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Gottlöb Frege (1848-1925) Axel Arturo Barceló Aspeitia1 Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM 1. El Logicismo Jena, 1879. A los escasos treinta y un años, el filósofo y matemático alemán Friedrich Ludwig Gottlob Frege edita su primer obra: La Conceptografía [Begriffsschrift]. Egresado de la Universidad de Göttingen, Frege llevaba apenas ocho años de docencia en la facultad de matemáticas de la Universidad de Jena. Gracias a esta obra, fue ascendido a ausserordentlicher Professor 2 y pudo por primera vez, recibir un salario por su actividad docente.3 En los pocos años que llevaba dentro de la Universidad, Frege se había hecho de una muy buena fama, tanto como profesor como matemático e investigador. Los alumnos lo buscaban, no sólo por el rigor de sus conocimientos, sino también por la claridad de sus exposiciones. Frege sabía cómo evitar la complejidad excesiva aún en la presentación de los temas más oscuros y difíciles de la matemática. Su anterior formación en Göttingen, cuya facultad de matemáticas era más prestigiada que la de Jena, le había dado una formación muy completa, no sólo en matemáticas sino en otras ramas del saber universitario, como la física experimental. Además, su participación en la Jannische Gessellschaft für Medizin und Naturwissenschaft (de 1874 a 1917) lo puso en contacto con los más recientes avances de las ciencias naturales. Sin embargo, la Filosofía fue la disciplina que mas atrajo a Frege, además de las matemáticas. Desde un principio elaboró trabajos de investigación que no podían llamarse propiamente filosóficos ni propiamente matemáticos. Desde su Habilitationsschrift hasta sus últimos artículos, todos sus textos se ubican en una zona limítrofe que no se encuentra de lleno dentro de las matemáticas, ni de la Filosofía. Sin embargo, Gottlöb Frege no era el único investigador interesado en esta 1 . Trabajo de investigación elaborado dentro del proyecto “¿Qué es el Análisis?” IN401106. 2 Literalmente, Profesor extraordinario. 3 Su posición anterior dentro de la Universidad, Privatdozent, no era asalariada. extraña zona intermedia entre las matemáticas y la filosofía. Para la segunda mitad del siglo XIX, eran varios los investigadores de ambas disciplinas trabajando temas dentro de lo que posteriormente sería llamado la filosofía de las matemáticas. El problema principal que impulsó a estos investigadores, Frege incluso, fueron los fundamentos de las matemáticas. A Frege, como a muchos filósofos y matemáticos de su tiempo, les preocupaba la falta de rigor y precisión con la cual trabajaban los matemáticos. Le preocupaba que trabajaran sin tener un conocimiento claro y definido de ni siquiera sus conceptos más básicos, como el de número o el de magnitud. Un texto temprano de Frege, donde podemos encontrar por primera vez esta preocupación, es su reseña de la obra de H. Seeger, The Elements of Arithmetic. Ahí, Frege condena obras que, como la de Seeger, tratan de explicar los fundamentos de la aritmética sin preocuparse por la exactitud y corrección de sus definiciones y demostraciones. Se presume que es a partir de ese momento, y con esta preocupación en mente, que Frege empieza a proyectar una obra que sí explique con rigor y claridad los verdaderos fundamentos de la aritmética. A partir de ese momento, las carencias y deficiencias del libro de Seeger se convirtieron en las metas y objetivos de todo su trabajo posterior.4 En aquellos años, tres eran las principales tendencias explicativas alrededor de los fundamentos de la aritmética. En primer lugar, se encontraban los psicologistas, para quiénes los números no eran más que construcciones mentales y las operaciones matemáticas se identificaban con procesos psicológicos. En segundo lugar, estaba el formalismo de su colega en Jena, Thomae (1880), para quién no había diferencia entre número y numeral.5 Para Thomae, los números no eran más que símbolos y las leyes de la aritmética, reglas para la manipulación de estos símbolos. Por último, también existía la 4 La expresión es de Rudolph Carnap, según es reportada por Terrell Ward Bynum, en “On the Life and Works of Gottlob Frege”, en la traducción al ingles de Conceptual Notation, Oxford Clarendon Press, 1972, p. 8. 5 En su libro de texto, Elementare eorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, de 1880, omae sostuvo que solo los enteros positivos tenían existencia concreta, mientras que el resto de los números debían “verse como esquemas puros sin contenido” (mi traducción). La polémica entre Frege y omae tomó lugar, principalmente, en el Jahresberichte der Deuschen Mathematiker-Vereinigung. posición empirista extrema de Stuart Mill (1884)6 , para quien las leyes de la aritmética no eran más que generalizaciones empíricas basadas en la inducción. Sin embargo, para Frege, ninguna de estas escuelas de pensamiento ofrecía una clara y correcta explicación de los fundamentos de la aritmética, ni proveían a los matemáticos de una efectiva teoría de los números (Orayen 1988). Para Frege, como para la mayoría de los críticos del psicologismo, el mayor pecado filosófico que éste cometía era confundir la génesis psicológica de un conocimiento con su validez. Por lo menos, así lo entendía al decir: No se confunda la verdad de una proposición con su ser pensada. Es necesario recordar bien esto: que una proposición no cesa de ser verdadera en cuanto yo no la pienso más como el sol no cesa de existir cuando yo cierro los ojos. (1884) Tal era la firmeza de las verdades matemáticas, que no podía descansar en algo tan débil y mutable como las ideas y el pensamiento. Si así fuera, perdería su carácter objetivo y universal. De la misma manera, los formalistas estaban equivocados al creer que los números y sus propiedades eran construcciones subjetivas. Para Frege, los matemáticos no podían inventar números y leyes matemáticas, sino solamente descubrirlas y tratar de enunciarlas de una manera clara. Para esto último eran indispensables los símbolos, pero no por ello debía de identificárseles con los verdaderos números. Para Frege, pues, las matemáticas no podían ser una mera invención del hombre, como lo sostenían Thomae y los formalistas. Por último, Frege consideraba la teoría empirista de Stuart Mill como primitiva y ajena al verdadero espíritu matemático. Para Frege, Mill veía a los matemáticos como si todavía calcularan con guijarros y pasteles; y le parecía absurdo que los matemáticos pudieran inferir de esos resultados las leyes de la matemática. Frege, pues, no estaba en lo absoluto satisfecho con los trabajos de estas escuelas. Sin embargo, también sabía que no podía simplemente rechazarlas si no ofrecía, al mismo tiempo, una respuesta alternativa que explicara mejor la naturaleza del número y las leyes 6. Stuart Mill, John (1884) A System of Logic: Ratiocinative and Inductive, Longman. fundamentales de la aritmética. Después de complejos razonamientos pensó que había encontrado la respuesta definitiva en la Lógica. Según Frege, los conceptos fundamentales de la aritmética (como el de número) podrían ser definidos usando sólo conceptos de la lógica formal, y además, las leyes básicas de la aritmética podían ser probadas, a partir de estas definiciones, usando exclusivamente leyes e inferencias lógicas. Este proyecto, según el cual es posible demostrar que los verdaderos fundamentos de las matemáticas se encuentran dentro de la lógica, es conocido como logicismo, y después de Frege ha sido adoptado por filósofos matemáticos con Russell, Boolos, Cocchiarella, Wright y Hale. El primer paso de Frege en la dirección logicista fue tratar de reducir el concepto de orden-en-una-secuencia al de ordenación lógica. Pero, en el intento, Frege se topó con una muy importante dificultad: Necesitaba que sus argumentos quedaran expresados de una manera completamente clara, precisa, y fácil de seguir. Necesitaba que cada uno de sus pasos fuera fácilmente identificable, de tal manera que ningún supuesto quedara implícito, sino que fuera claramente expuesto. Sin embargo, al tratar de expresar argumentos tan complejos como los que necesitaba para su proyecto, su lenguaje natural – el alemán –, no ofrecía sino ambigüedad y extrema complejidad. Frege intentó con otros lenguajes naturales y artificiales, pero ninguno le satisfizo. Los naturales eran ambiguos e inexactos, mientras que los artificiales habían sido todos diseñados con otros propósitos, de tal manera que ninguno servía a los fines del proyecto logicista. Fue precisamente al tratar de sortear estas dificultades que le surgió a Frege la idea de elaborar una conceptografía, es decir, un lenguaje artificial creado ad-hoc para su proyecto. Antes de reducir las matemáticas a la lógica, era necesario contar con un lenguaje artificial que facilitara la comprensión