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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matematica
Renato Allende Olivares
Humberto Villalobos Torres
6. CUARTO MÓDULO
6.1
Elementos de Probabilidad
En la investigación científica, por lo general, se requiere de modelos que
ayuden a comprender el fenómeno bajo estudio. En un amplio campo, no es posible
contar con modelos exactos, también conocidos como modelos determinísticos. En
tales situaciones, las mediciones obtenidas presentan perturbaciones no controlables,
lo que lleva a que la observación presente variabilidad en los resultados, para
experimentos en condiciones supuestamente idénticas, por ende, existe una especie
de azar o aleatoriedad en el resultado de la medición, lo que termina por dificultar la
posibilidad de predecir el resultado con certeza.
Por ejemplo, en el problema de determinar la resistencia a la ruptura de una
barra de acero (con alguna especificación de la misma), es muy creíble, que en la
medición de diez barras, ninguna resulte igual, luego, si se quiere ofrecer una
especificación de la resistencia de las barras que se producen: ¿cuál es el valor de la
resistencia de las barras que se ofrecería?, ¿la resistencia de la barra 1, 2, 3, ... , 10?,
¿la mínima resistencia?, ¿la máxima resistencia?. Posiblemente una respuesta común
sería, la resistencia media, aunque tal vez, éste no sea el mejor indicador.
En el campo de investigaciones, donde no es posible utilizar modelos
determinísticos, es natural esperar que en la predicción no sea exacta, sin embargo,
por más que no sea posible prever el resultado con certeza en cada medición, cuando
se está en presencia de fenómenos aleatorios o estocásticos, no significa que dichas
mediciones no posean ninguna ‘regularidad’, el objetivo de determinar el patrón de
dicha regularidad, es lo que en el futuro conoceremos como ‘ley de probabilidad’.
Nuestro primer objetivo es repasar el concepto de probabilidades, siguiendo
los diversos enfoques de esta medida de incertidumbre.
Enfoque Clásico
El enfoque apriorista o clásico, tiene la característica esencial, que basa en la
asignación de medida de ocurrencia para un resultado, sobre los antecedentes que
aporta un experimento que se realiza de la manera más metódica posible, en donde
los posibles resultados del mismo son ‘igualmente probables’, situación que
también se conoce como un experimento equiprobable. Este es el caso típico de los
juegos de azar. Por ejemplo, considerando el problema de un juego de cartas, de
acuerdo con el enfoque clásico, todas las cartas tienen la misma posibilidad de ser
escogidas, por lo tanto, si se elabora un juego donde el participante elige una carta, la
probabilidad de que se escoja una carta roja, está dada de forma natural por: el
número de resultados elementales posibles favorable al resultado, llamémosle # R,
del total de posibles resultados al extraer una carta de dicho naipe, llamémosle # S.
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En esta situación todos los resultados elementales son igualmente probables;
entonces, la probabilidad de que ocurra el resultado en cuestión es:
[Cartas sea Roja] =
#R
.
#S
Notemos que en el enfoque clásico (cuando es aplicable) se determinan los
valores de probabilidad antes de observar los resultados experimentales, por esta
razón se le denomina enfoque a priori.
APLICACIÓN 6.1 En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48
cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as en una extracción es:
[Obtener un as] =
#A 4
1
=
= .
# S 52 13
Enfoque Frecuentista
En el enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en
la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado número
de observaciones o experimentos. No hay implícita ninguna suposición previa de
igualdad de probabilidades.
Debido que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la
observación y de la recopilación de datos, a este enfoque se le denomina también
enfoque empírico. Este enfoque no asigna probabilidades a priori a los posibles
resultados del experimento.
La probabilidad en el enfoque frecuentista se asocia directamente al concepto
de frecuencia relativa ya trabajado en estadística descriptiva, de acuerdo con este
enfoque la probabilidad de que ocurra un resultado determinado, como por ejemplo
llegar atrasado al trabajo es:
[Llegar atrasado al trabajo] =
n
Número de atrasos
= i .
Número total llegadas n
APLICACIÓN 6.2 Antes de incluir la cobertura de ciertos tipos de problemas
dentales en pólizas de seguros médicos para adultos, una compañía de seguros desea
determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda
fijarse la prima de seguros. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para
10000 adultos y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental
específico durante el año anterior. Por ello, la probabilidad de ocurrencia es:
n
100
[Problema dental] = i =
= 0,01 ó 1%
10000
n
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Enfoque Bayesiano
Tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de
probabilidad objetivos, en el sentido de que señalan la tasa relativa de ocurrencia del
evento a largo plazo. De acuerdo con el enfoque bayesiano, la probabilidad de un
resultado es el grado de confianza que se tiene de que éste ocurra.
Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, este enfoque,
es llamado enfoque subjetivo. El desarrollo de la probabilidad mediante este enfoque,
ha recibido mucha atención en los últimos tiempos, y tiene relación con el análisis
bayesiano de decisión.
APLICACIÓN 6.3 Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus
fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos vale la pena sólo
si existe una probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno obtenga plusvalía
por 50% o más en los próximos 4 años. Al evaluar un determinado terreno, el
inversionista estudia los cambios de precios en el área en los años recientes,
considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro
probable de los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadísticas
referentes al desarrollo económico del área geográfica global. Con base en esta
revisión, concluye que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75% de que se
dé la plusvalía. Como esta probabilidad es menor que la mínima requida, (0.90), no
debe llevarse a cabo la inversión.
Desarrollo Axiomático de Probabilidad
La medida de probabilidad (P), se apoya en argumentos de Teoría de Medida,
que para su definición axiomática requiere de algunas definiciones previas, las cuales
pasamos a recordar.
Definición 6.1: Espacio Muestral. Se define el espacio muestral como el conjunto de
todos los posibles resultados del experimento, y se anota por Ω.
Definición 6.2: Suceso o Evento. Un suceso o evento, es cualquier subconjunto de Ω, y
se anota generalmente con letras mayúsculas. A, B, C etc.
A partir de Ω (espacio muestral), se tiene que 2 Ω o [Ω] es el espacio de
sucesos(conjunto potencia), es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω,.
El conjunto, Γ ⊂ 2 Ω, es una sigma–algebra (conjunto de sucesos) si cumple con las
siguientes propiedades:
Ω ∈ Γ , si A ∈ Γ ⇒ Ac ∈ Γ ,.y si {An}n ∈ IN ⊂ Γ ⇒
∞
∪
n =1
An ∈ Γ .
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El par (Ω, Γ ) se dice espacio medible, y la función  : Γ → ‘+, es una
medida de probabilidad si satisface:
1. 0 ≤ [A] ≤ 1, ∀ A ∈ Γ .
2. [Ω] = 1.
3. A1, A2 …∈ Γ disjuntos ⇒ [
n
∪
i =1
n
An] =
∑
i =1
[Ai]
∀ i.
Dependiendo del número de posibles resultados de un experimento aleatorio,
el espacio muestral Ω puede ser clasificado como:
Finito
Discreto
Numerable
Infinito
Ω
Acotado
Continuo
No Numerable
No Acotado
En una primera aproximación, el cálculo probabilidades se aborda desde los
espacios muestrales finitos, lo cual se reduce a saber contar. Sin embargo, para poder
contar eficientemente, se requiere de técnicas de conteo.
Técnicas de Contéo
Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento, llamémosle
1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento,
llamémosle 2, se puede hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de
las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las n2 de efectuar 2.
Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n1 x n2
maneras, como se representa en la Figura 6.1.
Figura 6.1: Desarrollo esquemático del principio multiplicativo.
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Este principio puede generalizarse a cualquier número de procedimientos. Es
decir, si hay r procedimientos, y cada uno de éstos se puede hacer de ni maneras
(i = 1, 2, ... , r), entonces el procedimiento que consiste en 1, seguido por 2, ... ,
seguido por el procedimiento r puede llevarse a cabo de n1 x n2 x nr.
APLICACIÓN 6.4 Considérese un proceso de manufactura en línea para un artículo.
En cada una de las cuatro líneas se inspecciona una característica particular y se
marca su conformidad. Existen 3, 4, 2 y 2 mediciones posibles, en los controles 1, 2,
3 y 4 respectivamente. Por lo tanto, un artículo es rechazado o aprobado al pasar por
3 x 4 x 2 x 2 = 48 inspecciones
Principio de adición. Supongamos que un procedimiento, llamémosle 1, se
puede hacerse de n1 maneras, y que un segundo procedimiento, llamémosle 2, se
puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos
procedimientos, 1 y 2, se realicen. Entonces el número de maneras como se puede
hacer el procedimiento 1 ó 2 es de n1 + n2, como se representa en la Figura 6.2.
Figura 6.2: Desarrollo esquemático del principio aditivo.
También este principio puede generalizarse como sigue: si hay r
procedimientos, y cada uno de éstos se puede hacer de ni maneras (i = 1, 2, ... , r),
entonces el número de maneras como podemos hacer el procedimiento 1, o el
procedimiento 2, o ... , o el procedimiento r está dado por n1 + n2 + ... + nr,
suponiendo que los procedimientos no se pueden realizar en forma conjunta.
APLICACIÓN 6.5 Supongamos que una persona desea realizar la planificación para
sus estudios de enseñanza superior, debe decidir entre Universidades tradicionales,
privadas o centros de formación Técnica. En su zona geográfica hay tres
universidades tradicionales, cinco universidades privadas y cuatro centros de
formación Técnica, entonces hay 3 + 5 + 4 = 12 decisiones posibles para sus estudios.
Ambos principios son empleados en los siguientes cálculos. Supongamos el
caso de una competencia canina, en la cual existen n participantes, donde el jurado
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mide una serie de características del can para su puntuación. El problema consiste en
determinar el número de formas distintas en las que pueden salir los canes para ser
evaluados por el jurado. Se asume que el can es evaluado sólo una vez ésta
situación se conoce como extracción sin reposición, dada la no posibilidad de medir
dos veces el mismo can.. Para que el primer can sea evaluado existen n posibilidades,
mientras que para el segundo existen n – 1 posibilidades, hasta que se llega al último,
donde sólo que una posibilidad.
Nº de posibilidades →
n
n–1
n–2
Elección →
↓
1
↓
2
↓
3
...........
2
1
...........
↓
n–1
↓
n
