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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas - Departamento de Administración de Empresa
ADM-236-T MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS I
en honor a Carlos Dreyfus
PROGRAMA GENERAL
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV)
y Maestro (SALOME UREÑA)
[email protected] ; [email protected]
www.atalayadecristo.org
SEPTIEMBRE 2015
OBJETIVO GENERAL:
Este curso persigue desarrollar habilidades en los futuros gerentes de negocios que le permitan
valorizar, aplicar y crear diferentes modelos matemáticos, útiles en el proceso de toma de decisiones en
el mundo de los negocios, con la finalidad de optimizar los resultados a obtener en las diferentes
situaciones del mundo real.
DESCRIPCIÓN DE LA MATERIA:
Créditos
: 03
Pre-requisitos
: MAT-207-T
Co-requisitos
: ADM-236-P
En esta asignatura se conocerán y aplicarán los conocimientos y herramientas de la Estadística
Descriptiva. El (la) estudiante podrá utilizar las técnicas estadísticas descriptivas para la recolección y
presentación de los datos poblacionales o muestrales, las cuales le permitirán analizar el conjunto de
datos y tomar mejores decisiones en los procesos administrativos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL CURSO:
 Aplicar las herramientas existentes para la presentación, caracterización y análisis de los
datos, así como también las bases fundamentales de la probabilidad, a la toma de decisiones
en situaciones de incertidumbre.
 Comprender los términos y conceptos propios de la Estadística.
 Representar e interpretar datos mediante tablas y gráficos.
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Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
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



Calcular medidas de centralización y de variabilidad. Interpretarlas.
Construir distribuciones de probabilidad, computar e interpretar probabilidades.
Aplicar las distribuciones binomial, de Poisson, y otras distribuciones discretas.
Aplicar las distribuciones uniforme, normal y exponencial a datos continuos.
METODOLOGÍA DE CLASES
 Cátedras expositivas de los temas que constituyen el programa.
 Análisis de casos, principalmente del entorno nacional.
 Aplicación de los modelos estadísticos a data proveniente de una empresa elegida por el (la)
estudiante.
 Resolución de ejercicios de texto u otros libros de referencia.
 Análisis de artículos de publicaciones arbitradas.
 Participación activa del estudiante, debates, discusiones.
 Aprendizaje colaborativo, mediante la resolución en grupo de ejercicios y casos, tanto de
manera presencial como virtual.
 Pruebas parciales y prueba final
EVALUACIÓN:
Pruebas Cortas
20 puntos:
1º Parcial
Proyecto Parcial
2º Parcial
Proyecto Final
25 puntos
15 puntos
25 puntos
15 puntos
Materiales Útiles:
-
5 puntos
5 puntos
5 puntos
5 puntos
Ubicación de SuperMercados (Presentación en el Laboratorio)
Uso de todas las Herramientas Estadísticas en un Estudio de
Mercado (Presentación en el Laboratorio).
Calculadora Científica con Combinación nCr
Computador Portátil – Notebook – Laptop (Será usada en el aula, en los
exámenes y en el laboratorio).
Juego de Reglas y Compás.
Manual de Ejercicios (Impreso).
Bibliografía indicada a continuación.
Softwares Útiles:
- MegaStat
- SPSS 17.0
- Probabilidades y Estadística de la Mc Graw Hill
- Microsoft Excel
- SPCXL
- Aplicaciones aportadas por los estudiantes
METODOLOGÍA DEL LABORATORIOS
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Utilización de Microsoft Excel – Hoja Electrónica de Cálculo.
Utilización de los Programas: MegaStat – SPSS 17.0 – Probalidades y Estadísticas de la Mc Graw Hill – SPCXL.
Búsqueda de Programas de Manejo de Estadística Descriptiva e Inferencial, con su respectiva Representación Gráfica.
Implementación del Software – En los casos resueltos y asignados.
Presentación en el Laboratorio de la Implementación.
Entrega de los archivos de los Programas identificados.
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Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
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CONTENIDO DEL PROGRAMA
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Tema I - Introducción a la Estadística Descriptiva
Objetivos de Aprendizaje:
 Explicar Estadística, sus conceptos básicos y su evolución histórica.
 Comprender la importancia de la Estadística Descriptiva para los negocios.
 Identificar situaciones y variables administrativas y económicas objeto de medición y
aplicación de los estadísticos descriptivos.
Contenido Temático:
1.1
Definiciones de Estadística.
1.2
Diferencias entre poblaciones y muestras. Definiciones de parámetros y estadísticos.
1.3
Importancia y aplicaciones de la Estadística a los negocios.
....................................................................................................................................
Tema II - Estadística Descriptiva
Objetivos de Aprendizaje:

Ordenar, presentar, analizar e interpretar un conjunto de datos u observaciones.

Diferenciar un parámetro de un estadístico.

Identificar situaciones y variables administrativas y económicas en las que sea aplicable la
Estadística Descriptiva.

Utilizar software para representar un conjunto de datos u observaciones.

Calcular e interpretar la media aritmética, media ponderada, mediana, moda y los cuantiles.

Identificar las propiedades de la media aritmética, la mediana y la moda.

Establecer la relación entre la media, la moda y la mediana de un conjunto de
observaciones.

Utilizar software para calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.

Calcular e interpretar la amplitud o recorrido de un conjunto de datos u observaciones.

Calcular e interpretar desviación media, desviación intercuartílica, varianza, desviación
estándar o típica, y coeficiente de variación.

Calcular e interpretar el índice de sesgo de Pearson y el puntaje estándar.

Aplicar el Teorema de Chebyshev.

Identificar las propiedades de la varianza.

Utilizar software para el cálculo de las medidas de dispersión.
Contenido Temático:
2.1
Definición de términos estadísticos.
2.2
Organización de datos y distribuciones de frecuencias variables categóricas.
2.3
Representación gráfica con gráficos de barras y diagramas de pastel.
2.4
Diagrama de tallo y hojas.
2.5
Organización de datos de una variable continua.
2.6
Representación gráfica de datos continuos: histogramas de frecuencia, polígonos de frecuencia,
ojivas.
2.7
Medidas de localización o tendencia central: media, media ponderada, moda, mediana, cuartiles
y percentiles; tanto para datos sueltos como para datos agrupados.
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Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
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2.8
2.9
Diagramas de caja y bigotes: barreras y valores atípicos.
Medidas de dispersión o variabilidad: rango, desviación media, desviación intercuartílica,
varianza, desviación típica o estándar, coeficiente de variación; tanto para datos sueltos como
para datos agrupados.
2.10 Medidas de distribución: coeficiente de sesgo; coeficiente de curtosis; puntaje estándar, regla
empírica y Teorema de Chebyshev.
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Tema III - Teoría Elemental de Probabilidad
Objetivos de Aprendizaje:

Definir los conceptos básicos de probabilidad.

Diferenciar entre probabilidad “A priori” y probabilidad “A posteriori”.

Describir lo siguientes conceptos, y calcular sus probabilidades: eventos mutuamente
excluyentes, eventos independientes y probabilidad condicional.

Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes.
Contenido Temático:
3.1
Experimento aleatorio y espacio muestral.
3.2
Sucesos o eventos: simples, compuestos y vacíos.
3.3
Ocurrencia de un evento: probabilidad a priori y a posteriori; evento seguro; evento imposible.
3.4
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de eventos que constituyen un experimento.
3.5
Técnicas de conteo: Ley de la Suma, Ley de la Multiplicación, combinaciones y permutaciones.
3.6
Eventos mutuamente excluyentes.
3.7
Eventos independientes.
3.8
Probabilidad condicional.
3.9
Teorema de Bayes.
....................................................................................................................................
Tema IV - Distribuciones de Probabilidad Discretas
Objetivos de Aprendizaje:

Definir variable aleatoria discreta

Calcular probabilidades de una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad y su
función de probabilidad acumulada.

Resolver situaciones que involucren cálculo de media, varianza, desviación estándar o típica de
una variable aleatoria discreta.

Aplicar la distribución discreta uniforme para el cálculo de probabilidades de una variable
aleatoria discreta.

Aplicar la distribución binomial para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria
discreta.

Aplicar la distribución de Poisson para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria
discreta.
Contenido Temático:
4.1
Variables aleatorias discretas.
4.2
Valor esperado y varianza.
4.3
Propiedades de las variables aleatorias.
4.4
Distribución discreta uniforme.
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Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
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4.5
Distribución binomial. Media y varianza.
4.6
Distribución de Poisson. Media y varianza.
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Tema V - Distribuciones de Probabilidad Continuas
Objetivos de Aprendizaje:

Definir variable aleatoria continua.

Calcular probabilidades de una variable aleatoria continua y su función de densidad de
probabilidad.

Resolver situaciones que involucren cálculo de media, varianza, desviación estándar o típica de
una variable aleatoria continua.

Aplicar la distribución uniforme para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria
continua.

Aplicar la distribución normal para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria
continua.

Aplicar la distribución exponencial para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria
continua.
Contenido Temático:
5.1
Variables aleatorias continuas.
5.2
Valor esperado y varianza.
5.3
Distribución uniforme.
5.4
Distribución normal.
5.4.1 Estandarización de variables aleatorias con distribución normal.
5.4.2 Aproximación normal de la distribución binomial.
5.5
Distribución exponencial.
5.5.1 Relación entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson.
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Agenda – Calendario
Tema
Contenido
I
Introducción y Presentación del Programa
Introducción a la Estadística Descriptiva
II
Estadística Descriptiva
Libro
Webster Cap. 1 y 2
Lind Cap. 1 y 2
Anderson Cap. 1y2
Triola Cap. 1 y 2
Estrella - Manual
pág. 1 – 23
Webster Cap. 3
Lind Cap. 3 y 4
Anderson Cap. 3
Triola Cap. 3
Estrella - Manual
pág. 24 – 64
Primer Control de Lectura
III
IV
Teoría Elemental de Probabilidad
Webster Cap. 4
Lind Cap. 5
Anderson Cap. 4
Triola Cap. 4
Estrella - Manual
pág. 65 – 89
11-09-2015
Asistencia
18-09-2015
Valor 5
puntos
Asistencia
25-09-2015
02-10-2015
09-10-2015
Primer Parcial
16-10-2015
Proyecto Parcial (Presentación en el Lab.
aplicando la Estadística Descriptiva)
Distribuciones de Probabilidad Discretas
20-10-2015
20-10-2015
Webster Cap. 5
Lind Cap. 6
Anderson Cap. 5
Triola Cap. 5
Estrella - Manual
pág. 90 – 103
Distribuciones de Probabilidad Continuas
23-10-2015
30-10-2015
06-11-2015
Webster Cap. 5
Lind Cap. 7
Anderson Cap. 6
Triola Cap. 6
Estrella - Manual
pág. 104 – 111
Valor
Asistencia
Asistencia
Segundo Control de Lectura
Tercer Control de Lectura
V
Fecha
04-09-2015
04-09-2015
13-11-2015
20-11-2015
Cuarto Control de Lectura
27-11-2015
Control Avance del Proyecto Final y Dudas
Segundo Parcial
Proyecto Final (Presentación en el Lab.
aplicando la Estadística Descriptiva)
27-11-2015
04-12-2015
08-12-2015
Valor 5
puntos
Valor 25
puntos
Valor 15
puntos
Asistencia
Valor 5
puntos
Asistencia
Valor 5
puntos
25 puntos
15 puntos
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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas - Departamento de Administración de Empresa
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en honor a Carlos Dreyfus
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV)
y Maestro (SALOME UREÑA)
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Aplicación de las Estadísticas
Proyecto Parcial
Valor 15 puntos - Fecha de Entrega: 20/10/2015
Una empresa multinacional del Sector Supermercados que está ubicada en el Distrito Nacional, Santo Domingo y Santiago, está pensando expandir sus
operaciones estableciéndose en otras 3 provincias del País, con este propósito un equipo de estudiantes de Modelos para la Toma de Decisiones fue
contratado, para determinar en cuáles y qué orden debe ubicarse tomando en consideración las siguientes informaciones estadísticas:
1. Población Rural y Urbana.
2. Hogares Rurales y Urbanos.
3. Población Ocupada.
4. Población Económicamente Activa.
5. Proporción de la Ocupada en relación a la Activa.
6. Gasto Anual por Hogar Rural (En alimentos, bebidas y tabaco).
7. Gasto Anual por Hogar Urbano (En alimentos, bebidas y tabaco).
8. Demanda total (En base a la suma del Gasto Rural y Urbano).
9. Densidad Poblacional.
Además:
- Característica del Sector Industrial (Supermercados), situación actual, entorno, tendencias, etc.
- Estilo de vida.
- Desarrollo provincial.
- Nivel de Educación.
- Niveles de pobreza.
- Imágenes típicas.
- Mapas
- Acceso a la tecnología y medios de comunicación.
- Nivel de participación de la competencia.
- Distancia de los centros de distribución.
- Medios y costos de transporte.
- Disponibilidad y costo de mano de obra.
- Disponibilidad y calidad de los servicios públicos.
- Rentabilidad del negocio.
Utilizando las Herramientas estadísticas, algunas consideraciones de Operaciones y Mercadeo, presente su Informe.
Impreso y en CD.
Sitios de Internet a visitar: www.bancentral.gov.do / www.one.gov.do / www.pnud.gov.do / www.tiendalasirena.com / www.superpola.com /
www.jumbo.com.do / www.ole.com.do / www.supermercadoslacadena.com / www.superbravo.com
FECHA DE ASIGNACIÓN: 04-09-2015
www.bancentral.gov.do
www.one.gov.do
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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
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en honor a Carlos Dreyfus
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
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PROYECTO FINAL
Valor 15 puntos
Lineamientos generales para el trabajo final
Elaborar para una empresa de su elección o para un nuevo negocio un estudio de mercado que permita determinar el
comportamiento de una o varias variables que se desean controlar, tomando en consideración la situación actual de la
empresa, cultura, posibilidades económicas, características de su sector industrial, disponibilidad de tecnología, etc.
Algunos detalles a incluir en su trabajo:
 Propósito del Estudio de Mercado.
 Objetivos del Estudio de Mercado.
 Breve reseña de la empresa, historia, evolución, cultura, etc.
 Característica del Sector Industrial, situación actual, entorno, tendencias, etc.
 Misión, Visión y Objetivos.
 Evaluación de oportunidades y tendencias del mercado.
 Evaluar la situación actual del objeto de estudio de mercado (definición y comportamiento de las variables); hacer
una crítica de la situación, emitir un diagnóstico claro y completo.
 Utilizando todos métodos de Estadística Descriptiva e Inferencial determine:
o Elaboración del cuestionario a utilizar para la recolección de los datos en Encuesta (Utilizando Libros de
Metodología de Investigación y de Investigación o Estudio de Mercado).
o Determinar el Tamaño de la muestra a utilizar en la Encuesta.
o Analisis Estadístico de los datos obtenidos en la Encuesta.
o Elaboración de Tablas y Gráficos Estadísticos.
o Determinación de Estadísticos, Parametros, y probabilidades de ocurrencias.

