Download Método de Corrimiento Dinámico de Puntos en Queratometría por

Método de Corrimiento Dinámico de
Puntos en Queratometría por Pantallas
Nulas
Por
Rodríguez Rodríguez Martín Isaías
Tesis sometida como requisito parcial para
obtener el grado de
DOCTOR EN CIENCIAS EN LA
ESPECIALIDAD DE ÓPTICA
en el
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y
Electrónica
Junio 2015
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Dr. José Rufino Díaz Uribe, CCADETUNAM
Dr. Alberto Jaramillo Núñes, INAOE
©INAOE 2015
Derechos Reservados
El autor otorga al INAOE el permiso de
reproducir y distribuir copias de esta tesis en su
totalidad o en partes mencionando la fuente.
AGRADECIMIENTOS
Durante estos últimos cinco años y seis meses que ha durado mi doctorado en ciencias
en la especialidad de óptica, he trabajado con Investigadores, Técnicos, Compañeros y
Amigos, y es aquí donde ahora tengo la singular buena fortuna de compartir con todos
ustedes lo mejor de todo lo que hasta el momento he desarrollado y aprendido; de lo
cual me siento realmente agradecido y animado por esta oportunidad.
Es así que de una manera muy especial; quiero agradecer la asesoría, ayuda, ánimos,
convivencia y discusión académica de mi asesor, el Dr. José Rufino Díaz Uribe.
De igual manera, quiero agradecer la co-asesoría del Dr. Alberto Jaramillo Núñez, por
sus sugerencias y ayuda en cada uno de mis trámites realizados.
Agradezco igualmente a los Doctores: Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez, Dr. Salvador
Cuevas Cardona, Dr. Sergio Vázquez y Montiel, Dr. Fermín Granados Agustín, y Dr.
Agustín Santiago Alvarado, por sus valiosos comentarios y sugerencias sobre el trabajo
desarrollado, además de fungir como sinodales en el examen de grado.
Agradezco igualmente a los Doctores: Dr. Maximino Avendaño Alejo, y Dr. Manuel
Campos García, por su convivencia y discusiones académicas. Así como a los Maestros
en Ciencias: M. C. Carlos Jesús Román Moreno y M. C. Mario González Cardel.
Agradezco también a mis Amigos: Dr. Pedro Cebrián Xochihuila y Dr. Antonio
Fernández Marín, compañeros de generación desde la Licenciatura en Física en la
Facultad de Ciencias.
Quiero agradecer también a cada uno de los compañeros del Laboratorio de Sistemas
Ópticos del Centro de Ciencias Aplicadas y Desarrollo Tecnológico de la UNAM, con
quienes coincidí en mi estancia doctoral.
Quiero expresar un agradecimiento especial a la memoria del Dr. Roberto Ortega
Martínez, a quien tuve el gusto de conocer, convivir y recibir comentarios sobre mi
trabajo desarrollado.
Le doy gracias también al Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica,
INAOE, por la formación académica recibida.
Agradezco igualmente al personal de la coordinación docente del INAOE, por su
disponibilidad. Haciendo énfasis en el trato amable de la Lic. Silvia Hernández Moreno.
Gracias a las secretarias de la coordinación de óptica del INAOE por su ayuda y
eficiencia. Nuestras estimadas: Paty Sanpedro y Eicela Huepa.
Le doy gracias también al CCADET-UNAM por recibirme como estudiante externo.
Aprovechando para agradecer el trato amable del personal administrativo de los
diferentes departamentos, de los que en algún momento recibí ayuda.
Agradezco de igual manera al Concejo Nacional de Ciencia y Tecnología, CONACYT,
por la beca otorgada para realizar el trabajo de investigación doctoral y obtener como
resultado el Doctorado en Ciencias en la Especialidad de Óptica.
Agradezco también a la Dirección General de Asuntos de Personal Académico de la
UNAM (DEGAPA-UNAM), por su apoyo en los fondos asignados para la compra de
equipo, necesario para realizar este trabajo de tesis. Estos fondos fueron asignados a
través de los proyectos: PAPIT (IN114110-2, IT101912 y IT101414).
Finalmente, dedico este trabajo a las personas más importantes en mi vida, mi familia.
A mi padre: el Sr. Gregorio Rodríguez Cortés, a mi madre: la Sra. Flor de María
Rodríguez González. Y obviamente a mí hermano: Elías Arsenio Rodríguez Rodríguez.
Así como a mí querida Giovanna González Flores con mucho gusto.
Por último, como buen católico preguntón, gracias a Dios por permitirme dar
satisfacción a mis padres y concluir mi formación académica.
RESUMEN
Debido a la necesidad por mejorar la evaluación de la superficie corneal, en este trabajo
se propuso desarrollar el Método de Corrimiento Dinámico de Puntos. Para esto, se
utilizan tres pantallas de LCD como medio para desplegar pantallas nulas dinámicas. El
diseño de las pantallas nulas se realiza con base en el método tradicional; sin embargo,
en este caso, se calcularon las ecuaciones correspondientes al arreglo planteado. La
ventaja principal es que el patrón geométrico utilizado como target se puede modificar
en tiempo real. Es aquí donde cobra importancia el método de corrimiento de puntos,
puesto que al aumentar el número de puntos, se incrementa la frecuencia espacial de
muestreo, presentando una menor separación entre cada uno de ellos. Con esto se logra
reducir el denominado error de truncamiento cometido con el método trapezoidal.
Algunos resultados sobre las capacidades del método y la evaluación de una esfera de
calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana se presentan en este trabajo.
ABSTRACT
In early works a method for testing fast aspheric convex surfaces with a cylindrical null-screen
is reported; in this method, the design screen is plotted on a sheet of paper with the help of a
laser printer; then, the paper is rolled into a cylindrical shape and inserted into a transparent
acrylic cylinder which supports the paper. More recently, new techniques have been developed
in order to quantitatively evaluate very fast aspheric surfaces with the null-screen method. In all
cases, the essential idea consists of designing the screen with a set of spots in such a way that the
image reflected by the test surface gives a perfectly ordered arrangement if the test surface is
perfect; assuming that the ideal shape of the surface to evaluate (reference surface) is known, the
position and shape of the spots on the screen can easily be computed. This technique has the
advantage that it does not need any additional optical element with a specific design to correct
the aberrations of the system under test. The test with screens has a great similarity with the
Hartmann test, but it differs in several aspects; for instance, it does not require a point source or
a screen with holes used to select rays. A common aspect to both testing methods and to all
those methods that measure the slope of the wavefront is that the quantitative evaluation is made
by means of a numerical integration process. An important problem with this procedure is that
the integration method (for instance, the trapezoidal rule), accumulates errors throughout the
integration path. It is well known that the larger the path, the greater the accumulated error. In
addition, it is also well known that for the trapezoidal rule, the error increases as the second
power of the spacing between the spots of the integration path. Thus, to minimize the error, it is
desirable to reduce the spacing between spots. This implies more spots in the null screen; there
exists, however, a physical limit, because if the spot density is too large, the spot images can
overlap because of defocus, aberrations or, in the best case, by diffraction. This situation makes
the evaluation of the centroids of the spots more difficult.
On the other hand, many commercially available topographers still use Placido’s Disk target in
order to evaluate the human cornea, which consists of a set of circular, concentric rings on a flat
surface; the target surface has evolved into a cone, a hemisphere, a cylindrical or even an
ellipsoidal surface, with the aim of flattening the image surface. One possible limitation of the
Placido-based systems is the ambiguity of data in the azimuthal direction; this is known as the
skew ray problem. In addition, Snellenburg stated that to solve the skew ray error problem from
the Placido based systems, the approach used by some authors have been to use different target
designs which allow one-to-one correspondence between image points and target points; for
these systems is possible to develop reconstruction algorithms which avoid skew ray errors. For
that reason, new generations of topographers which use targets with a set of separate spots
located on an oval or a cylindrical screen, or by multi-camera corneal topographer arrangements
using a TFT-display for displaying a measurement-pattern, have been recently proposed; in this
last case, however, the experimental image obtained, is not a flat image, as is the case of the oval
screen or the cylindrical screen, with a good approximation. Other kind of topographers could
be created with LED’s on a cone, or even a checkerboard type target also printed on a cone have
been proposed; they have the advantage over the classical targets that they overcome the skew
ray problem. In this way, each method has a static target which must be used for every
measurement, no matter the size and shape of the cornea under study. Furthermore, it has been
recognized that null screens with chromatic or colored spots, can be advantageous to evaluate
highly deformed optical surfaces; this is the case of the cornea.
Following the proposal of Moreno-Oliva, in this paper the use of Liquid Crystal Displays
(LCD’s) as null-screens for testing or measuring the shape, curvature and dioptric power,
among other quantities, of the anterior corneal surface is proposed; i.e., the classical static target
of a corneal topographer is substituted by a set of LCD’s. The proposed null-screen is now
displayed on LCD flat screens instead of the traditional cylindrical null screen; the position of
the drop-shaped spots can be programmed to be displayed in a dynamic way for performing the
shifting of the spots. In this method the design of the null-screen is made with a similar
procedure as proposed in Ref.; the appropriate equations used for this array, however, are shown
in a preliminary fashion in Ref.. As in Ref., in this paper the Dynamic Point Shifting method
(DyPoS), without applying any mechanical movement is used. Many configurations of LCD’s
can be used for the testing; in this paper, however, three LCD’s forming a triangular prism as a
target in an experimental corneal topographer to measure the shape of the human corneas is
described.
A first proposal was send for publish in 2015; here, the quantitative evaluation of a calibration
sphere is reported. In this manuscript, in chapter 1 the human eye and the optical instruments
used in corneal topography are presented, in chapter 2, the optical setup and the corresponding
equations for the design of the null screens for implementing the DyPoS are developed. In
chapter 3, the evaluation test is explained, in chapter 4 the calibration setup is fully explained; in
chapter 5 the image process is explained, in chapter 6 the evaluation of calibration sphere is
presented, also, the additional capabilities of this proposal are described. Finally the conclusions
are presented in chapter 7.
INDICE
INTRODUCCIÓN GENEREAL……………………………………………….1
CAPÍTULO 1 EL OJO HUMANO Y LA TOPOGRAFÍA CORNEAL.…...5
1.1 El Ojo Humano……………………….……………………..5
1.1.1 Componentes anatómicas del Ojo………………………..5
1.1.1.1 Córnea……………………..……………………..6
1.1.1.2 Cristalino………………………..………..……...8
1.1.1.3 Retina…………………………..……...….……...9
1.1.2 Descripción del Sistema Óptico de Ojo…………………10
1.1.3 Defectos de Refracción del Ojo……………….…………11
1.2.3.1 Astigmatismo……..…….…………………..…….12
1.2.3.2 Miopía.……………………………………………13
1.2.3.3 Hipermetropía..…………………….…………….13
1.2.3.4 Presbicia…….………………………………….....14
1.2.3.1 Queratocono.……..…………………….................15
1.2 Instrumentos Comerciales para obtener la
Forma de la córnea…………………………………….……16
1.2.1 Queratómetro……….……………..………………….16
1.2.2 Queratoscopio……….……………..………………….17
1.2.3 Videoqueratómetro………………..………………….18
1.2.3 Videoqueratómetro con Lámpara de Hendidura..….18
1.2.4 Topógrafo Corneal……………………………………19
1.2.4.1 Topógrafo Corneal basado
en Anillos de Plácido...……………………….19
1.2.4.2 Topógrafo Corneal tipo Orbscan…………….19
1.2.5 Topógrafos Corneales
de Puntos Independientes…………………………….21
1.2.5.1 Topógrafo tipo Tablero de Ajedrez...………..21
1.2.5.2 Topógrafo de Fuentes individuales
mediante LEDs………...……………………..22
1.2.5.3 Topógrafo Corneal de Multi-cámara………..23
1.2.5 Topografía mediante el uso
de Pantallas Nulas…………………………………….24
1.2.5.1 Malla Cuadrada…………………......………..24
1.2.5.2 Anillos Concéntricos con
Líneas Radiales.………...……………………..25
1.2.5.3 Arreglo Cuadrado de Círculos……...………..26
1.2.6 Conclusiones…………………………………………..26
CAPITULO 2 DISEÑO DE PANTALLAS NULAS PLANAS EN UNA
CONFIGURACIÓN DE LCD’S EN FORMA DE
PRISMA TRIANGULAR.........................................................27
2.1. Método de Pantallas Nulas………………………………27
2.1.1 Pantallas Nulas Planas……………………………..31
2.1.1.1 Trazo de Rayos para el Diseño de una
Pantalla Nula Plana………………………..31
2.1.1.2 Coordenadas P3 de las Pantallas Planas
Inclinadas…………………………………...37
2.1.2 Diseño de Puntos en el Plano Imagen……………....39
2.1.2.1 Criterios de resolución
para el diseño de Gotas..................................41
2.2 Método de Corrimiento Dinámico de Puntos…………….42
2.3 Pantallas Nulas en formato Imagen……………………….45
2.4 Patrones usados como Targets en el diseño de Pantallas
Nulas Planas en LCD’s…………………………………….47
2.4.1 Malla Cuadrada……………………………………...48
2.4.2 Arreglo Cuadrado de Puntos………………………..49
2.4.3 Puntos Radiales………………………………………50
2.4.4 Arreglo Cuadrado de Puntos en Color……………..51
2.4.5 Pantallas de Fondo Blanco y Fondo Negro…………52
2.5. Conclusiones…………………………………………...53
CAPÍTULO 3 EVALUACIÓN CUANTITATIVA DE LA SUPERFICIE
MEDIANTE LA TÉCNICA DEFLECTOMETRIA POR
REFLEXIÓN………………………………………….........54
3.1. Método de Deflectometría por Reflexión
ocupado en Pantallas Nulas…………………………....54
3.2. Cálculo de las Normales a la Superficie………………56
3.3. Evaluación de la superficie mediante la Regla del
Trapecio………………………………………………...59
3.4. Error de truncamiento de la serie……………………..60
3.5. Conclusiones…………………………………………….62
CAPÍTULO 4 IMPLEMENTACIÓN PRÁCTICA DEL ARREGLO
EXPERIMENTAL DE LCD’….…….....................................63
4.1 Implementación de Pantallas Nulas Planas
mediante un arreglo de LCD´s……….…………………63
4.1.1 Características de las Pantallas LCD
tipo DYNEX………………………………………..63
4.1.2 Resolución de los Marcos Digitales……………….65
4.1.3 Separación de las componentes de los Marcos
Digitales LCD…………………..………………….66
4.2 Molde diseñado para ensamblar el arreglo de LCD´s en
forma de Prisma Triangular……………………………67
4.3 Calibración del conjunto de LCD´s
contenidos en un Arreglo Triangular……………..……69
4.4 Alineación del Prototipo de LCD´s en la
Prueba con Pantallas Nulas……………………………...73
4.3 Conclusiones………………………………………….…..78
CAPÍTULO 5 PROCESAMIENTO DE IMAGENES PARA EL
CÁLCULO DE LOS CENTROIDES….......................79
5.1. Procesamiento para una Imagen de Manchas
Negras…...................................................................79
5.1.1 Zona de Interés de la Imagen
Experimental………………………………...80
5.1.2 Segmentación de la Imagen……....................81
5.1.3 Imagen de Fondo blanco…………………….82
5.1.3.3 Zona de Interés de la Imagen
de Fondo Blanco……..………………83
5.1.4 Umbralización de la Imagen……...………...83
5.1.5 Bordes de la Imagen……...………………….85
5.1.6 Centroides de la Imagen………...…………..86
5.2 Procesamiento para una Imagen
de Gotas en Color………………………………………..87
5.2.1 Zona de Interés de la Imagen Experimental de
Gotas a Color……………………………………….88
5.2.2 Segmentación de la Imagen Experimental
de Gotas a Color…………………………………...89
5.2.3Umbralización de una imagen
de gotas en colores………………………………….89
5.2.4 Bordes y Centroides de la Imagen
de Gotas en Color…………………………………..91
5.3 Conclusiones…….………...………………………………93
CAPÍTULO 6 RESULTADOS EXPERIMENTALES Y
DIFERENCIAS EN SAGITA…………….………………….94
6.1. Evaluación de la Superficie bajo Prueba……….………94
6.1.1 Calibración del Defoco a partir de la Imagen
Experimental……….……………………………...94
6.1.2 Método de Corrimiento Dinámico de Puntos
con Pantallas LCD………………………………..100
6.1.3 Centroides del Conjunto de Imágenes
Experimentales…………………………………...101
6.1.4 Integración de la Superficie bajo Prueba…........103
6.1.5 Evaluación de la superficie
Sin DyPoS…………………………………............106
6.1.6 Evaluación de la Superficie
Aplicando DyPoS…………………………………109
6.2 Resultados Adicionales……………………………..…111
6.3 Capacidades Adicionales del Arreglo de LCD´s…….113
6.4 Conclusiones…………………………………………...114
CONCLUSIONES GENERALES...……………………………. ……………115
APENDICE A
CARACTERIZACIÓN DE LA LENTE ZOOM…….…..117
A.1 Características de una Lente Gruesa….……..................117
A.1.1 Metodología para determinar
los Puntos Cardinales de una Lente Zoom..……..118
A.1.2 Resultados Obtenidos...……………………............121
A.2 Calibración por distorsión para la Lente Zoom…….......121
A.3 Conclusiones……………….…………………………….…124
REFERENCIAS………………………………….…...………..……………...125
Introducción General
_________________________________________________________________________
INTRODUCCIÓN GENERAL
Dentro de los sistemas ópticos formadores de imagen, uno de los más importantes es el ojo
humano [1-6]. Este sistema se asemeja, desde el punto de vista óptico, a una cámara
fotográfica normal; posee un sistema de lentes, un sistema de apertura variable (la pupila)
y una retina que equivale a la película o sensor de imagen. El sistema de lentes del ojo se
compone de cuatro interfaces denominadas superficies refractivas. Para nuestro caso, solo
describiremos las partes anatómicas más importantes en cuanto al poder de refracción
considerando al ojo como un sistema óptico formador de imagen. Es decir, este proceso se
analiza independiente del cerebro, por lo tanto, el resto de las componentes fisiológicas
quedan fuera del alcance de este trabajo.
Por otro lado, el sistema óptico del ojo humano puede presentar ciertas alteraciones en sus
componentes anatómicas, que evitan la correcta formación de imágenes en la retina. Estas
alteraciones son conocidas con el nombre de ametropías primarias [7-14], que son errores
de refracción que implican que por razones anatómicas el ojo sea incapaz de formar una
imagen nítida a nivel de la retina [15-19].
Los defectos visuales que puede presentar el sistema óptico del ojo humano, se encuentran
directamente relacionados con la forma anterior de la córnea y/o con la longitud axial del
ojo, y se clasifican por sus nombres técnicos en: miopía, hipermetropía, además del
queratocono y el astigmatismo [9-14], problemas que se producen cuando la córnea
adquiere una forma de cono y de toroide respectivamente. Adicionalmente, el tratamiento
de algunos problemas visuales está íntimamente relacionado con la superficie anterior de la
córnea. Por ejemplo, para prescribir lentes de contacto, se debe conocer con precisión las
curvaturas principales de dicha superficie. Todos estos errores refractivos que afectan al
funcionamiento del ojo serán descritos en uno de los capítulos de esta tesis. Por el momento
sólo mencionaremos que la córnea, es el elemento óptico que más contribuye a la capacidad
de enfoque del ojo humano [1, 20-22].
Por esta razón, la evaluación de la topografía corneal, se ha convertido en una atractiva e
interesante tarea para los ópticos y oftalmólogos [23-46]. Por mucho tiempo, esta
evaluación se realizó de manera cualitativa, pero recientemente, se han logrado hacer
evaluaciones cuantitativas. Esto se debe principalmente, a que en los últimos años se ha
entendido mejor el funcionamiento de dicha superficie, debido a los combinados esfuerzos,
entre nuevas metodologías experimentales y nuevos modelos teóricos, los cuales hacen un
trabajo conjunto buscando una relación entre ambas partes. Es así, como la queratometría
(Entiéndase por queratometría como la parte de la oftalmología que estudia para propósitos
clínicos la forma anterior de la córnea) [22-26], tomó un nuevo aire en el campo
investigativo, tanto en el contexto médico, como en el contexto de la óptica.
Recientemente, los ópticos empezaron a involucrarse cada día más en estos temas de
relevancia clínica, diseñando instrumentos, que permiten medir parámetros importantes,
como la sagita, el radio de curvatura, o inclusive el poder refractivo, y con base a esta
información, poder tener una idea del comportamiento de dicha superficie.
12
Introducción General
_________________________________________________________________________
Ahora bien, tradicionalmente la forma de la cornea se ha obtenido mediante topógrafos
corneales, los cuales en su mayoría funcionan basados en el disco de Plácido, el cual
consiste de un conjunto circular de anillos concéntricos impresos sobre una superficie plana
[23-28]. Una posible limitación del sistema del disco de Plácido es la ambigüedad de los
datos en la dirección azimutal (es decir, la dirección ortogonal a la dirección radial). Por
esta razón, recientemente se han desarrollado nuevas generaciones de topógrafos, los cuales
utilizan iluminadores como objeto, que puede ser un objeto de tipo tablero de ajedrez, el
cual se imprime en un cono [29], o fuentes individuales creadas con LED en un cono [30],
o incluso diseños con una LCD puesta enfrente de la córnea de un paciente [31].
Finalmente, en el grupo de Pruebas Ópticas del CCADET-UNAM se han trabajado diseños
de puntos separados impresos en una pantalla cilíndrica o en forma de ovalo [32, 33-35].
Todas estas geometrías tienen una ventaja sobre los topógrafos clásicos que funcionan
mediante el disco de Plácido, ya que superan el denominado problema del rayo oblicuo [3645]. Por lo cual, se puede proponer un diseño de un dispositivo que funcione bajo el
principio de puntos independientes y que pueda servir como un modelo de topógrafo
corneal, apoyado en los conceptos de la óptica geométrica tradicional.
Por lo tanto, el objetivo general en este trabajo es contribuir al mejoramiento de la
evaluación de la superficie corneal de ojos humanos; introduciendo el método de
Corrimiento Dinámico de Puntos (CoDiP) en un Videoqueratómetro o Topógrafo corneal,
diseñado y construido en el Laboratorio de Sistemas Ópticos del CCADET-UNAM, para
uso clínico. Para lograr este objetivo general se plantearon algunos objetivos específicos
que ayudarán a describir y entender adecuadamente el desarrollo de esta tesis.
El primer objetivo específico consiste en implementar un instrumento que utilice el
principio básico de Pantallas Nulas. Para esto, la propuesta consistirá en diseñar mediante
marcos digitales o LCD´s, un arreglo en forma de prisma triangular. Dicho instrumento
estará basado en el método de pantallas nulas [48] y tendrá la capacidad de evaluar
cualquier superficie asférica. Sin embargo, en principio evaluaremos una esfera de
calibración usada para simular en una primera aproximación la superficie de la córnea
humana. La idea, es presentar un modelo de Topógrafo corneal; con la capacidad de
desplegar pantallas nulas de geometrías diversas, las cuales serán utilizadas como
iluminadores. Las características de dicho arreglo serán descritas con detalle en el capítulo
4 de esta tesis, por el momento solo se especifica que este instrumento será utilizado para
probar superficies asféricas rápidas convexas de dimensiones cercanas a la córnea.
El segundo objetivo específico consiste en desarrollar el Método de Corrimiento Dinámico
de Puntos (CoDiP), así como de evaluar de manera cuantitativa, nuestra esfera de
calibración de dimensiones semejantes a la córnea. Con la evaluación de dicha superficie,
demostraremos que debido al incremento del número de puntos muestreados por el total de
corrimientos, es posible disminuir los errores asociados a la integración mediante el método
trapezoidal usado. Para esto, presentaremos resultados de las diferencias en sagita,
comparando las evaluaciones realizadas con corrimiento y sin corrimiento de puntos.
13
Introducción General
_________________________________________________________________________
Para poder describir el desarrollo del dispositivo y nuestros resultados correctamente, la
tesis se estructuró de la siguiente manera.
En el capítulo 1 se abordará el tema del ojo humano, describiendo las partes anatómicas
más importantes, en cuanto al poder de refracción, considerando al ojo como un sistema
óptico independiente del cerebro. El resto de las componentes fisiológicas solo se
mencionaran como partes constitutivas del ojo en el proceso de formación de imágenes en
la retina. Adicionalmente, se describen los principales problemas de desenfoque, los cuales
se denominan como ametropías primarias, clasificado los problemas más comunes por los
cuales el ojo no puede formar una imagen nítida a nivel de la retina. Finalmente, se hace
una revisión de lo que ha sido la queratometría y el uso de Topógrafos Cornéales a través
de los años, enfatizando las ventajas del uso de prototipos que funcionan bajo el principio
de puntos independientes que actúan como iluminadores.
En el capítulo 2 se describen los conceptos de óptica geométrica que intervienen en el
diseño de Pantallas Nulas. Se mostrará la forma tradicional del uso del Método de Pantallas
Nulas; además, se presentará el diseño de Pantallas Nulas Planas para una configuración en
forma de prisma triangular, empleando dispositivos LCD´s para desplegar las pantallas
nulas. De igual manera, se presenta el Método de Corrimiento Dinámico de Puntos (CoDiP)
mediante los dispositivos LCD.
En el capítulo 3 se presentan los cálculos teóricos que deben realizarse para obtener la
evaluación cuantitativa de la superficie a partir del método de Pantallas Nulas, mediante la
Deflectometría por Reflexión. Además, se explica el algoritmo numérico empleado para la
evaluación de la superficie de medición por medio de la ecuación de la forma de la
Superficie (EFS); este algoritmo nos proporciona el valor de la sagita en cada punto de la
superficie. Finalmente se explica el error de truncamiento de la serie, el cual, es un
problema que ocurre al utilizar un método de integración numérica, tal como el del
trapecio.
En el capítulo 4, se presenta la construcción del prototipo de LCD´s en una configuración
en forma de Prisma Triangular, el cual, debe estar dispuesto en un arreglo experimental.
Mediante dicho arreglo se propone evaluar una esfera de calibración de dimensiones
cercanas a la córnea humana. Para esto, se presentan las características de los marcos
digitales. Adicionalmente, se explica la calibración de cada uno de los elementos que
conforman el arreglo, para finalmente presentar un arreglo experimental bien alineado con
cada uno de los elementos que intervienen en el método de pantallas nulas.
En el capítulo 5 se presenta el procedimiento seguido para el cálculo de los centroides de
las manchas obtenidas en el plano imagen. Para esto, explicaremos las técnicas
desarrolladas en el procesamiento de las imágenes. En particular trataremos las técnicas de
segmentación y umbralización de una imagen de manchas negras y a color, las cuales,
resultan ser una tarea interesante pero no tan sencilla de resolver, sin embargo, usando
algunas ventajas del mismo arreglo de LCD´s podemos llevarlas a cabo.
En el capítulo 6, se presentan los resultados experimentales, así como las diferencias en
sagita de la evaluación cuantitativa de una esfera de calibración de dimensiones cercanas a
14
Introducción General
_________________________________________________________________________
la córnea humana. Adicionalmente, se muestran las ventajas que ofrece el método de
corrimiento dinámico de puntos mediante las pantallas LCD; al evaluar la misma esfera de
calibración, en comparación con una evaluación de la misma superficie pero sin introducir
el corrimiento dinámico de puntos. Para ello, se darán a conocer los parámetros obtenidos
de la superficie bajo prueba.
Finalmente en el capítulo 7 se presentan las conclusiones, mencionando algunas
consideraciones generales derivadas del análisis y de los resultados obtenidos de este
trabajo.
Con el objetivo de complementar la información mencionada en los diferentes capítulos, se
incluyen como parte de esta tesis, un apéndice, el cual está dedicado al estudio y
caracterización de algunos elementos ópticos relevantes en el uso del método de pantallas
nulas. Así como la bibliografía utilizada para documentar este manuscrito.
15
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
CAPÍTULO 1
EL OJO HUMANO Y LA TOPOGRAFÍA CORNEAL
Como se mencionó en la Introducción General, el ojo humano es quizás el sistema óptico
más relevante dentro de los sistemas ópticos formadores de imagen, debido a su poder de
acomodación, así como su capacidad de lubricación de sus componentes ópticas. Por otro
lado, es bien sabido [1-7], que este sistema cuenta con un conjunto de elementos ópticos
denominados superficies refractivas. Para nuestro caso, solo describiremos las partes
anatómicas más importantes en cuanto al poder de refracción; es decir, este proceso se
analiza independiente del cerebro, por lo tanto, el resto de las componentes fisiológicas
quedan fuera del alcance de este trabajo.
En este capítulo abordaremos el tema del ojo humano [1-14] como un sistema óptico
natural, que permite formar imágenes de los objetos que observamos, sobre la superficie
interna del ojo, en una zona denominada retina [15-19], la cual es sensible a la luz.
Adicionalmente, se describen los problemas de desenfoque (denominados como problemas
refractivos o ametropías) [7-14], por los cuales el ojo no puede formar una imagen nítida a
nivel de la retina. Finalmente, se hace una revisión de lo que ha sido la topografía corneal a
través de los años [20-44], enfatizando en el uso de prototipos que funcionan bajo el
principio de puntos independientes [29-35].
1.1 El Ojo Humano
En un esquema muy simplificado el ojo humano se puede considerar como un sistema de
lentes positivas que forman una imagen real en una superficie sensible a la luz, y a partir de
aquí, mediante células receptoras se transmiten al cerebro. Al igual que los instrumentos
ópticos, el ojo humano también tiene sus limitaciones. Quizás la diferencia más notable
entre los diferentes instrumentos ópticos formadores de imágenes y el ojo humano sea que
el mecanismo de visión es adaptivo. El ojo es un órgano vivo por lo cual, la pérdida o
envejecimiento de los mecanismos de adaptación también dan origen a las diferentes
ametropías en el ser humano [1, 7-14].
1.1.1 Componentes anatómicas del Ojo
Exteriormente, nuestro ojo es una estructura esférica de aproximadamente 24 mm de
diámetro [1] con un marcado abombamiento sobre su superficie anterior. El ojo humano, es
un órgano compuesto por varios elementos, cada uno de los cuales tiene su función
específica. La Fig. 1.1 se muestran los elementos anatómicos básicos que lo conforman.
Para nuestro caso, solo describiremos las partes anatómicas más importantes, en cuanto al
poder de refracción [7-8], considerando al ojo como un sistema óptico formador de imagen.
Es decir, este proceso se analiza independiente del cerebro.
5
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
El ojo humano está formado por tres capas [1]: Esclerótica, Coroides y Retina. La
esclerótica es la capa más externa, es dura y da forma al ojo, cubre unos cinco sextos de la
superficie ocular y se prolonga en la parte anterior con la córnea transparente, la cual puede
ser atravesada por la luz. Un esquema se muestra en la Fig. 1.1.
Fig. 1.1 Esquema anatómico del ojo humano.
La capa media o úvea tiene a su vez tres partes diferenciadas [1-6]. La coroide, la cual es
muy vascularizada, reviste las tres quintas partes posteriores del globo ocular, está formada
por tejido conjuntivo, contiene vasos sanguíneos que nutren el ojo. El cuerpo ciliar,
formado por los procesos ciliares. Y el iris, que se extiende por la parte frontal del ojo.
Finalmente, la retina, es la túnica delgada de múltiples capas que se encuentra en la parte
posterior del ojo y funciona como una pantalla sobre la cual la córnea y el cristalino
proyectan imágenes. Hay dos tipos de receptores visuales en la retina: los conos y los
bastones, cuya función es captar la luz incidente para traducir las imágenes en impulsos
nerviosos que se envían al cerebro por medio del nervio óptico.
1.1.1.1 Córnea
En frente del globo ocular se encuentra una membrana transparente que produce fuertes
cambios en la dirección de los rayos, denominada córnea [1, 20-22]. La córnea es una
membrana con capacidad regenerativa, compuesta por cinco capas, La más externa es el
epitelio corneal, compuesto por epitelio pluriestratificado no queratinizado, es decir, que no
pierde su lubricación; además, cuenta con un gran potencial regenerativo, la capa media es
el estroma (la capa más ancha de las tres) y la capa más interna es un endotelio
monoestratificado (una sola capa). Posee dos membranas que separan el estroma de las
otras dos capas corneales. Son la membrana de Descemet, que separa el estroma del
endotelio o capa más interna y la membrana de Bowman, que separa el estroma del epitelio
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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pluriestratificado. Una representación esquemática de esta superficie se presenta en la Fig.
1.2 a).
a)
b)
Fig. 1.2 a) Capas de la Córnea [20], b) Regiones de la Superficie Corneal.
El orden en el que se presentan dichas capas es el siguiente:
1-Epitelio Anterior.
2-Membrana de Bowman.
3-Estroma: tejido propio conjuntivo.
4-Membrana de Descemet.
5-Endotelio.
La córnea [1], tiene forma o perfil de elipsoide prolato; con un diámetro medio de 11.5 mm,
su espesor central es de 0.5 mm y el periférico de 0.8 mm. El radio de curvatura promedio
de la superficie anterior de la córnea es de 7.8 mm, y su índice de refracción es de 1.376. La
córnea contribuye con alrededor de 44 de las 48 dioptrías que tiene el ojo, lo que representa
el 80% del poder refractivo [1, 20-22], es decir, 2/3 partes de la capacidad de enfoque del
ojo humano se centran en esta superficie. La córnea es convexa-cóncava con
aproximadamente 48 dioptrías en la cara anterior y 4 o 5 dioptrías en la posterior. Es por
esta razón, que nuestro principal interés, radica en la superficie anterior de la córnea.
Otras definiciones importantes de la córnea son las regiones en las que se divide (Fig. 1.2
b)), que son específicamente cuatro zonas: zona central, zona paracentral, zona de
transición periférica y la zona límbica [20-22]. La zona central es considerada la zona
óptica de la córnea, ya que es la responsable de la formación de las imágenes en la retina, la
cual tiene un diámetro de 3 a 4 mm. Esta zona también es llamada zona apical, capa corneal
o zona esférica central: estos términos intentan designar a esta región como un casquete
esférico, además, ópticamente es la más importante. La zona paracentral es un anillo
contenido entre los diámetros de 4 a 7 mm y que también recibe el nombre de zona media,
intermedia o periférica media. Las zonas anatómicas central y paracentral son muy
importantes para el diseño de lentes de contacto debido a que en estas zonas se hace el
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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diseño de las lentes. La zona periférica es un anillo de aproximadamente entre 7 y 11 mm
de diámetro. Esta es el área donde las córneas normales son más planas y se vuelven más
asféricas. Finalmente, la zona del limbo es un anillo de aproximadamente 0.5 mm de
anchura que termina en la esclera.
Por otro lado, la córnea es también uno de los pocos tejidos del cuerpo que no posee
irrigación sanguínea (ya que no posee vasos sanguíneos), pero sí está inervado (es decir,
tiene sensibilidad); es la porción anatómica del cuerpo humano que posee más
terminaciones nerviosas sensoriales. Se nutre de la lágrima y del humor acuoso.
Una de las características importantes de la córnea desde el ambiente fisiológico, es la
reparación corneal, la cual, cosiste en un proceso de regeneración, en caso de una leve
lesión.
Otros componentes anatómicos que rodean la córnea, son por ejemplo el Humor Acuoso [1,
20-22]. El cual, es un líquido claro que fluye por la cámara anterior (entre la córnea y el
iris) y la cámara posterior (entre iris y cristalino), y no afecta drásticamente el grado de
convergencia de los rayos de luz que pasan por él. Su producción es constante siendo un
aporte importante de nutrientes y oxígeno para la córnea, además, tiene la función de
mantener su presión constante, lo que ayuda a conservar la convexidad original de la
córnea. El humor acuoso tiene un índice de refracción 1.34, similar al del agua.
El Iris [4] se sitúa detrás de la córnea, y es precisamente la porción circular del tejido
pigmentado que le da su color al ojo, esta estructura pigmentada suspendida entre la córnea
y el cristalino, tiene una abertura circular en el centro, la pupila, que es un orificio situado
en la parte central del Iris para el paso de la luz. Se trata de una abertura dilatable y
contráctil, con la función de regular la iluminación que le llega a la retina, en la parte
posterior del ojo. El tamaño de la pupila está controlado por dos músculos: el esfínter de la
pupila que la cierra y el dilatador de la pupila que la abre.
1.1.1.2 Cristalino
El cristalino [1], es un componente del ojo con forma de lente biconvexa asimétrica que
está situado tras el iris y delante del humor vítreo. Su propósito principal consiste en
permitir enfocar objetos situados a diferentes distancias, como se aprecia en la Fig. 1.3.
Este objetivo se consigue mediante un aumento de su curvatura y de su espesor, proceso
que se denomina acomodación. El cristalino se caracteriza por su alta concentración en
proteínas, que le confieren un índice de refracción más elevado que los fluidos que lo
rodean; el índice de refracción varia de 1.386 en la orilla hasta 1.406 en la parte central (es
un medio con índice de gradiente, por lo que varía continuamente el índice de refracción).
Este hecho es el que le otorga su capacidad para refractar la luz, ayudando a la córnea a
formar las imágenes sobre la retina.
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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Fig. 1.3 Proceso de acomodación del cristalino. a) Objeto Cercano, b) Objeto Lejano.
A medida que la edad del sujeto aumenta, el cristalino va perdiendo progresivamente su
elasticidad y por tanto su capacidad para acomodar. Este fenómeno se conoce como
presbicia o vista cansada [1, 9-12] y sus causas no son claras, aunque estudios [12] indican
que se deben al envejecimiento de los músculos ciliares. Este problema, afecta a la totalidad
de la población desde su nacimiento, y se hace evidente a partir de los cuarenta años,
exigiendo el uso de anteojos para enfocar objetos cercanos. Un problema importante que
afecta al cristalino, son las cataratas. Por este nombre se conoce a cualquier pérdida de
transparencia del mismo que afecte a la visión. Sus causas son diversas y cuando se
encuentran en un estado avanzado requieren de una operación quirúrgica.
1.1.2.3 Humor Vítreo
Continuando con el resto de la componentes anatómicas y fisiológicas del ojo, tenemos al
Humor Vítreo [1], el cual es un líquido gelatinoso y transparente que rellena el espacio
comprendido entre la retina y el cristalino (cumple la función de amortiguar ante posibles
traumas o golpes). Es más denso que el humor acuoso. Está compuesto en un 99.98% por
agua (el resto consiste en cantidades menores de cloro, sodio, glucosa y potasio). La
cantidad de proteínas del humor vítreo es aproximadamente una centésima parte del de la
sangre. El humor vítreo igual que el humor acuoso proveen los elementos necesarios para el
metabolismo de los tejidos vasculares como la córnea y el cristalino y junto con la córnea
constituyen los 4 medios transparentes del ojo.
1.1.2.4 Retina
La retina [1, 15-19], es la túnica delgada de múltiples capas que se encuentra en la parte
posterior del ojo y funciona como una pantalla sobre la cual, la córnea y el cristalino
proyectan imágenes. Dentro de la retina existen dos tipos de receptores visuales: los conos
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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y los bastones (como se aprecia en la Fig.1.4), cuya función es traducir las imágenes en
impulsos nerviosos que se envían al cerebro.
Fig. 1.4 Partes constitutivas de la retina [19].
Además, dentro de la retina existe una pequeña depresión llamada fóvea, esta área de la
retina, es donde se enfocan los rayos luminosos y se encuentra especialmente capacitada
para la visión aguda y detallada.
1.1.2 Descripción del Sistema Óptico de Ojo
De acuerdo con la descripción presentada en la sección anterior, podemos considerar que el
sistema óptico del ojo [1-6] se puede representar como una combinación de lentes (cornea y
cristalino más humor acuoso y humor vítreo) que enfocan en la retina los rayos que salen
divergentes de un objeto. En la Fig. 1.5 esquematizamos de manera muy general, el
funcionamiento del ojo humano, como un sistema formador de imagen.
Fig. 1.5 Esquema del funcionamiento del ojo humano.
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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Para entender completamente el funcionamiento del sistema óptico del ojo humano es
necesario describirlo con más detalle. Para ello, es preciso realizar una representación de
este sistema óptico, definiendo los llamados puntos cardinales, así como el eje óptico y el
eje de visual. Los cuales se especifican a continuación.
El eje óptico: Es una línea imaginaria que une los centros de curvatura de una lente simple
y es perpendicular a esta; sobre dicho eje se localizan los planos principales, los puntos
nodales y los puntos focales.
Plano principal: Es un plano imaginario definido por la intersección de las prolongaciones
de los rayos incidentes y los rayos refractados finales.
Puntos principales: Es el punto donde se interceptan el plano principal con el eje óptico.
Puntos nodales: Son dos puntos axiales tal que un rayo dirigido al primer punto nodal que