Es claro que en esta situación, aplicando del principio multiplicativo, se
obtiene que el número de formas distintas en las que pueden salir los canes para ser
evaluados por el jurado, estas son: n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1.
Definición 6.3: Factorial. Sea n ∈ IN, entonces se define n factorial como n x (n – 1)
x (n – 2) x ... x 1, el cual se simboliza por n!.
Existen situaciones donde una vez seleccionado un elemento éste puede ser
nuevamente seleccionado. Por ejemplo, consideremos la situación de generar un
código de n símbolos utilizando r símbolos. Simplificando, sean 1, 2, 3, 4, 5 y las
letras a, b, c, los símbolos. ¿Cuántos códigos de cinco símbolos se pueden formar?.
Es evidente que el código [1 1 1 a a] es distinto al código [1 a 1 a 1], a pesar de
poseer los mismos elementos en su constitución, este es el caso típico de extracción
con reposición, que en el caso general se muestra en la siguiente figura:
Nº de posibilidades →
n
n
n
Elección →
↓
1
↓
2
↓
3
...........
n
n
...........
↓
r–1
↓
r
En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se
obtiene que el número de formas distintas en las que puede conformar un código de r
símbolos utilizando los n símbolos, está dado por: n x n x n… x n = nr.
Otras situaciones se dan cuanto se debe escoger r elementos de un conjunto
de n, por ejemplo, escoger r individuos para ocupar cargos distintos (presidente –
tesorero, etc.) de un grupo compuesto por n individuos (r < n), ¿de cuantas formas
distintas se pueden asignar los r cargos entre los n individuos?. Es evidente, que un
individuo deberá ocupar sólo un cargo, es por eso que para el primer cargo se cuenta
con n individuos, para el segundo cargo se cuenta con n – 1 individuos, hasta llegar
al r-ésimo cargo donde quedan n – r + 1 individuos para ocupar el cargo, tal como se
muestra en la siguiente figura.
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Nº de posibilidades →
n
n–1
n–2
Elección →
↓
1
↓
2
↓
3
...........
n–r+2 n–r+1
...........
↓
r–1
↓
r
En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se
obtiene que el número de formas distintas en las que puede conformar los r cargos
utilizando n los individuos se encuentra dada por: n x (n – 1) x ... x (n – r + 1). Este
cálculo parece sencillo pero cuanto se trabaja con tamaños como n = 150 y r = 60, el
proceso se torna tedioso, sin embargo, utilizando una herramienta de conteo, el
cálculo se simplifica enormemente, como se muestra a continuación.
n
n–1
↓
1
↓
2
.....
.....
n–r+2 n–r+1
↓
r–1
↓
r
n–r
n–r
n–r–1
n–r–1
.....
.....
1
1
←1
←2
Como se puede apreciar en la figura anterior en la línea 1, se tiene a n!,
mientras que en la línea 2, se tiene a (n – r)!, lo que lleva a la siguiente igualdad:
n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1) =
n!
.
(n − r )!
En este ejemplo el orden en que los individuos son asignados a los cargos es
importante, pues una vez escogidos r individuos, con éstos se pueden obtener
distintas configuraciones según el cargo que ocupe. Esto se conoce como la
permutación de r elementos sobre n.
Definición 6.4: Permutación. Se define la permutación de r elementos sobre n como
el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n.
Esta expresión se simboliza por:
nPr =
Prn =
n!
.
(n − r )!
APLICACIÓN 6.6 Una directorio compuesto por: Presidente, Secretario y Tesorero,
se debe elegir de un total de 10 candidatos. Entonces el número de directorios
diferentes se encuentra dada por:
P310 =
10!
10!
=
= 720 directorios distintos.
(10 − 3)! 7!
En los casos anteriores se ha supuesto, que el orden en que son asignados los
elementos es importante, situación que se da en un número importante de problemas,
sin embargo, existe otro conjunto de situaciones, no menos importante, donde el
orden en que son asignados los elementos pierde importancia, y lo realmente
trascendental son los elementos escogidos.
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Supongamos el caso que se cuenta con un lote compuesto por n tarros de
conserva de durazno del mismo contenido y marca, de los cuales se escogerán al azar
r tarros para observar si estos presentan deformaciones, donde resulta evidente que si
se escogen los tarros al azar, lo menos importe parece ser el orden en que fueron
escogidos. Bajo las consideraciones de que lo importante es la elección de los r tarros
de un conjunto de n, se define: C, como el número de arreglos que se pueden obtener
al escoger r tarros distintos sin importar el orden de un conjunto de n.
Con anterioridad se había logrado determinar que la elección de r tarros
importando el orden de un conjunto de n estaba dada por nPr. Por lo tanto, escogidos
r tarros distintos de un total de n, que hemos simbolizado por C, es fácil observar que
si se quieren ordenar, en la primera elección se disponen de r tarros, en la segunda
elección se disponen de r – 1 tarros, hasta la r-ésima elección que se disponen del
último tarro ya seleccionado, como se muestra a continuación.
Nº de posibilidades →
r
r–1
r–2
Elección →
↓
1
↓
2
↓
3
...........
2
1
...........
↓
r–1
↓
r
En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se
obtiene que el número de formas distintas en las que pueden ordenar los r tarros
escogidos de un total de n, se encuentra dada por: r x (r – 1) x (r – 2) x ... x 1. Se
puede observar que éste último factor multiplicado a C, entrega:
r x (r – 1) x (r – 2) x ... x 1 x C = r! x C = nPr =
n!
.
(n − r )!
Por simple despeje se tiene que el número de conformaciones distintas que se
pueden obtener de r elementos de un total de n, sin importar el orden sino los
elementos que se conforman, antes definida por C, que en el futuro llamaremos
combinatoria, está dada por:
C=
nP r
n!
.
=
r!
r! (n − r )!
Definición 6.5: Combinatoria. Se define la combinatoria de r elementos sobre n como
el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n
sin importar el orden en que son asignados. Esta expresión se anota por:
nCr =
n!
.
C rn =   = nPr =
r!
r! (n − r )!
r
n
APLICACIÓN 6.7 Para formar un comité se van a elegir a tres personas de un total de
10. El número de grupos diferentes de tres personas que podrían elegirse, sin importar
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el orden diferente en el que cada uno de los grupos está dado por:
n Cr
6.2
= 10 C3 =
10!
10 × 9 × 8 × 7 ! 10 × 9 × 8 × 720
=
=
=
= 120 .
3! (10 - 3)!
3 !× 7 !
3 ×2
6
Calculo de Probabilidades
En el enfoque clásico, la probabilidad de un suceso, se basa en el
cuociente del número de resultados que son favorables al suceso, con respecto al
número total de resultados posibles, y para su eficiente cálculo es necesario recurrir a
permutaciones y/o combinaciones.
Además, antes de iniciar el cálculo de probabilidades es necesario recordar
algunas elementales propiedades.
Propiedades de una Medida de probabilidad
Se utiliza el símbolo  para designar la probabilidad de un suceso. Luego
[A] denota la probabilidad de que ocurra el suceso A., una propiedad obvia es que:
0 ≤ [A] ≤ 1
Un evento puede ocurrir o no, luego la suma de la probabilidad de
ocurrencia de un evento más la probabilidad de no-ocurrencia es siempre igual a 1.
[A] + [Ac] = 1
APLICACIÓN 6.8 Suponga que se define como éxito, la extracción de cualquier carta
de un naipe bien barajado de 52 cartas con figura o un as. Como 16 cartas de las 52
son jotas, reinas, reyes o ases, la probabilidad de éxito es 16/52 = 4/13 y la
probabilidad de no éxito es entonces 9/13.
Eventos Mutuamente Excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no pueden
ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, supóngase que se consideran los eventos “as"
y "rey" en la extracción de una carta de un mazo. Estos dos eventos son mutuamente,
excluyentes porque ninguna carta puede ser al mismo tiempo as y rey.
Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que puedan ocurrir
simultáneamente. Obsérvese que esta definición no indica que los eventos deban
necesariamente ocurrir en forma conjunta. Por ejemplo, supóngase que se consideran
los eventos “as” y “trébol". Estos eventos no son mutuamente excluyentes porque
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una carta determinada puede ser al mismo tiempo as y trébol; sin embargo, esto no
implica que todo as sea trébol o que todo trébol sea as.
APLICACIÓN 6.9 En un estudio de la conducta de los consumidores, un analista
clasifica a las personas que entran en una tienda de aparatos de sonido de acuerdo
con su sexo ("masculino" o "femenino") y su edad ("menor de 30" o "30 o mayor”).
Los eventos, “masculino” y “femenino” son mutuamente excluyentes puesto que
ninguna persona podría clasificarse en ambas categorías. De manera similar, los
eventos "menor de 30" y "30 o mayor" son también mutuamente excluyentes. Sin
embargo, los eventos "masculinos" y menor de 30" no son mutuamente excluyentes
porque una persona elegida al azar podría estar en ambas categorías.
Regla de Aditividad
Se utiliza esta regla cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra
al menos un evento entre dos(o más). Conceptualmente representa la probabilidad de
que ocurra el evento A o B y se escribe mediante [A U B].
La regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes es:
[A o B] = [A ∪ B] = [A] + [B]
APLICACIÓN 6.10 Cuando se extrae una carta de un mazo de barajas, los eventos "as"
(A) y "rey" (R) son mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer ya sea un as
o un rey en una extracción es:
[A ∪ R] = [A] + [R] =
4
4
2
+
=
52 52
13
Nota: La regla de adición para eventos excluyentes puede generalizarse a tres o más
eventos.
La regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes es:
[A o B] = [A ∪ B] = [A] + [B] – [A ∩ B]
APLICACIÓN 6.11 Cuando se extrae una carta de un mazo, los eventos "as" y "trébol"
no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de obtener un as (A) o un trébol (T)
(o ambos) en una sola extracción es:
[A ∪ T] = [A] + [T] – [A y T] =
4 13 1
4
+
−
=
52 52 52 13
En el lenguaje de conjuntos, la probabilidad [A y T] se escribe [A ∩ T], y
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se interpreta como la probabilidad de que ocurran simultáneamente.
Nota: La regla de adición para eventos no excluyentes puede generalizarse con
algunas variantes a tres o más eventos.
APLICACIÓN 6.12 Con el fin de analizar una nueva propuesta, una importante
empresa Inmobiliaria decide convocar a una reunión a cinco Ingenieros, cuatro
Arquitectos y tres Constructores. En dicha reunión se acuerda conformar una
comisión para estudiar la factibilidad del proyecto, que estará integrada por tres
profesionales. El directorio cree que la elección de los integrantes debe ser aleatoria,
no obstante, se piensa que al emplear este criterio de selección, se pueden dar ciertos
sesgos profesionales. Analicemos algunas situaciones de interés:
El experimento, X : Se escogen tres profesionales al azar.
Ω : {(I1, I2, I3); (I1, I2, I4); (I1, I2, I5); (A1, A2, I3); (A1, C2, I3); ...}
⇒ ¿Cuál es la probabilidad que la comisión tenga los tres tipos de profesionales?
T : {La comisión quede compuesto por profesionales de distintas carreras}.
 5   4   3
  ×   ×  
 1  1  1
 [T] =
= 0,273.
12 
 
