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Unidad II: probabilidades
Los administradores (y también los futuros ingenieros del ITSS)
sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres como
las siguientes:
1. ¿Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si
aumentamos los precios?
2. ¿Qué posibilidad hay de que un método nuevo de
ensamblado aumente la productividad?
3. ¿Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo
a tiempo?
4. ¿Qué oportunidad existe de que una nueva invención sea
rentable?
5.- Posibilidad de faltar a los exámenes ( ¡ohhh!)
• La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de
que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una
medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de
los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las
probabilidades, tiene la capacidad de determinar la
posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento.
• Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1.
Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra
un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi
seguro que ocurra un evento.
• Otras probabilidades entre cero y uno representan distintos grados
de posibilidad de que ocurra un evento. Por ejemplo, si considera el
evento “que llueva mañana”, se entiende que si el pronóstico del
tiempo dice “la probabilidad de que llueva es cercana a cero”,
implica que casi no hay posibilidades de que llueva. En cambio, si
informan que la probabilidad de que llueva es 0.90, sabe que es
muy posible que llueva. La probabilidad de 0.50 indica que es igual
de posible que llueva como que no llueva.
• En la figura 4.1 se presenta la probabilidad como una medida
numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.
• En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido
como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada
una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno
de los posibles resultados experimentales. A continuación se
dan varios ejemplos de experimentos con sus
correspondientes resultados:
• Al especificar todos los resultado experimentales
posibles, está definiendo el espacio muestral de un
experimento.
• A un resultado experimental también se le llama punto
muestral para identificarlo como un elemento del
espacio muestral.
• Considere el primer experimento presentado en la tabla
anterior, lanzar una moneda. La cara de la moneda que caiga
hacia arriba —cara o cruz— determina el resultado
experimental (puntos muestrales). Si denota con S el espacio
muestral, puede emplear la notación siguiente para describir
el espacio muestral.
S {Cara, cruz }
• En el segundo experimento de la tabla –tomar
una pieza para revisarla– puede describir el
espacio muestral como sigue:
S {Defectuosa, no defectuosa}
• Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los
resultados experimentales. A continuación tres reglas de conteo
que son muy utilizadas.
• Experimentos de pasos múltiples La primera regla de conteo sirve
para experimentos de pasos múltiples. Considere un experimento
que consiste en lanzar dos monedas. Defina los resultados
experimentales en términos de las caras y cruces que se observan
en las dos monedas.
• ¿Cuántos resultados experimentales tiene este experimento? El
experimento de lanzar dos monedas es un experimento de dos
pasos: el paso 1 es lanzar la primera moneda y el paso 2 es lanzar la
segunda moneda. Si se emplea H para denotar cara y T para
denotar cruz, (H, H) será el resultado experimental en el que se
tiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda.
• Si continúa con esta notación, el espacio muestral (S)
en este experimento del lanzamiento de monedas será
el siguiente:
S {(H, H ), (H, T ), (T, H ), (T, T )}
• Por tanto, hay cuatro resultados experimentales. En
este caso es fácil enumerar todos los resultados
experimentales.
• La regla de conteo para experimentos de pasos
múltiples permite determinar el número de resultados
experimentales sin tener que enumerarlos.
• Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la
sucesión de lanzar primero una moneda (n1 2) y después lanzar la otra
(n2 2), siguiendo la regla de conteo (2)(2) 4, entonces hay cuatro
resultados distintos. Como ya se mostró, estos resultados son S {(H,
H), (H, T), (T, H), (T, T)}. El número de resultados experimentales de
seis monedas es (2)(2)(2) (2)(2)(2) 64.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que
permite visualizar un experimento de pasos múltiples. En la
siguiente figura se detalla el diagrama:
• En cada paso, los dos resultados posibles son cruz o cara.
Observe que a cada uno de los resultados posibles en el paso
1 pertenecen dos ramas por los dos posibles resultados en el
paso 2. Cada uno de los puntos en el extremo derecho del
árbol representa un resultado experimental. Cada trayectoria
a través del árbol, desde el nodo más a la izquierda hasta uno
de los nodos en el extremo derecho del árbol, muestra una
secuencia única de resultados.
