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Medidas de errores
Experimentos Electromagnéticos – curso 2010
Consideraciones preliminares
• Habitualmente las teorías sobre errores derivan de consideraciones sobre
sistemas ideales y son desarrolladas desde una perspectiva como la de
una rama abstracta de la matemática. De esta forma, en general, resulta
difícil su aplicación a problemas experimentales concretos, no
satisfaciendo la necesidades concretas del campo experimental.
• Concretamente, cualquier medida de una cantidad física no sólo no es un
procedimiento abstracto sino que además involucra procedimientos
específicos, concretamente implementados a través de instrumentos de
medición bajo ciertas condiciones de medida (temperatura, presión, etc).
• De esta forma resulta indispensable que aquellos procedimientos ideales
originados en las consideraciones abstractas sean implementados de
manera concreta teniendo en cuenta los datos, las propiedades y
características de los instrumentos de medición y las condiciones bajo las
cuales se realizan los experimentos.
Importancia
• La determinación de los errores o márgenes de incerteza
presenta un alto interés desde diferentes perspectivas:
– La magnitud de la incerteza determina la calidad de la
determinación experimental
– Conocer el error en una determinación permite comparar
resultados entre diferentes experimentos
– Es posible establecer la capacidad de un procedimiento o
metodología, evaluando la conveniencia o incluso el costo de una
determinación.
Objetivo
• Análisis de las cuestiones pertinentes a la determinación
de errores experimentales.
• Establecer un conjunto de recomendaciones prácticas
que deben ser considerados en la resolución de
determinaciones experimentales concretas.
• Se presentan los procedimientos para calcular errores
durante determinaciones con instrumentos de medida.
Conceptos básicos y terminología
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Las teorías acerca de las determinaciones de los errores es una rama de la
“metrología”, ciencia de las medidas.
Una medida cuantitativa de una magnitud medible (observable) es una propiedad
de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser descripto cualitativamente y
expresado cuantitativamente.
Las cantidades medibles son designadas como cantidades o magnitudes físicas
(cuya principal característica es justamente que pueden ser medidas).
El término cantidad es usado tanto en un sentido general (propiedad como peso,
longitud, volumen, etc) como específico (cuando se refiere a un objeto
determinado).
Medida: es el proceso de determinación del valor de una cantidad física. Con la
ayuda de un instrumento se denomina medida instrumental.
El valor de una cantidad física: es el producto entre un número y la unidad que
identifica a la cantidad (magnitud) correspondiente. El valor de la cantidad física
es lo que se obtiene en una medida.
La terminología oficial está presentada en: International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology,
2nd ed., ISO (1993).
Características de una medida
• El propósito de una medida es el de representar la propiedad de un
objeto concreto mediante un número.
• Una medida siempre está realizada con al ayuda de un
instrumento, sin el que la medida resulta imposible.
• La medida es siempre un procedimiento experimental.
Valor real de una medida
• Es el valor de una cantidad física medible que,
pudiendo ser conocida, refleja cuali y
cuantitativamente la propiedad de un
sistema.
Medida del error:
error relativo y absoluto
La medida de un error es la determinación del apartamiento del valor de la
medida respecto del valor real de la magnitud física medida, expresada de
manera relativa o absoluta.
• Si A es el valor real de la medida y à es el resultado de la medida, entonces el
error absoluto de la medida es ζ = Ã − A.
– El error absoluto es una cantidad física y puede ser positivo o negativo y es
expresado en las mismas unidades que la cantidad medida.
– El error relativo es expresado como una fracción del error verdadero de una
cantidad medida como ε = (Ã − A)/A. Está normalmente dado un valor porcentual
(%) y a veces en veces por mil (expresado como ‰). Los errores muy pequeños (en
medidas muy precisas) son habitualmente expresados en fracciones de la cantidad
medida.
Límites de error o incerteza
Los instrumentos de medida no son ideales, y cada una de las
medidas realizadas sobre la totalidad del experimento consiste en
un procedimiento experimental.
Esta inevitable “imperfección” de la medida es expresada a
través su error o incerteza. Esta noción de incerteza es
caracterizada cuantitativamente a través de las nociones de límites
de error o incerteza:
• Identifica la imprecisión del resultado de una medida
Incerteza (incertidumbre)
• Es el intervalo de dentro del cual el valor verdadero de
una medida se encuentra con una dada probabilidad.