3
⇒ ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión quede formada por exactamente
dos personas de igual profesión?
U : {… quede compuesto por exactamente dos personas de igual profesión}
 5   7   4 8  3  9
  ×   +   ×   +   ×  
 2   1   2  1  2   1 
 [U] =
= 0,659.
12 
 
3
⇒ ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión quede compuesto por al menos
dos personas de profesiones distintas?.
 [T ∪ U] = 0,273 + 0,659 = 0,932
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Probabilidad Condicional y Eventos Independientes
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no tiene ningún
efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro y luego son dependientes cuando
la ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.
APLICACIÓN 6.13 Los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda, dos
veces seguidas, son claramente eventos independientes, ya que el resultado del primer
lanzamiento no tiene ningún efecto sobre probabilidades del segundo lanzamiento.
Por otra parte la extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo son claramente
eventos dependientes, ya que las probabilidades asociadas con la segunda extracción
dependen del resultado de la primera extracción.
El concepto de probabilidad condicional se emplea para redefinir el cálculo
de probabilidad de ocurrencia de un evento dada cierta condición ( o información).
La expresión [B / A} mide la probabilidad de que el evento B ocurra dado que el
evento A ocurrió. Nótese que "B / A" no es una fracción.
Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad condicional [B /
A] es igual a la probabilidad simple (no condicional) [B]. Por lo tanto, una forma
evaluar la independencia de dos eventos A y B consiste en comparar
?
[B / A] = [B] o
?
[A / B] = [A]
Si se conoce la probabilidad simple (no condicional) de un primer evento A y
la probabilidad conjunta de dos eventos A y B, entonces se puede determinar la
probabilidad condicional [B / A] mediante:
[B / A]=
[B ∩ A]
[A]
Con cierta frecuencia se confunde la diferencia entre eventos mutuamente
excluyentes y no excluyentes, por un lado, y los conceptos de independencia y
dependencia por el otro.
Regla Multiplicativa
La regla multiplicativa se refiere a la determinación de la probabilidad de la
ocurrencia conjunta de dos ó más eventos.
La regla multiplicativa para dos eventos A y B es:
[A ∩ B] = [A][B / A]
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APLICACIÓN 6.14 Si se lanza dos veces una moneda, la probabilidad de que ambos
resultados sean "cara" es:
1 1
2 2
[C1 ∩ C2] = [C1][C2 / C1]= [C1][C2 ]= * =
1
4
La regla multiplicativa para tres eventos A, B y C es:
[A ∩ B∩C] = [A][B / A][C / A ∩ B]
Nota: La regla multiplicativa puede generalizarse fácilmente a más de tres eventos
Los diagramas de árbol son particularmente útiles para ilustrar los posibles
eventos asociados con observaciones o ensayos secuenciales. La figura, es un
ejemplo de estos diagramas para los eventos asociados con el lanzamiento de una
moneda dos veces, donde se identifica los resultados posibles y la probabilidad en
cada punto de la secuencia.
APLICACIÓN 6.15 En la figura, se observa que son posibles cuatro tipos de
secuencias de eventos conjuntos, y de acuerdo con la regla para eventos
independientes, la probabilidad de ocurrencia conjunta para cualquiera de esas
secuencias es 1/4 . Como éstas son estas las únicas secuencias posibles, y como se
trata de secuencias mutuamente excluyentes, de acuerdo con la regla de adición la
suma de las cuatro probabilidades conjuntas debe ser 1.0:
APLICACIÓN 6.16 El Gerente de una empresa de seguridad que presta servicios a
grandes tiendas, para lograr un efectivo control contra robos, debe decidir entre
comprar detectores producidos por Simons ó Eléctrica Universal. La probabilidad de
que el detector producido por Simons, cumpla satisfactoriamente con su propósito es
de 0.90, mientras que la de un detector producido por Eléctrica Universal, es de 0.74.
Las empresas proveedoras (Simons ó Eléctrica Universal) presupuestan que para
tener un control efectivo se deben instalar, de forma que funcionen de manera
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independiente, 3 detectores según Simons ó 5 según Eléctrica Universal. ¿Cuál
detector es más conveniente, de manera que maximice la probabilidad de control?.
ei: {Detector Siemens i-ésimo cumple con su propósito}.
ci: {Detector Eléctrica Universal i-ésimo cumple con su propósito}.
T : {Detectores instalados cumplen con su función}.
[ei] = 0.90
∀ i = 1 , ...
[ci] = 0.74
[T] = [e1 ∪ e2 ∪ e3] = 1 – [ e1c ∩ e c2 ∩ e 3c ].
= 1 – [ e1c ] × [ e c2 ] × [ e 3c ] = 0.9990
[T] = [c1 ∪ c2 ∪ c3 ∪ c4 ∪ c5]
= 1 – [ c 1c ∩ c c2 ∩ c 3c ∩ c c4 ∩ c 5c ]
= 1 – [ c 1c ]× [ c c2 ]× [ c 3c ]× [ c c4 ]× [ c 5c ] = 0.9988.
De los resultados es conveniente usar el detector Siemens. La empresa en
cuestión se ha adjudicado una importante licitación, sin embargo ésta exige que la
probabilidad de control efectivo sea al menos de 0.9999995. ¿Cuántos detectores
Simons deberían ser instalados?.
[T] > 0.9999995
⇔
[e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ en] > 0.9999995
1 – [ e 1c ∩ e c2 ∩ ... ∩ e cn ] > 0.9999995
n
∏
[ e1c ] < 0.0000005
i =1
n
∏ 0.1 < 0.0000005
i =1
(0.1) n < 0.0000005
⇔
n>
ln(0.0000005)
≈7
ln(0.1)
APLICACIÓN 6.17 Suponga que se sabe que un conjunto de 10 refacciones contiene
ocho en buen estado (B) y dos partes defectuosas (D). Si se seleccionan al azar dos
refacciones sin reemplazo, la probabilidad de que las dos refacciones seleccionadas
estén en buen estado es:
[B1 y B2] = [B1] [B2 /B1] =
8 7 28
.
* =
10 9 45
donde los subíndices indican la posición secuencial de los resultados.
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Regla de Bayes
La regla de Bayes permite actualizar ciertas probabilidades a priori para
transformarse en probabilidades posteriori de un evento (experimento).
La importancia de la regla de Bayes consiste en que se aplica en contexto de
eventos secuenciales y además, de que proporciona la base para determinar la
probabilidad condicional de un evento a la luz de un evento especifico que ha
ocurrido. La fórmula de cálculo para el teorema es:
[A / B]=
[A] [B / A]
[A ∩ B]
=
[B]
[A] [B / A] + [Ac] [B / Ac]
Nota: 1. - El denominador es la probabilidad total o global del evento.
2. - La regla de probabilidad total o global puede generalizarse a tres o más
eventos.
APLICACIÓN 6.18 Supóngase que existen 2 urnas U1 y U2. La urna 1 tiene ocho bolas
rojas y dos bolas verdes, en tanto que la urna 2 tiene cuatro bolas rojas y seis bolas
verdes. Si se elige una urna al azar, y después se selecciona al azar una bola de esa
urna escogida, el proceso secuencial y las probabilidades pueden representarse
mediante el diagrama de árbol de la figura. El diagrama de árbol indica que la
probabilidad de elegir cualquiera de las urnas es 0,50 y después, las probabilidades
condicionales de extraer una bola roja (r) o una verde (V) son las que se señalan.
Ahora, supóngase que se observó una bola verde ¿Cuál es la probabilidad de
que se haya seleccionado la urna 1? En símbolos, ¿ [U1 / V2]?
[U1 I V1] =
=
[U1] [V1 I U1]
[U1] [V1 I U1] + [U2] [ V2 I U2]
(0.5)(0.2)
= 0.25
(0.5)(0.2) + (0.5)(0.6)
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Debe observarse del ejemplo que la regla Bayes ofrece la base para obtener lo
que podría denominarse un valor de probabilidad "condicional hacia atrás", puesto
que puede determinarse la probabilidad de que se haya seleccionado una urna
determinada en la etapa 1, dada la observación de un elemento en la etapa dos.
En el análisis bayesiano de decisión esta regla ofrece la base conceptual para
revisar las probabilidades asociadas con diversos eventos, o estados implicados en un
problema de decisión.
APLICACIÓN 6.19 Considerar la posible falla de un sistema de abastecimiento de
agua para atender la demanda durante un día de verano. El sistema puede fallar de las
siguientes formas:
M1: Suministro inadecuado.
M2: Falla de la bomba.
