Download , j 1,2,3... P X s t| X s P X ≥t x -2 -1 0 1 2 4 f(x) 0,1C 0,2C 0

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
Estadística Computacional
Guía Nº3
14 de Mayo de 2003
Profesor: Dr. Héctor Allende Olivares <[email protected]>
Ayudantes: Carlos Becerra Castro <[email protected]>
Ricardo Ñanculef Alegría <[email protected]>
Contenidos
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Variables Aleatorias Unidimensionales
Momentos de una Variable Aleatoria
Distribuciones Discretas
Distribuciones Continuas
Función Característica y Generadora de Momentos
1. Considere una variable aleatoria X con resultados posibles: 0,1,2.... Supongamos que
P  X = j= 1 − a a j , j = 1,2,3...
a. ¿Para qué valores de a es significativo el modelo anterior?
b. Verificar que lo anterior representa una distribución de probabilidades legítima.
c. Mostrar que para dos enteros positivos cualesquiera s y t
P  X  s  t | X  s= P  X ≥ t
2. Suponga que X es una variable aleatoria discreta con función de cuantía:
x
f(x)
-2
-1
0
1
2
4
0,1C
0,2C
0,6C
0,5C
0,4C
0,2C
a. Determine C para que X sea una distribución de probabilidad
b. Obtenga: P  X 1, P −2 X  1, P  X ≥2 | X  0
c. Calcule la esperanza de X y el segundo momento central de X.
3. De un lote que tiene 25 artículos, 5 de los cuales son defectuosos, se eligen 4 al azar. Sea X
el número de artículos defectuosos encontrados. Obtener la distribución de probabilidades de
X si
a. Los artículos se escogen con sustitución, i.e., antes de elegir el siguiente artículo se regresa el
artículo recién evaluado al conjunto de artículos totales.
b. Los artículos se contienen sin sustitución.
c. Compare los resultados anteriores. ¿Qué ocurre si el número de artículos se hace infinito?
d. En ambos casos, calcule la probabilidad de tener al menos 20 defectuosos, a lo más 2
defectuosos, exactamente 2 defectuosos y todos los artículos defectuosos.
4. Suponga que la máquina1 produce diaramente el doble de artículos que la máquina2. Sin
embargo, cerca del 4% de los artículos de la máquina1 tiende a ser defectuosos, mientras que
la máquina2 produce cerca sólo alrededor de 2% defectuosos. Supongamos que se combina la
producción diaria de ambas máquinas. Se toma una muestra aleatoria de 10 del resultado
combinado. ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra contenga 2 defectuosos?
5. Se lanza una serie de cohetes hasta que el primer lanzamiento exitoso tiene lugar. Si esto no
ocurre en 5 ensayos, el experimento se detiene y se inspecciona el equipo. Supónga que hay
una probabilidad constante de 0,8 de tener un lanzamiento exitoso y que los ensayos
sucesivos son independientes. Además el costo del primer lanzamiento es K, mientras que los
lanzamientos siguientes cuestan K/3. Cada vez que hay un lanzamiento exitoso, se obtiene
cierta cantidad de información que puede expresarse como una ganancia de C. Si T es el costo
total del experimento, encontrar la distribución de probabilidades de T.
6. La variable aleatoria continua X, tiene fdp f x= x /2 , 0≤ X ≤2 . Se hacen dos
determinaciones independientes de X. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas determinaciones
sena mayores que uno?. Si se han hecho tres determinaciones independientes, ¿Cuál es la
probabilidad de quee exactamente dos sean mayores que uno?
7. En una fábrica de respuestos, alrededor de 4% de los artículos producidos resultan
defectuosos. La compañía distribuye los repuestos en cajas de 50 unidades, pero para evitar
reclamos ha decidido agregar unidades extras a cada caja, de manera que al menos el 90%
del cargamento total entregado contenga 50 unidades en buen estado. ¿Cuántas unidades
debe agregara cada caja?. Una estrategia alternativa es garantizar al cliente la reposición de
los artículos fallados. El costo de agregar una unidad a cada caja es C, mientras que el costo
de reponer el artículo es K. ¿Bajo qué condiciones le conviene a la fábrica adoptar la
estrategia de reponer los artículos fallados?. Si la empresa decide adoptar una estrategia
mixta, ¿Cuántas unidades debe incorporar a cada caja para minimizar los costos?.