y elaboración de esta reducción. La presentación de este lenguaje y la reducción, en ella, del concepto de orden-en-una-secuencia al de ordenación lógica, son los principales objetivos que Frege cree haber logrado en su Conceptografía (1879). Sin enbargo, los alcances de la obra sobrepasan por mucho las expectativas de su joven autor. Pese a que Frege no pretendía que fuera una obra de lógica, los avances en este campo que por primera vez aparecen en ella son abrumadores. En la Conceptografía, aparecen por primera vez las funciones lógicas 7, las pruebas recursivas, la teoría cuantificacional y, por supuesto, el cálculo lógico. No por nada es llamado Frege al inventor de la lógica matemática y padre del giro lingüístico en la Filosofía. Sin embargo, pese a todos estos impresionantes avances en el campo de la lógica, las matemáticas y la filosofía, la Conceptografía, no fue nada bien recibida por el público filosófico o matemático. La mala recepción de su primer obra (el primero de muchos desagradables sucesos, frustraciones y tragedias, personales y profesionales que, desde entonces, rondaron la vida del pensador alemán) no desalentó a Frege para continuar con su proyecto filosófico. Tratando de explicar lo que él consideraba posibles fuentes de confusión en su obra original, Frege publico algunos textos que terminaron siendo fundamentales en la historia de la filosofía del siglo veinte, como Los Fundamentos de la Aritmética (1884), “Función y Concepto” (1891) “Sobre Sentido y Referencia” (1892) y “Sobre Concepto y Objeto” (1892). En estas tres obras cortas, Frege sentó las bases de una nueva ontología y semántica, basada en la distinción matemática entre función, argumento y valor. En otras palabras, para sostener su logicismo, desarrollo toda una teoría de la existencia y del significado, sobre la cual pudo montar su nueva concepción de la matemática y su relación con la lógica. Esta relación quedo plasmada, en su forma más completa en su tercer y último libro, Las Leyes Fundamentales de la Aritmética (1903). Desafortunadamente, el proyecto logicista de Frege recibió un golpe fatal de mano de su mayor discípulo: Bertrand Russell. Al mismo tiempo que Frege trabajaba en su fundamentación logicista de la aritmética, matemáticos importantes como Hilbert y Dedkind buscaban fundar la aritmética y el análisis matemático en lo que ahora se llama la teoría de conjuntos. Esta búsqueda estaba motivada por el descubrimiento, por parte de Georg Cantor, de paradojas en la concepción intuitiva de conjunto. Además de conocer – y admirar – el trabajo de Frege, a principios del siglo XX, Bertarnd Russell estudió también el trabajo de Cantor, hasta descubrir la famosa paradoja que lleva su nombre. Esta paradoja, descubierta independientemente por Ernest Zermelo, contradice la postulación de un 7 Esta central aportación que Frege a la lógica es indudablemente fruto del amplio conocimiento de funciones matemáticas que obtuvo Frege en sus años en Göttingen, a las cuales dedicó su Habilitationsschrift. conjunto de todos los conjuntos. Desafortunadamente, dada la similitud entre lo que ahora llamamos conjuntos y las extensiones de conceptos Fregeanas, dicha paradoja muestra también que el sistema de Las Leyes Fundamentales de la Aritmética de Frege es inconsistente. En Junio de 1902, Russell envió una carta a Frege informándole de la paradoja. La reacción de Frege no pudo ser más radical. Al no encontrar método lógico para distinguir entre extensiones de conceptos aceptables y paradójicos, Fege concluyó No puedo ver cómo la aritmética puede fundamentarse científicamente, cómo los números pueden concebirse como objetos lógicos. (Frege 1903, 253). Con estas líneas, Frege abandonaba el proyecto de su vida, el logicismo. 2. El Análisis Filosófico Famosamente, Ludwig Wittgenstein llegó a decir que la profundidad de la filosofía es la misma que la de un chiste o un juego de palabras. En pocos casos es esto mas cierto que en el de Gottlöb Frege y la tradición analítica que ayudó a fundar. El chiste puede contarse más o menos así: Seleccina la respuesta correcta: ¿Quien escribió La Divina Comedia? a. Su autor b. Quién escribió La Divina Comedia c. Dante Alighieri En cierto sentido, parecería que la respuesta correcta es (c), pero ¿por qué? ¿Cuál es la diferencia relevante entre ésta y las otras dos opciones? Después de todo, las tres respuestas podrían ser correctas, por lo menos