Evaluación y presentación clara, evidente y objetiva de los efectos y el impacto de sus recomendaciones, basado en
el estudio de mercado, en la empresa: económicas, de calidad, de imagen, etc.
 Mínimo de Fuentes Bibliográficas (Libros) a utilizar: 5
 Impreso y en CD.
FECHA DE ASIGNACIÓN: 31-08-2015
FECHA DE ENTREGA: 08-12-2015.
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 Bibliografía.
o
WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGraw-Hill: Tercera
Edición. 2000.
o
LIND Douglas A., MARCHAL William G. and WATHEN Samuel A. Estadística Aplicada a los
Negocios y a la Economía. McGraw-Hill. 15ª Edición. 2012.
o
ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Estadística para Negocios y
Economía. CENGAGE Learning: 11ª Edición. 2012.
o
TRIOLA, Mario F. Estadística. PEARSON Addison Wesley. 11ª Edición. 2013.
o
TRIOLA, Mario F. Estadística. PEARSON Addison Wesley. Décima Edición. 2009.
o
SPIEGEL Murray, SHILLER John and SRINIVASAN R. Alu. Probabilidad y Estadística. Mc Graw
Hill. 3ª. Edición – Serie Shaum. 2010.
o
NIEVES Antonio and DOMINGUEZ Federico. Probabilidad y Estadística para Ingeniería un
enfoque moderno. Mc Graw Hill. 2010.
o
HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO
Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta Edición. 2010.
o
GUTIERREZ PULIDO Humberto and DE LA VARA SALAZAR Román. Control Estadístico de
Calidad y Seis Sigma 6. Mc Graw Hill. 2004
o
JONSON Robert and KUBY Patricia. Estadística Elemental Lo Esencial. International Thomson
Editores, S. A.: Tercera Edición 2004.
o
LIPSCHUTS Seymour and LIPSON Marc. PROBABILIDAD. Mc Graw Hill. Segunda Edición.
2001.
o
MILTON J. Susan and ARNOLD Jesse C. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Mc Graw Hill.
Cuarta Edición. 2004.
o
MONTIEL A. M., RIUS F. And BARON F.J. Elementos Básicos de Estadística Económica y
Empresarial. Prentice Hall: 1997.
o
HOPKINS Kenneth, HOPKINS B.R. and GLASS Gene. Estadística Básica para las Ciencias
Sociales y del Comportamiento. Prentice Hall: Tercera Edición. 1997.
o
LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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Conceptos Generales de Estadística
La Estadística:
Es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos y luego
organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones con base en
esos datos.
- Se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir,
hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e
incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a
partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular
predicciones.
- Es el arte y la ciencia de reunir, analizar, presentar e interpretar datos.
- Es un cuerpo de métodos y teorías que es aplicado con evidencia numérica,
cuando se toman decisiones en presencia o situaciones de incertidumbre.
Estadística Descriptiva:
Es el proceso de recopilación, organización y presentación de datos de alguna
manera que describa con rapidez y facilidad.
- Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y
gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.
- La estadística descriptiva proporciona herramientas para organizar, simplificar y
resumir información básica a partir de un conjunto de datos que de otra forma seria poco
manejable. Esta incluye la tabulación, representación y descripción de conjuntos de
datos.
- La estadística es descriptiva cuando los resultados del análisis estadístico no
pretende ir mas allá del conjunto de datos investigados.
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Estadística Inferencial:
Implica la utilización de una muestra para extraer alguna inferencia o conclusión
sobre la población correspondiente.
- Apoyándose en el calculo de probabilidades y a partir de datos muestrales,
efectúa estimaciones, decisiones, predicciones y otras generalizaciones sobre un
conjunto mayor de datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales para un
conjunto de datos más amplio a partir de la información proporcionada por los datos
estudiados.
Es el proceso de reunir datos obtenidos de una muestra para hacer estimaciones o
probar hipótesis acerca de las características de una población.
Estadística Descriptiva
Obtener datos o recopilación
Organizar y resumir
Presentar
Estadística Inferencial
Analizar
Interpretar
Llegar a conclusiones
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Uso de la Estadística en:
- Mercadeo.
- Investigación de mercado.
- Encuestas
- Combinación de productos y existencias.
- Publicidad.
- Gerencia de Operaciones.
- Pronósticos.
- Gestión de Calidad Total (TQM).
- Minimización de costos.
- Eliminación de desperdicios.
- Localización.
- Ruta critica.
- Productividad.
- Simulación.
- Teorías de colas.
- Finanzas
- Análisis financieros.
- Economía.
- Análisis económicos.
- Impuestos y Gastos públicos.
- Producción nacional.
- Inflación.
- Macroeconomía.
- Comercio internacional.
- Localización o Ubicación de Negocios.
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Conceptos Elementales de Estadística.
Población: Es la colección completa de todos los elementos (puntajes, personas,
mediciones, etc.) que se van a estudiar.
- Es una colección completa de todas las observaciones de interés para el
investigador.
Censo: Es la colección de datos de cada elemento de una población.
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio
porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad.
Parámetro: Es una medición numérica que describe alguna característica de una
población.
- Medida descriptiva de la población completa de observaciones que tienen interés
para el investigador.
Estadístico: Es una medición numérica que describe alguna característica de una
muestra.
Variable: Característica de la población que se analiza en el estudio estadístico.
- Característica observable de un aspecto discernible en un objeto de estudio que
puede adoptar diferentes valores o expresarse en varias categorías.
Clasificación de las variables.
Según el modo como se presentan estas características o propiedades las variables
se pueden clasificar de esta forma:
- Cualitativas o Cuantitativas
- Continuas o discontinuos (discretas)
- Dependientes o independientes
- Explicatorias o externas
- Generales, intermedias o empíricas
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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Variables cualitativas: Son aquellas variables cuyos elementos de variación tienen un
carácter cualitativo no susceptible de medición numérica, por ejemplo el sexo de los
estudiantes de estadística, el estado civil de los solicitantes de prestamos, preferencia
religiosa, etc.
Se pueden dividir en diferentes categorías que se distinguen por alguna
característica no numérica.
Una variable cualitativa se mide por medios no numéricos.
Los datos cualitativos emplean la escala de medición nominal o la ordinal y
pueden ser no numéricos o numéricos.
Si la variable es cualitativa, el análisis estadístico es bastante limitado. Podemos
resumir los datos cualitatitativos al contar el número de observaciones en cada categoría
cualitativa, o bien, al calcular la proporción de observaciones en cada categoría
cualitativa.
Variables cuantitativas: Son aquellas cuyas características o propiedades pueden
presentarse en diversos grados o intensidad y tienen un carácter numérico, como por
ejemplo nivel de ingresos, deserción escolar, las calificaciones que los estudiantes
reciben en el examen final, el número de kilómetros que recorren los que asisten a la
universidad, etc.
Según el número de valores que pueden tomar las variables cuantitativas se
distingue variables continuas y discontinuas.
Variables continuas: Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo
dado. Por muy próxima que puedan estar dos observaciones, si el instrumento de medida
tiene la precisión suficiente siempre puede haber una tercera observación que caiga entre
las dos primeras. Los valores de una variable continua proceden en general de
mediciones, por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son datos
continuos porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un
intervalo continuo.
Se pueden obtener de un número infinito de posibles valores que pueden asociarse
a puntos de una escala continua, de tal manera que no haya huecos ni interrupciones.
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Variables discontinuas o discretas: Son las que pueden tomar valores intermedios
entre otros dos valores dados, han de hacerlo siempre con valores enteros, por ejemplo el
número de alumnos de una escuela, los socios de una cooperativa, etc.
Se obtienen de un número finito de posibles valores o bien de un número de
posibles valores que pueden contarse.
Sólo puede tomar determinados valores, por lo general números enteros. Puede
ser resultado de la enumeración o del conteo. En ninguno de los casos se observaran
valores fraccionarios.
Consideradas conforme a la posición que une a las variables entre sí, se distingue entre
variables dependientes e independientes.
Variables dependientes (Y): Reciben este nombre las variables a explicar, o sea, el
objeto de la investigación, que se trata de explicar en función de otros elementos.
Variables independientes (X): Son las variables explicativas, o sea, los factores o
elementos susceptibles de explicar las variables dependientes (en un experimento son las
variables que se manipulan).
Variables explicatorias: Son las propiedades que interesan directamente al investigador
en términos de su modelo.
Variables externas: Son las que están fuera del interés teórico inmediato y que pueden
afectar los resultados de la investigación empírica.
Variables generales: Se refieren a realidades no inmediatamente medibles.
Variables intermedias o intervenientes: Expresan algunos aspectos parciales de las
variables generales, pero más concretos y cercanos a la realidad.
En algunos casos de análisis de relación causa-efecto, se introducen una o más
variables de enlace interpretativo entre las variables dependientes e independientes. Se
trata de variables vinculadas funcionalmente a la variable dependiente y a la variable
independiente y que producen un efecto en la relación existente entre esas variables.
Variables empíricas: Representan aspectos directamente medibles y observables.
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Clasificación de las Variables según el Nivel de Medición
Los datos se reúnen mediante una de las siguientes escala de medición: nominal,
ordinal, intervalo y de razón. La escala o nivel de medición permite determinar la
cantidad de información que contienen los datos e indica el resumen de los datos y el
análisis estadístico más apropiado.
La escala para medir una característica tiene implicaciones en la forma de
presentar y resumir la información; también determina el método estadístico escogido
para analizar los datos.
Nivel de medición nominal:
Se caracteriza por datos que consisten exclusivamente en nombres, rótulos o
categorías. Los datos no pueden acomodarse según un esquema de ordenamiento.
Nombres o clases que se utilizan para organizar los datos en categorías separadas
y distintas.
La escala de medició para una variable es nominal cuando los datos son etiquetas
o nombres que se emplean para identificar un atributo del elemento.
Ejemplos:
El sexo de los estudiantes de esta clase de estadística.
Las bebidas gaseosas refrescantes se pueden clasificar en: Coke, Pepsi, 7-Up o
Country Club.
La escala de medición es nominal aun cuando los datos son mostrados como
valores numéricos.
1. Coke
2. Pepsi
3. 7-Up
4. Country Club
El partido político al que pertenecen los miembros de las cámaras de senadores y
diputados del país.
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17
Los datos evaluados en escala nominal en ocasiones suelen llamarse observacones
cualitativas, porque describen una cualidad de la persona o casa estudiada, y
observaciones categóricas, si los valores caen en categorías. En general, los datos
nominales o cualitativos se describen en términos de porcentajes o proporciones. A
menudo se utilizan las tablas de contingencia y las gráficas de barras para mostrar este
tipo de información.
Nivel de medición ordinal.
La escala de medición para una variable es ordinal si los datos tienen propiedades
de datos nominales y el orden de los datos es significativa.
Mediciones que jerarquizan los datos en categorías, ordenadas en virtud de un
determinado criterio.
Implica datos que pueden acomodarse en algún orden, pero no es posible
determinar diferencias entre los valores de los datos, o tales diferencias carecen de
significado.
Los datos para una escala ordinal podrían ser no numéricos o numéricos.
Este nivel ordinal proporciona información sobre comparaciones relativas, pero
los grados de las diferencias no se pueden usar en cálculos.
Ejemplos:
Los productos de un determinado almacén pueden ser clasificados como
"buenos", "mejores" y "óptimos".
Un editor califica algunos manuscritos como "excelentes", otros como "buenos" y
algunos como "malos". (No podemos encontrar una diferencia cuantitativa especifica
entre "bueno" y "malo").
La Revista Money clasificación las inversiones a partir de los niveles de riesgos
"bajo", "alto" y "muy alto".
Nivel de medición de intervalos.
La escala de medición para una variable es una escala de intervalo si los datos
tienen las propiedades de datos ordinales y el intervalo entre observaciones se expresa
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17
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en términos de una unidad fija de medida.
numéricos.
Los datos de intervalos siempre son
Es como el nivel ordinal, con la propiedad adicional de que podemos determinar
magnitudes de diferencias entre los datos que tienen algún significado. Sin embargo, no
hay un punto de partida o cero inherente (natural) en el que la cantidad este totalmente
ausente.
Mediciones respecto de una escala numérica en la cual el valor del cero es
arbitrario, pero la diferencia de valores es importante.
La escala Fahrenheit de temperaturas es un ejemplo de escala de intervalos: 70
grados no sólo significan una temperatura mayor que 60 grados, sino que existe la
misma diferencia de 10 grados que entre 100 y 90 grados Fahrenheit.
Las temperaturas promedian anuales (en grados Celsius) de las capitales de todos
los estados de los Estados Unidos.
Los años 1000, 2000, 1776 y 1944.
Nivel de medición de proporción o de razón.
La Escala de medición para una variable es una escala de razón si los datos tienen
todas las propiedades de los datos de intervalos y el cociente de los dos valores es
significativa. Variables como distancia, peso, altura y tiempo emplean la escala de
razón. Un requisito de esta escala es que pede contener un valor cero que indica que no
existe nada para una variable en el punto cero.
Mediciones numéricas en las cuales el cero es un valor fijo en cualquier escala y
la diferencia de valores es importante.
Es el nivel de intervalo modificado para incluir el punto de partida o cero
inherente (donde cero indica que nada de la cantidad esta presente). Para los valores de
este nivel, tanto las diferencias como las razones tienen significado.
De los cuatro niveles de medición, sólo la escala de proporción o de razón se basa
en un sistema numérico en el cual el cero tiene sentido. Por consiguiente, las
operaciones aritméticas de multiplicación y división también adquieren una
interpretación racional.
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Mediciones tales como el peso, el tiempo y la distancia se miden en escala de
proporción, puesto que el cero ocupa un lugar natural.
Ejemplo:
Distancia (en kilómetros) recorridas por automóviles en una prueba de consumo
de combustible.
Longitudes (en minutos) de películas de cine.
Los valores de cada una estas colecciones de datos se pueden acomodar en orden,
las diferencias pueden calcularse y existe un punto de partida o cero inherente. Este
nivel se denomina "razón" porque el punto de partida hace que las razones o cocientes
tengan significado.
Nivel
Nominal
Ordinal
De Intervalo
De Razón
Resumen
Sólo categorías. Los
datos no pueden
acomodarse en un
esquema de
ordenamiento.
Las categorías están
ordenadas, pero no
es posible determinar
diferencias, o éstas
carecen de
significado.
Se pueden calcular
diferencias entre
valores, pero no
existe un punto de
partida inherente.
Los cocientes no
tienen significado.
Igual que el
intervalo, pero con
un punto de partida
inherente. Los
cocientes tienen
significado
Ejemplo
Observación
Autos de estudiantes: Sólo categorías o
10 Mercedes Benz
nombres
20 BMW
40 Toyota
Vehículos de los
estudiantes:
10 compactos
20 medianos
40 grandes
Se determina un
orden con
“compactos,
medianos y
grandes”.
Temperaturas:
45º C
80º C
90º C
90º no es dos veces
más caliente que 45º
C.
Pesos de deportistas
universitarios:
70 kg
85 kg
140 kg
140 kg es dos veces
70 kg.
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20
Estudio Experimental: En este estudio primero se identifican las variables de interés.
Luego se identifican o controlan una o más variables, de modo que se puedan obtener
datos de cómo influyen en la variable de interés. Por ejemplo, a una empresa
farmacéutica le puede interesar un experimento para determinar la forma en que una
nueva medicina afecta la presión sanguínea.
Es cuando aplicamos algún tratamiento y luego procedemos a observar su efecto
sobre los sujetos.
Estudio estadístico No Experimentales u Observasionales: No se trata de controlar
las variables de interés, ni de influir sobre ellas. Quizás el tipo más común de estudio
observasional es la encuesta. Por ejemplo, para una encuesta personal se identifican
primero las preguntas de investigación; a continuación se diseña un cuestionario y se
administra a una nuestra de individuos.
En este estudio observamos y medimos características especificas, pero no
intentamos manipular ni modificar los sujetos que estamos estudiando.
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio
porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad.
Muestra Aleatoria o Probabilística: Se seleccionan los miembros de la población de
modo que cada uno tenga la misma probabilidad de ser escogido.
Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con base en la
probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser elegido
como parte de la muestra.
Muestra Aleatoria Simple: Una muestra es seleccionada de modo que todos los
elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual
manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma posibilidad de ser elegidas. La
muestras aleatorias simples se obtienen por muestreo con reemplazo en una población
finita o por muestreo sin reemplazo en una población sin reemprazo.
Una muestra aleatoria simple de n sujetos se selecciona de tal manera que toda
posible muestra de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser escogida.
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21
Muestreo Estratificado: Subdividimos la población en por lo menos dos
subpoblaciones (o estratos) distintas que comparten categorías (como genero), y luego
sacamos una muestra de cada estrato.
Si los tamaños de muestra de los distintos estratos reflejan la población general,
decimos que tenemos un muestreo proporcional.
Muestra que se obtinen al estratificar el marco muestral y luego seleccionar un
número fijo de elementos de cada uno de los estratos pro promedio de una técnica de
muestreo aleatorio simple.
Muestreo Proporcional: Muestra que se obtinene al estratificar el marco muestral y
luego seleccionar de cada estrato un número de elementos en proporción al tamaño de
los estratos, por medio de una técnica de muestreo aleatorio simple.
Cuando se extrae una muestra aleatoria proporcional, el marco muestral se
subdivide en varios estratos y luego de cada estrato se extrae una submuestra. Una
forma conveniente de expresar el concepto de muestreo proporcional es establecer una
proporción. Por ejemplo, “uno de cada 150”, le induce a seleccionar un (1) elemento
por cada 150 elementos en el estrato.
Muestreo sistemático: Seleccionamos un punto inicial y luego seleccionamos cada késimo (digamos, cada quincuagésimo) elemento de la población.
La técnica sistemática es fácil de describir y ejecutar; no obstante, conlleva
algunos peligros cuando el marco muestral es repetitivo o de naturaleza cíclica. En estas
condiciones, puede que los resultados no se aproximen a una muestra aleatoria simple.
Muestreo por cúmulos o conglomerados: Muestreo que se obtiene al muestrear
algunas, pero no todas, las subdivisiones posibles que hay dentro de una población.
Estas subdivisiones, denominadas conglomerados, a menudo ocurren de manera natural
dentro de la población.
Primero dividimos el área de la población en secciones (o cúmulos) y luego
seleccionamos aleatoriamente unas cuantas de esas secciones escogiendo todos los
miembros de las secciones seleccionadas.
Una diferencia importante entre el muestreo por cúmulos y el estratificado es que
en el muestreo por cúmulos se usan todos los miembros de cúmulos seleccionados,
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21
22
mientras que en el muestreo estratificado se usa una muestra de miembros de cada
estrato.
Muestreo de conveniencia o de juicio: Simplemente utilizamos resultados que ya están
disponibles.
Las muestras son elegidas con base en el hecho de que son típicas.
Cuando se obtiene una muestra de juicio, la persona que elabora la muestra elige
unidades que considera representativas de la población. La validez de los resultados de
una muestra de juicio refleja la solidez del juicio del recolector de datos.
Error de muestreo: Es la diferencia entre el resultado de una muestra y el verdadero
resultado de la población; tal error es consecuencia de las fluctuaciones aleatorias de las
muestras.
Error de muestreo: Este error ocurre cuando los datos de una muestra se obtienen,
registran o analizan de forma incorrecta. Tal error es consecuencia de una equivocación
y no de una fluctuación aleatoria y predispuesta, cuando se usa un instrumento de
medición defectuoso, cuando se hacen preguntas predispuestas en una encuesta, cuando
mucha gente se niega a responder o cuando se cometen errores al copiar los datos de la
muestra.
Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la elección de unos determinados elementos de
la muestra en detrimento de otros.
Este análisis de las muestras conduce a distinguir entre las dos ramas principales
del análisis estadístico: 1) Estadística descriptiva o deductiva, y 2) Estadística inferencial
o inductiva.
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Tabla de Frecuencias y Gráficos Estadísticos
Herramientas estadísticas que resultan de particular utilidad para organizar los datos.
- Tabla de frecuencia es un resumen tabular de un conjunto datos donde se
muestra la frecuencia (o cantidad) del objeto de estudio en cada una de varias
clases.
270
278
250
278
290
274
242
269
257
272
265
263
234
270
273
270
277
294
279
268
230
268
278
268
262
273
201
275
260
286
272
284
282
278
268
263
273
282
285
289
268
208
292
275
279
276
242
285
273
268
258
264
281
262
278
265
241
267
295
283
281
209
276
273
263
218
271
289
223
217
225
283
292
270
262
204
265
271
273
283
275
276
282
270
256
268
259
272
269
270
251
208
290
220
259
282
277
282
256
293
254
223
263
274
262
263
200
272
268
206
280
287
257
284
279
252
280
215
281
291
276
285
287
297
290
228
274
277
286
277
251
278
277
286
277
289
269
267
276
206
284
269
284
268
291
289
293
277
280
274
282
230
275
236
295
289
283
261
262
252
283
277
204
286
270
278
270
283
272
281
288
248
266
256
292
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
- Gráficos que pueden proporcionar una representación visual de los datos.
Gráficos.
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HISTOGRAMA.
Consiste en una escala horizontal para valores de los datos que se están
representando, una escala vertical para las frecuencias, y barras que representan la
frecuencia de cada clase de valores.
El eje horizontal pueden ser colocadas las marcas de clase.
Coloca las clases de una distribución de frecuencia en el eje horizontal y las
frecuencias en el eje vertical.
60
52
50
38
40
FRECUENCIAS
32
30
20
10
14
9
3
5
4
4
214,5
224,5
234,5
244,5
14
0
204,5
254,5
264,5
274,5
284,5
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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294,5
26
HISTOGRAMA DE FRECUENCIA RELATIVA.
Tiene la misma forma y escala horizontal que un histograma, pero la escala
vertical se marcara con frecuencias relativas en lugar de frecuencias reales o absolutas.
0,297
0,217
0,183
0,080
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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26
4,
5
29
4,
5
28
4,
5
27
4,
5
26
4,
5
25
4,
5
24
4,
5
23
4,
5
22
21
20
0,080
0,017 0,029 0,023 0,023
4,
5
0,051
4,
5
FRECUENCIAS RELATIVAS
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
27
DIAGRAMA DE BARRAS.
Este puede mostrar cantidades o porcentajes para dos o más valores sobre el eje
vertical.
Es una forma de gráfica de representar datos cualitativos que se han resumido en
una distribución de frecuencias, de frecuencias relativas o porcentuales. Para los datos
cualitativos, las barras deben estar separadas par enfatizar el hecho de que cada clase
(categoría) es separada.
Relacion Ingresos/Costos
30000
20000
Ingresos
10000
Costos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Unidades Producidas y Vendidas
ANALISIS DE PUNTO DE
EQUILIBRIO
CANTIDAD COSTO PRECIO
UNIDADES UNITARIO
FIJO
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
COSTO COSTO PRECIO
VARIABL TOTAL UNITARI INGRESOS BENEFICI
E
O
O
600
8.100
130
1.300
-6.800
1.200
8.700
130
2.600
-6.100
1.800
9.300
130
3.900
-5.400
2.400
9.900
130
5.200
-4.700
3.000
10.500
130
6.500
-4.000
3.600
11.100
130
7.800
-3.300
4.200
11.700
130
9.100
-2.600
4.800
12.300
130
10.400
-1.900
5.400
12.900
130
11.700
-1.200
6.000
13.500
130
13.000
-500
6.600
14.100
130
14.300
200
7.200
14.700
130
15.600
900
7.800
15.300
130
16.900
1.600
8.400
15.900
130
18.200
2.300
9.000
16.500
130
19.500
3.000
9.600
17.100
130
20.800
3.700
10.200
17.700
130
22.100
4.400
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
27
28
180
190
200
60
60
60
7.500
7.500
7.500
10.800
11.400
12.000
18.300
18.900
19.500
130
130
130
23.400
24.700
26.000
5.100
5.800
6.500
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS.
En una grafica de tallo y hojas ordenamos los datos según un patrón que revela la
distribución subyacente. Dicho patrón implica separar un numero (como 257) en dos
partes, por lo regular el primer digito o los dos primeros (25) y los demás dígitos (7). El
tallo consiste en los dígitos de la izquierda (en este caso 25) y las hojas consisten en los
dígitos de la derecha (en este caso 7).
DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1
0
5
0
0
1
0
0
0
0
0
2
1
7
3
0
2
1
1
0
0
0
3
4
8
3
4
2
1
2
0
0
0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
4 6 6 8 8 9
5
6
8
2
2
0
1
1
8
2
2
0
1
1
4
2
0
1
2
6
2
0
1
2
6
3
0
2
2
6
3
1
2
3
7
3
1
2
3
7
3
2
2
4
8
3
2
2
5
9
4
2
2
5
9
5 5 5 6 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9
2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 9 9 9 9 9
7
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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28
29
POLIGONOS DE FRECUENCIA Y POLIGONO DE PORCENTAJE.
El proceso de construcción de un polígono de frecuencias es similar al del
histograma excepto que sólo un punto sobre el punto medio de cada intervalo se utiliza
para indicar la frecuencia y los puntos adyacentes se conectan mediante segmentos de
líneas.
FRECUENCIAS
60
50
40
30
20
10
0
52
38
32
9
14
3
5
4
14
4
204,5 214,5 224,5 234,5 244,5 254,5 264,5 274,5 284,5 294,5
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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29
30
GRAFICA DE SERIES DE TIEMPO.
Es una grafica de línea en la que la línea base representa el tiempo.
ESTUDIANTES MATRICULADOS EN EL NIVEL
SUPERIOR, POR INSTITUCION.
INSTITUCIÓ
N
AÑO DE
FUNDACIO
N
UASD
PUCMM
UNPHU
INTEC
UNIBE
1994
AÑOS
1995
1996
1997
1538
41.139
51.432
62.058
81.753
8.560
8.816
9.081
9.438
6.124
6.171
6.220
6.044
3.074
2.369
2.335
2.803
1.747
1.665
1.910
1.947
1962
1967
1974
1982
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30
31
ESTUDIANTES MATRICULADOS EN
EL NIVEL SUPERIOR
90.000
80.000
70.000
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
-
UASD
PUCMM
UNPHU
INTEC
UNIBE
1994
1995
1996
1997
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31
32
CURVA DE OJIVA.
FRECUENCIAS
ACUMULADAS
1,2000
1,0000
0,8000
0,6000
0,4000
0,2000
0,0000
0,9200
0,7029
0,4057
0,0514
0,0686
0,0971
0,1200
0,1429
0,2229
204,5 214,5 224,5 234,5 244,5 254,5 264,5 274,5 284,5 29
MARCAS DE CLASES
Es una gráfica de una distribución acumulada. Los valores de los datos están en el
eje horizontal y las frecuencias acumuladas, frecuencias relativas acumuladas se
muestran en el eje vertical.
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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33
DIAGRAMA DE PARETO.
Es una grafica de barras en la que las barras se acomodan en orden según la
frecuencia. Al igual que los histogramas, las escalas verticales de los diagramas de
Pareto pueden representar frecuencias o frecuencias relativas.
En este la barra mas alta queda a la izquierda, y la más pequeña a la derecha.
Paises o territorios con mayor
numero de inmigrantes
25.000.000
20.000.000
15.000.000
10.000.000
Italia
Argentina
Hong Kong
Costa Avorio
Iran
Reino Unido
Arabia Saudita
Canada
Alemania
Francia
0
Estados Unidos
5.000.000
Países o territorios con el mayor numero de
inmigrantes
Datos del 1990
País o territorio Numero
de
Inmigrant
es
Estados Unidos 19.602.72
5
Francia
5.897.370
Alemania
5.037.072
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33
34
Canadá
Arabia Saudita
Reino Unido
Irán
Costa Avorio
Hong Kong
Argentina
Italia
4.265.626
4.037.518
3.718.295
3.587.697
3.440.419
2.271.226
1.675.033
1.549.259
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34
35
DIAGRAMA CIRCULAR, DE SECTORES O TORTAS.
Es de especial utilidad para mostrar proporciones (porcentajes) relativas de una
variable. Se utiliza para representar variables cualitativas.
Por ejemplo si una determinada categoría representa el 57.8% del total de los
datos u observaciones, el ángulo central deberá ser de 0.578 x 360º = 208º.
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
8%
5%
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
3%
2%
200 - 209
2%
2%
8%
22%
FREC. MARCA
210 - 219
220 - 229
230 - 239
240 - 249
250 - 259
260 - 269
18%
270 - 279
280 - 289
30%
290 - 299
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35
36
PICTOGRAMA.
Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las
modalidades de la variable. Estos gráficos se hacen representado en diferentes escalas
un mismo dibujo.
La escala de los dibujos debe ser tal que el area de cada uno de ellos sea
proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa. Se utiliza para representar
variables cualitativas.
DIAGRAMA DE DISPERSION O DISPERSIOGRAMA.
Hay ocasiones en que tenemos datos apareados de manera que se establece una
correspondencia entre cada valor de un conjunto de datos y un valor de un segundo
conjunto de datos.
Un diagrama de dispersión es una grafica de los datos (x,y) apareados con un eje
"x" horizontal y un eje "y" vertical.
En un diagrama de dispersión cada marca (punto o raya) representa la intersección
de dos valores - hay una marca para cada par de observaciones de los temas. El
propósito principal de la grafica es mostrar de manera grafica la relación entre dos. La
relación no es lineal sino curvilínea.
CAMPAÑA PUBLICITARIA PARA
VENTAS DE PASAJES AEREOS
Y
X
Y
OBSERVACI VENTAS PUBLICIDA 4.38625+1.08132
S.
D
X
MES
EN
EN MILES
MILES
1
15
10
15,20
2
17
12
17,36
3
13
8
13,04
4
23
17
22,77
5
16
10
15,20
6
21
15
20,61
7
14
10
15,20
8
20
14
19,52
9
24
19
24,93
10
17
10
15,20
11
16
11
16,28
12
18
13
18,44
13
23
16
21,69
14
15
10
15,20
15
16
12
17,36
TOTALES
268
187
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36
37
Pasajes Aereos vendidos en base a la publicidad
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
Pasajes Aereos
0
5
10
15
20
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37
38
Medidas de Tendencias Central
Una medida de tendencia central es un valor que está en el centro o punto medio
de un conjunto de datos.
Es una medida que ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los
datos.
Es un valor númerico que localiza, de alguna manera el centro de un conjunto de
datos.
La Media Aritmética
La Media Aritmética o Promedio de un conjunto de puntajes es el valor que se obtiene
sumando los puntajes y dividiendo el total entre el numero de puntajes.
La media es el punto que menos dista de todas las observaciones. Por esta razón a
veces se le considera como el centro de gravedad de los datos.
La media es un una medida más confiable que la mediana y la moda, porque tiene
un menor error de muestreo. Además la media también tiene más facilidad para un
tratamiento estadístico posterior que la mediana o la moda.
Es una medida que toma en consideración todos los valores de la distribución.
Esto es positivo, pero por la misma razón es muy sensible a la presentación de
observaciones extremas que hacen que la media se desplace hacia ellas. En
consecuencia no es recomendable usar la media como medida de tendencia central en
estos casos, pues la cantidad obenida no es representativa del total de los datos.
Tiene la ventaja de que es la única y siempre se puede calcular. Pero cuando se
trabaja con datos agrupados, la división en intervalos influye en el valor resultatne de la
media.
La media es el estadístico de centralización más utilizado para realizar inferencias
debido a una buena propiedad matemática que posee: es el centro de gravedad de la
distribución. Depende de todas y cada una de las observaciones.
El valor de la media puede no coincidir con uno de los valores de la variable. Si
consideramos una variable discreta, por ejemplo, “número de hijos en las familias de un
barrio” el valor de la media puede resultar x’=2.5 hijos, que no pertenece al conjunto de
valores de la variable.
La media es el promedio más utilizado.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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38
39
Para datos no agrupados:
Media Poblacional  = Xi/N =(X1 + X2 + X3...XN)/N
Media Muestral  = Xi/n=(X1 + X2 + X3...XN)/n
Para datos agrupados:
Media  = *M/n=M/=(1*M1+2*M2+...n*Mn)/
La Mediana o Media Posicional
La Mediana o Media Posicional de un conjunto de puntajes es el valor que esta en
medio, cuando los puntajes se acomodan en orden de magnitud creciente (o decreciente).
La mediana deja a un lado y al otro lado de la distribución el mismo número de
observaciones.
Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las
observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la varible, sino del
orden de los mismos. Por ello, es adecuado su uso en distribuciones que presentan
observaciones extremadamente grandes o pequeñas.
La mediana es la medida de localización que se utiliza con más frecuencia para
datos de ingreso anual y valores catastrales, pues con unos pocos ingreos o con
propieades extremadamente grandes se puede inflar la media. En esos casos, la mediana
es una mejor medida de la tendencia central.
La mediana es el valor de la variable que deja por encima y por debajo la misma
cantidad de datos (una vesz que éstos han sido ordenados de menor a mayor). Al
contrario de la media, en su cálculo no interviene más que el valor (o valores centrales).
Esta particularidad ofrece:
Ventajas: No se ve afectada por la aparición de observaciones anómalas. Por ello,
en tales casos la podemos considerar como una medida más representativa de la mayor
parte de los datos que la media.
Inconvenientes: No utiliza toda la información de los datos (sólo los valores
centrales).
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39
40
Para datos no agrupados:
Posición de la Mediana = (n + 1)/2
1.- Si el numero de puntajes es impar, la mediana es el numero que esta situado
exactamente a la mitad de la lista.
2.- Si el numero de puntaje es par, la mediana se obtiene calculando la media de los dos
números que están a la mitad.
Para datos agrupados:
Me = LImd + [(n/2 - F)/fmd] (C)
md = clase mediana
Clase Mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor que o igual a n/2.
LImd = limite inferior de la clase de la mediana.
F = frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase de la mediana.
fmd = es la frecuencia de la clase de la mediana.
C = Es la anchura de la clase (es la diferencia
entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
La Moda
La Moda de un conjunto de datos es el puntaje que ocurre con mas frecuencia.
La observación modal es la observación que ocurre con mayor frecuencia.
Es el punto donde donde se concentra el mayor número de observaciones.
Se puede calcular para todo tipo de variables, incluidas las cualitativas.
Puede no ser única. Cuando hay dos o más modas hablamos de distribuciones
bimodales o plurimodales respectivamente.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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40
41
Para datos no agrupados:
Mo = Mayor Frecuencia
Para datos agrupados:
Mo = LImo + [1/(2+1)]*(C)
mo = clase modal
Clase Modal es la clase que tiene la mayor frecuencia.
LImo = limite inferior de la clase modal
1 = diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y la clase que la antecede.
2 = diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y la clase que le sigue.
C = Es la anchura de la clase (es la diferencia
entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
La Mediana Ponderada
Media Ponderada: Media de una colección de puntajes a los que se asignado
diferentes grados de importancia.
Media Ponderada w = (X*W)/W
W = es el peso o ponderación asignada a cada
Observación.
La Media Geométrica
Media Geométrica puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una serie
de números positivos.
La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio porcentual
promedio en una serie de números.
MG = X1*X2*X3*...Xn
La media geométrica se utiliza con mas frecuencia para calcular la tasa de crecimiento
porcentual promedio de algunas series dadas, a través del tiempo.
TAREA: RELACION ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
OBSERVACIONES PARA EL USO DE LAS MISMAS.
Observaciones:
1. La media se usa para datos numéricos y distribuciones simétricas (no sesgadas o
cargadas).
2. La mediana se utiliza para datos ordinales o para datos numéricos si la
distribución está cargada o sesgada.
3. La moda se utiliza principalmente para distribuciones bimodales.
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41
42
MEDIA ARITMETICA:
Para datos no agrupados:
Media Poblacional  = Xi/N =(X1 + X2 + X3...XN)/N
Media Muestral  = Xi/n=(X1 + X2 + X3...XN)/n
Para datos agrupados:
Media  = *M/n=M/=(1*M1+2*M2+...n*Mn)/
MEDIANA
Para datos no agrupados:
Posición de la Mediana = (n + 1)/2
Para datos agrupados:
Me = LImd + [(n/2 - F)/fmd] (C)
md = clase mediana
Clase Mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor que o igual a n/2.
LImd = limite inferior de la clase de la mediana.
F = frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase de la mediana.
fmd = es la frecuencia de la clase de la mediana.
C = Es la anchura de la clase (es la diferencia
entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
MODA
Para datos no agrupados:
Mo = Mayor Frecuencia
Para datos agrupados:
Mo = LImo + [1/(2+1)]*(C)
mo = clase modal
Clase Modal es la clase que tiene la mayor frecuencia.
LImo = limite inferior de la clase modal
1 = diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y la clase que la antecede.
2 = diferencia entre la frecuencia de la clase
modal y la clase que le sigue.
C = Es la anchura de la clase (es la diferencia
entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
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MEDIDAS DE DISPERSION O VARIABILIDAD.
Las medidas de dispersión miden que tanto se dispersan las observaciones
alrededor de su media. El propósito de estas es cuantificar el grado de variación entre el
conjunto de valores de una distribución.
La variabilidad se refiere a que tan grandes son las diferencias entre los valores
evaluados.
EL RANGO O RECORRIDO (INTERVALO).
Es la medida de dispersión más simple y menos útil. Esta se obtiene de la
diferencia entre la observación más alta y la mas baja.
Re = X máx – X mín
VALORES DE DESVIACION.
Para la variabilidad, se consideran las diferencias entre la media y cada valor.
Estas diferencias se llaman valores de desviación.
Valores de desviación = X-
_
Valores de desviación = X-X
VARIANZA.
Es el promedio de las observaciones respecto a su media elevadas al cuadrado.
Es la media de la diferencia cuadráticas de N puntuaciones en relación a su media
aritmética.
La varianza es útil para comparar la dispersión, o variabilidad, de dos conjuntos
de tatos. Al comparar conjuntos de datos, el que tiene mayor varianza tiene mayor
dispersión o variabilidad.
La Varianza para una Población (² = suma de cuadrados).
²=[(Xi-)²]/N
²  0
Procedimiento para calcular La Varianza para una Población (² = suma de
cuadrados)
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1. Encuentre la desviación de cada valor de la media: Valores de desviación = X
2. Eleve al cuadrado cada valor de desviación: (Xi-)²
3. Realice la sumatoria de cada valor de desviación elevado al cuadrado: (Xi-
)²
4. Encuentre la varianza dividiendo la sumatoria anterior entre N (totalidad de las
observaciones).
La Varianza para una muestra de datos no agrupados (s²).
s²=[(Xi-X)²]/n-1
La Varianza de la muestra de datos agrupados (s²).
s²=[M²-nX²]/n-1
LA DESVIACION ESTANDAR.
Es la raíz cuadrada de la varianza. Es una medida importante de la dispersión de
los datos.
Esta regresa a la medición de los valores originales, así tiene mas valor
descriptivo directo.
La desviación estándar es más útil para describir la variabilidad de un conjunto de
datos que la varianza. La desviación estándar lleva las mismas unidades que los valores
originales.
La Desviación Estándar para una población.
=²
La Desviación Estándar para una muestra.
s=s²
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45
La Desviación Media o Absoluta.
Se define como el promedio de la suma de las diferencias en valor absoluto de los
valores de la variable con respecto a la media.
Desviación media= |Xi-X|/n
Coeficiente de Variación.
Este sirve como medida relativa de dispersión. Determina el grado de dispersión
de un conjunto de datos relativo a su media.
CV = s/X(100)
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46
Los Cuantiles.
Cuando los valores ordenados de una variable han de ser divididos en grupos
homogéneos en cuanto al tamaño, se suelen utilizar los cuantiles.
Entre los cuantiles más utilizados se encuentran:
Los cuartiles Q
Los deciles D
Los percentiles P
Cuartiles.
Así como la mediana divide los datos en dos partes iguales, los tres cuartiles,
denotados por Q1, Q2 y Q3, dividen los puntajes clasificados en cuatro partes iguales.
(Los puntajes se clasifican cuando se acomodan en orden). A grandes rasgos:
Q1 separa el 25% inferior de los puntajes clasificados del 75% superior;
- al menos el 25% de los datos es <= Q1
- al menos el 75% de los datos es >= Q1
- N/4 = 25
- Q1 = P25
Q2 es la mediana;
- 2N/4 = 50
- Q2 = P50
Q3 separa el 25% superior del 75% inferior
- al menos el 75% de los datos es <= Q3
- al menos el 25% de los datos es >= Q3
- 3N/4 = 75
- Q3 = P75
Los Deciles.
Hay nueve deciles, denotados por D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, que
dividen los datos en 10 grupos con aproximadamente el 10% de los datos en cada
grupo.
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47
El primer decil es la observación debajo de la cual se encuentra el 10% de las
observaciones, mientras que el 90% restante se encuentra encima de este.
- al menos el 10% de los datos es <= D1
- al menos el 90% de los datos es >= D1
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
:
.
D9 = P90
Los Percentiles.
Hay 99 percentiles (P1, P2, P3 ... P99), que dividen los datos en 100 grupos con
aproximadamente el 1% de los puntajes en cada grupo.
- al menos el 1% de los datos es <= P1
- al menos el 99% de los datos es >= P1
Ubicación de un Percentil.
Lp = (n + 1) (P/100)
Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenada.
n es el numero de observaciones
P es el percentil deseado
Percentil de un puntaje.
Percentil del puntaje x = numero de puntajes menores que x . 100
numero total de puntajes
Otras Medidas de Tendencia Central con los Cuantiles.
intervalo intercuartiles = Q3 - Q1
intervalo semiintercuartiles = Q3 - Q1
(desviación del cuartil)
2
cuartil medio = Q3 + Q1
2
intervalo de percentiles 10-90 = P90 - P10
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Los cuartiles (Q) para datos agrupados
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
Q1 = LI + N/4 – Fi-1 * C
fi
N/4 = 43.75; primera Fi > N/4 = 71
Q1 = 260 + 43.75 – 39 * (10) = 261.48
32
Q2 = LI + 2N/4 – Fi-1 * C
fi
2N/ 4 = 87.50; primera Fi > 2N/4 = 123
Q2 = 270 + 87.50 – 71 * (10) = 273.17
52
Q3 = LI + 3N/4 – Fi-1 * C
fi
3N/4 = 131.25; primera Fi > 3N/4 = 161
Q3 = 280 + 131.25 – 123 * (10) = 282.17
38
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CUARTILES
DECILES
PERCENTILES
Q1
VALOR QUE OCUPA N/4
Q2
VALOR QUE OCUPA 2N/4
Q3
VALOR QUE OCUPA 3N/4
D1
VALOR QUE OCUPA N/10
D2
VALOR QUE OCUPA 2N/10
D9
VALOR QUE OCUPA 9N/10
P1
VALOR QUE OCUPA N/100
P2
VALOR QUE OCUPA 2N/100
P99
VALOR QUE OCUPA 99N/100
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Usos frecuentes de la desviación estándar.
Teorema de Chebyshev (matemático ruso P.L. Chebyshev 1821-1894)
La proporción (o fracción) de cualquier conjunto de datos que queda a menos de
K desviaciones estándar de la media siempre es al menos 1 - 1/K², donde K es cualquier
numero positivo mayor que 1. Para K = 2 y K = 3, obtenemos los dos resultados
específicos siguientes:
- Al menos 3/4 (o el 75%) de todos los puntajes quedan a menos de 2 desviaciones
estándar de la media (x-2s a x+2s).
- Al menos 8/9 (o el 89%) de todos los puntajes quedan a menos de 3 desviaciones
estándar de la media (x-3s a x+3s).
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51
La distribución normal (o gaussiana) y la regla empírica.
La distribución normal es una distribución de datos continuos(*) (no discretos)
que produce una curva simétrica en forma de campana.
La distribución gaussiana fue presentada por Karl Friedrich Gauss (1777-1855) en
el 1812.
La campana de Gauss o curva de distribución normal, curva de probabilidad
normal; se caracteriza por:
- Es unimodal.
- Es simétrica (la simetría es perfecta).
- La mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen especular
de su mitad derecha.
- La asimetría de la distribución es cero.
- Las colas de la curva se aproximan mas, pero nunca tocan, el eje horizontal.
- La media, la mediana y la moda son iguales.
- La mitad de las observaciones esta por encima de la media y la mitad esta por
debajo.
- Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se
aplanara y se esparcirá.
(*) Variables continuas:
Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Por muy
próxima que puedan estar dos observaciones, si el instrumento de medida tiene la
precisión suficiente siempre puede haber una tercera observación que caiga entre las
dos primeras. Los valores de una variable continua proceden en general de mediciones,
por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son datos continuos porque
son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo continuo.
Se pueden obtener de un numero infinito de posibles valores que pueden
asociarse a puntos de una escala continua, de tal manera que no haya huecos ni
interrupciones.
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52
La Regla Empírica o Regla 68-95-99.
Esta regla solo aplica a un conjunto de datos cuya distribución tiene
aproximadamente forma de campana. Esta afirma que:
- Cerca del 68% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de una
desviación estándar de la media.
- Cerca del 95% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de dos
desviaciones estándar de la media.
- Cerca del 99.7% de todos los puntajes u observaciones que a menos de tres
desviaciones estándar de la media.
Distribuciones de Datos Sesgadas.
Una distribución de datos esta sesgada, si no es simétrica y se extiende mas hacia
un lado que hacia otro.
Sesgo describe la falta de simetría en una distribución.
Los datos sesgados a la izquierda se dice que tienen sesgo negativo; la media y la
mediana están a la izquierda de la moda. Generalmente tiene la media a la izquierda de
la mediana.
Sesgo negativo describe distribuciones asimétricas en la que la mediana excede a
la media; la cola de la distribución es hacia los valores bajos.
Los datos sesgados a la derecha se dice que tienen sesgo positivo; la media y la
mediana están a la derecha de la moda.
Sesgo positivo describe distribuciones asimétricas en las que la media excede la
mediana; los valores se alargan hacia los valores altos.
En ambos casos, la moda es por definición la observación que ocurre con mayor
frecuencia, por tanto esta en el pico de la distribución.
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Observaciones:
1. Si la media y la mediana son iguales, la distribución de los resultados suele ser
simetrica.
2. Si la media es mayor que la mediana, la distribución se carga a la derecha.
3. Si la media es menor que la mediana, la distribución se carga a la izquierda.
Coeficiente de Sesgo de Pearson.
P = 3 (Media - Mediana)
s
Si P < 0, los datos están sesgados a la izquierda.
Si P > 0, los datos están sesgados a la derecha.
Si P = 0, los datos están distribuidos normalmente.
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Ejercicios Propuestos. Calcule los modelos de tendencia central, represente
gráficamente cada situación e interprete los resultados.
Caso I.
El precio que acostumbran a pagar 500 usuarias de un determinado producto aparece en
la siguiente tabla:
NUMERO DE
PRECIOS
PRECIOS
USUARIAS
5.05
10.05
38
10.05
15.05
167
15.05
20.05
143
20.05
25.05
92
25.05
30.05
37
30.05
35.05
17
35.05
40.05
6
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es el precio más representativo?
3. ¿Cuál es el precio que representa al sector socioeconómico que está equidistante de los sectores
extremos?
4. ¿Cuál fue el precio que más pagaron estas usuarias?
5. Grafique un diagrama circular.
6. Grafique un Histograma.
Caso II.
Se considera la distribución de los ingresos mensuales de una muestra de directores de
enseñanza básica, según muestra la siguiente tabla:
NUMERO DE
INGRESOS
DIRECTORES
7,000.00
7,999.00
6
8,000.00
8,999.00
6
9,000.00
9,999.00
10
10,000.00
10,999.00
18
11,000.00
11,999.00
30
12,000.00
12,999.00
25
13,000.00
13,999.00
40
14,000.00
14,999.00
80
15,000.00
15,999.00
15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Construya una tabla de frecuencia.
¿Cuál es el ingreso más representativo de estos directores?
¿Cuál es el ingreso que representa a los directores están equidistantes de los extremos?
¿Cuál es el ingreso que más recibieron los directores?
Grafique una curva de ojiva.
Grafique un Polígono de frecuencia.
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55
Caso III.
Una organización está por revisar el monto que los estudiantes invierten en textos cada
semestre. Cincuenta estudiantes reportaron las cantidades aproximadas en dólares:
DOLARES
NUMERO DE
INVERTIDOS
ESTUDIANTES
100
124
8
125
149
11
150
174
8
175
199
6
200
224
10
225
249
6
250
274
1
TOTALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
50
Construya una tabla de frecuencia.
¿Cuál es la cantidad de dinero invertida que más representa a todos los estudiantes?
¿Cuál es la inversión más común entre los estudiantes?
¿Cuál sería la cantidad que representa la mitad de la inversión de todos los estudiantes?
Grafique un diagrama circular.
Grafique un Histograma.
Grafique una curva de ojiva.
Caso IV.
Un analista de la Secretaría de Estado de Trabajo está evaluando los sueldos de los empleados
dominicanos para recomendar un reajuste salarial. Para esto tomo una muestra de 140 empleados, en
base a la siguiente tabla:
SUELDOS
USA$
USA$
305
609
65
610
914
30
915
1,219
22
1,220
1,524
10
1,525
1,829
5
1,830
2,134
3
2,135
2,439
2
2,440
2,744
2
2,745
3,049
1
TOTALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
EMPLEADOS
140
Construya una tabla de frecuencia.
¿Cuál es el sueldo más representativo de estos empleados?
¿Cuál es el sueldo que representa la mitad?
¿Cuál es el sueldo más común?
Grafique una curva de ojiva.
Grafique un Polígono de frecuencia.
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55
56
7. Usando el coeficiente de sesgo de Pearson determine si está sesgada.
8. ¿Cómo está sesgada? ¿Por qué?
9. ¿Es simétrica? ¿Por qué?
10. ¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
Caso V.
Un estudiante de quinto semestre de administración de empresas está cursando 5
asignaturas, y estos estiman obtener las siguientes calificaciones:
ASIGNATURA
NOTA
LETRA
CREDITOS
CONTABILIDAD DE COSTOS
80
B=3
5
INTR. AL DERECHO LAVORAL
90
A=4
3
METODOS CUANTITATIVOS
85
B=3
4
METODOG. DE LA INVESTIGACION
95
A=4
3
MERCADEO II
90
A=4
3
Determine cuál será el índice académico del semestre.
Caso VI.
Un fabricante de circuitos eléctricos ha producido el siguiente número de unidades en
los siguientes años:
1995
1996
1997
1998
1999
12,500
13,250
14,310
15,741
17,630
1. Calcule el incremento porcentual de cada año con relación al anterior.
2. Determine la media tomando en consideración los incrementos porcentuales.
Caso VII.
Un inversionista extranjero está interesado en ingresar en algún sector económico de la
República Dominicana, para ello seleccionó 4 sectores y así evaluar su comportamiento.
Este se basó en los datos del Banco Central de la R. D. según el informe de la economía
dominicana ene-dic 1999 del producto interno bruto (PIB) durante los años 1995-1999.
Estos sectores crecieron de la siguiente manera:
SECTORES
1995
1996
1997
1998
1999
MANUFACTURA
839.4
866.4
929.9
987.5
1053.6
COMERCIO
554.8
603.9
661.9
733.4
800.1
COMUNICACIONES
159.7
185.7
221.5
267
308.7
HOTELES, BARES Y REST.
259.4
292.6
343.6
359.7
395.6
1. Tomando como base la tasa de crecimiento porcentual promedio de cada sector,
¿en cuál sector usted le recomendaría invertir?
2. Haga un diagrama de serie de tiempo que represente simultáneamente todos los
sectores.
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57
Caso VIII.
Calcule la desviación estándar de los siguientes tiempos de espera (en minutos) de los
clientes del Banco BHD, basados en una muestra. Calcule la Mediana y la Moda.
6.5
6.6
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
Caso IX.
Se utilizan dos procesos para producir discos de computadoras, pero han surgido
problemas respecto a la variación en los tamaños de tales discos. Con base en los datos
de muestra aquí presentados de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso.
Explique en cuál proceso aconsejaría usted si su objetivo es minimizar la desviación en
el tamaño de los discos.
PROCESO I
PROCESO II
3.41
3.22
3.81
3.26
3.74
3.06
3.26
3.79
3.89
3.65
3.07
3.14
3.65
3.33
3.35
3.51
Caso X.
Los salarios en miles de dólares de los directores ejecutivos de las mejores
corporaciones de los Estados Unidos de América reportados por la edición de la revista
Forbes de la edición del 24 de mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de
frecuencias:
SALARIOS
DIRECTORES
(EN MILES DE US$) EJECUTIVOS
90
439
6
440
789
8
790 1,139
10
1,140 1,489
12
1,490 1,839
10
1,840 2,189
8
2,190 2,539
6
TOTALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Haga un Histograma.
¿Cuál es el salario más común de los directores ejecutivos?
Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
Determine si está sesgada.
¿Cuál es el salario que está equidistante de los dos extremos?
¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
Represente gráficamente si es normal o el sesgo.
Compruebe si se cumple la regla empírica.
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58
Caso XI.
Un inversionista extranjero está interesado en ingresar en algún sector económico de la República
Dominicana, para ello seleccionó 5 sectores y así evaluar su comportamiento. Este se basó en los datos
del Banco Central de la R. D. según el informe de la economía dominicana ene-dic 2002 del producto
interno bruto (PIB) durante los años 1996-2002. Estos sectores crecieron de la siguiente manera:
BANCO CENTRAL DE LA REPUBLICA DOMINICANA
Departamento de Cuentas Nacionales y Estadísticas Económicas
PRODUCTO INTERNO BRUTO POR SECTORES DE ORIGEN 1996-2002
Millones de RD$
Sectores
CONSTRUCCIÓN
COMERCIO
COMUNICACIONES
ELECTRICIDAD
FINANZAS
1996 1997 1998
702.1
603.9 664.2 743.3
185.7 221.5 266.7
106.0 120.7
228.8 236.2 245.7
TASAS DE CRECIMIENTO (%)
SECTORES
CONSTRUCCIÓN
COMERCIO
COMUNICACIONES
ELECTRICIDAD
FINANZAS
1999
826.2
805.7
308.3
130.5
256.0
2000 2001* 2002*
872.8
876.9 904.9
875.8
885.0 915.1
355.7 442.0 518.9
139.5
165.1 178.0
264.4
271.9 279.7
97/ 96 98/97 99/98 00/99 01/00* 02/01*
17.7
5.6
0.5
3.2
10.0 11.9
8.4
8.7
1.1
3.4
19.3 20.4 15.6 15.4
24.2
17.4
13.8
8.1
7.0
18.3
7.8
3.2
4.0
4.2
3.2
2.8
2.9
1. Tomando como base la tasa de crecimiento porcentual promedio de cada sector,
¿en cuáles sectores usted le recomendaría invertir?
2. Haga un diagrama de serie de tiempo que represente simultáneamente todos los
sectores.
Caso XII.
Un analista de la Secretaría de Estado de Trabajo está evaluando los sueldos de los empleados
dominicanos en la rama “Industrias y Manufactureras” para recomendar un reajuste salarial. Para esto
tomo una muestra de 464 empleados, en base a la siguiente tabla:
Ingresos por rama de actividad económica según el Banco Central
Fuente: Encuesta Nacional de Fuerza de Trabajo, Abril 2002.
Ingresos por Hora
(RD$)
Empleados
6
9
18
10
13
35
14
17
60
18
21
61
22
25
64
26
29
53
30
33
48
34
37
49
38
41
36
42
45
40
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58
59
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Construya una tabla de frecuencia.
¿Cuál es el sueldo más representativo de estos empleados?
¿Cuál es el sueldo que representa la mitad?
¿Cuál es el sueldo más común?
Grafique un Polígono de frecuencia
Usando el coeficiente de sesgo de Pearson determine si está sesgada.
¿Cómo está sesgada? ¿Por qué?
¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga 5 razones.
Caso XIII.
El informe Nielsen sobre Tecnología Domestica (20 de febrero de 1996) describió las
tecnologías caseras y su empleo por parte de personas de 12 años o más. Los datos
siguientes son las horas de empleo de computadoras personales durante una semana,
para una muestra de 50 personas.
4.1
3.1
4.1
10.8
7.2
1.5
4.8
4.1
2.8
6.1
10.4
2.0
8.8
9.5
5.7
5.9
14.8
5.6
12.9
5.9
3.4
5.4
4.3
12.1
4.7
5.7
4.2
3.3
0.7
3.9
1.6
3.9
7.1
4.0
3.7
6.1
4.1
10.3
9.2
3.1
3.0
11.1
6.2
4.4
6.1
3.7
3.5
7.6
5.7
3.1
Resuma estos datos formando:
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias, empleando anchura de clase
igual a 3 horas.
b. Un histograma.
c. Una Ojiva.
d. Un diagrama circular.
e. Un Polígono de Frecuencia.
f. Haga comentarios acerca de lo que indican los datos respecto al uso de
computadoras en el hogar.
g. ¿Cuál es el tiempo más empleado?
h. ¿Qué tiempo está a la mitad?
i. ¿Cuál es el más representativo de los tiempos?
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60
Caso XIV.
Los sueldos de los dominicanos expresados en dólares USA$ oscilan dentro de la
siguiente distribución de valores:
105
145
185
225
265
1.
2.
3.
4.
5.
6.
305
345
385
425
465
505
545
585
625
665
705 905 1,105
745 945 1,145
785 985 1,185
825 1,025 1,225
865 1,065 1,265
1,305
1,345
1,385
1,425
1,465
1,505
1,545
1,585
1,625
1,665
1,705
1,745
1,785
1,825
1,865
1,905
1,945
1,985
2,025
2,065
2,105
2,145
2,185
2,225
2,265
2,305
2,345
2,385
2,425
2,465
Determine los cuartiles Q1, Q2 y Q3
Determine el percentil 70
Determine el sexto decil
Determine la desviación del cuartil
Determine el percentil del valor US$1,425
Determine la mediana
Caso XV.
Los salarios inicial para recién graduados de licenciatura en contabilidad, durante 1996 y
1997, fue US$30,393 (US Online, U.S. News and World Report, diciembre 1997). A
continuación vemos una muestra de salarios iniciales, en miles de dólares.
30.7 28.8 29.1 31.1 30.1
29.7 30.7 30.0 30.6 30.5
31.2 32.1 30.2 30.3 32.9
32.2 29.9 28.9 30.6 31.8
32.2 30.3 30.4 32.3 33.3
32.7 29.3 30.3 30.9 30.3
a. ¿Cuál es el salario promedio inicial para datos no agrupados?
b. ¿Cuál es la mediana de salario inicial para datos no agrupados?
c. ¿Cuál es la moda de salario inicial para datos no agrupados?
d. ¿Cuál es el primer cuartil?
e. ¿Cuál es el segundo cuartil?
f. ¿Condicen estos resultados con lo que afirma U.S. News & World Report?
Caso XVI.
Dos modos que usan los empleados para ir a trabajar diariamente son el transporte
público y el automóvil. A continuación vemos unas muestras de tiempos de cada modo.
Las cifras son en minutos.
Transporte
público
Automóvil
28.0 29.0 32.0 37.0 33.0 25.0 29.0 32.0 41.0 34.0
29.0 31.0 33.0 32.0 34.0 30.0 31.0 32.0 35.0 33.0
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60
61
a. Calcule la media de la muestra del tiempo que se lleva en cada modo de
transporte.
b. Calcule la desviación estándar de la muestra para cada modo de transporte.
c. Con base en los resultados de los incisos a y b, ¿qué modo de transporte debe
preferirse? Explique sus razones?
Caso XVII.
Como estadístico residente en Air Santo Domingo, el director de análisis estadístico le
pide recolectar y agrupar los datos sobre el número de pasajeros que han decidido viajar
con Air Santo Domingo. Tales datos correspondientes a los últimos 50 días aparecen en
la tabla siguiente. Sin embargo, con estos datos en bruto, es improbable que el director
pueda obtener información útil y significativa respecto a las operaciones de vuelo. Los
datos no están organizados y es difícil llegar a una conclusión significativa simplemente
revisando una serie de números anotados en un papel. Es preciso agrupar y presentar los
datos de manera concisa y reveladora para facilitar el acceso a la información que
contienen.
68
72
50
70
65
83
77
78
80
93
71 77 83
74 57 67
60 70 66
84 59 75
72 85 79
84 74 82
73 78 93
81 79 90
84 91 101
92 102 80
79
69
76
94
71
97
95
83
86
69
9. Haga un Histograma.
10.¿Cuál es el número de pasajeros que ocurre con más frecuencia?
11.¿Qué tan dispersos están los datos?
12.Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
13.Determine si está sesgada.
14.¿Qué cantidad de pasajeros está equidistante de los dos extremos?
15.¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
16.Represente gráficamente si es normal o el sesgo.
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61
62
Caso XVIII.
En Aeromar se aceptaron reservaciones telefónicas de vuelos. En la tabla siguiente
vemos las duraciones de las llamadas en minutos, para una muestra de reservaciones
telefónicas.
2.1
3.3
5.3
5.9
7.5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
4.8
3.5
5.5
6.6
6.0
5.5
4.8
2.8
7.8
4.5
10.4
5.8
3.6
10.5
4.8
¿Qué tan dispersos están los tiempos de estas llamadas?
¿Cuál es el tiempo que está equidistante de los extremos?
Determine el primer Cuartil.
Determine el quinto Decil.
Determine el percentil de la duración 7.8
Construya una tabla de frecuencia.
Determine si está sesgada analíticamente.
¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga 5 razones.
Represente gráficamente el comportamiento de esta distribución.
Haga una curva de ojiva.
Construya un diagrama circular e interprételo.
Se puede comprobar la Regla Empírica.
Caso XIX.
Los siguientes datos representan el tiempo, en segundos, para pasar de 0 a 60 mi/h para
una muestra de 15 automóviles hechos en Alemania y 20 hechos en Japón:
Automóviles
Alemanes
10.0 10.9
6.4 7.9
8.5 6.9
5.5 6.4
5.1 6.0
4.8
8.9
7.1
8.7
7.5
Automóviles
Japoneses
9.4 9.5
7.1
8.9 7.7 10.5
6.7 9.3
5.7
7.2 9.1
8.3
8.5 6.8
9.5
8.0
6.5
12.5
8.2
9.7
Compare y describa las diferencias en tiempos de aceleración de automóviles alemanes
y japoneses, en términos de sus estadísticas de tendencia central, estadísticas de
dispersión y los cuartiles.
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Caso XX.
5 compras de una materia prima en los últimos 3 meses:
Costo por
libra
Cantidad
Compra
Dólares de libras
1
3.00
1,200
2
3.40
500
3
2.80
2,500
4
2.90
1,000
5
3.25
800
Observe que el costo por libra cambió de 3.4 a 2.80 dólares, ya que la cantidad
comprada varió de 500 a 2,500 libras. Suponga que un administrador pidió información
sobre el costo promedio por libra de la materia prima.
Caso XXI.
El Colmado Gazcue vende cinco tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se
muestra cada tipo junto con la utilidad por lata y el número de latas vendidas:
Utilidad Volumen de
Limpiador
por lata ventas en latas
Glunk Out
2.00
3
Bubble Up
3.50
7
Dream Drain
5.00
15
Clear More
7.50
12
Main Drain
6.00
52
Determine la utilidad promedio por lata.
Caso XXII.
Los miembros de un Club deben pagar cuotas con base en su peso promedio. De los 60
miembros, 12 pesan 110 libras, 25 pesaron 120 libras, 18 hicieron girar la balanza hasta
150 y el resto registraron 180 libras. Si los miembros deben pagar US$5 por cada libra
que pesan en promedio, ¿cuánto debe desembolsar cada uno?
Número de
Libras Miembros
110
12
120
25
150
18
180
5
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64
Caso XXIII.
Aplicando el Teorema de Chebyshev.
La media de una línea aérea es de 78.7 pasajeros por día, con una desviación estándar de
12.14. Para programar los tiempos de para una nueva ruta que abrió, la gerencia desea
saber con qué frecuencia los pasajeros están dentro de K = dos desviaciones estándar de
la media, y cuál es dicho intervalo.
Caso XXIV.
Suponga que las calificaciones del examen de aptitudes de 100 candidatos a las
posiciones vacantes en su organización, tuvieron un promedio de 70 y una desviación
estándar de 5. ¿Cuántos candidatos tuvieron calificaciones entre 60 y 80? ¿cuántos entre
58 y 82?
Caso XXV.
Wageweb lleva a cabo encuesta de salarios y presenta resúmenes en su sitio de la red.
Con los datos de salarios, Wageweb informó que los salarios de los gerentes de
beneficios variaron entre 50,935 a 79,577 dólares. Suponga que los datos siguientes son
una muestra de los salarios anuales para 30 gerentes de beneficios (los datos están en
miles de dólares).
57.7
63.0
64.2
63.0
68.7
59.3
64.4
64.7
63.3
66.7
63.8
69.5
62.1
61.2
62.2
60.3
59.2
61.7
69.1
66.8
61.2
74.0
60.3
58.9
71.1
61.8
59.4
62.8
56.6
63.1
17.Haga un Histograma.
18.¿Cuál es el número de pasajeros que ocurre con más frecuencia?
19.¿Qué tan dispersos están los datos?
20.¿Qué representa esta dispersión?
21.Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
22.Determine si está sesgada.
23.¿Qué cantidad de pasajeros está equidistante de los dos extremos?
24.¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga por lo menos 5 razones.
25.Represente gráficamente si es normal o el sesgo por pedio de un poligono de
frecuencia.
26.Determine el tercer Cuartil.
27. Determine el octavo Decil.
28. Demuestre y diga si se cumple la regla empírica.
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64
65
29.Utilice el Teorema de Chebyshev para determinar el porcentaje de los gerentes
con un salario anual entre 53,000 y 71,000 dólares.
30.Utilice la regla empírica para determinar el porcentaje de gerentes con un salario
anual entre 50,000 y 71,000 dólares. Compare sus resultados con el punto
anterior.
31.¿Al parecer es razonable suponer que la distribución de salarios se puede
aproximar a una distribución de Gauss?
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65
66
Introducción a las Probabilidades
Gran parte de la vida del hombre se caracteriza por la incertidumbre.
Muchos fenómenos del mundo parecen estar dominados por el
comportamiento aleatorio. Casi todas las decisiones se toman en un entorno
caracterizado por la ausencia de un conocimiento completo de la situación.
Así, una decisión acerca de la cantidad de unidades a fabricar se basa en las
estimaciones del número de unidades que se espera vender. Si se conociera
este último con anticipación, la decisión sería elaborar exactamente esa
cantidad, sin que hubiera ni escasez ni excedentes. Con todo, en las
situaciones concretas de la toma de decisiones rara vez puede recabarse
información tan precisa.
Estadística Inferencial:
Implica la utilización de una muestra para extraer alguna inferencia o
conclusión sobre la población correspondiente.
- Apoyándose en el calculo de probabilidades y a partir de datos
muestrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones y otras
generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales
para un conjunto de datos más amplio a partir de la información
proporcionada por los datos estudiados.
Experimento.
Experimento es cualquier proceso que permite a los investigadores
obtener observaciones.
Es el proceso que produce un evento o suceso.
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66
67
Experimento
Lanza una moneda
Seleccionar una parte para inspección
Lanzar un dado
Jugar un partido de pelota
Resultados
experimentales
Cara, cruz
Defectuosa, no defectuosa
1, 2, 3, 4, 5, 6
Ganar, perder, empatar
Experimento Aleatorio o de azar.
Es un proceso que produce uno de varios resultados posibles.
Decimos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes
condiciones:
a. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas
condiciones.
b. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a
obtener.
c. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto de resultados
posibles conocido previamente. A este conjunto de resultados posibles, lo
denominamos como espacio muestral. Los elementos del espacio muestral se
denominan sucesos elementales.
Ensayo: Es cada repetición de un experimento.
Suceso o Evento.
Es cualquier colección de resultados de un experimento.
Es una colección de puntos muestrales (resultados experimentales).
El suceso o evento es un subconjunto del Espacio Muestral.
Suceso Simple.
Es un resultado o un suceso que no puede desglosarse.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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67
68
Espacio muestral.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento.
Probabilidad.
Los conceptos de probabilidad pueden resultar de suma utilidad cuando
nos hallamos frente a la incertidumbre que caracteriza a al mayor parte de los
ambientes en que se adoptan decisiones.
Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento.
Es la posibilidad numérica de que ocurra un evento, medida entre 0 y 1.
Es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese
evento.
Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo
deben sumar uno.
Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir,
las probabilidades nunca son negativas) y son menores que o iguales a uno.
Cuanto más pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el
evento.
Suceso seguro o evento cierto.
Es aquel que siempre se verifica después de un experimento aleatorio.
Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su
probabilidad asignada estará más próxima a 1.
La probabilidad de certeza es 1.
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68
69
Suceso imposible o evento imposible.
Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento
aleatorio. La única posibilidad es que el suceso imposible sea el conjunto
vació.
La probabilidad de una imposibilidad es 0.
Formas de Enfocar la Probabilidad.
1. Probabilidad de Laplace o Clásica (a priori)
2. Probabilidad Frecuencial o Frec. Relativa (a posteriori)
3. Probabilidad Subjetiva
4. Probabilidad Axiomática
1. Probabilidad de Laplace o Clásica (a priori=antes del hecho).
Según la Regla del marques Laplace (1789-1827) en su obra "Theorie
analytique des probabilites" de 1812:
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un numero finito de
resultados posibles, y no existe ninguna razón que de privilegio a unos
resultados en contra de otros - tiene una estructura de un juego de azar entonces la probabilidad de un evento aleatoria A es el cociente entre el
numero de formas o casos en las que puede ocurrir un evento (favorables), y
el numero de todos los posibles resultados del experimento.
P(A) = Numero de formas en las que puede ocurrir un evento
Numero total de posibles resultados
Ejemplos:
La probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una
moneda.
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69
70
La probabilidad de sacar un numero x al lanzar un dado.
La probabilidad de sacar una carta de una baraja de 52 cartas.
2. Probabilidad Frecuencial o Frec. Relativa (a posteriori).
Esta fue establecida por autores como el ingles Ronald A. Fisher (18901962) y el austriaco Richard von Mises (1883-1953)
Utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la
frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la
probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos
históricos. Esta se determina mediante:
P(E) = Numero de veces que ha ocurrido el evento en el pasado
Numero total de observaciones
3. Probabilidad Subjetiva.
Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad
de repetición o experimentación, la probabilidad sujetiva es la cuantificación
(basada en supuesto) que una persona (o grupo) hace de un evento, utilizando
la información que posee.
Esta conceptualizacion de la probabilidad es muy aplicada en la
empresa, en la estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de
juegos. Ha sido tratada por autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de
Finetti (1937), Koopman (1940) y Savage (1954).
El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento
con base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser
apenas una conjetura hecha sobre cierta base.
Esta se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que
nunca ha ocurrido.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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70
71
4. Probabilidad Axiomática.
El concepto axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov
1933. Para ello preciso ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función
de probabilidades. Los axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes
cuestiones:
a. La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1.
0 <= P(A) <= 1
b. La probabilidad del suceso seguro es 1.
c. La probabilidad de dos sucesos incompatibles (de intersección vacía)
debe ser la suma de sus posibilidades respectivas.
d. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual
que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,
P(AB) <= P(A) ; P(AB) <= P(B)
e. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno
de los sucesos separados.
P(AB) >= P(A) ; P(AB) >= P(A)
Mas aun, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que:
AB =   P(AB) = P(A) + P(B)
f. La probabilidad del suceso contrario a A, es
P(A') = 1 - P(A)
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71
72
Operaciones básicas con sucesos aleatorios.
Que es un conjunto?
Que es AB?
Que es AB?
Que es A-B o A\B?
Que es AB o A\B  B\A?
Que es A'?
Que es un diagrama de Venn?
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72
73
Caso I.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
La Nike Corporation quiere probar un nuevo material que se usará para hacer zapatos
deportivos. Un grupo de prueba consistente en 20 hombre y 30 mujeres. Si se escoge
aleatoriamente a una persona de este grupo de prueba, calcule la probabilidad o
posibilidad de no escoger a un hombre.
Caso II.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
La Compañía de Seguros (PROSEGUROS) estudia causas de muertes accidentales en el
hogar y compilo un archivo que incluye 160 muertes por caídas, 120 muertes causadas
por veneno y 70 muertes causadas por incendios y quemadas. Si se escoge
aleatoriamente una de estas muertes, calcule la probabilidad de que se haya debido a
veneno.
Caso III.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Un estudio de 500 vuelos de American Airlines escogidos aleatoriamente mostró que
430 llegaron a tiempo (Basados en datos del Departamento de Transporte de los Estados
Unidos). Estime la probabilidad de que un vuelo de American Airlines llegue a tiempo.
¿Describiría usted ese resultado como muy bueno?
Caso IV.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
En un estudio de reconocimiento de marcas, 831 consumidores sabían de las sopas
Campbell, 18 no habían oído de ellas (Basados en datos de Total Research Corporation).
Utilice estos resultados para estimar la probabilidad de que un consumidor seleccionado
aleatoriamente reconozca las sopas Campbell. ¿Cómo cree usted que sea este valor en
comparación con los valores típicos de otras marcas comerciales?
Caso V.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
MasterCard Internacional realizó un estudio de fraudes con tarjeta de crédito. Si se
escoge al azar un caso de fraude en la tabla siguiente, calcule la probabilidad de que el
fraude se haya basado en el uso de una tarjeta falsa.
Tarjeta Robada
243
Tarjeta Falsa
85
Pedido por Correo
52
Otro
46
TARJETA ROBADA
TARJETA ROBADA
243
243
Caso VI.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Un encuesta Gallup produjo los datos de muestra de la tabla que aparece a continuación.
Si se escoge aleatoriamente a uno de los encuestados, calcule la probabilidad de que sea
una persona que se cepilla los dientes tres veces al día, tal y como recomiendan los
dentistas.
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74
Cepilladas de Dientes
Al Día
Número
1
228
2
672
3
240
Caso VII.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Si asumimos que los 35 puntos evaluados hasta el momento representan el 100% de la
evaluación. En base a su calificación obtenida hasta el momento. ¿Cuál es la
probabilidad de que apruebe la asignatura?
Caso VIII.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
En base a su experiencia como estudiante que ha cursado diferentes asignaturas y al
ritmo de estudio que dedica a esta materia en particular. ¿Cuál es la probabilidad de que
no apruebe Métodos Cuantitativos?
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75
Eventos mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir
simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro.
P(AUB) = P(A) + P(B)
En el lanzamiento de una moneda, dos resultados simples posibles son
cara y cruz. Puesto que la ocurrencia de una cara excluye la posibilidad de
cruz y a la inversa, los eventos “cara” y “cruz” son mutuamente excluyentes.
Eventos colectivamente exhaustivo.
Se dice que un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo, si su
unión explica todos los resultados posibles de un experimento.
Consta de todos los posibles resultados de un experimento y constituye
su espacio muestral.
P(X) = 1
Eventos independientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencio o no ocurrencia de un
evento de ninguna manera afecta a la posibilidad o probabilidad de
ocurrencia del otro evento.
Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta
la probabilidad de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro.
P(AB) = P(A) * P(B)
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76
Eventos dependientes.
Dos eventos son dependientes si la probabilidad de ocurrencia de uno es
afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro.
Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Eventos complementarios (Complemento de un evento).
Para un evento A, el complemento del evento A es el evento consistente
en todos los puntos muestrales que no están en A.
El complemento del suceso A, denotado por A', consiste en todos los
resultados en los que el suceso A no ocurre.
Si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir.
P(A) + P(A') = 1
P(A) = 1 - P(A')
P(A') = 1 - P(A)
P(AUA') = P(A) + P(A')
Ejercicios 1-6 Págs. 79-80
Ejercicios 7-12 Págs. 81-82
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76
77
Tabla de Contingencia.
Las tablas contingencias son aquellas que sirven para comparar dos
variables.
TABLA DE CONTIGENCIA
CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS
GENERO
ADMINISTR.(A)
LINEA (L)
AUXILIAR (O)
TOTAL
HOMBRE (H)
120
150
30
300
MUJER (M)
50
140
10
200
TOTAL
170
290
40
500
Tabla de Probabilidad.
Esta se obtiene dividiendo cada una de las entradas entre el total de las
observaciones (que se encuentra en el extremo inferior de la diagonal).
TABLA DE PROBABILIDAD
CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS
GENERO
ADMINISTR.(A)
LINEA (L)
AUXILIAR (O)
TOTAL
HOMBRE (H)
MUJER (M)
TOTAL
Las probabilidades marginales son los valores que se encuentran en las
márgenes de la tabla. Se obtiene de la suma de las probabilidades conjuntas
correspondientes.
Las probabilidades conjuntas son las celdas de la estructura principal
de la tabla. Estas muestran la probabilidad de la intersección de dos eventos.
Ejercicios 13 al 15 - Págs. 83-84
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78
Caso II.
El Presidente Dr. Leonel Fernández Reina se basó en la opinión de 500 expertos en el
área económica de diferentes Universidades, Empresas Privadas y Miembros del
Gabinete de su Gobierno, para someter al Congreso un aumento al ITBIS de un 16%,
con la finalidad de aumentar las recaudaciones y poder hacer frente al déficit fiscal que
posee el Gobierno. Sin embargo, el Presidente tiene duda de que la medida impositiva
afecte significativamente a la economía nacional.
Los asesores económicos del Gobierno trataron de construir una tabla para organizar
estas opiniones... Pero no pudieron... Trata de completarla...
ESTABLE
(E)
125
ECONOMISTAS
ACADEMICOS (A)
EMPRESAS PRIVADAS (P)
GOBIERNO (G)
25
200
TOTAL
CONTRACCION
EXPANSION(X) ©
TOTAL
100
35
110
40
65
1. Construya una tabla de probabilidades.
2. Determine:
a. P(A)
b. P(P)
c. P(G)
d. P(E)
e. P(X)
f. P©
g. P(AC)
h. P(GX)
i. P(X|A)
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Probabilidad Condicional.
La probabilidad condicional de B dado A es la probabilidad de que el
suceso B ocurra, dado que el suceso A ya ocurrió, y se puede calcular
dividiendo la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, A y B, entre la
probabilidad del suceso A:
P(B\A) = P(AB)
P(A)
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Es la probabilidad de que el evento B ocurra, dado que o a condición de
que el evento A ya haya ocurrido.
Ejemplo: La probabilidad de que un trabajador tomado aleatoriamente
sea hombre es P(H)=0.60. Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad
de que el trabajador sea hombre dado que es un miembro del personal
administrativo P(H\A).
P(H\A) = P(HA)/P(A) = 0.24/0.34 = 0.71
Otra opción:
P(H\A) =[P(H)*P(A\H)]/P(A)=(0.60 * 0.40)/0.34=0.71
0.60 --> 1
0.24 --> X
Ejercicios 16 y 17 Pág. 85
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80
Reglas de la probabilidad.
A. Regla de la Multiplicación.
Consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto P(AB), es
decir de la probabilidad de "A y B".
Esta se obtiene simplemente multiplicando sus respectiva
probabilidades.
El procedimiento depende de sí A y B son dependientes o
independientes.
Probabilidades de eventos independientes.
P(AB) = P(A) * P(B)
Eventos independientes. Dos sucesos A y B son independientes si la
ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro.
El 20% de los carros que pasan por el Km. 12 de la Carretera Sánchez,
se detienen en un Motel, para alquilar una cabaña.
¿Cuál es la probabilidad de que los próximos dos carros se detengan?
Asumiendo que estos son eventos independientes.
P(C1C2) = 0.20 * 0.20 = 0.04
¿Cuál es la probabilidad de que el primer carro se pare y que el segundo
siga?
P(C1C2) = 0.20 * 0.80 = 0.16
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Probabilidad de Eventos dependientes.
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Eventos dependientes. Dos sucesos A y B son dependientes si la
ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno tiene que ver con la del otro.
Ejemplo:
La probabilidad conjunta de que sea hombre y miembro administrativo.
P(HA) = 0.24
P(HA) = P(H) * P(A\H) = 0.60 * 0.40 = 0.24
P(A\H) = P(AH)/P(H) = 0.24/0.60 = 0.40
Regla de la Adición.
Se utiliza para determinar la probabilidad de A o B, P(AB).
La probabilidad del evento A o
mutuamente excluyente).
B (cuando
los eventos no son
P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB)
La razón por la cual se debe restar la probabilidad conjunta es para
evitar el doble conteo.
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Eventos no mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son no mutuamente exclusivos si pueden ocurrir
simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento no prohíbe la ocurrencia del otro.
Ejemplo:
La probabilidad de sacar un as o una de las tres cartas de
corazones de una baraja.
P(AC)=P(A)+P(C)- P(AC)
P(AC)=(4/52) + (13/52) - (1/52) = 16/52
En un curso de Métodos Cuantitativos para la toma de decisiones. De
200 estudiantes inscritos en el curso, 160 aprobaron el examen parcial, 140
aprobaron el examen final y 124 aprobaron ambos.
A = evento de aprobar el examen parcial
B = evento de aprobar el examen final
P(A) = 160/200 = 0.80
P(B) = 140/200 = 0.70
P(AB) = 124/200 = 0.62
P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB) = 0.80 + 0.70 – 0.62 = 0.88
La probabilidad de que un hombre sea un trabajador hombre o un
trabajador administrativo.
P(HA)=P(H)+P(A)- P(HA) = 0.60+0.34-0.24 = 0.70
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Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son
mutuamente excluyentes).
P(AUB) = P(A) + P(B)
Eventos mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son mutuamente
exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro.
Si A y B son mutuamente excluyente P(AB)= 0
Ejercicios 18 al 22 - Pág. 90
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84
Teorema de Bayes.
Este fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761).
Asumimos:
Una industria X utiliza dos maquinas para producir su producto.
La maquina A produce el 60% de la producción total.
La maquina B produce el 40% restante.
El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas.
Las unidades de B tienen un 4% de defectos.
Podríamos decir:
P(A) = 0.60
P(D\A) = 0.02
P(D'\A) = 0.98
P(B) = 0.40
P(D\B) = 0.04
P(D'\B) = 0.96
P(AD') = P(A) * (D'\A) = 0.60 * 0.98 = 0.588
P(AD) = P(A) * (D\A) = 0.60 * 0.02 = 0.012
P(BD') = P(B) * (D'\B) = 0.40 * 0.96 = 0.384
P(BD) = P(B) * (D\B) = 0.40 * 0.04 = 0.016
según la probabilidad condicional.
P(A\D) = P(AD)/P(D) = [P(A) * P(D\A)]/P(D)
Sin embargo, para la P(D) existen dos formas en las cuales la unidad puede
ser defectuosa.
Utilizando la regla de la adición.
P(D) = P(AD) + P(BD)
P(D) = P(A) * P(D\A) + P(B) * P(D\B)
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Teorema de Bayes.
P(A\D) = P(AD)/P(D)
P(A\D) = P(AD)/[P(AD) + P(BD)]
P(A\D)=P(A)*P(D\A)]/[P(A)*P(D\A) + P(B)* P(D\B)]
P(A\D)=0.012/(0.012+0.016)=0.429
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Técnicas de conteo basadas en el Análisis Combinatorio.
Permutaciones.
Son las diferentes agrupaciones que pueden formarse con n elementos,
entrando todos en cada agrupación y diferenciándose una de otra sólo en el
orden de colocación de los elementos.
Las permutaciones pueden ser sin repetición si los n elementos dados
son diferentes, y con repetición si entre los n elementos dados hay algunos o
algunos que aparecen repetidos.
La permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de elementos.
El numero de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nPr = n!/(n-r)!
Nota: La permutación considera el orden de los elementos de los
subconjuntos.
Combinaciones.
Son las diferentes formaciones que podemos hacer con n elementos
diferentes entrando de n en r; pudiendo ser r <= n, de modo tal que dos
formaciones solo se diferencian en la naturaleza de uno de sus elementos por
lo menos.
El numero de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nCr = n!/r!(n-r)!
Nota: La combinación no considera el orden de los elementos de los
subconjuntos.
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Caso I.
Suponga que el 60% de los chips de computadora de una compañía se producen en una
de sus fabricas (denotada por A) y 40% se producen en su otra fabrica (denotada A').
Para un chip seleccionado al azar, la probabilidad de que haya provenido de la fabrica A
es de 0.60. Suponga que se entera de que el chip esta defectuoso y que las tasas de
defectos para las dos fabricas son del 35% (para A) y del 25% (para A'). Podemos usar
la formula del Teorema de Bayes para determinar que hay una probabilidad del 0.677 de
que el chip defectuoso haya provenido de la fabrica A.
Construya el diagrama de árbol.
P(A|D)=[P(A)*P(D|A)]/[P(A)*P(D|A)+P(A')* P(D|A')]
Caso II.
Una empresa manufactura recibe embarque de partes de dos proveedores distintos.
Actualmente el 65% de las partes que compra proviene del proveedor 1 y el 35%
restante del proveedor 2. Los datos históricos sugiere que la calidad de las partes varía
según su origen. El desempeño en termino de calidad de los dos proveedores es el
siguiente:
Porcentaje de piezas buenas del proveedor 1 es de 98%
Porcentaje de piezas buenas del proveedor 2 es de 95%
A) Determine las probabilidades conjuntas de eventos dependientes de piezas buenas
y malas según su origen.
B) Construya el diagrama de árbol con las dos etapas antes mencionadas.
C) Demuestre el Teorema de Bayes P(Proveedor 1 | Piezas Malas)
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Caso III.
La Autoridad Metropolitana de Transporte AMET está formada por 1200 oficiales, 960
hombres y 240 mujeres. El pasado 27 de febrero fueron ascendidos 324 oficiales, 288
hombres y 36 mujeres.
A) Construya una tabla de contingencia tomando en consideración el genero y
oficiales ascendidos y no ascendidos.
B) Construya la tabla de probabilidades.
C) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también que sea
ascendido.
D) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea mujer y también que sea
ascendido.
E) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también que no
sea ascendido.
F) Probabilidad de que sea ascendido dado que sea una mujer.
G) Probabilidad de que no sea ascendido dado que sea una mujer.
H) Probabilidad de que dos oficiales seleccionados al azar sean ascendidos.
Caso IV.
Una fabrica utiliza tres máquinas X, Y, Z para producir ciertos artículos. Supongamos
que:
1. La máquina X produce el 50% de todos los artículos, de los cuales el 3% son
defectuosos.
2. La máquina Y produce el 30% de todos los artículos, de los cuales el 4% son
defectuosos.
3. La máquina Z produce el 20% de todos los artículos, de los cuales el 5% son
defectuosos.
a. Encuentre la probabilidad de que el artículo seleccionado aleatoriamente
sea defectuoso.
b. Suponga que se ha encontrado un artículo defectuoso, entre la producción.
Encuentre la probabilidad de que este provenga de cada una de las
máquinas, es decir, de X, Y, y Z.
c. Construya el diagrama de árbol.
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Caso V.
Un fabricante de videorreproductoras de casete (VCR) compra un microchip en
particular, llamado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y
Crawford Components. 30% de los chips LS-24 se compran a Hall Electonics, 20% a
Schuller Sales y el 50% restante a Crawford Components. El fabricante tiene registro de
los tres fabricantes y sabe que el 3% de los chips de Hall Electronics están defectuosos,
el 5% de los chips de Schuller Sales tienen defectos y el 4% de los chips comprados a
Crawford Components están defectuosos.
Identifique los chips:
A1 = El LS-24 de Hall Electronics
A2 = El LS-24 de Schuller Sales
A3 = El LS-24 de Crawford Components.
B1 = El LS-24 está defectuoso
B2 = El LS-24 no está defectuoso.
1. Construya un diagrama de árbol que incluya las probabilidades conjuntas.
2. Calcule la probabilidad de que la parte seleccionada provenga de de Crawford
Components, debido a que era un chip aceptable.
3. Calcule la probabilidad de que el chip LS-24 provenga de Schuller Sales, dado el
hecho de que el chip seleccionado estaba defectuoso.
Caso VI.
Relación entre delincuente y victima
Homicidios (H)
Robo (R)
Agresión (A)
Totales
Extraño (E)
12
379
727
1118
Conocido o Pariente (C)
39
106
642
787
No se sabe (N)
18
20
57
95
69
505
1426
2000
DETERMINE:
a)
P(E)
P(E|H)
P(C)
P(C|A)
P(N)
P(N|R)
P(H)
P(EH)
P(R)
P(CR)
P(A)
P(NA)
Construya la tabla de probabilidades.
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b) Si se escoge aleatoriamente a una persona, ¿qué probabilidad hay que haya sido victima de un extraño, dado que se
escogió a una victima de robo?
c)
Dado que se selecciono a una victima de agresión, ¿qué probabilidad hay de que el delincuente sea un extraño?
d) Calcule la probabilidad de que cuando se selecciona aleatoriamente a uno de los 2000 sujetos, la persona escogida
haya sido robada por un conocido o un pariente.
e)
Si se escogen al azar dos sujetos distintos, calcule la probabilidad de que ambos hayan sido robados.
f)
Si se selecciona al azar a una de las victimas de crímenes representadas en la tabla, calcule la probabilidad de
obtener a una persona que fue victima de alguien a quien no conoce o que haya sido asesinada.
g) Si se selecciona al azar a una de las victimas de crímenes representadas en la tabla, calcule la probabilidad de
obtener a una persona que fue victima de un homicidio, dado que el criminal fue un extraño.
h) Si se selecciona al azar a una de las victimas de crímenes representadas en la tabla, calcule la probabilidad de
obtener a una persona que fue victima de un extraño, dado que fue asesinada.
i)
Si se escoge al azar dos sujetos distintos, calcule la probabilidad de que ambos hayan sido victimas de criminales
desconocidos.
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Distribución de Probabilidades
La Distribución Binomial - Una Distribución Discreta de Probabilidad.
Desarrollada por Jacob Bernoulli (1654-1705).
Esta se caracteriza por las siguientes propiedades:
- Sólo debe haber dos posibles resultados.
- La probabilidad de un éxito , sigue siendo constante de un ensayo al
siguiente, al igual que lo hace la probabilidad de fracaso, 1 - .
- La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente
de cualquier otro ensayo.
- El experimento puede repetirse muchas veces.
Una distribución binomial. Cada ensayo en una distribución binomial
termina en solo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los
cuales se identifica como un éxito y el otro como un fracaso. La probabilidad
de cada resultado permanece constante de un ensayo al siguiente.
Eventos mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir
simultáneamente. Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del
otro.
Probabilidad de una
x
n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = numero de ensayos.
 = probabilidad de un éxito.
x = numero de éxitos.
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92
Caso I.
Solo 20% de los empleados de la población civil que está en una base
militar restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10
empleados, cual es la probabilidad de que el guardia de seguridad
encuentre:
a. ¿Ocho empleados con identificación?
Probabilidad de una
x n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = 10 empleados
 = 0.20
x=8
8
10-8
P(x=8|n=10,=0.20)=10C8(0.20) (1-0.20) =
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs. 584-588
b. ¿Cuatro empleados con identificación?
4
10-4
P(x=4|n=10,=0.20)=10C4(0.20) (1-0.20) =
c. ¿A lo sumo 5 empleados con identificación?
P(x<=5|n=10,=0.20)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+
P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.9986
012345 678910
Evento A
Distribución Binomial Acumulada esta comprende un rango de valores.
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada Págs. 589-598
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93
d. ¿Por lo menos 4 empleados con identificación?
P(x>=4|n=10,=0.20)=1-P(x<=3|n=10,=0.20)
0123
45678910
Evento A' Evento A
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada Págs. 589-598
Distribución Binomial Acumulada no da directamente la probabilidad de
que un numero de éxito sea igual o mayor que alguna cantidad.
e. ¿Entre 4 y 7 empleados inclusive con identificación?
P(4<=x<=7|n=10,=0.20)=P(x<=7|n=10,=0.20)P(x<=3|n=10,=0.20)
Evento A
0123
4567
8910
P(X<=3) P(X<=7)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada Págs. 589-598
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Caso II.
El 80% de los estudiantes de Métodos Cuantitativos I del maestro
Rubén Estrella pueden conectarse a INTERNET. ¿Cuál es la probabilidad
de que en el próximo fin de semana de 10 estudiantes seleccionados
aleatoriamente, 6 estén conectados para verificar si le llego el archivo de
"distribución de probabilidades"?
Probabilidad de una
x n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = 10 estudiantes
 = 0.80 ==> 0.80 > 0.50
x=6
¿Cuál es la probabilidad de que no estén conectados (de no éxito)?
'=1-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( = 0.80)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ( = 0.20)
en lugar de hallar x éxitos en , se halla:
n-x fracasos a 1 - 
6 éxitos a  = 0.80 = 4 fracasos a  = 0.20
P(x=6|n=10,=0.80)=P(x=4|n=10,=0.20)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs. 584-588
Media de una Distribución Binomial.
E(X)==n
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Varianza de una Distribución Binomial.
²=n(1-)
Caso III.
Una universidad se enteró de que el 20% de sus alumnos se dan de baja del
curso de Métodos Cuantitativos para Negocios. Suponga que en este
cuatrimestre se inscribieron 32 alumnos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de baja?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja exactamente cuatro?
c. ¿Cuál es la cantidad esperada o media de deserciones?
d. ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 se den de baja?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja entre 5 y siete inclusive?
f. ¿ Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 6 se den de baja?
g. ¿Qué tan dispersos están los datos?
Ejercicios 6 al 12 Pág. 113
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La Distribución hipergeometrica
Si se selecciona una muestra sin reemplazo de una población finita
conocida y contiene una proporción relativamente grande de la población, de
manera que la probabilidad de éxito sea perceptiblemente alterada de una
selección a la siguiente, debe utilizarse la distribución hipergeometrica.
La distribucion hipergeometrica de probabilidad se relaciona
estrechamente con la distribucion binomial. La diferencia principal entre las
dos estriba en que, con la distribucion hipergeometrica, los intentos no son
independientes, y en que la probabilidad de exito cambia de un intento a otro.
P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn)
N
r
n
x
es el tamaño de la población.
es el numero de éxitos en la población.
es el tamaño de la muestra.
es el numero de éxitos en la muestra.
(rCx)
representa la cantidad de manera en las que se puede seleccionar x
exitos de un total de r exitos de la poblacion.
(N-rCn-x) representa la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar nx fracasos de un total de N-r fracaso en la poblacion.
(NCn)
representa la cantidad de formas en las que se puede seleccionar
una muestra de tamano n de un poblacion de tamano N.
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Caso I.
Jovanna Meléndez como gerente de Recursos Humanos debe contratar
a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos
universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que contrate tengan
un titulo?
N=30 candidatos
r=22 candidatos con títulos
n=10 candidatos a contratar
x=5 candidatos con títulos
Caso I.
Jovanna Meléndez como gerente de Recursos Humanos debe contratar
a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos
universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que contrate tengan
un titulo?
N=30 candidatos
r=22 candidatos con títulos
n=10 candidatos a contratar
x=5 candidatos con títulos
P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn)
P(x=5)=[(22C5)*(30-22C110-5)]/(30C10)
nCr = n!/r!(n-r)!
B) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 de los que contrate tengan un
titulo?
P(x<=4)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)
Ejercicios del 13 al 17 - Pág. 115.
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La Distribución de Poisson
Es una distribución de probabilidad discreta que aplica a ocurrencias de
algún suceso dentro de un intervalo especificado. La variable aleatoria x es
el numero de ocurrencias del suceso en el intervalo. El intervalo puede ser
tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.
La distribucion de Poisson se utiliza frecuentemente para el modelado
de tasas de llegadas en situaciones de espera en fila.
Fue ideada por el matemático francés Simeón Poisson (1781-1840).
Esta mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo
de tiempo o espacio.
Se basa en dos supuestos:
1.- La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos
intervalos cualesquiera de tiempo o espacio de igual longitud.
2.- La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la
ocurrencia de otro intervalo cualquiera.
Función de probabilidad
de Poisson
x