Caso: proyecto de expansión de la
empresa Kentucky Power & Itss
(KP&I).
Kentucky Power & Itss ha empezado un proyecto que tiene como objetivo
incrementar la capacidad de generación de una de sus plantas en el norte
de Kentucky.
El proyecto fue dividido en dos etapas o pasos sucesivos:
• etapa 1 (diseño)
• y etapa 2 (construcción).
A pesar de que cada etapa se planeará y controlará con todo el cuidado
posible, a los administrativos no les es posible pronosticar el tiempo
exacto requerido en cada una de las etapas del proyecto. En un análisis de
proyectos de construcción similares encuentran que la posible duración de
la etapa de diseño es de 2, 3, o 4 meses y que la duración de la
construcción es de 6, 7 u 8 meses. Además, debido a la necesidad urgente
de más energía eléctrica, los administrativos han establecido como meta
10 meses para la terminación de todo el proyecto.
• Se pide:
Representar en un diagrama de árbol los resultados
posibles (punto muestrales) del caso anterior
¿qué alternativa representa menor tiempo (entre
diseño y construcción) ?
• Investigar:
• Combinaciones
• permutaciones
Asignación de probabilidades
método clásico
Métodos
Comúnmente
utilizados
es apropiado cuando todos los resultados
experimentales tienen la misma posibilidad.
Si existen n resultados experimentales, la
probabilidad
asignada a cada resultado experimental es
1/n.
método de la frecuencia relativa
cuando existen datos para estimar la
proporción de veces que se presentarán los
resultados si
el experimento se repite muchas veces.
método subjetivo
cuando no es factible suponer que todos los
resultados de un experimento sean igualmente
posibles y, además, cuenta con pocos datos
relevantes
Asignación de probabilidades
Probabilidades para el proyecto KP&L
De acuerdo con la experiencia, los administrativos
concluyen que los resultados experimentales no son
todos igualmente posibles. Por tanto, no emplean el
método clásico de asignación de probabilidades.
Entonces deciden hacer un estudio sobre la duración
de los proyectos similares realizados por KP&L en los
últimos tres años. En la tabla 4.2 se resume el
resultado de este estudio considerando 40 proyectos
similares.
• Después de analizar los resultados de este estudio,
los administrativos deciden emplear el método de
frecuencia relativa para asignar las probabilidades.
Los administrativos podrían haber aportado
probabilidades subjetivas, pero se dieron
cuenta
de que el proyecto actual era muy similar a
los 40 proyectos anteriores. Así, consideraron que el
método de frecuencia relativa sería el mejor.
• hallar las probabilidades de los nueve resultados
experimentales por el método de frecuencias
relativas
Solución:
• INTERPRETING PROBABILITIES
Ejercicios:
1Considere el experimento de lanzar una moneda tres
veces.
a. Elabore un diagrama de árbol de este experimento.
b. Enumere los resultados del experimento.
c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada
uno de los resultados?
• 2Suponga que un experimento tiene cinco
resultados igualmente posibles: E1, E2, E3, E4
y E5. Asigne probabilidades a los resultados y
muestre que satisfacen los requerimientos
expresados por las ecuaciones (4.3) y (4.4).
¿Qué método empleó?
• 3Un experimento que tiene tres resultados es
repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20
veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigne
probabilidades a los resultados. ¿Qué método
empleó?
• 4La persona que toma las decisiones asigna las
probabilidades siguientes a los cuatro resultados
de un experimento: P(E1) 0.10, P(E2) 0.15, P(E3)
0.40 y P(E4) 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones
de probabilidades? Argumente.