en el sentido mínimo de que las tres son verdaderas. Aceptar que (a) y (b), pese a ser verdaderas, no son correctas parece implicar que, en ciertos casos, lo correcto va mas allá de lo verdadero. Es tan verdadero que La Divina Comedia fue escrita por su autor, como que fue escrita por Dante. A fin de cuentas, esto es así porque Dante Alighieri no es otro sino el autor de La Divina Comedia, quien escribió La Divina Comedia. Es decir, las expresiones “Dante Alighieri”, “quien escribió La Divina Comedia y “su autor” refieren a la misma persona. Sin embargo, las tres expresiones no significan lo mismo. Si significaran lo mismo, una respuesta sería tan buena como otra, lo cual no es así. De ahí que podamos concluir que el significado de un termino va mas allá de su referencia. (A esta parte del significado que hace la diferencia entre (a), (b) y (c), Frege llamará su “sentido”). Pues bien, el trabajo de Frege puede verse precisamente como tratando de explicar la diferencia entre respuestas como (a) y (b), por un lado, y (c) por el otro. Explicar porque ciertas expresiones que refieren a lo mismo, sin embargo, difieren lo suficiente en significado como para explicar la diferencia entre juicios tautológicos como “Quien escribió La Divina Comedia escribió La Divina Comedia” y juicios perfectamente informativos como “Dante escribió La Divina Comedia”. Al primer tipo de juicios, Frege los llamó juicios “analíticos”; y a los segundos, “sintéticos”, recogiendo una distinción que usará también Immanuel Kant. Así pues, la preocupación central del trabajo de Frege fue construir una teoría que dibujará claramente y por una vez por todas la línea divisoria entre los juicios sintéticos y los analíticos. En particular, le importaba establecer que juicios de la aritmética como “5+7=12” no son sintéticos, como sostuvo Kant, sino analíticos. Es fácil entender la intuición detrás de la posición Kantiana, ya que podemos hacer con números un ejercicio similar al de Dante. En un examen de aritmética bizarro, por ejemplo, podría aparecer el siguiente ejercicio: 5+7= a) 5+7 b) 12 La analogía con el caso de Dante y La Divina Comedia es bastante claro. Si bien es cierto que 5+7=5+7, es aun más claro que 5+7=12 es la respuesta correcta que buscamos. 5+7=5+7, aunque verdadero, no es suficientemente informativo. Es meramente tautológico. Para Kant, mientras que 5+7=5+7 es una verdad lógica analítica, 5+7=12 es una verdad aritmética sintética. Basta analizar qué significa ser el autor de un libro para aceptar que el autor de La Divina Comedia es quién escribió La Divina Comedia. No necesitamos saber nada sobre La Divina Comedia (salvo, tal vez. que es una obra literaria) ni sobre su autor. Sin embargo, por más que analicemos al número 12, no hay manera que caigamos en la cuenta de que 5+7=12. No podemos descubrir que 5+7=12 por pura lógica ni análisis. ¡Es necesario hacer aritmética! Entender las razones que tenía Frege para sostener que tanto 5+7=12 como 5+7=5+7 eran ambas verdades lógicas y, por lo tanto, analíticas es mucho más difícil. Especialmente porque, al defender su posición, Frege transformó radicalmente lo que entendemos por análisis lógico. La concepción clásica del análisis antes de Frege consistía en descomponer los hechos o conceptos en sus componentes lógicos. Ser humano, por ejemplo, podría analizarse en ser animal y ser racional. Ser animal y racional eran componentes del concepto de ser humano en tanto que es necesario ser animal racional para ser humano, y viceversa. La primera gran contribución de Frege a nuestra concepción del análisis fue extender este tipo de análisis, de los predicados simples a las relaciones. Frege logró esto gracias a (i) la introducción de ciertas herramientas matemáticas al análisis filosófico, en especial, (a) el formalismo simbólico y (b) la distinción función-argumento; y (ii) el desarrollo de una teoría formal de la cuantificación. Gracias a estos avances, la transformación del análisis fue radical. Por principio de cuentas, Frege propuso cambiar nuestra concepción del análisis, de un mero descomponer algo en sus partes, al de ubicarlo en un espacio de relaciones lógicas. Analizar un concepto, a partir de Frege, no es simplemente descomponerlo en sus partes, sino determinar sus relaciones lógicas con el resto de los conceptos. Igualmente, analizar una proposición o un hecho no debe verse simplemente como buscar cuales son sus partes, sino cuales son sus relaciones lógicas con otras proposiciones o hechos. Esta transformación involucra cambiar nuestra imagen del análisis como algo que mira hacia adentro de aquello que analizamos, a algo que mira hacia fuera: hacia sus relaciones lógicas con el resto de los conceptos, objetos o proposiciones. De esta manera, el análisis lógico Fregeano consiste en primer lugar, en el dibujo del mapa del espacio lógico, y segundo, en la ubicación del objeto de análisis en dicho espacio. Esta nueva imagen del análisis aparece ya en la introducción a la Conceptografía de Frege. Ahí, Frege compara su trabajo de análisis lógico con la cartografía geográfica. Así como el objetivo de un mapa cartográfico es permitir la fácil localización de lugares en el espacio geográfico, el objetivo del análisis – lo que Frege llamó su “Conceptografía” – es facilitar la ubicación de conceptos en el espacio lógico. El objetivo de la cartografía lógica Fregeana es la elaboración de mapas lógicos donde se ubique el lugar que ocupa cada concepto, objeto o proposición en relación con los otros. Para esto, Frege pensaba que era necesario desarrollar un sistema de notación propio para este tipo de mapas lógicos. Aunque, más que mapas, lo que desarrollo fue un simple sistema de diagramas, antecedentes directos de nuestras actuales fórmulas lógicas. La conceptografía de Frege contaba con dos avances significativos con respecto a intentos anteriores de desarrollar sistemas de notación lógica. En primer lugar, como el lenguaje algebraico de las matemáticas, usaba variables. Esto permitió dos cosas: primero, expresar ciertas relaciones lógicas entre relaciones de una manera mucho más fácil y clara que hasta entonces y, segundo, permitir manejar predicados y relaciones sin la necesidad de infinitivos u otros trucos gramaticales. Por ejemplo, en vez de hablar del concepto ser humano, Frege representaba dicho predicado a través del esquema formal “x es humano”. De esta manera, se evitaba la confusión entre conceptos y objetos: mientras que los conceptos se expresaban a través de esquemas con variables, los objetos sí tenían nombres. Los nombres, para Frege incluyen tanto lo que comúnmente llamaríamos nombres propios, como enunciados proposicionales (cuya referencia es la verdad o la falsedad, dependiendo de si son enunciados verdaderos o falsos). De ahí que en su ontología se consideren objetos, no solo lo que comúnmente llamaríamos objetos concretos, sino también otros objetos lógicos como los números, los valores de verdad (verdad y falsedad), los pensamientos (lo que ahora llamaríamos proposiciones) los recorridos de las funciones y las extensiones de los conceptos. Estos objetos lógicos no eran meros objetos del pensamiento, sino entidades reales, aunque abstractas. De ahí que se hable de Frege como un platonista moderno. A decir verdad, gran parte de su trabajo filosófico se dedicó precisamente a fundamentar el estatus objetivo de estas entidades. Dado que su logicismo tenía como objetivo reducir la aritmética a la lógica, Frege necesitaba que existieran objetos lógicos a los que reducir los objetos de la aritmética. Qué tanto éxito tuvo Frege en esta empresa es una cuestión controversial. El punto débil de su logicismo siempre fue la existencia de estos extraños objetos lógicos. Para Frege, entonces, la búsqueda de una notación adecuada para el análisis filosófico requería, entre otras cosas, de un lenguaje en el cual distinciones ontológicas fundamentales, como la de objeto y concepto, correspondan a distinciones gramaticales. En particular, Frege buscó que su Conceptografía tuviera nombres solamente para los objetos genuinos, y que el resto del lenguaje sólo pudiera hacer referencia a conceptos. Para Frege, los únicos objetos genuinos son aquellos a los que se refieren los nombres (o las proposiciones). El resto de las expresiones refieren a conceptos. Uno de los esloganes más famosos de Frege fue su famoso “principio del contexto”, el cual aconseja no inquirir por el significado de una expresión sino en el contexto de un enunciado completo. Esto es así, no porque ninguna expresión tenga significado sino en el contexto de un enunciado, sino porque es en el contexto del enunciado que se vuelve más claro el papel que juega dicha expresión. Metodológicamente, por lo tanto, es imperativo empezar por los enunciados. Un enunciado completo, pues, es aquel que determina completamente