forma un ángulo θ con el eje óptico, y sale del sistema pasando real o virtualmente por el
segundo punto nodal paralelo a su dirección original, cuando el sistema es limitado en
ambos lados por el aire el punto nodal es el mismo que el punto principal.
Plano Nodal: Es el plano perpendicular al eje óptico que pasa a través de los puntos
nodales.
Eje visual: Es la línea imaginaria que pasa por el centro de la pupila a la región de la fóvea.
Dicho eje de visión subtiende un ángulo de 5 minutos de arco respecto al eje óptico.
Foco: Es el punto de convergencia de los rayos luminosos, cuando estos llegan paralelos
entre sí y al eje óptico a la lente, y su distancia se mide a partir de los planos principales.
Vértice: Es un punto sobre la superficie refractora que intersecta al eje óptico, en el centro
de su abertura libre. Esta abertura se supone de forma circular.
La figura 1.5 representa el esquema del ojo teórico [77]. Donde se puede observar que los
planos principales (H, H’), localizados detrás de la córnea, igualmente que los puntos
nodales (K, K’). El primer punto focal está fuera del ojo, el segundo está por supuesto en la
retina, y se miden a partir de los planos principales.
1.1.3 Defectos de Refracción del Ojo
Cuando un ojo, en su estado relajado, ve enfocados los objetos situados en el infinito se le
denomina ojo emétrope [1]. Esto significa que un ojo es emétrope cuando el plano
conjugado de la retina está en el infinito, y se denomina amétrope en todos los demás casos
[9-14]. Las anomalías reciben el nombre de ametropías y las más frecuentes son:
Astigmatismo, Miopía, Hipermetropía, Presbicia y Keratocono, en esta sección trataremos
las diferentes ametropías que afectan el funcionamiento refractivo del ojo humano [9-14].
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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1.1.3.1 Astigmatismo
El astigmatismo [1, 9-12] es un estado ocular que proviene de un problema en la curvatura
de la córnea, lo que impide el enfoque claro de los objetos tanto lejanos como cercanos, un
esquema se muestra en la Fig. 1.6.
Fig. 1.6 Ojo astigmático viendo al infinito.
La córnea, que es aproximadamente esférica, sufre un achatamiento en su perfil, lo cual
produce distintos radios de curvatura por lo cual los rayos convergen antes o después de la
retina. Específicamente en la córnea, la imagen que se obtiene es poco nítida y
distorsionada.
La córnea deformada hace que los rayos de luz se enfoquen en diferentes puntos como se
muestra en la Fig. 1.7. A la región cercana a los focos se le designa con frecuencia con el
nombre de conoide de Sturm.
Fig. 1.7 Forma de la córnea y refracción de los rayos en un ojo astigmático [1].
Los rayos de luz que entran en el ojo no enfocan en un solo punto, pero en cambio enfocan
en dos imágenes lineales a ángulos rectos el uno al otro. El sistema de coordenadas para
dichas curvaturas se especifica con las letras mayúsculas; A, A’ y B, B’.
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1.1.3.2 Miopía
La miopía [1, 9-12], es uno de los defectos refractivos del ojo en el cual los rayos
luminosos de objetos distantes se enfocan delante de la retina, de modo que la persona
miope, solamente puede ver claramente objetos cercanos. Una persona que sufre de miopía
tiene un globo ocular que es más largo desde el frente hacia atrás que el globo ocular de una
persona con una visión normal. La diferente longitud del globo ocular provoca que los
rayos de luz que entran en el ojo se concentren delante de la retina, la membrana sensorial
está en las líneas de los ojos, y no en su superficie. Esto se traduce en visión próxima. En la
Fig 1.8, ilustramos las características de un ojo miope.
Figura 1.8 Ojo miope viendo al infinito. La imagen se enfoca por delante de la retina.
1.1.3.3 Hipermetropía
En oftalmología, la hipermetropía [1, 9-12], es un trastorno de refracción del ojo con
alteración de la visión que para rayos paralelos incidentes produce convergencia de los
rayos de luz en un punto detrás de la retina sin acomodación. Se compensa con el uso de
lentes convergentes. La persona hipermétrope tiene problemas de visión a distancias cortas,
pudiendo ver con mayor claridad a distancias largas. Sin embargo, la acomodación puede
compensar este problema, ya que para una persona hipermétrope la visión de objetos a
distancias largas implica un cierto grado de tensión de los músculos ciliares para poder
enfocar la imagen correctamente sobre la retina. Por este motivo son frecuentes problemas
de vista cansada en hipermétropes de altas dioptrías. Al igual que la miopía, la
hipermetropía es una ametropía, un defecto de la visión caracterizado por la visión borrosa
de objetos situados en este caso a cortas distancias, esquematizado en la Fig 1.9.
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Fig. 1.9 Ojo hipermétrope viendo al infinito. La imagen se enfoca por detrás de la retina.
Es decir, la hipermetropía se caracteriza por la dificultad para ver bien objetos cercanos. El
ojo no puede enfocar objetos situados más cerca de una determinada distancia denominada
punto próximo o punto cercano. En una persona adulta joven sin defectos ópticos el punto
cercano se sitúa a 25 cm del ojo. En un hipermétrope el punto cercano se desplaza a
mayores distancias.
1.1.3.4 Presbicia
La presbicia, también denominada vista cansada [1, 9-12], es un defecto o imperfección de
la vista que consiste en la disminución de la capacidad de enfoque del ojo (Fig. 1.10). Para
poder observar claramente los objetos situados cerca, se necesita una modificación de la
estructura del cristalino. Por otro lado, es importante hacer notar que en este tipo de
ametropía se conserva bien la visión lejana.
Fig. 1.10 ojo présbita viendo al infinito.
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La causa de la presbicia es congénita, debido a alteración de los músculos de acomodación
también llamados musculos ciliares [1, 9-12]. Con el paso de los años se reduce la
capacidad de adaptación del cristalino (pierde flexibilidad) y aumenta la distancia del ojo a
la que se encuentra el punto próximo.
1.1.3.5 Queratocono
El queratocono o cornea cónica es un desorden que sufre el ojo humano, el cual, no
necesariamente causa ceguera, pero puede interferir significativamente con la visión. Es
una condición en la que la forma que tiene la córnea (elipsoide prolato) se distorsiona y se
desarrolla una prominencia en forma de cono [13-14]. Ya que la córnea es la principal lente
del ojo humano, la visión disminuye significativamente al deformarse de esta manera, la
curvatura aumenta, el radio de curvatura disminuye, al igual que las distancias focales; por
ello el ojo se vuelve muy miope. La progresión del queratocono es generalmente lenta y
puede detenerse en cualquiera de las fases: desde leve hasta severo. En la Fig. 1.11 se
muestra un ejemplo de una córnea con queratocono.
Fig. 1.11 Superficie anterior de la córnea con Queratocono.
Adicionalmente, la deformación corneal debida al queratocono puede producir errores de
refracción, que suelen ser; miopía o astigmatismo, sin embargo, también puede producir
“iatrogénica” también llamada queratectásia. Este problema afecta comúnmente a niños, y
como se mencionó anteriormente, puede ser progresivo. Una posible corrección del
queratocono se realiza mediante anteojos, pero si la superficie corneal es altamente
irregular, entonces es muy difícil de corregir con anteojos; ya que estos ocasionan grandes
trastornos visuales, por lo cual se sugiere el uso de lentes de contacto, para esto es necesario
valorar la forma que tiene la córnea y con base a esta descripción prescribir los lentes de
contacto apropiados. Por otro lado, la cirugía refractiva suele ser una opción para corregir el
queratocono, pero solo se propone cuando la visión con lentes de contacto no es lo
suficientemente buena o cuando el paciente tiene limitación para usar los lentes de
contacto.
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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Con lo mencionado anteriormente, es importante conocer instrumentos de medición que
sirvan para evaluar la superficie de la córnea y de esta manera tener información de los
problemas refractivos del ojo humano.
1.2 Instrumentos Comerciales para Obtener la Forma de la córnea
En el transcurso de los años se han desarrollado variados instrumentos con diferentes
niveles de sofisticación, con la intención de examinar y medir la forma de la córnea. En
primer lugar, surgieron los queratómetros, posteriormente los queratoscopios, enseguida los
videoqueratómetros y finalmente los topógrafos corneales.
En sus inicios, la evaluación de la topografía corneal se realizaba de manera cualitativa,
pero actualmente, se hacen evaluaciones cuantitativas. Esto se debe principalmente, al
desarrollo de nuevas metodologías experimentales y nuevos modelos teóricos, los cuales
hacen un trabajo conjunto, con el propósito de buscar mejores resultados [23-44]. Es así,
como la queratometría (medición de la córnea) tomó un nuevo aire en el campo
investigativo, tanto en el contexto médico, como en el contexto de la óptica; los ópticos
empezaron a involucrarse cada día más en estos temas de relevancia clínica, diseñando
instrumentos, que permiten medir parámetros importantes, como la sagita, el radio de
curvatura, o inclusive el poder refractivo, y con base a esta información, tener una idea del
comportamiento de dicha superficie.
En las siguientes secciones se presentan dichos instrumentos, describiendo su
funcionamiento básico así como la manera en que evalúan la superficie anterior de la
córnea.
1.2.1 Queratómetro
El queratómetro [1, 23] es un instrumento de reflexión con el que se puede estimar la
curvatura máxima y mínima en la zona óptica de la córnea, lo cual, es de suma importancia
para determinar de una manera práctica el estatus refractivo de la córnea, así como su
forma. El principio para este instrumento consiste en medir el tamaño de la imagen
reflejada por la córnea de un objeto luminoso. En la Fig. 1.12 se muestra como desde un
objeto se propagan rayos hacia una superficie esférica reflejante, la cual produce una
imagen reducida, derecha y virtual, situada en el interior de la superficie.
Fig. 1.12 Principio físico de un queratómetro.
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De acuerdo a la óptica geométrica, el tamaño de la imagen virtual mostrada en la Fig.
(1.12) está directamente relacionado con el radio de curvatura de la superficie mediante la
Ec. 1.1
 h 
r  2 x  ,
 h' 
(1.1)
donde h es la altura del objeto y, h’ es el tamaño de la imagen, x es la distancia entre el
objeto y el vertice de la córnea y r es el radio de curvatura de la superficie. Dicha Ec. (1.2)
es la base de todos los queratómetros. Una vez conocido el radio de curvatura de la cara
anterior de la córnea, se puede estimar su potencia en el meridiano correspondiente
siguiendo la Ec. (1.1). De la cual se obtiene
P
 n  1
r
,
(1.2)
donde n es el índice de refracción y r el radio de curvatura.
1.2.2 Queratoscopio
El queratoscopio es un instrumento mediante el cual se puede realizar una evaluación
cualitativa de la forma de la córnea. Este instrumento fue inventado por Antonio Plácido da
Costa [1, 25]. El queratoscopio consiste de una serie de anillos concéntricos blancos y
negros alternados, que se colocan sobre una pantalla plana, con un agujero en su centro, a
través del cual, se puede ver la imagen reflejada en la superficie corneal de un individuo
situado en frente de la luz, tal como se muestra en la Fig. 1.13.
a)
b)
Fig. 1.13 a) Queratoscópio de Plácido, b) anillos de Plácido reflejados sobre la superficie de la córnea [25].
El procedimiento para realizar la evaluación de la córnea consiste en situar el dispositivo a
una distancia de 20 cm (dicha distancia puede variar) enfrente de cada ojo del paciente,
mientras que se encuentra con la mirada fija sobre el centro de la apertura. Al mismo
tiempo, el especialista observa por detrás de la apertura de la imagen de los anillos,
teniendo en cuenta su forma, separación y regularidad. Si los anillos son circulares,
concéntricos y regulares se dice que la superficie corneal es esférica y que está sana. Si
todos los anillos forman un conjunto de elipses con el diámetro mayor orientado
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Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
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horizontalmente, ello indica que la superficie corneal anterior es astigmática según la regla.
Si los anillos elípticos están orientados con su diámetro mayor orientado a 90°, esto
significa que la superficie corneal es astigmática en contra la regla. Si el diámetro mayor de
las elipses está inclinado hacia la derecha o hacia la izquierda, indica una córnea con
astigmatismo oblicuo. Si los anillos son ovalados y no están separados uniformemente, se
trata de una córnea cónica, es decir, con queratocono. De esta forma, el queratoscopio surge
como un dispositivo más útil que el queratómetro desde el punto de vista cualitativo, y
suele ser un instrumento complementario en el estudio oftalmológico.
1.2.3 Videoqueratómetro
El videoqueratómetro [1, 26] es un instrumento computarizado que permite obtener lecturas
queratométricas más exactas que las determinadas por un queratómetro, además,
proporciona información de las curvaturas periféricas, así como de la cara anterior de la
córnea. Existen dos clases de videoqueratoscopios: los que utilizan como principio de
medición el disco de Plácido (Fig. 1.14), y los que utilizan además un haz de hendidura con
el que se explora toda la córnea (Fig. 1.15). La última generación de topógrafos corneales
emplea ambos principios. A continuación en la Fig. 1.14 se muestra un ejemplo de dicho
instrumento
a)
b)
Fig. 1.14 a) Videoqueratoscopio de anillos de Plácido, b) Reflexión de anillos sobre la superficie de la córnea
[26].
1.2.3.1 Videoqueratómetro con Lámpara de Hendidura
El videoqueratometro de lámpara de hendidura [1, 27] se compone de un sistema
microscópico binocular que enfoca en el mismo punto que el sistema de iluminación. Este
sistema va montado en un brazo móvil que permite variar el ángulo incidente de luz sobre
los tejidos oculares. Un esquema de este instrumento se muestra en la Fig. 1.15.
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Fig. 1.15 Videoqueratómetro con lámpara de hendidura [27].
Con este instrumento se pueden estudiar todas las capas de la córnea y localizar, con cierta
exactitud, donde puede existir una lesión. Posteriormente, el mismo sistema de análisis de
la morfología corneal combinó esta técnica de barrido de toda la córnea empleando un haz
de hendidura con un sistema avanzado de anillos de disco de Plácido en un instrumento
conocido como Orbscan [27].
1.2.4 Topógrafo Corneal
La evaluación de la superficie anterior de la córnea puede realizarse de una manera más
sofisticada mediante el uso de topógrafos corneales, los cuales en su mayoría funcionan
basados en el disco de Plácido, debido a su sencillez y fácil implementación. Sin embargo,
actualmente los topógrafos corneales son instrumentos verdaderamente revolucionados para
el estudio de la córnea, ya que combina un conjunto de tecnologías. En las siguientes
secciones veremos algunos modelos de topógrafos corneales, los cuales ofrecen ciertas
ventajas y desventajas en la evaluación de la superficie corneal.
1.2.4.1 Topógrafo Corneal basado en Anillos de Plácido
Tradicionalmente, la forma de la córnea se ha obtenido mediante topógrafos corneales que
en su mayoría funcionan basados en el disco de Plácido [1, 23-27]. Estos topógrafos
corneales basados en la reflexión de los anillos de Plácido, buscan reconstruir la topografía
corneal a partir del análisis de la imagen reflejada sobre la cara anterior de la córnea, dando
lugar a distintos mapas topográficos. Un diagrama de un topógrafo corneal basado en
anillos de Plácido así como una imagen de los anillos reflejados sobre la superficie corneal
se muestran en la Fig. 1.16.
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a)
b)
Fig. 1.16 a) Topógrafo Corneal basado en el disco de Plácido, b) anillos de Plácido reflejados sobre la
superficie de la córnea [27].
La habilidad para reproducir la topografía corneal con este tipo de instrumentos está
condicionada por el método utilizado para procesar matemáticamente la imagen reflejada,
la distancia de trabajo, así como la propia alineación del sistema, además de la anatomía
ocular; la cual pueden afectar en la adquisición de la imagen que será analizada. Se sabe
que si los anillos aparecen circulares y concéntricos, se asocia con una córnea simétrica, sin
embargo, si el patrón de anillos es irregular, esta distorsión ofrece información sobre la
superficie de la córnea. Por ejemplo cuando los anillos son más bien elipses se dice que se
tiene una córnea astigmática, o si dichos anillos son abultados hacia el centro de la córnea
entonces se dice que hay queratocono.
1.2.4.2 Topógrafo Corneal tipo Orbscan
Este modelo de topógrafo [28] combina un sistema de barrido con un fentobiomicroscopio
(lámpara de hendidura) y un Disco de Plácido (con 40 anillos) para medir la curvatura y
elevación de la cara anterior de la córnea, así como la curvatura y elevación de la cara
posterior de la misma. El Orbscan capta una serie de imágenes de cortes de la córnea con la
luz de hendidura de dos fentobiomicroscopios que emiten haces de luz en ángulo de 45
grados, a la derecha o la izquierda del eje del instrumento. El sistema capta 40 imágenes, 20
con la luz de hendidura proyectada desde la derecha y 20 con la luz hendida proyectada
desde la izquierda, con una distancia entre cortes de 250 m.
Los fundamentos de la medida a través de un Orbscan es que emplea reflexión difusa,
detecta el centro corneal y utiliza los haces y la dispersión para triangular la forma de la
superficie, tiene un sistema de eye tracking para seguir los movimientos sacádicos del ojo.
El Orbscan posee características especiales con respecto a otros topógrafos, nos da
información de la cara anterior y de la cara posterior de la córnea, y de la relación entre
ellas. También detecta la cara anterior del iris y del cristalino y con ellos obtiene
información sobre la profundidad de la cámara y el tamaño pupilar en condiciones
fotópicas como se mencionó anteriormente.
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Adicionalmente, el topógrafo Orbscan es capaz de medir la profundidad de la cámara
corneal (espacio entre la cara posterior de la córnea y el iris), el diámetro pupilar, la
queratometría simulada que es la obtención de los valores de los radios de curvatura en la
zona central [ver Fig. 1.2 b) Pag. 7], donde tendría lugar la reflexión de las miras del
queratómetro y finalmente la paquimetría corneal (técnica utilizada para medir el espesor
corneal).
Mediante el conocimiento de la geometría del sistema, las coordenadas de los puntos de
cada anillo con sus correspondientes puntos en el plano imagen y la distancia entre los
anillos y el vértice corneal, se puede estimar la pendiente del punto corneal en la dirección
radial. Sin embargo, una posible limitación de los sistemas que usan el disco de Plácido es
la ambigüedad para recuperar los datos en la dirección azimutal (es decir, la dirección
ortogonal a la dirección radial), ya que se pierde la correspondencia uno a uno con los
puntos en el plano imagen. Debido a esto, la reconstrucción de la topografía corneal
(curvatura, potencia dióptrica y elevación) se hace en un plano meridional. Esta es la gran
limitación que tienen estos sistemas de medición, ya que en el arreglo en general hay
presencia de rayos oblicuos producidos por la no simetría rotacional de la córnea o por la
incorrecta alineación de ésta respecto al eje óptico del topógrafo. La manera de solucionar
este problema es cambiar la pantalla de anillos por un patrón de puntos que permitan
obtener información tanto en la dirección azimutal como en la dirección radial.
1.2.5 Topógrafos Corneales de Puntos Independientes
Recientemente se han desarrollado nuevas generaciones de topógrafos, los cuales utilizan
un conjunto de iluminadores como puntos objeto. Dentro de estos diseños destacan los
targets tipo tablero de ajedrez, los cuales se imprimen en un cono o en una pantalla de tipo
tablero de ajedrez [29]; otro ejemplo son los diseños de LEDs como fuentes independientes,
desplegadas también en una pantalla cónica [30], otro tipo de topógrafo, son los arreglos de
puntos desplegados en una pantalla LCD, la cual se pone enfrente del ojo de un paciente
[31]. Finalmente, en el grupo de pruebas ópticas del CCADET-UNAM se tiene experiencia
en el diseño de arreglos de puntos separados impresos en una pantalla nula de tipo
elipsoidal o mediante pantallas cilíndricas [32, 33-35]. Todas estas geometrías de puntos
independientes tienen una ventaja sobre los topógrafos del tipo disco de Plácido, ya que
superan el denominado problema del rayo oblicuo [36-45].
1.2.5.1 Topógrafo tipo Tablero de Ajedrez
Este tipo de topógrafo fue propuesto por Jim Schwiegerling [29], y consiste en un
instrumento que emplea un target de tipo tablero de ajedrez . Note en la Fig. 1.18 a) que el
arreglo del tipo tablero de ajedrez está diseñado de tal manera, que la reflexión de este
patrón sobre la superficie de la córnea se produce un arreglo perfectamente cuadrado, el
cual se muestra en la Fig. 1.18 b). Cualquier deformación del patrón estará asociada con
cambios en el radio de curvatura, astigmatismo, asfericidad y queratocono de la misma
superficie corneal.
21
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 1.18 a) Topógrafo Corneal basado en un arreglo tipo Tablero de Ajedrez b) Imagen de la reflexión del
tablero de ajedrez sobre la superficie de la córnea [29].
En el trabajo publicado por Schwiegerling [29], se reportan resultados cualitativos y
cuantitativos, sobre el funcionamiento de este instrumento, así como la propuesta para su
diseño y construcción.
1.2.5.2 Topógrafo de Fuentes individuales mediante LEDs
Este sistema utiliza 672 LEDs como un conjunto de iluminadores o estimuladores, para ser
reflejados sobre la superficie corneal [30]. El patrón de LEDs tienen una variación en la
distribución de los mismos mediante tres colores: rojo, amarillo y verde. Esto asegura una
correcta correspondencia entre los puntos de origen y los puntos imagen. Mediante una
cámara localizada en el interior del instrumento, se obtiene una foto sobre la córnea
humana.
Para analizar el conjunto de manchas y las deformaciones del patrón de los puntos por
reflexión, se desarrollan algoritmos apropiados que implica técnicas de filtrado. Esto se
aplica para localizar puntos de ciertas características en el reflejo corneal. Un diagrama de
este tipo de topógrafo, así cómo una imagen de puntos brillantes reflejados sobre la
superficie corneal se muestran en la Fig. 1.19.
a)
b)
Fig. 1.19 a) Topógrafo Corneal de fuentes independientes mediante LED, b) Puntos reflejados sobre la
superficie de la córnea [30].
22
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
Para obtener la reconstrucción de la superficie, se desarrollan programas basados en un
trazo inverso de rayos. Una prueba preliminar sobre la eficacia de los algoritmos
desarrollados con este método, se muestra mediante la evaluación de corneas humanas, tal
como se describe en el método propuesto por Sicam e.t. [30].
1.2.5.3 Topógrafo Corneal de Multicámara
Este sistema utiliza un arreglo de tres cámaras ensambladas sobre una pantalla TFT, que es
una variante de pantalla de cristal líquido (LCD) que usa tecnología de transistor de
película finas tipo (TFT) para mejorar la calidad de imagen. En este caso, es utilizada para
capturar la imagen de un patrón de puntos sobre la superficie de la cornea mediante
reflexión especular. Dicho modelo de topógrafo, ha sido reportado como un modelo
relativamente nuevo [31], un ejemplo de este instrumento se muestra en la Fig. 1.20.
a)
b)
Fig. 1.20 a) Topógrafo Corneal basado en reflexión especular de un arreglo de puntos b) Imagen de la
reflexión de los puntos sobre la superficie de la córnea [31].
La pantalla tipo TFT, se utiliza para desplegar y visualizar un patrón de puntos. Por otro
lado, las tres cámaras de color están acopladas rígidamente en la pantalla, dichas cámaras
están sincronizadas y dirigidas hacia el ojo del paciente.
Para la reconstrucción de la superficie se utiliza un proceso de triangulación, mediante las
coordenadas del target y las coordenadas de cada punto proyectado en la córnea. La
cualidad más importante de dicho instrumento, es que obtiene la reconstrucción de la
superficie de manera especular mediante el uso de un sistema de multicámaras que son
previamente calibradas. Algunos otros detalles de dicho arreglo son explicados en la ref.
[31].
1.2.6 Topografía Mediante el uso de Pantallas Nulas
La queratometría mediante el uso de pantallas nulas es un método desarrollado en el
CCADET-UNAM [33-35, 48], el cual, se basa en capturar la imagen de un patrón
previamente definido, de tal manera, que sea fácil detectar cualquier diferencia en la
23
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
imagen formada por la superficie bajo prueba. Ahora bien, si las deformaciones son nulas
se debe a que todo está perfectamente alineado y que la superficie no tiene deformaciones,
si por otro lado, se presenta alguna deformación en el patrón observado, esto se debe a una
posible desalineación o a deformaciones en la superficie bajo prueba. Un ejemplo de dicho
instrumento se muestra en la Fig. 1.21.
Fig. 1.21 Queratómetro Diseñado y Construido en el CCADET-UNAM [33].
Los patrones más comúnmente usados para evaluar la superficie de la córnea son los
siguientes.
1.2.6.1 Malla cuadrada
Este patrón que consta de una serie de líneas verticales y horizontales que forman la imagen
de una malla cuadrada sobre la superficie corneal. Este patrón funciona muy bien para
realizar pruebas cualitativas de la córnea, ya que se pueden observar fácilmente cualquier
tipo de deformación en el patrón, a causa de alguna anomalía en la superficie corneal. Sin
embargo, para evaluaciones cuantitativas no es tan efectivo ya que en vez de obtener un
centroide de una mancha, se debería localizar los cruces de las líneas horizontales y
verticales, pero actualmente no se han desarrollado algoritmos para localizar dichos puntos.
En la Fig. 1.22 se muestra un ejemplo de una córnea evaluada mediante un patrón de líneas
y su correspondiente pantalla nula.
24
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 1.22 Queratometría con Pantallas nulas [33-35], a) Malla cuadrada, b) Pantalla nula, c) Imagen
Reflejada en la Superficie de la Córnea.
1.2.6.2 Anillos concéntricos con líneas radiales
Este patrón se compone de un arreglo de anillos concéntricos con líneas radiales. Este
patrón tiene cierta similitud a la imagen obtenida con el disco de Plácido, sin embargo, en
este caso se tienen líneas radiales, que evitarían el problema del rayo oblicuo [36-47]. La
evaluación cuantitativa con este tipo de patrón tiene también algunas desventajas, ya que al
igual que en el caso anterior, sólo se puede evaluar en las intersecciones de las líneas
radiales con las líneas circulares. Un ejemplo de una imagen obtenida con este arreglo, así
como su pantalla nula correspondiente se muestran en la Fig. 1.23.
a)
b)
c)
Fig. 1.23 Queratometría con Pantallas nulas [33-35], a) Patrón de Anillos concéntricos con líneas
radiales, b) Pantalla nula, c) Imagen Reflejada en la Superficie de la Córnea.
1.2.6.3 Arreglo cuadrado de círculos
Este tipo de patrón consta de una serie de círculos de un radio determinado, los cuales,
están separados una distancia constante, es decir es un arreglo cuadrado de circulos
igualmente espaciados. Este tipo de patrón tiene muchas ventajas respecto a los anteriores
respecto a la evaluación cuantitativa de la superficie bajo prueba, puesto que, en este caso
25
Cap. 1 El Ojo humano y la Topografía Corneal
_________________________________________________________________________
se han desarrollado algoritmos para el cálculo de los centroides de los círculos en la imagen
obtenida en el plano imagen. Cabe resaltar que la exactitud en la prueba de la superficie
depende de la exactitud de la evaluación de los centroides. Un ejemplo de este tipo de
patrón y la imagen obtenida sobre la superficie corneal, se muestran en la Fi. 1.24.
a)
b)
c)
Fig. 1.24 Queratometría con Pantallas nulas [33-35], a) Patrón de Puntos Independientes, b) Pantalla
nula, c) Imagen Reflejada en la Superficie de la Córnea
1.3 Conclusiones
Con la revisión anterior, se ha enmarcado la importancia del ojo humano como un sistema
formador de imagen independiente del cerebro. Además, se han descrito las principales
componentes anatómicas que lo conforman para la formación de imágenes en la retina.
Posteriormente, se han explicado las diferentes ametropías primarias que puede presentar el
sistema óptico del ojo, resaltando que la superficie corneal es el elemento óptico que más
contribuye en los problemas refractivos, por lo cual, es importante conocer los instrumentos
que sirven para evaluar a dicha superficie. De esta manera, se ha incluido una revisión
sobre la topografía corneal, mencionado la evolución de los diferentes instrumentos para
evaluar dicha superficie a través de los años. Adicionalmente, se han presentado algunos
modelos de topógrafos corneales, los cuales usan un principio de puntos independientes,
que son una propuesta diferente a los modelos que funcionan bajo el principio de anillos de
Plácido, dichos modelos pueden tener ciertas ventajas ya que evitan el denominado
problema del rayo oblicuo. Por lo tanto, en los siguientes capítulos, se propone el diseño y
construcción de un arreglo experimental de LCD’s bajo el principio de pantallas nulas, el
cual servirá para evaluar una esfera de calibración que puede representar en una primera
aproximación a la superficie de la córnea.
26
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
CAPITULO 2
DISEÑO DE PANTALLAS NULAS PLANAS EN UNA CONFIGURACIÓN DE
LCD’s EN FORMA DE PRISMA TRIANGULAR
El diseño de pantallas para ser utilizadas como filtros objeto o iluminadores en la
evaluación de superficies esféricas o asféricas; tiene su origen en las pruebas tradicionales
de Ronchi y Hartman [49-50], adquiriendo su principal aplicación en la prueba de
superficies cóncavas así como en la prueba de grandes telescopios (Cornejo, Malacara 1992
y Ghozeil 1974) [51]. Sin embargo, existen otras técnicas que de manera análoga emplean
el uso de Pantallas para evaluar superficies asféricas convexas de dimensiones cercanas a la
córnea humana [32-35]. Este tipo de técnica se denomina; prueba de superficies asféricas
rápidas mediante el uso de Pantallas Nulas [48].
En este capítulo se describen los conceptos de óptica geométrica que intervienen en el
diseño de pantallas nulas, en particular, trataremos sobre el diseño de Pantallas Nulas
Planas para una configuración de LCD’s en forma de prisma triangular. Adicionalmente, se
presenta el desarrollo del Método de Corrimiento Dinámico de Puntos (DyPoS), mediante
el cual, podemos incrementar el número de puntos muestreados y reducir el error de
truncamiento en la evaluación de la superficie. Finalmente, se presentan los patrones
comúnmente usados para la evaluación de una superficie, mostrando las capacidades del
arreglo propuesto para desplegar cualquier tipo de geometría en el diseño de pantallas
nulas.
2.1. Método de Pantallas Nulas
La propuesta inicial del Método de Pantallas Nulas fue hecha por Díaz-Uribe y CamposGarcía en el 2000 [48], quienes la definieron como un conjunto de líneas o gotas que se
imprimen en papel o cualquier otra superficie. Esta técnica surge como un método
novedoso para probar superficies ópticas, donde lo interesante del método consiste en saber
cómo se lleva a cabo el diseño de la pantalla nula. Ahora bien, la prueba de superficies
ópticas mediante el método de pantallas nulas, está basada en el análisis de la imagen
obtenida; dicha imagen proviene de un conjunto de puntos, líneas, gotas, etc., que son
dibujados sobre una pantalla. La pantalla puede adoptar diferentes formas, por ejemplo:
plana, cilíndrica, cónica, o de la geometría que uno decida. La imagen observada se forma
por reflexión en la superficie bajo prueba, llega a ser un patrón perfecto (malla de líneas,
arreglo cuadrados de círculos, arreglo radial de círculos, etc.), siempre y cuando la
superficie de prueba sea perfecta y este ubicada en la posición apropiada de acuerdo a los
parámetros de diseño (de aquí el nombre de prueba nula, ya que cuando no hay
deformaciones en la superficie, la desviación de los puntos es nula) [48]. Por lo contrario, sí
las desviaciones de posición de los puntos en la imagen del patrón resultante no es nula, se
deberá a imperfecciones, desenfoque o desalineación de la superficie de prueba.
La ventaja de este método para la prueba de superficies ópticas es que no requiere de un
sistema óptico diseñado ex profeso para la evaluación de la superficie; tan solo es necesario
un sistema óptico convencional que permita visualizar la imagen virtual de los puntos de la
27
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
pantalla nula generada por la reflexión en la superficie bajo prueba. Otra característica es
que permite realizar la prueba de toda la superficie a la vez, además, la iluminación que se
utiliza puede ser proveniente de fuentes de luz extendida, como lámparas fluorescentes, o
de algún otro dispositivo que emita su propia fuente de iluminación; un ejemplo de ello son
los marcos digitales LCD (de los cuales se hablará en detalle más adelante), de esta manera,
no es necesario tener una fuente con iluminación coherente.
El sistema tradicional del método de Pantallas Nulas [48] para probar una superficie óptica,
está compuesto de un sistema óptico de enfoque, un sensor CCD, (CMOS o cualquier tipo
de sistema de detección de imagen conocido), un diafragma que permita limitar el ancho de
cada haz que entra al sistema óptico, además de una pantalla nula cilíndrica (o de la
geometría que se proponga). Es importante tener en consideración, que el sistema óptico
puede introducir una pequeña cantidad de distorsión que deberá tenerse en cuenta para
corregir los resultados experimentales de las coordenadas (x,y) de los centroides obtenidos
de la imagen experimental.
a)
28
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
b)
Fig. 2.1. Diseño de Pantallas Nulas de Distintas Geometrías. a) Pantalla Nula Cilíndrica, b) Pantalla
Nula Plana paralela al eje óptico.
Adicionalmente, el uso de Pantallas Nulas no se restringe solo a la prueba de superficies
convexas asféricas rápidas, sino que dicho método ha sido extensivamente demostrado para
medición de deformaciones de una gran cantidad de superficies ópticas, las cuales incluyen,
superficies cóncavas y convexas de diferentes tamaños [52-56], incluso superficies sin
simetría de revolución, como las secciones cónicas fuera de eje [57-59]. Además, el diseño
de pantallas nulas que aquí se propone, da una imagen casi plana, adecuada para los
sistemas ópticos habituales utilizados como sensores de imagen [48, 32].
Por otro lado, los trabajos preliminares sobre el diseño de pantallas nulas con intención de
hacer queratometría fueron los trabajos realizados por Ignacio Funes [33] y Roberto Colín
[34]. Estos trabajos enfatizan el uso de Pantallas Nulas para realizar la evaluación de una
superficie asférica de dimensiones cercanas a la córnea humana. En el trabajo de Ignacio
Funes se muestra un análisis cualitativo de la evaluación de una superficie corneal
utilizando pantallas nulas cilíndricas de líneas de diferentes espesor, que generan una
imagen de anillos concéntricos en la córnea, reproduciendo de esta manera, una imagen
similar a la que se forma mediante el sistema del disco de Plácido. Por su parte, el trabajo
de Colín mostró resultados cuantitativos de la evaluación de la superficie corneal de un
adulto utilizando una pantalla nula cilíndrica de gotas; además, demostró la viabilidad de
usar pantallas cilíndricas con la idea de tener una superficie objeto que pudiera generar una
29
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
imagen más plana. Más recientemente, Amílcar Estrada [35]; recurre nuevamente al diseño
de Pantallas Nulas Cilíndricas para construir un videoqueratómetro portátil para el uso de
lactantes, con dicho prototipo realiza algunas evaluaciones cuantitativas de esferas de
calibración, las cuales simulan en una primera aproximación la superficie de la córnea
humana.
De esta manera, podemos notar que el método de Pantallas Nulas incluye diseños de
Pantallas con diferentes geometrías, donde por supuesto, cada configuración tiene sus
ventajas y desventajas.
Una desventaja que tiene la configuración del método de pantallas nulas, es la denominada
zona oscura, que es la zona central cercana al vértice, donde, la superficie bajo prueba no
puede ser debidamente evaluada, ya que el sensor CCD obstruye los rayos incidentes en esa
zona. La extensión de esta zona depende del diámetro y distancia de la abertura donde se
localiza la pantalla (ver Fig. 2.2).
Fig. 2.2 Visualización de la zona oscura usando una pantalla plana paralela al eje óptico.
Por otro lado, es preciso mencionar que la denominada zona oscura es un problema que
aparece solo en configuraciones de pantallas nulas que sean paralelas al eje óptico; sin
embargo, no es un problema mayor, ya que el diseño de una pantalla nula plana ortogonal
al eje óptico, podría arreglar este problema, logrando la inclusión de más puntos cerca del
vértice de la superficie. El inconveniente de usar una pantalla nula plana ortogonal al eje
óptico, es que, la imagen obtenida no es plana, lo cual produce una imagen desenfocada.
Por lo cual, la mejor opción para decidir sobre la geometría de la pantalla nula que se quiera
usar, depende de la propuesta que se tenga pensada para la evaluación de una superficie
óptica.
En este trabajo se presenta una configuración de pantallas planas paralelas al eje óptico en
una disposición particular, la cual se describirá más adelante, primeramente se describe el
diseño de pantallas nulas planas paralelas al eje óptico.
30
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
2.1.1 Pantallas Nulas Planas
Para utilizar pantallas LCD para desplegar las pantallas nulas o “targets” en un topógrafo
corneal, solo podemos pensar en arreglos de Pantallas Nulas Planas. Puesto que no hay
disponibles en el mercado pantallas curvas o flexibles, de esta forma, la mejor
configuración será aquella que más se asemeje a un cilindro. Por ello elegimos un arreglo
de prisma triangular, o sí se quiere un cilindro triangular (compuesto por tres pantallas de
LCD). Puede pensarse en utilizar cilindros cuadrados o poligonales, pero ello requiere del
uso de una o más pantallas LCD; esto aumenta el costo y la complejidad para desplegar las
pantallas nulas. Por lo cual, la configuración de prisma triangular es la forma más sencilla
de adaptar dicho arreglo con el menor número de pantallas posible que permitan además
realizar la prueba de toda el área de la superficie óptica, tratando de disminuir la curvatura
de campo en la imagen obtenida.
Adicionalmente, uno de los objetivos de esta tesis es desarrollar el Método de Corrimiento
Dinámico de Puntos (DyPoS), con la intención de incrementar el número de puntos
muestreados al realizar la evaluación de una esfera de calibración de dimensiones cercanas
a la córnea humana. Mediante este método podemos disminuir el error de truncamiento
cometido en el proceso de integración (lo que se explica en el siguiente capítulo). En las
siguientes secciones, se muestra el desarrollo teórico del arreglo pantallas planas en una
configuración de LCD´s en forma de prisma triangular.
2.1.1.1 Trazo de Rayos para el Diseño de una Pantalla Nula Plana
Es importante resaltar que a diferencia de diseños anteriores de pantallas nulas, aquí no se
considera el modelo simple de una lente delgada o de cámara de pinhole. En este trabajo, se
utiliza el modelo de una lente gruesa, con sus puntos cardinales como elementos básicos
para realizar el diseño de la pantalla nula plana paralela al eje óptico, tal como se
esquematiza en la Fig. 2.3.
Fig. 2.3 Diagrama del trazo de rayos para el diseño de una Pantalla Nula Plana con modelo de lente
gruesa.
31
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Para hacer más claro el esquema de trazo de rayos en el diseño de una pantalla nula plana
paralela al eje óptico con el modelo de lente gruesa, presentamos un diagrama con una
perspectiva en tres dimensiones que nos ayuda a entender mejor la propagación de los
rayos en el arreglo propuesto (Fig. 2.4).
Fig. 2.4 Diagrama del trazo de rayos en tres dimensiones para el diseño de una Pantalla Nula Plana
paralela al eje óptico con modelo de lente gruesa.
Para determinar las coordenadas (x3, y3, z3) de los puntos sobre una Pantalla Plana paralela
al eje óptico, las cuales producen un arreglo cuadrado de puntos en el plano imagen es
necesario realizar un trazo inverso de rayos. Para ello, tomaremos en cuenta el diagrama
esquemático de la Fig. 2.4.
Si consideramos las coordenadas del punto P1 sobre el plano de detección (plano de la
CMOS). Un rayo parte desde el punto P1=(x1, y1, -b+t-a) propagándose hacia el segundo
punto nodal N2, con coordenadas N2=(0,0,-b+t), donde, a es la distancia del CMOS al
Plano Principal (H2), b es la distancia del Plano Principal (H1) al vértice (V) de la superficie
y t es la distancia que existe entre los Planos Principales (H1) y (H2). Posteriormente, el
rayo sale desde el punto nodal N1=(0,0,-b) incidiendo en la superficie óptica bajo prueba en
el punto P2(x2, y2, z2); donde, de acuerdo con la ley de reflexión, los rayos son reflejados
para propagarse hacia el punto P3(x3, y3, z3), incidiendo dicho conjunto de rayos sobre el
plano de la Pantalla Nula.
32
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
La dirección del rayo que parte del punto P1 y se propaga hacia el punto nodal N2 se puede
escribir de la siguiente manera;





I  N2  P1   x1 ,y1 ,a
,
(2.1)
Por otro lado, de acuerdo a la teoría paraxial de óptica geométrica [1-2, 48], el rayo que
inciden en el punto nodal (N2), salen con la misma dirección desde el punto nodal (N1), lo
único que cambia es el punto de partida, sin embargo, el vector de dirección representado
en la Ec. (2.2) es el mismo. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por P1 y que tiene
dirección I se puede escribir de la siguiente forma
 

2  N1 2I ,
(2.2)
Donde, ω2 representa a las coordenadas del punto P2, I es el vector de dirección del rayo
incidente y 2 es el parámetro del cual depende la ecuación de la recta. Esta ecuación nos
conduce a encontrar las coordenadas del punto P2(x2, y2, z2), las cuales se obtienen
mediante la intersección del rayo incidente con la superficie, a través de la ecuación
paramétrica (2.2), que puede ser reescrita como
( x2 , y2 ,z2 )  (0,0,b )   2 ( x1 , y1 ,a ) .
De esta manera
(2.3)
x2 2x1 ,
(2.4 a))
y2  2 y1 ,
z2 b 2a ,
(2.4 b))
(2.4 c))
Sabiendo que z2 corresponde al valor de la sagita en cada punto sobre la superficie,
podemos conocer el valor del parámetro 2, mediante la siguiente expresión
2 
z2  b
.
a
(2.5)
Por otro lado, la superficie bajo prueba está descrita por la función general de las cónicas
mediante la siguiente ecuación [48]
( x,y,z )  (k  1)z22  2z2r  x22  y22 ,
(2.6)
Donde r es el radio de curvatura de la superficie óptica en el vértice, x2, y2 son las
coordenadas del punto P2, y k representa la constante de conicidad, la cual, dependiendo del
tipo de cónica que se utilice para describir a la superficie, puede tomar diferentes valores,
los cuales se muestran en la tabla 1.
33
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
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Tabla 1. Valores de la constante de conicidad para distintas superficies
Cónica
Valores de la Constante de Conicidad
Hiperboloide
k < -1
Paraboloide
k = -1
Elipsoide
-1< k < 0
Oblato Esferosoidea
k>0
Esfera
k=0
Continuando con el procedimiento de las ecuaciones descritas anteriormente, podemos
sustituir las ecuaciones (2.4 a)) y (2.4 b)) en la ecuación (2.6). De esta manera, tenemos
una ecuación de segundo grado que puede quedar expresada de la siguiente forma
( x,y,z )  (k 1)z22  2z2r (2 x1 )2 (2 y1 )2  0 ,
(2.7)
De esta manera, las Ecuaciones (2.7) y (2.5) forman un sistema de ecuaciones simultáneas
no lineales para z2 y , por lo cual, sustituyendo (2.5) en (2.7) y resolviendo para z2 se
obtiene
2
 bx2  by2   bx2  by2  
 x2  y2    x2  y2 
  1 2 1  r    1 2 1  r   ( k  1)   1 2 1  b2  1 2 1 
 a
  a
 
 a    a 
.
z2 

 x12  y12 
( k  1)   2 
 a 

(2.8)
Donde, debido a la geometría propuesta, se debe tomar el signo negativo del radical de z2.
De esta manera, con el valor explícito de z2 podemos tener los valores correspondiente de 
y las coordenadas x2 y y2, cuando se sustituye la ecuación (2.8) en la ecuación (2.5) y
finalmente en las expresiones [2.4 a)] y [2.4 b)].
Ahora bien, los rayos que inciden sobre la superficie bajo prueba, serán reflejados en una
dirección definida mediante la Ley de Reflexión expresada en forma vectorial, de acuerdo
con la siguiente ecuación


