudiar tres campos vectoriales: el campo gravitatorio (creado por la masa), y
el campo eléctrico o electrostático (creado por la carga eléctrica, en reposo y en movimiento) y el campo magnético
(creado por la carga eléctrica en movimiento). Son tres campos de fuerzas estacionarios, pues a cada punto del
espacio se le puede asignar un valor de la fuerza independiente del tiempo.
Los campos de fuerzas pueden ser conservativos o no, dependiendo de la naturaleza de las fuerzas que
actúan en él.
Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo1 que realizan las fuerzas del campo al desplazar
un cuerpo desde una posición inicial a otra posición final se recupera íntegramente en forma de energía cinética
(producida en el cuerpo por la fuerza del campo) cuando el cuerpo vuelve desde la posición final alcanzada a la
posición inicial original.
Las fuerzas elástica o restauradora, gravitatoria y electrostática son fuerzas centrales conservativas y dan
lugar a campos conservativos.
La definición dada de campo conservativo tiene implicaciones más concretas:
- Si consideramos que el trabajo realizado en contra de las fuerzas conservativas del campo se acumula en forma de
una energía llamada potencial (Ep), podemos afirmar: WF cons. = - ΔEp (ley de la energía potencial); o sea, las
fuerzas conservativas producen una disminución de la energía potencial del cuerpo que equivale, en ausencia de
fuerzas disipativas, al aumento de la energía cinética del cuerpo que producen esas mismas fuerzas
conservativas. Si llamamos energía mecánica a la suma de la energía cinética y la energía potencial de un
cuerpo, en un campo de fuerzas conservativo podemos afirmar que la energía mecánica
se conserva: -ΔEp=ΔEc; ΔEc+ΔEc=0; Ec+Ep=Em=constante (principio de conservación
de la energía mecánica, en ausencia de fuerzas disipativas).
- El trabajo total realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria

cerrada es siempre nulo: Wtray._cerrada   Fcons ·dr  0 J . Es de fácil comprobación:
WA→B = - ΔEpA→B=ΔEcA→B; WB→A = - ΔEpB→B=ΔEpA→B= ΔEcB→A = - ΔEcA→B; WA→B→A = 0 J
- El trabajo realizado por las fuerzas conservativas sobre un cuerpo desde una posición
inicial a otra posición final es independiente del camino por el cual se desplace el
cuerpo. Es de fácil comprobación (figura 4): WA→B (c1)+ WB→A(c2) = 0 J; WA→B (c1)= - WB→A(c2) ;
pero:
- WB→A(c2) = WA→B(c2) ; luego: WA→B (c1) = WA→B(c2) .
1
En un campo de fuerzas conservativo, el trabajo realizado para ir de A a B por el
camino c1 o por el camino
c2 coincide.
Figura 4


Cuando una fuerza del campo F contribuye al desplazamiento r de un cuerpo se dice que tal fuerza realiza trabajo, una magnitud escalar cuyo
 

valor viene dado por el producto escalar: W  F ·r  F ·r·cos  . En el caso de que la fuerza F sea variable de un punto a otro del campo,
 
debemos recurrir al cálculo integral: W  F ·r . La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el julio (J).

© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
17
Queda claro que cuando alguna de las implicaciones anteriores no se cumple, el campo es no conservativo
o disipativo (la fuerza de rozamiento o la fuerza magnética son ejemplos de fuerzas que dan lugar a campos no
conservativos). Un campo de fuerzas no conservativo no lleva asociado un campo escalar de energías potenciales.
2. ¿CÓMO DESCRIBIR EL CAMPO GRAVITATORIO?
Se considera que una masa M modifica de algún modo el espacio. A este espacio perturbado por la masa se
llama campo gravitatorio, y se considera que actúa sobre cualquier otra masa m ejerciendo la fuerza de atracción
gravitatoria sobre ella, según establece la ley de la gravitación universal:

F
= G
M m 
ur .
r2
2.1. PERSPECTIVA DINÁMICA: FUERZA E INTENSIDAD DE CAMPO.
La fuerza gravitatoria no sirve para caracterizar el campo, pues su valor en un punto depende de la masa m
colocada en el mismo. Se define por ello el vector intensidad de campo gravitatorio (o simplemente, campo
gravitatorio) (figura 5):
La intensidad de campo gravitatorio creado por una masa M en un punto representa la fuerza que
actuaría
sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Matemáticamente:

M 
 F
g   - G· 2 .u r
m
r
(unidad SI: N/kg o m/s2).
De este modo, cada punto del espacio queda caracterizado por un valor de

g , independiente de la masa m que se coloque en el punto, dependiente sólo de El sentido del vector campo gravifactores propios del campo (la masa M que lo crea y la distancia r al punto tatorio es hacia el cuerpo que crea el
considerado). La intensidad de campo gravitatorio representa la aceleración que campo.
Figura 5
adquiriría un cuerpo situado en un punto del campo (la conocida gravedad). Al


colocar en los alrededores de M una masa m, la fuerza que aparece sobre ella es F  m · g .
Dado el carácter vectorial del campo, se cumple el principio de superposición: el campo gravitatorio
creado en un punto por varias masas nes la composición vectorial de los campos individuales generados en ese punto