8. Ronaldo tiene un promedio de 0,45 goles por disparos al arco en la temporada. Jorge apuesta
a Juan que Ronaldo obtendrá por lo menos 2 goles durante los próximos 5 disparos al arco.
a. ¿Juan debería aceptar la apuesta?
b. Juan propone a Jorge apostar a que Ronaldo no hace más de 2 goles en los próximos 5 tiros al
arco. ¿Debería Jorge aceptar la apuesta?
c. Juan decide aceptar la primera apuesta, pero llegando al siguiente arreglo. Todas las veces
que Jorge gane Juan le pagará X, mientras que si Jorge pierde deberá pagar Y. ¿Qué proporción
de X e Y equilibrará los retornos en el tiempo? ¿Qué porporción favorece a Juan en le tiempo?.
9. El número de buques tanques (digamos N) que llegan cada día a cierta refinería tiene una
distribución de Poisson con parámetro 2. Las actuales instalciones portuarias pueden
despachar tres buques al día. Si más de tres buques tanques llegan en un día, los que están
en exceso deben enviarse a otro puerto.
a. En un día determinado, ¿Cuál es la probabilidad de tener que hacer salir buques tanques?
b. ¿En cuánto debe aumentarse las instalaciones actuales mpara permitir mla atención a todos
los buques tanques qproximadamente el 90% de los días?
c. ¿Cuál es el número esperado de buques tanques que llegan al día?
d. ¿Cuál es el número más probable de buques tanques que llegan diaramente?
e. ¿Cuál es el número esperado de buques tanques atendidos diaramente?
f. ¿Cuál es el número esperado de buques tanques devueltos diaramente?
10.Supóngase que una fuente radiactiva emite partículas y que el número de tales partículas
emitidas durante el período de una hora tiene una distribución de Poisson con parámetro  .
Se emplea un instrumento para contar y para anotar el númnero de las partículas emitidas.
Si más de 30 partículas llegan durante cualquier período de una hora, el instrumento para
anotar es incapaz de controlar el exceso y simplemente anota 30. Si Y es el número de
partículas anotadas por el instrumento que cuenta, obtenga la distribución de probabilidades
de Y.
11.La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Supongamos que se hacen ensayos
de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanzamientos exitosos. ¿Cuál es la probabilidad de
que sena necesarios 6 intentos? ¿Cuál es la probabilidad de que sena necesarios menos de 6
intentos?
12.Suponiendo que la duración de un tubo de radio es una variable aleatoria continua X con fdp
2
f x =100/x , x  100 y 0 para cualquier otro valor.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo
toidavía funciona después de 150 horas de servicio?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan 3 de tales tubos en un conjunto, excatamente
uno no tenga que ser substituído después de 150 horas de servicio?
c. ¿Cuál es el número máximo de tubos que pueden ponerse en un conjunto de modo que haya
una probabilidad 0.5 de que después de 150 horas de servicio todos ellos todavía funcionen?.
13.Demuestre que una variable aleatoria binomial X ~ B n , p converge asintóticamente a
una variable aleatoria de Poisson, X ~ Poi np .
14.Un experimento consta de n ensayos independientes. Se puede suponer que debido al
“aprendizaje”, la probabilidad de obtener un resultado exitoso aumenta con el número de
ensayos realizados. Específicamente, la probabilidad de éxito en la iésima repetición es
i1/i2, i=1,2.... n .
a. ¿Cuál es la probabilidad de tener tres resultados exitosos a lo menos en ocho repeticiones?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer resultado exitoso ocurra en la octava repetición?
15.Describa el significado o la interpretación de la siguientes variables aleatorias discretas:
Bernoulli, Binomial, Geométrica, Hipergeométrica, Binomial Negativa y de Poisson. ¿Qué
relaciones puede establecer? Señale ejemplos de cada una de ellas. Calcule sus momentos
más importantes.
16.Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución de Weibull si su función de densidad
es:
f  x , á , â =
a) Calcule F  x , á , â 
b) Calcule el cuartil X V , con 0 < v < 1
á
â
⋅ x á − 1 ⋅ e−
á
[ x / â ]á
I ℜ  x 
c) Calcule E [ x ] directamente y usando la función generadora de momentos.
d) Calcule V [ x ] directamente y usando la función generadora de momentos.