R  Iˆ  2 Iˆ  Nˆ Nˆ ,
(2.9)
Donde N̂ es el vector unitario normal a la superficie de prueba, el cual se define como
N̂ 
(x2 , y2 ,z2 )
,
(x2 , y2 ,z2 )
(2.10)
φ(x2, y2, z2) es nuevamente la ecuación que describe a la superficie bajo prueba, y puede
quedar determinada si sustituimos (2.7) en (2.10), con lo que resulta
34
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
N̂ 
 x2 , y2 ,( k  1)z2  r 
x  y  ( k  1)z  r 
2
2
2
2
2
1
2
.
(2.11)
2
Por otro lado, Î es el vector unitario incidente que se puede escribir de la siguiente forma

Î   
  x1 ,  y1 ,a 
I
 x12  y12 ,a 2 
I
,
(2.12)
Ahora bien, si sustituimos las expresiones (2.12) y (2.11) en (2.9) se obtiene la expresión
final para el vector que describe el rayo reflejado por la superficie, con cada una de sus
componentes, quedando de la siguiente forma
R  (Rx ,Ry ,Rz ) ,
(2.13)
Donde
Rx 
x
2
1
Ry 
Rz 
x1
x
2
1
 y12 ,a2 
 y1
 y ,a
2
1
a
x
2
1
 y ,a
2
1
2

2

 2x2
 2y2
 x x
1 2
 y1 y2  a ( k  1)z2  r 
x22  y22  ( k  1)z2  r 
2
x x
1 2
 y1 y2  a ( k  1)z2  r 
x22  y22  ( k  1)z2  r 
2
 2( k  1)z2  r 
x x
1 2
,
,
 y1 y2  a ( k  1)z2  r 
x  y22  ( k  1)z2  r 
2
2
(2.14 a))
2
(2.14 b))
.
(2.14 c))
Finalmente, para encontrar las coordenadas del punto P3(x3, y3, z3) donde se coloca la
Pantalla Plana, los rayos reflejados se interceptan con un plano paralelo al eje óptico, según
se aprecia en el diagrama esquemático de la figura (2.3). Para esto, debemos construir la
ecuación de la recta que tiene dirección R y que parte del punto P2 sobre la superficie. Esta
ecuación puede escribirse como


3  P2   3 R ,
(2.15)
Donde ω3 representa a las coordenadas del punto P3(x3, y3, z3), y 3 es el parámetro del cual
depende la ecuación de la recta. Así, la Ec. (2.15) puede reescribirse como
 x3 , y 3 , z 3    x 2 , y 2 , z 2    3  R x , R y , R z  ,
De esta manera
x3  x2 3 Rx ,
y3  y2 3Ry ,
(2.16)
(2.17 a))
(2.17 b))
35
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
z3  z2 3 Rz ,
(2.17 c))
donde x2, y2, z2 son las coordenadas del punto P2 y Rx, Ry, Rz, son las componentes de los
vectores reflejados.
Conociendo la ecuación del plano
y3  cte ,
(2.18)
Podemos obtener un valor bien definido para el parámetro 3, el cual puede expresarse
como
1
 3   y3  y2  .
(2.19)
Ry
De esta manera, las coordenadas del punto P3(x3, y3, z3) para un plano paralelo al eje óptico,
pueden quedar bien definidas de la siguiente forma
x3  x2   y3  y2 
y3  y2   y3  y2 
Rx
,
Ry
Ry
Ry
z3  z2   y3  y2 
 cte ,
Rz
.
Ry
(2.20 a))
(2.20 b))
(2.20 c))
Sin embargo, recordemos que la propuesta inicial es diseñar una configuración de tres
pantallas nulas en forma de Prisma Triangular (usando 3 pantallas planas de cristal líquido
LCD), de tal manera que, es necesario deducir las ecuaciones correspondientes a cada uno
de los planos restantes.
2.1.1.2 Coordenadas P3 de las Pantallas Planas Inclinadas
Para determinar las coordenadas de los planos con cierta inclinación respecto al eje x
(representados en este caso por las pantallas LCD 2 y LCD 3), debemos considerar la
pendiente de dichos planos. En la Fig. 2.5 se muestra un corte transversal del arreglo
triangular de LCD’s.
36
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Fig. 2.5 Corte transversal del arreglo de LCD’s, dispuestas en un triángulo equilátero.
Como se puede observar en la Fig. 2.5, la superficie óptica está centrada en el arreglo
triangular de LCD´s. Donde, cada una de las LCD´s iluminará un sector de dicha superficie
cubriendo un ángulo de 120°. Del mismo esquema, es fácil notar que la distancia S1 de una
pantalla al eje óptico viene dada por
S1 
S2
tan(  ) ,
2
(2.21)
Donde S2 es la longitud del ancho efectivo de cada LCD y es el ángulo que forma la línea
que bisecta al triangulo con cada una de las LCD’s. El valor de c es la distancia del centro
del triángulo equilátero a cualquier vértice. Para deducir dicho valor podemos apoyarnos de
algunas reglas trigonométricas. De acuerdo con el esquema mostrado en la figura 2.5,
tenemos la siguiente expresión
c
CA
.
Cos( )
(2.22)
Así, las ecuaciones de los planos con determinada inclinación se pueden definir de la
siguiente forma
y3'  m1x3  c ,
(2.23 a))
37
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
y3''  m2 x3  c ,
(2.23 b))
Aquí, m1 y m2 son las pendientes de los planos; representados por las pantallas LCD 2 y
LCD 3; de acuerdo con el diagrama de la Fig. 2.4. Las cuales toman los siguientes valores
m1  tan(  ) ,
(2.24 a))
m2  tan(  ) .
(2.24 b))
Donde  y - son los ángulos que forman la LCD1 y LCD2 con el eje x respectivamente
(Ver Fig. 2.5).
Si ahora igualamos la Ec. [2.17 b)] con la Ec. [2.23 a)], tenemos
y2   3 Ry  m1 x3  c ,
(2.25)
Sustituyendo la ecuación [2.17 a)] en la ecuación (2.25), resulta el siguiente valor del nuevo
parámetro 3’
 3' 
y 2  m1 x2  c
,
( m1 R x  R y )
(2.26)
De esta manera, podemos reescribir las coordenadas del punto P3 para las Pantallas Planas
con inclinación de 120° y -120° respecto al eje x, (que corresponderán a la LCD 2 y LCD 3
respectivamente). Las ecuaciones quedan escritas de la siguiente forma
 y  m1 x2  c 
x3  x2   2
R ,
 ( m R  R )  x
y
 1 x

 y  m1 x2  c 
y3  y2   2
R ,
 ( m R  R )  y
y 
 1 x
 y  m1 x2  c 
z3  z 2   2
R ,
 ( m R  R )  z
y
 1 x

(2.27 a))
(2.27 b))
(2.27 c))
Donde, el valor de m1 cambia dependiendo de la orientación o inclinación de los planos.
Veamos un esquema tridimensional del trazo de rayos para el arreglo triangular de LCD’s
en forma de prisma triangular (Fig. 2.6).
38
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Fig. 2.6 Diagrama del trazo de rayos para el diseño de pantallas nulas planas en una configuración en forma
de prisma triangular.
Finalmente, mediante el cálculo desarrollado previamente, tenemos bien definido el
conjunto de coordenadas donde estarán ubicadas las pantallas planas en el arreglo de
LCD’s; para actuar como un conjunto de iluminadores, que deben proporcionar un arreglo
cuadrado o de cualquier geometría de puntos en el plano imagen del CMOS.
2.1.2 Diseño de Puntos en el Plano Imagen
Un conjunto de puntos en un arreglo cuadrado se puede representar mediante la siguiente
expresión
xu  ul 
 u ,v  0, 1, 2,...,  M
yv  vl 
(2.28)
El cual, consta de un arreglo cuadrado de (2M+1)2 puntos, es decir, hay 2M+1 puntos en
cualquier línea horizontal o vertical. Ahora bien, la imagen obtenida del total de puntos
objeto, está dentro de un círculo, en el cual, el número real de puntos se reduce a M2,
donde M es el número total de puntos de una imagen.
El área cubierta en la imagen está determinada por la longitud y posición de las pantallas.
Además, la longitud finita del CMOS, impone límites a las coordenadas radiales de la zona
de evaluación sobre la imagen de la superficie. La figura 2.7 muestra un esquema para
visualizar los diferentes sectores en el plano imagen.
39
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Fig. 2.7 Zonas que cubren las los iluminadores (LCD) en el plano de detección después de la
reflexión.
La Fig. 2.7 representa esquemáticamente el plano de la imagen en el CMOS; la matriz
cuadrada de puntos rojos muestra un posible diseño representado por la ecuación. (2.28),
con M = 5. Por otro lado, durante el diseño de la pantalla algunos puntos rojos, de los rayos
reflejados no intersecta directamente a los LCD; este es el caso para los puntos cerca de las
esquinas o el centro del arreglo cuadrado. La única parte del plano de imagen que está
cubierta por la imagen de los puntos es la región contenida dentro de un círculo de radio 2
(circulo externo) y el triángulo equilátero central; el círculo es la imagen de los bordes de la
pantalla LCD cerca de la superficie, paralela al plano (x, y); mientras que el triángulo es la
imagen de los bordes lejanos de las LCD’s. Si consideramos un círculo imaginario de radio
1 (circulo interno, ver Fig. 2.7) que contiene el triángulo, los límites de las coordenadas
radiales del área de evaluación en el plano de la imagen se pueden expresar como
1  x12  y12   2 ,
(2.29)
Donde 1 y 2 son los radios del círculo imaginarios contenido en el centro del sistema y en
el borde de las manchas, x1 y y1 son las coordenadas de cualquier punto del arreglo
cuadrado de puntos en el plano del CMOS y d/2 es la mitad del tamaño del lado menor del
CMOS.
De esta manera, el número real de puntos se reduce; las manchas rojas rodeadas de los
círculos azules vistos en la Fig. 2.7, representan esquemáticamente los puntos observados
en el plano de la imagen, los demás puntos simplemente no aparecen. La imagen de los
bordes del LCD, son las líneas rectas de color amarillo, mostradas en 30 °, 150 ° y 270 °,
descritas igualmente en la Fig. 2.7. Cada LCD cubre un sector angular de 120 ° en la
imagen. La Tabla 2 muestra una definición detallada de los sectores.
40
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Tabla 2. Parámetros para los sectores en el plano de la imagen (ver Fig. 2.4 y 2.6). Para todos los casos:
r1 < r < r2 y r1 < x1 < r2.
Sector
1
min (º)
tan 
max (º)
tan 
x1
x1 
y1
para x1 < 0;
y1
para x1 > 0
max
x1 
min
y1
y1 > 0
2
tan 
tan 
x1 < 0
y1 < max x1
3
tan 
tan 
x1 > 0
y1 > min x1
Una vez desarrollada la forma en que se obtienen las coordenadas x1, y1 en el plano imagen
para cada uno de los sectores, lo siguiente es, enfatizar sobre los criterios de resolución que
deben considerarse para el diseño de las gotas tanto en el plano del CMOS, como en los
dispositivos LCD en los cuales se despliegan las pantallas nulas.
2.1.2.1 Criterios de resolución para el diseño de gotas
De acuerdo con los criterios para obtener el centroide de un conjunto de manchas [60], es
bien sabido que para la evaluación cuantitativa de la superficie bajo prueba, la posición
experimental de las manchas se obtiene al calcular el centroide correspondiente del
conjunto de spots obtenidos en el plano imagen. Por lo cual, el diseño de la pantalla nula
debe ser de tal manera que su imagen obtenida por la reflexión sobre la superficie de
referencia nos dé razonablemente un conjunto de círculos, a los cuales se les calculara el
centroide correspondiente. Estadísticamente, para tener una precisión de subpíxeles en la
obtención del centroide, el tamaño de cada punto de la imagen debe contener al menos diez
píxeles del sensor de imagen [60]. De esta manera, se propone que cada mancha esté
separada un mínimo de 20 pixeles entre los centros de cada circulo, por lo tanto, cada
circunferencia debe ocupar un área de 400 pixeles cuadrados. Entonces, si tenemos un
CMOS con una resolución n x m, el número de gotas en la sección del CMOS se puede
determinar mediante la siguiente ecuación.
 
n
,
( 20 pix )
(2.30)
Donde κ es el número de círculos y n es la resolución en el plano del CMOS en la dirección
vertical. En la misma ecuación (2.30) consideramos que las manchas tienen un tamaño de
10 pixeles (de díametro), y que están separadas mínimo 5 pixeles de los bordes de cada uno
de los extremos del CMOS, como se esquematiza en la Fig. 2.8. Cabe resaltar que este es
un caso particular para el diseño de gotas.
41
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Fig. 2.8 Diagrama esquemático de iluminadores en la superficie óptica capturado en el plano de la
imagen.
Ahora bien, si tenemos un área de evaluación en particular (como la descrita en la Fig. 2.7),
podemos notar que el número de gotas dependerá del área efectiva sobre la superficie bajo
prueba. En este caso, se restringe a la siguiente ecuación
eff
  22  12 
AreaEfectiva


,
AreadeunaGota
400
(2.31)
Donde 1 y  son los radios de cada una de las circunferencias mostradas en la Fig. 2.7.
2.2 Método de Corrimiento Dinámico de Puntos
En esencia, el método de corrimiento de puntos consiste en cambiar la posición de las
manchas en la pantalla nula y obtener una imagen por cada posición, una mejor manera de
realizar esto es desplegando las pantallas nulas en pantallas de cristal líquido planas
(Arreglo de LCD’s propuesto) y desplegar una pantalla diferente con los puntos imagen
desplazados en cada ocasión que se capture una imagen. De esta manera, si incrementamos
el número de imágenes aumenta el número y la densidad de puntos a evaluar,
disminuyendo de esta forma el error de truncamiento (del cual se hablara en el Capítulo 3).
Esto se ha demostrado usando un arreglo de cuatro pantallas planas de LCD para evaluar
una superficie asféricas convexa de revolución [61], sin embargo, tres pantallas son
suficientes para hacer esta tarea [62], con lo cual, si adaptamos adecuadamente las
dimensiones y diseño de cada pantalla nula plana con las características geométricas del
arreglo propuesto, podremos evaluar una esfera de calibración que simule en una primera
aproximación la superficie anterior de la córnea.
42
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Para realizar el corrimiento de puntos en cada sección del plano imagen y obtener una
imagen nueva por cada posición, es necesario construir las ecuaciones correspondientes a
cada corrimiento. Estas ecuaciones se definen de la siguiente forma

i
x1   u   l ,
 

j
y1   v   l .
 
(2.32 a))
(2.32 b))
Donde u, v = 0, ± 1, ± 2, ± 3,..., ± M, i, j = 0, 1, 2, 3,..., -1 y l = d / (2M); donde l es la
separación entre gotas originales y l/es la separaciónentre cada corrimiento,  el número
de corrimientos realizados en la pantalla y d es el tamaño del lado menor del CCD o
CMOS, mientras que i y j son los contadores responsables de cada corrimiento de puntos.
La Fig. 2.8 muestra un diagrama esquemático del método de corrimiento de puntos en el
plano del CMOS.
Fig. 2.8 Representación esquemática de DyPos para  = 3.
El primer paso consiste en diseñar las coordenadas de la primera imagen sin corrimiento de
puntos, es decir (n=m=0, manchas rojas intensas, Fig. 2.8). A partir de esta imagen se
comienza a desarrollar el corrimiento de puntos. Para esto, definimos la distancia de
separación entre el conjunto de manchas mediante la variable l (ver Fig. 2.8). Así, por
ejemplo un primer corrimiento en el plano imagen, consiste en un conjunto de manchas
separadas una distancia l/3 (manchas rojas menos intensas, Fig. 2.8.) A partir de esta
imagen, diseñamos un nuevo muestreo uniforme de puntos, separados de su centro de cada
mancha una distancia l/3, de esta manera, podemos generar 3 corrimientos en cada
dirección (manchas azules y verdes, Fig. 2.8). Finalmente, podemos obtener en este caso un
43
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
total de nueve imágenes, las cuales se procesan por separado para obtener las coordenadas
x1, y1 de los centroides de las manchas, fusionándolas en una sola lista y evaluando la
superficie con todos los puntos, como si fueran provenientes de una sola imagen o de una
sola pantalla.
La Fig. 2.9 representa un esquema de las pantallas nulas planas que simulan los 9
corrimientos realizados (que incluye nuestra propuesta). La codificación de colores que
aquí se muestra se usó solo para ilustrar el corrimiento, las manchas originales son negras
sobre fondo blanco. Sin embargo, se pueden diseñar pantallas cromáticas (como veremos
más adelante, e incluso pantallas cromáticas con corrimiento de puntos, pero por ahora solo
queremos ilustrar como se vería cada pantalla con los 9 corrimientos propuestos).
Fig. 2.9 Secuencia de pantallas nulas planas desplegadas en el arreglo de LCD´s
Como se puede notar, en la Fig. 2.9, se muestran tres partes de la pantalla nula; las gotas
rojas más intensas representa el conjunto de puntos sin corrimiento, posteriormente se
tienen gotas rojas menos intensas (que sería el caso i=0, con j=0, j=1 y j =2), esto daría
como resultado los tres primeros corrimientos. Posteriormente, se muestra la superposición
de otras tres imágenes de gotas verdes ( sería el caso de i=1 con j=0, j=1 y j=2); que
corresponden a los siguientes tres corrimiento (del verde más intenso al verde menos
intenso), finalmente se diseñan las gotas azules (donde i=2 con j=0, j=1, j=2), que
corresponden a los tres últimos corrimientos propuestos (esquematizados con las gotas
azules más intensas a las gotas azules menos intensas). De esta manera se han diseñado
pantallas nulas para M=20 gotas y = 3 corrimientos tanto en la dirección x como en la
dirección y.
Como se mencionó anteriormente, para nuestra propuesta se incluyeron solo 9
corrimientos, sin embargo, se puede agregar un número mayor de corrimientos, no existe
un límite para el diseño del número de corrimientos ya que son imágenes independientes en
44
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
cada ocasión. En la Fig. 2.10 se muestra un ejemplo de un número de corrimiento más
denso.
Fig. 2.10 Representación esquemática del corrimiento de puntos con mayor densidad.
Como podemos notar en la Fig. 2.10, tenemos en la misma sección del plano imagen un
número mayor de corrimientos. Cada corrimiento está representado por colores, quedando
definido del color más intenso al color menos intenso (según el número de corrimiento).
Con esta idea se enfatiza que en general se puede aumentar el número de corrimientos.
2.3 Pantallas Nulas en formato Imagen
Para diseñar las Pantallas Nulas en formato imagen, debemos tomar en cuenta la longitud
física de los marcos digitales y la resolución de las pantallas LCD, ya que de estas
características depende la imagen que se desplegará en cada una de las LCD’s. Bajo dichas
restricciones, el diseño de la pantalla debe cumplir con las siguientes desigualdades.
L  z3  0 ;
(2.33 a))
y
45
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________

S2
S
 x3  2 ;
2
2
(2.33 b))
Donde L corresponde al largo efectivo de la pantalla LCD y S2 corresponde al ancho
efectivo de la LCD, x3 y z3 son coordenadas de los puntos P3.
Ahora bien, primeramente se debe definir el fondo blanco de la imagen, con un número de
pixeles N >= 255, de esta manera tendremos una buena resolución del conjunto de líneas
que están dibujadas en la pantallas nula. Luego entonces, el número de pixeles que debe
tener la pantalla nula para realizar la correspondencia correctamente está descrito por las
siguientes ecuaciones
Nu 
X max  X min
,
X pixel
(2.34 a))
Ymax  Ymin
,
Ypixel
(2.34 b))
Nv 
Donde Nu y Nv es el número de píxeles (que contiene cada pantalla LCD) en el eje
horizontal y vertical respectivamente, para contener las líneas diseñadas en cada pantalla;
Xpixel (mm/píxel) es el tamaño de píxel de la imagen, Xmax, Xmin, Ymax y Ymin son las
coordenadas (X, Y) máxima y mínima de los puntos en la Pantalla Nula.
Posteriormente, si a cada valor de las coordenadas x3, y3 y z3 lo redondeamos mediante la
función (round) y usamos una transformación de coordenadas del plano cartesiano (x, y) a
coordenadas del plano imagen (u, v), tendremos un conjunto de pixeles; ajustados a la
resolución de cada LCD en el plano de la pantalla nula (Ver Fig. 2.11).
Finalmente, las coordenadas (s, t) de cada pixel de la pantalla nula están dados por las
siguientes ecuaciones.
 X  Xmin 
s  round 
 Nu ,
 Xmax  Xmin 
 Y  Ymin 
t  round 
 Nv .
Y
Y