M3: Sobrecarga en la planta de purificación.
Supongamos que la empresa sanitaria ha efectuado un estudio según el cual
se ha estimado que las probabilidades de falla en el sistema son las que se muestran
en la Tabla 6.1. Además, la probabilidad de que falle la bomba es de 2% y es
independiente del nivel de demanda.
Tabla 6.1:
Probabilidades de falla del sistema
[Di] =
[M1| Di] =
[M3| Di] = [Sobrecarga
Identificación Nivel de
del nivel de demanda  [Nivel de [Suministro inadecuado
en la planta | Nivel de
demanda
[m3/día] demanda]
demanda]
| Nivel de demanda]
D1
D2
D3
100.000
150.000
200.000
0,6
0,3
0,1
0,0
0,1
0,5
0,0
0,0
0,1
La probabilidad de suministro inadecuado es:
[M1] = [M1 / D1] × [D1] + [M1 / D2] × [D2] + [M1 / D3] × [D3]
= 0.0 × 0,6 + 0,1 × 0,3 + 0,5 × 0,1 = 0,080
La probabilidad de falla, cualquiera sea el motivo, cuando el nivel de
demanda es 150.000 [m3/día].
[M1 ∪ M2 ∪ M3/ D2] = [M1 / D2] + [M2 / D2] + [M3 / D2]
= 0,10 + 0,02 + 0,00 = 0,120
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La probabilidad de falla del sistema es:
[M1 ∪ M2 ∪ M3] = [M1] + [M2] + [M3]
⇒ Probabilidad de falla
[M3] = [M3 / D1] × [D1] + [M3 / D2] × [D2] + [M3 / D3] × [D3]
= 0.0 × 0,6 + 0,0 × 0,3 + 0,1 × 0,1 = 0,010
⇒ [M1 ∪ M2 ∪ M3] = 0,080 + 0,020 + 0,010 = 0,110
La probabilidad de falla del sistema si se pone una bomba adicional, para que
opere en caso de que falle la primera bomba, y cuya falla es independiente de la falla
de la primera bomba es:
[M1 ∪ (M21 ∩ M22) ∪ M3] = [M1] + [ M21 ∩ M22] + [M3]
= 0,080 + 0,020 × 0,020 + 0,010 = 0,0904
APLICACIÓN 6.20 Cada vez que cliente compra articulo, elige la marca A ó la marca
B. Supóngase que en cada compra después de la primera, la probabilidad de que elija
la misma marca que escogió en la compra anterior es 1/3 y la probabilidad que
cambie de marca 2/3. Supóngase que en su primera compra la probabilidad que elija
la marca A es 1/4, ¿cuál es la probabilidad de que su segunda compra sea de la marca
B?.
Ti : {El cliente compra articulo de la marca A en la i-ésima compra}
Ui : {El cliente compra articulo de la marca B en la i-ésima compra }
[Ti/Ti – 1] = [Ui/Ui – 1] =
1
3
i = 2, 3, ...
[Ti/Ui – 1] = [Ui/Ti – 1] =
2
3
i = 2, 3, ...
[T1] =
1
4
⇒
[U1] =
3
4
⇒
[U2] =?
[U2] = [T1 ∩ U2] + [U1 ∩ U2] = [U2 / T1] × [T1] + [U2 / U1] × [U1]
=
2 1
1 3
5
× + × =
3 4
3 4 12
Bajo los mismos supuestos de la parte a), ¿cuál es la probabilidad de que si su
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segunda compra fue de la marca B, la primera haya sido de la marca A?.
2 1
×
[U2 / T1] × [T1]
3
4
[T1 / U2] =
=
[U2]
5
12
=
2
5
Si es igualmente probable que en su primera compra elija la marca A o la
Marca B, ¿cuál es la probabilidad de que la primera y la segunda compra sean de la
marca A, y la tercera y cuarta, de la marca B?.
[T1] = [U1] =
1
2
⇒
[T1 ∩ T2 ∩ U3 ∩ U4] = ?
[T1 ∩ T2 ∩ U3 ∩ U4] = [U4 / T1 ∩ T2 ∩ U3] × [U3 / T1 ∩ T2] × [T2 /T1] × [T1]
= [U4 / U3] × [U3 / T2] × [T2 /T1] × [T1]
=
1 2 1 1
1
× × × =
3 3 3 2 27
Probabilidades Conjuntas
Una tabla de probabilidades conjuntas es aquélla en la cual se listan como
encabezados de renglón todos los posibles eventos (o resultados) para una variable;
encabezados de columnas se listan todos los posibles eventos para una segunda
variable, y el valor que se anota en cada una de las celdas de la tabla es la
probabilidad de su ocurrencia conjunta. Es frecuente que las probabilidades de este
tipo de tablas se basen en las frecuencias de ocurrencia observadas para los diversos
eventos conjuntos, más que en eventos que son a priori por naturaleza. La tabla de
frecuencias de ocurrencia conjuntas que puede servir como base para construir una
tabla de probabilidades conjuntas se denomina tabla de contingencias.
APLICACIÓN 6.21 La Tabla 6.2 de contingencias describe a 200 clientes que entraron
en una tienda de equipos de sonido de acuerdo con sexo y edad, en tanto que la Tabla
6.3, es la tabla correspondiente de probabilidades conjuntas.
Tabla 6.2: Frecuencias para los clientes que entraron en una tienda de equipos.
Edad
Menor de 30
30 y mayor
Total
Sexo
Hombre
Mujer
60
50
80
10
140
60
Total
110
90
200
81
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Tabla 6.3: Probabilidad conjunta de clientes que entraron en una tienda de equipos.
Edad
Menor de 30
30 y mayor
Probabilidad
Marginal
Sexo
Hombre
Mujer
0.30
0.25
0.40
0.05
0.70
Probabilidad
Marginal
0.55
0.45
0.30
1.00
En el contexto de las tablas de probabilidad conjunta se denomina
probabilidad marginal a las probabilidades que son un total marginal de reglón o
columna.
Los valores de probabilidad de las celdas son probabilidad de ocurrencia
conjunta, las probabilidades marginales son las probabilidades simples, no
condicionales, de eventos específicos.
6.4
Variables Aleatorias
En el proceso de construcción de medidas de probabilidad, distinguimos los
siguientes elementos:
Figura 6.3: Medidas de la probabilidad.
82
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El espacio muestral de interés Ω, ha sido caracterizado por:
En términos sencillos, una variable aleatoria, es una función que permite trabajar
cualquier espacio muestral de manera cuantitativa.
Definición 6.6: Sea X un experimento aleatorio y H un espacio muestral asociado al
experimento. Se dice que X es una variable aleatoria (v.a.) si es una función
(medible) de H en los números reales, es decir:
Nota: En términos más sencillos e intuitivos, se puede definir una variable aleatoria,
como una función que toma valores en probabilidad, es decir, no se puede predecir
con certeza sus valores ó resultados.
Si aceptamos esta segunda definición:
¿En qué situaciones se puede predecir con certeza?
La respuesta nos lleva a pensar que, en el día a día (trabajo, hogar, etc.)
estamos rodeados de variables aleatorias
Las variables aleatorias (v.a.) son caracterizadas según los posibles valores
que éstas puedan tomar, es decir, según su recorrido, que se simbolizará por ex.
Se dice que X es una v.a. discreta, si su recorrido ex. es numerable
(finito ó infinito).
Definición 6.7:
83
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APLICACIÓN 6.22 Ejemplo de una variable aleatoria discreta con. ex finito.
APLICACIÓN 6.23 Ejemplo de una
(numerable).
variable aleatoria. discreta con. ex infinito
Se dice que X es una variable aleatoria continua, si su recorrido ex.
es no numerable, es decir, que estos pueden tomar cualquier valor en intervalos de la
recta real (IR).
Definición 6.8:
84
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APLICACIÓN 6.24
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Ejemplo de una variable aleatoria. continua:
Funciones de distribución (Probabilidad acumulada)
Supongamos que se tiene que X es una v. a. discreta, donde los valores que
toma son: x1, x2, x3,..., xk, con x1 < x2 < x3 <... < xk, entonces se tiene que en e, se
pueden representar por:
Entonces, sobre la base de esta variable aleatoria discreta, cuyo concepto se
puede también extender a variables continuas, puede construir la función de
probabilidad acumulada, como la probabilidad de que la variable aleatoria X sea
menor o igual a x ∈ e. Notar que es la misma noción de frecuencia relativa
acumulada de estadística descriptiva.
Sea X es una v.a., entonces, se define la función de distribución de
probabilidad, como la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual a
x ∈ e, y se simboliza por Fx(x) = [X ≤ x], la cual cumple con las siguientes
propiedades:
Definición 6.9:
3.
Fx(x) es una función no decreciente y continua a la derecha.
85
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Analicemos como construir la función anterior: En un problema de control de
calidad, se tiene una población de 25 artículos, donde se asume que 10 presentan
pequeños defectos, si se elige una muestra al azar de 3 artículos. Determine Fx(x),
donde X:= Número de artículos defectuosos en la muestra.
Notemos en primer lugar que ex = {0, 1, 2, 3}, luego sí:
•
x < 0 ⇒ Fx(x) = [X ≤ x] = 0
• 0≤x<1
• 1≤x<2
• 2≤x<3
⇒
 10   15