por cada una de ellas, es decir, g   gi .
i 1
A.1. Resuelve las siguientes actividades (cuando lo precises, toma G = 6,67·10-11 Nm2kg-2 ):
A.1.1. Razona dónde pesa más un cuerpo: en la Tierra, en la Luna o en el Sol. ¿Qué masa habría que colocar en la Luna o en el Sol para
que pesase lo mismo que 1 kg en la Tierra?
(Datos: MT = 5,97·1024 kg; RT = 6,37·106 m; ML = 7,35·1022 kg; RL = 1,74·106 m; MS = 1,99·1030 kg; RS = 6,96·108 m).
A.1.2. Conocidos los valores de g en la superficie de la Tierra, de la constante de
gravitación universal G y del radio medio de la Tierra RT, ¿cómo determinar el valor
de la densidad de la Tierra?
El valor obtenido es casi el doble de la densidad de la mayoría de las rocas
encontradas en los primeros metros de la corteza terrestre. ¿Qué podemos
concluir acerca del interior de la Tierra?
A.1.3. Suponiendo que un planeta es una esfera perfecta y homogénea de radio R, determina una expresión para calcular la gravedad a
cualquier altura (gh) y a cualquier profundidad (gp) respecto a la superficie, en función de la gravedad en dicha superficie (go). ¿Cuál de las
gráficas dadas representa mejor la variación de g con la distancia (x) al centro del planeta? Aplica las expresiones obtenidas:
a) Determina tu peso en la superficie de la Tierra, en la cima del monte Everest, a 8,9 km sobre el nivel del mar, y en una mina subterránea,
a 1,5 km de profundidad. ¿Qué marca una balanza y un dinamómetro en las situaciones planteadas?
b) ¿A qué altura pesas la mitad que en la superficie terrestre?
c) ¿A qué profundidad pesas la mitad que en la superficie terrestre, suponiendo que la Tierra es homogénea?
(Datos: MT = 5,97·1024 kg; RT = 6,37·106 m).
A.1.4. Un astronauta llega a Marte y observa que su peso (con todo el equipo) es de 450 N, mientras que en la Tierra es de 1.200 N.
a) ¿Cuál es la masa y la densidad de Marte? Si la densidad fuese tres veces mayor, ¿cuál debería ser el radio marciano para que su
gravedad no variara? b) ¿A qué altura el valor de g disminuye un 10% de su valor en la superficie marciana? c) Si un péndulo tiene en la
Tierra un período de 2 s, ¿qué período observará el astronauta en Marte?
(Datos: MT = 5,97·1024 kg; RT = 6,37·106 m; RM = 3,33·106 m).
A.1.5. El valor del campo gravitatorio (gravedad) no sólo varía con la distancia al centro de la Tierra, también varía en superficie, en función
de la latitud (observa la tabla). ¿Cómo podemos determinar la gravedad terrestre en la superficie?
¿A qué puede ser debida la variación de la
Polo Norte
Alaska
Greenwich
Paris
Washington
Florida
Panamá Ecuador
Localidad
gravedad con la latitud? ¿Influye de algún
Latitud
90º 0´ 61º10´ 51º29´ 48º50´ 38º53´ 24º34´ 8º55´
0º0´
modo la rotación terrestre? (Datos: RT polar = Gravedad (m/s2) 9,8321 9,8218 9,8119 9,8094 9,8011 9,7897 9,7882 9,7799
6364 km; RT ecuatorial = 6378 km).
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
18
A.1.6. Halla la velocidad con la que debería girar la Tierra y su nuevo período de rotación, para que el peso aparente de una persona situada
en el Ecuador: a) se reduzca a la mitad; b) esté en situación de ingravidez. (Datos: MT = 5,97·1024 kg; RT ecuatorial = 6378 km).
A.1.7. Se colocan tres masas en las esquinas de un rectángulo (ver figura). Determina la intensidad de campo gravitatorio en el punto O,
vectorial y escalarmente.
A.1.8. Si por alguna causa interna, la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa: a) ¿cuál sería la intensidad de la gravedad
en la nueva superficie?; b) ¿se modificaría substancialmente su órbita alrededor del Sol?; c) ¿cuál sería la nueva duración, en horas, del
día?
A.1.9. Explica cómo sería el movimiento de una pelota que se dejase caer desde la superficie de la Tierra a través de un túnel que la
atravesara diametralmente: a) despreciando toda clase de rozamientos; b) considerando el rozamiento con el aire.
¿Y si el túnel es recto pero no pasa por el centro de la Tierra?
A.1.10. Determina la diferencia entre la intensidad del campo gravitatorio: a) creado por la Luna en
caras opuestas de la Tierra; b) creado por el Sol en caras opuestas de la Tierra. Compara los
resultados y justifica en base a ellos la mayor influencia que la Luna ejerce en las mareas oceánicas.
(Datos: G=6,67·10-11 Nm2kg-2; MT = 5,97·1024 kg; RT = 6,37·106 m; ML = 7,35·1022 kg; rT-L = 3,84·108 m;
MS = 1,99·1030 kg; rS-T = 1,50·1011 m).
2.2. ENFOQUE ENERGÉTICO: ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL.
La fuerza gravitatoria es una fuerza central conservativa. Ello implica que
Figura 6
para el campo gravitatorio puede definirse una magnitud escalar que sólo depende
de la posición, llamada energía potencial gravitatoria, tal que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para
trasladar una masa m de un punto A a otro B del campo creado por otra masa M (figura 6) es igual a la diferencia de
valores que toma dicha función escalar entre dichos puntos (ley de la energía potencial): WAB = - ΔEp = - (EpB - EpA
) = - EpB + EpA
Como el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es independiente del camino seguido; consideramos,
por
comodidad,
la
trayectoria
A-P-B,
con
lo
que:
WAB=WAP+WPB
P
=WAP=
P
  P
Mm
Mm
, donde se tiene en cuenta los ángulos entre los vectores
F  dr =  G Mm  dr = G Mm  = G
G
A r 2
r
rA
r