 max min 
(2.35 a))
(2.35 b))
Mediante dichas transformaciones podemos obtener la imagen que se desplegará en las
pantallas LCD, como se muestra en la Fig. 2.11.
46
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
Fig. 2.11. Conjunto de Pantallas Nulas Planas de líneas para el arreglo de LCD.
De la Fig. 2.11 podemos ver que las líneas de cada una de las pantallas deben coincidir en
los límites o bordes de cada una de las pantallas LCD, de esta manera garantizamos que las
tres pantallas nulas diseñadas formaran un arreglo cuadrado en el plano imagen.
En resumen, las dimensiones de la pantalla nula están determinadas por la longitud de las
pantallas LCD que componen el arreglo de prisma triangular y de la superficie a evaluar
(definidos en la sección 2.1). Mientras que la densidad de puntos en las pantallas nulas;
depende de las características del CMOS o CCD (estudiadas en la sección 2.2). Una vez
obtenida la transformación de coordenadas de los puntos de las tres pantallas nulas a
formato imagen, se proponen diseñar distintos tipos de patrones, como objetos
iluminadores desplegados mediante el arreglo de LCD´s (lo cual se explicará en las
siguiente secciones).
2.4 Patrones usados como Targets en el diseño de Pantallas Nulas Planas en LCD´s
Una de las capacidades más importantes del uso de pantallas LCD como medio para
desplegar Pantallas Nulas, es la posibilidad de visualizar distintos tipos de arreglos de
manchas o targets sin mover la configuración propuesta (el arreglo geométrico de LCD´s),
de esta manera, podemos tener diferentes patrones observados en el plano imagen, esto es
uno de los puntos más relevantes de este trabajo, ya que al cambiar el tipo de target,
podemos incrementar en número de puntos o proponer targets de características muy
particulares según la superficie que deseemos evaluar. Otra de las características de los
marcos digitales, es cambiar con facilidad el fondo de la imagen de la pantalla nula (que
puede ser fondo blanco o fondo negro), o incluso realizar diseños de arreglos en color.
Adicionalmente, tomando en cuenta la resolución del CCD o CMOS, es posible diseñar
patrones de puntos objeto con densidad variable. De esta manera, se tienen una variedad de
opciones que proporcionan los marcos digitales en la configuración propuesta. A
47
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
continuación se presenta una tabla con los parámetros involucrados en el diseño de las
pantallas mulas.
Tabla 3. Parámetros involucrados en el diseño de pantallas nulas en el arreglo de LCD’s
Elemento
Superficie de Referencia
Lente Zoom
Parámetro
Simbolo
Tamaño
Radio de curvature
r
6.37 mm
Constante de Conicidad
k
0
Primer Plano Principal-Vertice
b
781.68
mm
a
144 mm
(H 1 -V)
Segundo Plano Principal-CMOS
(H 2 - CMOS)
Sensor-Plano Imagen
Lado menor
d
3.6 mm
Parámetros de la LCD
Distancia de la LCD al eje óptico
S1
26.55 mm
A continuación se muestran algunos de los patrones usados en la prueba de superficies
ópticas con Pantallas Nulas; empleando pantallas LCD.
2.4.1 Malla Cuadrada
Este patrón consiste en una serie de líneas verticales y horizontales que forman la imagen
de una maya cuadrada sobre la superficie óptica y finalmente en el plano del CCD. Una
característica importante del arreglo de líneas; es que funciona muy bien para realizar
pruebas cualitativas de una superficie óptica, ya que se puede observar a simple vista las
deformaciones en el patrón, las cuales estarán asociadas con defectos de la superficie,
puesto que la prueba es nula. Por otro lado, para llevar a cabo una evaluación cuantitativa,
no es efectiva, ya que sólo se pueden evaluar los puntos de intersección de las líneas
horizontales con las verticales. La representación de este patrón se muestra en la Fig. 2.12,
también se presentan las pantallas nulas planas correspondientes (con distinto fondo); para
el arreglo de LCD´s en forma de prisma triangular.
48
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 2.12. Patrones usados en la Prueba de superficies ópticas mediante el arreglo de LCD´s a) Malla
cuadrada, b) Pantallas Nulas Planas de Líneas negras sobre fondo blanco, c) Pantallas Nula Plana de Líneas
blancas sobre fondo negro.
2.4.2 Arreglo Cuadrado de Puntos
Este tipo de patrón consta de una secuencia de círculos de radio r0 igualmente espaciados a
una distancia l=δr medida entre los centros geométricos de cada círculo, siendo ordenados,
de tal manera, que forman un arreglo cuadrado. Este tipo de patrón tiene muchas ventajas
respecto al de la malla cuadrada de líneas; en lo que respecta a la evaluación cuantitativa de
la superficie bajo prueba, puesto que, en este caso se han desarrollado algoritmos para el
cálculo de los centroides de las manchas obtenidas en la imagen experimental en el plano
imagen, lo cual, no se tiene para el arreglo cuadrado de líneas. Cabe resaltar que la
exactitud en la evaluación de la superficie depende de la exactitud en el cálculo de los
centroides. La Fig. 2.13 muestra este tipo de patrón, así como su correspondiente pantalla
nula.
49
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 2.13. Patrones usados en la Prueba de superficies ópticas mediante el arreglo de LCD´s a)
Arreglo Cuadrado de Circulos, b) Pantallas Nulas Planas de gotas negras sobre fondo blanco, c) Pantallas
Nula Plana de gotas blancas sobre fondo negro.
2.4.3 Puntos Radiales
Este patrón consta de un conjunto de círculos de radio r0 distribuidos en un arreglo radial,
en este modelo se presenta la desventaja de que su patrón no es uniforme, ya que la
densidad de puntos disminuye radialmente. Por otro lado, la evaluación cuantitativa con
este tipo de patrón tiene las mismas ventajas del arreglo cuadrado de puntos, puesto que es
posible obtener los centroides de las manchas en la imagen experimental. La Fig. 2.14
muestra este tipo de patrón, así como su correspondiente pantalla nula e imagen
experimental.
50
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 2.14. Patrones usados en la Prueba de superficies ópticas mediante el arreglo de LCD´s a)
Arreglo Radial de Puntos, b) Pantallas Nulas Planas Radiales de Gotas negras sobre fondo blanco, c) Pantallas
Nulas Planas Radiales de Gotas blancas sobre fondo negro.
2.4.4 Arreglo Cuadrado de Puntos en Color
Este tipo de patrón consta nuevamente de una secuencia de círculos de radio r0 igualmente
espaciados a una distancia l=δr medida entre los centros geométricos de cada círculo,
siendo ordenados, de tal manera, que forman un arreglo cuadrado. La diferencia notable es
que el arreglo de puntos se diseña en color: rojo, verde, azul (R, G, B), así como manchas
blancas o negras, según el fondo utilizado. El uso de colores [63-64] nos permite distinguir
una mancha de sus vecinas (es decir ninguna mancha tiene a sus vecinos cercanos del
mismo color), es decir, los colores utilizados en el patrón, se eligen de manera que la
diferencia entre sus valores R, G, B sea evidente, con la idea de que si llega a presentarse
alguna imagen muy cercana, sea fácilmente distinguible un color de otro mediante un
filtraje de colores (del cual se hablará más adelante). De este modo podemos decir que este
tipo de patrón tiene muchas ventajas respecto al arreglo cuadrado de manchas negras o
blancas. Por otro lado, en lo que respecta a la evolución cuantitativa de la superficie bajo
prueba, puesto que, en este caso se tiene nuevamente un conjunto de manchas en color, por
lo tanto el cálculo de los centroides de cada mancha es nuevamente utilizado. La Fig. 2.15
muestra este tipo de patrón, así como su correspondiente pantalla nula.
51
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 2.15. Patrones usados en la Prueba de superficies ópticas mediante el arreglo de LCD´s a)
Arreglo Cuadrado de Puntos en Color, b) Pantallas Nulas Planas de Gotas a Color sobre fondo blanco, c)
Pantallas Nulas Planas de Gotas a Color sobre fondo negro.
2.4.5 Pantallas de Fondo Blanco y Fondo Negro
Adicionalmente, se diseñaron imágenes de fondo blanco y fondo negro, para ello,
consideramos las imágenes como un arreglo matricial; con pixeles negros y blancos, por lo
cual, solo necesitamos ajustar cada imagen a la resolución correspondiente de los LCD´s,
dicha resolución es mencionada en uno de los capítulos de esta tesis. En la Fig. 2.16 se
muestra un esquema de las imágenes de fondo blanco y fondo negro desplegadas en una
pantalla LCD.
52
Cap. 2 Diseño de Pantallas Nulas Planas para un arreglo de LCD´s
_________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 2.14. Patrones de fondo usados en la Prueba de superficies Ópticas mediante LCD´s a) Imagen de Fondo
Blanco desplegada en la LCD, b) Imagen de Fondo Negro desplegados sobre la LCD.
Estas imágenes son otro tipo de imagen que se puede desplegar en las pantallas. Es
importante tener la opción de establecer el tipo de fondo que se quiera usar, ya que esta
imagen de fondo será de gran ayuda para el procesamiento de la imagen (como veremos en
el capítulo 5 de esta tesis).
2.5. Conclusiones
Se han descrito los conceptos de óptica geométrica que intervienen en el diseño de
Pantallas Nulas, en particular se ha mostrado el diseño de Pantallas Nulas Planas en una
configuración de 3 pantallas de LCD en forma de prisma triangular. Además, se ha
explicado en que consiste el Método de Corrimiento Dinámico de Puntos mediante estos
dispositivos, Adicionalmente, se ha mostrado como se realiza el diseño de puntos en el
plano imagen, enfatizando en los criterios de resolución para el diseño de las gotas.
Finalmente, se mostraron diversos diseños de pantallas, para ser utilizadas como targets
para desplegar en el arreglo de LCD’s. Todo esto con la intención de evaluar la topografía
de la córnea humana.
53
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
CAPITULO 3
EVALUACIÓN CUANTITATIVA DE LA SUPERFICIE MEDIANTE LA TÉCNICA
DEFLECTOMETRIA POR REFLEXIÓN
Como se explicó en el capítulo anterior. El diseño de Pantallas Nulas Planas desplegadas en
marcos digitales LCD; ha mostrado ser una técnica novedosa, mediante la cual, podemos
evaluar cualitativamente superficies ópticas, tales como la superficie anterior de la córnea.
Además, la técnica de Pantalla Nulas nos permite cuantificar los resultados mediante el
método conocido como Deflectometría por Reflexión (Díaz-Uribe 1999) [65].
En este capítulo describiremos el procedimiento que se debe realizar para obtener la
evaluación cuantitativa de la forma de la superficie a partir del uso de Pantallas Nulas en la
configuración propuesta. En particular lo que deseamos obtener es la sagita de la superficie
bajo prueba. Para esto, es necesario tener ubicadas las posiciones de los rayos incidentes en
el plano imagen (centroides), así como las coordenadas de los puntos objeto (que actúan
como iluminadores desde cada una de las pantallas nulas). Con esta información podremos
obtener el conjunto de normales a la superficie y con ellas la forma de la superficie
mediante el método de Deflectometría por Reflexión [66]. Es importante resaltar que la
ecuación de la forma de la superficie es una expresión exacta, es decir que para obtenerla
no se usan aproximaciones.
3.1. Método de Deflectometría por Reflexión ocupado en Pantallas Nulas
El método de Deflectometría por Reflexión es conocido como un procedimiento altamente
efectivo para probar superficies asféricas [65]. El cual, consiste en hacer incidir un rayo de
luz sobre la superficie que deseamos evaluar, de esta manera, conoceremos el ángulo del
rayo que sale reflejado. Posteriormente, a partir del ángulo de desviación podemos obtener
las normales a la superficie y con ellas realizar la reconstrucción.
A hora bien, para obtener la forma de la superficie a través de las normales en cada punto
de evaluación, se supone que la superficie a probar es suave y que se puede representar
matemáticamente mediante una función (x, y, z)=0. También se supone que el punto de
incidencia describe una trayectoria arbitraria sobre la superficie cuando el haz es movido
para barrer la superficie. Una representación de esta idea se muestra en la Fig. 3.1.
54
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
Fig. 3.1 Deflectometría por Reflexión
Se tiene que para cualquier punto P de la trayectoria del punto de incidencia sobre la
superficie descrito por el vector de posición r = (x, y, z), el elemento diferencial de longitud
es ds = (dx, dy, dz), el cual es un vector tangente a la superficie y perpendicular al vector
normal N = (Nx, Ny, Nz) de la superficie en ese punto P. Por lo tanto, el producto punto del
elemento diferencial y el vector normal es nulo, es decir
 
N  ds  0 ,
(3.1)
Esta expresión es la ecuación fundamental de la deflectometría por reflexión, la cual nos
dice que si conocemos las normales a la superficie en cada punto de incidencia, es posible
integrar la Ec. (3.1). y de esta manera obtener su forma. Esta ecuación es la que se utiliza
para evaluar superficies asféricas mediante el método de Pantalla Nulas, ya que como se
mostrará más adelante la configuración de esta técnica permite evaluar directamente las
normales a la superficie de prueba.
Desarrollando la Ec. (3.1) e integrando, se obtiene la forma de la superficie a partir de
55
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
Ny 
 Nx
dx

dy 

 Nz
Nz 
( x1 , y1 ) 
( x, y )
z  z1  
(3.2)
Donde z1 es la sagita del punto inicial de la trayectoria sobre la superficie, el cual, debe ser
identificado de antemano, pues en este punto iniciará la construcción de las trayectorias de
integración; (dx, dy) son las componentes (x, y) del elemento diferencial de arco sobre la
trayectoria en la superficie.
La Ec. (3.2) es exacta, es decir, no involucra ninguna aproximación para deducirla; sin
embargo, hay aproximaciones al calcular el vector normal y al calcular la integración
numérica. No tiene una expresión exacta, puesto que las componentes de las normales no
son funciones analíticas sino valores discretos medidos experimentalmente en cada punto
de evaluación y por lo tanto están afectados de error o tienen incertidumbre. Esto trae como
consecuencia que la Ec. (3.2) debe ser calculada por métodos numéricos utilizando el
algoritmo más adecuado (método del trapezoide, arcos parabólicos, splines, polinomios de
Zernike, etc).
3.2. Cálculo de las Normales a la Superficie
Para llevar a cabo el cálculo de la normal en cada punto sobre la superficie se realiza un
procedimiento que consiste en encontrar las direcciones de los rayos que unen las
posiciones P1(x1,y1,-b+t-a) de los centroides de las manchas en la imagen capturada en el
CMOS con las coordenadas P3(x3, y3, z3) de las Pantallas Nulas Planas. En este caso, el
trazo exacto de rayos se realiza de manera tridimensional a partir de los puntos objeto; cada
rayo se refleja en la superficie bajo prueba en el punto P2(x2, y2, z2) y posteriormente se
propaga hacia el punto nodal N1=(0,0,-b) para salir desde el segundo punto nodal N2=(0,0,b+t) y posteriormente llegar plano imagen en el CCD o CMOS. Aquí, el punto P2 es
desconocido, ya que la superficie de prueba no se conoce de manera exacta, porque es
precisamente la que se desea evaluar. Por lo tanto, el rayo incidente llegará a un punto Ps
(xs, ys, zs) en una superficie de referencia que se utiliza como aproximación de la superficie
de prueba. Entre más se parezca la superficie de referencia a la superficie de prueba; el
error en el cálculo de la normal será menor. En la Fig. 3.2 se puede observar el diagrama
esquemático utilizado para el cálculo de las normales.
56
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
Fig. 3.2 Diagrama que representa la Evaluación de las Normales en la Superficie bajo Prueba
Luego de encontrar el rayo de incidencia y de reflexión se puede obtener la normal bajo la
siguiente expresión.
Rˆ  Iˆ
Nˆ 
,
(3.3)
Rˆ  Iˆ
Donde R es el rayo reflejado e I es el rayo incidente. Ahora bien, de la Fig. 3.1 se puede
notar que la dirección del rayo reflejado (R) se obtiene de la diferencia vectorial entre los
puntos P1 y N2 dando como resultado la siguiente expresión
R̂ 
 x1 , y1 ,  a 
 x12  y 12 ,  a 2 
1
.
(3.4)
2
Luego se encuentra la dirección del rayo incidente de la diferencia vectorial entre los
puntos Ps y P3 y está dado por
Iˆ 
 x s  x 3  ,  y s  y3  ,  zs  z3  
 x s  x 3    y s  y3    zs  z3  


2
2
2
1
,
(3.5)
2
Donde las coordenadas (xs, ys, zs) son expresiones análogas a las coordenadas en la
superficie de diseño descritas por (2.4a), (2.4b) y (2.4c), sin embargo, aquí se usan las
coordenadas de los centroides (que no necesariamente coinciden con las coordenadas de
diseño). En general son diferentes puntos, las expresiones son iguales pero se usan
diferentes coordenadas. Con esto se tienen las siguientes expresiones.
57
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
1

 a 2 r 2  b  (k  1)b  2r  x 2  y 2  2 
a
r
(
k
1)
b








1
1 

xs  
x1 ,
2
2
2

x 1  y 1  (k  1)a




1

2
2
 2 2
 2
 a  r  (k  1)b    a r  b  (k  1)b  2r  x 1  y 1  
ys  
 y1 ,
x 12  y 12  (k  1)a 2




1

2
2
 2 2
 2
 a  r  (k  1)b    a r  b  (k  1)b  2r  x 1  y 1  
zs  
a b .
x 12  y 12  (k  1)a 2










(3.6 a))
(3.6 b))
(3.6 c))
Como se dijo, en este caso x1 y y1, corresponden al valor del centroide experimental. Ahora
bien, sustituyendo las Ecs. (3.4) y (3.5) con (3.6) en (3.3) se obtiene la expresión para la
normal unitaria, definida como
 N x , N y , N z 
Nˆ  
,
(3.7)
1
 N x2  N y2  N z2  2
Donde Nx, Ny y Nz, estarán representadas por las siguientes ecuaciones
Nx 
Ny 
x1
 x1  y1  a 
2
2
2
1

2
y1
 x1  y 1  a 
Nz  
2
2
2
1

2
a
 x12  y12  a 2 
1
2
 x3  xs 
 x  x  y  y3    zs  z3  
 s 3   s

 y3  y s 
2
2
2
1
1
,
(3.8 a))
,
(3.8 b))
2
 x  x  y  y3    zs  z3  
 s 3   s

 z3  z s 

.
1
 xs  x3 2   ys  y3 2   zs  z3 2  2


2
2
2
2
(3.8 c))
Una vez obtenidas las normales, lo siguiente es definir un algoritmo que nos permita
calcular de manera sencilla y directa la ecuación propuesta en la Ec. (3.2). Para esto
planteamos un método definido como la regla del trapecio [39] el cual se explica a
continuación.
3.3. Evaluación de la superficie mediante la Regla del Trapecio
El método trapezoidal consiste en un algoritmo numérico empleado tradicionalmente [67]
para la evaluación de la Ec. (3.2), la cual nos proporciona la sagita de la superficie. Este
método es conveniente cuando se tienen datos que no están igualmente espaciados y, como
en nuestro caso las mediciones son datos discretos, la integración de la Ec. (3.2) debe
58
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
calcularse numéricamente a lo largo de la trayectoria que une los puntos de incidencia sobre
la superficie de prueba.
Es importante mencionar que la variable de integración está dentro de un intervalo p0 < p <
pn, el cual se divide en n-1 partes no necesariamente iguales, con el propósito de evaluar el
área bajo la curva descrita por la función f(p) obteniendo N áreas en forma de trapezoide,
las cuales se deben sumar para obtener el área total en el intervalo definido por la función
f(p) (que es precisamente el valor de la integral). La figura 3.3 muestra un esquema de una
función arbitraria con puntos P1, P2, Pn-1 que no son igualmente espaciados.
Fig. 3.3 Cálculo de área bajo la curva mediante el método del trapecio.
El área bajo un segmento de la curva puede dividirse en dos partes: un rectángulo de área
Ar y un triángulo de área At (ver Fig. 3.3). Realizando la suma de todas las contribuciones
del j-ésimo, y sustituyendo la función f(p) por los cocientes de las componentes de la
normal se obtiene de [64] el área total bajo la curva que corresponde al valor de la sagita en
cada punto de evaluación en particular como se puede observar en la Ec. (3.9), donde el
subíndice i corresponde al i-ésimo punto de evaluación en la superficie.
n 1  N

 x Nx  x  x   Ny Ny  y  y 
(3.9)
z N    i  i1   i 1 i    i  i1   i 1 i   z1  .

  2   Nz Nz 
2
N

i 1  N zi
z

i 1 
i 1 
 i


En la ecuación anterior n corresponde al número de puntos a lo largo de la trayectoria de
integración, la cual se debe definir previamente en el plano (x2, y2) en la superficie (ver Fig.
3.4). El valor de z1 en la Ec. (3.9) es el valor inicial de la sagita del primer punto para cada
trayectoria de integración (Po), el cual, debe ser común para todas las trayectorias.
59
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
Fig. 3.4 Gráfica de las trayectorias de integración.
3.4. Error de truncamiento de la serie
Un problema importante cuando se utiliza el método del trapecio es que se acumula error
cada vez que se hace un cálculo a través de una trayectoria de integración. Las
características de este método son que a mayor longitud de la trayectoria de integración,
mayor es el error acumulado. En la figura 3.3 presentada anteriormente, se puede observar
claramente que el error de truncamiento del método de integración utilizado está asociado a
las diferencias de áreas entre el trapezoide y el área bajo la curva del segmento estudiado.
Adicionalmente el error incrementa como la segunda potencia de la separación entre dos
puntos adyacentes [52]. Por lo tanto, para disminuir el error de truncamiento se recomienda
que al escoger las trayectorias de integración se tengan en cuenta las siguientes
consideraciones: (1) La longitud total de cada trayectoria debe ser lo más pequeña posible.
(2) La distancia de separación entre dos puntos de evaluación subsecuentes debe ser
mínima, evitando las diagonales entre los puntos. (3) La trayectoria debe ser directa y
simple [52]. Además, la cota superior para error por truncamiento dependerá de la
separación entre dos puntos adyacentes h, la longitud de la máxima trayectoria de
integración (b-a) y de la segunda derivada de la función de integración f(x), es decir M =
(d2f(x)/dx2)max. Esta cota está definido por la siguiente expresión
 
Mh 2
 b a  ,
12
(3.10)
Para mostrar claramente cómo se deben escoger las trayectorias para disminuir el error de
truncamiento (de acuerdo a las consideraciones mencionadas anteriormente) se presenta un
60
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
ejemplo con tres posibles trayectorias de integración, identificando en cuál de ellas se
comete menos error.
Si tenemos un arreglo cuadrado de puntos de 2X2, se tienen las siguientes opciones para
describir las trayectorias de integración entre el punto A y el punto B (Fig. 3.5).
Fig. 3.5 Ejemplo de tres posibles trayectorias de integración.
Del diagrama anterior (Fig. 3.5) podemos obtener los valores de (b-a) y h descritos en la
Ec. 3.10, donde
(b  a)  2 l  h  l
(3.11)
Usando la Ec. (3.10), podemos obtener el error que se propaga en cada una de las
trayectorias de integración. Sustituyendo la Ec. (3.11) en la Ec. (3.10) tenemos:
Ml 2
1
1 
 2l  Ml 3
12
6
(3.12 a))
2 
2 2
1.41 3
 Ml 3 
Ml
12
6
(3.12 b))
3 
Ml 2
1
 2l  Ml 3
12
6
(3.12 c))
El resultado de cada una de estas ecuaciones representa el error de la trayectoria de
integración. Con lo cual, podemos notar que ε1 = ε3 <= ε2, por lo tanto, es claro que el error
es mayor en la trayectoria 2. Con el ejemplo realizado anteriormente se hace énfasis en
cómo se deben escoger las trayectorias de integración para cometer menos error, pero más
aún, se resalta la importancia de introducir el método de corrimiento de puntos, ya que al
tener un muestreo más denso de puntos, la separación entre puntos se reduce, lo cual
implica que el error cometido en la trayectoria de integración sea mínimo.
61
Cap.3 Evaluación de la Forma de la Superficie
_________________________________________________________________________
Ahora bien, para una superficie esférica con un diámetro efectivo de evaluación Def
(Diametro que se está evaluando en la superficie), se tiene un área de A = π Def2/4. Se
define ρ = N/A como la densidad promedio de puntos por unidad de área; donde N es el
número de puntos. La densidad lineal de puntos es obtenida como τ = (η)1/2 y su inverso
dará la separación promedio entre los puntos d = (4N Def)1/2. Si se aproxima h por d, la cota
superior por truncamiento quedará como:
 