• 5. capitulo4,
• Estadística para administración y economía
• autores: Anderson, Sweeney…introducción a la
prob
5. En una ciudad las solicitudes de cambio de uso de suelo pasan
por un proceso de dos pasos: una revisión por la comisión de
planeación y la decisión final tomada por el consejo de la ciudad. En
el paso 1 la comisión de planeación revisa la solicitud de cambio de
uso de suelo y hace una recomendación positiva o negativa
respecto al cambio. En el paso 2 el consejo de la ciudad revisa la
recomendación hecha por la comisión de planeación y vota para
aprobar o desaprobar el cambio de suelo. Suponga que una
empresa dedicada a la construcción de complejos departamentales
presenta una solicitud de cambio de uso de suelo. Considere el
proceso de la solicitud como un experimento. ¿Cuántos puntos
muestrales tiene este experimento? Enumérelos. Construya el
diagrama de árbol del experimento.
Más ejercicios de probabilidad
• a) ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista
seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo
moderado al paquete?
• b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector
seleccionado al azar del grupo sondeado esté indeciso
respecto al paquete?
• c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador
(maquinista o inspector) seleccionado al azar del grupo
sondeado dé un apoyo fuerte o moderado al paquete?
Experimento
Variable aleatoria
(x)
Valores posibles para
la variable
Tipo de variable
(discreta o
continua)
Operar un banco
Personas en la fila
para el cajero en
una determinada hr
0,……20
discreta
Llamar a cinco clientes
Numero de clientes
que contestan
0,1,2,3,4,5
Discreta
Inspeccionar un envío de
50 chicharrones al ITSS
Cantidad de
chicharrones
enviados
0… 50
Discreta
Hacerse cargo de un
restaurante durante un día
Cantidad de
comensales que
llegan en un día
0……infinito y más allá
discreta
Llenar una lata de refresco
(máx. 12.1 onzas)
Cantidad de onzas
contenidas en una
lata
0 <= x <= 12.1
Continua
Vender un automóvil
Consumidores por
dia
0…10
Discreta
Construir una biblioteca en
6 meses en el ITSS (¡subirá
la colegiatura!
Porcentaje del
proyecto terminado
Va de 0 a 100%
continua
Distribuciones de probabilidad
• Distribuciones de probabilidad discreta
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria
describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los
valores de la variable aleatoria. En el caso de una variable
aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está
definida por una función de probabilidad, denotada por f(x).
La función de probabilidad da la probabilidad de cada valor
de la variable aleatoria.
Ejemplo:
• Considere las ventas de automóviles en DiCarlo Motors
en Tacotalpa, Tab. (propiedad del maestro Velasco)
Durante los últimos 300 días de operación; los datos de
ventas muestran que hubo:
54 días en los que no se vendió ningún automóvil (ha
de haber estado cerrado),
117 días en los que se vendió 1 automóvil,
72 días en los que se vendieron 2 automóviles,
42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y
3 días en los que se vendieron 5 automóviles.
automoviles
dias
0
54
0.18
1
117
0.39
2
72
0.24
3
42
0.14
4
12
0.04
5
3
0.01
300
Suponga que considera el experimento de
seleccionar un día de operación en DiCarlo
Motors y se define la variable aleatoria de
interés como:
x = número de automóviles vendidos en un
día.
1. A continuación se presenta la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria x.
2. Los datos siguientes se obtuvieron contando el número de
salas de operaciones de un hospital que fueron usadas en un
periodo de 20 días. Tres de estos 20 días sólo se usó una sala
de operaciones, cinco de estos 20 días se usaron dos, ocho de
estos 20 días se usaron tres salas de operaciones y cuatro de
estos 20 días se usaron las cuatro salas de operaciones del
hospital.
a. Use el método de las frecuencias relativas para elaborar una
distribución de probabilidad para el número de salas de
operaciones usadas en un día.
b. Elabore una gráfica a partir de la distribución de probabilidad.
Aplicaciones
En la tabla 5.4 se muestra la distribución de
frecuencias porcentuales para la puntuaciones
dadas a la satisfacción con el trabajo en el ITSS
por una muestra de directivos en sistemas de
información de nivel alto y de nivel medio. Las
puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5
(muy satisfecho).