x -
P(x)=( * e)/x!
es el numero de veces que ocurre el evento.
es el numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de
espacio.
e
= 2.71828, la base del logaritmo natural.
La Media es 
La desviación estándar es =
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Caso I.
Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco
Popular, esta evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal
fin selecciona la central telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la
cual llegan 2 llamadas por minuto promedio y se sabe que tiene distribución
de Poisson. Si el operador se distrae por un minuto, cual es la probabilidad
de que el numero de llamadas no respondidas sea:
a) ¿cero?
b) ¿Por lo menos 1?
c) ¿Entre 3 y 5, inclusive?
Función de probabilidad
de Poisson
x -
P(x)=( * e)/x!
a) ¿cero?
=2 llamadas / minuto
x=0 llamada no respondida
e=2.71828
Función de probabilidad
0
-2
de Poisson
P(x=0|=2)=(2 * 2.71828)/0!
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs. 599-604.
b) ¿Por lo menos 1?
=2 llamadas / minuto
x>=1 llamadas no respondidas
e=2.71828
Función de probabilidad
de Poisson
P(x>=1|=2)=1-P(x=0)
c) ¿Entre 3 y 5, inclusive?
=2 llamadas / minuto
3<=x<=5 llamadas no respondidas
e=2.71828
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Función de probabilidad
de Poisson
P(3<=x<=5|=2)=P(<=5)-P(x<=2)
=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
Evento A
012
345
678
P(X<=2) P(X<=5)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs. 599-604.
Caso II.
El cable utilizado para asegurar las estructuras de los puentes tiene un promedio de 3
defectos por cada 100 yardas. Si usted necesita 50 yardas,
a. ¿cuál es la probabilidad de que haya una defectuosa?
b. ¿cuál es la probabilidad de que haya dos o más defectuosas?
Ejercicios del 18 al 21 - Pág. 118.
Para entregar: Investigar la diferencia entre la distribución de Poisson y la
distribución binomial.
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Caso I.
El gerente de Anthony, basado en su experiencia, estima que la probabilidad de que
cualquier cliente compre es de 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los de los
siguientes 10 clientes que entren hagan una compra?
Caso II.
En una encuesta que se realizó se habló con cientos de estudiantes de edades de 18 a 28
años de finanzas personales. En la encuesta se encontró que 33% de los estudiantes
tienen tarjeta de crédito.
a. En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan
tarjeta de crédito?
b. En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos
dos tengan tarjeta de crédito?
c. En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno
tenga tarjeta de crédito?
Caso III.
El 50% de las industrias manufactureras de tamaño mediano planearon visitas de
representantes de su administración a Canadá y México, para aprovechar las
oportunidades que abrió el Tratado de Libre Comercio en Norteamérica. Un grupo
exportador e importador de Toronto, Canadá, invitó a 20 manufactureras
estadounidenses medianas a participar en una conferencia con el fin de investigar las
oportunidades de negocios.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas empresas manden
representantes?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas, cómo máximo, manden
representantes?
Caso IV.
El 40% de las personas que viajan por negocios llevan un teléfono celular o una
computadora portátil (USA Today, 12 septiembre del 2000). En una encuesta de 15
personas,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono celular o una computadora
portátil?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que doce no tengan ni teléfono celular ni una
computadora portátil?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan un teléfono celular o una
computadora portátil?
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Caso V.
Al departamento de reservaciones de American Airlines llegan en promedio 48 llamadas
por hora.
a. Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un intervalo de cinco minutos.
b. Calcule la probabilidad de recibir diez llamadas en un intervalo de quince
minutos.
Caso VI.
El promedio anual de las veces que los clientes de Air Santo Domingo toman vuelos
locales por motivos de personales es 4.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome dos vuelos locales en un año por
motivos personales?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome uno o más vuelos locales en un
semestre?
Caso VII.
Según la revista Beverage Digest, la Coca clásica y la Pepsi ocuparon el primero y
segundo lugares en la preferencia de las personas (The Wall Street Journal Almanac,
1998). Suponga que en un grupo de 10 personas, seis prefieren Coca clásica y cuatro
prefieren Pepsi. Se selecciona una muestra aleatoria de tres miembros de ese grupo.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos prefieran Coca clásica?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría (dos o tres) prefieran Pepsi?
Caso VIII.
Un embarque de 10 artículos contiene dos unidades defectuosas y ocho no defectuosas.
Al revisarlo, se tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra
una unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque.
a. Si se selecciona una muestra de tres artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar
el embarque?
b. Si se selecciona una muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de
rechazar el embarque?
c. Si se selecciona una muestra de cinco artículos, ¿cuál es la probabilidad de
rechazar el embarque?
d. Si la gerencia estuviera de acuerdo en que hubiera una probabilidad de 0.90 de
rechazar un embarque con dos defectuosas y ocho no defectuosas?
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Caso IX.
De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se
seleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de producción.
Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la
probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso
antes de partir para el lejano oriente?
Caso X.
Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes
lleguen durante la siguiente hora. La observación simple de las últimas 80 horas ha
demostrado que 800 clientes han entrado al negocio.
Caso XI.
Un fabricante en California le suministra un diseño de prototipo para una pieza de
aeronave que requiere un negocio. Este nuevo producto, que es enviado en lotes de n =
12, sufre de una tasa de defectos de 40%.
a. Si usted no desea un riesgo mayor del 10% en la probabilidad de que 5 de los 12
sean defectuosos ¿debería comprarle a ese distribuidor?
b. Si usted no desea enfrentar un riesgo mayor del 20% de probabilidad de que más
de 5 salgan defectuosos, debería comprarle a este proveedor?
Caso XII.
En el curso de una hora, una máquina especifíca llena 1,000 botellas de Cerveza
Presidente. En cada uno de los intervalos, se selecciona aleatoriamente una muestra de
20 botellas y se verifica el volumen del contenido en cada una. Sea X el número de
botellas seleccionada con contenido insuficiente. Suponga que en una hora específica se
producen 100 botellas llenadas en forma deficiente. Calcule la probabilidad de que al
menos tres botellas con contenido deficiente se incluyan en las muestreadas.
Caso XIII.
Se lanza una moneda 100 veces. Encuentre la probabilidad de que ocurra cara entre 48
y 53 veces inclusive.
Caso XIV.
Suponga que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un
libro de 500 páginas. Encuentre la probabilidad P de que una página dada contenga:
a) Exactamente 2 errores de impresión.
b) 2 o más errores de impresión.
c) Entre 3 y 5 errores inclusive.
d) Exactamente 7 errores de impresión.
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Caso XV.
PlayTime Toys, Inc. emplea a 50 personas en el Departamento de Ensamblaje. Cuarenta
de los empleados pertenecen al sindicato y diez no. Se seleccionan cinco empleados al
azar para formar un comité que va a hablar a la gerencia acerca de los horarios en que
inician los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados
seleccionados para el comité pertenezcan a un sindicato?
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La distribución normal (o gaussiana) y la regla empírica
La distribución normal es una distribución de datos
continuos(*) (no discretos) que produce una curva simétrica en
forma de campana.
La distribución gaussiana fue presentada por Karl Friedrich
Gauss (1777-1855) en el 1812.
La campana de Gauss o curva de distribución normal,
curva de probabilidad normal; se caracteriza por:
- Es unimodal.
- Es simétrica (la simetría es perfecta).
- La mitad izquierda de su histograma es aproximadamente
una imagen especular de su mitad derecha.
- La asimetría de la distribución es cero.
- Las colas de la curva se aproximan mas, pero nunca tocan,
el eje horizontal.
- La media, la mediana y la moda son iguales.
- La mitad de las observaciones esta por encima de la media
y la mitad esta por debajo.
- Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en
forma de campana se aplanara y se esparcirá. La desviación
estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la
desviación estándar se tienen curvas más anchas y bajas, que
muestran una mayor dispersión en los datos.
- El punto más alto de la curva normal es la media, que
tambiés es la mediana y la moda de la distribución.
- El área total bajo la curva de la distribución normal de
probabilidad es 1.
(*) Variables continuas:
Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un
intervalo dado. Por muy próxima que puedan estar dos
observaciones, si el instrumento de medida tiene la precisión
suficiente siempre puede haber una tercera observación que
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caiga entre las dos primeras. Los valores de una variable
continua proceden en general de mediciones, por ejemplo las
cantidades de leche que las vacas producen son datos continuos
porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro
de un intervalo continuo. Se pueden obtener de un numero
infinito de posibles valores que pueden asociarse a puntos de una
escala continua, de tal manera que no haya huecos ni
interrupciones.
La Regla Empírica o Regla 68-95-99.
Esta regla solo aplica a un conjunto de datos cuya
distribución tiene aproximadamente forma de campana. Esta
afirma que:
- Cerca del 68% de todos los puntajes u observaciones
queda a menos de una desviación estándar de la media.
- Cerca del 95% de todos los puntajes u observaciones
queda a menos de dos desviaciones estándar de la media.
- Cerca del 99.7% de todos los puntajes u observaciones que
a menos de tres desviaciones estándar de la media.
La Desviación Normal o Formula Z.
Z = (X - )/
Valor de Z
Es el numero de desviaciones estándar a las que una
observación esta por encima o por debajo de la media.
X