 MDef2
48N
 b a  .
(3.13)
Ya que el divisor de la Ec. (3.13) depende del número de puntos N, esto quiere decir que
aumentando N se disminuye la cota de error ε. Lo cual es la base de Método de Corrimiento
de Puntos.
3.5. Conclusiones
En este capítulo se ha explicado el análisis teórico que debe desarrollarse para llevar a cabo
la evaluación cuantitativa de la superficie bajo prueba. Por otro lado, hemos presentado el
método usado para determinar el valor de la sagita en cada punto de evaluación. Además,
se ha descrito el error de truncamiento y cómo se puede minimizar escogiendo
correctamente las trayectorias de integración. Finalmente, con las ecuaciones descritas
sobre el error de truncamiento, se destaca la importancia de aumentar la frecuencia de
muestreo, ya que al introducir una densidad mayor de puntos será menor la separación entre
ellos y con esto se podrá reducir el error de truncamiento, cometido con el método
trapezoidal. Por esta razón es importante el uso de marcos digitales LCD, los cuales, nos
permiten implementar el método de corrimiento dinámico de puntos, aumentando de esta
manera el número total de puntos al evaluar una esfera de calibración de dimensiones
cercanas a la córnea humana.
62
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
CAPITULO 4
IMPLEMENTACIÓN PRACTICA DEL ARREGLO EXPERIMENTAL DE LCD’s
En este capítulo se presenta el desarrollo e implementación del arreglo experimental de
LCD’s en forma de Prisma Triangular, el cual, sirve para aplicar el método de pantallas
nulas (que fue explicado anteriormente). La propuesta es mostrar un arreglo experimental
de laboratorio, mediante el cual, podamos evaluar superficies ópticas de dimensiones
similares a la córnea humana. Para esto, es necesario calibrar adecuadamente cada uno de
los elementos que conforman dicho arreglo. En las siguientes secciones se muestran las
características de los marcos digitales así como la alineación de las pantallas en un prisma
triangular, además, se explica la alineación del arreglo en general con todos los elementos
que intervienen en el método de pantallas nulas.
4.1 Implementación de Pantallas Nulas Planas mediante un arreglo de LCD´s
Para construir un arreglo de pantallas nulas planas en una configuración de prisma
triangular mediante pantallas de cristal líquido LCD, en el cual, el conjunto total de
iluminadores (puntos objeto) nos proporcionen un arreglo ordenado de puntos en el plano
del CCD al ser reflejados por la superficie bajo prueba, es sin duda una tarea para nada
sencilla, pero podemos llevarla a cabo si tenemos bien definida la geometría del sistema
que se propone implementar. Por lo cual, es necesario conocer con precisión las
características físicas de cada pantalla LCD del arreglo propuesto.
4.1.1 Características de las Pantallas LCD tipo DYNEX
Primeramente, enfatizaremos que para llevar a cabo esta tarea, se propone usar tres
pantallas de cristal líquido (LCD) idénticas, de la marca DYNEX mod. DX-DPF7-10-MX,
los cuales originalmente son usadas como marcos digitales para desplegar fotografías
(Algunos otros detalles se dan a conocer en el apéndice B de esta tesis). Cada marco digital
adquirido tiene una carcasa de plástico, el cual, le da soporte y protección a la pantalla de
cristal líquido, como se muestra en la Fig. 4.1 a). Sin embargo, es necesario remover dicha
carcasa con la intención de que al ensamblar los dispositivos en un arreglo en forma de
prisma triangular, los espacios generados por los bordes donde se empalman cada una de
las LCD’s sean los más pequeño posible, quedando en una primera separación tal como se
muestra en la Fig. 4.1.
63
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 4.1. a) Marcos Digitales para desplegar Pantallas Nulas Planas, c) Pantallas de Cristal Líquido
separadas de la carcasa de plástico.
Ahora bien, las dimensiones físicas del conjunto de marcos digitales LCD se muestran en el
diagrama esquemático de la Fig. 4.2.
Fig. 4.2 Diagrama esquemático de las dimensiones de los marcos digitales,
En la misma Fig. 4.2, podemos notar que cada marco digital tiene un área activa definida
por el ancho S = 92.70 mm, y el largo L = 157 mm, que corresponden justamente a las
longitudes de las pantallas de cristal líquido, estas serán tomadas en cuenta tanto para el
diseño de las pantallas nulas, como para el diseño de los soportes que sujetarán el arreglo
en forma de prisma triangular. El resto de las medidas son parte marco metálico, las cuales
se presentan como partes constitutivas de los marcos digitales, por lo que prescindiremos de
ellas en este trabajo.
64
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
4.1.2 Resolución de los Marcos Digitales LCD
La resolución de las pantallas LCD juega un papel sumamente importante en el diseño de
las Pantallas Nulas, por lo cual, es necesario caracterizar cada uno de estos dispositivos,
con la intención de corroborar que efectivamente tienen la resolución reportada por el
fabricante. Esta información indica que cada marco digital es capaz de mostrar imágenes
fijas con una resolución de 480x274 pixeles, por lo que el tamaño de pixel reportado es de
328 m.
Para poder verificar la resolución de las pantallas LCD, se desarrolló un programa en
Matlab, mediante el cual se diseñaron imágenes de una malla cuadrada, con 9 divisiones de
líneas; separadas 50 pixeles en la dirección vertical (largo de la pantalla), así como un sub
conjunto de divisiones de 48 líneas; separadas 10 pixeles cada una en la misma dirección,
lo cual da un total de 480 pixeles a lo largo. Adicionalmente, en la dirección horizontal
(ancho de la pantalla), se diseñó un arreglo cuadrado, el cual, consta de 5 divisiones de
líneas; separadas 50 pixeles, así como un sub conjunto de divisiones de 27 líneas separadas
10 pixeles cada una, más una región al final del ancho de la imagen compuesta de 4 pixeles,
lo que da un total de 274 pixeles. Esta idea se muestra en la Fig. 4.3 a).
a)
b)
Fig. 4.3. Resolución de los marcos digitales LCD a) Imagen que indica la caracterización de la
resolución de la pantalla de cristal líquido, b) Diagrama esquemático del marco digital con la imagen ajustada
a la resolución de la Pantalla.
En la Fig. 4.3 b) mostramos un diagrama esquemático de la misma imagen desplegada en la
pantalla de cristal líquido, la cual ha sido diseñada con la resolución y tamaño de pixel
reportado, que es de 328 m. de esta manera podemos notar que efectivamente corresponde
a la resolución que tienen estos marcos digitales LCD.
65
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
Una vez que tenemos bien caracterizados todos los parámetros que constituyen estos
marcos digitales LCD, podemos diseñar las pantallas nulas planas en formato imagen, las
cuales serán utilizadas como iluminadores para realizar el corrimiento dinámico de puntos.
Para esto es necesario implementar el arreglo de LCD’s en forma de prisma triangular, para
poder evaluar una esfera de calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana.
4.1.3 Separación de las componentes de los Marcos Digitales LCD
El siguiente procedimiento consiste en separar la electrónica que está adherida a la pantalla
de cristal líquido. Dicha electrónica es básicamente el conjunto de circuitos, de los cuales se
destacan; la fuente principal de energía (cables de corriente eléctrica), la memoria interna
(DF), la cual almacena archivos (en este caso imágenes), una memoria flash USB que le
proporciona las imágenes a las pantallas, así como los circuitos de la botonera que
controlan la selección de la imagen que se desea desplegar, además de la intensidad, brillo
y contraste, que constituyen la iluminación del conjunto de LCD’s. En la Fig. 4.4 se
muestra un ejemplo de cada componente separada de las LCD’s.
a)
c)
b)
d)
Fig. 4.4 Componentes separadas de los marcos digitales LCD. a) Pantallas de Cristal Líquido, b)
Tarjeta de Circuitos adherida a las pantallas de cristal líquido, c) Botonera separada de los marcos digitales, d)
Cables de Luz y Cables USB separados de la electrónica de los marcos digitales.
66
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
Note que tanto el conjunto de LCD’s, como la botonera y el resto de cables, que estaban
originalmente en contacto con los marcos digitales, ahora pueden moverse casi libremente
(ya que el listón que comunica los circuitos LCD, no se puede hacer más largo, por lo que
aún debe mantenerse cercanos a la pantalla LCD), todo esto con la intención de poder
realizar cualquier maniobra sin que una componente afecte a la otra. La idea es poder
construir un arreglo que me permita realizar cualquier cambio (como prender los
dispositivos y cargar distintas imágenes), sin estar restringidos y perder la alineación del
arreglo, por lo cual, en principio la propuesta es que toda la electrónica esté debidamente
separada.
Ahora bien, la velocidad para desplegar cada una de estas imágenes depende de las
capacidades del software y de la memoria interna de estos dispositivos.
4.1.4 Soporte diseñado para ensamblar el arreglo de LCD´s en forma de Prisma
Triangular
Una vez separada la electrónica podemos manipular libremente las pantallas LCD para
construir el arreglo en forma de prisma triangular. Para esto, se fabricaron dos tapas o
soportes (Fig. 4.5), en las cuales se podrá ensamblar cada una de las pantallas. En dichas
tapas se realizó un triángulo equilátero (mediante corte láser para tener mayor precisión en
el diseño), el material que se usó fue acrílico. Con el diseño de dicho soporte, el arreglo
adquirirá la rigidez necesaria para mantener el conjunto de pantallas perfectamente
alineado. Cabe resaltar que el soporte diseñado tienen una forma particular, debido a que
las pantallas LCD tienen un marco metálico que está adherido a ellas y no se puede
desprender, esto implica tener una plantilla como la que se muestra en la Fig. 4.5.
Fig. 4.5 Diagrama esquemático del soporte de triangular para el conjunto de LCD´s.
67
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
En la Fig. 4.5 podemos ver las dimensiones del triángulo diseñado para sujetar al conjunto
de pantallas LCD. Dicho esquema muestra un triángulo equilátero; el cual, mide por lado
100.10 mm, esta medida corresponde al ancho de la LCD (incluyendo el marco metálico
adherido a las LCD’s). Adicionalmente, se propuso una segunda medida que corresponde al
ancho efectivo de la pantalla, es decir, la longitud que hay desde el marco metálico hasta el
final de la pantalla de cristal líquido; que mide 92.70 mm. Estas medidas son necesarias
para realizar los cortes adecuadamente. Con este diseño, podemos ensamblar cada una de
las pantallas en el arreglo propuesto.
Un ejemplo del procedimiento seguido para construir el arreglo de LCD´s en forma de
prisma triangular se presenta en el arreglo experimental de la Fig. 4.6.
a)
c)
b)
d)
Fig. 4.6. a) Triángulos construidos para sujetar los marcos digitales LCD, b) Molde triangular que
sirve de soporte c) Ensamblado completo de Pantallas LCD en el molde triangular, d) Arreglo de prisma
triangular dentro de un cilindro.
Note que mediante las tapas de acrílico podemos sujetar el arreglo de LCD´s en forma de
prisma triangular. Finalmente, la última etapa para la construcción del arreglo propuesto,
consiste en colocar el prisma triangular dentro de un cilindro de acrílico, el cual le dará
mayor rigidez al prototipo y evitará que los circuitos queden expuestos por fuera. De esta
forma, se ha construido un arreglo experimental de laboratorio destinado para evaluar la
córnea humana, Fig. 4.7.
68
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
Fig. 4.7. Arreglo experimental de tres pantallas LCD formando un prisma triangular.
El arreglo mostrado en la Fig. 4.7., incluye además, el resto de elementos que conforman la
prueba de pantallas nulas. En este caso, tenemos una lente zoom f=110 mm como sistema
óptico para enfocar la imagen, un detector CMOS en la cual se capturarán las imágenes, así
como la esfera de calibración, que en este caso representa nuestra superficie bajo prueba.
4.3 Calibración del conjunto de LCD´s contenidos en un Arreglo Triangular
Una vez construido el arreglo de LCD´s en la configuración propuesta, es necesario
corroborar que efectivamente están contenidos en un triángulo equilátero. Para esto, en la
Fig. 4.8 se muestra una imagen con una vista transversal del arreglo experimental,
resaltando el triángulo equilátero en el que están contenidas las pantallas LCD.
La idea es encontrar las coordenadas de los vértices (A, B, C) del triángulo formado por las
tres pantallas (el cual está inscrito en el soporte triangular). Para esto, se usó un programa
computacional para desplegar la imagen y encontrar las coordenadas de dichos puntos.
69
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
Fig. 4.8. Imagen experimental del soporte triangular que contiene el arreglo de pantallas LCD.
Si graficamos las coordenadas de dichos puntos, tenemos como resultado la gráfica
mostrada en la Fig. 4.9.
Fig. 4.9 Triángulo obtenido de las coordenadas de los vértices (puntos A, B, C del triángulo que
forman las pantallas LCD).
La Fig. 4.9 representa el triángulo equilátero que forma el conjunto de pantallas LCD. En
dicha imagen podemos notar que el triángulo está invertido debido a la inversión de la
imagen en la cámara. El sistema de coordenadas solo representa una ubicación del arreglo
en el espacio; es decir, no necesariamente debe estar centrado en este sistema.
70
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
A partir de las coordenadas de los vértices podemos encontrar las pendientes de las rectas
de los lados del triángulo, mediante la ecuación de la pendiente de dos puntos, que se
escribe de la siguiente forma
y  y1
m 2
,
(4.1)
x2  x1
Donde m representa el valor de la pendiente y (x2, x1); (y2, y1), son las coordenadas en los
puntos A, B y C (descritos en la Fig. 4.8).
Ahora bien, si calculamos el valor de la pendiente de cada uno de los lados del triángulo
(Fig. 4.9), podemos obtener los ángulos internos de triángulo mediante la siguiente
ecuación.
  tan 1  m  .
(4.2)
Donde, los valores obtenidos para  son: 60.67°, 59.26° y 59.26° (con más menos ½ grado
de error) respectivamente. La suma de los ángulos internos de dicho triángulo nos da un
valor cercano a 180° (con su respectivo error asociado, puesto que los datos son obtenidos
de una imagen experimental). Estos valores nos indican que se trata razonablemente de un
triángulo equilátero, lo cual corrobora la geometría propuesta.
Otra manera de verificar que el arreglo de pantallas está ubicado en un triángulo equilátero,
es mediante la imagen experimental obtenida con arreglo de LCD´s. En la Fig. 4.10 se
presenta una imagen experimental obtenida con el arreglo triangular de LCD’s.
Fig. 4.10. a) Imagen Experimental Arreglo Triangular de LCD’s
En dicha imagen (Fig. 4.10), podemos apreciar dos triángulos concéntricos esquemáticos,
los cuales representan las uniones de los bordes de las pantallas LCD en cada uno de los
71
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
extremos del prisma. El objetivo es corroborar que efectivamente cada uno de los triángulos
en los que está contenido el arreglo de pantallas corresponde a triángulos equiláteros. Para
esto, localizamos nuevamente las coordenadas (A’, A’’, B’, B’’, C’, C’’) de los vértices del
par de triángulos concéntricos. Si graficamos dichos puntos, tenemos como resultado la
gráfica mostrada en la Fig. 4.11.
Fig. 4.11 Triángulos Concéntricos obtenidos de la imagen experimental (de las coordenadas de los
puntos (A’, B’, C’) y (A’’, B’’, C’’).
Esta gráfica (Fig. 4.11) representa los triángulos obtenidos a partir de las coordenadas de
los vértices en la imagen experimental. Nuevamente, en este caso podemos ver que los
triángulos aparecen invertidos debido a la inversión de la imagen en la cámara.
A partir de las coordenadas [(A’, B’, C’) y (A’’, B’’, C’’)] podemos encontrar el valor de la
pendiente (mediante la Ec. 4.1) y a su vez obtener los ángulos de cada triángulo (dichos
ángulos están medidos respecto a la horizontal). En este caso las coordenadas de los
vértices y los valores correspondientes de las pendientes y los ángulos, se muestran en la
tabla 1.
Tabla 1. Valores Obtenidos depara los ángulos de los triángulos concéntricos [Fig. 4.11 b)].
Coord x
Triangulo
Exterior
(mm)
A’= 0.39
B’=1.03
C’= 1.69
Coord y
Triangulo
Exterior
(mm)
A’=1.03
B’=-0.11
C’=1.03
Coord x
Triangulo
Interior
(mm)
A’’= 0.87
B’’= 1.03
C’’= 1.20
Coord y
Triangulo
Interior
(mm)
A’’= 0.72
A’’= 0.46
A’’= 0.72
Pendiente
Triangulo
Ext.
Pendiente
Triangulo
Int.
-1.79
1.73
0
-1.63
1.61
-0.01
Ángulos
Triangulo
Ext (+- ½
grado).
-60.80°
59.97°
0°
Ángulos
Triangulo
Int (+- ½
grado).
-58.47°
58.15°
-0.572°
72
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
De los valores presentados en la tabla 1, podemos ver que al sustituir el valor de la
pendiente para calcular los ángulos correspondientes [mediante la Ec. (4.2)], nos da como
resultado ángulos que se acercan razonablemente a un triángulo equilátero, ya que los
valores son cercanos a 60°, para dos pares de dichos ángulos (medidos respecto a la
horizontal), para el tercer valor nos da 0° y -0.572°, que son los valores para el segmento
que casi coincide con la horizontal. En el diagrama de la Fig. 4.12 se muestra
esquemáticamente como es la representación para medir dichos ángulos.
Fig. 4.12 Ángulos medidos respecto a la horizontal en el par de triángulos concentricos.
De esta manera, hemos realizado la calibración del conjunto de pantallas LCD contenidas
en un arreglo en forma de prisma triangular.
4.4 Alineación del Prototipo de LCD´s en la Prueba con Pantallas Nulas
Para evaluar una superficie óptica mediante el método de pantallas nulas, es necesario tener
alineado el conjunto de componentes incluidas en el arreglo experimental. De esta manera,
las deformaciones del patrón obtenido estarán asociadas con deformaciones en la superficie
y no con factores que provengan de una mala alineación. Un arreglo experimental bien
alineado es como se muestra en la Fig. 4.13.
73
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 4.13 a) Arreglo Experimental alineado, b) Arreglo Experimental inclinado alineado.
Como podemos notar en la Fig. 4.13, la alineación en el método de pantallas nulas, depende
del eje óptico de la cámara CCD o CMOS. Es decir, el eje de la cámara definirá como se
tendrán que colocar el resto de las componentes involucradas en el arreglo experimental,
para tener todo el sistema bien alineado.
Ahora bien, es importante mencionar que para nuestro caso la alineación de la
configuración propuesta es crítica, ya que el arreglo en general presenta varios grados de
libertad en cada una de sus componentes; por lo tanto, puede estar expuesto a distintos tipos
de desalineación, como se muestra en los diagramas de la Fig. 4.13.
74
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
a)
b)
c)
Fig. 4.13 Posibles formas de tener el arreglo experimental desalineado. a) Arreglo Experimental
desalineado tanto la configuración de LCD’s como la superficie bajo prueba, b) Arreglo Experimental con la
configuración de LCD’s, desalineada, c) Arreglo Experimental con la superficie bajo prueba desalineada.
Como podemos notar en la Fig. 4.13, son varias las formas en las que se puede tener el
arreglo experimental desalineado. La sugerencia es definir el eje óptico de la cámara y
posteriormente ir alineando el resto de las componentes involucradas.
75
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
Para llevar acabo la alineación del arreglo experimental propuesto en este trabajo se realizó
el siguiente procedimiento.
Primeramente, para alinear la carcasa cilíndrica se usaron dos tapas (colocadas en cada uno
de los extremos del prisma triangular) con un orificio central (puntos de alineación). Al ver
los dos puntos de alineación centrados en la imagen, esto indica que la carcasa está
centrada. En la Fig. 4.14 a) y 4.14 c) se presentan dos esquemas geométricos que
representan a dos figuras diseñadas, las cuales, estarán ubicadas en cada uno de los
extremos del prisma triangular, en la Fig. 4.14 b) y 4.14 d) se muestra experimentalmente
como están colocados los diseños geométricos que sirven como puntos de alineación; en
cada uno de los extremos del prisma. Una vez mostrados los esquemas, el procedimiento a
seguir fue el siguiente.
a)
c)
b)
d)
Fig. 4.14. a) Alineación de primer extremo del arreglo triangular, b) Imagen experimental
correspondiente c) Alineación del segundo extremo del arreglo triangular, d) Imagen experimental
correspondiente.
A partir de la retícula de cabellos cruzados que tienen los esquemas antes mencionados, la
idea es encontrar la altura en la que coinciden los puntos de referencia (vistos en la imagen
capturada en el CMOS), esto nos garantiza que tenemos alineado el arreglo de LCD´s con
la lente que a su vez está adherida a la cámara CMOS. Por otro lado, para asegurar que la
esfera está centrada al eje óptico es suficiente con centrar a la lente zoom. Para comprobar
que todo está correctamente alineado, es importante diseñar en la CMOS, un “overlay”
76
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
(superposición de puntos), el cual, validará que la imagen obtenida, está bien centrada en el
plano imagen., Con todo esto, tenemos finalmente todos los elementos del arreglo
propuesto alineados correctamente con el eje óptico de la cámara. A partir de este arreglo
podemos evaluar nuestra superficie bajo prueba. Una imagen del arreglo se muestra en la
Fig. 4.15 a).
a)
b)
c)
Fig. 4.15. a) Arreglo Experimental Alineado, b) Imagen que corrobora la alineación en el Plano
Imagen, c) Imagen Experimental Alineada.
En la Fig. 4.15 b) se muestra la imagen experimental de la retícula de cabellos cruzados de
las dos tapas ubicadas a los extremos del prisma triangular, las cuales, como podemos ver
están centradas en el overlay de la cámara. En la Fig. 4.15 c) se muestra una imagen
77
Cap. 4 Implementación Practica del Arreglo Experimental de LCD’s
______________________________________________________________________________________________________________
experimental del conjunto de puntos centrados y alineados, que son obtenidos con la
configuración propuesta. Esto corrobora que efectivamente el eje óptico de la cámara, está
alineado con cada una de los elementos que componen la prueba de pantallas nulas.
4.5 Conclusiones
En este capítulo se ha explicado el procedimiento seguido para la alineación de un arreglo
de LCD´s contenidos en un prisma triangular, así como de cada una de los elementos que
componen el método de pantallas nulas. Se ha mostrado mediante la calibración del
instrumento que efectivamente corresponde a la geometría propuesta. Por otro lado, hemos
corroborado que tanto las pantallas LCD como la lente están debidamente alineadas con el
eje óptico de la cámara. De esta manera, con el procedimiento explicado en cada uno de las
secciones podemos validar la alineación del sistema en general para tener un arreglo
experimental de laboratorio, con la intención de evaluar la superficie anterior de la córnea
humana. Finalmente, se muestra un ejemplo del tipo de imágenes experimentales de un
conjunto de puntos debidamente centrados y alineados, que son obtenidos con la
configuración propuesta, para realizar la prueba de una superficie óptica mediante el
método de pantallas nulas.
78
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
CAPITULO 5
PROCESAMIENTO DE IMAGENES PARA EL CÁLCULO DE LOS
CENTROIDES
En este capítulo se describen las técnicas utilizadas para llevar a cabo el
procesamiento de las imágenes experimentales tanto de manchas negras con fondo blanco,
como de manchas a color sobre fondo negro, las cuales fueron obtenidas mediante el
arreglo propuesto en este trabajo de tesis. Es importante mencionar que el objetivo central
es obtener los centroides de la imagen experimental. Para llevar a cabo dicha tarea, es
necesario procesar la imagen, ya que la imagen obtenida experimentalmente cuenta con
información adicional que en realidad no es necesaria, como el ruido de fondo y otros
factores que hacen complicado el contraste de la imagen. Por lo tanto, la tarea principal es
acondicionar la imagen para extraer la información requerida.
Para el procesamiento de las imágenes, en particular trataremos dos técnicas: La
técnica de segmentación y la técnica de umbralización de una imagen, las cuales, resultan
ser una tarea interesante y laboriosa, sin embargo, usando algunas ventajas del mismo
arreglo de LCD´s, podemos llevarlas a cabo.
5.1. Procesamiento para una Imagen de Manchas Negras
A partir del arreglo experimental de LCD’s propuesto para este trabajo de tesis,
podemos obtener una imagen experimental con una resolución de 1284X1027 pixeles, la
cual se muestra en la Fig. 5.1. Dicha imagen muestra un arreglo regular de manchas, que
son precisamente la información que queremos extraer. Ahora bien, para realizar el
procesamiento de esta imagen experimental, es necesario realizar un conjunto de pasos, de
tal manera que sea sencillo obtener los centroides de cada mancha, tal y como se describe
en las siguientes secciones. Todo el procedimiento realizado se hace por computadora,
usando cualquier lenguaje de programación. Cabe resaltar que los algoritmos para realizar
cada una de las tareas, son desarrollos propios.
79
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
Fig. 5.1 Imagen Experimental obtenida con el arreglo de LCD’s.
5.1.1 Zona de Interés de la Imagen Experimental
A partir de la imagen experimental capturada en el plano imagen (Fig. 5.1), se
realiza un recorte de la imagen mediante un programa desarrollado en cualquier lenguaje de
programación, tal como se muestra en la Fig. 5.2. Dicho recorte cambia la resolución de la
imagen original, de tal manera que en este caso, la resolución de la imagen nos queda de
666 X 666 pixeles (la resolución y los recortes de la imagen se deben tomar en cuenta para
obtener la coordenada del centroide en milímetros, como veremos más adelante).
Fig. 5.2 Recorte de la Imagen Experimental.
Continuando con el procedimiento, se determina la región interés (RoI). Una manera de
determinar dicha región de interés (RoI), es construyendo dos circunferencias concéntricas
(en forma de dona), las cuales delimitan dos zonas donde no hay información a evaluar,
conservando intacto el conjunto de manchas sobre la zona de interés. Dichas
circunferencias se determinan matemáticamente mediante las ecuaciones (5.1) y (5.2)
80
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
R1 
 X 1i  A1i 
R2 
 X 2i  A2i 
2
2
 Y 1j  B1j  ,
2
 Y 2 j  B2 j 
2
(5.1)
,
(5.2)
Donde (X1, Y1); (X2, Y2) son las coordenadas de cualquier punto (P1 o P2) sobre cada una
de las circunferencias correspondientemente, R1 y R2 son los radios de cada una de las
circunferencias y (A1, B1); (A2, B2) corresponden a las coordenadas en el centro (C1 o C2)
correspondiente a cada circunferencia, tal y como se muestra en la Fig. 5.3 a). Los
subíndices (i, j) son para especificar que se están realizando operaciones con imágenes; es
decir, indican cuantos pixeles hay que moverse tanto en la dirección X como en la dirección
Y. Para delimitar específicamente el RoI, se realiza el diseño de un overlake, el cual tiene la
función de centrar (moviendo supervisadamente) cada una de las circunferencias a las zona
correspondiente. De esta manera garantizamos que solo se analizará la información que está
directamente sobre la superficie bajo prueba, como se muestra en la Fig. 5.3 b).
a)
b)
Fig. 5.3 a) Circunferencias que definen la Región de Interés, b) Definición de la Región de Interés
(RoI).
Una ventaja de este recorte es que las matrices se hacen más pequeñas y con esto se reduce
el tiempo de cómputo
5.1.2 Segmentación de la Imagen
Una vez determinada la región de interés (RoI); el siguiente paso es la
segmentación de la imagen [68]. Ahora bien, puesto que no existe una teoría unificada para
el proceso de segmentación de imágenes, solo mencionaremos que los algoritmos de
segmentación generalmente se basan en dos propiedades básicas de valores de intensidad
81
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
que son: discontinuidad (particionar una imagen en base a los cambios abruptos de
intensidad) y similitud (particionar una imagen en regiones que son similares).
En este caso, como podemos ver en la figura 5.3 b), el perfil de iluminación sobre la
superficie de evaluación no es homogéneo, esto nos da como resultado una distribución de
intensidad variable en la imagen, lo cual hace difícil el tratamiento de una imagen
experimental de manchas. Por lo cual, para realizar la segmentación de la imagen,
optaremos por homogenizar la discontinuidad de intensidad del fondo de la imagen. Para
esto, usaremos algunas ventajas del mismo arreglo de LCD´s, mediante la obtención de una
imagen de fondo blanco.
5.1.3 Imagen de Fondo blanco
Mediante el arreglo de LCD’s propuesto, podemos desplegar una imagen de fondo
blanco (con nivel de intensidad máximo de 255), la cual debe corresponder a la misma
intensidad del fondo de las imágenes experimentales, esto lo podemos notar en la imagen
experimental que se muestra en la Fig. 5.4 a). Por otro lado, en la Fig. 5.4 b) podemos ver
la discontinuidad en los niveles de intensidad sobre el RoI. Este tipo de perfil de intensidad
complica la obtención de los centroides. Ahora bien, para suavizar el fondo de la imagen
experimental, usaremos esta imagen de fondo blanco [Fig. 5.4 a)], lo cual es equivalente a
usar la llamada técnica de similitud de intensidad. En este caso se propuso el procedimiento
que se explica a continuación.
a)
b)
Fig. 5.4 Perfil de Iluminación bidimensional a) Imagen de manchas sobre fondo blanco, b) Representación de
Niveles de Intensidad de la imagen de fondo blanco mediante Seudocolores.
5.1.3.1 Zona de Interés de la Imagen de Fondo Blanco
Una vez capturada la imagen de fondo blanco, fue necesario recortarla y definir su
región de interés (igual que con la imagen de manchas), tal y como se muestra en la Fig.
5.5. a). Una vez definido el RoI, el siguiente paso es realizar una operación básica entre
82
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
estas imágenes, la cual consiste en aplicar un cociente, es decir, dividir la imagen
experimental de manchas [Fig. 5.2] entre la imagen de fondo blanco [Fig. 5.4 a)]. Tal y
como se indica en la ecuación 5.3,
I suavizada 
I1i , j
Ifondoblancoi , j
,
(5.3)
Donde I1i,j es la imagen original recortada (Fig. 5.2), Ifondoblanco i,j es la imagen de fondo
blanco [Fig. 5.5 a)]. Isuavizada es la imagen que resulta al realizar dicha operación, la cual se
muestra en la Fig. 5.5 b).
a)
b)
Fig. 5.5 Tratamiento imagen de fondo blanco a) Definición de la Región de Interés (RoI), b) Imagen
suavizada.
Esta operación nos da como resultado una nueva imagen con un nivel de la intensidad
suavizado [Fig. 5.5 b)], de esta manera logramos homogenizar la intensidad de fondo, lo
cual, era el problema original que se estaba buscando solucionar.
Una vez obtenida una imagen suavizada [Fig. 5.5 b)], podemos continuar con el proceso de
umbralización.
5.1.4 Umbralización de la Imagen
A partir de la nueva imagen obtenida [Fig 5.5 b)], se realiza una inversión de contraste, lo
cual nos dará como resultado una imagen binarizada, en la que solo persisten dos valores
que pueden representarse por los valores 0 y 255. Posteriormente podemos establecer un
umbral, es decir, definir un valor de intensidad y convertir todo lo que es superior a ese
valor a 255 y lo que es inferior a 0 (donde 0 y 255 equivalen a negro y blanco en la escala
de grises). Una ejemplificación de estas operaciones se muestra en la Fig. 5.6 a).
83
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
En la misma Fig. 5.6 a) podemos notar que en la zona de los bordes de la imagen (donde se
unen las pantallas LCD) es un poco complicado determinar qué manchas pertenecen
realmente al conjunto, ya que debido al borde metálico de las pantallas LCD, algunas
manchas se reflejan, lo cual produce una mancha adicional. Por otro lado, algunas manchas
no están completas o bien definidas, por lo cual, ese tipo de manchas tampoco se
consideran (pues alterarían la determinación del centroide).
Para poder considerar solamente las manchas bien definidas, desarrollamos una subrutina la
cual borra las manchas que no están completas o que son producto de una reflexión. Esta
subrutina, explora toda la imagen y uno asigna las coordenadas en pixeles de la mancha o
manchas que se quieres eliminar. De esta manera, tendremos una nueva imagen por
sectores, la cual, contiene solo las manchas que forman parte de los puntos objeto (puntos
provenientes de la pantalla nula). En la Fig. 5.6 b) se muestra esa nueva imagen clasificada
por sectores.
Posteriormente, a cada píxel que no pertenece a la zona de interés, se le asignó un valor de
intensidad de 0, mientras que el conjunto de manchas se resaltan con un valor de 255,
representando de esta manera el conjunto de manchas contenidas en la superficie bajo
prueba mediante una máscara, como se muestra en la Fig. 5.6 b).
a)
b)
Fig. 5.6 Procesamiento de la imagen, a) Umbralización de una imagen experimental de manchas, b)
Conjunto manchas filtradas por sectores.
Finalmente, para obtener el conjunto de manchas con intensidad variable fue necesario
aplicar una nueva operación sobre la imagen que sirvió como máscara [Fig. 5.6 b)]. Esta
operación se puede realizar mediante la Ec. (5.4)
If 
I um  min  I um 
max  I um   min  I um 
 255
(5.4)
Donde, If representa la imagen final y Ium es la imagen umbralizada [Fig. 5.6 b)], a la que se
le calcula su máximo y su mínimo valor de intensidad. Lo cual da como resultado la
imagen que se muestra en la Fig. 5.7.
84
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
Fig. 5.7 Procesamiento de la imagen Machas con intensidad variable
Con esta imagen (Fig. 5.7) se representa realmente como es la intensidad de cada mancha,
ya que el objetivo final es calcular el centroide que viene dado como un promedio pesado
de la intensidad de cada mancha.
5.1.5 Bordes de la Imagen
Determinar los bordes en una imagen procesada es una herramienta muy útil para calcular
los centroides de la imagen, ya que mediante la localización del borde de cada mancha se
puede disminuir el tiempo de procesamiento de la imagen, en comparación a utilizar la
imagen. Por otro lado, con la definición del borde se puede determinar completamente la
forma que tiene de cada una de las manchas. En nuestro caso, encontramos los bordes del
conjunto de manchas mediante la función edge (del toolbox de Matlab). Esta función
encuentra el borde de una imagen previamente umbralizada, como se muestra en la Fig. 5.8.
Fig. 5.8 Borde de las manchas
5.1.6 Centroides de la Imagen
Una vez definido el borde de cada mancha, podemos garantizar que tenemos bien
identificada cada una de las manchas. De esta manera, podemos calcular el promedio
85
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
pesado de su intensidad para obtener el centroide correspondiente. La operación para el
cálculo de los centroides se define mediante las ecuaciones 5.5.
N
I(x cen ) 
x
m 1
N
m
I(m)
 I(m)
(5.5 a))
m
N
I(ycen ) 
y
m 1
N
m
I(m)
 I(m)
(5.5 b))
m
Donde m rotula los píxeles que hacen parte de la mancha que se está tratando, (xm, ym) y
I(m)son las coordenadas y el valor de la intensidad de dicho píxel respectivamente. El
resultado de esta operación nos da los centroides mostrados en la Fig. 5.9
Fig. 5.9 Conjunto de centroides obtenidos a partir del procesamiento de la imagen.
El procedimiento que se aplicó a cada una de las imágenes experimentales obtenidas, se
resume en el siguiente diagrama de flujo.
86
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
Fig. 5.10 Diagrama de flujo del procesamiento de la imagen experimental
El siguiente paso es la evaluación cuantitativa de la superficie, la cual se presenta en el
capítulo 6 de esta tesis.
5.2 Procesamiento para una Imagen de Gotas en Color
En esta sección se muestran algunas técnicas del procesamiento de una imagen de manchas
a color (R, G, B). Para esto, recordemos que dentro de las capacidades del arreglo
experimental de LCD´s, podemos desplegar pantallas nulas de geometrías diversas; incluso
pantallas nulas cromáticas, las cuales nos dan un muestreo de manchas en color, tal como
las que se muestran en la Fig. 5.11.
87
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 5.11 Imágenes de manchas de colores sobre la esfera de calibración a) manchas de colores en fondo
blanco b) manchas de colores en fondo negro.
La idea del diseño de las manchas a color, es introducir un mayor número de manchas en
una imagen y poder extraer la información de cada mancha filtrando por color. Esto con la
intención de evitar que manchas cercanas entre ellas sean difíciles de separar para sacar el
centroide.
5.2.1 Zona de Interés de la Imagen Experimental de Gotas a Color
A partir de la imágenes experimentales mostradas en la Fig. 5.11, podemos desarrollar un
procedimiento análogo al explicado anteriormente para el procesamiento de las imágenes.
Para esto, es necesario definir nuevamente el recorte de la imagen así como la región de
interés (RoI). Esto se logra usando la rutina previamente desarrollada, con la salvedad de
que ahora se está trabajando con manchas de colores: rojo, verde, azul (RGB). La región de
interés para cada uno de los conjuntos de gotas en color sobre fondo blanco o fondo negro
se presentan en la imagen mostrada en la Fig. 5.12.
a)
b)
Fig. 5.12 Imágenes de manchas de colores sobre la esfera de calibración a) RoI de gotas a colores sobre fondo
blanco b) RoI de gotas a colores sobre fondo negro.
88
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
En cada una de las imágenes de la Fig. 5.12 podemos notar claramente el RoI
(circunferencias en rojo), que especifica que zona de la imagen es la que se va a tratar.
5.2.2 Segmentación de la Imagen Experimental de Gotas a Color
Para llevar a cabo la segmentación de la imagen de gotas a color en fondo blanco o fondo
negro, se necesita emplear un procedimiento distinto al descrito anteriormente, ya que
ahora se está trabajando con gotas en color, por lo que el procesamiento de la imagen se
puede realizar filtrando por canales cada uno de los colores, de esta manera tendremos una
imagen distinta para cada color, así como la imagen correspondiente para el conjunto de
gotas blancas o negras respectivamente. Adicionalmente, el procedimiento empleado para
tener una imagen bien umbralizada consiste en una secuencia de pasos que se explican a
continuación.
5.2.3 Umbralización de una imagen de gotas en colores
Primeramente, es necesario mencionar que el conjunto de manchas a color tienen cierto
porcentaje de los colores primarios R,G,B, es decir, cada una de las manchas no está
compuesta por colores puros. El hecho de que sea abundante el color primario que resalta a
la vista, no quiere decir que solo estén compuestas de ese color, sino que cuentan con un
porcentaje adicional de R,G,B cada una de las gotas. Por lo tanto, se propone realizar una
normalización de la imagen; como se sugiere en [1], de esta manera obtendremos una
nueva imagen donde el conjunto de gotas a color no sobre pasa un umbral de intensidad
mayor a uno. Este procedimiento lo haremos para la imagen de manchas a color sobre
fondo negro (el tratamiento para la imagen de fondo blanco es análogo).
La imagen normalizada se puede obtener si realizamos las siguientes operaciones.
ri , j 
g i, j 
bi , j 
Ri , j
Ri , j  G i , j  Bi , j
Gi , j
R i , j  G i , j  Bi , j
Bi , j
Ri , j  G i , j  Bi , j
(5.6 a))
(5.6 b))
(5.6 c))
En esta caso, R, G, B son los colores primarios y los nuevos valores r, g, b se definen como
los colores primarios normalizados, donde r+g+b=1. El resultado de las operaciones (5.6)
nos da la imagen normalizada que se muestra en la Fig. 5.13.
89
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
Fig. 5.13 Imagen normalizada de gotas en color con Gotas individuales de colores (R,G,B) a) Gotas rojas en
distintas zonas de la superficie, b) Gotas verdes en distintas zonas de la superficie, c) Gotas azules en distintas
zonas de la superficie.
La Fig. 5.13 nos presenta los colores normalizados, sin embargo, debido al problema de
iluminación antes mencionado podemos notar que las manchas no se ven con el mismo
color, además de que las manchas blancas desaparecen, convirtiéndose en manchas color
marrón. Por lo cual, para poder realizar la umbralización de cada conjunto de gotas, es
necesario saber específicamente cual es el valor de la intensidad de cada gota en las
distintas zonas de la superficie. En la misma Fig. 5.13 se muestra un zoom de las gotas para
cada color.
El procedimiento empleado para umbralizar la imagen mostrada en la Fig. 5.13, se basa en
encontrar los valores máximos y mínimos del porcentaje r, g, b que tiene cada gota en las
distintas zonas de la imagen, por otro lado, también es necesario conocer el nivel de
intensidad que tienen las gotas blancas (mostrada en la Fig. 5.11 b), de esta manera
podemos establecer cotas superiores e inferiores, las cuales, quedarán definidas en nuestro
código; para no sobrepasar un nivel de intensidad mayor a dicha cota. Esto podemos
lograrlo evaluando la imagen mediante un ciclo (for) con un condicionante (if); en el cual
quedarán establecidos los valores que hayamos determinado para la intensidad de cada
gota. Finalmente, la umbralización de la imagen podemos obtenerla haciendo uso de las
funciones definidas en el toolbox de Matlab (en este caso se hace uso de la función imtool),
así, obtendremos el correspondiente conjunto de gotas umbralizadas, como se muestra en la
Fig. 5.14.
90
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
d)
Fig. 5.13 Umbralización de la imagen por colores a) Gotas rojas, b) Gotas verdes c) Gotas azules, b) Gotas
blancas
5.2.4 Bordes y Centroides de la Imagen de Gotas en Color
Una vez obtenida la umbralización de la imagen para cada conjunto de gotas, el siguiente
paso es la obtención de los bordes de la imagen, lo cual se realiza con un procedimiento
análogo al explicado anteriormente, es decir, haremos uso nuevamente de la función edge
(del toolbox de Matlab), que como dijimos, esta función encuentra el borde de una imagen
previamente umbralizada. En este caso el conjunto de bordes para cada una de las imágenes
de gotas en color y gotas blancas queda determinado, como se muestra en la Fig. 5.14.
91
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
a)
b)
c)
d)
Fig. 5.14 Determinación de los Contornos del conjunto de imágenes a) Contorno gotas rojas, b) Contorno
gotas verdes c) Contorno gotas azules, b) Contorno gotas blancas
Finalmente, para obtener los centroides correspondientes, debemos calcular el promedio
pesado de su intensidad (de acuerdo con las ecuaciones 5.5 propuestas anteriormente). La
gráfica para este conjunto de centroides se muestra en la Fig. 5.15.
Fig. 5.15 Conjunto de centroides obtenidos a partir de las imágenes experimentales de manchas a
color.
92
Cap. 5 Procesamiento de Imágenes
_________________________________________________________________________
Una vez obtenido el conjunto de centroides el siguiente paso es la evaluación cuantitativa
de la superficie medianet el cálculo de las normales.
5.3 Conclusiones
En este capítulo se han explicado algunas técnicas de procesamiento de imagenes,
utilizadas para el cálculo de los centroides, haciendo énfasis en las ventajas de uso de las
LCD´s para realizar el proceso de segmentación de la imagen. Adicionalmente, mediante la
propuesta de pantallas nulas de colores, se ha mostrado el procesamiento de una imagen de
manchas a color. Finalmente, se ha mostrado el procedimiento que debe realizarse para
dejar a punto una imagen y así obtener el conjunto de centroides que nos servirán para el
cálculo de las normales, perfilándonos de esta manera hacia la evaluación cuantitativa de la
superficie óptica bajo prueba.
93
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
CAPITULO 6
RESULTADOS EXPERIMENTALES
En este capítulo, se presentan los resultados experimentales de la evaluación de una esfera
de calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana, a partir de un arreglo
experimental de LCD´s en forma de Prisma Triangular basado en el método de pantallas
nulas. Adicionalmente, se muestran las ventajas que ofrece el método de corrimiento
dinámico de puntos (DyPoS) mediante las pantallas LCD al evaluar la misma esfera de
calibración, para ello, se muestran los mapas de las diferencias de sagita de la superficie
evaluada. Finalmente se muestra una tabla con los parámetros obtenidos de dicha superficie
bajo prueba.
6.1. Evaluación de la Superficie bajo Prueba
La principal ventaja de una prueba óptica es poder dar a conocer información cuantitativa
de la superficie que se está evaluando, esto se puede lograr obteniendo las deformaciones
del frente de onda o correspondientemente la forma de la superficie. En el desarrollo de esta
tesis se han explicado los conceptos involucrados para obtener la forma de la superficie;
mediante la técnica de pantallas nulas con el método conocido como deflectometría por
reflexión (capítulo 3). Por otro lado, en el capítulo 5 se explicó el procedimiento seguido
para el procesamiento de las imágenes experimentales, mediante el cual, es posible obtener
los centroides correspondientes. Mediante esta información, es posible encontrar la forma
de la superficie, así como los mapas de las diferencias de sagita, los cuales, representan las
diferencias respecto a una superficie ideal. En las siguientes secciones se muestran los
resultados obtenidos al evaluar una esfera de calibración de dimensiones cercanas a la
córnea humana, para esto, se presenta el procedimiento seguido al obtener los diferentes
resultados, así como el análisis del comportamiento de los datos.
6.1.1 Calibración del Defoco a partir de la Imagen Experimental
A partir del arreglo experimental mostrado en la Fig. 6.1 a), podemos evaluar una esfera de
calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana, para esto, es necesario colocar la
superficie bajo prueba en un extremo del arreglo de LCD´s, mientras que en el otro extremo
se coloca el sistema óptico que servirá para capturar la imagen experimental, la cual se
muestra en la Fig. 6.1 b).
94
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 6.1. a) Arreglo Experimental Alineado, b) Imagen Experimental
Ahora bien, si queremos realizar una correcta evaluación de la superficie bajo prueba, es
necesario calibrar el defoco, el cual, es un problema intrínseco de esta prueba, ya que no se
conoce específicamente la posición exacta donde debe colocarse la superficie que se está
evaluando. Esencialmente, el efecto que produce el defoco es un cambio de tamaño en la
imagen lo cual implica un cambio en la separación de los centroides. Ahora bien, para
realizar dicha calibración, es necesario explorar cuál debe ser la mejor posición para
colocar dicha superficie óptica entorno al eje z, lo cual nos dará una posible calibración al
problema del defoco. Primeramente, desplazamos la superficie de un punto de partida
conocido, en un intervalo que incluya al menos 2 desplazamientos hacia adelante y 2
desplazamientos hacia atrás a lo largo de eje z. En el mismo arreglo experimental se tiene
un tornillo micrométrico, el cual nos permite desplazar la superficie de un punto de partida
en movimientos controlados de 0.01 mm. De esta manera podemos capturar una imagen
experimental en cada posición.
Una vez capturada cada una de las imágenes experimentales, es necesario obtener el
conjunto de centroides. Dichos centroides deben ser graficados en el plano cartesiano para
corroborar que efectivamente están ordenados con un espaciamiento regular entre los
puntos, tal como fueron diseñados, adicionalmente, deben estar corregidos por la distorsión
que puede introducir la lente (Apéndice 1). De esta forma, obtendremos una representación
como la que se muestra en la gráfica de la Fig. 6.2.
Fig. 6.2. Centroides experimentales obtenidos en el plano imagen.
95
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
El procedimiento para calibrar el Defoco, consiste en realizar un análisis del espaciamiento
que tiene el conjunto de centroides de las diferentes imágenes experimentales; tanto en la
coordenada x como en la coordenada y. A partir de dichas medidas podemos obtener el
promedio de la separación que tienen los puntos de cada imagen. Es importante mencionar
que la separación promedio de los centroides ideales es de 0.12 mm (tanto en x como en y),
por lo tanto, este será nuestro parámetro de referencia; para medir el mejor espaciamiento
entre los puntos de cada una de las imágenes capturadas en las distintas posiciones. A
continuación se muestra una tabla con los valores obtenidos.
Tabla 1. Numero de Imágenes y Espaciamiento entre puntos
Imágenes
Desplazamientos
(mm)
G1
G2
G3
G4
21
22
23
24
Espaciamiento
Promedio
x (mm)
-0.1225
-0.1232
-0.1203
-0.1177
Espaciamiento
Promedio
y (mm)
-0.1254
-0.1233
-0.1204
-0.1177
Distancia
Radial
ρ (mm)
0.1753
0.1743
0.1703
0.1665
En la Tabla 1, reportamos el promedio del espaciamiento de 100 puntos tanto en la
coordenada x como en la coordenada y para 4 imágenes (G1, G2, G3, G4), así como la
distancia radial (ρ) entre cada punto; además, se presentan los desplazamientos realizados
con el tornillo micrométrico respecto de la posición inicial. A partir de estos valores,
graficamos el promedio de la separación en x vs el desplazamiento, así como la separación
y vs el desplazamiento y para ρ correspondientemente, tendremos las siguientes gráficas.
a)
96
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
b)
c)
Fig. 6.3. Gráficas para el análisis del Defoco a) Promedio de Separación x vs Desplazamientos, b) Promedio
de Separación y vs Desplazamientos, c) Promedio de Distancia Radial ρ vs Desplazamientos.
Note que en cada una de las gráficas hemos realizado una regresión lineal del
comportamiento, esto nos proporciona tanto la pendiente, como la ordenada al origen, así
como el coeficiente de correlación correspondiente. Estos valores se muestran en la
siguiente tabla.
97
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
Tabla 2. Valores de los parámetros de cada ecuación lineal
Coordenadas
Pendiente
Ordenada
Coef. de correlación
x
0.0018
-0.1604
0.8117
y
0.0026
-0.1799
0.9955
ρ
-0.0031
0.2407
0.9485
En la Tabla 2 tenemos los valores de las pendientes de las rectas, así como su ordenada al
origen. A partir de estos valores, podemos construir una ecuación lineal tanto para x, para y
y para ρ, cuya solución se aproximará al valor donde debe colocarse la superficie bajo
prueba. Las ecuaciones quedan escritas de la siguiente forma
zx 
 0.12  b 
m
0.12  b  ,
zy 
m
0.16  b  .
z 
m
,
(6.1 a))
(6.1 b))
(6.1 c))
En este caso, m es la pendiente de cada recta y b es la ordenada al origen respectivamente.
Ahora bien, la solución para x, para y y para ρ representan una aproximación a la posición
donde debe colocarse la superficie bajo prueba. Los valores obtenidos de la solución de
cada una de estas ecuaciones, se presentan en la tabla 3.
Tabla 3. Valores numéricos de la Solución de las Ecuaciones y Promedio Pesado
Sol. De las Ecs
Valores (mm)
discrepancia
zx
22.44
0.37
zy
23.03
-0.22
zρ
22.90
-0.09
Promedio Pesado
22.81
0
En la tabla 3 se presentan los valores obtenidos con cada una de las ecuaciones propuestas,
estos valores nos definen la posición aproximada donde debe colocarse la superficie bajo
prueba (respecto de la posición inicial propuesta en el diseño). En este caso la mejor
posición de acuerdo al promedio pesado es 22.81 mm. Note que la superficie se desplazó
entre las posiciones 21 a 24, de acuerdo con lo explicado en la tabla 1, por lo tanto, el valor
obtenido es el lugar que debe considerarse como el punto de partida para realizar la
evaluación.
Una vez definida la posición de la superficie, podemos capturar la mejor imagen
experimental, de la cual, obtendremos el conjunto de centroides ya corregidos por
distorsión, dichos centroides son graficados en el plano cartesiano superponiéndolos con los
centroides ideales; que fueron usados para el diseño de la pantalla nula, tal como se observa
en la gráfica de la Fig. 6.4 a). De la misma figura 6.4 a) podemos ver el conjunto de
centroides experimentales presentan un espaciamiento similar al que tiene el conjunto de
98
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
centroides ideales, lo cual indica que hemos ubicado la superficie óptica en una posición
razonablemente buena para comenzar la evaluación.
Adicionalmente, algo que podemos hacer con los datos obtenidos de los centroides
experimentales, es ver el comportamiento direccional que presentan cuando se comparan
con los centroides ideales, esto lo podemos visualizar mediante una gráfica de vectores,
como la que se muestra en la Fig. 6.4 b).
a)
b)
Fig. 6.4. a) Comparación entre centroides experimentales y Centroides Ideales, b) Comportamiento vectorial
entre Centroides experimentales y Centroides Ideales.
En la Fig. 6.4 b) podemos ver que cada pareja de vectores están orientados según la
posición en la que se ubique cada punto, de tal manera que, su dirección preferencial tiende
hacia el centro de la superficie óptica (considerando el tamaño de cada vector). Lo cual nos
da evidencia de que hemos colocado la superficie óptica en una posición razonablemente
buena y que el arreglo en general está suficientemente bien alineado. De esta forma, se ha
mostrado que mediante una exploración de la posición de la superficie a lo largo del eje z,
se puede obtener una posible calibración para el problema del Defoco.
99
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
6.1.2 Método de Corrimiento Dinámico de Puntos con Pantallas LCD
Una vez realizado el análisis del Defoco, hemos dejado a punto nuestro arreglo
experimental para realizar la evaluación de una esfera de calibración de dimensiones
cercanas a la córnea, utilizando el método de corrimiento dinámico de puntos (DyPoS).
Mediante el arreglo experimental mostrado en la Fig. 6.1 a), realizamos nueve corrimientos,
capturando una imagen por cada corrimiento, obteniendo un total de nueve imágenes con el
conjunto de manchas desplazadas. La idea es incrementar el número de puntos muestreados
para reducir el error de truncamiento en la evaluación de la superficie. El conjunto de
imágenes que representan el corrimiento de puntos se muestra en la Fig. 6.5.
a)
b)
d)
e)
g)
h)
c)
f)
i)
Fig. 6.5. Evolución del conjunto de puntos sobre la superficie bajo prueba, mediante el método de
Corrimiento Dinámico de Puntos para (i, j) definidos por, a) (0,0), b) (0,1), c) (0,2), d) (1,0), e) (1,1), f) (1,2),
g) (2,0), h) (2,1), i) (2,2).
100
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
En la Fig. 6.5 mostramos un total de nueve imágenes experimentales, las cuales,
representan la evolución del conjunto de puntos, ya que como se mencionó anteriormente,
los puntos deben cambiar de posición para cada imagen capturada. A partir de estas
imágenes separadas no es tan fácil de observar los cambios, por lo que en la Fig. 6.6 se
muestran a la vez todos los puntos desplazados. Estas imágenes fueron creadas después de
procesar las nueve imágenes de la figura. 6.5, y la superposición de todos los puntos en una
misma imagen. Por otro lado, la Fig. 6.6 a) muestra todos los puntos en negro, mientras que
el fondo es blanco como las imágenes originales, pero con un mejor contraste. Para una
mejor comprensión de esto, en la figura. 6.6.b) las manchas se hacen de color, con lo cual,
es más fácil de identificar cada uno de los corrimientos y asociarse con el corrimiento
aplicado; la codificación de colores es la misma que en la Fig. 2.7 del Cap. 2 de esta tesis y
se explica en el pie de la figura. 6.6 b).
a)
b)
Fig. 6.6. Evolución del conjunto de puntos sobre la superficie bajo prueba, mediante DyPoS, estas imágenes
fueron creadas después de procesar las nueve imágenes de la figura. 6.5, y la superposición de todos los
lugares. a) Todos los puntos son de color negro sobre un fondo blanco, b) las manchas son de color de
acuerdo con el cambio aplicado el código de color es, por (i, j) dada por:  (0,0),  (0,1),  (0,2), (1,0),  (1,1),  (1,2),  (2,0),  (2,1),  (2,2).
Una vez analizadas cualitativamente las imagenes, pasaremos a cuantificar los resultados a
partir de estas imágenes, para esto, se hace uso de los conceptos previamente descritos en
los capítulos 3 y 4 de esta tesis.
6.1.3 Centroides del Conjunto de Imágenes Experimentales
Para cada una de las imágenes experimentales (mostradas en la Fig. 6.5), se
obtuvieron sus centroides correspondientes. En la Fig. 6.7 a) podemos ver un total de 112
centroides provenientes de una imagen, los cuales representan un muestreo con baja
densidad de puntos, por otro lado, cuando se aplica el método corrimiento de puntos;
podemos notar en la Fig. 6.7 b) que la densidad del muestreo de puntos aumenta
considerablemente, obteniendo un total de 961 centroides provenientes de las nueve
imágenes.
101
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
a)
b)
Fig. 6.7. a) Centroides Correspondientes a una imagen, b) Conjunto de Centroides Correspondientes a nueve
Imágenes.
Con estas gráficas [Fig. 6.7 a) y 6.7 b)], podemos notar que al realizar el corrimiento de
puntos se pueden muestrear zonas intermedias, donde antes no existía información. En la
Fig. 6.7 b), cada corrimiento está representado con distinto color, de esta manera podemos
mostrar claramente el conjunto de centroides correspondiente a cada una de las nueve
imágenes. Es importante aclarar que nada se ha movido en el arreglo experimental, excepto
las gotas en el CCD; por lo tanto se pueden superponer como un todo. A partir de esta
información (con todos los centroides superpuestos) realizamos la evaluación cuantitativa
de nuestra superficie bajo prueba.
102
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
6.1.4 Integración de la Superficie bajo Prueba
Una vez que hemos obtenido las coordenadas de los centroides, así como las
coordenadas correspondientes a cada una de las pantallas nulas (lo cual fue explicado en los
capítulos 2 y 5 respectivamente), procedemos a obtener el conjunto de normales
aproximadas a la superficie; mediante las Ecs. (3.8 a), 3.8 b) y 3.8 c)) descritas en el Cap. 3
de esta tesis. El arreglo esquemático que ejemplifica el cálculo de las normales a la
superficie se muestra en la Fig. 6.8 a), de igual manera, en la Fig. 6.8 b) y 6.8 c) se
presentan las gráficas del conjunto de normales a la superficie, obtenidas a partir de una
imagen, así como para el total de nueve Imágenes correspondientes a los nueve
corrimientos realizados.
103
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
b)
c)
Fig. 6.8. a) Diagrama Esquemático del cálculo de las Normales a la Superficie, b) Normales correspondientes
a una imagen, c) Normales a la Superficie correspondientes al total de nueve Imágenes.
104
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
En la Fig. 6.8 b) y 6.8 c) podemos notar que el conjunto de normales apuntan en dirección
radial; que pueden apuntar hacia dentro o hacia afuera de la superficie (dependiendo el
signo que se considere), esto ocurre porque la superficie que estamos evaluando es una
esfera de calibración que tiene simetría de revolución alrededor del eje z, por estar
razonablemente centrada. Por otro lado, se muestra como aumenta considerablemente en
número de normales a la superficie, cuando son obtenidas a partir de los nueve
corrimientos.
Continuando con el procedimiento para la evaluación cuantitativa de la superficie, sabemos
que mediante la Ec. 3.2 (Capitulo 3), se puede recuperar la forma de la superficie, para esto,
es necesario construir las trayectorias de integración correspondientes, las cuales, se
presentan en la Fig. 6.9 a) y 6.9 b).
Fig. 6.9. a) Construcción de las Trayectorias de Integración para una imagen, b) Construcción de las
Trayectorias de Integración para nueve imágenes.
105
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
En la Fig. 6.9 a) podemos ver las 37 trayectorias de integración propuestas para el conjunto
de puntos provenientes de una imagen, por otro lado, en la Fig. 6.9 b) se muestran las l32
trayectorias de integración propuestas para el total de puntos provenientes de nueve
imágenes. Todas las trayectorias construidas parten de un punto inicial P0, que en este caso
representa un punto cercano al vértice, a partir de este punto se construyeron en direcciones
verticales y horizontales, evitando las diagonales entre puntos para no incrementar el error
debido al método de integración (tal como se explicó en el Cap. 3). De esta forma podemos
obtener la sagita en cada punto de integración para ambos casos.
6.1.5 Evaluación de la superficie Sin DyPoS
Una vez definidas las trayectorias de integración, se propone calcular numéricamente la
ecuación de la forma de la superficie mediante la Ec. 3.9 (propuesta en el Cap. 3). Como se
puede observar en la Fig. 6.10 tenemos la evaluación de la superficie, obtenida mediante el
arreglo propuesto (Pantallas de LCD en una configuración de prisma triangular) sin aplicar
DyPoS. En la Fig. 6.10 a) se presenta una gráfica suave de la evaluación, ya que se trata de
una esfera de calibración, además, dicho mapa contiene los puntos provenientes de Una
imagen. Por otro lado, en la Fig. 6.10 b) podemos ver que los anillos son razonablemente
concéntricos lo que debe corresponder efectivamente a una esfera. Adicionalmente, es
importante mencionar que solo se evaluó un casquete de la esfera de calibración, que
corresponde a 8 mm, sin embargo, el diámetro total de la esfera es de 12.74 mm, por lo
tanto, hemos evaluado aproximadamente 62.79 % del total del diámetro de dicha esfera.
Ahora bien, si comparamos esta zona de evaluación con el diámetro promedio de la córnea
humana (Cap. 1); podremos notar que es adecuada la zona de evaluación que estamos
recuperando con nuestra esfera de calibración. Con esta información podemos garantizar
que mediante el arreglo utilizado sería posible evaluar la zona periférica de una córnea
humana (lo cual se mostrara más adelante).
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
a)
106
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
b)
Fig. 6.10. a) Representación del mapa de la Superficie en 3D, b) Evaluación de la Superficie Centrada.
Con el fin de analizar los detalles de la evaluación, se propone ajustar los datos de la sagita
obtenida en cada punto; a una superficie esférica, reportada en la referencia [69], definida
mediante la siguiente ecuación.
z  z0 