B
A
A

fuerza y desplazamiento en cada tramo (180º en el tramo A→ P y 90º en el tramo P→ B) y
que rP es igual a rB. Se deduce que: G Mm  G Mm   E pB  E pA , luego:
rB
rA
La energía potencial gravitatoria de una masa m colocada a una distancia r de la
masa M creadora del campo gravitatorio es igual a: E p  G Mm (unidad SI: Julios (J) ).
r
Observa que la energía potencial gravitatoria en el infinito es igual a cero. Esto
significa que las masas infinitamente alejadas no interaccionan entre sí, están desligadas,
constituyen un sistema libre; en cualquier otra situación, las masas constituyen un sistema
Figura 7
ligado y la energía potencial asociada a ellas es negativa (figura 7).
Durante una transformación espontánea, por ejemplo, acercar dos masas, la fuerza gravitatoria realiza un
trabajo de signo positivo y disminuye la energía potencial asociada al sistema de masas: WAB > 0 J  rB <rA  EpB
<EpA  ΔEp < 0 J. Por el contrario, en un proceso no espontáneo, como al separar dos masas, la fuerza gravitatoria
realiza un trabajo de signo negativo y aumenta la energía potencial asociada al sistema de masas: WAB < 0 J  rB
>rA  EpB >EpA  ΔEp > 0 J.
Para un sistema de más de dos masas, la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las
energías potenciales de todos los pares distintos de masas que se pueden formar. Así, por ejemplo, para un sistema
de tres masas: Ep = Ep12 + Ep13+ Ep23.
A.2.1. Demuestra la validez de la expresión mgh, para calcular la variación de la energía potencial gravitatoria en las proximidades de la
superficie terrestre.
A.2.2. Dos partículas de masas 2 kg y 0,5 kg, inicialmente distanciadas 10 m, se separan hasta una distancia de 20 m. Calcula la energía
potencial asociada a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado en el proceso de separación.
A.2.3. En los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado hay tres masas de 100 kg, 200 kg y 300 kg. Calcula la energía potencial
gravitatoria del sistema.
A.2.4. Si el cero de energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la
energía potencial de ese cuerpo cuando se encuentra a una distancia infinita de la Tierra? Razona tu respuesta.
La energía potencial, por la misma razón que la fuerza, no sirve para caracterizar el campo,
por lo que se define el potencial gravitatorio:
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
19
El potencial gravitatorio a una distancia r de la masa M creadora del campo es igual a la energía
potencial gravitatoria de la unidad de masa colocada a dicha distancia: V  E p  G· M (unidad SI: J/kg).
m
r
Por consiguiente: Ep = m·V ; y WAB = - ΔEp = m·(-V) = - m·(VB -VA ) = m·(VA -VB ).
A.3. Resuelve las siguientes actividades:
A.3.1. Una partícula de 1 kg de masa está situada en el origen O de un sistema de referencia y otra partícula de 2 kg está colocada en el
punto A (8,0). Calcula: a) La intensidad de campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en los puntos B (4,0) y C (4,3). b) La fuerza que
actúa sobre una masa de 5 kg situada en B y en C. c) El trabajo que se realiza al transportar la masa de 5 kg desde el punto B al punto C.
A.3.2. En una noticia de prensa se lee: “Los astronautas, en su viaje espacial a la Luna, han salido del campo gravitatorio terrestre”. Razona
si es totalmente correcta esta expresión.
Considerando a la Tierra y a la Luna aisladas de toda influencia exterior, analiza como varía el campo y el potencial gravitatorio a lo largo
de la línea que une los centros de masas de los dos astros.
¿En qué punto entre la Tierra y la Luna tendría que situarse un trasbordador de la NASA de 2 toneladas de masa para que fuese
igualmente atraído por los dos astros? ¿Cuál es el potencial gravitatorio en dicho punto? ¿Qué trabajo hay que realizar para trasladar el
trasbordador hasta dicho punto desde la superficie terrestre?
(Datos: MT = 5,97·1024 kg; RT = 6,37·106 m; ML = 7,35·1022 kg; rT-L = 3,84·108 m).
A.3.3. A 300 km de la superficie de la Tierra tenemos un satélite de 1,5 toneladas. Calcula: a) La intensidad de campo y el potencial
gravitatorio a dicha altura. b) El trabajo necesario para alejarlo 100 m. c) El trabajo necesario para devolverlo a la posición de partida.
(Datos: RT = 6,37·106 m).
A.3.4. La órbita de Venus en su recorrido alrededor del Sol es prácticamente circular. Calcula el trabajo producido por la fuerza de atracción
gravitatoria hacia el Sol a lo largo de media órbita. Si esa órbita, en lugar de ser circular, fuese elíptica, ¿cómo sería el trabajo de esa fuerza
en su recorrido del afelio al perihelio? ¿Y del perihelio al afelio? ¿Y a lo largo de una órbita completa?
2.3. RELACIONES FUERZA-ENERGÍA POTENCIAL E INTENSIDAD DE CAMPO-POTENCIAL.
A la vista de las expresiones de las magnitudes vectoriales fuerza gravitatoria y campo, y de las escalares
energía potencial y potencial gravitatorio, se deduce la siguiente relación entre ellas:
 
B 
 

E p

 E p  W A B   F r ; o también: E p   F  r ; -   F ; E p    F ·r

V 
E p
m

 W A B
m
r

B
 
 
F 
 
V

   ·r    g ·r ; o también: V  - g  r ; -   g ; V   g ·r
r
m
A
A
A
B

De estas relaciones se deduce que:

- El vector g (y por tanto, las líneas de campo que lo
representan, aquí equivalentes a las líneas de fuerza)
tiene el sentido de los potenciales decrecientes y
siempre es perpendicular a las superficies
equipotenciales (se demuestra fácilmente al trasladar

una masa un espacio infinitesimal, dr , por una
superficie equipotencial, dV=0; entonces - g  dr  0 ,


lo que implica que g y dr son perpendiculares, Conforme nos alejamos del cuerpo, el campo gravitatorio es más débil y las líneas

fuerza están más dispersas.
luego g es normal a las superficies de nivel) (figura deLas
superficies equipotenciales del campo gravitatorio creado por una masa son
esferas concéntricas centradas en ella, y perpendiculares en todo punto a las
8).
líneas de campo. Al ser varias las masas, las superficies dejan de ser esféricas,
- Las superficies equipotenciales no se pueden cortar; aunque seguirán siendo perpendiculares en todo punto a las líneas de fuerza.
Figura 8
si lo hicieran, en el punto de corte habría dos

vectores g , cada uno perpendicular a cada una de las superficies, lo que va en contra de la definición de campo.
A.4. Resuelve las siguientes actividades:

A.4.1. Un campo gravitatorio está dado por: g  300 i N/kg. Determina: a) Si es conservativo o no; b) la diferencia de potencial entre los
puntos x=2 y x=-3.
A.4.2. Tres masas de 1 kg se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Determina: a) La intensidad de campo y
el potencial gravitatorio en el baricentro del triángulo (punto O) y en el punto medio del lado que hace de base (punto P). b) El trabajo
realizado por las fuerzas del campo al trasladar una masa de 0,1 kg del punto P al punto O.
A.4.3. Un imaginario planeta tiene 1000 km de radio y 2,5 m/s2 de valor de intensidad de campo gravitatorio en su superficie. Calcula: a) La
energía potencial de un cuerpo de 100 kg situado en su superficie. b) La nueva energía potencial si el cuerpo asciende 10 km por encima de
la superficie. c) El trabajo realizado por las fuerzas del campo en el desplazamiento anterior.
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
20
3. ESTUDIO DE SISTEMAS GRAVITATORIOS CERRADOS Y ABIERTOS. APLICACIÓN AL
LANZAMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES Y A LA NAVEGACIÓN ESPACIAL.
En un sistema gravitatorio cerrado o aislado, es decir, en un sistema en el que las únicas fuerzas presentes
son las debidas a la interacción gravitatoria entre sus constituyentes, se satisface que la suma de la energía cinética
y la energía potencial gravitatoria permanece constante (ley de conservación de la energía mecánica en ausencia
de fuerzas disipativas). Así, para una masa que se traslada desde una posición A hasta una posición B dentro de un
1
campo gravitatorio se debe cumplir: EmA = EmB  (Ep+Ec)A =(Ep+Ec)B ,donde E c  m· v2 y E p  G· M ·m .
2
r
La energía cinética siempre es positiva; su menor valor posible, el cero, corresponde a un cuerpo en reposo.
La energía potencial gravitatoria siempre es negativa; su máximo valor posible, el cero, corresponde a una
separación infinita entre los constituyentes del sistema. Teniendo en cuenta esto, si la energía mecánica es negativa
significa que el cuerpo de menos masa orbita en torno al objeto de más masa, ya que sólo podrá separarse de él
hasta una cierta distancia; se trata de un sistema gravitatorio ligado. Por el contrario, cuando la energía mecánica es
nula o positiva, los cuerpos pueden llegar a estar separados una distancia infinita; se trata de un sistema gravitatorio
libre.
Un sistema gravitatorio modifica su energía mecánica cuando sobre alguno de sus constituyentes actúa una
interacción no gravitatoria. El trabajo exterior que realizan las fuerzas no gravitatorias se identifica con la energía
necesaria para realizar una determinada transformación (levantar un objeto, poner un satélite en órbita,…):
WF _ no _ grav .  Em (ley de conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas).
A.5. Resuelve las siguientes actividades:
A.5.1. Un meteorito de 2 toneladas de masa se mueve a una velocidad de 360 km/h a una distancia sobre la superficie de la Tierra de cinco
veces el radio terrestre (RT = 6371 km). Determina: a) El valor de la energía mecánica asociada al meteorito en esa posición y justifica su
signo. b) La velocidad con que impactará contra la superficie terrestre, prescindiendo de la fricción con el aire. ¿Dependerá esa velocidad de
la trayectoria seguida por el meteorito en su caída?
A.5.2. En la superficie terrestre tenemos una nave espacial de 1,5 toneladas de masa, preparada para su lanzamiento. Determina su energía
mecánica y justifica su signo: a) cuando se encuentra estacionada en la base de lanzamiento; b) cuando se lanza verticalmente con una
velocidad inicial de 6 km/s; c) cuando se lanza verticalmente con una velocidad inicial de 12 km/s.
Determina qué altura alcanza la nave sobre la superficie terrestre en los casos b) y c) si se prescinde del rozamiento con el aire.
¿Depende el resultado de la masa de la nave? (Dato: RT = 6,37·106 m).
LANZAMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES
Una de las aplicaciones más importantes del campo gravitatorio se inició en 1957 cuando los soviéticos pusieron en
órbita el satélite artificial Sputnik (en ruso significa “compañero de viaje”). El proceso siguió en 1961 cuando Yuri Gagarin
permaneció durante 1h 40 min en órbita alrededor de la Tierra. Después tuvo lugar el primer paseo espacial de Alexéi Leonov
en 1965, la llegada de Armstrong y Aldrin a la Luna el 20 de julio de 1969, el primer vuelo del trasbordador espacial en 1981,
la puesta en órbita de la estación espacial soviética Mir en 1986, o del primer módulo de la futura estación espacial
internacional (ISS) en 1998,..., acontecimientos que han permitido denominar este tiempo como era espacial.
Hoy son miles los satélites en órbita alrededor de la Tierra (sin olvidar los restos de cohetes, fragmentos de satélites,
etc.) con distintas y múltiples funciones que cumplir: desarrollar las telecomunicaciones, obtener información meteorológica,
militar, adquirir nuevos conocimientos científicos, tanto sobre la Tierra (temperaturas superficiales, capa de ozono, vegetación,
desertización, etc.) como sobre el espacio exterior (existencia de otras galaxias, agujeros negros, estrellas de neutrones, etc.).
El proceso de puesta en órbita de un satélite artificial consta de varias etapas. En primer lugar se lanza desde una base
cercana al ecuador terrestre y hacia el este para aprovechar el movimiento de rotación de la Tierra. A continuación, y por ahorro
energético, el satélite se sitúa en una órbita muy excéntrica, con su perigeo en torno a los 300 km de la superficie de la Tierra.
Cuando el satélite pasa por su apogeo, punto más alejado de la órbita, se aumenta su
velocidad hasta situarlo en la órbita definitiva.
Otra forma de colocar un satélite en órbita es mediante un trasbordador
espacial tripulado, que realizará otras misiones de investigación. Cuando se alcanza
la órbita prevista, se le comunica al satélite la velocidad tangencial adecuada para que
continúe su trayectoria.
Nos podemos encontrar satélites geosíncronos o geoestacionarios y satélites
heliosíncronos (figura 9):
Figura 9
- Los satélites geoestacionarios describen órbitas circulares en el plano ecuatorial con un período de 24 horas, por lo que se
encuentran siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Estas condiciones implican una elevada altitud para la