 
0   3

Fx(x) = [X ≤ x] =
 25 


 3 


 = 0,198
⇒
 10   15

 
0   3

Fx(x) = [X ≤ x] =
 25 


 3 


 +
⇒
 10   15

 
0   3

Fx(x) = [X ≤ x] =
 25 


 3 
  10   15
 
 
 + 1   2
 25 


 3 
 10   15

 
 1   2
 25 


 3 
 10   15

 
2   1

+
 25 


 3 


 = 0,655





 = 0,949
• x≥3
 10   15

 
0   3

Fx(x) = [X ≤ x] =
 25 


 3 


+
 10   15

 
 1   2
 25 


 3 


 +
 10   15

 
 2   1
 25 


 3 


 +
 10   15

 
 3   0
 25 


 3 


 = 1,000
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La gráfica de Fx(x) está dada por:
Sea X una v.a discreta., entonces se define la función de cuantía ó
masa de probabilidad, como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un
valor específico x, que se simboliza por fx(x) = [X = x] y cumple con las siguientes
propiedades:
Definición 6.10:
1. fx(x) = [X = x] ≥ 0
,
∀ x ∈ e.
3. fx(x) = [X ≤ x] – [X ≤ x – 1] = Fx(x) – Fx(x – 1)
De donde se tiene que la función de cuantía toma valores distintos de cero
sólo para x ∈ ex = {0, 1, 2, 3}, y estos son:
 10   15

 
0   3

fx (0) =
 25 


 3 


 = 0.198 ; f (1) =
x
 10   15

 
 1   2
 25 


 3 


 = 0,457
 10   15

 
2   1

fx (2) =
 25 


 3 


 = 0.293; f (3) =
x
 10   15

 
 3   0
 25 


 3 


 = 0,052
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Donde la gráfica de fx(x) ([X = x]) es:
En el caso de una variable aleatoria continua X, su recorrido ex. es no
numerable, y luego [X = x] = 0 ∀ x ∈ e. Para este caso tenemos la función de
densidad de probabilidad, definida más adelante.
A modo de ejemplo, consideremos la variable aleatoria X:=Tiempo de espera
en la fila de un banco, la cual es claramente una variable aleatoria continua, cuya
función de densidad es fx(x) hipotética, se destaca en la figura.
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Sea X es una v.a. continua, entonces fx(x) es una función de densidad
de probabilidad (f.d.p.) para X, sí ‘fx(x)’, satisface las propiedades:
Definición 6.11:
1. fx(x) ≥
para casi todo x ∈ e.
0,
Un modelo adecuado para fX(x), la función de densidad asociada a los tiempos
de espera en la fila del banco (en minutos), puede ser:
En primer lugar verifiquemos que fX(x), es f.d.p., es decir que cumple con la
definición 6. En primer término, se puede observar que fX(x) es decreciente con
imagen positiva, y queda por verificar que;
∞
1
 x
∫0 45 exp − 45  ∂x =
∞
∫ exp {− u} du = 1
0
Como fX(x) es f.d.p., podemos calcular probabilidades, como por ejemplo: La
probabilidad que una persona se demore más de 45 minutos, en ser atendida,
simbólicamente [X > 45].
∞
[X > 45] =
1
∫ 45
45
 x
exp −  dx = 0,368.
 45 
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6.5
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Valor Esperado
El primer estudio sistemático del valor esperado se debe a Huygens (en su
obra Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae, de 1657), que calcula el valor justo de un
juego a partir de una respuesta obvia en situaciones simétricas, y luego generalizando
el valor esperado a cualquier situación. Esté comienza suponiendo que, sí se espera
ganar a ó b, cualquiera de los dos casos con igual probabilidad, entonces la
expectativa vale: (a + b) / 2, es decir, el promedio de a y b.
Posteriormente, Huygens considera el caso en que las posibles ganancias son
a y b, pero con probabilidades distintas. Supone que hay p oportunidades de ganar a,
y q oportunidades de ganar b. Por tanto, generalizando la idea anterior, considerando
un juego equivalente en el que cada uno de los p + q resultados ocurre con la misma
probabilidad, pero en p de ellos se obtiene una ganancia a y en las q restantes una
ganancia b, el valor esperado será igual a:
a
p
q
+b
p+q
p+q
En definitiva, se utilizaba una idea similar a la acepción vulgar del término
esperanza. Si se consulta el Diccionario de la Real Academia, se encuentra la
siguiente acepción: “estado del ánimo en el cual se nos presenta como posible lo que
deseamos”. De hecho, inicialmente se confundía la esperanza del juego con su
resultado positivo, llegando Laplace (1814), a considerar el caso de pérdida, al
denominar a esta situación negativa esperada como “temor”.
En este sentido la siguió utilizando Jacob Bernoulli (1713) para indicar la
situación de un jugador que deseaba ganar el juego en el que participaba. Su
razonamiento, al contrario que el de Huygens, utiliza la noción de frecuencia, y no se
basaba en la simetría de la situación. El razonó de la siguiente manera: en un juego
concreto el resultado es incierto pero, basándose en la experiencia de partidas
pasadas, se podía asignar una valoración a priori de los porcentajes de veces en que se
ganaba o se perdía.
Estas proporciones, posteriormente fueron asimiladas a probabilidades
(noción clásica de probabilidad). El valor esperado del juego sería entonces:
ganancia × (proporción de veces que gana)
– pérdida × (proporción de veces que pierde)
=
Valor Monetario Esperado
Por último, la aplicación de este enfoque, al caso general de un juego que
presente más de dos posibles resultados, conduce a la expresión:
„[X] =
∑ x P [X
x∈ℜ x
= x]
(Valor esperado de X)
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Definición 12: Sea X una v.a, entonces, se define el valor esperado de una función
real, g(X) de X, como:
 ∑ g (X) P [ X = x ]
 x∈ℜ
 x
„[g(X)] = 