es algún valor especifico de la variable aleatoria.
es la media
es la desviación estándar
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Caso I.
Claudia Cáffaro en su viaje que realizo en el fin de semana
pasado, para reunirse con los funcionarios de la Casa Matriz de
diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que el publico
al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico
y en sus proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron
a la conclusión de que las estaturas de sus clientes estaban
distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas,
con una desviación estándar de 2 pulgadas.
Si Claudia fuera a expresar en Valor de Z la estatura de dos
de sus clientes, que tienen 64 y 73 pulgadas respectivamente. Que
debe hacer? También represéntelo gráficamente.
La Desviación Normal o Formula Z.
Z = (X - )/
Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de
Claudia:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del mismo esté
entre 67 y 69 pulgadas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea
superior a 69 pulgadas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea
inferior a 69 pulgadas?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 64.5
y 70.3 pulgadas?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 69.3
y 70.5 pulgadas?
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107
108
Aproximación de la distribución Binomial a la distribución Normal.
Media de una Distribución Binomial.
E(X) =  = n = np
Varianza de una Distribución Binomial.
² = n(1- ) = npq
_______ ____
Desviacion ² = √n(1- ) = √ npq
Si n es muy grande.
p =  = denota probabilidad de tener éxito en uno de los n ensayos.
q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n ensayos.
p+q=1
p=1–q
q=1–p
n > 5
np > 5
n(1- ) > 5
nq > 5
Si n es muy grande y np y nq son mayores que 5, p se aproxima a 0.5,
podemos aproximar.
Caso:
El 40% de los sindicalistas del Sindicato quiere huelga. Si seleccionan
15 miembros ¿Cuál es la probabilidad de que 10 apoyen un paro?
Probabilidad de una
x
n-x
Distribución Binomial P(x) = nCx () (1-)
10
15-10
P(x=10|n=15, =0.40) = 15C10*(0.40)*(1-0.40) = 3003 * 0.0001049 * 0.07776 = 0.02449
1) Media de una Distribución Binomial.
E(X) =  = n =
np = 15 * 0.40 = 6
2) Varianza de una Distribución Binomial.
² = n(1- ) = npq = 15 * 0.40 * 0.60 = 3.6
______
____
3) Desviacion  = √n(1- ) = √ npq = 1.89737
4)Factor de Correccion de Continuidad
X – 0.5 = 10 – 0.5 = 9.5
X + 0.5 = 10 + 0.5 = 10.5
5) Z = (9.5 – 6) / 1.89737 = 1.85
Z = (10.5 – 6) / 1.89737 = 2.37
6) P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) = P(1.85 ≤ Z ≤ 2.37) = 0.4911 – 0.4678 = 0.0233
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108
109
Caso I.
Los tiempos de reemplazo de los reproductores de CD tienen una
distribucion normal con una media de 7.1 años y una desviacion
estandar de 1.4 años (basados en datos de "Getting Things Fixed",
Consumer Reports). Determine la probabilidad de que un
reproductor de CD seleccionado al azar tenga un tiempo de
reemplazo de menos de 8 años.
Caso II.
Suponga que los pesos del papel desechado por los hogares cada
semana estan normalmente distribuidos con un media de 9.4 lbs y
una desviacion estandar de 4.2 lbs. Determine la probabilidad de
seleccionar aleatoriamente un hogar y obtener uno que desecha
entre 5 y 8 lbs de papel en una semana.
Caso III.
Segun la International Mass Retail Association, las muchachas
estadounidenses entre los 13 y 17 años gastan en promedio US$31.2
dolares al mes cuando van de compras. Suponga que las cantidades tienen
una distribucion normal con una desviacion estandar de US$8.27 dolares.
Si seleccionamos al azar a una muchacha perteneciente a esa categoria de
edades, ¿que probabilidad hay de que gaste entre US$35 y US$40 dolares
en un mes?
Caso IV.
Los puntajes de cociente intelectual (IQ) estan distribuidos normalmente
con una media de 100 y una desviacion estandar de 15. Mensa es una
organizacion para personas con cociente intelectual elevado, y solo acepta
personas con un IQ mayor que 131.5.
Si se escoge aleatoriamente a una persona, determine la probabilidad de
que satisfaga el requisito de Mensa.
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109
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Caso V.
VERIZON registro los mensajes telefónicos para sus clientes, los cuales
promediaron 150 segundos, con una desviación estándar de 15 segundos.
VERIZON desea determinar la probabilidad de que una sola llamada dure:
a) Entre 145 y 150.
b) Sea mayor que 145.
c) Sea menor que 155.
d) Entre 145 y 155.
e) Sea Mayor que 155.
f) Entre 160 y 170
g) Entre 140 y 145.
Caso VI.
Cerca del 4.4% de los accidentes fatales de vehículos motorizados se debe
a neumáticos defectuosos (basados en datos del Consejo Nacional de
Seguridad de Estados Unidos). Si un estudio de seguridad de autopistas
inicia con la selección de 750 casos fatales de choque de vehículos
motorizados, estime la probabilidad de que exactamente 35 de ellos hayan
sido causados por neumáticos defectuosos. Represente gráficamente la
situación planteada.
Caso VII.
El promedio de los salarios en los bancos comerciales de New York es de
US$22.87 por hora, con una desviación estándar de US$5.87. ¿Cuál debe
ser su salario por hora si desea ganar (Represente gráficamente cada
situación planteada:
a. Más que el 80% de todos los empleados?
b. Más que el 30% de todos los empleados?
c. Menos que el 20% de todos los empleados?
d. Más que el 50% de todos los empleados?
Caso VIII.
Los registros muestran que el 45% de todos los automóviles producidos por
Ford Motor Company contiene partes importadas de Japón. ¿Cuál es la
probabilidad de que los próximos 200 carros, 115 contengan partes
japonesas. Represente gráficamente.
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110
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Caso IX.
El precio promedio del boleto de entrada a un juego de béisbol de ligas
mayores fue de $11.98 dólares en 1998 (USA Today, 1 de noviembre de
1998). Sumando a los boletos el costo de alimentos, estacionamiento y
souvenirs, el costo promedio aproximado fue de $110.00 dólares para una
familia de 4 miembros, con una desviación de $20.00 dólares.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de $100.00
dólares?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste $90.00 dólares o
menos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste $80.00 dólares a
130 dólares?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste entre $120.00
dólares y 130 dólares?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste entre $95.00
dólares y 100 dólares?
f. ¿Cuál debe ser el gasto de una familia que esta por encima del 80%
de los datos evaluados?
g. ¿Cuál debe ser el gasto del 50% de las familias de 4 miembros?
h. ¿Cuál debe ser el gasto de una familia que separa el 40% del 60
restante de los datos evaluados?
i. Si se toma una muestra de 50 familias, ¿cuál es la probabilidad de
que gasten entre 115.00 dólares y 125.00 dólares?
Caso X.
¿Cuál es el ingreso que separa el 10% de la gente más pobre del 90%
restante de la población dominicana? Si el ingreso medio es de RD$5,200 y
la desviación es de RD$1,300.
Ejercicios 32, 34, 35 y 36 de las págs. 133-134
Caso XI.
El 40% de los sindicalistas del Sindicato quiere huelga. Si seleccionan 15
miembros ¿Cuál es la probabilidad de que 10 apoyen un paro?
Caso XII.
Los registros muestran que 45% de todos los automóviles producidos por
Ford Motor Company contienen partes importadas de Japón. ¿Cuál es la
probabilidad de que los próximos 200 carros, 115 contengan partes
japonesas?
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111
112
El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n
> 30), la distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal
con media  y desviación estándar /n. Provocando así una variación de
la ecuación:
 = (X' - )/(/n)
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite
Central asegurara una distribución normal en las medias muestrales incluso
si la población no es normal.
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112
113
Distribución t de Student
Los factores como el costo y el tiempo a menudo limitan
severamente el tamaño de las muestras, y es posible que la
distribución normal no sea una aproximación adecuada a la
distribución de las medias de muestras pequeñas.
En muestras pequeñas, la media de muestra X' generalmente
es el mejor estimado puntual de la media de la población .
Es posible construir intervalos de confianza para muestras
pequeñas utilizando la distribución normal con el mismo margen
de error, siempre que la población original tenga una distribución
normal y se conozca la desviación estándar  de la población
(condición que casi nunca se cumple en aplicaciones reales).
Si tenemos una muestra pequeña (n30) y queremos
construir un intervalo de confianza pero no conocemos , a veces
podemos usa la Distribución t de Student ideada por Willian
Gosset (1876-1937). Gosset era un empleado de la cervecería
Guiness que necesitaba una distribución susceptible de usarse con
muestras pequeñas. La cervecería donde trabajaba no permitía la
publicación de los resultados de investigaciones, así que Gosset
publico bajo el pseudónimo Student.
Condiciones para usar la Distribución t de Student.
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente
normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la
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113
114
población padre, la estimamos construyendo un histograma con
datos de muestra.)
Propiedades importantes de la Distribución t de Student.
1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes
tamaños de muestra. (Ver Figura 7.3 en la Pág. 177).
2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de
campana simétrica que la distribución normal estándar, pero
refleja la mayor variabilidad (con distribuciones más amplias) que
cabe esperar cuando la muestra es pequeña.
3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la
distribución normal estándar tiene una media de Z=0).
4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia
con el tamaño de la muestra, pero es mayor que 1 (a diferencia de
la distribución normal estándar, que tiene =1).
Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una
media de cero, es simétrica respeto a la media y oscila entre -
y + . Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene una
varianza de ²=1, la varianza de la distribución t es mayor que
1.
5.- A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución
t de Student se acerca mas a la distribución normal estándar. Con
valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas que podemos
utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho
más grande de valores críticos de t.
Varianza de la distribución t
²= (n-1)/(n-3)
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114
115
La varianza depende de los grados de libertad (g.l.), que
definimos como el numero de observaciones que se pueden
escoger libremente. Es el numero de observaciones menos el
numero de restricciones impuestas sobre las observaciones, en
donde una restricción es algún valor que tales observaciones
deben poseer.
Grados de libertad.
El numero de grados de libertad de un conjunto de datos
corresponde al numero de puntajes que puede variar después de
haber impuestos ciertas restricciones a todos los puntajes.
Es el numero de observaciones menos el numero de
restricciones impuestas sobre tales observaciones.
g.l. = n - 1
Podría parecer un poco extraño que, con una población
distribuida normalmente, a veces utilicemos la distribución t
para encontrar valores críticos, pero cuando se desconoce  el
uso de s de una muestra pequeña incorpora otra fuente de
error. A fin de mantener el grado de confianza deseado,
compensamos la variabilidad adicional ensanchando el
intervalo de confianza mediante un proceso que sustituye el
valor critico Z por el valor critico más grande de t.
El estadístico t
t = (X'-)/(s/n)
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115
116
Caso I.
Cuando se usan pruebas destructivas, los elementos de una
muestra se destruyen durante el proceso de probarlos. Las
pruebas de choques de automóviles son un ejemplo muy costoso
de pruebas destructivas.
Si usted estuviera encargado de tales pruebas de choque, no
querría decirle a su supervisor que necesita chocar y destruir mas
de 30 automóviles para poder usar la distribución normal.
Supongamos que usted ha probado 12 automóviles deportivos
Dodge Viper (Precio d lista actual: US$59,300 dólares)
chocándolos en diversas condiciones que simulan colisiones
representativas. Un análisis de los 12 automóviles dañados da
como resultado costos de reparación cuya distribución al parecer
tiene forma de campana, con una media de X'=US$26,227 y una
desviación estándar de s=$15,873 (basado en datos de Highway
Loss Data Institute). Determine lo siguiente.
a) El mejor estimado puntual de la media de población , el costo
de reparación medio de todos los Dodge Viper implicados en
colisiones.
b) El estimado de intervalo del 95% de , el costo de reparación
medio de todos los Dodge Viper implicados en colisiones.
Solución:
a) El mejor estimado puntual de la media de población  es el
valor de la media de muestra X'. En este caso, entonces, el mejor
estimado puntual de  es US$26,227 dólares.
b) DATOS:
n = 12 automóviles deportivos Dodge Viper
X'=US$26,227 dólares costo de reparación
s =US$15,873 dolares
N.F.= 95% ===> t= ?
I.C. para  = ?
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116
117
Dada las condiciones anteriores:
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente
normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la
población padre, la estimamos construyendo un histograma con
datos de muestra.)
podemos usar la Distribución t de Student:
g.l. = grados de libertad
g.l. = n-1 = 12-1 = 11
usando la tabla de la distribución t (Pág. 606) con los g.l.=11 y
N.C.=95% cuyas colas equivalen a 5% (0.05) determinamos el
valor critico t.
g.l.=11; I.C. con N.C.=95% (0.950); dos colas=5% (0.050) ==>
t=2.201
donde
E = t (s/n)
E = 2.201 (15,873/12) = US$10,085.29
El intervalo de confianza es:
X' - E <  < X' + E
US$26,227-US$10,085.29<  < US$26,227+US$10,085.29
US$16,142 <  < US$36,312
[Este resultado también podría expresarse en el formato de 
=US$26,227US$10,085.29 o como (US$16,142, US$36,312).]
Con base en los resultados de muestra dados, tenemos un
95% de confianza en que los limites de USD16,142 y
USD36,312 contendrán realmente el valor de la media de
población . Estos costos de reparación parecen muy altos.
Efectivamente, el Dodge Viper es actualmente el automóvil más
costoso de reparar después de una colisión. Tal información es
importante para compañías que aseguran Dodge Vipers contra
choques.
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117
118
Caso II. Utilice el grado de confianza y los datos de muestra
dados para determinar (a) el margen de error y (b) el intervalo de
confianza para la media de la población .
1) Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=10, x'=63.4 pulg.,
s=2.4 pulg.
2) Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=15,
x'=2.76, s=0.88
3) Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=16, x'=77.6,
s=14.2
4) Salarios de policías: confianza del 92%; n=19, x'=$23,228,
s=$8,779
Caso III.
Ejercicios 12 al 18 Págs. 179-180 y Analizar figura 7.4 Pág. 179.
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118
119
Análisis de Regresión y Correlación
El modelo estadístico que nos permite representar la
relación entre dos variables (dependiente e independiente) se
denomina Ecuación de Regresión, ya que a través de el podemos
regresar o proyectar datos sobre el posible comportamiento futuro
del fenómeno.
El primero en desarrollar el análisis de regresión fue el
científico ingles Sir Francis Galton (1822-1911). Este estudio el
fenómeno de la herencia y demostró que cuando matrimonios con
estaturas altas o bajas tienen hijos, las estaturas de esos hijos
tienden a exhibir regresión, es decir, a desplazarse hacia una
estatura media más representativa.
Dada una colección de datos de muestra apareados, la
ecuación de regresión
y = bo + bix
y = f(x)
describe la relación entre dos variables. La grafica de la
ecuación de regresión se denomina línea de regresión (o línea de
mejor ajuste, o línea de mínimos cuadrados).
Esta definición expresa una relación entre "x" (variable
independiente o variable predictoria) y "y" (llamada variable
dependiente o variable de respuesta).
Variable dependiente (Y): Es la variable que se desea explicar o
predecir; también se le denomina regresando o variable de
respuesta.
Variable independiente (X): se utiliza para explicar a Y.
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119
120
Notación para la ecuación de regresión.
Parámetro Estadística
de Poblac. de Muestra
Ordenada al origen de
la ecuación de regresión
o
bo
1
b1
Pendiente de la
la ecuación de regresión
Ecuación de la línea
Y=o+ix
de Regresión
y=bo+bix
y = b o + b ix
Donde bo es la ordenada de origen y bi es la pendiente.
bo y bi son estadísticas de muestra que sirven para estimar los
parámetros de población o y ix.
Mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
El propósito del análisis de regresión es determinar una
recta que se ajuste a los datos muestrales mejor que cualquier otra
recta que pueda dibujarse.
bo y bi
estos valores los podemos determinar a través de un
procedimiento matemático que se denomina Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO). MCO producirá una recta que se extiende por
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120
121
el centro del diagrama de dispersión aproximándose a todos los
puntos de datos mas que cualquier otra recta.
Suma de los cuadrados de X.
SCx = (Xi-X')²
SCx = X² - [(X)²/n]
Suma de los cuadrados de Y.
SCy = (Yi-Y')²
SCx = Y² - [(Y)²/n]
Suma de los productos cruzados de X y Y.
SCxy = (Xi-X')(Yi-Y')
SCxy = XY - [(X)(Y)/n]
Vale la pena notar que las primeras porciones de cada una de
estas formulas:
SCx = (Xi-X')²
SCy = (Yi-Y')²
SCxy = (Xi-X')(Yi-Y')
Ilustran como la recta MCO se basa en las desviaciones de las
observaciones a partir de su media.
Dadas las sumas de cuadrados y los productos cruzados, es
sencillo calcular la pendiente de la recta de regresión y el
intercepto, así:
La Pendiente de la recta de regresión.
bi = SCxy/SCx
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121
122
El intercepto de la recta de regresión.
bo = Y' - biX'
donde Y' y X' son las medias de los valores de Y y los valores de
X.
NOTA: Estos cálculos son extremadamente sensibles a la
aproximación. Por tanto, se aconseja en aras de la exactitud,
efectuar los cálculos hasta con cinco o seis cifras decimales.
El error estándar de estimación Se.
Es una medida del grado de dispersión de los valores Yi
alrededor de la recta de regresión. Mide la variación de los
puntos de datos por encima y por debajo de la recta de regresión.
Refleja la tendencia a desviarse del valor real de Y cuando se
utiliza el modelo de regresión para fines predictivos.
El error estándar de estimación mide la variación promedio
de los puntos de datos alrededor de la recta de regresión que se
utiliza para estimar Y y por ende proporciona una medida del
error que se presentara en dicha estimación.
Se = (Yi-Y^i)²/n-2
Suma de Cuadrados del Error - SCE
SCE = SCy - (SCxy)²/SCx
En un modelo de regresión simple, se imponen dos
restricciones en el conjunto de datos, debido a que se deben dos
parámetros,
CME es
o y ix.
Por tanto hay n-2 grados de libertad y
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123
Cuadrado Medio del Error
CME = SCE/n-2
El Error Estándar
Se = CME
El error estándar siempre se expresa en las mismas unidades que
la variable dependiente Y.
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123
124
Caso I.
La gerencia de Aeromar, considera que existe una relación directa
entre los gastos publicitarios y el numero de pasajeros que
escogen viajar por Aeromar. Para determinar si esta relación
existe, y si es así cual podría ser la naturaleza exacta, los analistas
decidieron utilizar los procedimientos de MCO para determinar el
modelo de regresión. Represente gráficamente los resultados.
y=bo+bix
Datos de Regresión para AEROMAR
Observación Publicidad
Mes
En miles US$
X
1
10
2
12
3
8
4
17
5
10
6
15
7
10
8
14
9
19
10
10
11
11
12
13
13
16
14
10
15
12
TOTALES
187
Pasajeros
En miles
Y
15
17
13
23
16
21
14
20
24
17
16
18
23
15
16
268
XY
X^2
Y^2
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124
125
El valor positivo para un bi indica una relación directa. A medida
que la publicidad aumenta, también lo hace el numero de
pasajeros. Ahora es útil obtener una medida de la fuerza de esa
relación. Esta es la función del Coeficiente de Correlación,
desarrollada por Carl Pearson, a veces se le llama el Coeficiente
de Correlación producto-momento de Pearson.
El Coeficiente de Correlación r puede asumir cualquier valor
entre -1 y +1, es decir,
-1  r  +1
Un valor de r= -1 indica una relación negativa entre X y Y.
Suma de Cuadrados Total
SCT = (Yi-Y')²
Suma de Cuadrados de la Regresión
SCR = (Y^i-Y')²
Suma de Cuadrado de Error
SCE = (Yi-Y^i)²
Coeficiente de Correlación
r = SCR/SCT
r = SCxy / (SCx)(SCy)
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125
126
Caso II.
Para apoyar las ventas de un producto de consumo masivo en un
mercado altamente competitivo una empresa inicio a comienzos
de año una intensa campaña publicitaria. La comparación entre la
inversión publicitaria y las ventas del producto en 12 meses se
colocan en la siguiente tabla:
a) Formule la ecuación de regresión.
b) Si invertimos en publicidad $400,000 cual debería ser las
posibles ventas?
MESES
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
NOVIEMBRE
DICIEMBRE
TOTALES
VENTAS
EN MILES
Y
350
300
630
840
930
1060
1280
850
700
1160
1180
1500
10780
PUBLICIDAD
EN MILES
X
200
250
300
250
330
180
150
350
200
250
250
170
2880
XY
X^2
Y^2
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126
127
Caso III.
El departamento de ventas de una Compañía realiza un análisis
comparativo entre el volumen de pedidos levantados y numero de visitas
efectuadas. Por sus diez vendedores en cierto periodo de tiempo, todos los
vendedores trabajan en zonas similares, en lo referente al numero de
clientes que maneja cada uno y potencial de compra de dichos clientes.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
a) Formule la ecuación de regresión.
b) ¿Cuánto ascendería el posible monto de los pedidos si las visitas fueran
250?
c) ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
d) Determine el error estándar.
e) Haga el diagrama de dispersión.
f) Grafique la recta de regresión.
PEDIDOS
EN MILES
VISITAS
VENDEDOR
US$
REALIZADAS
1
13,4
245
2
10,3
172
3
15,1
291
4
6,9
124
5
7,3
191
6
14,2
218
7
5,2
101
8
11,8
259
9
14,3
307
10
5,5
142
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127
128
Caso IV.
Suponga que se reunieron datos de una muestra de 10 restaurantes ubicados
cerca de centros educativos. Para i-ésima observación o restaurante de la
muestra, xi es el tamaño de la población estudiantil, en miles, y yi son las
ventas trimestrales (en miles de dólares). Los valores de xi y yi para los 10
restaurantes de la muestra se resumen en la siguiente tabla:
Ventas
Población de
Trimestrales
Restaurante Estudiantes (miles) (miles de dólares
1
2
58
2
6
105
3
8
88
4
8
118
5
12
117
6
16
137
7
20
157
8
20
169
9
22
149
10
26
202
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó anteriormente,
acerca de la relación entre las dos variables?
c. Formule la ecuación de regresión.
d. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de
regresión.
e. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
f. Determine el error estándar.
g. Grafique la recta de regresión.
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128
129
Caso V.
Los datos siguientes muestran las ventas (en millones) de cajas y los gastos
de publicidad (en millones de dólares) para 7 marcas principales de
refrescos (Superbrands ’98, 20 de octubre de 1997).
Gastos de
Publicidad
Ventas de cajas
Marca
(millones de dólares) (en millones)
Coca-Cola Classic
131.3
1,929.2
Persi-Cola
92.4
1,384.6
Diet Coke
40.4
811.4
Sprite
55.7
541.5
Dr. Pepper
40.2
536.9
Mountain Dew
29.0
535.6
7-Up
11.6
219.5
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. Formule la ecuación de regresión.
c. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de
regresión.
d. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
e. Determine el error estándar.
f. Prediga las ventas para una marca que gaste 70 millones de dólares
en publicidad.
g. Grafique la recta de regresión.
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129
130
Caso VI.
En The Wall Street Journal Almanac 1998 aparecieron datos sobre el
desempeño de las aerolíneas estadounidenses. A continuación vemos los
datos sobre el porcentaje de vuelos que llegan puntuales y la cantidad de
quejas por 100,000 pasajeros.
Aerolínea
% de Puntualidad
Quejas
Southwest
81.8
0.21
Continental
76.6
0.58
Northwest
76.6
0.85
US Airways
75.7
0.68
United
73.8
0.74
American
72.2
0.93
Delta
71.2
0.72
American West
70.8
1.22
TWA
68.5
1.25
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó en el inciso a)?
c. Formule la ecuación de regresión, que indique cómo se relaciona el
número de quejas por cada 100,000 pasajeros con el porcentaje de
vuelos que llegan a tiempo.
d. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de
regresión.
e. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
f. Determine el error estándar.
g. ¿Cuál es la cantidad estimada de quejas por 100,000 pasajeros, si el
porcentaje de vuelos puntuales es de 80 porciento?
h. Grafique la recta de regresión.
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131
Caso VII.
La empresa Nielsen Media Research reúne datos que muestran qué
publicistas obtienen la mayor difusión durante las horas estelares de
transmisión en 6 redes televisivas. A continuación se presentan los datos
de la cantidad de familias espectadoras, en millones, y la cantidad de veces
que salió el anuncio al aire durante la semana del 28 de abril al 4 de mayo
de 1997 (USA Today, 5 de mayo de 1997).
Veces que salió al
Familias
Marca Anunciada
aire
espectadoras
Wendy's
28
191.7
Ford Escort
20
174.6
Ausin Powers movie
14
161.3
Nissan
16
161.1
Pizza Hut
16
147.7
Saturn
16
146.3
Father's Day Movie
11
138.2
a. Forme la ecuación de regresión estimada que describa cómo se
relaciona la cantidad de veces que sale un anuncio con la cantidad de
familia espectadoras.
b. Proponga una interpretación de la pendiente de la ecuación de
regresión estimada.
c. ¿Cuál es la cantidad estimada de familias espectadoras si un anuncio
sale 15 veces al aire en una semana.
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132
Caso VIII.
Un gerente de ventas reunió los datos siguientes relacionados con las
ventas anuales y años de experiencia.
Años de
Ventas anuales
Vendedor Experiencia (miles de dólares)
1
1
80
2
3
97
3
4
72
4
4
102
5
6
103
6
8
111
7
10
119
8
10
123
9
11
117
10
13
136
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. Formule una ecuación de regresión estimada con la que se puedan
predecir las ventas anuales, dados los años de experiencia.
c. Use la ecuación de regresión para predecir las ventas anuales de un
vendedor con 9 años de experiencia.
Caso IX.
El gerente de ventas de Copier Sales of America, que tiene una fuerza de
ventas muy numerosa en Estados Unidos y Canadá, quiere determinar si
existe una relación entre el número de llamadas de ventas que se realizan al
mes y el número de copiadoras que se venden durante ese mes. El gerente
selecciona una muestra aleatoria de 10 representantes y determina el
número de llamadas de ventas que cada uno hizo el pasado y la cantidad de
copiadoras vendidas. La información de la muestra se presenta a
continuación:
Representante de Ventas
Tom Keller
Jeft Hall
Brian Virost
Greg Fish
Susan Welch
Carlos Ramírez
Rich Niles
Mike Kiel
Mark Reynolds
Soni Jones
Número de
Llamadas
de Ventas
20
40
20
30
10
10
20
20
20
30
Número de
Copiadoras
Vendidas
30
60
40
60
30
40
40
50
30
70
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133
h. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
i. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó anteriormente, acerca de la
relación entre las dos variables?
j. Formule la ecuación de regresión.
k. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
l. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
m. Determine el error estándar.
n. Grafique la recta de regresión.
o. Prediga las ventas para 15, 35 y 60 llamadas.
Caso X.
La humedad influye en la evaporación, de modo que el equilibrio de
solventes de las pinturas base agua durante su rocío se ve afectado por la
humedad. Se emprende un estudio controlado para examinar la relación de
la humedad con la magnitud de la evaporación del solvente. El
conocimiento de esta relación es útil para que el pintor ajuste el aspersor de
pintura de modo de considerar la humedad. Se obtienen los datos
siguientes:
OBSERVACION
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
HUMEDAD
EVAPORACION
RELATIVA
SOLVENTE
(%)
35.3
29.7
30.8
58.8
61.4
71.3
74.4
76.7
70.7
57.5
46.4
28.9
28.1
39.1
46.8
48.5
59.3
70.0
70.0
74.4
72.1
58.1
44.6
33.4
28.6
(% DE PESO)
11.0
11.1
12.5
8.4
9.3
8.7
6.4
8.5
7.8
9.1
8.2
12.2
11.9
9.6
10.9
9.6
10.1
8.1
6.8
8.9
7.7
8.5
8.9
10.4
11.1
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134
Las estadísticas de resumen para estos datos son:
Sumatoria de x = 1,314.90
Sumatoria de y = 235.70
Sumatoria de x*x = 76,308.53
Sumatoria de y*y = 2,286.07
Sumatoria de x*y = 11,824.44
i. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
j. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó en el inciso a)?
k. Formule la ecuación de regresión, que indique cómo se relaciona la
humedad con la evaporación.
l. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de
regresión.
m. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
n. Determine el error estándar.
o. ¿Cuál es la magnitud de la evaporación del solvente cuando la
humedad relativa es 50%?
Grafique la recta de regresión.
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134
135
Distribución Muestral
Generalmente las poblaciones son demasiado grandes como
para ser estudiadas en su totalidad. Es necesario seleccionar una
muestra representativa de un tamaño más manejable. Esta
muestra se utiliza luego para sacar conclusiones sobre la
población.
Distribución Muestral:
Es una lista de todos los valores posibles para un estadístico
y la probabilidad relacionada con cada valor.
Error de Muestreo:
Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el
estadístico de la muestra para estimar el parámetro.
X'-X"
X'-
Parámetro:
Es una medición numérica
característica de una población.
que
describe
alguna
- Medida descriptiva de la población completa de
observaciones que tienen interés para el investigador.
Estadístico:
Es una medición numérica
característica de una muestra.
que
describe
alguna
El estadístico se utiliza como estimador del parámetro. Al
confiar en una muestra para sacar alguna conclusión o inferencia
sobre la población.
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135
136
Caso I.
Las ventas en miles de dólares de Electrom, S.A. durante los
últimos 6 meses fueron de 70, 77, 73, 78, 85 y 80. Asumiendo
que estos cinco meses constituyen una población, la media
claramente es  = 77.17. El director de Marketing desea estimar
esta media "desconocida" tomando una muestra de tamaño n=4.
Se espera que el error de muestreo que es probable que ocurra sea
relativamente pequeño. Realice la distribución muestral.
1º Podemos obtener muchas muestras de tamaño 4.
Específicamente 6C4 = 15
2º Construya la tabla en base a la cantidad de muestra del primer
punto, indicando los elementos muestrales (Xi), y Medias
Muestrales (X')
3º Construya la tabla con la Probabilidad de cada media muestral.
4º Calcule la media de las medias muestrales.
La Media de las Medias Muestrales:
X"= estándar de las medias muestrales/K.
Varianza de la Distribución Muestral de las Medias
Muestrales:
²x'=(X'-X")²/K
Error Estándar de la Muestral de las Medias Muestrales:
x'=²x'
Una aproximación cercana puede obtenerse mediante:
²x'=²/n
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136
137
x'=/n
Si el tamaño de la muestra es mas del 5% de la población,
n>0.05N, debe aplicarse el factor de corrección para
poblaciones finitas (fpc).
Error Estándar utilizando el fpc:
x'=(/n)((N-n/N-1))
(N-n/N-1) es el fpc.
70
73
77
78
80
85
TABLA DE DISTRIBUCION MUESTRAL
POBLACION
VENTAS
MENSUALES
70
77
73
78
85
80
77.17
MEDIA
VARIANZA
DESVICION
NUMERO
MUESTRA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ELEMENTOS DE
MEDIA (X')
ERROR DE
CUADRADO DEL
LA MUESTRA (X)
MUESTRAL MUESTREO (X'-X") ERROR (X'-X")
70 73 77 78
70 73 77 80
70 73 77 85
70 73 78 80
70 73 78 85
70 73 80 85
70 77 78 80
70 77 78 85
70 77 80 85
70 78 80 85
73 77 78 80
73 77 78 85
73 77 80 85
73 78 80 85
77 78 80 85
MEDIA DE X'
VARIANZA
ERROR ESTANDAR
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137
138
TABLA DE PROBABILIDADES
NUM.
MEDIAS (NX')
MUESTRAL
MEDIA (X')
NX'/K
P(X')
Ejercicios 1 al 5 - Págs. 149-150
Teorema del Limite Central.
A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las
medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una
media X"= y un error estándar de x'=/n.
A mayor n menor x'
Por tanto, incluso si la población no esta distribuida
normalmente, la distribución de muestreo de las medias
muestrales será normal si n es lo suficientemente grande.
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema
del Limite Central asegurara una distribución normal en las
medias muestrales incluso si la población no es normal.
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138
139
En síntesis:
Teorema del Limite Central:
Dado que:
1.- La variable aleatoria x tiene una distribución (que podría ser o
no normal) con media  y una desviación estándar .
2.- Se seleccionan aleatoriamente muestras de tamaño n de esa
población.
Conclusiones:
1.- A medida que aumenta el tamaño de las muestras, la
distribución de las medias de muestra se acercara a una
distribución normal.
2. - La media de las medias de muestra será la media de la
población X"=.
3.- La desviación estándar de las medias de muestra será x'=/
n.
Reglas prácticas de uso común:
1.- Para muestras de tamaño n mayor que 30, la distribución de
las medias de muestra se puede aproximar razonablemente bien
con una distribución normal. La aproximación es más exacta a
medida que aumenta el tamaño de muestra n.
2.- Si la población original también esta distribuida normalmente,
las medias de muestra tendrán una distribución normal para
cualquier tamaño de muestra n.
El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n
> 30), la distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal
con media  y desviación estándar /n. Provocando así una variación de
la ecuación:
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139
140
 = (X' - )/(/n)
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite
Central asegurara una distribución normal en las medias muestrales incluso
si la población no es normal.
Caso I.
Orange registró los mensajes telefónicos de sus clientes, los
cuales promedian 150 segundos, con una desviación de 15
segundos, por lo que planea instalar nuevos equipos que
mejorarían la eficiencia de sus operaciones. Sin embargo, antes
que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz en
función de los costos, deben determinar la probabilidad de que la
media de una muestra de n = 35:
a. Esté entre 145 y 150.
b. Sea mayor que 145.
c. Sea menor que 155.
d. Esté entre145 y 155.
e. Sea mayor que 155.
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140
141
Distribución de Proporciones Muestrales
Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la
población . Una firma de marketing puede querer averiguar si
un cliente (1) compra o (2) no compra el producto. Un banco con
frecuencia debe determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no
pedirá un crédito para auto. Muchas firmas deben determinar la
probabilidad de que un proyecto para presupuestar capital (1)
generara o (2) no generara un rendimiento positivo.
un cliente (1) compra (p = )
o (2) no compra el producto (q = 1 - )
un depositante (1) pedirá un crédito para auto (p = )
o (2) no pedirá un crédito para auto (q = 1 - )
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción: E(p) =  = ∑p/K
Error estándar de la Distribución _______
____
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n = pq/n
Si el tamaño de la muestra es mas del 5% de la población,
n>0.05N, debe aplicarse el factor de corrección para
poblaciones finitas (fpc).
Error estándar de la Distribución _______
________
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n * (N-n/N-1)
____ ________
p = pq/n * (N-n/N-1)
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Caso I.
Publicidad Sarmiento pregunta a toda la población N=4 clientes si
vieron el anuncio publicitario de Sarmiento en el periódico de esta
mañana. Se registro una respuesta “si”como éxito, y “no”como
fracaso. Los cuatros clientes S1, N2, N3 y S4. La proporción
poblacional de éxitos es  = 0.5. Se tomaron muestras de tamaño
n = 2, y la proporción de éxitos se registra en la siguiente tabla:
p = x/n
Xi
Núm. De éxitos
p
1
S1, N2
1
0.50
2
S1, N3
1
0.50
3
4
S1, S4
N2, N3
2
0
1.00
5
N2, S4
1
0.50
6
N3, S4
1
0.50
TOTAL
3.00
-
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = ∑p/K = 3/6 = 0.5
Muestra de la Proporción:
________ _______
p = 0.5*0.5/2 * (4-2/4-1)
p = (1-)/n * (N-n/N-1)
p = 0.35355339 * 0.81649658 = 0.289
Z = (p - )/p
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Caso II.
BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en
lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una
tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente
por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene:
a. Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un
nuevo suplidor.
b. Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo
proveedor.
c. Entre el 5 y 10% de defectos, definitamente no
conseguirá un nuevo proveedor.
d. Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
i. Cúal decisión es más probable que tome
BellLabs?
a. Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un
nuevo suplidor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p > 0.12):
Z = (p - )/p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(p > 0.12) = P(Z > 0.95) = 0.5 - 0.3289 = 0.1711
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143
144
b. Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo
proveedor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.10 <= p <= 0.12):
Z = (p - )/p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289
c. Entre el 5 y 10% de defectos, definitamente no
conseguirá un nuevo proveedor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.05 <= p <= 0.10):
Z = (p - )/p
Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0.4913
P(0.05 <= p <= 0.10) = 0.4913
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d. Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
Cúal decisión es más probable que tome BellLabs?
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p < 0.05):
Z = (p - )/p
Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0.4913
P(p < 0.05) = 0.5 - 0.4913 = 0.0087
Webster: Ejercicios 9 al 12 - Pág. 157
Webster: Ejercicios 13 al 17 - Pág. 160
Investigar los siguientes Métodos de Muestreo y dar dos
Ejemplos: Valor 2 adicionales a los 100.
-
Muestreo Aleatorio Simple
Muestreo Sistemático
Muestreo Estratificado
Muestreo por Conglomerados
Muestreo de Conveniencia
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145
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Métodos de Muestreo
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona
para su estudio porque la población es demasiado grande para analizarla en
su totalidad.
Muestra Aleatoria o Probabilística: Se seleccionan los miembros de la
población de modo que cada uno tenga la misma probabilidad de ser
escogido.
Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con
base en la probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta
probabilidad de ser elegido como parte de la muestra.
Muestra Aleatoria Simple: Una muestra es seleccionada de modo que
todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser
elegidos. De igual manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma
posibilidad de ser elegidas. La muestras aleatorias simples se obtienen por
muestreo con reemplazo en una población finita o por muestreo sin
reemplazo en una población sin reemprazo.
Una muestra aleatoria simple de n sujetos se selecciona de tal
manera que toda posible muestra de tamaño n tenga la misma probabilidad
de ser escogida.
Muestreo Estratificado: Subdividimos la población en por lo menos dos
subpoblaciones (o estratos) distintas que comparten categorías (como
genero), y luego sacamos una muestra de cada estrato.
Si los tamaños de muestra de los distintos estratos reflejan la
población general, decimos que tenemos un muestreo proporcional.
Muestra que se obtinen al estratificar el marco muestral y luego
seleccionar un número fijo de elementos de cada uno de los estratos
promedio de una técnica de muestreo aleatorio simple.
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147
Muestreo Proporcional: Muestra que se obtinene al estratificar el marco
muestral y luego seleccionar de cada estrato un número de elementos en
proporción al tamaño de los estratos, por medio de una técnica de muestreo
aleatorio simple.
Cuando se extrae una muestra aleatoria proporcional, el marco
muestral se subdivide en varios estratos y luego de cada estrato se extrae
una submuestra. Una forma conveniente de expresar el concepto de
muestreo proporcional es establecer una proporción. Por ejemplo, “uno de
cada 150”, le induce a seleccionar un (1) elemento por cada 150 elementos
en el estrato.
Muestreo sistemático: Seleccionamos un punto inicial y luego
seleccionamos cada k-ésimo (digamos, cada quincuagésimo) elemento de
la población.
La técnica sistemática es fácil de describir y ejecutar; no obstante,
conlleva algunos peligros cuando el marco muestral es repetitivo o de
naturaleza cíclica. En estas condiciones, puede que los resultados no se
aproximen a una muestra aleatoria simple.
Muestreo por cúmulos o conglomerados: Muestreo que se obtiene al
muestrear algunas, pero no todas, las subdivisiones posibles que hay dentro
de una población. Estas subdivisiones, denominadas conglomerados, a
menudo ocurren de manera natural dentro de la población.
Primero dividimos el área de la población en secciones (o cúmulos) y
luego seleccionamos aleatoriamente unas cuantas de esas secciones
escogiendo todos los miembros de las secciones seleccionadas.
Una diferencia importante entre el muestreo por cúmulos y el
estratificado es que en el muestreo por cúmulos se usan todos los miembros
de cúmulos seleccionados, mientras que en el muestreo estratificado se usa
una muestra de miembros de cada estrato.
Muestreo de conveniencia o de juicio: Simplemente utilizamos resultados
que ya están disponibles.
Las muestras son elegidas con base en el hecho de que son típicas.
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148
Cuando se obtiene una muestra de juicio, la persona que elabora la
muestra elige unidades que considera representativas de la población. La
validez de los resultados de una muestra de juicio refleja la solidez del
juicio del recolector de datos.
Error de muestreo: Es la diferencia entre el resultado de una muestra y el
verdadero resultado de la población; tal error es consecuencia de las
fluctuaciones aleatorias de las muestras.
Error de muestreo: Este error ocurre cuando los datos de una muestra se
obtienen, registran o analizan de forma incorrecta.
Tal error es
consecuencia de una equivocación y no de una fluctuación aleatoria y
predispuesta, cuando se usa un instrumento de medición defectuoso,
cuando se hacen preguntas predispuestas en una encuesta, cuando mucha
gente se niega a responder o cuando se cometen errores al copiar los datos
de la muestra.
Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la elección de unos determinados
elementos de la muestra en detrimento de otros.
Este análisis de las muestras conduce a distinguir entre las dos ramas
principales del análisis estadístico: 1) Estadística descriptiva o deductiva, y
2) Estadística inferencial o inductiva.
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Estimados y Tamaño de Muestra
Estadística Inferencial:
Implica la utilización de una muestra para extraer alguna
inferencia o conclusión sobre la población correspondiente.
- Apoyándose en el calculo de probabilidades y a partir de
datos muestrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones y
otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones
generales para un conjunto de datos más amplio a partir de la
información proporcionada por los datos estudiados.
Las dos aplicaciones principales de la estadística
inferencial implican el uso de datos de muestra para (1) estimar
el valor de un parámetro de población y (2) llegar a una
conclusión acerca de una población.
Estimador: es una estadística de muestra (como la media de
muestra) que se usa para aproximar un parámetro de población.
Existen dos tipos de estimadores que se utilizan normalmente:
- Estimador puntual
- Estimador por intervalo
Estimado puntual: es un valor individual (o punto) que se usa
para aproximar un parámetro de población.
Estimador Puntual: utiliza un numero único o valor para
localizar una estimación del parámetro.
La media de muestra es el mejor estimado de la media de
población.
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150
Podemos decir que la media de la muestra es un estimador
no predispuesto de la media de la población, lo que quiere decir
que la distribución de las medias de muestra tiende a centrarse
alrededor del valor de la media de la población. (Es decir, las
medias de muestra no tienden a sobreestimar sistemáticamente el
valor de , y tampoco tienden a subestimar sistemáticamente
dicho valor. En vez de ello, tienden a centrarse en el valor de 
misma).
Estimación por intervalo: especifica el rango dentro del cual
esta el parámetro desconocido.
Intervalo de Confianza: denota un rango dentro del cual puede
encontrarse el parámetro.
Es una gama (o un intervalo) de valores que probablemente
contiene el valor verdadero del parámetro de población.
Un intervalo de confianza se asocia a un grado de confianza,
que es una medida de la certeza que tenemos de que nuestro
intervalo contiene el parámetro de población.
Nivel de confianza (grado o coeficiente de confianza): es la
probabilidad 1- (a menudo expresada como el valor porcentual
equivalente) de que el intervalo de confianza contiene el
verdadero valor del parámetro.
Existen tres niveles de confianza relacionados comúnmente
con los intervalos de confianza: 99, 95 y 90%, denominados
coeficientes de confianza.
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Valor Alfa : Es la probabilidad de error o la probabilidad de
que un intervalo dado no contenga la media poblacional
desconocida.
Valor Critico /2: Es el numero que esta en la frontera que
separa las estadísticas de muestra que probablemente ocurrirán,
de aquellas que probablemente no ocurrirán. Es un puntaje  con
la propiedad de que separa un área de /2 de la cola derecha de la
distribución normal estándar.
Margen de Error : Es la máxima diferencia probable (con una
probabilidad de 1-) entre la media de muestra observada y el
verdadero valor de la media de población . El margen de error
también se denomina error máximo de la estimación y puede
obtenerse multiplicando el valor critico y la desviación estándar
de las medias de muestras.
= /2 * /n
= /2 * x'
Intervalo de confianza para estimar  (media poblacional real
desconocida) cuando  es conocido.
I.C. para estimar  = X'  
Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el McDonald's
local, los estudiantes de Métodos Cuantitativos II toman una
muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de
US$5.67, con una desviación estándar poblacional de US$1.10.
¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos
promedio de todos los clientes? Interprete sus resultados.
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Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el McDonald's
local, los estudiantes de Métodos Cuantitativos II toman una
muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de
US$5.67, con una desviación estándar poblacional de US$1.10.
¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos
promedio de todos los clientes? Interprete sus resultados.
Datos:
=/2*/n=1.96*1.10 /
200=0.15
n=200
N.C.=95% I.C. para estimar  = X'  
x'=US$5.67 I.C.=?
= US$5.670.15
=US$1.10
= US$5.52    US$5.82
Interpretación del Caso:
Los estudiantes poseen un 95% de confianza de que la
media poblacional desconocida del gasto de los clientes del
McDonal's evaluados se encuentra entre el intervalo US$5.52  
 US$5.82.
Si se construyen todos los NCn intervalos de confianza, el
95% de ellos contendrá la media poblacional desconocida. Esto
por supuesto significa que el 5% de todos los intervalos estaría
errado - no contendrían la media poblacional, el Valor alfa .
Calculo del  cuando se desconoce  (desviación estándar
poblacional):
Si n > 30, podemos sustituir  de la formula del  por la
desviación estándar de la muestra s.
= /2 * s/n
= /2 * sx'
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Procedimiento para construir un intervalo de confianza para
 (basado en una muestra grande: n > 30).
1. Encuentre el valor critico /2 que corresponda al grado de
confianza deseado.
2. Evalúe el margen de error  = /2 * x'. Si se desconoce la
desviación estándar de la población , use el valor de la
desviación estándar de la muestra s, siempre que n > 30.
3. Con el valor del margen de error calculado  y el valor de la
media de muestra X', obtenga los valores de X'- y X'+.
Sustituya estos valores en el formato general del intervalo de
confianza:
X'-    X'+
 = X'  
(X'-,X'+)
4. Redondee los valores resultantes aplicando la regla de
redondeo.
Regla de Redondeo para intervalos de confianza empleados
para estimar .
1. Si usa el conjunto de datos original para construir un intervalo
de confianza, redondee los limites del intervalo de confianza a
una posición decimal mas que las empleadas en el conjunto de
datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y solo usa las
estadísticas resumidas (n,x',s), redondee los limites del intervalo
de confianza de acuerdo al mismo numero de posiciones
decimales que se usan para la media de muestra.
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154
Justificación: La idea básica en que se apoya la construcción de
intervalos de confianza tiene que ver con el teorema del limite
central, que indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la
distribución de las medias de muestra es aproximadamente
normal con media  y desviación estándar /n. El formato de
los intervalos de confianza en realidad es una variación de la
ecuación:
 = (X' - )/(/n)
X' -  =  (/n)
-  =  (/n) - X' (-1)
 = X' -  (/n)
Precisión: Un intervalo estrecho ofrece mayor precisión, aunque
la probabilidad de que contenga  se reduce.
Caso I.
Una muestra consiste en 75 televisores adquiridos hace varios
años. Los tiempos de reemplazo de esos televisores tienen una
media de 8.2 años y una desviación estándar de 1.1 años (basados
en datos de "Getting Things Fixed", Consumer Reports).
Construya un intervalo de confianza del 90% para el tiempo de
reemplazo medio de todos los televisores de esa época.
Caso II.
Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para
determinar (a) el margen de error y (b) el intervalo de confianza
para la media de la población .
1. Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=50, x'=63.4 pulgs.,
s=2.4 pulgs.
2. Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=75, x'=2.76,
s=0.88.
3. Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=150, x'=77.6;
s=14.2.
Ejercicios de la Seccion 1 al 10 pags. 175 y 176.
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154
155
Estimación de una proporción de población.
Las decisiones dependen con frecuencia de parámetros que
son binarios, parámetros con solo dos posibles categorías dentro
de las cuales pueden clasificarse las respuestas. En este evento, el
parámetro de interés es la proporción poblacional.
Tanto las proporciones como las probabilidades se expresan en
forma decimal o fraccionaria. Al trabajar con porcentajes, los
convertimos en proporciones omitiendo el signo de por ciento y
dividiendo entre 100. Por ejemplo, la tasa del 48% de personas
que no compran libros puede expresarse en forma decimal como
0.487.
Estimado puntual para la proporción de población.
La proporción de muestra p es el mejor estimado puntual de
la proporción de población.
p = x/n
proporción de muestra de x éxitos en una muestra de tamaño
n.
Intervalo de confianza para la proporción poblacional.
Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la
población . Una firma de marketing puede querer averiguar si
un cliente (1) compra o (2) no compra el producto. Un banco con
frecuencia debe determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no
pedirá un crédito para auto. Muchas firmas deben determinar la
probabilidad de que un proyecto para presupuestar capital (1)
generara o (2) no generara un rendimiento positivo.
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155
156
Repasando:
p=
p = denota probabilidad de tener éxito en uno de los n
ensayos.
q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n
ensayos.
p+q=1
p=1-q
q=1-p
n > 5
np > 5
n(1-) > 5
nq > 5
Si n y n(1-) son mayores que 5, la distribución de las
proporciones muestrales será normal y la distribución muestal de
la proporción muestral tendrá una media igual a la proporción
poblacional  y error estándar de:
Error estandar de la distribución muestral
de las proporciones muestrales:
p = (1-)/n = pq/n
Estimación del Error estándar de la distribución muestral de
las proporciones muestrales:
sp = p(1-p)/n = pq/n
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156
157
Margen de error del estimado de la proporción de la
población:
E = ()(pq/n)
Regla de redondeo para estimados de intervalo de confianza
para la proporción de población
Redondee los limites del intervalo de confianza a tres
dígitos significativos.
Intervalo de
poblacional.
confianza
I.C. para estimar la
proporción poblacional
para
estimar
la
proporción
=pE
Caso I.
En una encuesta de 1068 estadounidenses, 673 dijeron que
tenían contestadoras telefónicas (basados en datos de
International Mass Retail Association, informados en USA
Today). Utilizando estos resultados de muestra, determine:
a. El estimado puntual de la proporción de la población de todos
los estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
b. El estimado de intervalo del 95% de la proporción de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
a. Estimado puntual para la proporción de población.
p = x/n = 673/1068 = 0.630
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157
158
b. Intervalo de confianza para estimar la proporción
poblacional.
E = ()(pq/n)
E = 1.96 ((0.630)(0.370)/1068) = 0.0290
I.C. para estimar la
proporción poblacional
=pE
0.630 - 0.0290 <  < 0.630 + 0.0290
0.601 <  < 0.659
Este resultado a menudo se informa en el formato siguiente: "Se
estima que el porcentaje de los estadounidenses que tiene
contestadora telefonica es del 63%, con un margen de error de
mas o menos 2.9 puntos porcentuales. También debe informarse
el nivel de confianza, pero eso casi nunca se hace en los medios
de comunicación.
EJERCICIOS DE LA SECCION 20 AL 25 - PAG. 182.
Determinación del tamaño apropiado de la muestra
El tamaño de la muestra juega un papel importante al
determinar la probabilidad de error así como en la precisión de la
estimación.
Una vez se ha seleccionado el nivel de confianza, los
factores importantes influyen en el tamaño muestral:
(1) la varianza de la población ² y
(2) el tamaño del error tolerable que el investigador esta dispuesto
a aceptar.
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158
159
Tamaño de la muestra para estimar .
 = (X' - )/x'
 = (X' - )/(/n)
X' -  =  (/n)
n(X' - ) = 
n = /(X' - )
n = ²²/(X' - )²
n = [/E]²
E = Error de Muestreo
El tamaño de la muestra debe ser entero.
Regla de redondeo para el tamaño de muestra n.
Al calcular el tamaño de muestra n, si la formula anterior no
produce un numero entero, siempre debe aumentarse el valor de n
al siguiente numero entero mayor.
El tamaño de la muestra no depende del tamaño de la
población (N); el tamaño de muestra depende del grado de
confianza deseado, el margen de error deseado y del valor de la
desviación estándar .
La duplicación del margen de error hace que el tamaño de
la muestra requerida se reduzca a la cuarta parte de su valor
original. Por otro lado, si se reduce a la mitad el margen de
error se cuadruplicara el tamaño de la muestra. Lo que esto
implica es que si queremos resultados más exactos, es preciso
aumentar sustancialmente el tamaño de la muestra.
Dado que las muestras grandes generalmente requieren
mas tiempo y dinero, a menudo es necesario efectuar un
trueque entre el tamaño de la muestra y el margen de error E.
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159
160
Caso I.
Un economista desea estimar los ingresos medios durante el
primer año de trabajo de un graduado universitario que, en un
alarde de sabiduría, tomo un curso de estadística. ¿Cuantos de
tales ingresos es necesario encontrar si queremos tener una
confianza del 95% en que la media de muestra este a menos de
US$500 dólares de la verdadera media de la población? Suponga
que un estudio previo revelo que, para tales ingresos, 
=US$6250.
DATOS:
N.C.=95% ===> Z=1.96
Queremos que la media de la muestra este dentro de un
margen de US$500 de la media de la población.
E=US$500
=US$6,250
n = ²²/(X' - )²
n = [(1.96)²*(6250)²]/(500)²=
n = [/E]²
n = [(1.96 * 6250)/500]²=
Caso II.
¿Que tan grande se requiere que sea una muestra para que
proporcione una estimación del 90% del numero promedio de
graduados de las universidades de la nación con un error de 2000
estudiantes si una muestra piloto reporta que s=8,659?
Caso III.
Nielsen Media Research quiere estimar la cantidad media de
tiempo (en horas) que los estudiantes universitarios de tiempo
completo dedican a ver televisión cada día entre semana.
Determine el tamaño de muestra necesario para estimar esa media
con un margen de error de 0.25 horas (15 minutos). Suponga que
se desea un grado de confianza del 96%, y que un estudio piloto
indico que la desviación estándar se estima en 1.87 horas.
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160
161
¿QUE PASA SI SE DESCONOCE ?
1.- Podemos
INTERVALO.
utilizar
la
REGLA
PRACTICA
DE
En conjuntos de datos representativos, el intervalo del
conjunto tiene una anchura aproximada de cuatro desviaciones
estándar (4s), así que la desviación estándar se puede aproximar
de la siguiente manera:
desviación estándar  intervalo/4
  intervalo/4
Esta expresión proporciona una estimación burda de la
desviación estándar, si conocemos los puntajes máximo y
mínimo. Si conocemos el valor de la desviación estándar,
podemos usarlo para entender mejor los datos, obteniendo
estimaciones burdas de los puntajes máximo y mínimo como se
indica.
2.- Realizar un estudio piloto iniciando el proceso de muestreo.
Con base en la primera recolección de por lo menos 31 valores de
muestra seleccionados al azar, calculamos la desviación estándar
de la muestra s y la usamos en lugar de . Este valor puede
refinarse a medida que se obtengan mas datos de muestra.
mínimo  (media) - 2 * (desviación estándar)
máximo  (media) + 2 * (desviación estándar)
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161
162
Caso I.
Si razonamos que los precios de los libros de textos universitario
típicamente varían entre US$10 y US$90 dólares.
Usted planea estimar el precio de venta medio de un libro de
texto universitario. ¿Cuantos libros de textos deberá muestrear si
desea tener una confianza del 95% en que la media de la muestra
estará a menos de US$2 dólares de la verdadera media de la
población ?
DATOS:
  intervalo/4
  (US$90-US$10)/4  US$20
N.C.=95% ===> Z=1.96
E=US$2 dólares
n = ²²/(X' - )²
n = [(1.96)²*(20)²]/(2)²=
n = [/E]²
n = [(1.96 * 20)/2]²=
Caso II.
Boston Marketing Company lo acaba de contratar para realizar
una encuesta con el fin de estimar la cantidad media de dinero que
los asistentes al cine de Massachussets gastan (por película).
Primero use la regla practica del intervalo para hacer un estimado
burdo de la desviación estándar de las cantidades gastadas. Es
razonable suponer que las cantidades típicas varían entre US$3
dólares y unos US$15 dólares. Luego utilice esa desviación
estándar para determinar el tamaño de muestra que corresponde a
una confianza del 98% y a un margen de error de 25 centavos de
dólar.
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Tamaño de la
poblacional.
muestra para
estimar la proporción
Si despejamos a "n" de la expresión del margen de error E.
E = ()(pq/n)
E² = ()²(pq/n)²
E² = ()²(pq/n)
E²n = ()²(pq)
n = [()²(pq)]/E²
Cuando se puede obtener un estimado razonable de p utilizando
muestras previas, un estudio piloto o los conocimientos de algún
experto se utiliza la formula anterior.
Cuando no se conoce el estimado puntual p:
n = [()²* 0.25]/E²
Si no se puede conjeturarse un valor, puede asignarse el valor
de 0.5 tanto a p como a q, con lo que el tamaño de muestra
resultante será al menos tan grande como necesita ser. La
justificación para la asignación de 0.5 es la siguiente: el valor
mas alto posible del producto p*q es de 0.25, y ocurre cuando
p=0.5 y q=0.5 como se puede observar en la siguiente tabla que
usted debe completar:
p
q
p*q
0.1
0.9
0.09
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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163
164
Caso I.
Las compañías de seguros se están preocupando porque el
creciente uso de teléfonos celulares esta teniendo como resultado
un mayor numero de accidentes automovilísticos, y están
considerando implementar tarifas mas altas para conductores que
usan tales aparatos. Queremos estimar, con un margen de error
de tres puntos porcentuales, el porcentaje de conductores que
hablan por teléfono mientras conducen.
Suponiendo que
queremos tener una confianza del 95% en nuestros resultados,
¿cuantos conductores deberán encuestar?
a. Supongamos que tenemos un estimado de p basado en un
estudio previo que indico que el 18% de los conductores habla
por teléfono (basados en datos de la revista Prevention).
b. Suponga que no tenemos información previa que sugiera un
posible valor de p.
SOLUCION:
a) DATOS:
p=0.18
q=0.82
N.F.=95% ==> Z=1.96
E=0.03 = tres puntos porcentuales
n = [()²(pq)]/E²
n = [(1.96)²(0.18*0.82]/(0.03)²
n=
b) DATOS:
N.F.=95% ==> Z=1.96
E=0.03 = tres puntos porcentuales
n = [()²* 0.25]/E²
n = [(1.96)²* 0.25]/(0.03)²
n=
Si comparamos estos dos resultados de tamaño de muestra
vemos que, si no tenemos conocimiento de un estudio anterior,
se requiere una muestra más grande para obtener los mismos
resultados que cuando se puede estimar el valor de p.
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Caso II.
Una compañía de comunicaciones esta considerando un proyecto
para prestar servicio telefónico de larga distancia. Se le pide a
usted realizar un sondeo de opinión para estimar el porcentaje de
los consumidores que esta satisfecho con su servicio telefónico de
larga distancia actual. Usted quiere tener una confianza del 90%
en que su porcentaje de muestra estará a menos de 2.5 puntos
porcentuales del valor real para la población, y un sondeo sugiere
que el porcentaje en cuestión anda alrededor del 85%. ¿Que tan
grande deberá ser la muestra?
Caso III.
Planeta Azul proporciona agua embotellada, en contenedores de 15
galones, a las casas de un sector del Distrito Nacional. El gerente desea
estimar el número promedio de contenedores que una casa típica utiliza
cada mes. Se toma una muestra de 75 casas y se registra el número de
contenedores. La media es 3.2, con una desviación de 0.78.
a. ¿Qué revelaría un intervalo de confianza del 92%?
b. Sin embargo, el gerente siente que el intervalo anterior es demasiado
amplio. ¿Cuántas casas deben tomar como muestra para estar 99%
seguro de que el intervalo no estará errado en más de 0.10
contenedores?
c. Se selecciona una muestra pequeña de 10 casas para estimar el
número promedio de miembros de la familia por casa. Los
resultados son 1,3,4,7,2,2,3,5,6 y 6 personas en cada casa. ¿Cuáles
son los resultados de un intervalo de 99% para el número promedio
de miembros de la familia?
d. De las 75 casas de la muestra, 22 tienen ablandadores de agua en
casa. ¿Cuál es el estimado del intervalo del 95% de la proporción de
todas las casas del sector que tiene ablandadores?
e. Si el intervalo oscila entre el 18.8% y el 39.2% de todas las casas que
tienen ablandadores y carece de precisión, ¿qué tan grande debe
tomarse una muestra para producir un intervalo de sólo el 10%?
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Caso IV.
Se pidió a 200 personas de una muestra identificar su principal fuente de
información de noticias; 110 dijeron que esa fuente es los noticiarios
televisivos.
a. ¿Cuál es el estimado puntual de la proporción poblacional?
b. Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de
las personas en la población que consideran a la televisión como su
principal fuente de información noticiosa. Interprete los resultados.
a. ¿Qué tamaño debe tener una muestra para estimar la proporción de la
población, con un margen de error igual a 0.05 y un nivel de
confianza de 95%?
Caso V.
Al ensayar un nuevo método de producción, se seleccionaron 18 empleados
al azar, y se les pidió lo probaran. La tasa de producción promedio
muestral para los 18 empleados fue 80 partes por hora, y la desviación
estándar muestral fue de 10 partes por hora. Suponiendo que la población
tiene una distribución de probabilidad normal.
a. Determine un intervalo de confianza de 90% de la tasa de
producción promedio poblacional con el nuevo método, Interprete
los resultados y Represente gráficamente.
b. Construya un intervalo de confianza de 95% de la tasa de producción
promedio poblacional con el nuevo método, Interprete los
resultados y Represente gráficamente.
c. Construya un intervalo de confianza de 99% de la tasa de producción
promedio poblacional con el nuevo método, Interprete los
resultados y Represente gráficamente.
d. ¿Cuál es estimado puntual de la tasa de producción promedio
poblacional con el nuevo método?
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Caso VI.
Media Metrix, Inc., vigila a los usuarios de Internet en siete países:
Australia, Gran Bretaña, Canadá, Francia, Alemania, Japón y Estados
Unidos.
Según las cifras de medición recientes, los usuarios
estadounidenses ocupan el primer lugar en el uso de Internet con un
promedio de 13 horas por mes. Suponga que en un estudio de seguimiento
en el participaron 145 usuarios de Internet canadienses, la media muestral
fue de 10.8 horas por mes y la desviación estándar muestral fue de 9.2
horas.
a. Formule las hipótesis nula y alternativa que servirán para determinar
si los datos de la muestra sustentan la conclusión de que los usuarios
de Internet canadienses tienen una media poblacional menor que el
promedio estadounidenses de 13 horas por mes.
b. Con un nivel de significancia de 0.01 ¿Cuál es el valor crítico para
comprobar la estadística de prueba, y ¿cuál es la regla de rechazo?
c. ¿Basado en la estadística de prueba y regla de decisión la
información es correcta?
d. Interprete los resultados, de sus conclusiones.
e. Represente gráficamente la situación.
Caso VII.
Una compañía de comunicaciones esta considerando un proyecto para
prestar servicio telefónico de larga distancia. Se le pide a usted realizar un
sondeo de opinión para estimar el porcentaje de los consumidores que esta
satisfecho con su servicio telefónico de larga distancia actual. Usted quiere
tener una confianza del 90% en que su porcentaje de muestra estará a
menos de 2.5 puntos porcentuales del valor real para la población, y un
sondeo sugiere que el porcentaje en cuestión anda alrededor del 85%.
¿Que tan grande deberá ser la muestra?
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Estimadores y Estimaciones.
Un estimador es el proceso mediante el cual se obtiene la
estimación. Una estimación es el resultado numérico del
estimador.
Estimador: es una estadística de muestra (como la media de
muestra) que se usa para aproximar un parámetro de población.
Existen dos tipos de estimadores que se utilizan normalmente:
- Estimador puntual
- Estimador por intervalo
Estimado puntual: es un valor individual (o punto) que se usa
para aproximar un parámetro de población.
Estimador Puntual: utiliza un numero único o valor para
localizar una estimación del parámetro.
La media de muestra es el mejor estimado de la media de
población.
Podemos decir que la media de la muestra es un estimador
no predispuesto de la media de la población, lo que quiere decir
que la distribución de las medias de muestra tiende a centrarse
alrededor del valor de la media de la población. (Es decir, las
medias de muestra no tienden a sobreestimar sistemáticamente el
valor de , y tampoco tienden a subestimar sistemáticamente
dicho valor. En vez de ello, tienden a centrarse en el valor de 
misma).
Estimación por intervalo: especifica el rango dentro del cual
esta el parametro desconocido.
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Intervalo de Confianza: denota un rango dentro del cual puede
encontrarse el parámetro.
Los Estimadores deben ser:
1) Insesgados
2) Eficientes
3) Consistentes
4) Suficientes
Estimador Insesgado.
Un estimador es insesgado si la media de su distribución
muestral es igual al parámetro correspondiente.
E(') = 
 = al parámetro que se intenta estimar
'= estimador
E(X') = X" = 
E(X') -  = 0
X"= estándar de las medias muestrales.
Si E(X') -   0 , si excede  es un estimador sesgado (hacia
arriba).
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REPASO:
Distribuciones de Datos Sesgadas.
Una distribución de datos esta sesgada, si no es simétrica y
se extiende mas hacia un lado que hacia otro.
Sesgo describe la falta de simetría en una distribución.
Los datos sesgados a la izquierda se dice que tienen sesgo
negativo; la media y la mediana están a la izquierda de la moda.
Generalmente tiene la media a la izquierda de la mediana.
Sesgo negativo describe distribuciones asimétricas en la
que la mediana excede a la media; la cola de la distribución es
hacia los valores bajos.
Los datos sesgados a la derecha se dice que tienen sesgo
positivo; la media y la mediana están a la derecha de la moda.
Sesgo positivo describe distribuciones asimétricas en las
que la media excede la mediana; los valores se alargan hacia los
valores altos.
En ambos casos, la moda es por definición la observación
que ocurre con mayor frecuencia, por tanto esta en el pico de la
distribución.
Coeficiente de Sesgo de Pearson.
P = 3 (Media - Mediana)
s
Si P < 0, los datos están sesgados a la izquierda.
Si P > 0, los datos están sesgados a la derecha.
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170
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Si P = 0, los datos están distribuidos normalmente.
Estimador Eficiente.
La eficiencia de un estimado depende de su varianza.
'1 y '2 son dos estimadores insesgados, pero será un
estimador eficiente aquel cuya varianza en muestreo repetidos con
un tamaño muestral dado es menor.
Varianza de la Distribución Muestral de las Medias
Muestrales:
²x'=(X'-X")²/K
Si '1 es un estimador eficiente en relación a '2, la varianza
de la distribución muestral de '1 es menor que la de '2. Los
valores posibles para '2 están más dispersos.
Estimador consistente.
Un estimador es consistente si, a medida que n aumenta, el
valor del estadístico se aproxima al parámetro.
Para que un estimado sea consistente, debe ser insesgado y
su varianza debe aproximarse a cero a medida que n aumenta. La
varianza de la distribución muestral de las medias muestrales es
²x' es ²/n.
A medida que n aumenta, ²x' se aproximara a cero. Por
tanto, se puede decir que X' es un estimador consistente de .
Estimador suficiente.
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Un estimador es suficiente si utiliza toda la información
relevenate sobre el parámetro contenida en la muestra. Es decir,
ningún otro estimador puede proporcionar mas información sobre
el parámetro.
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En secciones anteriores determinamos (1) el estimado puntual, (2)
intervalo de confianza y (3) determinamos el tamaño de la
muestra para medias y proporciones, en esta sección los
aplicaremos a la varianza de población ² o desviación estándar
de población .
Muchas situaciones reales, como el control de calidad en un
proceso de fabricación, requiere estimar valores de varianzas o
desviaciones estándar de población.
Además de fabricar
productos cuyas mediciones producen una media deseada, el
fabricante debe elaborar productos con una calidad uniforme que
no abarquen toda la gama desde extremadamente buenos hasta
extremadamente deficientes. Dado que tal uniformidad a menudo
se puede medir por la varianza o la desviación estándar, estas se
convierten en estadísticas vitales para mantener la calidad de los
productos.
Distribución Chi cuadrada
En una población distribuida normalmente con varianza ²,
seleccionamos aleatoriamente muestras independientes de tamaño
n y calculamos la varianza de muestras s² para cada muestra. La
estadística de muestra ²=(n-1)s²/² tiene una distribución
llamada distribución Chi cuadrada.
²=(n-1)s²/²
n = tamaño de muestra
s²= varianza de muestra
²= varianza de población
La distribución Chi cuadrada esta determinada por el
numero de grados de libertad, por el momento usaremos n-1
grados de libertad.
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Propiedades de la Distribución de la estadística Chi cuadrada.
1.- La Distribución Chi cuadrada no es simétrica, a diferencia de
las distribuciones normal y t Student (A medida que aumenta el
número de grados de libertad, la distribución se vuelve más
simétrica).
2.- Los valores de Chi cuadrada pueden ser cero o positivos, pero
no pueden ser negativos.
3.- La distribución Chi cuadrada es diferente para cada número de
grados de libertad, que es gl=n-1. A medida que aumenta el
numero de grados de libertad, la distribución Chi cuadrada se
acerca a una distribución normal.
Caso I.
Usando la tabla H Distribución Chi-cuadrado.
Encuentre los valores críticos de ² que determinan regiones
criticas que contienen un área de 0.025 en cada cola. Suponga
que el tamaño de muestra pertinente es de 10, de modo que el
numero de grados de libertad es 10-1=9
Solución: El valor critico de la derecha (²=19.023) se obtiene
directamente localizando 9 en la columna de grados de libertad de
la izquierda y 0.025 en la fila superior. El valor critico de 
²=2.700 de la izquierda también corresponde a 9 en la columna de
grados de libertad, pero es preciso localizar 0.975 (que se obtiene
de restar 0.025 a 1) en la fila superior porque los valores de esa
fila siempre son áreas a la derecha del valor critico.
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175
Al obtener valores críticos de Chi cuadrada de la H Distribución
Chi-cuadrado, obsérvese que los números de grados de libertad
son enteros consecutivos del 1 al 30, seguidos de 40, 50, 60, 70,
80, 90 y 100. Si no se encuentra en la tabla un numero de grados
de libertad (digamos 52), por lo regular puede usarse el valor
critico más cercano. Por ejemplo, si el numero de grados de
libertad es 52, remítase a la tabla y use 50 grados de libertad. (Si
el numero de grados de libertad esta exactamente a la mitad entre
dos valores de la tabla, como 55, simplemente calcule la media de
los dos valores de ².) Para numeros de grados de libertad
mayores que 100, use la ecuación siguiente:
²=1/2 [Z+(2k-1)]²
donde k es el numero de grados de libertad.
Caso II.
Encuentre los valores críticos ²L y ²R que corresponden al
grado de confianza y tamaño de muestra dados.
1. 95%;n=26
3. 90%;n=60
2. 99%;n=17
4. 95%;n=50
Estimadores de ².
Dado que las varianzas de muestras s² (que se obtienen con
la formula s²=[(x-x')²]/(n-1)) tienden a centrarse alrededor del
