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La Distribución Normal
Al j d V
Alejandro
Vera T
Trejo
j
L Distribución
La
Di t ib ió Normal
N
l
I t d
Introducción
ió
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas
es la utilización de la curva normal p
para describir
situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos
permite tomar decisiones que vayan a la par con las
metas y objetivos de la organización.
organización
En este módulo se describe la Distribución normal. Se
utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la
determinación de probabilidades y sus aplicaciones.
Obj ti
Objetivo
ƒ Identificar las propiedades
de una distribución normal.
ƒ Encontrar el área bajo una
distribución normal estándar.
ƒ Interpretar áreas bajo la
curva normal de acuerdo a
diferentes problemas y su
aplicación
al
medio
financiero.
¿Cuál
C ál es su Utilid
Utilidad?
d?
Š Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables
asociadas a fenómenos naturales que siguen el
modelo de la normal.
normal
Š Caracteres morfológicos de individuos (personas,
animales,
i l
plantas,...)
l t
) de
d una especie,
i por ejemplo:
j
l
tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...
Š C
Caracteres fisiológicos,
f
por ejemplo: efecto
f
de una
misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad
de abono
¿Cuál
C ál es su Utilid
Utilidad?
d?
Š Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de
cierto p
producto p
por un mismo g
grupo
p de individuos,,
puntuaciones de examen.
Š Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio,...
Š Comportamiento de los precios en el medio financiero,
por ejemplo: los precios de las acciones, el tipo de
cambio, la cotización de los metales.
¿Cuál
C ál es lla función
f
ió F(x)?
F( )?
¿Cuál
C ál es lla función
f
ió F(x)?
F( )?
En la siguiente gráfica vemos la representación
gráfica de la función de Z.
¿Cuáles
C ál son sus P
Propiedades?
i d d ?
Š Es simétrica respecto a su Media.
Š La moda y la mediana son ambas iguales a la media.
media
Š Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y
x = µ + σ.
Š En el intervalo [µ - σ, µ + σ] se encuentra comprendida,
aproximadamente,
p
, el 68,26%
,
de la distribución.
Š En el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] se encuentra,
aproximadamente, el 95,44% de la distribución.
Š Por
P su parte,
t en ell intervalo
i t
l [µ
[ -3σ,
3 µ + 3σ]
3 ] se encuentra
t
comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la
distribución.
¿Cuáles
C ál son sus P
Propiedades?
i d d ?
¿Qué es la
estándar (σ )?
desviación
Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar
La desviación estándar es
una medida del grado de
dispersión de los datos con
respecto al valor promedio.
Dicho de otra manera, la
desviación
estándar
es
simplemente el "promedio" o
variación
esperada
con
respecto
a
la
media
aritmética.
Q é es lla media
di µ?
?
¿Qué
Compruebe el cambio de la distribución variando la media
la media aritmética (también
llamada
promedio
o
simplemente media) de un
conjunto finito de números es
igual a la suma de todos sus
valores dividida entre el
número
de
datos
u
observaciones.
Ej
Ejemplo
l
En el siguiente histograma podemos observar la
distribución de frecuencias por peso de acuerdo a la
edad.
d d De
D acuerdo
d a este
t teorema
t
según
ú aumenten
t
l
la
cantidad de dato se podrá trazar una curva que tome
cada vez más formación en forma campana.
p
¿Cómo determinar el área
bajo la curva normal?
Š Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.
interés
Š Paso 2 - Determinar el valor Z
por medio de
Š Paso 3 - Encontrar el valor de Z en excel p
la función DISTR.NORM.ESTAND
Š Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para
encontrar la probabilidad deseada
Ej
Ejemplos
l y ejercicios
j
i i
Supóngase que se sabe que el peso de los/as
estudiantes universitarios/as sigue
g
una distribución
aproximadamente normal, con una media de 140 libras y
una desviación estándar de 20 libras.
Determinar la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150 libras
Ejemplo 1
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a
a=150
150 libras,
libras por lo tanto el área de la
curva de la curva requerida es:
Ejemplo 1
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
=
150 − 140
= 0.50
20
Paso 3 - Encontrar en excel el valor Z=0.50 con la
función DISTR.NORM.ESTAND de aquí resulta que el
área de 0.6915
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas (de ser
necesario) para encontrar la probabilidad deseada. Y la
probabilidad
b bilid d de
d que una persona pese 150 lbs.
lb o
menos es de 0.6915
Ejemplo 2
Se desea obtener la probabilidad de que una persona
elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a=150 libras,
libras por lo tanto el área de la
curva buscada es:
Ejemplo 2
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
150 − 140
=
= 0.50
20
Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=0.50 con la
función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.6915
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar
la probabilidad deseada.
El área de 0.6915 no representa el área requerida sino
la contraria. En este caso se debe restar 1 a la
probabilidad encontrada.
p
1 - .6915 = 0.3085
Ejemplo 3
Determinar la probabilidad de que una persona, elegida
al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a=115 libras,
libras por lo tato el área
buscada es:
Ejemplo 3
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
115 − 140
=
= −1.25
20
Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=-1.25 con la
función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.1056.
En este caso la probabilidad de que una persona pese
115 lbs. o menos es de 0.1056
Ejemplo 4
Determinar la probabilidad de que una persona, elegida
al azar, tenga un peso entre
115 y 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece q
que a=115 libras y b=150 libras,, p
por lo tanto
el área de la curva buscada es:
Ejemplo 4
Paso 2 - Determinar los valores de Z
Cuando X=115
Z=
Cuando X=150
Z=
X −µ
σ
X −µ
σ
=
115 − 140
= −1.25
20
=
150 − 140
= 0.50
20
Paso 3 - Se encuentran los valores de Z=-1.25 y Z = 0.50,
de donde las probabilidades resultan de: 0.1056 y 0.6915
respectivamente.
Paso 4 - Al área de 0.1056 se le resta la de 0.6915 y el
resultado es = 0.5858
Ejemplo 5
Determinar la probabilidad de que una persona elegida al
azar, tenga un peso entre
150 y 160 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece q
que a=150 libras y b= 160 libras,, p
por tanto el
área de la curva buscada es:
Ejemplo 5
Paso 2 - Determinar el valor Z
Z=
X −µ
σ
=
160 − 140
= 1 .0
20
Paso 3 - Se encuentran los valores de Z
Š Cuando Z = 0.50 el área es de 0.6915
Š Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413
Paso 4 - Al área de 0.8413 se el resta la de 0.6915 y el
resultado es = 0.1499
Ejemplo 6
Determinar la probabilidad de elegir a una persona que
pese entre 115 y 130 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a
a=115
115 libras y b
b= 130 libras,
libras el área de
la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 6
Paso 2 - Determinar el valor Z
para X=130
X 130
Z=
X −µ
σ
=
130 − 140
= −0.50
20
Paso 3 - Encontrar el valor de Z=-0.50 el área es de
0.3085
Paso 4 - Haciendo la resta correspondiente la
probabilidad buscada resulta de 0.3085 - 0.1056=0.2029
Bibli
Bibliografía
fí
9Estadísticas para administración y economía, by David
R. Anderson and Dennis J. Sweeney (Paperback - Jan. 2,
2008)
9Statistics
Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold,
William Carlson, and Betty Thorne (Hardcover - Mar. 23,
2009)
9Novales Alfonso. “Estadística y Econometría”. Editorial
Mc. Graw Hill/Interamericana de España 1997.
La Distribución Normal
Al j d V
Alejandro
Vera T
Trejo
j