17.Supónga que la probabilidad de toparse con un compañero conocido en la Universidad al
atravesar ésta desde Placeres hasta la Avenida España, se puede distribuir en forma uniforme
durante los aproximadamente 400 metros de este recorrido.
a) Plantee la f.d.p. y la distribución correspondiente al enunciado.
b) Calcule la probabilidad de encontrarse con un compañero entre los 50 y 150 metros de la
trayectoria.
c) Calcule la probabilidad de encontrarse con un compañero en los primeros 100 metros o en los
últimos 200 metros del recorrido.
d) Si efectivamente se encuentra a un compañero en los últimos 200 metros, ¿cuál es la
probabilidad de que este evento haya ocurrido en los últimos 50 metros del recorrido?
18.Se sabe que en una población formada por 1000 dispositivos electrónicos, la resistencia a la
humedad posee una distribución normal de media 100 y varianza = 16. ¿Cuál es la
probabilidad de que en una muestra sin reposición de tamaño 200 extraída de tal población,
se encuentre un 85% de los dispositivos con resistencia a la humedad comprendida entre 96
y 108 unidades?.
19.El diámetro de un cable eléctrico es una variable aleatoria x con función de densidad
f  x = k ⋅x ⋅ x − 1⋅I [ 0,1 ]  x 
a) Determine k.
b) Calcule E [ x ] y V [ x ] .
c) Calcule P  x ≤ 1/2 |1/3 x  2/3  .
20.Suponga
que
la
P  X = r= k 1 − 
variable
r−1
aleatoria
, 0 1 .
X
tiene
valores
posibles
1,2,3...
y
que
a. Determine la constante k.
b. Encontrar la moda de la distribución.
21.Una empresa utiliza 106 ampolletas en sus instalaciones a lo largo del país. En la mañana del
1 de enero de 1994, la empresa pondrá en servicio 5000 ampolletas nuevas. Asumiendo que
la duración en días sigue una Ley normal, y se sabe que el 2,87% de las ampolletas duran
más de 69 días y un 15,87% de las ampolletas duran menos de 40 días.
a. ¿Cuántas ampolletas se espera reemplazar para la medianoche del 28 de febrero?.
b. Si la empresa cambia de proveedor de ampolletas (nueva marca), pues ésta le asegura que
sus ampolletas tienen un 10% más de duración, con sólo un 10% más de dispersión. ¿Cómo
varía la respuesta a?.
c. Si las ampolletas de la nueva marca valen un 20% más que las antiguas. ¿Conviene
comprarlas? ¡Justifique!.
d. Si la empresa decide no cambiar de marca y las ampolletas tienen una garantía de 30 días.
¿Cuántas ampolletas se espera devolver haciendo uso de la garantía?. ¿Cuál es la probabilidad
que el proveedor deba reponer más de 2 ampolletas en una caja que contiene 200 ampolletas?.
22.Suponga que el número de ocurrencias de un evento en un determinado intervalo de tiempo
está regido por un ley de Poisson. Demuestre que el tiempo entre sucesos (variable aleatoria
continua) tiene una distribución exponencial de parámetro igual a la densidad de ocurrencias
del evento por unidad de tiempo.
23.Se especifica que el diámetro exterior de una flecha, llamésmolo D, debe ser de 4 pulgadas.
Supóngase que D es un variable aleatoria distribuida normalmente con promedio de 4
pulgadas y varianza 0,001 pulgadas. Si el diámetro real se diferencia del valor especificado
por más de 0,05 pulgadas pero en menos de 0,08 pulgadas, la pédida del fabricante es de
$0,5. Si el diámetro real se diferencia del diámetro especificado en más de 0,08 pulgadas, la
pérdida es de $1,0. La pérdida L puede considerarse una variable aleatoria. Encuentre la
distrubución de probabilidades de y calcule su esperanza.
24.Supóganse que el número de accidentes en una fábrica se puede representar por un proceso
de Poisson con un promedio de 2 accidentes por semana.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el otro sea mayor de 3 días?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el tercero sea mayor de una
semana?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que entre el segundo y el cuarto pasen más de 5 días si se sabe
que entre el primero y el segundo pasaron más de 3 días?