órbita (35.900 km sobre la superficie terrestre), lo que hace que no puedan obtener imágenes de alta resolución de la Tierra;
por eso se usan fundamentalmente para aplicaciones meteorológicas, de comunicaciones y de investigación del espacio
exterior (satélites METEOSAT, GOES, GMS, …).
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
21
- Los satélites heliosíncronos describen órbitas cuasipolares aprovechando la no esfericidad del campo gravitatorio terrestre.
Las órbitas heliosíncronas mantienen constante el ángulo que forma el plano de la órbita y la dirección Sol-Tierra, lo que
facilita el diseño del satélite (orientación de las placas solares y de los aislantes térmicos) y, lo que es más importante, el
satélite pasa siempre sobre la misma zona a la misma hora local, lo que facilita enormemente la comparación de medidas
tomadas en distintas pasadas. Los satélites de exploración terrestre recorren órbitas heliosíncronas a alturas entre 300 km y
1.200 km (frecuentemente en torno a los 850 km) (satélites LANDSAT, SPOT, NOAA, ERS, ENVISAT, IKONOS,
QUICKBIRD, GALILEO, …).
Teniendo en cuenta los conocimientos adquiridos, abordamos los problemas físicos que se plantean al lanzar y
mantener en órbita los cohetes y satélites artificiales.
A.6. Poner en órbita un satélite artificial requiere un consumo de energía que puede contabilizarse teniendo en cuenta la
energía necesaria para colocarle a la altura deseada, más la energía que hay que comunicarle para que adquiera la velocidad
orbital. En una situación real, a esto hay que sumarle la energía necesaria para vencer la resistencia del aire. Despreciando
dicha resistencia del aire:
A.6.1. Determina la velocidad de lanzamiento o despegue (vL) de un satélite o cohete para desplazarlo desde la superficie de un planeta de
radio R hasta una altura h sobre dicha superficie: a) suponiendo que h y R son de la misma magnitud; b) suponiendo que h es mucho menor
que R.
A.6.2. Una vez situado un satélite a una altura h sobre la superficie de un planeta de radio R, para colocarlo en órbita debe adquirir la
velocidad orbital (vo) Determina:
a) La velocidad orbital de un satélite que describe una trayectoria circular (voc) de radio r (r = R+ h).
b) La energía mecánica (Em) asociada a dicho satélite en órbita circular, y justifica su signo. ¿Qué relación existe entre la energía cinética
(Ec) y la energía potencial gravitatoria (Ep) del satélite en la órbita circular? ¿Y entre la Em y la Ec? ¿Y entre la Em y Ep?
c) La energía necesaria para poner dicho satélite en la órbita circular, y justifica su signo.
d) La energía necesaria para cambiar dicho satélite de órbita circular, desde una de radio r1 hasta otra de radio r2 (justifica su signo según
r1<r2 o r1>r2).
A.6.3. A la velocidad con la que se lanza un satélite o cohete desde la posición en la que se encuentra (generalmente es la superficie de un
planeta de radio R) para que se desligue del campo gravitatorio en el que se halla inmerso se llama velocidad de escape (ve). Determina:
a) La energía mecánica mínima asociada a un satélite o cohete que se desliga del campo gravitatorio de un astro, y justifica su signo.
b) La velocidad de escape de un astro para un satélite en órbita circular a una distancia r. ¿Depende la velocidad de escape de la masa del
cuerpo lanzado? ¿Depende de la dirección del lanzamiento?
c) La velocidad de escape para cualquier cuerpo situado en la superficie terrestre (RT = 6,37·106 m) o a una altura sobre la superficie igual al
radio terrestre.
d) La velocidad de escape para cualquier cuerpo situado en la superficie marciana (RM =0,53·RT; MM =0,107·MT; RT = 6,37·106 m).
e) Si un satélite o cohete en órbita adquiere la velocidad de escape necesaria, ¿qué tipo de trayectoria curva describe?
A.6.4. Para velocidades orbitales distintas a la de una órbita circular o a la de una órbita parabólica de escape, un cuerpo (satélite, astro,...)
puede describir otras trayectorias (elipses, hipérbolas). Analiza detalladamente las situaciones que se plantean dependiendo del valor de la
velocidad orbital y recoge tus conclusiones en una tabla como la siguiente:
Velocidad orbital
Tipo de órbita descrita por el cuerpo
Energía del objeto en la órbita
A.6.5. Explica cómo varía la energía cinética y la energía potencial de un satélite que describe: a)
una órbita circular; b) una órbita elíptica.
A.7. Resuelve las siguientes actividades:
A.7.1. Razona las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es la influencia de la resistencia del aire sobre la velocidad de escape cerca de dicha
superficie terrestre?
b) Si aumenta el radio de la Tierra, manteniendo constante su masa, ¿cómo varía la velocidad de
escape?
c) Localiza en la tabla 1 de la unidad anterior (página 5) las velocidades de escape de la Tierra y de la Luna. ¿Qué relación encuentras entre
estos valores y el hecho comprobado de que en la Tierra exista atmósfera y en la Luna sea prácticamente inexistente?
d) Las bases de lanzamiento de cohetes para la puesta en órbita de satélites u otras misiones espaciales están próximas al Ecuador. ¿Por
qué?
A.7.2. Un agujero negro es una concentración tan grande de masa que no deja escapar de su atracción ni siquiera a la luz. Es decir, su
velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz, 300.000 km/s. Calcula a qué tamaño debería colapsar la Tierra para que se convirtiera
en un agujero negro. (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.3. El satélite geoestacionario METEOSAT, de 5 toneladas de masa, forma parte de una red global de satélites desarrollados por la
Agencia Espacial Europea que, en conjunto, pueden observar el globo terrestre casi en su totalidad, para proporcionar, entre otras muchas
cosas, información meteorológica. Determina la velocidad orbital, la altura a la que orbita sobre la superficie terrestre y la energía del satélite
METEOSAT. (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.4. El satélite heliosíncrono MINISAT01, desarrollado por la Agencia Espacial Europea, está dedicado a la investigación científica
(observación del espacio exterior, estudio del comportamiento de fluidos en condiciones de gravedad reducida,...). Orbita a 600 km sobre la
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
