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La Distribución Normal Al j d V Alejandro Vera T Trejo j L Distribución La Di t ib ió Normal N l I t d Introducción ió Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal p para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización. organización En este módulo se describe la Distribución normal. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones. Obj ti Objetivo Identificar las propiedades de una distribución normal. Encontrar el área bajo una distribución normal estándar. Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo a diferentes problemas y su aplicación al medio financiero. ¿Cuál C ál es su Utilid Utilidad? d? Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. normal Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, i l plantas,...) l t ) de d una especie, i por ejemplo: j l tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,... C Caracteres fisiológicos, f por ejemplo: efecto f de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono ¿Cuál C ál es su Utilid Utilidad? d? Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto p producto p por un mismo g grupo p de individuos,, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Comportamiento de los precios en el medio financiero, por ejemplo: los precios de las acciones, el tipo de cambio, la cotización de los metales. ¿Cuál C ál es lla función f ió F(x)? F( )? ¿Cuál C ál es lla función f ió F(x)? F( )? En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z. ¿Cuáles C ál son sus P Propiedades? i d d ? Es simétrica respecto a su Media. La moda y la mediana son ambas iguales a la media. media Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y x = µ + σ. En el intervalo [µ - σ, µ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, p , el 68,26% , de la distribución. En el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución. Por P su parte, t en ell intervalo i t l [µ [ -3σ, 3 µ + 3σ] 3 ] se encuentra t comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. ¿Cuáles C ál son sus P Propiedades? i d d ? ¿Qué es la estándar (σ )? desviación Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética. Q é es lla media di µ? ? ¿Qué Compruebe el cambio de la distribución variando la media la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de datos u observaciones. Ej Ejemplo l En el siguiente histograma podemos observar la distribución de frecuencias por peso de acuerdo a la edad. d d De D acuerdo d a este t teorema t según ú aumenten t l la cantidad de dato se podrá trazar una curva que tome cada vez más formación en forma campana. p ¿Cómo determinar el área bajo la curva normal? Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés. interés Paso 2 - Determinar el valor Z por medio de Paso 3 - Encontrar el valor de Z en excel p la función DISTR.NORM.ESTAND Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada Ej Ejemplos l y ejercicios j i i Supóngase que se sabe que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue g una distribución aproximadamente normal, con una media de 140 libras y una desviación estándar de 20 libras. Determinar la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras Ejemplo 1 Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a a=150 150 libras, libras por lo tanto el área de la curva de la curva requerida es: Ejemplo 1 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z = X −µ σ = 150 − 140 = 0.50 20 Paso 3 - Encontrar en excel el valor Z=0.50 con la función DISTR.NORM.ESTAND de aquí resulta que el área de 0.6915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas (de ser necesario) para encontrar la probabilidad deseada. Y la probabilidad b bilid d de d que una persona pese 150 lbs. lb o menos es de 0.6915 Ejemplo 2 Se desea obtener la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a=150 libras, libras por lo tanto el área de la curva buscada es: Ejemplo 2 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z = X −µ σ 150 − 140 = = 0.50 20 Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=0.50 con la función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.6915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. El área de 0.6915 no representa el área requerida sino la contraria. En este caso se debe restar 1 a la probabilidad encontrada. p 1 - .6915 = 0.3085 Ejemplo 3 Determinar la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a=115 libras, libras por lo tato el área buscada es: Ejemplo 3 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z = X −µ σ 115 − 140 = = −1.25 20 Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=-1.25 con la función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.1056. En este caso la probabilidad de que una persona pese 115 lbs. o menos es de 0.1056 Ejemplo 4 Determinar la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece q que a=115 libras y b=150 libras,, p por lo tanto el área de la curva buscada es: Ejemplo 4 Paso 2 - Determinar los valores de Z Cuando X=115 Z= Cuando X=150 Z= X −µ σ X −µ σ = 115 − 140 = −1.25 20 = 150 − 140 = 0.50 20 Paso 3 - Se encuentran los valores de Z=-1.25 y Z = 0.50, de donde las probabilidades resultan de: 0.1056 y 0.6915 respectivamente. Paso 4 - Al área de 0.1056 se le resta la de 0.6915 y el resultado es = 0.5858 Ejemplo 5 Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso entre 150 y 160 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece q que a=150 libras y b= 160 libras,, p por tanto el área de la curva buscada es: Ejemplo 5 Paso 2 - Determinar el valor Z Z= X −µ σ = 160 − 140 = 1 .0 20 Paso 3 - Se encuentran los valores de Z Cuando Z = 0.50 el área es de 0.6915 Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413 Paso 4 - Al área de 0.8413 se el resta la de 0.6915 y el resultado es = 0.1499 Ejemplo 6 Determinar la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a a=115 115 libras y b b= 130 libras, libras el área de la curva que nos interesa es la siguiente: Ejemplo 6 Paso 2 - Determinar el valor Z para X=130 X 130 Z= X −µ σ = 130 − 140 = −0.50 20 Paso 3 - Encontrar el valor de Z=-0.50 el área es de 0.3085 Paso 4 - Haciendo la resta correspondiente la probabilidad buscada resulta de 0.3085 - 0.1056=0.2029 Bibli Bibliografía fí 9Estadísticas para administración y economía, by David R. Anderson and Dennis J. Sweeney (Paperback - Jan. 2, 2008) 9Statistics Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold, William Carlson, and Betty Thorne (Hardcover - Mar. 23, 2009) 9Novales Alfonso. “Estadística y Econometría”. Editorial Mc. Graw Hill/Interamericana de España 1997. La Distribución Normal Al j d V Alejandro Vera T Trejo j