¿Cómo?
a. Elabore una distribución de probabilidad con las
puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los
directivos de nivel alto.
b. Elabore una distribución de probabilidad con las
puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los
directivos de nivel medio.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé
una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio
esté muy satisfecho?
e. Haga una comparación entre la satisfacción con el trabajo
de los ejecutivos de nivel alto y la que tienen los ejecutivos
de nivel medio.
• Pueden salir
Distribución binomial
• Requisitos o propiedades
Cómo identificar si un problema es
binomial.
• Un sistema de detección de alarma para aviones de cuatro
unidades de radar idénticas que operan de manera
independiente entre sí. Suponga que cada una tiene una
probabilidad de 0.95 de detectar un avión intruso. Cuando un
avión intruso entra en escena, la variable aleatoria de interés
es X , el número de unidades de radar que no detecta el
avión. ¿Es este un experimento binomial?
• Redactar el éxito o fracaso en cada uno de los
siguientes experimentos:
– La probabilidad de que un paciente en el hospital de
Tacotalpa no se recupere de una operación particular es de
0.1
Éxito=
fracaso=
– Un artillero antitanque (de los que se usan en la guerra
pues) tiene una posibilidad de 70% de dar en el blanco
cada vez que dispara desde una distancia de 200 m
– La probabilidad de que un vendedor de seguros (que
estudió en el ITSS) efectúe la venta en su primer visita a un
cliente nuevo es de .25
• Suponga que de un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene
5% de unidades defectuosas. Si se prueba una muestra de 5
fusibles encuentre la probabilidad de hallar al menos uno
defectuoso.
• Utilizar las tablas de distribución binomial
• resolver:
Con base en la experiencia anterior,, el 15% de
las facturas del ITSS están incorrectas (y eso
que hay ISO 9000). Si selecciona una muestra
aleatoria de tres facturas actuales, ¿cuál es la
probabilidad de que.
a) Exactamente 2 facturas estén incorrectas?
b) No más de 2 facturas estén incorrectas
c) Cuando menos 2 facturas estén incorrectas
• Éxito= facturas incorrectas
• Fracaso= facturas correctas
• P= 0.15
• q= (1-p) ; por lo tanto, es 1-0.15= 0.85
n= 3
X= 2
=
P( x=2/n=3, p=0.15) =a) 0.0574
P( x <,= 2/ n= 3, p= 0.15) =b) 0.9966
P(>.= 2 / n=3, p=0.15)= c) 0.0608
Usarán Poisson
• El número promedio de llamadas por minuto
recibidas en un taller de servicio de televisión
es de 1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que en
un minuto dado:
a. Se reciban menos de dos llamadas?
b. Se reciban más de tres llamadas?
c. Menos de 2 llamadas o más de 3 llamadas?
5.74%
• El director del ITSS desea formar un comité
ejecutivo de 5 entre los 40 catedráticos de
tiempo completo. Si la elección va a ser aleatoria
y en la facultad hay 8 catedráticos de tiempo
completo para contabilidad (el maestro Velasco
no es PTC). ¿cuál es la probabilidad de que el
comité incluirá:
a) Ninguno de ellos
b) Cuando menos uno de ellos
c) No más de uno de ellos
• Distribución de probabilidad de Poisson: La
distribución de probabilidad de Poisson suele emplearse para
modelar las llegadas aleatorias a una línea de espera (fila).
• Problema de las llamadas
Solución:
1. El número promedio de reclamaciones por
hora presentadas a una compañía de seguros
por pérdidas sufridas durante las mudanzas es
de 3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que en
cualquier hora dada:
a) Se presenten menos de tres reclamaciones?
b) Se presenten exactamente 3 reclamaciones?
c) Se presenten 3 o más reclamaciones?
• reactivo examen unidades 2 y 3
2. Una de cada 100 lámparas incandescentes fabricadas
por una compañía se funde antes del final de su
periodo de una semana si se dejan encendidas todo el
tiempo. Se instala una lámpara en cada uno de los 50
pisos de un edificio muy grande. ¿cuál es la
probabilidad aproximada de que:
A. se funda una lámpara al final de la semana?
B. más de 3 lámparas se fundan al final de la semana?
C. menos de 3 lámparas se fundan al final de la semana?