22
superficie terrestre e inclinado 28,5º en relación a la línea del ecuador. ¿Cuál es su velocidad orbital? ¿Cuántas veces al día pasa por la
misma zona de la Tierra? (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.5. Un satélite artificial de 3 toneladas de masa circunda la Tierra siguiendo una órbita circular de 8.000 km de radio. Suponiendo
despreciables los rozamientos, se pide: a) Velocidad de lanzamiento del satélite desde la superficie de la Tierra para alcanzar la órbita. b)
Velocidad de giro y período de revolución. c) Trabajo realizado (o energía comunicada) para colocar el satélite en órbita. d) Energía
mecánica total del satélite en órbita. e) Energía que habría que suministrar al satélite para que escape de la atracción gravitatoria terrestre
desde la superficie de la Tierra. f) Energía que habría que suministrar al satélite para que escape de la atracción gravitatoria terrestre desde
su órbita. (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.6. Un cohete de 1.000 kg de masa es lanzado desde la superficie terrestre y llega hasta una distancia de 10.000 km (medida desde el
centro de la Tierra) con una velocidad residual de 7 km/s. ¿Qué energía se le ha aplicado al cohete en la superficie terrestre? ¿A qué
distancia máxima llegará hasta pararse?. (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.7. Se proyecta desde la superficie terrestre un satélite con una velocidad doble de la de escape. Cuando esté muy lejos de la Tierra,
¿cuál será su velocidad? (Desprecia la resistencia del aire). (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.8. Un astronauta de 75 kg gira en un satélite artificial cuya órbita dista RT m de la superficie de la Tierra. Calcula: a) El valor de la
intensidad del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) en la órbita. b) El período de dicho satélite. c) El peso del astronauta: c1)
respecto a la Tierra; c2) respecto al satélite. (Dato: RT = 6,37·106 m).
A.7.9. Dos satélites artificiales de masa m y 2m describen órbitas circulares del mismo radio, r = 2RT. Calcula: a) La diferencia de las
energías mecánicas de ambos satélites. b) ¿Qué satélite tendrá una mayor velocidad de escape?.
A.7.10. Se quiere poner un satélite artificial de 2 toneladas de masa en una órbita de radio r = 5RT_ec/3, lanzándolo desde un punto del
ecuador terrestre. Calcula: a) La velocidad de lanzamiento. b) La velocidad de giro y el período del satélite. c) La energía total del satélite. d)
El trabajo requerido para colocarlo en órbita: d1) sin tener en cuenta la rotación terrestre; d2) teniendo en cuenta la rotación terrestre. e) La
energía requerida para colocar el satélite en una nueva órbita de radio r´ = 2RT_ec. (Dato: RT_ec = 6378 km).
VIAJES ESPACIALES
Viajes a la Luna.
Newton menciona en 1687 la posibilidad teórica de establecer un satélite artificial de la Tierra, semejante a su satélite
natural, la Luna. A finales del siglo XIX varios relatos imaginan un posible viaje espacial a la Luna; destacan “Viaje a la Luna”
de Alejandro Dumas y “De la Tierra a la Luna” de Julio Verne. El 20 de julio de 1969 el sueño se hace realidad: el astronauta
Neil Armstrong se convierte en el primer hombre que pisa la Luna; cuatro días antes, el cohete Saturno V despegaba del Centro
Espacial Kennedy llevando consigo la nave Apolo XI tripulada por Neil Armstrong, Buzz Aldrin y Michael Collins.
Los períodos de lanzamiento de las naves con destino a la Luna están condicionadas por varios factores, lo que hace
que cada mes haya solamente un período de seis días con ventana de lanzamiento adecuada para lanzar un cohete a la Luna.
Para determinar la trayectoria más adecuada de la Tierra a la Luna los cálculos son enormes y complejos, pero posibles, prueba
de ello es el éxito del viaje, espectacular comprobación de la validez de las leyes de la mecánica newtoniana.
A grandes rasgos y desde el punto de vista de la mecánica newtoniana, un viaje espacial a la Luna se puede
esquematizar de la siguiente forma (figura 10):
- En primer lugar, el cohete acelera verticalmente desde la superficie de la Tierra. En este proceso, la aceleración no es
constante, ya que la nave pierde masa a medida que se quema el combustible. La fuerza de la gravedad debida a la Tierra
disminuye según se aleja, y el rozamiento de la
atmósfera depende de la velocidad de la nave.
- A continuación el cohete sigue acelerando en una
trayectoria curvilínea hasta incorporarse a la órbita
alrededor de la Tierra.
- Cuando está en dicha órbita, los motores paran y la
velocidad permanece constante.
Figura 10
- Para salir de la órbita terrestre se conectan de nuevo los
cohetes, con lo que la nave acelera hasta conseguir la velocidad que le permita rebasar el punto en el que el campo
gravitatorio de la Tierra y de la Luna se anulan.
- Durante la caída hacia la Luna, los motores sólo se utilizan para enderezar o modificar las trayectorias.
- Una vez en las proximidades de la Luna, los motores se vuelven a conectar con objeto de adaptar la velocidad de la nave a la
de la órbita prefijada.
- Alcanzada la órbita, los motores se paran. Mientras que la nave órbita alrededor de la Luna, su velocidad permanece constante.
- El modulo de excursión se separa, sus motores se encienden para reducir la velocidad y que pueda caer. El módulo acelera en
sentido descendente debido a la fuerza de gravedad con la que actúa la Luna.
- Muy cerca de la superficie, los motores del modulo se encienden de nuevo para frenar la caída. Hemos aterrizado en la Luna.
- El proceso de vuelta a la Tierra sigue pasos análogos a los descritos para la ida.
Viajes interplanetarios.
Para determinar la trayectoria de sondas interplanetarias se hace uso de la asistencia gravitacional, empujón
gravitacional o tirón gravitacional: Del estudio realizado hasta ahora se concluye que cuando un satélite o sonda espacial se
aleja de la Tierra (se eleva), aumenta su energía potencial (se hace menos negativa) en la misma medida en que disminuye su
energía cinética. Sin embargo, si conforme se aleja de la Tierra se aproxima a otro astro, la acción gravitacional de este último
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
23
comunica una aceleración a dicha sonda que se traduce en un aumento de