 ∫ g (X) f (x) dx
 x∈ℜ x
El valor esperado de g(X) es un número, además existe un conjunto de
funciones g(X) cuyo valor esperado, representa medidas específicas, ya sea de
tendencia central, variabilidad ó forma, etc.
Definición 6.13: Sea X es una v.a, se define el valor esperado ó esperanza matemática
de X, como:
 ∑ X P [X = x]
 x∈ℜ x
„[X] = 
 ∫ X f (x) dx
 x∈ℜ x
Propiedades: Sean a y b constantes y X una variable aleatoria, entonces:
1.
2.
3.
4.
„[a] = a
„[X] = . = constante.
„[aX] = a „[X]
„[aX + b] = „[aX] + „[b] = a „[X] + b
Definición 6.14: La varianza de una variable aleatoria X, se define como el valor
esperado del cuadrado de la diferencia entre la variable aleatoria y su valor esperado,
la cual está dada por:
 ∑ [X - E[X]]2 P [ X = x ]
 x∈ℜ x
„[(X – „[X])2] = 
2
 ∫ [X - E[[X]] f (x) dx
 x∈ℜ x
Notemos que en este caso la función cuadrática es g(X)= (X – „[X])2, y que
mediante operaciones algebraicas se puede descomponer en la diferencia de dos
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valores esperados, más fáciles de calcular desde el punto de vista del cálculo, como se
demuestra a continuación:
„[(X – „[X])2] = „[(X – „[X]) (X – „[X])] = „[X2 – 2× X× „[X] + („[X])2]
= „[X2] – „[2 × X × „[X]] + „[(„[X])2]
= „[X2] – „[2× X× .] + „[.2]
= „[X2] – 2× . × „[X] + .2
= „[X2] – 2 × . × . + .2
= „[X2] – 2× .2 + .2
= „[X2] – .2 = „[X2] – („[X])2
donde;
∑
2

X P[X = x ]

 x∈ℜ x
„[X2] = 
2

X f ( x) dx

 x∈ℜ x
∫
Propiedades: Sean a y b constantes y X una variable aleatoria cualquiera, entonces:
1. •[a] = 0
2. •[X] = 52 = constante.
3. •[aX] = a2 •[X]
4. •[aX + b] = •[aX] + •[b] = a2 •[X] + 0 = a2 •[X]
Además se puede apreciar que para la funciones g(X) dadas por: (X – „[X])3
y (X – „[X])4, su valor esperado es equivalente al cálculo de los coeficientes de
simetría y curtosis de Ficher m3 y m4.
APLICACIÓN 6.25 La función de probabilidad de X, el número de defectos por cada
10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, es:
x
0
1
2
3
4
X(x)
0,41
0,37
θ
0,05
0,01
¿Cuál debe ser el valor de θ?
92
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En primer lugar θ ≥ 0 , y además debe verificar que:
4
∑
[X = x] = 1
⇒
0,41 + 0,37 + θ + 0,05 + 0,01 = 1,00
⇒
θ = 0,16
x= 0
La gráfica de la función de distribución probabilidad, se presenta en forma
escalonada, ocurriendo los saltos en cada uno de los puntos, donde la variable
aleatoria tiene probabilidad positiva, como se muestra a continuación
x<0
x <1
x<2
x<3
x<4
x≥4
1.0
0.8
FX(x)
0, 00
0, 41

0, 78
FX ( x) 
0,94
0,99

1, 00
0.6
0.4
0.2
0.0
-1
0
1
2
3
4
x 5
También es posible realizar el cálculo de algunas probabilidades sencillas
como las que se muestran a continuación:
•
[X > 3] = 0.01
•
[X > 1 / X < 3] =
0.16
[1 < X < 3]
[X = 2]
= 0.1702
=
=
0.94
[X < 3]
[X < 3]
Determinar el valor esperado, varianza y la desviación estándar de X.
„[X] = µ = 0 × 0.41 + 1× 0.37 + ... + 4 × 0.01 = 0.88 (valor esperado)
„[X2] = 02 × 0.41 + 12 × 0.37 + ... + 42 × 0.01 = 1.62
•[X] = σ 2 = „[X2] – („[X])2 = 1.62 – 0.882 = 0.8456
(Variabilidad)
σ = 0.8456 = 0.91956 (desviación estándar)
Además, el costo esperado, si suponemos que el costo por defecto es:
500

G ( X ) = 5000
1500

si x < 2
si x > 2
e.o.c.
93
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„[G(X)] = 500× [X < 2] + 5000× [X > 2]+ 500× [X = 2]
= 500× (0,41 + 0,37) + 5000× (0,05+0,01) + 1500× 0,16
= 930.
APLICACIÓN 6.26 Si suponemos que la función de densidad del tiempo de vida
(horas de operación), hasta que fallen ciertas máquinas en un proceso productivo es:
 80

f (t ) =  t 2
 0
t ≥ 80
e.o.c.
¿ Cuál es la probabilidad de que una máquina elegida al azar funcione más de
120 horas?.
Sea T:= v.a tiempo de vida de una máquina [horas de operación], se pide:
[T > 120] = 1 - [T ≤ 120] = 1 –
120
∫
80
 80 120  2
80
dt = 1 – −
 =
t2
 t 80  3
También es posible determinar probabilidades condicionales, como por
ejemplo si se ha observado que cierta máquina lleva funcionando más 150 horas
(condición), la probabilidad de que falle antes de las 200 horas, está dada por:
[T < 200 / T ≥ 150] =
[150 ≤ T < 200]
1 – [T ≤ 150]
200
∫
=
150
150
1–
∫
80
6.6
80
dt
t2
80
dt
t2
=
2
15
8
15
=
1
4
Algunos Modelos Comunes en Ingeniería
Los modelos que estudiaremos son frecuentemente utilizados en ingeniería,
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están caracterizados por la función de masa de probabilidades en el caso discreto, y
densidad en el caso continuo.
6.6.1 Modelo Hipergeométrico
Es un modelo de característica discreta (distribución), útil para poblaciones
finitas (pequeñas).
Supongamos que N es el número de elementos de la población, por ejemplo;
la producción de artículos en un día determinado, la cantidad de habitantes de una
determinada región, etc. Además, supongamos que k, es el numero de elementos de
la población que cumplen con cierta cualidad observable (k < N), por ejemplo, la
cantidad de defectuosos de la producción de artículos de ese día, etc. Es posible
observar que la población de N elementos ha sido dividida en dos grupos: Aquellos
que pertenecen al grupo 1, ‘E1’, como los artículos no defectuosos, y aquellos que
pertenecen al grupo 2, ‘E2’, como los artículos no defectuosos.
Si de esta población se toma una muestra aleatoria de n elementos, como se
muestra la figura. Entonces la variable aleatoria, X:= Número de artículos en la
muestra que cumplen con la cualidad (ser defectuoso por ejemplo), puede modelarse
por la siguiente función de masa de probabilidad:
n
 k   N-k 
  

a
n -a 
[X = a] =   
 N


 n 
a = 1, 2, ... , min{k, n}
APLICACIÓN 6.27 Suponga una caja con 25 artículos de los cuales 10 presentan una
cualidad especial (ser rojos, defectuosos, etc.), entonces si se toma una muestra de 3
artículos, y se define:
X:= número de artículos que presentan esa cualidad especial en la muestra.
Claramente en la muestra no puede haber más artículos con la cualidad
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especial, que el tamaño de la misma. Sin embargo, si en el lote hubiese sólo 2
artículos con esa cualidad especial, en la muestra no puede haber más dos con la
cualidad especial. Las distintas alternativas para este caso son:
 10   15 

 

0   3 

[X = 0] =
= 0.198
 25 


 3 
 10   15 

 

1   2 
[X = 1] = 
= 0.457
 25 


 3 
 10   15 

 

2   1 

[X = 2] =
= 0.293
 25 


 3 
 10   15 

 