c (x  x 0 ) 2  (y  y0 ) 2 

1  1   k  1 c 2 (x  x 0 ) 2  (y  y0 ) 2 
1
,
2
(6.2)
Donde, c= 1/r=1/radio de curvatura, y (x-x0), (y-y0) son las coordenadas del vértice de la
superficie; x0, y0, son términos de descentramiento y z0 es el Defoco.
El ajuste para la Ec. 6.2 se puede realizar mediante el método de mínimos cuadrados de
Levenberg-Marquart [70] para ecuaciones no lineales. Mediante este ajuste se puede
verificar que tan centrada estuvo la superficie bajo prueba a la hora de realizar la
evaluación, así como estimar el valor del radio de curvatura. Además, se pueden obtener las
diferencias pico-valle (P-V) de la superficie de evaluación y el Error Cuadrático Medio
(RMS) de las diferencias del ajuste (ΔZ = Zexp - Zfit).
En la Fig. 6.11 se presentan las gráficas que muestran las diferencias en sagita entre la
superficie evaluada y la mejor esfera ajustada, para el conjunto de puntos provenientes de
una imagen.
107
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
(a)
(b)
Fig. 6.11. a) Diferencias en sagita entre la superficie evaluada y la mejor esfera ajustada; usando Una Imagen
b) Mapa de diferencias de sagita con codificación de color.
En cada uno de las gráficas mostradas en la Fig. 6.11 a) y 6.11 b) podemos distinguir, las
diferencias en sagita entre la superficie evaluada y la mejor esfera ajustada. Podemos ver
que en este caso las diferencias P-V son δzpv=80 m, y el RMS de las diferencias en sagita
108
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
es de δzRMS=0.0228 μm. Los valores numéricos de los parámetros obtenidos con el ajuste se
muestran en la segunda fila de la Tabla 4. Podemos notar que el radio de curvatura difiere
en aproximadamente 0,58 mm o aproximadamente 9% del valor real. Por otro lado, se
puede ver que la resolución lateral es proporcional al número de puntos, por lo cual, si
incrementamos en número de puntos muestreados, sería posible distinguir con más detalle
las variaciones locales sobre la superficie óptica. Por esta razón es necesario aplicar el
método de corrimiento dinámico de puntos.
6.1.6 Evaluación de la Superficie Aplicando DyPoS
Cuando aplicamos el método de corrimiento dinámico de puntos (DyPoS) podemos
incrementar la precisión y sensibilidad de la evaluación cuantitativa en comparación a
cuando no aplicamos DyPoS. Por esta razón, es importante aprovechar las ventajas que
ofrece el arreglo propuesto, incrementando el número de puntos en tiempo real pasando de
112 puntos obtenidos de una imagen, a 961 puntos obtenidos con nueve imágenes.
Adicionalmente, la separación media se reduce a 1/3 de la original; como consecuencia, la
precisión se mejora tanto en sagita (z) como en las frecuencias espaciales [resolución
transversal (x, y)] de las deformaciones de la superficie; incrementando tres veces a lo largo
de direcciones x y y respectivamente [véase la fig. 6.12.]. En la tercera fila de la Tabla 4 se
muestra que los valores de PV y RMS de las diferencias Sagita son más pequeñas cuando
se aplica DyPoS. En este caso tenemos diferencias P-V de δzpv=40 m, y el RMS de las
diferencias en sagita es de δzRMS=0.0152 μm, de esta manera el error se ha reducido en un
33%, en comparación con los resultados sin aplicar DyPoS. Además, se mejora el valor del
radio de curvatura, y la diferencia con el valor real difiere en aproximadamente 0.20 mm
que es sólo el 3% del valor real.
(a)
109
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
(b)
Fig. 6.12. a) Diferencias en sagita entre la superficie evaluada y la mejor esfera ajustada; usando 9 Imágenes
b) Densidad de Puntos de Evaluación sobre Diferencias; obtenidos con 9 Imágenes.
Por otro lado, mediante el método de corrimiento dinámico de puntos ha mejorado la
resolución transversal. En la Fig. 6.12 b) podemos ver el detalle punto a punto sobre la
superficie óptica. Esto es más claro cuando comparamos con las gráficas donde no se aplica
DyPoS [Fig. 6.11 b)]. Si calculamos la resolución lateral para el caso de una imagen y para
el caso del corrimiento de puntos, mediante nueve imágenes, tenemos el siguiente análisis.
Sabemos que el período espacial se puede calcular conociendo el diámetro evaluado y el
número de puntos considerados, es decir, para el caso de la Fig. 6.11 b), tenemos
1 
8mm
 0.615mm
13 puntos
(6.3)
Donde es el período, a partir de la Ec. (6.3), podemos conocer la frecuencia espacial,
mediante
1
1
 1.625 línias milímetro
f1  
(6.4)
 0.615
Donde f1 es la frecuencia espacial o en este caso la resolución transversal para cuando no
aplicamos el corrimiento de puntos.
De manera análoga, podemos calcular el período para la Fig. 6.12 b), de la cual tenemos:

