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Probabilidad Condicional
¿Cómo actualizar la probabilidad de un evento
dado que ha sucedido otro ?
o
¿Cómo cambia la probabilidad de un evento
cuando se sabe que otro evento ha ocurrido?
Probabilidad Condicional
Ejemplo:
Una persona tiene un billete de lotería con los
números 2,7,10,14,15,20.
Antes de que se realice el sorteo la probabilidad de que gane la lotería es X.
Probabilidad Condicional
¿Cuál es la probabilidad de sacarse la lotería
después de saber que ha salido el número 7?
Probabilidad Condicional
Veamos como se puede definir la probabilidad
condicional.
Después de realizar muchas veces un experimento, se tiene que
es el número de
intentos en los que B ocurre. Entre estos elementos se cuenta los intentos en que el evento A también ocurre. Se puede considerar
entonces que la razón
es una
medida de la probabilidad (condicional) de A
dado que ha ocurrido B
Probabilidad Condicional
Definición:
Si se sabe que un evento B ha ocurrido y
deseamos conocer la probabilidad de otro
evento A, tomando en cuenta que B ha
ocurrido, tenemos que esta probabilidad
condicional está dada por:
con Pr(B)>0
Probabilidad Condicional
Regresando al problema anterior:
Sea
B={uno de los números ganadores es el
número 7}
y
A={los números 2,7,10,14,15,20 son
seleccionados}
Probabilidad Condicional
Otro ejemplo:
Suponga que se lanzan dos dados
(distinguibles) y se observa que la suma X
es un número impar ¿Cuál es la probabilidad
de que X sea menor que 8?
Probabilidad Condicional
Regla de multiplicación para probabilidades
condicionales.
Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0
entonces
Similarmente, si Pr(A)>0,
Probabilidad Condicional
Ejemplo:
Se tiene que dos bolas son seleccionadas
aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja
que contiene r bolas rojas y b bolas azules.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera
bola sea roja y la segunda azul?
Probabilidad Condicional
Generalización a más eventos:
Para 3 eventos:
Para n eventos:
Probabilidad Condicional
Ejemplo:
Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que
serán seleccionadas una a una (sin
reemplazamiento) de una caja que contiene
r bolas rojas, b bolas azules (
)
¿Cuál es la probabilidad de obtener la serie:
roja, azul, roja, azul?
Probabilidad Condicional
Comentario:
las probabilidades condicionales siguen las
mismas reglas que las probabilidades
“standard” (no condicionales).
Probabilidad Condicional
Ley de la probabilidad total
Partición:
Sea S el espacio muestral de un experimento
y considere k eventos
en S, tal
que
son eventos disjuntos y
.
Se dice entonces que los eventos B forman
un partición.
Probabilidad Condicional
Ley de la probabilidad total
Teorema:
Suponga que los eventos
forman una partición de S y
para
j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:
Probabilidad Condicional
Ejemplo
Se tienen dos cajas que contienen tornillos
largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos
largos y 40 cortos. La segunda caja contiene
10 tornillos largos y 20 cortos.
Suponga que una caja se selecciona al azar y
se saca aleatoriamente un tornillo.
¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo
seleccionado sea un tornillo largo?
Probabilidad Condicional
Eventos independientes:
Si el conocimiento de que el evento B ha
ocurrido no cambia la probabilidad de que
el evento A ocurra, se dice que A y B son
eventos independientes.
Definición: dos eventos A y B son
independientes si
Probabilidad Condicional
De aquí se sigue que A y B son eventos
independientes si y solo si:
y
Probabilidad condicional
Ejemplo:
Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que
funcionan independientemente una de otra. Sea A
el evento de que la máquina 1 se estropee durante
8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se
estropee durante 8 hrs.
Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de
las máquinas se estropee durante el mismo período
de tiempo?
Probabilidad Condicional
Eventos independientes (generalización):
Los k eventos
son
independientes (o mutuamente
independientes) si para cada subconjunto
de j
de los
eventos se tiene que
Probabilidad Condicional
Ejemplo:
Para que A, B y C sean independientes se
deben satisfacer las siguientes relaciones:
Probabilidad Condicional
Ejemplo:
Suponga que una moneda se lanza dos veces de
modo que se tiene el siguiente espacio muestral:
S={HH, HT, TH, TT}.
Sean los siguientes eventos:
-H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT}
-H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH}
-ambos resultados iguales: C={HH, TT}
Probabilidad Condicional
Independencia condicional
Como hemos dicho, las probabilidades
condicionales tienn las mismas propiedades que las
probabilidades no condicionales. Un ejemplo más
es el siguiente:
Se dice que los eventos
son
condicionalmente independientes dado B, si para
cada subcolección
de esos eventos
se tiene que
Teorema de Bayes
Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema
de Bayes proporciona una fórmula útil para
calcular las probabilidades condicionales de
los Bi eventos dado A .
Teorema de Bayes
Sea Bi ,...,Bk los eventos que forman una
partición del espacio S tal que Pr(Bi )>0 para
j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0.
Entonces para i=1,...,k, tenemos que
Teorema de Bayes
Suponga que el ministerio de sanidad está
ofreciendo hacer un test gratis para una
cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad
del 90%.
Por otro lado, una colección de datos indican
que la posibilidad de tener esa enfermedad
es de 1 entre 10 000. Como el test es gratis,
no duele y es rápido, decidimos hacer el test.
¿Cuál es la probabilidad de tener la
enfermedad después de saber que el
resultado del test fue positivo?
Teorema de Bayes
Se tienen 3 diferentes máquinas M1´ M2´ M3
con las que se hace un producto.
Los productos fabricados se guardan en un
almacén y se sabe que el 20% de esos
productos fueron hechos con la máquina M1,
30% con la M2 y 50% con M3. También se sabe
que el 1% de los productos hechos con la
máquina M1 son defectuosos, mientras que
con M2, 2% son defectuosos y con M3 , 3% de
los productos son defectuosos.
Teorema de Bayes
Pregunta:
Si se selecciona aleatoriamente un producto
del almacén y resulta que éste es defectuoso,
¿cuál es la probabilidad de que dicho
producto fuese producido por M2 ?
Probabilidad Condicional
Teorema de Bayes para probabilidades
condicionales: