Download Production and Operations Management: Manufacturing and Services

Noviembre 2015
Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y
Maestro
[email protected] /
rubenestrella@atalayadecristo,org
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Las hipótesis indican lo que estamos buscando o
tratando de probar y pueden definirse como
explicaciones tentativas del fenómeno investigado
formuladas a manera de proposiciones.
Las hipótesis no necesariamente son verdaderas,
pueden o no serlo, pueden o no comprobarse con
hechos. Son explicaciones tentativas, no los hechos
en sí.
Dentro de la investigación científica, las hipótesis son
proposiciones tentativas acerca de las relaciones entre
dos o más variables y se apoyan en conocimientos
organizados y sistematizados.
Sampieri H., Roberto. "Metodología de la Investigación". McGraw Hill:
Segunda Edición. 1998 BEST SELLER INTERNACIONAL.
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Hipótesis nulas son, en cierto modo, el reverso de las
hipótesis de investigación.
También constituyen
proposiciones acerca de la relación entre variables;
que sirven solo para refutar o negar lo que afirma la
hipótesis de investigación.
Hipótesis alternativas, como su nombre lo indica, son
posibilidades "alternas" ante las hipótesis de
investigación y nula:
Ofrece otra descripción o
explicación distintas a las que proporcionan estos
tipos de hipótesis.
Si la hipótesis de investigación establece: "esta silla es
roja", y podrían formularse una o más hipótesis
alternativas: ""esta silla es azul", "esta silla es verde",
"esta silla es amarilla", etcétera.
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Hipótesis estadísticas son las transformaciones de las
hipótesis de investigación, nulas y alternativas en
símbolos estadísticos.
Se pueden formular solo
cuando los datos del estudio que se van a recolectar y
analizar para probar o rechazar las hipótesis son
cuantitativos (números, porcentajes, promedios). Es
decir, el investigador traduce su hipótesis de
investigación y su hipótesis nula (y cuando se
formulan hipótesis alternativas, también estas) en
términos estadísticos.
En estadística, una hipótesis es una afirmación o
declaración que se hace acerca de una propiedad de
una población.
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Componentes de una Prueba de Hipótesis.
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Hipótesis nula (denotada por Ho) es una declaración acerca del
valor de un parámetro de población (como la media) y debe
contener la condición de igualdad escrita con el símbolo =, o . (Al
efectuar realmente la prueba, operaremos bajo el supuesto de
que el parámetro es igual a algún valor especifico.) En el caso de
la media, la hipótesis nula se expresara en una de estas tres
posibles formas:
Ho:  = algún valor
Ho:   algún valor
Ho:   algún valor
Por ejemplo, la hipótesis nula que corresponde a la creencia
común de que la temperatura corporal media es 98.6ºF se
expresa como Ho:=98.6.
Probamos la hipótesis nula
directamente en el sentido de que suponemos que es verdad y
llegamos a una conclusión que puede ser rechazar Ho o bien en
no rechazar Ho.
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Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera. El no
rechazo de la hipótesis nula solamente significa que la evidencia
muestral no es lo suficientemente fuerte como para llegar a su
rechazo.
Antes que se rechace la hipótesis nula, la media muestral debe
diferir significativamente de la media poblacional planteada como
hipótesis. Es decir, que la evidencia debe ser muy convincente y
concluyente. Una conclusión con base en un rechazo de la
hipótesis nula es más significativa que una que termine en una
decisión de no rechazo.
Diferencia estadísticamente insignificante
En la diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la
hipótesis y el valor de la media muestral que es lo
suficientemente pequeña como para atribuirla a un error de
muestreo.
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Hipótesis Alternativa (denotada por Ha) es la
declaración que debe ser verdad si la hipótesis nula es
falsa. En el caso de la media, la hipótesis alternativa
se expresara en una de tres posibles formas:
Ha:   algún valor
Ha:  > algún valor
Ha:  < algún valor
Obsérvese que Ha es lo contrario de Ho. Por ejemplo,
si Ho se da como  =98.6, se sigue que la hipótesis
alternativa esta dada por Ha:   98.6.
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Errores Tipo I y Tipo II.
Al probar una hipótesis nula, llegamos a una conclusión de
rechazarla o no rechazarla. Tales conclusiones a veces son
correctas y a veces equivocadas. Hay dos tipos de errores que
podemos cometer.
Error Tipo I.
El error de rechazar la hipótesis nula, dado que es verdadera.
La probabilidad de cometer un error tipo I es igual al nivel de
significancia, o valor  en el que se prueba la hipótesis.
Error Tipo II.
Es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Usamos el
símbolo  para representar la probabilidad de error tipo II.
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Como controlar los errores tipo I y tipo II.
practicas que podrían ser pertinentes:
Consideraciones
1. Para cualquier  fija, un aumento en el tamaño de muestra n
hace que  disminuya. Es decir, una muestra más grande reduce
la posibilidad de cometer el error de no rechazar la hipótesis
nula, dado que en realidad es falsa.
2. Para cualquier tamaño de muestra fijo n, una disminución de 
causará un incremento en . Por otra parte, un incremento en 
causará una disminución en .
3. Si queremos reducir tanto  como , deberemos aumentar el
tamaño de muestra.
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Estadística de Prueba.
Una estadística de muestra o un valor basado en los datos de
una muestra. Se utiliza una estadística de prueba para tomar la
decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
Z = (X' - )/(/n)
Z = (X' - )/(s/n)
Región critica.
El conjunto de todos los valores de la estadística de prueba que
nos harían rechazar la hipótesis nula.
Valor critico.
El valor o valores que separan la región critica de los valores de la
estadística de prueba que no nos harían rechazar la hipótesis
nula. Los valores críticos dependen de la naturaleza de la
hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel
de significancia .
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Las colas de una distribución son las regiones extremas delimitadas por
valores críticos. Rechazamos la hipótesis nula Ho si nuestra estadística
de prueba esta en la región critica o área de rechazo porque eso indica
una discrepancia significativa entre la hipótesis nula y los datos de la
muestra.
Algunas pruebas son de cola izquierda, con la región critica situada en
la región de extrema izquierda de la curva; otras podrían ser de cola
derecha, con la región critica en la región de la extrema derecha bajo la
curva.
En las pruebas de dos colas, el nivel de significancia  se divide
equitativamente entre las dos colas que constituyen la región critica o
área de rechazo. En las pruebas de cola derecha o izquierda, el área de
la región critica es .
Si examinamos la hipótesis nula Ho, deberemos poder deducir si una
prueba es de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. La cola
corresponderá a la región critica que contenga los valores que podrían
contradecir significativamente la hipótesis nula.
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Vale la pena destacar que tanto en la prueba de cola a la
izquierda como a la derecha el signo igual se coloca en la
hipótesis nula. Esto es porque la hipótesis nula se esta probando
a un valor  especifico (como 5%) y el signo igual da a la hipótesis
nula un valor especifico para probarla.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo
en la cola izquierda y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  < algún valor
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo
en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  > algún valor
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Prueba de dos colas para
Hay cuatro pasos involucrados en una
prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la
muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con
base en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
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Caso I.
Como gerente de compras de una gran empresa de
seguros usted debe decidir si actualizar o no los
computadores de la oficina. A usted se le ha dicho
que el costo promedio de los computadores es de
US$2,100. Una muestra de 64 minoristas revela un
precio promedio de US$2,251, con una desviación
estándar de US$812. ¿A un nivel de significancia del
5% parece que su información es correcta?
Datos:
Ho:  =US$2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251 precio promedio (de los computadores) de la
muestra
s=US$812
 =5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
El gerente de compra desea probar la hipótesis de que la media
poblacional es =US$2,100 bajo un nivel de significancia
=5%=0.05. Debido a que se plantea la hipótesis de que 
=US$2,100, la hipótesis nula y la alternativa son:
Ho:  = 2,100
Ha:   2,100
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y
se compara con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n)
Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
s/n es el error estándar de la distribución
muestral
Ho:  = 2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251
s=US$812
Z = (2,251 - 2,100)/(812/8)
Z = (151)/(101.5)
Z = 1.49
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 5% se divide en dos colas. El 95%
restante se divide por 2 para hallar el área de 0.4750. En
la tabla Z esta área de 0.4750 da los valores críticos de Z
de 1.96.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula
sí -1.96  Z  1.96. Se rechaza sí Z < -1.96 o Z > 1.96.
Vale la pena destacar que las zonas de rechazo están en
ambas colas. Si Z < -1.96 o Z > 1.96, se rechaza la
hipótesis nula.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra
es X'=US$2,251 produce una Z=1.49 ==> 1.49<1.96 y cae
dentro de la zona de no rechazo.
Interpretación:
La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la
hipótesis nula de = 2,100 y el valor de la media muestral de
X'=US$2,251 es estadísticamente insignificante. Podría resultar
simplemente del error de muestreo. De hecho sí =2,100; el
95% de todas las muestras de tamaño n=64 producirán valores
de Z entre  1.96.
Caso II.
Un contrato de manejo laboral exige una producción diaria de 50
unidades. Una muestra de 150 días revela una media de 47.3,
con una desviación estándar de 5.7 unidades. Fije =5% y
determine si se cumple con la disposición del contrato.
Caso III.
Un gerente de una empresa considera que los empleados gastan
un promedio de 50 minutos para llegar al trabajo. Se toma una
muestra de 70 empleados que se toman en promedio 47.2
minutos con una desviación estándar de 18.9 minutos. Fije  en
1% y pruebe la hipótesis.
TAREA: Ejercicios 1 al 16 Págs. 204-205. Para entregar en la
próxima clase.
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados,
afirma que el numero de tiendas que se abre se ha
incrementado por encima del promedio semanal de
10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall
Street Journal, febrero de 1997).
¿Existe alguna
evidencia para sustentar esta afirmación si 50
semanas muestran una media de 12.5 y una
desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta
dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de
rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Datos:
N =50 semanas
X‘ =12.5 tiendas de la muestra
S =0.66 tiendas
 =4%=0.04 (nivel de significancia)
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el
numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima
del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de
escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe
alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas
muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66
tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad
del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el incremento es por encima del promedio
semanal de 10.4 sirve como hipótesis alternativa debido a que 
>10.4 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo
en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:   algún valor
Ha:  > algún valor
Ha:  > 10.4 tiendas semanal
Ho:   10.4 tiendas semanal
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas
que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4
experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997).
¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran
una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta
dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si
esta es cierta.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico
de prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara
con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n)
Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
= (12.5 - 10.4)/(0.66/50)
= 2.1/0.093
= 22.5
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero
de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio
semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street
Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta
afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación
estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una
probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para hallar el área
de 0.46. En la tabla Z esta área de 0.46 da el valor critico de Z de 1.75.
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La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z
rechaza sí Z>1.75”.
 1.75.
Se
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Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero
de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio
semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street
Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta
afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación
estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una
probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra produce una
Z=22.5 ==> 22.5>1.75 y cae dentro de la zona de rechazo o región
critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que en tiempo de escasez no se abren
mas de 10.4 tiendas semanal
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Caso II.
Según Wall Street Journal (mayo 12 de 1997)
muchas compañías de ropa deportiva están
tratando de comercializar sus productos entre
los mas jóvenes. El articulo sugirió que la
edad promedio de los consumidores había
caído por debajo de la media de 34.4 años
que caracterizo los comienzo de la década. Si
una muestra de 1000 clientes reporta una
media de 33.2 años y una desviación de 9.4,
¿qué se concluye a un nivel de significancia de
4%?
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Caso III
Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis
de que las ventas por mes promedian
US$12,000. Diez meses seleccionados como
muestra reportan una media de US$11,277 y
una desviación estándar de US$3,772. Si se
utiliza un valor  del 5%. ¿Que puede concluir
acerca de la impresión que tienen el
distribuidor sobre las condiciones del negocio?
Ejercicios 33 al 40 Págs. 215-216.
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El Método de valor P para probar hipótesis.
Dado una hipótesis nula y datos de muestra, el valor p
refleja la verosimilitud de obtener los valores de
muestra en cuestión suponiendo que la hipótesis nula
realmente es verdad.
Valor P (o valor de probabilidad) es la probabilidad de
obtener un valor de la estadística de prueba que será al
menos tan extremo como se obtiene a partir de los
datos de muestra, suponiendo que la hipótesis es
verdad.
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Valor P es el nivel más bajo de significancia (valor
mínimo) al cual se puede rechazar la hipótesis nula. Es
el área en la cola que está más allá del valor del
estadístico para la muestra.
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El Método de valor P para probar hipótesis.
Algunos criterios de decisión basados exclusivamente
en el valor P:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el
nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor
que el nivel de significancia.
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation
introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los
juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo
producto incrementara las ventas mensuales en Estados
Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony
había experimentado en la década anterior. Una
muestra de 40 meses reporto una media de
US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de
US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a un nivel de
significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Datos:
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α=1%=0.01 (nivel de significancia)
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su
Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La
gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas
mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra
de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una
desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a
un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el nuevo producto incrementara las ventas por
encima de US$283,000,000 sirve como hipótesis alternativa
debido a que µ > US$283,000,000 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en
la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho: µ ≤ algún valor
Ha: µ > algún valor
Ha: µ > US$283,000,000 (ventas mensuales)
Ho: µ ≤ US$283,000,000 (ventas mensuales)
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits
en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto
una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z. Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con
los valores críticos de Z.
Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
Ho: US$283,000,000 (ventas mensuales)
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α =1%=0.01 (nivel de significancia)
Z = (297,000,000 283,000,000)/(97,000,000/40)
Z = 14,000,000/15,337,047.42 = 0.91
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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits
en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto
una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 1% se obtiene en la tabla
después de restar 0.5-0.01= 0.49, el cual corresponde a 2.33
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
En la tabla Z el valor Z de 0.91 tiene el área de 0.3186. Por lo tanto el:
valor P = 0.5 - 0.3186 = 0.1814
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La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de
significancia.

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Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su
Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La
gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas
mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra
de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una
desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a
un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.


El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que
0.1814 para la muestra de Z=0.91 cae en la zona de no rechazo.
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Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
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Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto
federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio
US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró
una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una
desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Datos:
n= 500 contribuyentes
X'=US$785.10
s=US$277.70
α =5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho: µ = US$800.00
Ha: µ  US$800.00
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Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto
federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio
US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró
una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una
desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor
del estadístico de prueba Z.
Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
= (785.10 – 800.00)/(277.70/500)
= -14.9/12.42
= - 1.20
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Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de
impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente
promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes
demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con
una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel
de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 5% se divide entre dos. Se
obtiene en la tabla el valor de Z = 1.96.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z.
En la tabla Z, el valor Z de 1.20 tiene el área de 0.3849. Por lo tanto el:
0.5 - 0.3849 = 0.1151
valor P = 2 * 0.1151 = 0.2302
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de
significancia.


Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones
de impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al
contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500
contribuyentes demostró una reducción promedio en los impuestos
de US$785.10 con una desviación estándar de US$277.70. Pruebe
la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete
el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.


El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del
estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería
rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que
0.2302 para la muestra de Z = -1.20 cae en la zona de no rechazo.


Interpretación:


La hipótesis nula no se rechaza.


En secciones anteriores determinamos (1) el estimado
puntual, (2) intervalo de confianza y (3) determinamos
el tamaño de la muestra para medias y proporciones,
en esta sección los aplicaremos a la varianza de
población ² o desviación estándar de población .
Muchas situaciones reales, como el control de calidad
en un proceso de fabricación, requiere estimar valores
de varianzas o desviaciones estándar de población.
Además de fabricar productos cuyas mediciones
producen una media deseada, el fabricante debe
elaborar productos con una calidad uniforme que no
abarquen toda la gama desde extremadamente buenos
hasta extremadamente deficientes.
Dado que tal
uniformidad a menudo se puede medir por la varianza
o la desviación estándar, estas se convierten en
estadísticas vitales para mantener la calidad de los
productos.






En una población distribuida normalmente con
varianza ², seleccionamos aleatoriamente muestras
independientes de tamaño n y calculamos la varianza
de muestras s² para cada muestra. La estadística de
muestra ²=(n-1)s²/² tiene una distribución llamada
distribución Chi cuadrada.
²=(n-1)s²/²
n = tamaño de muestra
s²= varianza de muestra
²= varianza de población
La distribución Chi cuadrada esta determinada por el
numero de grados de libertad, por el momento
usaremos n-1 grados de libertad.




Propiedades de la Distribución de la estadística Chi
cuadrada.
1.- La Distribución Chi cuadrada no es simétrica, a
diferencia de las distribuciones normal y t Student (A
medida que aumenta el número de grados de libertad,
la distribución se vuelve más simétrica).
2.- Los valores de Chi cuadrada pueden ser cero o
positivos, pero no pueden ser negativos.
3.- La distribución Chi cuadrada es diferente para cada
número de grados de libertad, que es gl=n-1. A
medida que aumenta el numero de grados de libertad,
la distribución Chi cuadrada se acerca a una
distribución normal.




Caso I.
Usando la tabla H Distribución Chi-cuadrado.
Encuentre los valores críticos de ² que determinan
regiones críticas que contienen un área de 0.025 en
cada cola.
Suponga que el tamaño de muestra
pertinente es de 10, de modo que el número de grados
de libertad es 10-1=9
Solución: El valor crítico de la derecha (²=19.023) se
obtiene directamente localizando 9 en la columna de
grados de libertad de la izquierda y 0.025 en la fila
superior. El valor crítico de ²=2.700 de la izquierda
también corresponde a 9 en la columna de grados de
libertad, pero es preciso localizar 0.975 (que se
obtiene de restar 0.025 a 1) en la fila superior porque
los valores de esa fila siempre son áreas a la derecha
del valor critico.



Al obtener valores críticos de Chi cuadrada de la Tabla
H Distribución Chi-cuadrado, obsérvese que los
números de grados de libertad son enteros
consecutivos del 1 al 30, seguidos de 40, 50, 60, 70,
80, 90 y 100. Si no se encuentra en la tabla un
número de grados de libertad (digamos 52), por lo
regular puede usarse el valor crítico más cercano. Por
ejemplo, si el número de grados de libertad es 52,
remítase a la tabla y use 50 grados de libertad. (Si el
número de grados de libertad esta exactamente a la
mitad entre dos valores de la tabla, como 55,
simplemente calcule la media de los dos valores de ².)
Para números de grados de libertad mayores que 100,
use la ecuación siguiente:
²=1/2 [Z+(2k1)]²
donde k es el numero de grados de libertad.




Caso II.
Encuentre los valores críticos ²L y ²R que
corresponden al grado de confianza y tamaño
de muestra dados.
1. 95%; n=26
3. 90%; n=60
2. 99%; n=17
4. 95%; n=50


Estimadores de ².
Dado que las varianzas de muestras s² (que se
obtienen con la formula s²=[(x-x')²]/(n-1)) tienden a
centrarse alrededor del valor de la varianza de la
población ², decimos que s² es un estimador no
predispuesto de ².
Es decir, las varianzas de
muestras
s²
no
tienden
a
sobreestimar
sistemáticamente ²; en vez de ello, tienden a
centrarse en el valor de ² mismo. Además, los
valores s² tienden a producir errores más pequeños al
estar mas cerca de ² que otras medidas de variación.
Por estas razones, el valor s² es el mejor valor
individual (o estimado puntual) de las diversas
estadísticas que podríamos usar para estimar ².



La varianza de muestra s² es el mejor estimado
puntual de la variación de la población ².
Dado que s² es el mejor estimado puntual de ², sería
natural esperar que s sea el mejor estimado puntual
de , pero no sucede así, porque s es un estimador
predispuesto de . Por otra parte, si el tamaño de
muestra es grande, la predisposición es tan pequeña
que
podemos
usar
s
como
un
estimado
razonablemente bueno de .
Aunque s² es el mejor estimado puntual de ², no
tenemos una indicación de lo bueno que es realmente.
Para compensar esta deficiencia, deducimos un
estimado de intervalo (o intervalo de confianza) que es
más revelador.







Intervalo de confianza (o estimado de intervalo) para la varianza
de población ².
Despeje:
²=(n-1)s²/²
El intervalo de confianza es:
1)s²/²L
²=(n-1)s²/²
(n-1)s²/²R < ² < (n-
El intervalo de confianza para la desviación estándar se obtiene
calculando la raíz cuadrada de cada componente anterior:
1)s²/²L]
[(n-1)s²/²R] <  < [(n-
Con un área total de dividida equitativamente  entre las dos
colas de una distribución Chi cuadrada, ²L denota el valor critico
de cola izquierda y ²R denota el valor critico de cola derecha.

Los limites de intervalos de confianza para ² y  se
deben redondear aplicando la regla de redondeo
siguiente:


1. Si usa el conjunto de datos original para construir
un intervalo de confianza, redondee los limites del
intervalo de confianza a una posición decimal más que
las empleadas en el conjunto de datos original.


2. Si desconoce el conjunto de datos original y sólo
usa las estadísticas resumidas (n,s), redondee los
limites del intervalo de confianza al mismo número de
posiciones decimales que se usan para la desviación
estándar o varianza de muestra.

Caso I.
La Panificadora Pepin produce bizcochos que se empacan en
cajas cuyos rótulos dicen contienen 12 bizcochos con un total de
42 onzas. Si la variación entre los bizcochos es demasiado
grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido (engañando a
los clientes) y otras pesaran más (reduciendo las utilidades). El
supervisor de control de calidad determino que puede evitar
problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 onzas y
una desviación estándar de 0.06 onzas o menos. Se seleccionan
aleatoriamente doce bizcochos de la línea de producción y se
pesan, con los resultados que se dan aquí (en onzas). Construya
un intervalo de confianza del 95% para ² y un intervalo de
confianza del 95% para , y luego determine si el supervisor de
control de calidad está en problemas.
3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61
3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42

s²=[(x-x')²]/(n-1))



X
X-X'
3.43
-0.074
3.37
-0.134
3.58
0.076
3.5
-0.004
3.68
0.176
3.61
0.106
3.42
-0.084
3.52
0.016
3.66
0.156
3.5
-0.004
3.36
-0.144
3.42
-0.084
42.05
MEDIA
VARIANZA
3.504 DESVIACION
(X-X')^2
0.005
0.018
0.006
0.000
0.031
0.011
0.007
0.000
0.024
0.000
0.021
0.007
0.131
0.012
0.109
Descriptive statistics
X
count
12
mean
3.5042
sample variance
0.0119
sample standard deviation
0.1091
f(Chisq)
0
1
Chisq
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3.82
Chi-square distribution
df = 11
P(lower)
P(upper) Chi-square
.9750 .0250 21.92
.0250 .9750
3.82
15
16
17
18
19
20
21
22
21.92
23
24
25


Solución:
Con base en los datos de muestra, la media de
X'=3.504 parece excelente porque esta muy
cerca del valor deseado. Los puntajes dados
tienen una desviación estándar de s=0.109, que
podría parecer mayor que el valor deseado de
0.06 o menos.
Procedamos a obtener el
intervalo de confianza para ².








Con una muestra de 12 puntajes tenemos 11 grados de libertad. Con un
grado de confianza del 95%, dividimos =0.05 equitativamente entre las dos
colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores de 0.975 y 0.025 en
la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=3.816 y ²R=21.920. Utilizando estos
valores críticos junto con la desviación estándar de muestra s=0.109 y el
tamaño de muestra de 12 construimos el intervalo de confianza del 95%
evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(12-1)(0.109)²/21.920 < ² < (12-1)(0.109)²/(3.816)
0.006 < ² < 0.034
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear) obtenemos:
0.077 <  < 0.185
Con base en el intervalo de confianza del 95% para , parece que la
desviación estándar es mayor que el valor deseado de 0.06 o menos, así que
el supervisor de control de calidad está en problemas y deberá tomar
medidas correctivas para hacer que el peso de los bizcochos sea más
uniforme.







El intervalo de confianza de 0.077 <  < 0.185 también puede
expresarse como (0.077,0.185), pero el formato de =sE no
puede usarse porque el intervalo de confianza no tiene a s en su
centro.
Caso II.
Un recipiente anticongelante para automóvil supuestamente
contiene 3,785 ml del liquido.
Consciente de que las
fluctuaciones son inevitables, la gerente de control de calidad
quiere estar muy segura de que la desviación estándar sea de
menos de 30 ml; De lo contrario, algunos recipientes se
desbordaran, mientras que otros no tendrán suficiente
anticongelantes. Ella selecciona aleatoriamente una muestra, con
los resultados que se dan aquí. Utilice estos resultados para
construir el intervalo de confianza del 99% para el verdadero
valor de . ¿Sugiere este intervalo de confianza que las
fluctuaciones están en un nivel aceptable?
3,761 3,861 3,769 3,772 3,675 3,861
3,888 3,819 3,788 3,800 3,720 3,748
3,753 3,821 3,811 3,740 3,740 3,839
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
MEDIA
X
X-X'
(X-X')^2
3,761.00
-26.00
676.00
3,861.00
74.00
5,476.00
3,769.00
-18.00
324.00
3,772.00
-15.00
225.00
3,675.00 -112.00
12,544.00
3,861.00
74.00
5,476.00
3,888.00
101.00
10,201.00
3,819.00
32.00
1,024.00
3,788.00
1.00
1.00
3,800.00
13.00
169.00
3,720.00
-67.00
4,489.00
3,748.00
-39.00
1,521.00
3,753.00
-34.00
1,156.00
3,821.00
34.00
1,156.00
3,811.00
24.00
576.00
3,740.00
-47.00
2,209.00
3,740.00
-47.00
2,209.00
3,839.00
52.00
2,704.00
3,787.00 VARIANZA
3,066.82
DESVIACION
55.38
Descriptive statistics
X
count
18
mean
3,787.0000
sample variance
3,066.8235
sample standard55.3789
deviation
minimum
3675
maximum
3888
range
213








Con una muestra de 18 puntajes tenemos 17 grados de libertad. Con
un grado de confianza del 99%, dividimos =0.01 equitativamente
entre las dos colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores
de 0.995 y 0.005 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=5.697 y ²R=35.718. Utilizando
estos valores críticos junto con la desviación estándar de muestra
s=55.38 y el tamaño de muestra de 18 construimos el intervalo de
confianza del 99% evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(18-1)(55.38)²/35.718 < ² < (18-1)(55.38)²/(5.697)
1,459.66 < ² < 9,151.48
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear)
obtenemos:
38.21 <  < 95.6
Con base en el intervalo de confianza del 99% para , parece que la
desviación estándar es mayor que el valor deseado de 30 ml, y
algunos recipientes se desbordaran, así que el supervisor de control
de calidad está en problemas y deberá tomar medidas correctivas.

En la practica, surgen muchas situaciones en las
cuales simplemente no es posible hacer de forma
segura ningún supuesto sobre el valor de un
parámetro o sobre la forma de la distribución
poblacional. Mas bien se deben utilizar otras pruebas
que no dependan de un solo tipo de distribución o de
valores de parámetros específicos. Estas pruebas se
denominan Pruebas no paramétricas o libres de
distribución.

Pruebas no paramétricas.
Son procedimientos estadísticos que pueden
utilizarse para contrastar hipótesis cuando no son
posibles los supuestos respecto a los parámetros o a
las distribuciones poblacionales.










Experimento multinomial.
Es un experimento que satisface las siguientes condiciones.
1. El número de ensayos es fijo.
2. Los ensayos son independientes.
3. Todos los resultados de ensayos individuales se deben
clasificar en una y sólo una de varias categorías distintas.
4. Las probabilidades de las diferentes categorías se mantienen
constantes para cada ensayo.
Distribución Chi-cuadrado
Las dos aplicaciones más comunes de Chi-cuadrado son:
1. Pruebas de bondad de ajuste.
2. Pruebas de independencia.




Prueba de bondad de ajuste.
Sirve para probar la hipótesis de que una distribución de
frecuencia observada se ajusta a (o concuerda con) alguna
distribución propuesta.
Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales
observados a una forma de distribución particular planteada
como hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano, puede
concluirse que si existe la forma de distribución planteada como
hipótesis.
Por ejemplo, se puede plantear la hipótesis que la distribución
poblacional es normal y que todos los valores posibles tienen la
misma probabilidad de ocurrir. Las hipótesis que se probarían
son:



Ho: La distribución poblacional es normal.
Ha: La distribución poblacional no es normal.

Prueba de bondad de ajuste.
Si existe una gran diferencia entre lo que
realmente se observa en la muestra y lo que se
esperaría observar si la hipótesis nula fuera
correcta, en tal caso es menos probable que la
hipótesis nula sea verdadera. Es decir, la
hipótesis nula debe rechazarse cuando las
observaciones obtenidas en la muestra
difieren mucho del patrón que se espera que
ocurra si la distribución planteada como
hipótesis si se presenta.

En las pruebas de bondad de ajuste usaremos la
siguiente notación:

Oi representa la frecuencia observada de un resultado.

Ei representa la frecuencia esperada de un resultado.



k representa el número de diferentes categorías o
resultados.
n representa el número de ensayos total.
La prueba Chi-cuadrado tiene k-m-1 grados de
libertad, en donde m es el número de parámetros a
estimar.





En muchos casos, podemos determinar una frecuencia
esperada multiplicando la probabilidad p de una
categoría por el número de ensayos distintos n:
E = np
Por ejemplo, si probamos la aseveración de que un
dado es equitativo lanzándolo 60 veces, tendremos n
= 60 (porque hay 60 ensayos) y p = 1/6 (porque un
dado es equitativo sí los seis posibles resultados son
igualmente probables, con la misma probabilidad de
1/6). Por tanto, la frecuencia esperada para cada
categoría o celda es:
E = np
E = 60(1/6) = 10






Supuestos.
Los supuestos siguientes aplican cuando probamos una hipótesis
de que la proporción de población para cada una de las k
categorías (de un experimento multinomial) es la que se asegura.
1. Los datos constituyen una muestra aleatoria.
2. Los datos de muestra consisten en conteos de frecuencia para
las k diferentes categorías.
3. Para cada una de las k categorías, la frecuencia esperada es
por lo menos 5.
La prueba de Chi-cuadrado de bondad de ajuste es confiable solo
si todo Ei es por lo menos 5.



Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en
experimentos multinomiales.
² = [(Oi-Ei)^2/Ei]







Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado
usando k-1 grados de libertad, donde k es el número de
categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de
cola derecha.
La forma de la estadística de prueba ² es tal que una
concordancia cercana entre los valores observados y los
esperados produce un valor pequeño de ². Un valor grande de
² indica una fuerte discrepancia entre los valores observados y
los esperados. Por tanto, un valor significativamente alto de ²
hará que se rechace la hipótesis nula de que no hay diferencia
entre las frecuencias observadas y esperadas. Entonces, la
prueba es de cola derecha porque el valor crítico y la región
crítica se encuentran a la extrema derecha de la distribución.
A diferencia de pruebas de hipótesis previas en las que
teníamos que determinar si la prueba era de cola izquierda, de
cola derecha o de dos colas, todas estas pruebas de bondad del
ajuste son de cola derecha.





Caso I.
Jennifer Calcaño gerente de crédito del BHD, en la
torre Principal en Santo Domingo, trata de seguir una
política de extender un 60% de sus créditos a
empresas comerciales, un 10% a personas naturales y
un 30% a prestatarios extranjeros.
Para determinar si la política se estaba siguiendo, José
Rondón, vicepresidente de mercadeo, selecciona 85
créditos que se aprobaron recientemente. Encuentra
que 62 de tales créditos se otorgaron a negocios, 10 a
personas naturales, y 13 a prestatarios extranjeros.
Al nivel del 10%, ¿parece que el patrón de cartera
deseado se preserva? Pruebe la hipótesis de que:
Ho: Se mantuvo el patrón deseado: 60% son créditos
comerciales, 10% son prestamos personales y 30% son
créditos extranjeros.
Ha: El patrón deseado no se mantuvo.
Tabla de Tipo de
Crédito
Tipo de Credito
Oi
p
Ei=n*p
Comercial
62.00
0.60
51.00
Personal
10.00
0.10
8.50
Extranjero
13.00
0.30
25.50
Total = n
85.00
85.00
Tabla de Tipo de
Crédito
Tipo de Credito
Oi
p
Ei=n*p
Comercial
62.00
0.60
51.00
Personal
10.00
0.10
8.50
Extranjero
13.00
0.30
25.50
Total = n
85.00
85.00
Tipo de Credito
Comercial
Personal
Extranjero
Total
p
0.60
0.10
0.30
1.00
Oi
62.00
10.00
13.00
85,00
Ei =np
51.00
8.50
25.50
85,00
(Oi-Ei) (Oi-Ei)^2 (Oi-Ei)^2/Ei
11.00 121.00 2.37
1.50 2.25 0.26
-12.50 156.25 6.13
CHI-CUADRADA 8.76


Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en
experimentos multinomiales.
El valor ² es ²= [(Oi-Ei)²/Ei]
²=[(62-51)²/51]+[(10-8.5)²/8.5]+[(13-25.5)²/25.5] = 8.76







Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado
usando k-1 grados de libertad, donde k es el numero de categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de
cola derecha.
Con un  = 10% y k = 3 categorías de crédito (comerciales,
privados y extranjeros), existen k-m-1= 3-0-1=2 grados de
libertad, el valor critico es
² 0.10, 2 = 4.605
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula ²  4.605.
Rechazar sí la hipótesis nula ² > 4.605.
f(Chisq)
0
Chisq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.61
I PLANTIAMIENTO DE HIPOTES
HO: SE MANTUVO EL PATRON DESEADO: 60%
COMERCIAL - 10% PERSONAL - 30%
EXTRANJERO
HA: NO SE MANTUVO EL PATRON DESEADO
Goodness of Fit Test
observed expected
62 51.000
10
8.500
13 25.500
85 85.000
chi8.76square
1df
.0031p-value
O - E (O - E)² / E % of chisq
11.000
2.373
27.07
1.500
0.265
3.02
-12.500
6.127
69.91
0.000
8.765
100.00
II ESTADISTICA DE PRUEBA - CHI CUADRADA
CHI C. =
8.76
III REGLA DE DECISION.
SE ACEPTA SI CHI ES MENOR QUE
4.61
SE RECHAZA SI CHI ES MAYOR QUE 4.61
SE RECHAZA LA HO
IV INTERPRETACION
NO SE ESTA CUMPLIENDO CON LA POLITICA DE
CREDITO DEL BANCO
10





Caso II. Prueba de normalidad.
Las especificaciones para la producción de tanques de aire
utilizados en inmersión requieren que los tanques se llenen a una
presión de 600 libras por pulgadas cuadradas (psi). Se permite una
desviación de 10 psi. Las especificaciones de seguridad permiten
una distribución normal en los niveles de llenado. Usted acaba de
ser contratado por Aqua Lung, un importante fabricante de equipos
de inmersión. Su primera tarea es determinar si los niveles de
llenado se ajustan a una distribución normal. Aqua Lung esta
seguro de que media de 600 psi y la desviación estándar de 10 psi
prevalecen. En este esfuerzo se miden n=1000 tanques y se halla
la distribución presentada en la siguiente tabla.
Sus hipótesis son:
Ho: Los niveles de llenado están distribuidos normalmente.
Ha: Los niveles de llenado no están distribuidos normalmente.
Frecuencia Probabilidades Frecuencias
PSI
Real Oi
0 y por debajo de 580
20
580 y por debajo de 590
142
590 y por debajo de 600
310
600 y por debajo de 610
370
610 y por debajo de 620
128
6200 y por encma
30
Totales
1000
pi
Esperadas Ei
O-E
(O-E)^2
[(O-E)^2]/E







Determine la probabilidad para cada clase
mediante la formula Z y complete la tabla de
probabilidades y frecuencias esperadas.
X => viene dado por cada valor del rango de
los PSI.
Media = 600 psi
Desviación = 10 psi
Por ejemplo Z = (580 – 600) / 10 = - 2
P(z=2) = 0.4772
P(z<2) = P(por debajo de 580)= 0.5 – 0.4772
= 0.0228
Frecuencia Probabilidades Frecuencias
PSI
Real Oi
pi
Esperadas Ei
O-E
(O-E)^2
[(O-E)^2]/E
0 y por debajo de 580
20
0.0228
22.80
-2.80
7.84
0.344
580 y por debajo de 590
142
0.1359
135.90
6.10
37.21
0.274
590 y por debajo de 600
310
0.3413
341.30
-31.30
979.69
2.870
600 y por debajo de 610
370
0.3413
341.30
28.70
823.69
2.413
610 y por debajo de 620
128
0.1359
135.90
-7.90
62.41
0.459
620 y por encma
30
0.0228
22.80
7.20
51.84
2.274
Totales
1000
1
CHI CUADRADA
8.634
Goodness of Fit Test
observe expecte
d
d
20 22.800
142 135.900
310 341.300
370 341.300
128 135.900
30 22.800
1000 1000.000
chi8.63square
5df
O - E (O - E)² / E % of chisq
-2.800
0.344
3.98
6.100
0.274
3.17
-31.300
2.870
33.24
28.700
2.413
27.95
-7.900
0.459
5.32
7.200
2.274
26.33
0.000
8.634
100.00







Valor Critico.
Se desea probar la hipótesis al nivel del 5%.
Debido a que tanto la media poblacional como la desviación
estándar son dadas y no tienen que estimarse, m = 0. Existe k =
6 clases en la tabla de frecuencias, de manera que los grados de
libertad son k-1=5. Se encuentra que el valor critico es ² 0.05,5
=11.070
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula si ² es menor
que 11.070. Rechazar la hipótesis nula si ² es mayor que
11.070"
Determine el valor ² = [(Oi-Ei)/Ei]
Interpretación: La hipótesis nula se acepta. Las diferencias entre
lo que se observo y lo que se espera observar si los contenidos
estuvieran distribuidos normalmente con una media de 600 y una
desviación estándar de 10 pueden atribuirse al error de
muestreo.
Si la media poblacional y la desviación estándar no fueran
conocidas, se hubieran tenido que estimar de los datos
muestrales de la tabla. Entonces m=2, y los grados de libertad
serian k-2-1 o 6-2-1=3.
f(Chisq)
0
1
Chisq
Goodness
2
3
of Fit Test
observexpecte
ed
d
20 22.800
142 135.900
310 341.300
370 341.300
128 135.900
30 22.800
1000.00
1000
0
chi8.63square
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.07
O-E
-2.800
6.100
-31.300
28.700
-7.900
7.200
(O - E)² /
E
0.344
0.274
2.870
2.413
0.459
2.274
% of
chisq
3.98
3.17
33.24
27.95
5.32
26.33
0.000
8.634
100.00
I PLANTIAMIENTO DE HIPOTES
HO: LOS NIVELES DE LLENADO ESTAN
DISTRIBUIDO NORMALMENTE
HA: LOS NIVELES DE LLENADO ESTAN
DISTRIBUIDO NORMALMENTE
II ESTADISTICA DE PRUEBA - CHI CUADRADA
CHI C. = 8.63
III REGLA DE DECISION.
SE ACEPTA SI CHI ES MENOR QUE 11.07
SE RECHAZA SI CHI ES MAYOR QUE 11.07
SE ACEPTA LA HO
IV INTERPRETACION
LOS NIVELES DE LLENADOS ESTAN
DISTRIBUIDOS NORMALMENTE
16









Tablas de contingencia. Una prueba de independencia.
Tabla de Contingencia o tabla de frecuencia bidireccional.
Es una tabla en la que las frecuencias corresponden a dos
variables. (Se utiliza una variable para clasificar las filas y otra
para clasificar las columnas).
Las tablas contingencias son aquellas que sirven para
comparar dos variables.
Prueba de independencia.
Una prueba de independencia prueba la hipótesis nula de
que la variable de fila y la variable de columna de una tabla de
contingencia no están relacionadas. (La hipótesis nula es la
declaración de que las variables de fila y de columna son
independientes.)
Es muy importante reconocer que, en este contexto, la
palabra contingencia se refiere a dependencia, pero sólo se trata
de una dependencia estadística y no puede usarse para
establecer un vínculo directo de causa y efecto entre las dos
variables en cuestión.


Supuestos.
Al probar la hipótesis nula de independencia entre las variables
de fila y de columna de una tabla de contingencia, aplican los
supuestos siguientes (Obsérvese que estos supuestos no exigen
que la población padre tenga una distribución normal ni alguna
otra distribución especifica.)




1. Los datos de muestra se escogen aleatoriamente.
2. La hipótesis nula Ho es la declaración de que las variables de
fila y de columna son independientes; la hipotesis alternativa Ha
es la declaracion de que las variables de fila y de columna son
dependientes.
3. Para cada celda de la tabla de contingencia, la frecuencia
esperada E es de por lo menos 5.




Estadística de prueba para prueba de independencia.
² = [(Oi-Ei)^2/Ei]







Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando:
grados de libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo
implican regiones criticas de cola derecha.
Frecuencia esperada para una tabla de contingencia.
Frecuencia esperada (E)= [(Total de fila)*(Total de columna)]/Gran
Total
La estadística de prueba nos permite medir el grado de discrepancia
entre las frecuencias observadas y las que esperaríamos en teoría si
las dos variables son independientes. Valores pequeños de la
estadística de prueba ² indican coincidencia entre las frecuencias
observadas y las frecuencias esperadas con variables de fila y de
columna independientes. Los valores grandes de la estadística de
prueba ² están a la derecha de la distribución Chi-cuadrada y
reflejan diferencias significativas entre las frecuencias observadas y
las esperadas.
En muestreos grandes repetidos, la distribución
de la estadística de prueba ² se puede aproximar con la distribución
Chi-cuadrada, siempre que todas las frecuencias esperadas sean de
por lo menos 5.


Caso I.
Santo Domingo Motors desea determinar si existe
alguna relación entre el ingreso de los clientes y la
importancia que dan al precio de los automóviles de
lujo. Los gerentes de la compañía desean probar la
hipótesis de que:

Ho: Ingreso e
independientes.

Ha: Ingreso e
independientes.

importancia
importancia
del
del
precio
precio
no
son
son
Los clientes están agrupados en tres niveles de
ingreso y se les pide asignar un nivel de significancia
para poner precio a la decisión de compra. Los
resultados se muestran en la siguiente tabla de
contingencia.
Atributo a: Nivel de Importancia
Grande
Frecuencia Esperada
Moderado
Frecuencia Esperada
Poco
Frecuencia Esperada
Totales
Bajo
83
Atributo b: Ingresos
Medio
Alto
62
37
Total
182
52
71
49
172
63
58
63
184
198
191
149
538
Atributo a: Nivel de Importancia
Grande
Frecuencia Esperada
Moderado
Frecuencia Esperada
Poco
Frecuencia Esperada
Totales
Bajo
83
66.98
52
63.30
63
67.72
198
Atributo b: Ingresos
Medio
Alto
62
37
64.61
50.41
71
49
61.06
47.64
58
63
65.32
50.96
191
149
Total
182
172
184
538
(Oi-Ei)^2/Ei
Atributo a:
Atributo b:
Ingreso
s
Nivel de Importancia
Bajo
Grande
3.83
Moderado
2.02
Poco
Totales
Medio
0.11
Alto
Total
3.57
7.50
1.62
0.04
3.67
0.33
0.82
2.85
3.99
6.18
2.54
6.45
15.17
Oi-E i
Atributo a : N ive l de Importa ncia Ba jo
Gra nde
16.02
Mode ra do
-11.30
P oco
-4.72
Atributo b: Ingre sos
Oi-E i
Oi-E i
Me dio
Alto
-2.61
-13.41
9.94
1.36
-7.32
12.04
Atributo b: Ingre sos
(Oi-Ei)^2/ Ei (Oi-Ei)^2/ Ei
Atributo a : N ive l de Importa ncia
Gra nde
Mode ra do
P oco
T OT ALE S
Ba jo
3.83
2.02
0.33
6.18
(Oi-Ei)^2/ Ei
Me dio
0.11
1.62
0.82
2.54
CHI CUADRADO
Alto
3.57
0.04
2.85
6.45
15.17
Chi-square Contingency Table Test for Independence
Bajo
Medio
Alto
Total
Grande
Moderad
o
83
62
37
182
52
71
49
172
Poco
63
58
63
184
Total
198
191
149
538
15.17chi-square
4df
.0044p-value
Chi-square Contingency Table Test for Independence
Grande
Observed
Expected
O- E
(O - E)² / E
Moderado Observed
Expected
O- E
(O - E)² / E
Poco
Observed
Expected
O- E
(O - E)² / E
Total
Observed
Expected
O- E
(O - E)² / E
Bajo
83
66.98
16.02
3.83
52
63.30
-11.30
2.02
63
67.72
-4.72
0.33
198
198.00
0.00
6.18
Medio
62
64.61
-2.61
0.11
71
61.06
9.94
1.62
58
65.32
-7.32
0.82
191
191.00
0.00
2.54
15.17 chi-square
4 df
.0044 p-value
Alto
37
50.41
-13.41
3.57
49
47.64
1.36
0.04
63
50.96
12.04
2.85
149
149.00
0.00
6.45
Total
182
182.00
0.00
7.50
172
172.00
0.00
3.67
184
184.00
0.00
3.99
538
538.00
0.00
15.17







El valor ²= [(Oi-Ei)/Ei]
Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando: grados de
libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo
implican regiones criticas de cola derecha.
Si se determina en 1%, y con (f-1)(c-1) = (3-1)(3-1) = 4 grados de
libertad ²0.01,4 = 13.277.
Regla de decisión: "No rechazar la hipotesis nula si ² es menor que
13.277. Rechazar la hipótesis nula si ² es mayor que 13.277"
Interpretación. La hipótesis nula se rechaza. Existe solo 1% de
probabilidad de que si no existe relación entre ingreso y significancia
del precio, las diferencias entre Oi y Ei serian lo suficientemente
grandes como para producir un Chi-cuadrado más grande que 13.277.
Existe evidencia de una relación entre el ingreso de los clientes y la
importancia dada al precio de un auto de lujo.
Chi-square Contingency Table Test for Independence
Grande
Modera
do
Poco
Total
f(Chisq)
Bajo
83
Medio
62
Alto
37
Total
182
52
63
198
71
58
191
49
63
149
172
184
538
chi15.17square
4df
.0044p-value
0
Chisq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13.28
14
Caso V. En un análisis de segmentación de mercado para
tres cervezas, el grupo de investigación encargado ha
planteado la duda de si las preferencias para las tres
cervezas son diferentes entre los consumidores hombres
y mujeres.
Si la preferencia de las cervezas fuera
independiente del sexo del consumidor, se iniciaría una
campaña publicitaria para todas las cervezas.
Sin
embargo, si la preferencia depende del sexo del
consumidor, se ajustarán los promociones para tener en
cuenta los distintos mercados metas. Pruebe el supuesto
a un nivel de significancia de un 5%.
Los datos de la tabla constituyen las frecuencias
observadas para las seis clases o categorías.
CERVEZA PREFERIDA
SEXO LIGERA CLARA OSCURA
HOMBRE
20
40
20
MUJER
30
30
10