su sentido (el pensamiento que expresa) y su valor de verdad (su significado). Para analizar dicho enunciado, como habíamos dicho, no es suficiente observar sus partes gramaticales. Es necesario hacer un trabajo lógico más profundo. Para determinar la identidad del pensamiento que expresa, por ejemplo, es necesario determinar sus relaciones lógicas con otros enunciados y los pensamientos que éstos expresan. Como habíamos dicho antes, es necesario ubicar su sentido en la red de relaciones lógicas que forman su espacio lógico. El análisis lógico-sintáctico en Frege es un juego de semejanzas y diferencias. Si tenemos dos entidades, por ejemplo, dos enunciados que se parecen en algo pero también se distinguen en algo, podemos codificar dichas similitudes y diferencias en términos de la distinción matemática entre función y argumento: la función es aquello que explica la similitud entre ellas y el argumento aquello que explica su diferencia. Cuando comparamos dos objetos, entonces, necesitamos una notación que incluya tanto una parte en común – la función – que explique su similitud, como elementos distintos dentro de la representación de cada una – los argumentos – que explique sus diferencias. Frege toma esta idea de la aritmética. Tomemos por ejemplo, los números 4 y 14. Estos dos números tienen varias propiedades en común. Por ejemplo, ambos son números aunque ello no se vea a simple vista. Sin embargo, si en vez de representar a ambos números a través de un numeral, usáramos fórmulas, por ejemplo “2 x 2” o “2 x 7”, ya veremos que hay algo en común entre ambos números. Las fórmulas “2 x 2” o “2 x 7” tienen algo en común, y algo que las distingue. Tienen en común que ambas empiezan con “2 x” y terminan con un numeral (de algún número entero). Lo que las distingue es que al final tienen numerales diferentes. En jerga matemática, diríamos que ambos números son diferentes valores de la misma función 2 x n. Nótese como, para expresar esta función, no usamos una fórmula aritmética – es decir, una fórmula que refiera a algún número –, sino una fórmula algebraica, es decir, con una variable n. A esto es a lo que Frege hace referencia cuando habla de expresiones “insaturadas”. La expresiones funcionales como “2 x n” están insaturadas, porque tienen un espacio vacío – señalado por la variable – que ha de llenarse para que puedan referir a un objeto. Además, dependiendo cómo se llenen, terminarán referiéndose a diferentes objetos. En este caso, dependiendo que numeral sustituya la variable, tendremos diferentes fórmulas completas, es decir, saturadas, que pueden referir a diferentes números. Si sustituimos la variable por el numeral 2, tendremos “2 x 2”. Si la sustituimos por el numeral 7, tendremos “2 x 7”. Por lo tanto, podemos analizar la fórmula “2 x 2” en la expresión funcional “2 x n” y el numeral “2”. La primera expresión representa la función 2 x n, y la segunda el argumento 2. De manera análoga, podemos analizar 2 x 7 en la misma función 2 x n, pero ahora con el argumento 7. La función 2 x n, por lo tanto, representa lo que tienen en común 2 y 14, a saber, que ambos son pares. En efecto, cualquier numero (entero positivo) que se asigne como argumento a esta función dará un número par: 2 x 3, 2 x 378, 2 x 43, 2 x 1,239,076, etc. y viceversa, todo número par es el valor de esta función para algún argumento. Además, los diferentes argumentos representan lo que distingue a un número par del otro. Por supuesto, 2 y 14 tienen muchas otras propiedades en común además de ser pares. Por ejemplo, ambos son números menores a cien. Pero mostrar esto requeriría un análisis distinto, donde la función y el argumento sean distintos (Por ejemplo, si tomamos la función 100 – x y los argumentos 96 y 86). De este hecho se siguen tres importantes principios del análisis que Frege subrayó: (1) cual es la función y el argumento dependen del análisis. El mismo objeto puede analizarse en diferentes funciones y argumentos dependiendo del propósito del análisis. (2) el análisis depende esencialmente de cómo se represente a el o los objetos bajo análisis. Hay un momento del análisis en el cual cuál es la función y el argumento relevantes se hace obvio (cuando el objeto a analizar esta representado de tal manera que se puede dividir en la expresión funcional y la de su argumento). Sin embargo, (3) gran parte del trabajo del análisis es precisamente llegar a ese punto. 