3   0 
[X = 3] = 
= 0.052
 25 


 3 
La gráfica de Px(x) (P[X = x]) está dada por:
96
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También es posible demostrar que en el caso general términos la media y
varianza son respectivamente:
„[X] = µ = n ×
k
N
artículos
•[X] = σ 2 = „[X2] – („[X])2 = n ×
k   N - n
k 
× 1 ×
.
N 
N   N - 1
artículos2
APLICACIÓN 6.28 Considere un fabricante de lanchas que compra motores a una
compañía donde se fabrican bajo estrictas normas de especificación. El fabricante
recibe un lote de 40 motores. Su plan de muestreo para aceptar el lote consiste en
seleccionar ocho motores al azar y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de
los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote, de otra forma lo
rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios defectos, ¿Cuál es la probabilidad
de que el lote sea aceptado?.
X: El número de motores que presentan defectos en la muestra.
 2 
  
0
[X = 0] =   
 40

 8
38 

8 
= 0.6359



¿Cuántos motores se espera sean defectuosos en la muestra?
„[X] = µ = n ×
2
k
=3 ×
N
40
Motores
6.6.2 Modelo Binomial
Esta es una de las distribuciones más útiles, pues sus áreas de aplicación
incluyen: medicina, ventas, investigaciones de mercado, inspecciones de calidad, etc.
Consideremos nuevamente una población que cumple con características
dicotómicas, es decir, un grupo de la población cumple con tener la característica y
otro no, llámese ‘éxito’ aquel elemento que cumple con la característica, y ‘fracaso’
el elemento que no cumple. Supongamos además, que la probabilidad de éxito ‘p’ se
mantiene constate en el curso de los ensayos. .
Si de esta población se escogen ‘n’ elementos en forma independiente
(sustitución), y se define la variable aleatoria, X:= Número de éxitos en estos n
ensayos, entonces X sigue un modelo Binomial.
97
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La función de masa de probabilidades se puede deducir de la siguiente forma:
Consideremos el caso particular de que en n ensayos independientes se obtengan ‘a’
éxitos consecutivos en los primeros a ensayos y posteriormente “n – a” fracasos.
Como los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito es constante,
la probabilidad en este caso es el siguiente producto:
Extendamos ahora el problema para obtener ‘a’ éxitos en n ensayos sin
restricción. Como se puede apreciar en la figura anterior, esta muestra sólo un orden
donde se cumple con el requisito ‘a’ éxitos, pero no todos los posibles, ya que los
éxitos pueden presentarse en distintas combinaciones en los ‘n’ ensayos. Luego
probabilidad de obtener ‘a’ éxitos en ‘n’ ensayos con el natural requisito de: 0 ≤ a ≤
n, está dada por:
 n
[X = a] =   × pa × (1 – p)n – a,
a
a = 0, 1, 2,.. n
APLICACIÓN 6.29 Considere nuevamente el fabricante de lanchas. El fabricante
recibe un lote de 40 motores. Su plan de muestreo para aceptar el lote consiste en
seleccionar ocho motores al azar y someterlos a prueba, si ninguno de los motores
presenta serios defectos acepta el lote, de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene
dos motores con serios defectos, ¿Cuál es la probabilidad de 15 lotes muestreados 10
sean aceptados?.
Consideramos las siguientes situaciones:
X: número de lotes aceptados.
p: probabilidad que un lote sea aceptado (0.6359 calculado anteriormente), entonces:
 15 
[X = 10] =   × 0.635910 × (1 – 0.6359)15 – 10 = 0.2078
10 
El número medio esperado de lotes que serán aceptados, que está dado por:
„[X] = µ = n × p = 15 × 0.6359≈ 9,54 lotes aceptados (Interpretar)
98
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Además se puede determinar que la varianza es:
•[X] = σ 2 = n × p × (1 – p) = 15 × 0.6359 × 0.3641≈3.47 (Interpretar)
APLICACIÓN 6.30 Suponga que el 65% de un particular tipo de ratas, cuando es
inyectada con una dosis de estimulante, muestra un comportamiento agresivo. Un
experimentador aplica el estimulante a quince ratas, una después de otra y observa la
presencia o ausencia de agresividad en cada uno de los casos. Determine las
siguientes probabilidades (bajo el supuesto de independencia entre las probabilidades
de agresividad de las ratas).
Exactamente dos ratas agresivas.
Sea X:=Número de ratas (experimento) que muestra comportamiento agresivo
15 
[X = 2] =   × 0,652 × 0,3513 = 0,0001
2
(0,0000525)
Diez o más ratas son agresivas.
[X ≥ 10] = 1 – [X ≤ 9] = 1 –
9
 15 
∑  x  × 0, 65x × 0,3515− x
x =0 

= 1 – 0,4357 = 0,5643 (Uso de Tablas o calculadoras)
Suponga que el experimentador aplicó el estimulante a 80 ratas, de las cuales
muestreó 12. La probabilidad de tener exactamente dos ratas agresivas es:
 52  28 
  
2 10
[Y = 2] =    = 0,0003
 80 
 
 12 
En este último ejemplo, se trabaja con el supuesto que de la población, el
65%, debería tener un comportamiento agresivo, de ahí el hecho que se espera que
existan 52 ratas agresivas de las 80 bajo estudio.
Como se habrá podido apreciar el modelo binomial es muy parecido al
modelo Hipergeométrico, pues en ambos se miden éxitos sobre la base de
poblaciones dicotómicas (éxito v/s fracaso), sin embargo poseen importantes
diferencias, como lo son:
•
En el modelo Hipergeométrico se tiene una población finita y el muestreo es
sin reemplazo.
99
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•
Si en el modelo binomial, el tamaño de la población es finito, para mantener la
independencia y probabilidad de éxito constante, se debe utilizar un muestreo
con reemplazo.
• Si en el modelo binomial, el tamaño de la población es infinito (muy grande),
sólo debemos garantizar probabilidad de éxito constante.
Las diferencias entre ambos modelos, disminuyen notablemente cuando el
tamaño de la población (N) es grande, y la relación entre el tamaño de la muestra (n),
y el tamaño de la población (N) es pequeño.
En este caso se muestra que: X ∼ H(N; k; n) ≈ B(n,
k
).
N
En la Tabla 6.4 se observan las probabilidades para una muestra de 10
elementos, donde la población es de 100 elementos, y hay 20 elementos con la
característica. Se aprecia la aproximación de la distribución Hipergeométrica por la
distribución binomial.
Tabla 6.4:
Probabilidades exactas y aproximadas
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hipergeométrica
0.3182
0.2092
0.0841
0.0215
0.0035
0.0004
0.0000
0.0000
0.0000
Binomial
0.30199
0.20133
0.08808
0.02642
0.00551
0.00079
0.00007
0.00000
0.00000
6.6.3 Modelo Poisson
Otro modelo de distribución discreta, que se utiliza en una amplia variedad de
situaciones, donde se cuenta el número de eventos que ocurren aleatoriamente en el
tiempo (área, volumen, etc.) a una tasa constante, es el modelo Poisson. Ejemplos
típicos son:
•
•
•
•
•
Números de Aviones, Buques, Camiones que llegan a un punto.
Número de defectos en una lámina de algún metal.
Número de bacterias en un cultivo.
Número de árboles dañados.
etc.
Si se define X:= Número de eventos que ocurren por unidad de tiempo
100
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(espacio, volumen), entonces se prueba que bajo ciertos supuestos:
−λ
[X = a] = e λ
a!
a
,
a = 0, 1, 2,....
En este modelo se puede probar que el número esperado es „[X] = λ , y la
variabilidad en torno al valor medio es •[X]= λ .
APLICACIÓN 6.31 Suponga que el número de defectos en láminas de 1 metro por 2
metros se distribuyen aleatoriamente en las láminas, con una media de 6 defectos por
lámina. ¿Cuál es la probabilidad de que en una lámina escogida al azar se encuentren
ocho defectos?.
X:= Número de defectos [Por lámina], luego X ≈ c(6)
[X = 8] =
e −6 6
8!
8
= 0.1033
Se puede verificar que cuando el tamaño de una muestra es grande, y la
probabilidad que de que cumpla con la característica es muy pequeña, existe una
buena aproximación entre los resultados de modelo binomial con los resultados de un
modelo Poisson, tal como se muestra a continuación:
X ∼ B(n, p) ≈ c(n × p).
Bajo las idénticas suposiciones se puede apreciar además la siguiente
relación:
X ∼ H (N; k; n) ≈ B (n, p) ≈ c(n × p).
Considere una población de 100 elementos, donde los elementos que cumplen
con una característica son 20 y se toma una muestra de 10 elementos. La
aproximación de la distribución Hipergeométrica con la distribución binomial y con
la distribución Poisson se muestra en la tabla siguiente:
Tabla 6.3:
Probabilidades exactas y aproximadas
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hipergeométrica
0.3182
0.2092
0.0841
0.0215
0.0035
0.0004
0.0000
0.0000
0.0000
Binomial
0.30199
0.20133
0.08808
0.02642
0.00551
0.00079
0.00007
0.00000
0.00000
Poisson
0.27067
0.18045
0.09022
0.03609
0.01203
0.00344
0.00086
0.00019
0.00004
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APLICACIÓN 6.32 Considere nuevamente el fabricante de lanchas que compra
motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas normas de especificación. El
fabricante recibe un lote de 1000 motores. Su plan de muestreo para aceptar el lote
consiste en seleccionar 15 motores al azar y someterlos a prueba. Si encuentra que
ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote, de otra
forma lo rechaza. Si el lote contiene 40 motores con serios defectos, ¿cuál es la
probabilidad de el lote sea aceptado?.
Si definimos X: Número de motores defectuosos en el lote.
Se tiene la aproximación:
 40   960 
  