la energía cinética (aunque la energía total de la sonda permanece
constante, pues su energía potencial disminuirá). Así, por ejemplo, la
sonda Galileo fue lanzada el 18 de octubre de 1989 hacia Júpiter y sus
satélites siguiendo una trayectoria que se denominó VEEGA (Venus
Earth Earth Gravity Assist). Como puede observarse en la figura 11,
después de realizar un paso por el planeta Venus, pasó dos veces cerca de
la Tierra con objeto de conseguir el empujón gravitacional necesario que
la llevara hasta Júpiter, a cuya órbita llegó a finales de 1995.
A. Final. Realiza un resumen de las ideas más importantes aprendidas
en esta unidad, así como un cuadro con las ecuaciones y fórmulas que
has manejado a lo largo de la misma.
APÉNDICE: EL FENÓMENO DE LA INGRAVIDEZ.
Con frecuencia observamos imágenes de astronautas y objetos que
flotan dentro de las naves espaciales o fuera de ellas en estado de ingravidez.
Figura 11
El término de ingravidez no es correcto porque la fuerza de
atracción gravitatoria con la que actúa la Tierra sobre los astronautas no se hace igual a cero y por tanto las personas y los objetos
que están dentro de la nave tienen peso. Por ejemplo, puedes comprobar que la relación entre el peso de un astronauta en la
superficie de la Tierra y dentro de la estación espacial internacional, ISS, girando a 400 km de la superficie de la Tierra es 0,89, es
decir, los astronautas y todos los objetos de la nave pesan solamente un 11 % menos que en el suelo. Por tanto, la lejanía de la nave
no es suficiente explicación de la aparente pérdida del peso.
Peso aparente
La sensación que tenemos de nuestro propio peso proviene de las fuerzas que lo equilibran. Así, al estar sentados sentimos
la fuerza con la que actúa la silla, que equilibra nuestro peso e impide que caigamos al suelo. Al pesarnos en una báscula de baño, su
resorte se comprime para equilibrar nuestro peso. Esa compresión permite determinar el valor del peso con un aparato que se haya
calibrado aplicando la ley de Hooke.
Pero veamos qué ocurre al pesarnos o al pesar un objeto con un dinamómetro dentro de un ascensor:
- Si el ascensor está parado, el dinamómetro indica una cantidad igual al peso del objeto.
- Si el ascensor desciende con una aceleración igual a la de la gravedad, no hay ninguna fuerza que equilibre al peso y el
dinamómetro indica una cantidad igual a cero. Aparentemente nosotros y los objetos que están dentro del ascensor no pesamos
nada. A esta situación se le denomina ingravidez, más correctamente falta aparente de peso, y es la que experimentan los
astronautas cuando se mueven en órbita alrededor de la Tierra.
Ingravidez en órbita
Sobre una nave espacial que describe una órbita circular en torno a la Tierra actúa la interacción gravitatoria, que es la
fuerza centrípeta necesaria para que el movimiento circular tenga lugar. La nave espacial lleva un movimiento continuo de caída libre
hacia la superficie de la Tierra siguiendo una curva cerrada. Después de cada órbita vuelve a encontrarse en la posición inicial, para
continuar con una nueva caída.
La nave espacial y el astronauta se mueven en caída libre hacia la Tierra con la misma aceleración y por ello sobre el
astronauta y los objetos de la nave no actúa ninguna fuerza que equilibre su peso. Esa es la
razón por la que aparentemente no pesan nada.
Creación de ambientes de ingravidez
Los científicos generan ambientes de ingravidez produciendo situaciones de caída
libre hacia la superficie de la Tierra de diferentes formas: a bordo de naves espaciales, en
vuelos parabólicos con aeronaves, en la caída libre desde el espacio por medio de cohetes
sondas y con torres de caída libre.
Satélites en órbita proporcionan condiciones de ingravidez durante periodos
largos y continuos de tiempo.
Con cohetes se generan periodos de caída libre, durante su descenso, con una duración de hasta 20 min.
La Agencia Espacial Europea utiliza un avión Airbus 300 para proporcionar condiciones de ingravidez mediante vuelos
parabólicos. El avión sube hasta unos 8 000 m, para descender rápidamente. Al bajar hasta la altura adecuada, el avión vuelve a
ascender para repetir el ciclo. Así se consiguen periodos de caída libre de una duración de medio minuto que se pueden repetir
sucesivamente. Es como si las personas y objetos se movieran dentro de una montaña rusa gigante.
También hay instalaciones sobre la superficie de la Tierra, Consisten en torres de más de 100 m de alto, dentro de las cuales
se dejan caer objetos que experimentan una caída libre durante varios segundos.
La gravedad afecta a todos los procesos biológicos, físicos y químicos sobre la superficie de la Tierra. Los ambientes de
ingravidez proporcionan un entorno adecuado para desentrañar comportamientos de las sustancias que quedan enmascarados por la
gravedad. De esta forma se abren nuevos horizontes de experimentación en Medicina, Biología, Mecánica de fluidos, combustiones,
comportamiento de materiales.
El fenómeno de la ingravidez produce incomodidades a los astronautas a la hora de realizar sus actividades diarias. Pero, lo
que más preocupa a los médicos son los trastornos en su organismo, y sobre todo la pérdida de masa ósea. Otros trastornos son la
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas
Interacción gravitatoria
24
disminución de glóbulos rojos, la debilidad muscular y los problemas psicológicos derivados del encierro en habitáculos de
dimensiones reducidas. Para paliar los efectos de la ingravidez, los astronautas siguen programas con ejercicios físicos muy
específicos a los que dedican dos horas diarias.
¡APROVECHA LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS!
Aprovecha los recursos informáticos recogidos en soporte digital, en la Web del Departamento y en la Web personal de
los autores. Te facilitarán el estudio y la comprensión de los conocimientos tratados en esta unidad.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LA UNIDAD.
A.1.1: Donde la gravedad sea más intensa, o sea, en la superficie del Sol. mL = 6,06 kg; mS = 35,8 g.
A.1.2. dT= 3goT/(4πG). El interior de la Tierra tiene una densidad bastante mayor que el valor promedio obtenido.
2
M ;
A.1.3:
 R - p  ; gráfica c); a) 9,8·m N; 9,796·m N; 9,808·m N; el dinamómetro señala siempre el peso; la
 R  ;
go  G
R2
g h  g o ·