• Está definida por sus límites, que resultan de la medida
y su mencionada probabilidad.
• Puede ser especificada en términos absolutos o
relativos.
• OBVIEDAD: No se puede calcular a partir del valor real!
Errores estadísticos y sistemáticos:
precisión y exactitud.
El centro del blanco representa el valor real
a)
b)
c)
d)
Baja dispersión
Baja dispersión + errores sistemáticos
Alta dispersión
Alta dispersión + errores sistemáticos
a) Es una medida con alta precisión y exactitud
b) Es una medida con alta precisión y baja exactitud
c) Es una medida con baja precisión y buena
exactitud
d) Es una medida con baja precisión y baja exactitud
Imprecisión (uncertainty) dada por INCERTEZA (dispersión estadística)
Inexactitud (inaccuracy) dada por el apartamiento del valor real (imperfección)
Cálculo de errores
• Estrictamente, el error TOTAL de una determinación está dado por:
ζ = ζm + ζi + ζp,
Donde: ζm es el error estadístico, ζi es el error instrumental y ζp es el error de
estimación.
• El tratamiento estadístico es aplicable para valores cuya dispersión es al
azar (random), no permite estimar errores sistemáticos.
Definiremos a la apreciación del instrumento (instrumental) como la menor división en la escala
o la diferencia entre dos mediciones consecutivas. Por ejemplo la apreciación de una cinta
métrica es de 1 mm y la de un calibre puede ser de 0.1 mm.
Error de apreciación
el valor de la medición en la figura sería:
3.25 cm ± 0.05 cm
Aquí como el valor se encuentra entre 3.2 cm y 3.3 cm se estima el valor x=3.25 cm; además la
apreciación del instrumento es 1 mm = 0.1 cm y se asigna la mitad del valor a su incertidumbre,
Δx = 0.05 cm.
Cálculo de errores (estadísticos)
Requerimientos:
Los valores medidos deben representar un conjunto de datos consistentes, independientes
y adquiridos mediante los mismos procedimientos experimentales. Cuando el conjunto de
valores es consistente, el valor estimado se aproxima al valor verdadero a medida que el
número de registros se incrementa.
~
A( x1 ,..., xn ) → A
n →∞
Para el caso de que existan varios valores estimados se considera como mejor aquel que
presenta la menor varianza (dispersión). Cuanto menor es la varianza, más eficiente (precisa) es
la determinación.
Los métodos para hallar la estimación de una cantidad medida y los indicadores de la calidad de
la medida dependen de la forma de la distribución de la función que caracterzia la observación.
Cálculo de errores (estadísticos)
~ ( x ,..., x ) → A
A
1
n
Para el caso de un conjunto de datos que verifica que
, la distribución de lecturas
n →∞
se debe a una fluctuación estadística. Para un conjunto de medidas así obtenido se definen:
Promedio o valor medio:
n
Para un conjunto de n mediciones se define el valor medio de la magnitud x como
x ≡ 1n ∑ xi
i =1
Desviación estardard:
Si la dispersión de valores es pequeña la desviación estandard también lo es, y la precisión de la medida es
alta. Es siempre positiva y posee las mismas unidades que las del valor medido.
s≡
n
1
n −1
∑(x − x)
i =1
2
i
Error o incerteza del valor medio:
De acuerdo a la definición de la desviación standard, la desviación del valor medio sm es:
s
sm =
n
De esta forma, para un conjunto de datos que verifique las condiciones propuestas, el resultado de el valor
esperado de determina como:
~
A = x ± sm
Cálculo de errores (estadísticos)
Distribución Gaussianas (o Normal):
Se trata de un tipo de distribución que permite describir numerosos fenómenos*, su expresión analítica esta
dada por:
N ( x) =
 ( x − x )2 
n
exp
− 2σ 2 
(2π )1/2 σ


N(x) representa la frecuencia (para el caso de valores discretos de la variable) con que el valor medido
adquiere el valor x, mientras que σ representa el ancho de la distribución del valor medio de x.
Para un valor “grande” de mediciones, la probabilidad de que el valor medido tome el valor x viene dado
por:
 ( x − x )2 
1
P( x) =
exp −
(2π )1/2 σ
2σ 2 

* Por ejemplo, muchos parámetros en el campo de la salud, morfológicos, fisiológicos, etc, pueden ser
descritos mediante una distribución normal.
Cálculo de errores (estadísticos)
Distribución Gaussianas (o Normal):
Características relevantes:
De acuerdo a su definición analítica, el 68% de los valores están comprendidos en el rango
[x − σ , x + σ ]
Mientras que el 95% de las medidas se encuentran entre los valores
[ x − 2σ , x + 2σ ]
Resumen:
- Repetir la medida n veces
- Calcular el valor promedio
x ± sm
,xla desviación estandard s. El resultado debe ser reportado como:
- Para el límite de n muy grande, el valor promedio tiende al valor verdadero y la desviación
estandard al valor
σ
n
Recursos relacionados en Internet
• Normal Density Plotter (UCLA Department of Statistic)
Página que permite obtener la representación gráfica de la densidad de una distribución normal de media y desviación
estándar dados por el usuario.
• SurfStat Statistical Tables - Standard Normal Distribution (University of Newcastle)
Página que permite calcular, a partir de una distribución normal estándar, la probabilidad acumulada hasta un cierto valor,
o la probabilidad de tomar un valor en un intervalo. Así mismo,permite realizar los cálculos inversos, es decir, obtener el pcuantil de una distribución normal estándar.
• Normal Density Calculator (UCLA Department of Statistic)
Permite obtener, bajo una distribución normal, la probabilidad de observar un valor mayor o igual que uno dado. La ventaja
es que permite hacerlo no sólo para la distribución normal estándar, sino para valores de la media y desviación estándar
dados por el usuario.
• Matt's spiffy normal plot maker (UCLA Department of Statistic)
Se introducen los datos de la variable de interes y produce el gráfico Q-Q de probabilidad normal correspondiente, que
puede ser fácilmente exportado a otros programas.
• Calculation of 95% Confidence Interval on a Sample Mean (Arizona State University)
A partir del valor de la media y la desviación estándar muestral, calcula el 95% intervalo de confianza para la media
poblacional.
Medidas directas e indirectas
En general, la medición de un fenómeno es indirecta, es decir que
se conoce el valor de una magnitud por medio de la medición de
otras que están relacionadas con la primera a través de una
expresión matemática de vínculo. En este caso, es necesario
conocer la forma en que el grado de incerteza se refleja en el
resultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan las
incertezas individuales de cada medición en el resultado final de la
medición. Para esto contamos con el concepto matemático de
diferencial total de una función que, con algunas consideraciones,
nos ayuda a expresar la incerteza de la medición indirecta.
Propagación de errores
•
Se trata de un método simple para determinar el error en una determinación
indirecta, en donde deben considerarse los errores de las magnitudes medidas
para establecer el error de la magnitud que interesa determinar (indirectamente).
Sean x, y y z las magnitudes medidas cuyos errores estimados son: δx, δy y δz respectivamente.
Sea w la magnitud que se desea determinar, que es además una función de x, y y z.
Para calcular el error de la determinación en la magnitud w, δw, podemos calcular la diferencial dw:
dw =
∂w
∂w
∂w
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Si asumimos que los errores en x, y y z son errores estadísticos, la teoría de errores indica que el
error δw está dado por:
2
 ∂w   ∂w   ∂w 
δw =  δx  +  δy  +  δz 
 ∂x   ∂y   ∂z 
2
2
Propagación de errores
Ejemplo:
Si:
w = ax + by + cz
Resulta,
δw =
(aδx )2 + (bδy )2 + (cδz )2
Si uno de los errores (por ejemplpo en y) es mucho mayor que el resto, es posible considerar la
aproximación:
δw ≅
(bδy )2
= bδy
Redondeo (cifras significativas)
Los errores deben expresarse con una única cifra significativa. Solo en casos excepcionales
puede aparecer una segunda cifra 5 o 0.
La última cifra significativa en el valor de una medición debe corresponder al mismo orden de
magnitud que su incerteza (décimas, centésimas, etc.), expresadas en las mismas unidades.
Expresiones incorrectas:
23.463 cm ± 0.165 cm
43.1267 m ± 0.06 m
345.2 m ± 3 m
Expresiones correctas:
23.5 cm ± 0.2 cm
43.13 m ± 0.06 m
345 m ± 3 m
Aspectos que no han sido analizados Bibliografía
• Otras distribuciones estadísticas
• Measurement Errors and Uncertainties. Theory and Practice.
Semyon G. Rabinovich. 2005, 2000, 1995 Springer Science and
Media, Inc. USA.