0   15 

[X = 0] =
≈ exp (-0.60) = 0.5488
1000 


 15 
A modo de ejercicio se compara con el resultado de la probabilidad exacta que
para este caso particular es coincide con el esquema de la aproximación binomial.
 40   960 
  

0   15 

[X = 0] =
= 0.5397
1000 


 15 
6.6.4 Modelo Normal
La distribución Normal o Gausiana es, sin lugar a dudas, la más importante y
la de mayor uso en los modelos para variables aleatorias continuas. Es la piedra
angular en el análisis de datos, y en la aplicación de la inferencia estadística.
Ejemplos comunes del uso de este modelo, se encuentran en todas las áreas
del conocimiento humano, por ejemplo: datos de temperatura, precipitación pluvial;
datos de voltajes, datos de resistencias, errores de medición, etc.
En general es un modelo muy popular, es inicialmente utilizado para
representar errores o desviaciones en mediciones físicas. El modelo Normal es
representado por la siguiente función de densidad:
f ( x) =
 1  x − µ  2 
1
exp − 
 
2 πσ
 2  σ  
; x ∈ ℜ , µ ∈ ℜ , σ ∈ ℜ+.
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La cual tiene la siguiente forma:
Como se puede observar, la curva presenta una cima o máximo, además es
simétrica con respecto a su valor medio µ .
Notación: X ≈ N(µ ; σ 2) , donde µ es su valor medio), y σ es la desviación.
Si tomamos la transformación: Z =
X −µ
σ
, entonces :
Si X ≈ N (µ ; σ 2) , bajo esta transformación la variable aleatoria Z, continúa
siendo normal, con media cero y varianza, es decir Z ≈ N(0, 1).
La variable aleatoria Z, se denomina Normal estándar y se encuentra
ampliamente tabulada (tablas, calculadoras) para el cálculo de probabilidades.
APLICACIÓN 6.33 El diámetro de un eje metálico empleado en la unidad de disco de
una computadora se supone tiene distribución normal. La media actual del proceso de
fabricación de 0.1505 [plg.] y coeficiente de variación de 0.004. Se han determinado
103
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los límites de especificación para el diámetro del eje como 0.1500 ∓ 0.0015 [plg.].
Calcule la fracción de ejes producidos que cumplen con las especificaciones.
X: Diámetro de un eje metálico [en plg.]
⇓
X ∈ YN (0.1505, σ2);
CV = 0.004 ⇔
σ = 0.004 µ
⇒
σ = 0.00602
0,1485 − 0.1505 

[X < 0,1485] =   Z ≤
 = [Z ≤ 3,32] = 0.0005
0,000602


0,1515 − 0.1505 

[X < 0,1515] =   Z ≤
 = [Z ≤ 1,66] = 0.9515
0,000602


La fracción de ejes producidos que cumplen con las especificaciones es
95,1%.
APLICACIÓN 6.34 Las bandas de plástico que se utilizan en un dispositivo
electrónico para detección, se fabrican de manera que satisfagan una especificación
de valor máximo de 305.28 mm. y una especificación mínima de 304.55 mm. Si la
dimensión de las bandas es menor que la especificación mínima, se desechan, si son
más grandes, se reelaboran. Se ha probado que las dimensiones de estas piezas están
distribuidas normalmente con una desviación estándar de 0.25 mm. y que sólo el 5%
de las bandas se desechan. ¿Cuál es el tamaño medio de las bandas de plástico?.
Sea X:= Dimensión de las bandas de plástico [en mm.]
⇓
X ∈ YN ( µ x , (0,25)2)
[X < 304,55] = 0,05
⇒
304,55 − µ x 

⇔  Z ≤
 = 0,05
0,25


304,55 − µ x
= –1,645
0,25
µ x = 304,96 [mm]
¿Qué porcentaje de bandas se reelabora?.
305,28 − 304,96 

[X > 305,28] =   Z ≥

0,25


= 1 – [Z ≤ 1,28] = 0,1003
Luego el porcentaje de bandas se reelabora es de 10,03%.
104
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Si se toma una muestra de 24 bandas. ¿Cuál es la probabilidad de que no
menos de 22 cumplan con las especificaciones, sin necesidad de reelaborarlas?.
Sea Y:= Número de bandas encontradas que cumplen con las especificaciones.
⇒ Y ∈ YB (24, p)
p = 1 – 0,05 – 0,1003 = 0,8497 ≈ 0,85
⇒
[ Y ≥ 22] = 1 – [Y ≤ 21] = 0,2798
Luego la probabilidad de que no menos de 22 cumplan con las especificaciones
es de 27,98%.
6.6.5 Modelo Gamma y Exponencial
La distribución Gamma es un modelo muy popular en ingeniería, por ejemplo:
Teoría de colas ó líneas de espera, Confiabilidad, Energía Eólica, Hidrología, etc.
Se presenta en múltiples formas, desde distribuciones totalmente asimétricas
hasta distribuciones completamente simétricas, dependiendo de dos parámetros: λ,
denominado parámetro de escala; y η, denominado parámetro de forma. Su función
de densidad es:
λη xη −1
f ( x) =
exp{−λx} ; x ∈ ℜ+ , λ ∈ ℜ+ , η ∈ ℜ+.
Γ(η )
λ
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
η
3/2
1/2
1
4
6
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Departamento de Matematica
Renato Allende Olivares
Humberto Villalobos Torres
Como casos particulares; cuando el parámetro de forma: η = 1, se le llama
distribución exponencial de parámetro λ ; cuandoη es un número natural arbitrio se le
llama distribución Erlang.
6.6.6 Modelo Weibull y Exponencial
La distribución Weibull popularizada por el físico del mismo nombre,
adquiere particular importancia en modelos relacionados con Tiempos de vida,
Velocidad del viento, Confiabilidad, etc.
La función de densidad f(x), depende de dos parámetros: λ, denominado
parámetro de escala; y α, denominado parámetro de forma, y está dada por:
f(x) = α λα xα −1 exp{−(λx)α }
; x ∈ ℜ+ , λ ∈ ℜ+ , α ∈ ℜ+.
La distribución muestra características uní modales cuando el parámetro de
forma α es mayor que 1, y a medida que éste crece para un parámetro de escala λ fijo,
la distribución es más simétrica.
λ
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
α
1/5
1/2
2
4
6
Observación: Notemos que cuando el parámetro de forma α=1, se recupera el
modelo exponencial.
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Humberto Villalobos Torres
Ideas básicas de Confiabilidad
Cada producto se caracteriza por su calidad, eficiencia, durabilidad, costo y
versatilidad. La seguridad de que el producto cumpla los requerimientos mínimos de
durabilidad (confiabilidad) es también una característica de interés.
La confiabilidad es una característica que inquieta en todo producto/servicio
por simple que éste sea, en la medida que nos interese que cumpla su labor y cuán
satisfactoriamente la realice.
Cuantitativamente podemos pensar la cantidad de confiabilidad como alta si el
artículo cumple con su función exitosamente y baja si falla. Luego, la medición de
confiabilidad sería análoga a la de éxito, ó contraria a la de fracaso, de la actividad
realizada por el sistema.
La medición e implementación de la confiabilidad fue tomando importancia
bajo el punto de vista de costos y mantención. En la medida que la relación de costos
iniciales, costos de mantención y grados de disponibilidad logrados, obliga a
comerciantes, industriales, F.F.A.A. y consumidores en general a determinar los
intervalos de reposición y mantención más económicos.
La industria energética utiliza estimaciones de confiabilidad para determinar
costos de suministro y disponibilidad de ellos. La disponibilidad para un consumidor
en particular, se puede expresar como un promedio tiempo perdido por año de
consumo.
Tratándose de problemas de ingeniería, el énfasis está puesto en la aplicación
a sistemas técnicos, desarrollándose métodos y conceptos para medir y aumentar la
confiabilidad de todo tipo de sistemas. En algunos casos, la confiabilidad será incluso
el factor primordial de cierta operación, por ejemplo, cuando hay vidas humanas en
juego.
La necesidad de conocer la confiabilidad de un sistema exige que ésta sea
medible, para así poder desarrollar métodos o técnicas que puedan caracterizar las
variables que influyen en la confiabilidad del sistema. La aleatoriedad de las variables
medibles involucradas en describir características de un sistema relacionado con su
confiabilidad exige una base estadística y probabilística fundamental para la teoría de
análisis de confiabilidad.
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