8mm
 0.216mm
37 puntos
(6.5)
110
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
Donde es el período. Nuevamente, a partir de la Ec. (6.5), podemos conocer la frecuencia
espacial, mediante
f 
1

 0.216  4.629 línias milímetro
(6.6)
Donde f2 es la frecuencia espacial o en este caso la resolución transversal para cuando
aplicamos el corrimiento de puntos. Con los valores mostrados en las Ecs. (6.4) y (6.6)
podemos notar claramente como aumenta la resolución lateral al usar el método de
corrimiento de puntos.
Finalmente, en la tabla 4 se muestra una comparación de los resultados para la evaluación
cuantitativa.
Tabla 4. Parámetros de la mejor superficie cónica ajustada con y sin DyPoS (r = 6,37
mm)
Esfera de
Calibración
Sin (DyPoS)
Con
(DyPoS)
Diferencias
Radio de
Curvatura
Obtenido (mm)
 radio
Dif. en Sagita
(PV mm)
RMS Dif.
in Ajuste
(mm)
6.37
5.790 (9 %)
6.170 (3 %)
0.58
0.20
-0.04 a 0.04
-0.02 a 0.02
0
-0.28
0.38
0.04
0.0228
0.0152
(33%)
0.0076
Radio de
Curvatura
Real
(mm)
En la tabla 4 se puede ver claramente que al usar DyPoS, los resultados mejoran en la
obtención del radio de curvatura, como en las diferencias Pico-Valle, así como el RMS
obtenido de las diferencias del ajuste. Por esta razón, se propuso el método de corrimiento
dinámico de puntos mediante pantallas nulas desplegadas en un arreglo experimental de
LCD’s. Vale la pena señalar aquí que para la esfera de referencia utilizada para los
experimentos, se obtuvieron diferencias inferiores a 2 m. Por otro lado, los errores totales
obtenidos con el método descrito aquí, incluyendo la alineación y los errores sistemáticos y
aleatorios numéricos. Estos valores no son un límite fundamental, se pueden mejorar con
un mejor alineamiento de los tres LCD y de la superficie.
6.2 Resultados Adicionales
Los resultados anteriores son una primera demostración de las capacidades al utilizar un
arreglo de LCD como medio para realizar la evaluación de una superficie esférica convexa
reflejante de dimensiones similares a la superficie de la córnea humana, incluyendo la
exactitud con y sin DyPoS. Por otro lado, el trabajo anteriormente desarrollado es un
trabajo de investigación para poder desarrollar un instrumento que sea capaz de obtener
topografía corneal, según Ref. [35], ya que la evaluación de una superficie de calibración
nos proporciona información acerca de la precisión del dispositivo y del método. Una
111
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
primera imagen de la córnea humana obtenida con el arreglo de LCD´s en una
configuración de prisma triangular se muestra en la Fig. 6.13. En dicha Fig. 6.13 se puede
observar un arreglo cuadrado de puntos a color cubriendo el área total de la superficie de la
córnea. A pesar de que el método y el dispositivo no ha sido aún probado cuantitativamente
en una córnea real, debido a que está en proceso, el método de pantallas nulas ha sido
ampliamente demostrado para la medición de las deformaciones de variadas superficies
ópticas, que incluyen; cónicas cóncavas y convexas de diferentes tamaños [52-56],
superficies sin simetría de revolución, como las secciones fuera del eje [57-58] y
paraboloides altamente astigmáticos [59]. Además, la disposición de LCD que aquí se
propone, da una imagen casi plana adecuada para los sistemas ópticos habituales utilizados
con sensores de imagen [32, 48]. Por lo tanto, consideramos factible su aplicación para la
medición de la topografía corneal, tal como se muestra en la Fig. 6.13.
a)
Fig. 6.13. a) Arreglo Triangular de LCD´s probando un ojo humano b) Arreglo cuadrado de puntos en color
sobre una córnea real.
112
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
6.3 Capacidades Adicionales del Arreglo de LCD´s
Las configuración del arreglo de LCD propuesto como prototipo para un topógrafo corneal
tiene la habilidad de desplegar diferentes geometrías de pantallas nulas (lo cual fue
explicado en el Cap. 2 de esta tesis) sin mover la configuración propuesta o la posición
relativa de las pantallas o la superficie bajo prueba; es decir, podemos tener diferentes
patrones geométricos observadas en el plano de la imagen, como se muestra en la Fig. 6.14.
Fig. 6.14. Diferentes geometrías desplegadas en la configuración de LCD's [62, 71-73] a-c) Arreglos
cuadrados y radiales de puntos sobre fondo blanco, d-f) Arreglos Cuadrados y radiales de puntos sobre fondo
negro, g-i) Manchas de color sobre fondo blanco y negro, j-l) diferente densidad de puntos en el patrón.
113
Cap. 6 Resultados Experimentales y Diferencias en Sagita
_________________________________________________________________________
Como podemos notar en la Fig. 6.14 a-c) se presentan arreglos cuadrados y radiales de
líneas y puntos. Adicionalmente, es posible invertir el contraste de la pantalla nula [Fig.
6.14 d-f)], o incluso diseñar pantallas nulas cromáticas para facilitar la identificación de los
diferentes puntos [Fig. 6.14.g-i)]; o en otro caso también, es posible diseñar pantallas con
densidad de puntos variable [Fig. 6.14. j-l)]. Cada una de las geometrías propuestas, puede
tener ciertas ventajas, por ejemplo; el arreglo de manchas de colores, nos puede servir para
muestrear densamente y poder distinguir entre manchas cercanas. Las imágenes de
manchas con densidad variable, nos dan la ventaja de muestrear densamente con una sola
imagen. Los patrones radiales, nos permiten muestrear densamente en el centro de la
superficie. Por último los patrones de líneas nos ayudan a verificar cualitativamente las
deformaciones de una superficie. Con esta explicación se destacan las características de
cada uno de los arreglos utilizados como target.
6.4 Conclusiones
En este capítulo se ha mostrado el arreglo experimental usado para la evaluación de
una esfera de calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana. Para esto,
primeramente se ha sugerido un método para encontrar la mejor posición a la que debe
colocarse la superficie óptica bajo prueba, proponiendo de esta manera una posibilidad de
calibrar el problema del Defoco. Posteriormente, se mostró la capacidad del arreglo para
realizar el método de corrimiento dinámico de puntos, para ello se presentaron las imágenes
experimentales correspondientes al número de corrimientos realizados. Una vez obtenidas
la información cualitativa, se pasó a cuantificar los resultados. Mediante el método
propuesto, se obtuvieron las gráficas que representan la forma de la superficie, además, se
obtuvo el mejor ajuste usando la ecuación que representa a la mejor esfera, así como las
gráficas de las diferencias en sagita y se comparó la evaluación realizada con un conjunto
de puntos provenientes de una imagen, contra la evaluación realizada cuando se aplica el
método de corrimiento de puntos, utilizando un conjunto de puntos provenientes de nueve
imágenes, se muestra cómo aumenta la frecuencia de muestreo y disminuir el error total al
realizar DyPoS. Finalmente se mostraron las ventajas que presenta el arreglo propuesto y la
versatilidad que tiene para evaluar una superficie convexa reflectante.
114
Cap. 7 Conclusiones Generales
__________________________________________________________________
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES GENERALES
En este trabajo se desarrolló el método de corrimiento dinámico de puntos, para
evaluar una esfera de calibración de dimensiones cercanas a la córnea humana. La
propuesta para desarrollar dicho método surgió debido a la necesidad por mejorar
la evaluación de la superficie corneal. Para esto, se explicó el diseño de pantallas
nulas para un arreglo de tres pantallas nulas planas en una configuración de
prisma triangular empleando 3 pantallas de LCD. Simultáneamente, se explicó el
Método de Corrimiento Dinámico de Puntos mediante estos dispositivos. De esta
manera, fue posible mostrar las capacidades que tienen las pantallas LCD, para ser
utilizadas como medio para desplegar las Pantallas Nulas, ya que se pueden
desplegar pantallas nulas de geometrías diversas, dentro de las que se incluyen
pantallas nulas de colores.
Por otro lado, se explicó el análisis teórico que debe utilizarse para llevar a cabo la
evaluación cuantitativa de la superficie bajo prueba, aplicando el método de
deflectometría por reflexión. Es aquí donde cobra importancia el método de
corrimiento de puntos, puesto que al aumentar el número de puntos, esto
incrementa la frecuencia de muestreo. Esto implica que al tener una mayor
densidad de puntos se tiene una menor separación entre cada uno de ellos y con
esto se logra reducir el denominado error de truncamiento, cometido con el
método trapezoidal.
El trabajo realizado fue verificado mediante la evaluación de una esfera de
calibración. Obteniendo resultado aceptable; tanto en radio de curvatura como en
diferencias de sagita. La esfera de calibración evaluada tiene un radio de curvatura
de 6.37 mm. Se obtuvieron resultados con y sin el uso de corrimiento de puntos.
En el caso de no usar corrimientos, se obtuvo un radio de curvatura de 5.87 mm
Mientras que al emplear el método de corrimiento de puntos, el radio de curvatura
obtenido es de 6.17 mm. El error se redujo del 9 al 3%. Los resultados de las
diferencias pico-valle en sagita lograron reducirse de 80 a 40 m y el RMS
obtenido se redujo de 22 a 15 m. Con lo cual se probó la importancia del método
propuesto para la evaluación de una esfera de calibración.
Es importante mencionar, que para cada caso se desarrollaron los algoritmos para
el diseño de pantallas y para la evaluación de la superficie.
Con la información descrita en este manuscrito se muestra que la contribución
más importante de este trabajo de investigación doctoral, es el diseño de un
arreglo original mediante el uso de pantallas LCD (arreglo de pantallas nulas en
forma de prisma triangular) para evaluar la córnea humana; el cual, presenta una
técnica nunca antes usada en topografía corneal. Para ver las capacidades de dicho
arreglo, se ha evaluado una esfera de calibración como técnica comúnmente
aplicada en topografía corneal, ya que nos da información de la precisión del
método. Adicionalmente, se ha mostrado la versatilidad que tiene para desplegar
115
Cap. 7 Conclusiones Generales
__________________________________________________________________
diferentes tipos de targets. Con la ventaja de realizar distintas evaluaciones, sin
mover ninguna parte del arreglo, es decir, los patrones se cambian de manera
dinámica en el arreglo de LCD’s. Incluso, es posible usar targets cromáticos, los
cuales son prácticos para realizar la correspondencia de puntos. La capacidad más
importante del arreglo, es la habilidad para incrementar el número de puntos,
aplicando por primera ocasión el método de corrimiento de puntos (DyPos) en
topografía corneal. Con dicho método se puede obtener mejores resultados en la
evaluación cuantitativa de una superficie óptica.
Es importante mencionar que en este caso se ha evaluado una superficie estática
(esfera de calibración), la cual presenta características diferentes a la córnea
humana, ya que la córnea humana es una superficie dinámica, con movimientos
sacádicos varían de 1/60 a 1/10 de segundo, lo cual hace complicado realizar los
nueve corrimientos en tiempo menores a dichos parámetros, manteniendo fijo el
ojo humano en un punto de referencia. Una manera de realizar el corrimiento de
puntos es mediante pantallas nulas en formato de video, las cuales garantizan un
despliegue en fracciones de segundo, lo cual podría solucionar el problema del
dinamismo del ojo humano, sin embargo, esta tarea se desarrollara en un trabajo
futuro. Eventualmente, se propuso diseñar targets cromáticos para muestrear
densamente con una sola imagen y poder separar cada mancha de manera
independiente.
Se ha demostrado que es posible capturar la imagen de una córnea con el diseño
de un target cromático. En dicha imagen podemos ver que la reflectancia de la
córnea no es igual a la de la esfera de calibración, por lo tanto, la imagen no está
igualmente contrastada. Adicionalmente, recordemos que se tiene el problema de
que el perfil de iluminación no es homogéneo, sin embargo, todo esto se puede
resolver mediante un procesamiento de imagen, con el cual las imágenes mejoran
notablemente.
Cabe resaltar que un detalle existente en la evaluación de una córnea real para
cualquier tipo de topógrafo, es poder extraer la información que se oculta bajo las
pestañas. Por lo cual, es necesario emplear en un futuro un separador de pestañas
para evitar esta información adicional no deseada. Adicionalmente, se recomienda
emplear en un futuro una mentonera, para ayudar a la fijación de la superficie
corneal y mejorar los problemas de alineación.
Con lo anteriormente expuesto, se ha enmarcado la importancia del trabajo
realizado, mencionando las ventajas y desventajas del método propuesto.
Finalmente, se han publicado tres artículos en etapa de procceding, los cuales
muestran las características y el avance paso a paso del trabajo desarrollado. Dos
de ellos publicados en SPIE [62, 64] y uno más en OSA [72]. Así como un paper
arbitrado, publicado en la revista Applied Optics, en el cual se compacta este
trabajo doctoral desarrollado.
116
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
APÉNDICE A
CARACTERIZACIÓN DE UN LENTE ZOOM
En este apéndice se muestra la caracterización del sistema óptico usado en el arreglo
experimental de LCD’s. Dicha caracterización tiene como objetivo determinar los puntos
cardinales de un sistema óptico complejo (Lente Zoom). Así como, la calibración de la
distorsión que puede introducir dicha lente, en la prueba de una esfera de calibración.
Para llevar a cabo la exploración de la lente bajo estudio, se tomó en consideración la
propuesta hecha por Yobani Mejia [69], así como los conceptos básicos de óptica paraxial
[1-2]. Por otro lado, para calibrar la distorsión se utilizó un patrón de referencia impreso en
serigrafía, mediante dicho patrón se obtiene el coeficiente de distorsión y el factor de
amplificación de la lente utilizada. Algunos resultados derivados del análisis teórico y
experimental se muestran en este apéndice.
A.1 Características de una Lente Gruesa
La descripción típica de los puntos cardinales en la gran mayoría de textos de óptica
[1-2], se realiza mediante el estudio de las características de una lente gruesa, es decir, una
lente cuyo espesor en ningún caso es despreciable, dicha lente suele plantearse de forma
más genérica como un “sistema óptico” (Fig. 1.), es decir, un sistema que puede estar
formado por una o varias lentes simples, y no solamente por una.
Fig. A.1. Planos y puntos principales de una lente gruesa.
Por otro lado, es bien sabido [1-2] que los puntos focales anterior y posterior, o si es más
claro, los focos objeto e imagen, f1 y f2, pueden medirse pertinentemente desde los vértices
externos de la lente, de esta manera, podemos conocer la distancia focal anterior y distancia
focal posterior, indicadas como f.f.l y b.f.l. De la misma forma, se sabe que al prolongar los
rayos de entrada y de salida, estos se trasmiten por el sistema óptico de tal manera que en
117
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
algunos puntos se superponen, estas intersecciones formaran una superficie curva,
aproximada a un plano en la región paraxial, la cual puede estar dentro o fuera de la lente,
dicha superficie se denomina como plano principal. A hora bien, los puntos donde los
planos principales, primario y secundario cruzan el eje óptico, son conocidos como,
primero y segundo punto principal respectivamente. A este conjunto de dos puntos focales,
dos puntos principales y dos puntos nodales, se les denota como los seis puntos cardinales
de un sistema óptico, tal y como se indica en la Fig. 1. Estos parámetros constituyen una
referencia muy útil, a partir de los cuales es posible medir varios parámetros del sistema.
Por esta razón, en este trabajo se propone una metodología experimental fundamentada en
el análisis de la propagación de los rayos, para determinar los puntos cardinales de una
lente zoom, de la cual, solo se sabe que tiene una distancia focal f=110 mm cuando el
tambor de la lente zoom está ajustado hasta el tope del mismo sistema. Dicha lente fue
usada para la obtención de imágenes experimentales en la prueba de pantallas nulas
propuesta en esta tesis. Una imagen de este dispositivo se muestra en la Fig. A.2
Fig. A.2. Lente zoom bajo estudio.
A.1.1 Metodología para Determinar los Puntos Cardinales de una Lente Zoom
El método propuesto por Yobani Mejía [69] se basa en el uso de una rejilla cuadrada
de 3X3 puntos, mediante la cual, se proyecta un conjunto de 9 rayos meridionales. El
método consiste en capturar una imagen del arreglo de puntos en tres diferentes planos (Z1,
Z2, Z3), para posteriormente realizar un análisis de la propagación de dichos rayos.
Partiendo de las ideas de dicho artículo [69], se desarrolló el siguiente análisis
experimental.
Primeramente se alinea y colima un láser sobre un banco óptico, haciendo pasar el haz
colimado por una rejilla de 3x3, tal como se muestra en la Fig. A.3.
118
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
Fig. A.3 Rayos paralelos al eje óptico provenientes de una rejilla.
Lo primero que se debe demostrar es que los rayos son realmente paralelos al eje óptico, es
decir, que tienen una pendiente igual a cero. Para esto, se obtienen las coordenadas del
patrón de puntos proyectados en los diferentes planos (Z1, Z2, Z3), mediante estas
coordenadas se puede obtener la pendiente correspondiente a cada una de las rectas.
Una vez obtenido el comportamiento de los rayos que se propagan a lo largo del eje óptico,
se introduce la lente bajo estudio en el mismo arreglo. Al introducir la lente, se observa que
la propagación de los rayos presenta un comportamiento distinto, como se muestra en la
Fig. A.4.
Fig. A.4 Rayos propagándose a través de sistema óptico bajo estudio.
Como podemos notar (Fig. A.4), una vez que los rayos pasan a través de la lente zoom, el
patrón de rayos diverge, esto quiere decir, que el punto de convergencia es virtual o se
encuentra a la izquierda de la lente bajo estudio. Para determinar dicho punto de
convergencia, se propone realizar una regresión lineal de cada una de las rectas, esto nos
dará como resultado, una nube de puntos origen, los cuales representan el punto focal, tal
como se representa en la Fig. A.5.
119
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
Fig. A.5 Intersección de rayos que dan lugar a la ubicación del plano principal.
Una vez obtenido el punto focal, podemos inferir la ubicación del plano principal, ya que,
como se sabe [1-2], las distancias focales efectivas se miden respecto de los planos
principales, y como en este caso, conocemos apriori el valor de la distancia focal de la lente
zoom, con esta información podemos determinar la ubicación de primer plano principal H1
y consecuentemente del punto nodal N1. Adicionalmente, si prolongamos los rayos de
salida, desde el punto focal hasta el lugar donde se intersectan con los rayos paralelos
(previamente determinados) que emergen de la rejilla, tal como se muestra en la misma Fig.
A.5., de esta forma, se puede encontrar igualmente el lugar geométrico del primer plano
principal H1, así como el primer punto nodal N1.
Con esta parte del análisis, hemos determinado la mitad de los puntos cardinales de un
sistema óptico. Para determinar el conjunto completo de puntos cardinales, se propone girar
la lente zoom y explorar el comportamiento que tienen los rayos al propagarse a través de
esta nueva configuración de sistema óptico. Un ejemplo del análisis realizado se
esquematiza en la Fig. A.6.
Fig. A.6 Intersección de rayos que dan lugar a la ubicación del plano principal.
Al invertir la lente zoom, podemos notar que el conjunto de rayos provenientes de la rejilla
inciden en el sistema óptico para converger en un punto focal posterior (Fig. A.6). Por lo
cual, recurriendo nuevamente a los argumentos de la óptica paraxial [1-2], y conociendo
apriori la distancia focal de la lente, podemos inferir el lugar geométrico donde se localiza
el plano principal H2 y consecuentemente el punto nodal N2.
De esta manera es como se ha logrado obtener el conjunto de puntos cardinales de nuestra
lente bajo estudio. A continuación, en la figura A.7 se muestra un esquema de la lente bajo
120
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
estudio, con el análisis realizado mediante la propagación de rayos, dando como resultado
el conjunto de puntos cardinales.
Fig. A.7. Lente zoom y su conjunto de puntos cardinales.
A.1.2 Resultados Obtenidos
Finalmente, en la tabla 1 se muestran los valores obtenidos de los puntos cardinales para la
lente zoom, medidos pertinentemente desde los vértices externos de dicha lente.
Tabla 1. Valores obtenidos de los puntos cardinales de una Lente Zoom
Parmetro
Simbolo
Valor
Distancia focal anterior
b.f.l
-615.41 mm
Distancia focal posterior
f.f.l
1 mm
Distancia focal anterior efectiva
faefect
110 mm
Distancia focal posterior efectiva
fpefect
110 mm
Primer Plano Principal-Primer Vértice de la lente
dv1
-725.41 mm
Segundo Plano Principal-Segundo Vértice de la lente
dv2
151 mm
A.2 Calibración de la Distorsión de la Lente Zoom
Es bien sabido [1, 69] que la distorsión es una de las aberraciones que más
problemas causa, ya que desplaza los centroides de las manchas de su posición ideal. El
resto de las aberraciones como la aberración esférica y el astigmatismo no afectan la
evaluación de los centroides, sin embargo, la falta de simetría en la imagen, introduce un
mínimo de aberración de coma. En todo caso, la distorsión radial ya sea de barril o de cojín
provoca que los puntos imagen que provienen de sus respectivos puntos objeto, no se
encuentran en la posición que predice la aproximación paraxial, sino que, se encuentran
desplazados respecto a la posición predicha. Es obvio, que el cálculo de los centroides de
cada mancha en la imagen que corresponde a las coordenadas (x1, y1) será afectado por este
121
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
tipo de aberración, por la cual, es necesario calibrar dicha lente, para llevar a cabo la
corrección pertinente y reducir la propagación de los errores.
Esta calibración se llevó a cabo, comparando las posiciones de los centros de un arreglo
cuadrado de círculos que se utiliza como objeto (patrón de referencia impreso en serigrafía
Fig. A.8), con las posiciones de dichos centroides obtenidos en el plano imagen. Dicho
arreglo cuadrado, fue colocado en un plano cercano al plano donde se ubicó la superficie
bajo prueba. Lo importante a la hora de calibrar por distorsión es que el eje óptico de la
cámara debe permanecer perpendicular al plano comprendido por el patrón de referencia,
para evitar que la perspectiva modifique el aspecto de la distorsión introducida por la lente.
Fig. A.9. Patrón de puntos de calibración impreso en serigrafía.
Ahora bien, para el caso no paraxial, debemos tomar en cuenta el coeficiente de distorsión
y realizar la corrección para obtener la posición correcta de los puntos. Entonces, la
posición de la imagen con distorsión se define mediante la siguiente ecuación.
(A.1)
xi  hi  Exo3 ,
donde hi es la posición imagen paraxial, xo es la posición del objeto, y E es el coeficiente de
distorsión. Por otro lado, sabemos que
h
x
(A.2)
MT  i   i ,
ho
xo
donde MT es la amplificación transversal en el caso paraxial, entonces, sustituyendo (A.2)
en (A.1), tenemos
(A.3)
xi  M T xo  Exo3 .
Para despejar a xo se usa un método de inversión de polinomio, propuesto en ref [72],
mediante el cual se obtiene la siguiente expresión
xo  Axi2  Bxi2  Cxi3 .
(A.4)
Substituyendo la Ec. (A.4) en (A.3) tenemos
xi  M T  Axi2  Bxi2  Cxi3   E  Axi2  Bxi2  Cxi3  ,
3
(A.5)
122
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
Desarrollando la Ec. (A.5) y despreciando los términos de grado superior a 3 e igualando
coeficientes del mismo grado a ambos lados de la igualdad se obtiene el sistema de
ecuaciones:
MT A  1 ,
MT B  0 ,
M T C  EA3  0 ,
(A.6 a))
(A.6 b))
(A.6 c))
Por lo que, al solucionar el sistema de ecuaciones simultáneas, se tiene
A
1
,
MT
(A.7 a))
B 0,
(A.7 b))
E
C 4,
MT
(A.7 c))
Con lo cual, podemos relacionar el coeficiente de distorsión, la amplificación transversal,
los tamaños del objeto y la imagen de la siguiente forma:
xo 
xi
E
 4 xi3 .
MT MT
(A.8)
Que es igual al tamaño del objeto.
Finalmente, obtenemos hi multiplicando anterior (A.8) por la amplificación, lo que nos da
la siguiente relación
E
(A.9)
hi  M T xo  xi  3 xi3 .
MT
Que es la posición de los puntos imagen corregidos por distorsión.
En la Fig. A.9 se la gráfica de la calibración de la distorsión para la lente zoom utilizada, en
ella se muestra la relación entre la distancia radial de los centroides en la imagen respecto a
la distancia radial de los centroides en el objeto. Estas distancias radiales están referidas al
eje óptico del sistema que corresponde al eje óptico de la cámara.
123
Apéndice. A Caracterización de Lente Zoom
_________________________________________________________________________
imagen(mm) vs objeto(mm)
3
línea de ajuste
imagen(mm)
2
1
0
0
5
10
15
objeto(mm)
Fig. A.9. Calibración de la distorsión para una Lente Zoom.
Mediante un ajuste de los datos realizado en Origin, se obtuvieron los siguientes valores
para la amplificación transversal y para el coeficiente de distorsión:
M T  0.17238  0.001117 ,
(A.10 a))
E  6.54052Exp 6  7.84124 Exp 6 ,
(A.10 b))
Se dice que la distorsión es despreciable cuando ésta produzca un error de menos de un
décimo de píxel, que es un límite razonable para la resolución en el cálculo de los
centroides según los resultados que obtenidos en Ref [72]. Finalmente, una vez obtenidas
las coordenadas de los centroides de cada mancha en la imagen, éstos deben ser corregidos
por la distorsión de la lente como se ha mencionado anteriormente siguiendo las siguientes
ecuaciones:
E
(A.11 a))
xi  xi'  3  xi' 2  yi' 2  xi' 2 ,
MT
E
(A.11 b))
yi  yi'  3  xi' 2  yi' 2  yi' 2 ,
MT
donde (xi , yi) son las coordenadas de los centroides ya corregidos por distorsión, y (x’i , y’i)
son las coordenadas de los centroides afectadas por las distorsión.
A.3 Conclusiones
En este apéndice se ha mostrado que mediante el uso de los conceptos de óptica paraxial [12], así como la propuesta hecha por Yobani Mejia [69], es posible obtener los puntos
cardinales de una lente zoom. Adicionalmente, se ha mencionado sobre el problema de
distorsión que introducen estos dispositivos, para esto, se ha realizado la calibración
correspondiente del sistema óptico usado. En ambos casos los resultados son reproducibles,
lo cual indica que el procedimiento realizado es confiable y válido. De esta forma podemos
usar correctamente este dispositivo (lente zoom) para la evaluación de una esfera de
calibración mediante el método de pantallas nulas propuesto.
124
Referencias
__________________________________________________________________
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