3. El nacimiento de la Filosofía Analítica Seguramente cause extrañeza el que un filósofo dedicado a un proyecto tan peculiar como el logicismo sea considerado entre los pensadores más importantes de su siglo. Es indudable que el trabajo de Frege es fundamental en Filosofía de la Matemática y del Lenguaje. Sin embargo, ¿dónde radica su importancia para la filosofía en general? Para responder a esta pregunta, es necesario recordar que, al iniciar el siglo veinte, tanto la ciencia empírica como la matemática avanzaban a pasos agigantados. Parecía que la filosofía quedaría relegada a ser una vieja reliquia – una pseudo-ciencia como la Alquimia –, una vez que la ciencia diera respuesta a las preguntas que solían ser provincia de la filosofía. Regresemos, ahora, a la cuestión central de Frege. Si es posible que el mero análisis lógico determine no solo verdades tautológicas como que 5+7=5+7 (o que quien escribió La Divina Comedia escribió La Divina Comedia) sino también verdades sustanciales e informativas como que 5+7=12 es posible, entonces, que haya otro tipo de verdades filosóficas que también puedan descubrirse a partir del mero análisis lógico. Antes de Frege, el análisis lógico era visto, a lo más, como una disciplina terminada con poco ofrecer de sustancia al conocimiento humano. Las verdades lógicas y analíticas eran vistas como obvias, triviales e insustanciales. Al transformar nuestra concepción del análisis lógico, Frege abrió las puertas a toda una nueva manera de concebir a la filosofía: con un método propio (el análisis lógico) y un tipo de verdades (las analíticas) irreducibles a la de la ciencia (es decir, a las verdades sintéticas). Si bien no es claro que ésta sea la concepción de la filosofía que tenía Frege, sí es claro que ésta fue la moraleja central de su trabajo para los filósofos que, a partir de entonces, han sido conocidos como “analíticos.” Referencias Obras de Frege (Ediciones Originales en Alemán) (1879) Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S. (1884) Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau. (1891) “Funktion und Begriff: Vortrag gehalten” en der Versammlung vom 9. Januar 1891 der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jena. (1892) “Über Sinn und Bedeutung”, en Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 25-50. (1892) “Über Begriff und Gegenstand”, en Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie, XVI, 192-205. (1893, 1903) Grundgesetze der Arithmetik, Jena: Verlag Hermann Pohle, Tomo I (1893), Tomo II (1903) (1904) “Was ist eine Funktion?”, en Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20. Februar 1904, S. Meyer (ed.), Leipzig, S. 656-666. (1918 – 1919) Der Gedanke. Eine logische Untersuchung, in Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I (1918-1919): 58-77 (1918-1919) “Die Verneinung”, en Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, I, 143-157. (1923) “Gedankengefüge”, en Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus, III, 36-51. Traducciones de Frege al Español (1972) Conceptografía: un lenguaje de fórmulas, semejante al de la aritmética, para el pensamiento puro. Los Fundamentos de la Aritmética: una investigación lógico matemática sobre el concepto de número. Otros estudios filosóficos, México, Universidad Autónoma de México, Instituto de Investigaciones Filosóficas. (1974) Escritos Lógico-Semánticos, Editorial Tecnos, Madrid. (1996) “El pensamiento: una investigación lógica”, en Margarita M. Valdés, (comp., introd. y rev. técnica de la traducción.) Pensamiento y lenguaje : problemas en la atribución de actitudes proposicionales, México, Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Investigaciones Filosóficas, pp. 23-48. Comentaristas en español 8 Alcolea Banegas, Jesús, “Significado y denotación”. Reseña sobre: Alejandro Tomasini Bassols (pról., selecc. y tr.), Significado y denotación. La polémica Russell-Frege, 2001. Mathesis, Serie II, vol. 1, no. 1, p. 183-197. Álvarez, Carlos, “Gottlob Frege :cálculo y características”. 1985. Mathesis, Vol. 1, no. 2, p. 129-136. Ávila del Palacio, Alfonso, “¿Qué podrían ser números según Frege?”, 1990. Revista filosófica intercontinental desde América, Vol. 1, no. 1, p. 93-98. 8. Tomado de la base de datos Filos, Universidad Nacional Autónoma de México. Ávila del Palacio, Alfonso, “La definición de número en Gottlob Frege”. 1992. 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