(Hint: Estudie el significado de la distribución gamma)
25.Un proceso de fabricación produce en promedio un artículo defectuoso entre 300 fabricados.
¿Cuál es la probabilidad de que aparezca el tercer artículo defectuoso?
a. antes de que sean producidos 1000 artículos.
b. cuando se produce el 1000-ésimo artículo.
c. después de que sea producido el 1000-ésimo artículo
(Hint: Estudie el significado de la distribución gamma)
26.Supónga que la velocidad de un objeto tiene una distribución N(0,1). Sea K = m V /2 la
energía cinética del objeto. Determine (uasndo una tabla de Chi-quadrado)
2
a. P [ K ≤5]
b. P [23V [ X ] | 4 E [ X ]]
27.Suponga que X esta distribuida uniformemente en (-1,1). Sea Y = 4− X . Encontrar la fdp
de Y y dibujarla. Verifique que la nueva fdp es una ley de probabilidad válida. Calcule la
esperanza y la varianza de la distribución.
2
28.Encuentre la distribución de R= A⋅sin è , donde A es una constante fija y è es una variable
aleatoria uniformemente distribuida en
distribución.
− ð /2 , ð /2  . Calcule la esperanza y la varianza de la
29.La velocidad de una molécula en un gas uniforme en equilibrio es una variable aleatoria V
cuya fdp está dada por
f  v= av e
2
− bv2
, v 0
en donde b= m/2 kT , k, T y m denotan la constante de Boltzman, la temperatura absoluta, y
la masa de la molécula, respectivamente.
a. Calcular la constante a.
2
b. Derivar la distribución de la variable aleatoria W = mV /2 que representa la energía cinética
de la molécula.
c. Calcular los momentos de primer y segundo orden para ambas distribuciones.
30.Encuentre la densidad de probabilidad de Y = e x , donde x es una normal de parámetros
 ì , ó 2  . En este caso se dice que Y tiene una distribución log-normal (Log Y tiene una
distribución normal). Calcule la esperanza y varianza de la nueva variable.
31.Suponiendo que D, la demanda diaria de un artículo, es una variable aleatoria con la
siguiente fdp
P  D = d = C2 /d !
d
a. Evaluar la constante C
b. Calcular la demanda esperada.
c. Suponer que un artículo se vende por 5. Un fabricante produce diaramente K artículos.
Cualquier artículo que no se venda al término del día, debe descartarse con una pérdida de 3.
Encontrar la distribución de probabilidades de la utilidad diaria, como una función de K. ¿Cuáles
artículos deberían fabricarse para maximizar la utilidad diaria esperada?
32.Sea X v.a.con distribución Í
 ì, ó 2  . Consideremos la v.a. Y = áX  â
. Calcule:
a. La nueva distribución que sigue Y, con sus respectivos parámetros.
b. E[Y].
c. V[Y].
33.Sea X v.a.con distribución   n , p  . Calcule E[X]. y V[X] utilizando la función característica
o la función generadora de momentos. Repita con las distribuciones geométrica, binomial
negativa, poisson, exponencial y normal.
34.Sea X v.a. discreta con función generadora de momentos
a.
b.
c.
d.
e.
 X  t  = e2
 et − 1 
. Calcule:
V[X] calculado directamente de X.
V[X] calculado mediante la fgm.
P [2≤ X ≤9]
P [2≤ X ≤9 | X ≤12]
P [23V [ X ] | 4 E [ X ]]
35.Sea X la v.a.c. cuya f.g.m. es:
 X  t =
25
5− t 2
Sea la v.a.d. Y ~ Â  n =100, p  , donde p = P [0,35≤ X ≤0,45]
Calcular la P [Y ≥ 15]
36.Sea X v.a. discreta con función generadora de momentos
a.
b.
c.
d.
e.
V[X] calculado directamente de X.
V[X] calculado mediante la fgm.
P [2≤ X ≤9]
P [2≤ X ≤9 | X ≤12]
P [23V [ X ] | 4 E [ X ]]
 X  t  = e2  e − 1  . Calcule:
t
37.Usando la función generadora de momentos demostrar que la distribución de Poisson s
reproductiva.
38.Usando la función generadora de momentos demostrar que si X e Y son variables aleatorias
2
2
independientes con distribuciones N  x ,  x  y N  y ,  y  respectivamente, entonces
Z = aX  bY está nuevamente distribuida normalmente, en donde a y b son constantes.
39.Supóngase que X 1 ,......, X 80 son variables aleatorias independientes, donde cada una tiene
una distribución N(0,1). Calcular P [ X 1  .... X 8 0 ]  77 .
40.Obtener la función generadora de momentos de una variable aleatoria con distribución
geométrica. ¿Posee esta distribución una propiedad reproductiva bajo la adición?
41.Cierto proceso industrial produce un gran número de cilindros de acero cuyas longitudes
están distribuidas normalmente con promedios 3,25 pulgadas y desviación estándar 0,05
pulgadas. Si se eligen al azar dos de tales cilindros y se ponen extremo con extremo, ¿cuál es
la probabilidad de que la longitud combinada sea menor de 6,6 pulagadas?
42.En una mueblería, la fabricación de sillones sigue el siguiente tratamiento
1.Se selecciona y corta la madera necesaria; el tiempo requerido para esta etapa en general
sigue una distribución exponencial negativa, cuyo ha sido en promedio medio día, con un
tiempo mínimo de un día.
2.Luego viene una etapa de torneado, que en general sigue un comportamiento normal,
donde el jefe de sección afirma que la probabilidad de que el torneado dure más de 3 días es
de un 1,7%, mientras que la probabilidad de durar a lo más dos días es de 34,09%.
3.Finalmente el ensamblado y barnizado, podría durar, dependiendo básicamente del clima,
en forma normal con una desviación histórica de 4 horas. Si además se sabe que la
probabilidad de que se concluyera esta etapa en menos de 2 días es de un 16,60%.
La firma Falabella ha pedido al jefe de ventas una partida de sillones, pero lo comprarán si
logran tenerlos antes de 10 días.
a) Si ud. fuera el jefe de ventas, ¿aceptaría la venta?. Justifique claramente su respuesta.
b) Si se le asignara una probabilidad del 95% a cada etapa, ¿cuál es el tiempo máximo que
debe demorarse?
c) ¿Cuál es la probabilidad de demorarse más del tiempo m´aximo obtenido en b) para la
fabricación completa?.
(Suponga que la jornada diaria es de 8 horas)
43.En los últimos años se determinó que el coeficiente intelectual (I.C.) de los niños es bien
modelado por una distribución normal. Se sabe que el 15% de los niños tiene I.C. bajo 90 y
que el 2% tiene I.C. Sobre 135:
a) ¿Qué porcentaje de niños tiene I.C. entre 100 y 120?
b) Si se seleccionan 100 niños y se les mide el I.C. ¿Cuál es la probabilidad que 90 de estos
niños tengan I.C. sobre 100?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario seleccionar 10 niños para tener 5 con I.C.
sobre 100?
d) Se determinó que el coeficiente intelectual de los animales es una variable aleatoria Y que
puede serobtenida a partir del coeficiente intelectual en los niños mediante la siguiente
transformación Y = X - 25, donde X es el I.C. de los niños. Determine la función de
probabilidad de Y.
e) Se descubrió que el I.C. de las personas que vivieron hasta el año 1955 es una variable
aleatoria W con f.g.m.  W = e
130t  t
I.C. Sobre 135?
2
. ¿Cuál es la probabilidad que Einstein haya tenido un
44.Supóngase que los diámetros de los pernos de una caja grande siguen una distribución
normal con una media de 2 centímetros y una desviación típica de 0,03 centímetros. Además,
supóngase que los diámetros de los agujeros de las tuercas de otra caja grande siguen una
distribución normal con una media de 2,02 centímetros y una desviación tópica de 0,04
centímetros. Un perno y una tuerca ajustarán si el diámetro del agujero de la tuerca es mayor
que el diámetro del perno y la diferencia entre estos diámetros no es mayor que 0,05
centímetros. Si se seleccionan al azar un perno y una tuerca, ¿Cuál es la probabilidad de que
ajusten?