valor de la varianza de la población ², decimos que s² es un
estimador no predispuesto de ². Es decir, las varianzas de
muestras s² no tienden a sobreestimar sistemáticamente ²; en vez
de ello, tienden a centrarse en el valor de ² mismo. Además, los
valores s² tienden a producir errores más pequeños al estar mas
cerca de ² que otras medidas de variación. Por estas razones, el
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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175
176
valor s² es el mejor valor individual (o estimado puntual) de las
diversas estadísticas que podríamos usar para estimar ².
La varianza de muestra s² es el mejor estimado puntual
de la variación de la población ².
Dado que s² es el mejor estimado puntual de ², seria natural
esperar que s sea el mejor estimado puntual de , pero no sucede
así, porque s es un estimador predispuesto de . Por otra parte, si
el tamaño de muestra es grande, la predisposición es tan pequeña
que podemos usar s como un estimado razonablemente bueno de
.
Aunque s² es el mejor estimado puntual de ², no tenemos
una indicación de lo bueno que es realmente. Para compensar
esta deficiencia, deducimos un estimado de intervalo (o intervalo
de confianza) que es mas revelador.
Intervalo de confianza (o estimado de intervalo) para la
varianza de población ².
²=(n-1)s²/²
Despeje: ²=(n-1)s²/²
El intervalo de confianza es:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
El intervalo de confianza para la desviación
estándar se obtiene calculando la raíz cuadrada de cada
componente anterior:
[(n-1)s²/²R] <  < [(n-1)s²/²L]
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176
177
Con un área total de  dividida equitativamente entre las
dos colas de una distribución Chi cuadrada, ²L denota el valor
critico de cola izquierda y ²R denota el valor critico de cola
derecha.
Los limites de intervalos de confianza para ² y  se
deben redondear aplicando la regla de redondeo siguiente:
1. Si usa el conjunto de datos original para construir un intervalo
de confianza, redondee los limites del intervalo de confianza a
una posición decimal mas que las empleadas en el conjunto de
datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y solo usa las
estadísticas resumidas (n,s), redondee los limites del intervalo de
confianza al mismo numero de posiciones decimales que se usan
para la desviación estándar o varianza de muestra.
Caso I.
La Panificadora Pepin produce bizcochos que se empacan en
cajas cuyos rótulos dicen contienen 12 bizcochos con un total de
42 onzas. Si la variación entre los bizcochos es demasiado
grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido (engañando a
los clientes) y otras pesaran más (reduciendo las utilidades). El
supervisor de control de calidad determino que puede evitar
problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 onzas y una
desviación estándar de 0.06 onzas o menos. Se seleccionan
aleatoriamente doce bizcochos de la línea de producción y se
pesan, con los resultados que se dan aquí (en onzas). Construya
un intervalo de confianza del 95% para ² y un intervalo de
confianza del 95% para , y luego determine si el supervisor de
control de calidad esta en problemas.
3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61
3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42
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177
178
Solución:
Con base en los datos de muestra, la media de X'=3.504 parece
excelente porque esta muy cerca del valor deseado. Los puntajes
dados tienen una desviación estándar de s=0.109, que podría
parecer mayor que el valor deseado de 0.06 o menos.
Procedamos a obtener el intervalo de confianza para ².
Con una muestra de 12 puntajes tenemos 11 grados de libertad.
Con un grado de confianza del 95%, dividimos =0.05
equitativamente entre las dos colas de la distribución ² y nos
remitimos a los valores de 0.975 y 0.025 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=3.816 y ²R=21.920.
Utilizando estos valores críticos junto con la desviación estándar
de muestra s=0.109 y el tamaño de muestra de 12 construimos el
intervalo de confianza del 95% evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(12-1)(0.109)²/21.920 <²< (12-1)(0.109)²/(3.816)
0.006 < ² < 0.034
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de
redondear) obtenemos:
0.077 <  < 0.185
Con base en el intervalo de confianza del 95% para ,
parece que la desviación estándar es mayor que el valor deseado
de 0.06 o menos, así que el supervisor de control de calidad esta
en problemas y deberá tomar medidas correctivas para hacer que
el peso de los bizcochos sea mas uniforme.
El intervalo de confianza de 0.077 <  < 0.185 también
puede expresarse como (0.077,0.185), pero el formato de =sE
no puede usarse porque el intervalo de confianza no tiene a s en
su centro.
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178
179
Caso II.
Un recipiente anticongelante para automóvil supuestamente
contiene 3,785 ml del liquido.
Consciente de que las
fluctuaciones son inevitables, la gerente de control de calidad
quiere estar muy segura de que la desviación estándar sea de
menos de 30 ml; De lo contrario, algunos recipientes se
desbordaran, mientras que otros no tendrán suficiente
anticongelantes. Ella selecciona aleatoriamente una muestra, con
los resultados que se dan aquí. Utilice estos resultados para
construir el intervalo de confianza del 99% para el verdadero
valor de . ¿Sugiere este intervalo de confianza que las
fluctuaciones están en un nivel aceptable?
3,761 3,861 3,769 3,772 3,675 3,861
3,888 3,819 3,788 3,800 3,720 3,748
3,753 3,821 3,811 3,740 3,740 3,839
n = 18
X'=3,787.0
s =55.4
Caso III.
a) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minutos) de clientes del BHD,
donde los clientes se forman en una sola fila que alimenta tres ventanillas. Construya
un intervalo de confianza del 95% para la desviación estandar de la población .
6.5
6.6. 6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
b) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minuto) de clientes del Banco
Popular, donde los clientes pueden formarse en cualquiera de tres filas distintas que se
han formado frente a tres ventanillas distintas. Construya un intervalo de confianza del
95% para  y compare los resultados con el intervalo de confianza para los datos del
Banco BHD. ¿Sugieren los intervalos de confianza alguna diferencia en la variación de
los tiempos de espera de cada banco? ¿Cuál sistema parece mejor: el de fila única o el
de múltiples filas?
4.2
5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10.0
Caso IV.
Se espera que un proceso estandarizado produzca arandelas con una desviación muy pequeña en su
espesor. Suponga que se tomaron 10 de estas arandelas y sus espesores, en pulgadas fueron:
0.123
0.124
0.126
0.120
0.130
0.133
0.125
0.128
0.124
0.126
¿Cuál es un intervalo de confianza de 90 por ciento para la desviación estándar del espesor de una
arandela producida mediante este proceso?
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179
180
Determinación del tamaño de muestra.
Los procedimientos para encontrar el tamaño de muestra
necesario para estimar ² son muchos más complejos que los
procedimientos que se dieron antes para las medias y
proporciones.
En lugar de aplicar procedimientos muy
complicados, usaremos la tabla 6-2.
Caso I.
Con una confianza del 95%, queremos estimar  dentro de un
margen de error del 10%. ¿Qué tamaño deberá tener la muestra?
Supongamos que la población esta distribuida normalmente.
Solución: En la tabla 6-2 vemos que una confianza del 95% y un
error del 10% para  corresponde a un tamaño de muestra de 191.
Deberemos seleccionar aleatoriamente 191 valores de la
población.
Caso II.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 95% en que la desviación estándar de la muestra s
estará a menos del 30% de .
Caso III.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 99% en que la desviación estándar de la muestra s
estará a menos del 20% de .
Caso IV.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 99% en que la varianza de la muestra estará a
menos del 30% de la varianza de la población.
Caso V.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una
confianza del 95% en que la varianza de la muestra estará a
menos del 40% de la varianza de la población.
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181
El análisis de varianza (ANOVA)
Es un método para probar la igualdad de dos o más medias
de población analizando varianzas de muestra.
Distribución F
Los métodos de ANOVA emplean la distribución F, que tiene las
siguientes propiedades:
1. La distribución F no es simétrica; esta sesgada hacia la derecha.
2. Los valores de F pueden ser 0 o positivos, pero no pueden ser
negativos.
3. Hay una distribución F distinta para cada par de grados de
libertad del numerador y el denominador.
Esta fue denominada así en 1924 en honor a Sir Ronald A.
Fisher (1890-1962).
La estadística de prueba F es el cociente de dos estimados,
de modo que una estadística de prueba F significativamente
grande (situada muy a la derecha en la grafica de la distribución
F) es un indicio en contra de que las medias de población sean
iguales.
Estadística de Prueba para ANOVA.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
El numerador mide la variación entre las medias de muestra. El
estimado de la varianza del denominador depende solo de las
varianzas de las muestras y no resulta afectado por las diferencias
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181
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entre las medias de las muestras. Por consiguiente, si las medias
de muestra tienen valores muy parecidos, la estadística de prueba
F tiene un valor cercano a 1, y concluimos que no hay diferencias
significativas entre las medias de muestra. En cambio, si el valor
de F es excesivamente grande, rechazamos la afirmación de que
las medias son iguales.
Cálculos con tamaños de muestra iguales.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
Si todos los conjuntos de datos tienen el mismo tamaño de
muestra como se presenta en la tabla a continuación. Primero
calculamos la varianza entre muestras evaluando ns², donde s² es
la varianza de las medias de muestra.
INTERVALOS DE TIEMPO (EN MINUTOS ENTRE
ERUPCIONES DEL VOLCAN "EL VIEJO FIEL"
GEISER OLD FAITHFUL - PARQUE NAC. YELLOWSTONE
1951
1985
1995
1996
74
89
86
88
60
90
86
86
74
60
62
85
42
65
104
89
74
82
62
83
52
84
95
85
65
54
79
91
68
85
62
68
62
58
94
91
66
79
79
56
62
57
86
89
60
88
85
94
12
12
12
12
MEDIA X'
63,3
74,3
81,7
83,8
DESVIACION
9,4
14,2
13,7
10,9
N
BASADOS EN DATOS DEL GEOLOGO RICK HUTCHINSON
Y EL SERVICIO NACIONAL DE ESTADOS UNIDOS
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182
183
Por ejemplo las medias de las muestras de la tabla anterior
son 63.3, 74.3, 81.7, 7 83.8. Esos cuatro valores tienen una
desviación estándar de s=9.26116, así que
varianza entre muestras = ns² = 12 (9.26116) ² = 1,029.23
A continuación, estimamos la varianza dentro de las muestras
calculando s²p, que es la varianza conjunta que se obtiene
calculando la media de las varianzas de muestra.
Las
desviaciones estándar de muestra son 9.4, 14.2, 13.7 y 10.9, así
que
varianza dentro de las muestras = s²p =(9.4² + 14.2² + 13.7² + 10.9²)/4
=149.125
Por ultimo, evaluamos la estadística de prueba F como sigue:
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
F=1,029.23/149.125 = 6.9018
Si llevamos mas posiciones decimales obtendremos una
estadística de prueba más exacta: F=6.9018
El valor critico de F se obtiene suponiendo una prueba de cola
derecha, ya que los valores grandes de F corresponden a
diferencias significativas entre las medias. Con k muestras cada
una de las cuales tiene n puntajes, los números de grados de
libertad se calculan como sigue:
Grados de libertad con k muestras del mismo tamaño n.
grados de libertad del numerador = k - 1
grados de libertad del denominador = k (n-1)
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183
184
Para los datos de muestra de la tabla anterior k=4 y n=12, así que
los grados de libertad son 3 para el numerador y 44 para el
denominador. Con un =0.05, 3 grados de libertad para el
numerador y 44 grados de libertad para el denominador, el valor
critico es F = 2.84 (La tabla de Distribución F no incluye 44
grados de libertad para el denominador, así que usamos el valor
más cercano, que corresponde a 40 grados de libertad).
Regla de decisión: "No rechazar si F  2.84. Rechazar sí F >
2.84".
Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de
que las medias son iguales. Hay suficientes indicios para
justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro muestras
provienen de poblaciones cuyas medias son iguales.
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Caso I.
¿Que concluye usted acerca de la aseveración de que las tres
poblaciones correspondientes a los tres grupos de edades tienen la
misma temperatura corporal media?
TEMPERATURAS CORPORALES (ºF) POR EDAD
18-20
21-29
30 o más
98,0
99,6
98,6
98,4
98,2
98,6
97,7
99,0
97,0
98,5
98,2
97,5
97,1
97,9
97,3
n
5
5
5
X'
97,940
98,580
97,800
s
0,568
0,701
0,752
BASADOS EN DATOS DEL DOCTOR PHILIP MACKOWIAK,
EL DR. STEVEN WASSERMAN Y EL DR. MYRON LEVINE
DE LA UNIVERSITY OF MARYLAND.
Caso II.
La City Resouce Recovery Company (CRRC) recolecta
desperdicios desechados por los hogares de la región. Los
desperdicios deben separarse en las categorías de metal, papel,
plástico y vidrio. Al planificar que equipo necesita para
recolectar y procesar la basura, la CRRC consulta los datos que se
resumen en la siguiente tabla:
En el nivel de significancia de 0.05, pruebe la afirmación de que
las cuatro poblaciones especificas tienen la misma media. Con
base en los resultados, ¿cree usted que las cuatro categorías
requieran los mismos recursos para su recolección y
procesamiento?
METAL
PAPEL
PLASTICO
VIDRIO
n
62
62
62
62
X'
2,218
9,428
1,911
3,752
s
1,091
4,168
1,065
3,108
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Cálculos con tamaños de muestra desiguales.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
F= [ (ni(X'i-X")²) / k-1 ] / [ ((ni-1)s²i) / (ni-1)]
donde:
X" = media de todos los puntajes de muestra combinados
k = numero de medias de población que se comparan
ni = numero de valores en la i-esima muestra
N = numero total de valores en todas las muestras combinadas
X'i = media de los valores de la i-esima muestra
s²i = varianza de los valores de la i-esima muestra
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Prueba de Hipótesis
Las hipótesis indican lo que estamos buscando o tratando
de probar y pueden definirse como explicaciones tentativas del
fenómeno investigado formuladas a manera de proposiciones.
Las hipótesis no necesariamente son verdaderas, pueden o
no serlo, pueden o no comprobarse con hechos.
Son
explicaciones tentativas, no los hechos en sí.
Dentro de la investigación científica, las hipótesis son
proposiciones tentativas acerca de las relaciones entre dos o más
variables y se apoyan en conocimientos organizados y
sistematizados.
Sampieri H., Roberto. "Metodología de la Investigación".
McGraw Hill: Segunda Edición. 1998 BEST SELLER
INTERNACIONAL.
Hipótesis nulas son, en cierto modo, el reverso de las hipótesis
de investigación. También constituyen proposiciones acerca de la
relación entre variables; que sirven solo para refutar o negar lo
que afirma la hipótesis de investigación.
Hipótesis alternativas, como su nombre lo indica, son
posibilidades "alternas" ante las hipótesis de investigación y nula:
Ofrece otra descripción o explicación distintas a las que
proporcionan estos tipos de hipótesis.
Si la hipótesis de investigación establece: "esta silla es roja",
y podrían formularse una o más hipótesis alternativas: ""esta silla
es azul", "esta silla es verde", "esta silla es amarilla", etcétera.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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Hipótesis estadísticas son las transformaciones de las hipótesis
de investigación, nulas y alternativas en símbolos estadísticos. Se
pueden formular solo cuando los datos del estudio que se van a
recolectar y analizar para probar o rechazar las hipótesis son
cuantitativos (números, porcentajes, promedios). Es decir, el
investigador traduce su hipótesis de investigación y su hipótesis
nula (y cuando se formulan hipótesis alternativas, también estas)
en términos estadísticos.
En estadística, una hipótesis es una afirmación o declaración que
se hace acerca de una propiedad de una población.
Componentes de una Prueba de Hipótesis.
Hipótesis nula (denotada por Ho) es una declaración acerca del
valor de un parámetro de población (como la media) y debe
contener la condición de igualdad escrita con el símbolo =,  o .
(Al efectuar realmente la prueba, operaremos bajo el supuesto de
que el parámetro es igual a algún valor especifico.) En el caso de
la media, la hipótesis nula se expresara en una de estas tres
posibles formas:
Ho: = algún valor
Ho:  algún valor
Ho:  algún valor
Por ejemplo, la hipótesis nula que corresponde a la creencia
común de que la temperatura corporal media es 98.6ºF se expresa
como Ho:=98.6. Probamos la hipótesis nula directamente en el
sentido de que suponemos que es verdad y llegamos a una
conclusión que puede ser rechazar Ho o bien en no rechazar Ho.
Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera. El no
rechazo de la hipótesis nula solamente significa que la evidencia
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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188
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muestral no es lo suficientemente fuerte como para llegar a su
rechazo.
Antes que se rechace la hipótesis nula, la media muestral
debe diferir significativamente de la media poblacional planteada
como hipótesis. Es decir, que la evidencia debe ser muy
convincente y concluyente. Una conclusión con base en un
rechazo de la hipótesis nula es más significativa que una que
termine en una decisión de no rechazo.
Diferencia estadísticamente insignificante
En la diferencia entre el valor de la media poblacional bajo
la hipótesis y el valor de la media muestral que es lo
suficientemente pequeña como para atribuirla a un error de
muestreo.
Hipótesis Alternativa (denotada por Ha) es la declaración que
debe ser verdad si la hipótesis nula es falsa. En el caso de la
media, la hipótesis alternativa se expresara en una de tres posibles
formas:
Ha:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: < algún valor
Obsérvese que Ha es lo contrario de Ho. Por ejemplo, si Ho se da
como =98.6, se sigue que la hipótesis alternativa esta dada por
Ha98.6.
Errores Tipo I y Tipo II.
Al probar una hipótesis nula, llegamos a una conclusión de
rechazarla o no rechazarla. Tales conclusiones a veces son
correctas y a veces equivocadas. Hay dos tipos de errores que
podemos cometer.
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189
190
Error Tipo I.
El error de rechazar la hipótesis nula, dado que es verdadera.
La probabilidad de cometer un error tipo I es igual al nivel
de significancia, o valor  en el que se prueba la hipótesis.
Error Tipo II.
Es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Usamos el
símbolo  para representar la probabilidad de error tipo II.
Como controlar los errores tipo I y tipo II. Consideraciones
practicas que podrían ser pertinentes:
1. Para cualquier  fija, un aumento en el tamaño de muestra n
hace que  disminuya. Es decir, una muestra más grande reduce
la posibilidad de cometer el error de no rechazar la hipótesis nula,
dado que en realidad es falsa.
2. Para cualquier tamaño de muestra fijo n, una disminución de 
causara un incremento en . Por otra parte, un incremento en 
causara una disminución en .
3. Si queremos reducir tanto  como , deberemos aumentar el
tamaño de muestra.
Estadística de Prueba.
Una estadística de muestra o un valor basado en los datos
de una muestra. Se utiliza una estadística de prueba para tomar la
decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
 = (X' - )/(/n)
 = (X' - )/(s/n)
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190
191
Región critica.
El conjunto de todos los valores de la estadística de prueba
que nos harían rechazar la hipótesis nula.
Valor critico.
El valor o valores que separan la región critica de los
valores de la estadística de prueba que no nos harían rechazar la
hipótesis nula. Los valores críticos dependen de la naturaleza de
la hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel
de significancia .
Prueba de dos colas para 
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Caso I.
Como gerente de compras de una gran empresa de seguros usted
debe decidir si actualizar o no los computadores de la oficina. A
usted se le ha dicho que el costo promedio de los computadores es
de US$2,100. Una muestra de 64 minoristas revela un precio
promedio de US$2,251, con una desviación estándar de US$812.
¿A un nivel de significancia del 5% parece que su información es
correcta?
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191
192
Datos:
Ho:=US$2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251 precio promedio (de los computadores)
de la muestra
s=US$812
=5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
El gerente de compra desea probar la hipótesis de que la media
poblacional es =US$2,100 bajo un nivel de significancia 
=5%=0.05. Debido a que se plantea la hipótesis de que 
=US$2,100, la hipótesis nula y la alternativa son:
Ho: = 2,100
Ha:  2,100
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba
Z, y se compara con los valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
Ho: = 2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251
s=US$812
 = (2,251 - 2,100)/(812/8)
 = (151)/(101.5)
 = 1.49
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193
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 5% se divide en dos colas. El 95%
restante se divide por 2 para hallar el área de 0.4750. En la tabla
Z esta área de 0.4750 da los valores críticos de Z de  1.96.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí 1.96  Z  1.96. Se rechaza sí Z<-1.96 o Z>1.96.
Vale la pena destacar que las zonas de rechazo están en
ambas colas. Si Z<-1.96 o Z>1.96, se rechaza la hipótesis nula.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor
del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra
es X'=US$2,251 produce una Z=1.49 ==> 1.49<1.96 y cae dentro
de la zona de no rechazo.
Interpretación:
La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la
hipótesis nula de  = 2,100 y el valor de la media muestral de
X'=US$2,251 es estadísticamente insignificante. Podría resultar
simplemente del error de muestreo. De hecho sí =2,100; el 95%
de todas las muestras de tamaño n=64 producirán valores de Z
entre 1.96.
Caso II.
Un contrato de manejo laboral exige una producción diaria de 50
unidades. Una muestra de 150 días revela una media de 47.3, con
una desviación estándar de 5.7 unidades. Fije =5% y determine
si se cumple con la disposición del contrato.
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194
Caso III.
Un gerente de una empresa considera que los empleados gastan
un promedio de 50 minutos para llegar al trabajo. Se toma una
muestra de 70 empleados que se toman en promedio 47.2
minutos con una desviación estándar de 18.9 minutos. Fije  en
1% y pruebe la hipótesis.
TAREA: Ejercicios 1 al 16 Págs. 204-205. Para entregar en la
próxima clase.
Las colas de una distribución son las regiones extremas
delimitadas por valores críticos. Rechazamos la hipótesis nula
Ho si nuestra estadística de prueba esta en la región critica o
área de rechazo porque eso indica una discrepancia
significativa entre la hipótesis nula y los datos de la muestra.
Algunas pruebas son de cola izquierda, con la región critica
situada en la región de extrema izquierda de la curva; otras
podrían ser de cola derecha, con la región critica en la región de
la extrema derecha bajo la curva.
En las pruebas de dos colas, el nivel de significancia  se
divide equitativamente entre las dos colas que constituyen la
región critica o área de rechazo. En las pruebas de cola derecha
o izquierda, el área de la región critica es .
Si examinamos la hipótesis nula Ho, deberemos poder
deducir si una prueba es de cola derecha, de cola izquierda o de
dos colas. La cola corresponderá a la región critica que
contenga los valores que podrían contradecir significativamente
la hipótesis nula.
Vale la pena destacar que tanto en la prueba de cola a la
izquierda como a la derecha el signo igual se coloca en la
hipótesis nula. Esto es porque la hipótesis nula se esta probando a
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194
195
un valor  especifico (como 5%) y el signo igual da a la hipótesis
nula un valor especifico para probarla.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo
en la cola izquierda y se da bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: < algún valor
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en
la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Caso I.
Determinación de valores críticos o zona de no rechazo: Muchos
pasajeros de cruceros usan parches cutáneos que suministran
dramamina al cuerpo con el fin de evitar el mareo. Se prueba una
aseveración respecto a la dosis media con un nivel de
significancia de  = 0.05. Las condiciones son tales que es
posible usar la distribución normal estándar (porque aplica el
teorema del limite central). Encuentre el o los valores críticos de
z si la prueba es (a) de dos colas, (b) de cola izquierda y (c) de
cola derecha. Represente gráficamente el valor critico y la región
critica.
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196
Caso II.
Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero
de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del
promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez
(The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna
evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran
una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La
gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de
rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Datos:
n=50 semanas
X'=12.5 tiendas de la muestra
s=0.66 tiendas
=4%=0.04 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el incremento es por encima del promedio
semanal de 10.4 sirve como hipótesis alternativa debido a que 
>10.4 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en
la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: > 10.4 tiendas semanal
Ho:  10.4 tiendas semanal
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba
Z, y se compara con los valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
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196
197
Ho:  10.4 tiendas semanal
n=50 semanas
X'=12.5 tiendas de la muestra
s=0.66 tiendas
=4%=0.04 (nivel de significancia)
 = (12.5 - 10.4)/(0.66/50)
 = 2.1/0.093
 = 22.5
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para
hallar el área de 0.46. En la tabla Z esta área de 0.46 da el valor
critico de Z de 1.75.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z 
1.75. Se rechaza sí Z>1.75.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor
del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra
produce una Z=22.5 ==> 22.5>1.75 y cae dentro de la zona de
rechazo o región critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que en tiempo de escasez no
se abren mas de 10.4 tiendas semanal
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197
198
Caso III.
Según Wall Street Journal (mayo 12 de 1997) muchas compañías
de ropa deportiva están tratando de comercializar sus productos
entre los mas jóvenes. El articulo sugirió que la edad promedio
de los consumidores había caído por debajo de la media de 34.4
años que caracterizo los comienzo de la década. Si una muestra
de 1000 clientes reporta una media de 33.2 años y una desviación
de 9.4, ¿qué se concluye a un nivel de significancia de del 4%?
Datos:
n=1000 clientes
X'=33.2 años (edad promedio de la muestra de los
consumidores de ropa deportiva)
s=9.4 años
=4%=0.04 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que la edad de los consumidores estaba por
debajo de 34.4 años sirve como hipótesis alternativa debido a que
 < 34.44 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo
en la cola izquierda y se da bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: < algún valor
Ha: < 34.4 años (edad promedio de los
consumidores de ropa deportiva)
Ho:  34.4 años
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba
Z, y se compara con los valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
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198
199
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución
muestral
Ho:  34.4 años
n=1000 clientes
X'=33.2 años (edad promedio de la muestra de los
consumidores de ropa deportiva)
s=9.4 años
=4%=0.04 (nivel de significancia)
 = (33.2 - 34.4)/(9.4/1000)
 = -1.2/0.297254
 = -4.04
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para
hallar el área de 0.46. En la tabla Z esta área de 0.46 da el valor
critico de Z de 1.75.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z 
1.75. Se rechaza sí Z<1.75.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor
del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra
produce una Z=-4.04 ==> -4.04<1.75 y cae dentro de la zona de
rechazo o región critica.
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199
200
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que la edad promedio no ha
caído por debajo del grupo de edad de 34.4 años.
Ejercicios 17 al 26 - Pág. 209 para entregar en la próxima
clase.
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200
201
Condiciones para usar la Distribución t de Student en Prueba
de Hipótesis.
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente
normal. (Dado que a menudo se desconoce la distribución de la
población padre, la estimamos construyendo un histograma con
datos de muestra.)
Propiedades importantes de la Distribución t de Student.
1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes
tamaños de muestra. (Ver Figura 7.3 en la Pág. 177).
2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de
campana simétrica que la distribución normal estándar, pero
refleja la mayor variabilidad (con distribuciones más amplias) que
cabe esperar cuando la muestra es pequeña.
3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la
distribución normal estándar tiene una media de Z=0).
4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia
con el tamaño de la muestra, pero es mayor que 1 (a diferencia de
la distribución normal estándar, que tiene =1).
Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una
media de cero, es simétrica respeto a la media y oscila entre -
y + . Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene una
varianza de ²=1, la varianza de la distribución t es mayor que
1.
5.- A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución
t de Student se acerca mas a la distribución normal estándar. Con
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Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
201
202
valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas que podemos
utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho
más grande de valores críticos de t.
Grados de libertad.
El numero de grados de libertad de un conjunto de datos
corresponde al numero de puntajes que puede variar después de
haber impuestos ciertas restricciones a todos los puntajes.
Es el numero de observaciones menos el numero de
restricciones impuestas sobre tales observaciones.
g.l. = n - 1
Podría parecer un poco extraño que, con una población
distribuida normalmente, a veces utilicemos la distribución t
para encontrar valores críticos, pero cuando se desconoce  el
uso de s de una muestra pequeña incorpora otra fuente de
error. A fin de mantener el grado de confianza deseado,
compensamos la variabilidad adicional ensanchando el
intervalo de confianza mediante un proceso que sustituye el
valor critico Z por el valor critico más grande de t.
El estadístico t
t = (X'-)/(s/n)
Prueba de dos colas para 
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
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202
203
en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Caso I
Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis de que las ventas
por mes promedian US$12,000. Diez meses seleccionados como
muestra reportan una media de US$11,277 y una desviación
estándar de US$3,772. Si se utiliza un valor  del 5%. ¿Que
puede concluir acerca de la impresión que tienen el distribuidor
sobre las condiciones del negocio?
Ejercicios 33 al 40 Págs. 215-216.
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203
204
El Método de valor P para probar hipótesis.
Dado una hipótesis nula y datos de muestra, el valor p
refleja la verosimilitud de obtener los valores de muestra en
cuestión suponiendo que la hipótesis nula realmente es verdad.
Valor P (o valor de probabilidad) es la probabilidad de obtener
un valor de la estadística de prueba que será al menos tan extremo
como se obtiene a partir de los datos de muestra, suponiendo que
la hipótesis es verdad.
Valor P es el nivel más bajo de significancia (valor  mínimo) al
cual se puede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola que
está más allá del valor del estadístico para la muestra.
Los valores P miden la confianza que sentimos al rechazar
una hipótesis nula. Por ejemplo, un valor P de 0.0002 nos llevaría
a rechazar la hipótesis nula, pero también sugeriría que los
resultados de muestra son extremadamente inusitados si el valor
que se asegura que tiene  es en realidad correcta. En contraste,
dado un valor P de 0.40, no rechazamos la hipótesis nula porque
los resultados de muestra podrían ocurrir fácilmente si el valor
que se asegura que tiene  si es el correcto.
Algunos criterios de decisión basados exclusivamente en el
valor P:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel
de significancia.
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204
205
Valor P
Interpretación
Menor que 0.01
Muy significativo estadísticamente
Indicios muy claros en contra de la
hipótesis nula
0.01 a 0.05
Estadísticamente significativo
Suficientes indicios en contra de
la hipótesis nula
Mayor que 0.05
Insuficientes indicios en contra de
la hipótesis nula
Caso I.
A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play
Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La
gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas
mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000
que Sony había experimentado en la década anterior. Una
muestra de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se
asume una desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la
hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e
interprete el valor p.
Datos:
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
=1%=0.01 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el nuevo producto incrementara las ventas
por encima de US$283,000,000 sirve como hipótesis alternativa
debido a que  > US$283,000,000 no contiene el signo igual.
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205
206
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en
la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: > US$283,000,000 (ventas mensuales)
Ho:  US$283,000,000 (ventas mensuales)
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba
Z, y se compara con los valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución
muestral
Ho:  US$283,000,000 (ventas mensuales)
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
=1%=0.01 (nivel de significancia)
 = (297,000,000 - 283,000,000)/(97,000,000/40)
 = 14,000,000/15,337,047.42
 = 0.91
El valor Z para el nivel de insignificancia de 1% se obtiene en la
tabla después de restar 0.5-0.01= 0.49, el cual corresponde a 2.33
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206
207
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
En la tabla Z el valor Z de 0.91 tiene el área de 0.3186. Por lo
tanto el:
valor P = 0.5 - 0.3186 = 0.1814
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel
de significancia.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor
del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor
que 0.1814 para la muestra de Z=0.91 cae en la zona de no
rechazo.
Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
Ejercicios 27 al 32 Pág. 213.
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207
208
Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto
federal que contenía varias partidas para reducciones de
impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al
contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500
contribuyentes demostró una reducción promedio en los
impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de
US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del
5%. Calcule e Interprete el valor p.
Datos:
n= 500 contribuyentes
X'=US$785.10
s=US$277.70
=5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ha: = US$800.00
Ho:  US$800.00
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
 = (785.10 – 800.00)/(277.70/500)
 = -14.9/12.42
 = - 1.20
El valor Z para el nivel de insignificancia de 5% se divide entre
dos. Se obtiene en la tabla el valor de Z = 1.96.
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208
209
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
En la tabla Z, el valor Z de 1.20 tiene el área de 0.3849. Por lo
tanto el:
0.5 - 0.3849 = 0.1151
valor P = 2 * 0.1151 = 0.2302
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de
significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel
de significancia.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor
del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula
debería rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor
que 0.2302 para la muestra de Z = -1.20 cae en la zona de no
rechazo.
Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
Ejercicios 27 al 32 Pág. 213.
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209
210
Caso III. Forbes (Septiembre 1996) reportó que Freddie Maman,
representante de la cantante de pop Madonna, estimó que las
ventas diarias de su nuevo álbum excedería las de su éxito más
grande de 1994, Like a Virgin, el cual tuvo un promedio de ventas
de 27,400 copias.
¿Freddie está en lo cierto a un nivel de
significancia del 10% si 50 observaciones (días) poseen un media
de 28,788 copias con una desviación estándar de 3,776? Calcule e
interprete el valor p. Y Represente gráficamente incluyendo el
valor P.
Caso IV. La Asociación Internacional de Transporte Aéreo pide
a los viajeros de negocios que califiquen los aeropuertos
internacionales trasatlánticos. La calificación máxima posible es
10.
Una revista dedicada a los viajes desea clasificar a los
aeropuertos según la calificación que reciben. De los que tienen
una calificación de media de población de 7 ó más se consideran
que ofrecen un servicio superior. Suponga que a una muestra
aleatoria de 12 viajeros se les pidió calificar al aeropuerto
Heathrow de Londres, y que las calificaciones obtenidas son 7, 8,
10, 8, 6, 9, 6, 7, 7, 8, 9 y 8. Suponiendo que la población de
calificaciones se puede aproximar con una distribución normal,
¿puede decirse que Heathrow ofrece un servicio superior?
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210
211
Usando un nivel de significancia de 0.05, necesitamos una prueba
que determine si la media de la población de calificaciones para el
aeropuerto es mayor de 7.
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211
212
III
Estimación por intervalos de confianza y
prueba de hipótesis para dos medias o
proporciones poblacionales.
IV
Estimación por intervalo y prueba de hipótesis
para la varianza: Una población y dos
poblaciones. (Análisis de Varianza)
V
Pruebas no paramétricas.
Segundo Parcial
Proyecto Final (Presentación en el Lab.
aplicando la Estadística Inferencial)
Webster Cap. 9
Lind Cap. 11
Anderson Cap. 10
Manual
Webster Cap. 10
Lind Cap. 12
Anderson Cap. 11
Manual pág. 174
Webster Cap. 14
Lind Cap. 17, 18
Anderson Cap. 19
Manual pág. 204
21/02/2013
26/02/2013
Asistencia
07/03/2013
12/03/2013
Asistencia
28/03/2013
02/04/2013
Asistencia
18/04/2013
23/04/2013
20 puntos
20 puntos
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212
213
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213
214
Pruebas con dos Poblaciones
Estimación con muestras grandes
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias
poblacionales para muestras grandes:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zσx’1-x’2
Error Estándar de las diferencias entre medias muestrales:
σx’1-x’2 = √ (σ12/n1) + (σ22/n2)
Estimación del error estándar de la diferencia entre medias
muestrales:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
Intervalo de confianza cuando las varianzas son desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zsx’1-x’2
Caso I.
Vimenca transporta remesas entre Santo Domingo y Samana por
dos rutas. Una muestra de 100 camiones enviados por la ruta del
Este reveló un tiempo promedio de tránsito X’este=17.2 horas
con una desviación estándar Seste=5.3 horas, mientras que 75
camiones que utilizan la ruta Norte necesitaron un promedio de
X’norte=19.4
horas
con
una
desviación
estándar
de
Snorte=4.5horas. El transportador de Vimenca, desea desarrollar
un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en el tiempo
promedio entre estas dos rutas alternas.
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215
N este = 100 camiones
Nnorte= 75 camiones
X’este = 17.2 horas
X’norte= 19.4 horas
Seste = 5.3 horas
Snorte= 4.5 horas
N.C. 95%
RUTA
X'
S
N
ESTE
17.2
5.3
100
NORTE
19.4
4.5
75
UNIDADES
HORAS
HORAS
CAMIONES
Debido a que las desviaciones poblacionales son desconocidas, el
error estándar es:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
sx’1-x’2 = √ (5.32/100) + (4.52/75)
sx’1-x’2 = √ (0.2809) + (0.27)
sx’1-x’2 = 0.7422
Intervalo de confianza cuando las varianzas son desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zsx’1-x’2
I.C. para (µ1-µ2) = (17.2 – 19.4) ± (1.96)(0.7422)
I.C. para (µ1-µ2) = – 2.2 ± 1.4547
-3.7 ≤ (µ1-µ2) ≤ -0.75 horas
El transportador puede tener un 95% de confianza en que la ruta
del norte toma entre 0.75 horas y 3.7 horas más.
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Pruebas con dos Poblaciones
Estimación con muestras pequeñas con varianzas poblacionales
iguales
Estimado mancomunado de la varianza común a ambas
poblaciones:
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Intervalo de confianza para la diferencia entre medias
poblacionaes cuando σ12 = σ22 desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Caso II.
En la cafetería de los estudiantes de PUCMM, una máquina
expendedora de bebidas dispensa bebidas en tazas de papel. Una
muestra de 15 tazas da una media de 15.3 onzas con una varianza
de 3.5. Después de ajustar la máquina, una muestra de 10 tazas
produce un promedio de 17.1 onzas con una varianza de 3.9. Si
se asume que s2 (varianza) es constante antes y después del
ajuste, construya un intervalo de confianza del 95% para la
diferencia entre los contenidos promedio de llenado. Se asume
que las cantidades dispensandas están distribuidas normalmente.
Entonces,
N1 = 15 tasas
N2 = 10 tazas
X’1 = 15.3 onzas
X’2 = 17.1 onzas
S12 = 3.5 onzas
S22 = 3.9 onzas
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TIPO
X'
S2
N
llenado
1
15.3
3.5
15
llenado
2
UNIDADES
17.1
ONZAS
3.9
ONZAS
10
TAZAS
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Sp2 = 3.5 (15 - 1) + 3.9 (10 - 1)
15 + 10 – 2
Sp2 = 3.66
Intervalo de confianza para la diferencia entre medias
poblacionaes cuando σ12 = σ22 desconocidas:
Con un α = 0.05 (un nivel de confianza del 95%) y n1 + n2 – 2 =
23 g.l., la tabla t indica un valor de 2.069.
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (sp2/n1) + (sp2/n2)
I.C. para (µ1-µ2) = (15.3 – 17.1) ± 2.069 √ (3.66/15) + (3.66/10)
I.C. para (µ1-µ2) = – 1.8 ± 1.61
-3.41 ≤ (µ1-µ2) ≤ -0.19 onzas
Se puede tener un nivel de confianza del 95% en que el ajuste
incrementó el nivel del contenido entre 0.19 onzas y 3.41 onzas.
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Pruebas con dos Poblaciones
Estimación con muestras pequeñas con varianzas poblacionales
desiguales
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non son
iguales.
(s12/n1 + s22/n2)2______
g.l. =
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
Intervalo para la diferencia entre medias poblacionales:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (s12/n1) + (s22/n2)
Caso III.
El Listin Diario describió dos programas de
entrenamiento utilizados por GBM Dominicana. Doce ejecutivos
a quienes se les dio primer tipo de entrenamiento obtuvieron un
promedio de 73.5 en la prueba de competencia.
Aunque el
artículo de noticias no reportó la desviación estándar para estos 12
empleados, se asume que la varianza en los puntajes parae este
grupo fue de 100.2. Quince ejecutivos a quienes se les administró
el sugundo programa de entrenamiento obtuvieron un promedio
79.8. Se asume una varianza de 121.3 para este segundo grupo.
Haga un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los
puntajes promedio para todos los ejecutivos que ingresaron a
estos programas:
N1 = 12 ejecutivos
N2 = 15 ejecutivos
X’1 = 73.5 puntos
X’2 = 79.8 puntos
S12 = 100.2 puntos
S22 = 121.3 puntos
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219
TIPO
X'
S
N
PROGRAM 1 PROGRAM 2 UNIDADES
73.5
79.8
EJECUTIVOS
100.2
121.3
PUNTOS
12
15
PUNTOS
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non
son iguales.
g.l. =
(s12/n1 + s22/n2)2______
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
g.l. =
(100.2/12 + 121.3/15)2______ = 24.55
(100.2/12)2 / (12-1) + (121.3/15) 2 / (14-1)
Si g.l. es fraccionario, se aproxima hacia abajo, hacia el entero
inmediatamente anterior. G.L. = 24.
Con un α = 0.05 (un nivel de confianza del 95%) y g.l. = 24, la
tabla t indica un valor de 2.064.
Intervalo para la diferencia entre medias poblacionales:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (s12/n1) + (s22/n2)
I.C. para (µ1-µ2) = (73.5 – 79.8) ± 2.064√ (100.2/12) + (121.3/15)
I.C. para (µ1-µ2) = - 6.3 ± 8.36
-14.66 ≤ (µ1-µ2) ≤ 2.06 puntos
Debido a que el intervalo contiene cero, no existe una fuerte
evidencia de que exista diferencia alguna en la efectividad de los
programas de entrenamiento.
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Pruebas con dos Poblaciones
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos
Proporciones
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muestrales:
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
Intervalo para la diferencia entre proporciones poblacionales:
I.C. para π1 – π2 = (p1 – p2) ± (Z) Sp1-p2
Caso IV.
Una empresa realiza un estudio para determinar si el ausentismo
de los trabajadores en el turno del día es diferente al de los
trabajadores del turno de la noche. Se realiza una comparación de
150 trabajadores de cada turno. Los resultados muestran que 37
trabajadores diurnos han estado ausentes por lo menos cinco
veces durante el ano anterior, mientras que 52 trabajadores
nocturnos han faltado por lo menos cinco veces. ¿Qué revelan
estos datos sobre la tendencia al ausentismo entre los
trabajadores? Calcule un intervalo de confianza del 90% para la
diferencia entre las proporciones de trabajadores de los dos turnos
que faltaron cinco veces o más.
N turno día = 150
p1 = 37/150 = 0.25
N turno noche = 150
p2 = 52/150 = 0.35
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muestrales:
Sp1-p2 = √(0.25*0.75/150) + (0.35*0.65/150) = 0.0526
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Intervalo para la diferencia entre proporciones poblacionales:
I.C. para π1 – π2 = (p1 – p2) ± (Z) Sp1-p2
I.C. para π1 – π2 = (0.25 – 0.35) ± (1.65) (0.0526)
I.C. para π1 – π2 = – 0.10 ± 0.087
-18.7% ≤ (π1 – π2) ≤ - 1.3%
La empresa puede estar 90% segura de que la proporción de
trabajadores nocturnos ausentes en cinco o más oportunidades
está entre 1.3% y 18.7% más alta que los del turno diurno.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras
independientes
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
O el equivalente
Ho:1 - 2 = 0
Ha:1 - 2  0
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
Z = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
SX’1-X’2
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z o t.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
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221
222
Caso V.
Weaver Ridge Golf Course desea ver si el tiempo promedio en
horas que requieren los hombres para jugar los 18 hoyos es
diferente al de las mujeres.
Se mide el tiempo de cincuenta
partidos dobles de hombres y 45 de mujeres obteniendo, pruebe a
nivel de confianza del 95%:
SEXO
X'
S
N
HOMBRES MUJERES
3.5
4.9
0.9
1.5
50
45
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
Z = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
SX’1-X’2
Estimación del error estándar de la diferencia entre medias
muestrales:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
sx’1-x’2 = √ (0.92/50) + (1.52/45) = 0.257
Z = (3.5-4.9) – (0)
0.257
Z = - 5.45
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222
223
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.05 (con un nivel de confianza del 95%), el valor crítico
de Z es ± 1.96.
Regla de decisión: “No rechazar Z si esta entre ± 1.96. Rechazar
si Z es menor que -1.96 o mayor que 1.96”.
La Ho se rechaza porque la Z de la estadística de prueba es menor
que – 1.96 de la Regla de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
La evidencia sugiere que las mujeres toman más tiempo en
promedio. Vale la pena notar también que el valor p relacionado
con la prueba es virtualmente cero.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras pequeñas
con varianzas iguales
Prueba de hipótesis con muestras pequeñas cuando σ22 = σ22
(desconocidas):
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Caso VI.
Las negociaciones salariales entre su empresa y el sindicato de
sus trabajadores están a punto de romperse. Existe un desacuerdo
considerable sobre el nivel salarial promedio de los trabajadores
en la planta de Atlanta y en la planta de Newport News, Virginia.
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223
224
Los salarios fueron fijados por el antigua acuerdo laboral de hace
tres anos y se basan estrictamente en la antigüedad. Debido a que
los salarios están controlados muy de cerca por el contrato
laboral, se asume que la variación en los salarios es la misma en
ambas plantas y que los salarios están distribuidos normalmente.
Sin embargo, se siente que existe una diferencia entre los niveles
salariales promedio debido a los patrones de antigüedad diferentes
entre las dos plantas.
El negociador laboral que representa a la gerencia desea que usted
desarrolle un intervalo de confianza del 98% para estimar la
diferencia entre los niveles salariales promedio. Si existe una
diferencia en las medias, deben hacerse ajustes para hacer que los
salarios más bajos alcancen el nivel de los más altos. Dados los
siguientes datos, ¿qué ajustes se requieren, si es el caso?
Las muestras de trabajadores tomadas de cada planta revelan la
siguiente información:
Planta de Atlanta
Planta de Newport News
N1 = 23 empleados
N2 = 19 empleados
X’1 = US$17.53 por hora
X’2 = US$15.5 por hora
S12 = 92.10
S22 = 87.10
PLANTA ATLANTA NEWPORT NEW
UNIDADES
X'
17.53
15.5
TRABAJADORES
S2
92.1
87.1
US$/HORA
N
23
19
US$/HORA
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224
225
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Estimado mancomunado de la varianza común a ambas
poblaciones:
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Sp2 = 92.10 (23 - 1) + 87.10 (19 - 1)
23 + 19 – 2
Sp2 = 89.85
t = (17.53-15.5) – (0)
√ (89.85/23) + (89.85/19)
t = 0.69
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.02 (con un nivel de confianza del 98%), g.l. = n1 + n2 – 2
= 23+19-2 = 40, el valor crítico de t es ± 2.423.
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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225
226
Regla de decisión: “No rechazar t si esta entre ± 2.423. Rechazar
si t es menor que -2.423 o mayor que 2.423”.
La Ho se acepta porque la t de la estadística de prueba está dentro
del rango ± 2.423 de la Regla de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Parece que no hay diferencia en el salario promedio.
Esta
conclusión se confirma por el hecho de que intervalo contenía
cero.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras pequeñas
con varianzas desiguales
Prueba de hipótesis con muestras pequeñas cuando σ22 ≠ σ22:
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (s21/n1) + (s22/n2)
Caso VII.
Un negocio vende dos tipos de amortiguadores de caucho para
coches de bebés.
Las pruebas de desgaste para medir la
durabilidad revelaron que 13 amortiguadores de tipo 1 duraron un
promedio de 11.3 semanas, con una desviación estándar de 3.5
semanas; mientras que 10 del tipo 2 duraron un promedio de 7.5
semanas, con una desviación estándar de 2.7 semanas. El tipo 1
es más costoso para fabricar y el CEO (Director Ejecutivo) de
Acme no desea utilizarlo a menos que tenga un promedio de
duración de por lo menos ocho semanas más que el tipo 2. El
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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226
227
CEO tolerará una probabilidad de error de sólo el 2%. No existe
evidencia que sugiera que las varianzas de la duración de los dos
productos sean iguales.
N1 = 13 amortiguadores
N2 = 10 amortiguadores
X’1 = 11.3 semanas
X’2 = 7.5 semanas
S1 = 3.5 semanas
S2 = 2.7 semanas
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (s21/n1) + (s22/n2)
t = (11.3-7.5) – (0)
√ (3.5/13) + (2.7/10)
t = 2.94
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.02 (con un nivel de confianza del 98%)
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non son
iguales.
g.l. =
(s12/n1 + s22/n2)2______
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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228
g.l. =
(3.52/13 + 2.72/10)2______
(3.52/13) 2 / (13- 1) + (2.72/10) 2 / (10- 1)
g.l. = 20.99 = 20
el valor crítico de t es ± 2.528.
Regla de decisión: “No rechazar t si esta entre ± 2.528. Rechazar
si t es menor que -2.528 o mayor que 2.528”.
La Ho no se acepta porque la t de la estadística de prueba es
mayor que 2.528 de la Regla de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
La evidencia sugiere que el tipo 1 de amortiguador de caucho
para coche de bebé presenta mayor durabilidad.
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229
Pruebas de Hipótesis para la diferencia entre dos proporciones
Z = (p1 – p2) - (π1 – π2)
Sp1-p2
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muestrales:
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
Caso VIII.
Un minosta desea probar la hipótesis de que la proporción de sus
clientes masculinos, quienes compran a crédito, es igual a la
proporción de las mujeres que utilizan el crédito. Él selecciona
100 clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito
miestras que 52 de las 110 mujeres lo hicieron. Pruebe a un nivel
del 1%.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:π1 = π2
Ha:π1  π2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
p1 = 57/100 = 0.57 hombres
p2 = 52/110 = 0.473 mujeres
Z = (p1 – p2) - (π1 – π2)
Sp1-p2
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muestrales:
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229
230
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
Sp1-p2 = √(0.57 * 0.43/100) + (0.473 *0.527/110)
Sp1-p2 = 0.069
Z = (0.57 – 0.473) – 0
0.069
Z = 1.41
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.01 (con un nivel de confianza del 99%), el valor crítico
de Z es ± 2.58.
Regla de decisión: “No rechazar Z si esta entre ± 2.58. Rechazar
si Z es menor que -2.58 o mayor que 2.58”.
La Ho no se rechaza porque la Z de la estadística está dentro del
rango de ± 2.58 de la Regla de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El minorista no puede concluir a un nivel del 1% que las
proporciones de hombres y mujeres que compran a crédito
difieren.
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230
231
Pruebas de Hipótesis para el coeficiente de correlación simple
Pruebas no paramétricas
En la practica, surgen muchas situaciones en las cuales
simplemente no es posible hacer de forma segura ningún supuesto
sobre el valor de un parámetro o sobre la forma de la distribución
poblacional. Mas bien se deben utilizar otras pruebas que no
dependan de un solo tipo de distribución o de valores de
parámetros específicos. Estas pruebas se denominan Pruebas no
paramétricas o libres de distribución.
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231
232
Pruebas no paramétricas.
Son procedimientos estadísticos que pueden utilizarse para
contrastar hipótesis cuando no son posibles los supuestos respecto
a los parámetros o a las distribuciones poblacionales.
Experimento multinomial.
Es un experimento que satisface las siguientes condiciones.
1. El numero de ensayos es fijo.
2. Los ensayos son independientes.
3. Todos los resultados de ensayos individuales se deben
clasificar en una y sólo una de varias categorías distintas.
4. Las probabilidades de las diferentes categorías se mantienen
constantes para cada ensayo.
Distribución Chi-cuadrado
Las dos aplicaciones más comunes de Chi-cuadrado son:
1. Pruebas de bondad de ajuste.
2. Pruebas de independencia.
Prueba de bondad de ajuste.
Sirve para probar la hipótesis de que una distribución de
frecuencia observada se ajusta a (o concuerda con) alguna
distribución propuesta.
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232
233
Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales
observados a una forma de distribución particular planteada como
hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano, puede
concluirse que si existe la forma de distribución planteada como
hipótesis.
Por ejemplo, se puede plantear la hipótesis que la
distribución poblacional es uniforme y que todos los valores
posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Las hipótesis
que se probarían son:
Ho: La distribución poblacional es uniforme.
Ha: La distribución poblacional no es uniforme.
Si existe una gran diferencia entre lo que realmente se
observa en la muestra y lo que se esperaría observar si la hipótesis
nula fuera correcta, en tal caso es menos probable que la hipótesis
nula sea verdadera. Es decir, la hipótesis nula debe rechazarse
cuando las observaciones obtenidas en la muestra difieren mucho
del patrón que se espera que ocurra si la distribución planteada
como hipótesis si se presenta.
En las pruebas de bondad de ajuste usaremos la siguiente
notación:
Oi representa la frecuencia observada de un resultado.
E representa la frecuencia esperada de un resultado.
k representa el numero de diferentes categorías o resultados.
n representa el numero de ensayos total.
La prueba Chi-cuadrado tiene k-m-1 grados de libertad, en
donde m es el numero de parámetros a estimar.
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233
234
En muchos casos, podemos determinar una frecuencia
esperada multiplicando la probabilidad p de una categoría por el
numero de ensayos distintos n:
E = np
Por ejemplo, si probamos la aseveración de que un dado es
equitativo lanzándolo 60 veces, tendremos n = 60 (porque hay 60
ensayos) y p = 1/6 (porque un dado es equitativo sí los seis
posibles resultados son igualmente probables, con la misma
probabilidad de 1/6). Por tanto, la frecuencia esperada para cada
categoría o celda es:
E = np
E = 60(1/6) = 10
Supuestos.
Los supuestos siguientes aplican cuando probamos una
hipótesis de que la proporción de población para cada una de las k
categorías (de un experimento multinomial) es la que se asegura.
1. Los datos constituyen una muestra aleatoria.
2. Los datos de muestra consisten en conteos de frecuencia para
las k diferentes categorías.
3. Para cada una de las k categorías, la frecuencia esperada es por
lo menos 5.
La prueba de Chi-cuadrado de bondad de ajuste es confiable solo
si todo Ei es por lo menos 5.
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en
experimentos multinomiales.
²=[(Oi-Ei)/Ei]
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234
235
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado
usando k-1 grados de libertad, donde k es el numero de
categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de
cola derecha.
La forma de la estadística de prueba ² es tal que una
concordancia cercana entre los valores observados y los esperados
produce un valor pequeño de ². Un valor grande de ² indica
una fuerte discrepancia entre los valores observados y los
esperados. Por tanto, un valor significativamente alto de ² hará
que se rechace la hipótesis nula de que no hay diferencia entre las
frecuencias observadas y esperadas. Entonces, la prueba es de
cola derecha porque el valor critico y la región critica se
encuentran a la extrema derecha de la distribución.
A diferencia de pruebas de hipótesis previas en las que
teníamos que determinar si la prueba era de cola izquierda, de
cola derecha o de dos colas, todas estas pruebas de bondad del
ajuste son de cola derecha.
Caso I.
Jennifer Calcaño gerente de crédito del BHD, en la torre Principal
en Santo Domingo, trata de seguir una política de extender un
60% de sus créditos a empresas comerciales, un 10% a personas
naturales y un 30% a prestatarios extranjeros.
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235
236
Para determinar si la política se estaba siguiendo, José
Rondón, vicepresidente de mercadeo, selecciona 85 créditos que
se aprobaron recientemente. Encuentra que 62 de tales créditos se
otorgaron a negocios, 10 a personas naturales, y 13 a prestatarios
extranjeros. Al nivel del 10%, ¿parece que el patrón de cartera
deseado se preserva? Pruebe la hipótesis de que:
Ho: Se mantuvo el patrón deseado: 60% son créditos comerciales,
10% son prestamos personales y 30% son créditos extranjeros.
Ha: El patrón deseado no se mantuvo.
Tabla de Tipo de Crédito.
Tipo de Credito
Oi
Ei
Comercial
62,00
51,00
Personal
10,00
8,50
Extranjero
13,00
25,50
Total
85,00
85,00
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en
experimentos multinomiales.
El valor ² es
²=[(Oi-Ei)²/Ei]
²=[(62-51)²/51]+[(10-8.5)²/8.5]+[(13-25.5)²/25.5] = 8.76
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado
usando k-1 grados de libertad, donde k es el numero de
categorías.
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237
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de
cola derecha.
Con un  = 10% y k = 3 categorías de crédito (comerciales,
privados y extranjeros), existen k-m-1= 3-0-1=2 grados de
libertad, el valor critico es
² 0.10,2 = 4.605
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula ²  4.605.
Rechazar sí la hipótesis nula ² > 4.605.
Interpretación.
Las diferencias entre lo que el VP José Rondón observo y lo
que esperaba observar si el patrón de crédito deseado se alcanzaba
era demasiado grande como para ocurrir por simple azar. Existe
solo un 10% de probabilidad de que una muestra de 85 créditos
seleccionados aleatoriamente pudieran producir las frecuencias
observadas aquí demostradas, si el patrón deseado en la cartera de
crédito del banco se estuviera manteniendo.
Caso II. Prueba de normalidad.
Las especificaciones para la producción de tanques de aire
utilizados en inmersión requieren que los tanques se llenen a una
presión de 600 libras por pulgadas cuadradas (psi). Se permite
una desviación de 10 psi. Las especificaciones de seguridad
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237
238
permiten una distribución normal en los niveles de llenado. Usted
acaba de ser contratado por Aqua Lung, un importante fabricante
de equipos de inmersión. Su primera tarea es determinar si los
niveles de llenado se ajustan a una distribución normal. Aqua
Lung esta seguro de que media de 600 psi y la desviación
estándar de 10 psi prevalecen. En este esfuerzo se miden n=1000
tanques y se halla la distribución presentada en la siguiente tabla.
Sus hipótesis son:
Ho: Los niveles de llenado están distribuidos normalmente.
Ha: Los niveles de llenado no están distribuidos normalmente.
Tabla de llenado para los tanques de buceo.
Frecuencia Probabilidades
PSI
Real Oi
0 y por debajo de 580
20
580 y por debajo de 590
142
590 y por debajo de 600
310
600 y por debajo de 610
370
610 y por debajo de 620
128
6200 y por encma
30
Totales
1000
pi
Frecuencias
Esperadas Ei
O-E
(O-E)^2
[(O-E)^2]/E
Determine la probabilidad para cada clase mediante la formula Z
y complete la tabla de probabilidades y frecuencias esperadas.
Valor Critico.
Se desea probar la hipótesis al nivel del 5%. Debido a que tanto
la media poblacional como la desviación estándar son dadas y no
tienen que estimarse, m = 0. Existe k = 6 clases en la tabla de
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238
239
frecuencias, de manera que los grados de libertad son k-1=5. Se
encuentra que el valor critico es ² 0.05,5 =11.07
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula si ² es menor
que 11.07. Rechazar la hipótesis nula si ² es mayor que 11.07"
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en
experimentos multinomiales.
Determine el valor ²
²=[(Oi-Ei)/Ei]
Interpretación:
Si la hipótesis nula se acepta. Las diferencias entre lo que
se observo y lo que se espera observar si los contenidos
estuvieran distribuidos normalmente con una media de 600 y una
desviación estándar de 10 pueden atribuirse al error de muestreo.
Si la media poblacional y la desviación estándar no fueran
conocidas, se hubieran tenido que estimar de los datos muestrales
de la tabla. Entonces m=2, y los grados de libertad serian k-2-1 o
6-2-1=3.
Tablas de contingencia. Una prueba de independencia.
Tabla de Contingencia o tabla de frecuencia bidireccional.
Es una tabla en la que las frecuencias corresponden a dos
variables. (Se utiliza una variable para clasificar las filas y otra
para clasificar las columnas).
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239
240
Las tablas contingencias son aquellas que sirven para
comparar dos variables.
Prueba de independencia.
Una prueba de independencia prueba la hipótesis nula de
que la variable de fila y la variable de columna de una tabla de
contingencia no están relacionadas. (La hipótesis nula es la
declaración de que las variables de fila y de columna son
independientes.)
Es muy importante reconocer que, en este contexto, la
palabra contingencia se refiere a dependencia, pero solo se trata
de una dependencia estadística y no puede usarse para establecer
un vinculo directo de causa y efecto entre las dos variables en
cuestión.
Supuestos.
Al probar la hipótesis nula de independencia entre las variables de
fila y de columna de una tabla de contingencia, aplican los
supuestos siguientes (Obsérvese que estos supuestos no exigen
que la población padre tenga una distribución normal ni alguna
otra distribución especifica.)
1. Los datos de muestra se escogen aleatoriamente.
2. La hipótesis nula Ho es la declaración de que las variables de
fila y de columna son independientes; la hipotesis alternativa Ha
es la declaracion de que las variables de fila y de columna son
dependientes.
3. Para cada celda de la tabla de contingencia, la frecuencia
esperada E es de por lo menos 5.
Estadística de prueba para prueba de independencia.
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240
241
El valor ² es
²=[(Oi-Ei)/Ei]
Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando:
grados de libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo
implican regiones criticas de cola derecha.
Frecuencia esperada para una tabla de contingencia.
Frecuencia esperada
columna)]/Gran Total
(E)=
[(Total
de
fila)*(Total
de
La estadística de prueba nos permite medir el grado de
discrepancia entre las frecuencias observadas y las que
esperaríamos en teoría si las dos variables son independientes.
Valores pequeños de la estadística de prueba ² indican
coincidencia entre las frecuencias observadas y las frecuencias
esperadas con variables de fila y de columna independientes. Los
valores grandes de la estadística de prueba ² están a la derecha
de la distribución Chi-cuadrada y reflejan diferencias
significativas entre las frecuencias observadas y las esperadas.
En muestreos grandes repetidos, la distribución de la
estadística de prueba ² se puede aproximar con la distribución
Chi-cuadrada, siempre que todas las frecuencias esperadas sean
de por lo menos 5.
Caso I.
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241
242
Santo Domingo Motors desea determinar si existe alguna relación
entre el ingreso de los clientes y la importancia que dan al precio
de los automóviles de lujo. Los gerentes de la compañía desean
probar la hipótesis de que:
Ho: Ingreso e importancia del precio son independientes.
Ha: Ingreso e importancia del precio no son independientes.
Atributo b:
Atributo a:
Nivel de Importancia
Grande
Ingresos
Bajo
Medio
Alto
Total
83
62
37
182
52
71
49
172
63
58
63
184
198
191
149
538
Frecuencia Esperada
Moderado
Frecuencia Esperada
Poco
Frecuencia Esperada
Totales
Los clientes están agrupados en tres niveles de ingreso y se les
pide asignar un nivel de significancia para poner precio a la
decisión de compra. Los resultados se muestran en la siguiente
tabla de contingencia.
Debido a que 182/538=33.83% de todos los datos que
respondieron a la encuesta agregan a un nivel de importancia
"grande" al precio, entonces si el ingreso y el precio no están
relacionados, se esperaría que 33.83% de ellos, en cada
clasificación de ingresos respondan que el precio era de "gran"
importancia. Por tanto, los Ei para un nivel de importancia "bajo"
son
(198)(0.3383)=66.98,
(191)(0.3383)=64.62
y
(149)(0.3383)=50.41
De forma similar los demás niveles de importancia.
Determine: ¡Error! Marcador no definido.
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242
243
El valor ² es
²=[(Oi-Ei)/Ei]
Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando:
grados de libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo
implican regiones criticas de cola derecha.
Si se determina  en 1%, y con (f-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4
grados de libertad ²0.01,4=13.277
Regla de decisión: "No rechazar la hipotesis nula si ² es menor
que 13.277. Rechazar la hipótesis nula si ² es mayor que
13.277"
Interpretación.
La hipótesis nula se rechaza.
Existe solo 1% de
probabilidad de que si no existe relación entre ingreso y
significancia del precio, las diferencias entre Oi y Ei serian lo
suficientemente grandes como para producir un Chi-cuadrado
más grande que 13.277. Existe evidencia de una relación entre el
ingreso de los clientes y la importancia dada al precio de un auto
de lujo.
Caso I
Jesús Diequez, Gerente de Calidad de Mars, Inc. asegura que sus dulces
M&M están distribuidos según los porcentajes de color de 30% marrón,
20% amarillo, 20% rojo, 10% anaranjado, 10% verde y 10% azul. Usando
los datos de muestra de la siguiente tabla y un nivel de significación de
0.905 pruebe la afirmación de que la distribución de colores es la que el
gerente de calidad asegura.
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243
244
FRECUENCIAS DE LOS DULCES M&M
CATEGORÍA
FREC.
FREC.
DE COLOR
OBSERVADA
ESPERADA
MARRON
33
AMARILLO
26
ROJO
21
ANARANJADO
8
VERDE
7
AZUL
5
Caso II.
A los compradores del centro comercial local se les pide calificar un nuevo
producto en una escala continua que comienza en cero. Con base en los
siguientes datos agrupados, ¿puede usted concluir al nivel del 5% que los
datos están distribuidos normalmente, con una media de 100 y una
desviación estándar de 25?
CALIFICACIÓN
FRECUENCIA
MENOS DE 50
1
50-70
51
70-90
112
90-110
151
110-130
119
130-150
43
150-170
21
MAS DE 170
2
Caso III.
Aída Henríquez, gerente de mercadeo de Trans World Airways (TWA)
desea determinar si existe alguna relación entre el numero de vuelos que las
personas toman y su ingreso. ¿A que conclusión llega al nivel del 1% con
base en los datos para 100 viajeros en la tabla de contingencia?
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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244
245
FRECUENCIA DE VUELOS
INGRESO
NUNCA
RARA VEZ
CON FRECUENCIA
TOTALES
MENOS DE US$30,000
20
15
2
US30,000-US$50,000
8
5
1
US50,000-US70,000
7
8
12
MAS DE US$70,000
2
5
15
Totales
Caso IV.
A los compradores del centro comercial local se les pide calificar un nuevo
producto en una escala continua que comienza en cero. Con base a los
siguientes datos agrupados, ¿puede usted concluir al nivel del 5% que los
datos están distribuidos normalmente, con una media de 100 y una
desviación de 25?
CALIFICACION FRECUENCIA
MENOS DE 50
1
50-70
5
70-90
112
90-110
151
110-130
119
130-150
43
150-170
21
MAS DE 170
2
Caso V.
En un análisis de segmentación de mercado para tres cervezas, el grupo de
investigación encargado ha planteado la duda de si las preferencias para las
tres cervezas son diferentes entre los consumidores hombres y mujeres. Si
la preferencia de las cervezas fuera independiente del sexo del consumidor,
se iniciaría una campaña publicitaria para todas las cervezas. Sin embargo,
si la preferencia depende del sexo del consumidor, se ajustarán los
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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245
246
promociones para tener en cuenta los distintos mercados metas. Pruebe el
supuesto a un nivel de significancia de un 5%.
Los datos de la tabla constituyen las frecuencias observadas para las
seis clases o categorías.
CERVEZA
PREFERIDA
LIGERA CLARA
SEXO
HOMBRE
20
40
MUJER
30
30
OSCURA
20
10
Caso VI.
La empresa National Computer Products, Inc. (NCP) fabrica impresoras y
máquinas de fax en plantas de Atlanta, Dallas y Seattle, Estados Unidos.
Para evaluar los conocimientos de sus empleados acerca de administración
de calidad total se tomó una muestra aleatoria de seis empleados en cada
planta y se les sometió a un examen de conciencia de la calidad. Las
calificaciones de esos 18 empleados se presentan a continuación. Con
estos datos, los gerentes desean probar la hipótesis de que la media de la
calificación del examen es igual para las tres plantas con un nivel de
significancia de un 5%.
PLANTA 1
ATLANTA
85
75
82
76
71
85
PLANTA 2
DALLAS
71
75
73
74
69
82
PLANTA 3
SEATTLE
59
64
62
69
75
67
Caso VII.
Proquín contrata, anualmente, unos 400 empleados para sus cuatro plantas
en todo el país. El director de personal pregunta si se podría aplicar una
distribución normal a la población de las calificaciones obtenidas. Si se
pudiera aplicar esa distribución, sería muy útil para evaluar calificaciones
específicas. Esto es, las calificaciones de 20% superior, 40% inferior, etc.,
se podrían identificar con rapidez. En consecuencia se desea probar la
hipótesis nula de que la población de calificaciones en la prueba de actitud
[Métodos Cuantitativos para Negocios I] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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246
247
se apega a una distribución de probabilidad normal. Si se toma una
muestra una muestra de 50 calificaciones, cuya media es de 68.42 y su
desviación estándar es de 10.41. Los datos se muestra a continuación en la
siguiente tabla. Interprete los resultados.
INTERVALO DE FRECUENCIA
CALIFICACIONES OBSERVADA
MENOS DE 55.1
5
55.1
59.68
5
59.68
63.01
9
63.01
65.82
6
65.82
68.42
2
68.42
71.02
5
71.02
73.83
2
73.83
77.16
5
77.16
81.74
5
81.74
O MAS
6
TOTAL
50
Caso VIII.
Decoración Ruddy se especializa en arreglos de jardines residenciales. El
costo estimado de mano de obra en determinada oferta de decoración se
basa en la cantidad de árboles, arbustos, etc., que se plantan en el proyecto.
Para fines de estimación de costos, los gerentes aplican dos horas de mono
de obra plantar un árbol mediano. Los tiempos reales, en horas, para una
muestra de 10 árboles plantados durante el mes pasado son los siguientes:
1.9
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247
248
1.7
2.8
2.4
2.6
2.5
2.8
3.2
1.6
2.5
Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe si la media del tiempo de
plantación de árboles es mayor de dos horas.
A. Establezca las hipótesis nulas y alternativa.
B. ¿Cuál es el valor crítico para la prueba y cuál es la regla de decisión?
C. Calcule la media muestral.
D. Determine la desviación estándar.
E. Calcule el valor del estadístico de prueba.
F. ¿Cuál es su conclusión?
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