Rh
g p  g o ·

 R 
balanza señala siempre la masa m; b) h = 2638,54 km; c) p = 3.185 km.
A.1.4: a) MM = 6,12·1023 kg; dM = 3.955,4 kg/m3; RM/3 m; b) h=180,1 km; c) T = 3,27 s.
A.1.5: a) Utilizando el valor del período de un péndulo colocado en los distintos puntos de la superficie terrestre. Recuerda: T  2 l 
g
g
2
4π l . b) Del polo al ecuador el radio de la tierra aumenta ligeramente como consecuencia de la diferente intensidad con que son atraídos
T2
los distintos puntos de la Tierra por la Luna y por el Sol, lo cual viene acentuado por la rotación terrestre.



A.1.6: a) 5.587,2 m/s; 2 h; b) 7.901,5 m/s; 1,4 h. A.1.7: g =0,221G i + 0,294G j N/kg; g= 0,368G N/kg. = 0,93º.
A.1.8: a) g= 4go; b) No; c) 6 h
A.1.9: a) y c) MAS; b) MAS amortiguado.
A.1.10. a) g L =2,207·10-6 N/kg; b) g S =1,002·10-6 N/kg; g L =2,066·  g S , la influencia de la Luna en las mareas oceánicas es más
importante que la influencia del Sol.
A.2.1: Demostrado en clase. A.2.2: Ep inicial = -6,67·10-11 J; Ep final = -3,335·10-11 J; WF gravitatoria =-3,335·10-11 J
A.2.3: Ep = -3,335·10-6 J.
A.2.4. E (r  )  G M T ·m J
p
RT
A.3.1: a) g  G i N/kg; g  G N/kg (= 0º); VB = - 3G/4 J/kg; g  4G i  9G j N/kg; g= 7,9·10-2G N/kg (= -66º); VC = - 3G/5
B
B
C
16
16
125
125


J/kg; b) F  m·g ; c) WBC = -m.V = -3G/4 J (transformación no espontánea, en el sentido de potenciales crecientes).
A.3.2: No es totalmente correcta. Decimos que hemos salido del campo gravitatorio terrestre cuando el campo gravitatorio de otro astro
comienza a ser más intenso que el terrestre. Punto P, a 3,46·108 m de la Tierra hacia la Luna. VP = -1,28·106 J/kg; WsupP = -1,22·1011 J (hay
que gastar una energía para alcanzar el punto P).
A.3.3: a) 8,947 N/kg; -5,97·107 J/kg; b) -1,34·106 J; c) al ser un campo conservativo, 1,34·106 J.
A.3.4. Dado que: WAB = - ΔEp , resulta: Wrr= 0 J (órbita circular); Wap= - ΔEp >0 J; Wpa= - ΔEp <0 J; Waa= Wpp= 0 J . La fuerza
gravitatoria es una fuerza central y conservativa; si no fuese así, la órbita de Venus no se mantendría estable con el paso de los siglos.
A.4.1: a) Sí; b) 1.500 J/kg.



A.4.2: a) g o = 0 N/kg; Vo = -1,73·10-10 J/kg; g P =2,22·10-11 j N/kg; VP = -1,72·10-10 J/kg; b) WPO = -1,38·10-13 J.
A.4.3: a) -2,50·108 J; b) -2,48·108 J; c) - 2,48·106 J.
A.5.1: a) -2,08.1010 J (meteorito ligado al campo gravitatorio); b) 10,2 km/s; no, al despreciar los rozamientos, el campo es conservativo.
A.5.2. a) -9,37·1010 J (nave ligada a la Tierra); b) -6,67·1010 J (nave ligada a la Tierra, no puede escapar de la atracción gravitatoria terrestre,
llegando a una altura de 2,58·106 m sobre la superficie terrestre); c) 1,43·1010 J (nave que se libera de la atracción gravitatoria terrestre,
llegando al hipotético infinito con cierta velocidad)
A.6: (Estudiado en clase)
A.7.1 a) La resistencia del aire hace que la vE real sea mayor (para minimizar el rozamiento, los cohetes o trasbordadores se construyen con
formas aerodinámicas. b) La vE disminuye. c) vE Luna = 0,21·vE Tierra  Los gases en la Luna prácticamente no son retenidos, al ser su
velocidad promedio mayor a la vE. En la Tierra, el gas H2 es poco retenido pues su velocidad promedio es mayor de 11,2 km/s. d) En el
ecuador terrestre, al lanzar un cohete hacia el este, en el sentido de rotación terrestre, a la vL le debemos sumar la vtraslación por la rotación ecuatorial;
esto hace que la velocidad que artificialmente debemos comunicarle al satélite (vL) sea menor que en otros lugares de la Tierra, con el
consiguiente ahorro de energía.
A.7.2: 8,85 mm.
A.7.3: 3,1 km/s; 35.852 km; -2,36·1010 J)
A.7.4: 7,6 km/s; 15 veces pasa por la misma zona en un día, aunque no por el mismo punto.
A.7.5: a) 5 km/s; b) 7,1 km/s; 2,0 horas; c) 1,13.1011 J; d) -7,46·1010 J; e) 1,87.1011 J; f) 7,46.1010 J.
A.7.6: a) 4,72.1010 J; b) Llegará a 1,16.108 m del centro de la Tierra.A.7.7: 19,4 km/s.
A.7.8: a) go/4 N/kg; b) 4,0 h; c1)183,9 N; c2) 0 N (ingravidez).
A.7.9: a) G M T ·m J; b) La misma vE.
4·RT
A.7.10: a) 7,1 km/s; b) 6,1 km/s; 3,0 h; c) -3,75·1010 J; d1) 8,76·1010 J; d2) 8,74·1010 J (2,15·108 J menos); e) 6,26·109 J.
© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas