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CAPÍTULO 35
LA LEY DE AMPÉRE
En el capítulo anterior estudiamos el efecto de un campo magnético sobre una carga en
movimiento. Ahora nos concentraremos en la fuente misma del campo, y en el presente capítulo
estudiaremos el campo magnético producido por un conductor por el cual fluye corriente.
Presentaremos dos métodos para calcular B: uno basado en una técnica directa, análoga a la ley
de Coulomb para el cálculo de los campos eléctricos, y otro basado en argumentos de simetría,
análogos a la ley de Gauss para los campos eléctricos.
En analogía con nuestro estudio previo de los campos eléctricos de algunas distribuciones de
carga sencillas, investigaremos en este capítulo los campos magnéticos producidos por algunas
distribuciones de corriente sencillas: alambres rectos y anillos circulares. Describiremos también
el campo dipolar magnético, similar al campo dipolar eléctrico y, por último, demostraremos que
la relación entre los campos eléctrico y magnético es mucho más profunda que la que existe en
una simple semejanza de las ecuaciones; la relación se extiende a la transformación de los
campos uno dentro del otro cuando las distribuciones de carga o de corriente son observadas
desde marcos inercia les diferentes.
35-1 La ley de Biot Sarvat
El descubrimiento de que las corrientes producen campos magnéticos lo
observó Hans Christian Oersted en 1820. Oersted observó que, como se
ilustra en la figura 1, cuando se coloca una brújula cerca de un alambre
recto por el pasa una corriente, la aguja se almea siempre
perpendicularmente al alambre (despreciando la influencia del campo
magnético de la Tierra sobre la brújula). Esto fue el primer vínculo
experimental entre la electricidad y el magnetismo, y proporcionó el
comienzo del desarrollo de una teoría formal del electromagnetismo. En
términos modernos, analizamos el experimento de Oersted diciendo que
la corriente en el alambre crea un campo magnético, que ejerce un
momento de torsión sobre la aguja de la brújula y la alinea con el
campo.
Desarrollemos ahora un procedimiento para calcular el campo magnético
debido a una distribución de corriente especificada y, antes de
considerar el campo magnético, repasemos primero el procedimiento
análogo para calcular los campos eléctricos.
La figura 2 muestra dos distribuciones de carga q1 y q de magnitud y
forma arbitrarias. Consideramos los elementos de carga dq1 y dq2 en las
dos distribuciones. El campo eléctrico dE1 creado por dq, en la ubicación
de dq 2 está dado por
en donde r es el vector de dq1 a dq2 (Fig. 2), r es su magnitud, y ur
(=r/r) es un vector unitario en la dirección de r. Para hallar el campo
eléctrico total E1 que actúa en dq2 debido a toda la distribución q1,
integramos sobre q1:
La fuerza dF21 que actúa sobre dq2 debida a la distribución de la carga q1
puede entonces escribirse:
Las ecuaciones 1 o 2 (para el campo eléctrico de una distribución de
carga) y 3 (que da la fuerza debida a aquella distribución que actúa
sobre otra carga) juntas pueden considerarse como una forma de la ley
de Coulomb para hallar la fuerza electrostática entre las cargas.
En el caso de los campos magnéticos, buscamos la fuerza entre los
elementos de corriente (Fig. 3). Esto es, consideramos dos corrientes i1
e i2 y sus correspondientes elementos de corriente i 1 ds 1 e i 2 ds 2.
Suponemos, basados en nuestros resultados del capítulo anterior, que
las direcciones relativas de los elementos de corriente (especificadas por
los vectores ds 1 y ds 2) serán importantes y que la fuerza entre las
corrientes puede incluir los productos cruz de los vectores. La ley de
Coulomb de la fuerza entre las cargas se desarrolló como un enunciado
a partir de resultados experimentales; una ley análoga para la fuerza
magnética la propuso el físico francés André-Marie Ampére en 1820,
poco después de conocer los resultados de Oersted. La fuerza magnética
dF21 ejercida sobre el elemento de corriente 2 por i 1 puede escribirse,
usando la ecuación 30 del capitulo 34, así:
en donde el campo magnético B1 en la ubicación del elemento de
corriente i2ds 2 se debe a toda la corriente i 1.
La contribución dB de cada elemento de corriente de i 1 al campo total
está dada por
en donde r es el vector del elemento de corriente 1 al elemento de
corriente 2, y Ur es el vector unitario en la dirección de r. Las ecuaciones
4 y 5 juntas dan la fuerza magnética entre los elementos de corriente de
una manera análoga a las ecuaciones 1 y 3 para los elementos de carga.
En la ecuación 5 está incluida una constante indeterminada k, al igual
que inclui mos una constante similar en la ley de Coulomb (véase la Ec.
1 del capitulo 27). Se recordará que, en electrostática, teníamos dos
opciones
para determinar la constante en la ley de Coulomb: (1) fijar la constante
igual a un valor conveniente, y usar la ley de la fuerza para determinar
por experimentación la unidad de carga eléctrica o bien (2) definir la
unidad de carga y luego determinar la constante por experimentación.
Elegimos la opción 2, que define a la unidad de carga en términos de la
unidad de corriente. En el caso de la constante en la ley de la fuerza
magnética elegimos la opción 1: fijar la constante igual a un valor
conveniente y usar la ley de la fuerza para definir a la unidad de
corriente, el ampere. Se define que la constante k en unidades del SI
tiene el valor exacto 10-7 tesla * metro/ampere (T* m/A). Sin embargo,
como fue el caso en electrostática, hallamos conveniente escribir a la
constante en una forma diferente:
donde la constante µ0, llamada la constante de permeabilidad, tiene el
valor exacto
La constante de permeabilidad µ0 desempeña un papel en el cálculo de
los campos magnéticos similar al de la constante de permitividad ε 0 al
calcular los campos eléctricos.
Las dos constantes no son independientes entre sí; como
demostraremos en el capítulo 41, se enlazan a través de la velocidad de
la luz c, de modo que
. Por lo tanto, no estamos en libertad de
elegir a ambas constantes de modo arbitrario; podemos elegir una
arbitrariamente pero entonces la otra está determinada por el valor
aceptado de c.
Ahora podemos escribir los resultados generales para el campo
magnético debido a una distribución de corriente arbitraria. La figura 4
ilustra la geometría general. No estamos ya considerando la fuerza entre
dos elementos de corriente; en su lugar, calculamos el campo dB en el
punto P debido a un solo elemento de corriente i ds. Si nos interesa
calcular el efecto de ese campo sobre las cargas en movimiento o las
corrientes en el punto P, usamos las fórmulas que desarrollamos en el
capítulo anterior. Eliminando los subíndices en la ecuación 5 y usando la
ecuación 6 para la constante k, tenemos
Este resultado se conoce como la ley de Biot y Savart. La dirección de
dB es la misma que la dirección de ds x u, (o sea ds x r), hacia adentro
del plano del papel en la figura 4.
Podemos expresar la magnitud de dB a partir de la ley de Biot y Savart
como
donde θ es el ángulo entre ds (que está en la dirección de i), y r, como
se muestra en la figura 4.
Para hallar el campo total B debido a toda la distribución de corriente,
debemos integrar sobre todos los elementos de corriente i ds:
Del mismo modo como lo hicimos en el capítulo 28 para los campos
eléctricos, al calcular esta integral debemos tener en cuenta que no
todos los elementos dB están en la misma dirección (véase la Sec. 28-5
para ejemplos de esta clase de integral vectorial en el caso de los
campos eléctricos).
35-2 APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART
Un alambre recto largo
Ilustramos la ley de Biot-Savart aplicándola para hallar B debido a una
corriente ¡ en un alambre recto largo. La figura 5 muestra un elemento
de corriente i ds representativo. La magnitud de la contribución dB de
este elemento al campo magnético en P se encuentra a partir de la
ecuación 8,
Elegimos que x sea la variable de la integración que corre a lo largo del
alambre, y así la longitud del elemento de corriente es dx. Las
direcciones de las contribuciones dB en el punto P para todos los
elementos son las mismas, es decir, hacia adentro del plano de la figura
en ángulo recto con la página. Ésta es la dirección del producto vectorial
ds x r. Podemos entonces evaluar una integral escalar en lugar de la
integral vectorial de la ecuación 9, y B puede escribirse como
Ahora x, θy r no son independientes, estando relacionadas (véase la Fig.
5) por
de modo que la ecuación 10 se convierte en
Este problema nos recuerda su equivalente electrostático. Deducimos
una expresión para E debido a una barra larga cargada por métodos de
integración, usando la ley de Coulomb (Sec. 28-5). Resolvimos también
el mismo problema usando la ley de Gauss (Sec. 29-5). Más adelante,
en este capítulo, consideraremos una ley de los campos magnéticos, la
ley de Ampére, que es similar a la ley de Gauss en cuanto a que
simplifica los cálculos del campo magnético en los casos (como éste) en
que tenga un alto grado de simetría.
Un anillo circular de corriente
La figura 6 muestra un anillo circular de radio R por el que pasa una
corriente i. Calculemos B en el punto P sobre el eje a una distancia z del
centro del anillo. El ángulo θ entre el elemento de corriente i ds y r es de
90° . Según la ley de Biot y Savart, sabemos que el vector dB de este
elemento está en ángulo recto con el plano formado por i ds y r y por lo
tanto, se encuentra en ángulo recto con r, como lo muestra la figura.
Resolvamos a dB en dos componentes, una, dBll, a lo largo del eje del
anillo y otra, dBl en ángulo recto con el eje. Sólo dBll contribuye al
campo magnético total B en el punto P. Esto se deduce porque las
componentes dBll de todos los elementos de corriente están sobre el eje
y se suman directamente; sin embargo, las componentes dBl apuntan en
direcciones distintas perpendicularmente al eje, y la suma de todas las
dBl para el anillo completo es cero, según la simetría. (Un elemento de
corriente diametralmente opuesto, indicado en la figura 6, produce el
mismo dBll pero el dBl opuesto).
Por lo tanto, podemos reemplazar a la integral vectorial de todas las dB
con una integral escalar de las componentes paralelas únicamente:
Para el elemento de corriente en la figura 6, la ley de Biot y Savart (Ec.
8) da
Tenemos también que
la cual, combinada con la ecuación 13, da
La figura 6 muestra que r y a no son independientes una de la otra.
Expresemos a cada una en términos de z, la distancia desde el centro
del anillo hasta el punto P. Las relaciones son
y
Al sustituir estos valores en la ecuación 14 para dBll nos da
Nótese que i, R, y z tienen los mismos valores para todos los elementos
de corriente. Al integrar esta ecuación, obtenemos
o bien, observando que .f ds es simplemente la circunferencia del anillo
(= 2πR),
En el centro de] anillo (z = O), la ecuación 15 se reduce a
La magnitud del campo magnético en el eje de un anillo circular de
corriente está dado por la ecuación 15. El campo tiene su valor máximo
en el plano del anillo (Ec. 16) y disminuye conforme la distancia z
aumenta. La dirección del campo está determinada por la regla de la
mano derecha: se empuña el alambre con la mano derecha, con el
pulgar indicando la dirección de la corriente, y los demás dedos se
enroscan en dirección al campo magnético.
Si z » R, de modo que no se consideren los puntos cerca del anillo, la
ecuación 15 se reduce a
En una bobina de N vueltas circulares idénticas, devanadas
apretadamente, el campo total es N veces este valor, o sea
(sustituyendo el área A = πR2 del anillo)
en donde µ es el momento dipolar magnético (véase la Sec. 34-7) de la
espira de corriente. Esto nos recuerda el resultado deducido en el
problema 11 del capitulo 28 [E = (1/2 πε 0 ) (p/z 3)], que es la fórmula
para el campo eléctrico en el eje de un dipolo eléctrico. El problema 33
da un ejemplo del cálculo del campo magnético en puntos distantes
perpendiculares al eje de un dipolo magnético.
Hemos demostrado de dos maneras que podemos ver a un anillo de
corriente como un dipolo magnético: por una parte, experimenta un
momento de torsión dado por r = µ x B cuando lo situamos en un
campo magnético externo (Ec. 37 del capítulo 34); por otra, genera su
propio campo magnético dado, para los puntos en el eje, por la ecuación
17. La tabla 1 resume algunas propiedades de los dipolos magnéticos y
eléctricos.
Problema muestra 1
Por dos alambres largos paralelos separados por una distancia 2d entre sí fluyen corrientes iguales i en
direcciones opuestas, como se muestra en la figura 7a. Obtenga una expresión para el campo magnético B
en un punto P sobre la línea que une a los alambres ya una distancia x desde el punto medio entre ellos.
Solución
El estudio de la figura 7a muestra que B1 debido a la corriente i1 y B2 debido a la corriente i2 apuntan en la
misma dirección en P. Cada uno está dado por la ecuación 11
de modo que
La inspección de este resultado muestra que (1) B es simétrico alrededor de x = 0; (2) B tiene su valor
mínimo
en x = 0; y (3) B —> . cuando x ± d. Esta última conclusión no es correcta, porque la
ecuación 11 no puede aplicarse a puntos dentro de los alambres. En realidad (véase el problema muestra 5,
por ejemplo) el campo debido a cada alambre se anularía en el centro de ese alambre.
Se recomienda al lector demostrar que nuestro resultado del campo combinado permanece válido en los
puntos en donde
. La figura 7b muestra la variación de B con x para ¡ = 25 A y d =25 mm.
Problema muestra 2 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor del núcleo en
una trayectoria de 5.29 x l0~’ m de radio con una frecuencia ν de 6.63 x l015 Hz (o rev/s). (a) ¿Qué valor de
B se establece en el centro de la órbita? (b) ¿Cuál es el momento dipolar magnético equivalente?
Solución
(a) La corriente es la rapidez con la cual la carga pasa por cualquier punto en la órbita y está dada por
El campo magnético B en el centro de la órbita está dado por la ecuación 16,
(b)
De la ecuación 36 del capítulo 34 con N (el número de espiras) = 1, tenemos que
Problema muestra 3
La figura 8 muestra una cinta plana de cobre de anchura a y espesor despreciable por la cual pasa tina
corriente i. Determine el campo magnético B en el punto P, a una distancia R desde el centro de la cinta a lo
largo de su bisectriz perpendicular.
Solución
Subdividamos la cinta en filamentos infinitesimales largos de anchura dx, cada uno de los cuales puede
considerarse como un alambre portador de corriente di dada por i(dx/a). La contribución d13 del campo en
el plinto P en la figura 8 está dada, para el elemento mostrado, por la forma diferencial de la ecuación 11,o
sea
donde r R/cos θ R sec θ. Nótese que el vector dB forma un ángulo recto con la línea marcada por r.
Sólo es efectiva la componente horizontal de dB, es decir, dB cos θ; la componente vertical se cancela por la
contribución de un filamento ubicado simétricamente en el otro lado del origen (la segunda cinta sombreada
en la Fig. 8). Así, B en el punto P está dado por la integral (escalar)
Las variables x y θ no son independientes, estando relacionadas
Por
o bien
Los límites en θ son ± α en donde α tan -1 (a/2R). Al sustituir a dx por B en la expresión, hallamos
Este es el resultado general para el campo magnético debido a la cinta.
En los puntos alejados de la cinta, a es un ángulo pequeño, para el cual α ≈ α tan a = a/2R. Así, tenemos,
como un resultado aproximado,
Este resultado era de esperarse pues en los puntos distantes la cinta no puede distinguirse de un alambre
delgado (véase la Ec. 11).
35-3 LAS LINEAS DE B
La figura 9 muestra las líneas que representan al campo magnético B
cerca de un alambre recto largo. Nótese el aumento en el espaciamiento
de las líneas cuando aumenta la distancia desde el alambre. Esto
representa la disminución 1/r predicha por la ecuación 11.
La figura 10 muestra las líneas magnéticas resultantes asociadas a la
corriente de un alambre orientado en ángulo recto con un campo
externo uniforme Bc que se dirige hacia la izquierda. En cualquier punto,
el campo magnético total resultante Bi es el vector suma de Bc y Bi, en
donde Bi es el campo magnético creado por la corriente del alambre. Los
campos Bc y Bi tienden a cancelarse arriba del alambre y a reforzarse
entre sí abajo del alambre. En el punto P de la figura 10, Bc y Bi se
cancelan exactamente, y Bt= 0. Muy cerca del alambre el campo está
representado por líneas circulares, y Bt = Bi.
Para Michael Faraday, creador del concepto, las líneas del campo
magnético representaban la acción de fuerzas mecánicas, un poco
parecida a la acción de una liga elástica estirada. Usando la
interpretación de Faraday, podemos ver sin dificultad que el alambre de
la figura 10 es jalado hacia arriba por la “tensión” de las líneas del
campo. Este concepto tiene sólo una utilidad limitada, y hoy día usamos
las líneas de B principalmente para formarnos una imagen mental. En
los cálculos cuantitativos usamos los vectores del campo, y
describiríamos la fuerza magnética sobre el alambre de la figura 10
usando la relación F = i L x B.
Al aplicar esta relación a la figura 10, recordamos que la fuerza sobre el
alambre es causada por el campo externo en el que está inmerso el
alambre; esto es, es Bc, el cual apunta hacia la izquierda. Puesto que L
apunta hacia adentro de la página, la fuerza magnética sobre el alambre
(= i L x Bc) apunta en efecto hacia arriba. Es importante usar sólo el
campo externo en tales cálculos, pues el campo creado por la corriente del
alambre no puede ejercer una fuerza sobre el alambre, del mismo modo
en que el campo gravitatorio de la Tierra no puede ejercer una fuerza
sobre la Tierra misma sino sólo sobre otro cuerpo. En la figura 9, por
ejemplo, no existe una fuerza magnética sobre el alambre porque no
está presente ningún campo magnético externo.
35-4 DOS CONDUCTORES PARALELOS
Poco después de que Oersted descubriera que un conductor portador de
corriente desviaba la aguja de una brújula magnética, Ampére concluyó
que tales conductores deberían atraerse entre si con una fuerza de
origen magnético.
Analizaremos la interacción magnética de dos corrientes de manera
similar al método que utilizábamos para el análisis de la interacción
eléctrica entre dos cargas:
Esto es, una carga crea un campo eléctrico, y la otra carga interactúa
con el campo en su ubicación particular. Usamos un procedimiento
similar para la interacción magnética:
Aquí una corriente genera un campo magnético, y la otra corriente
interactúa entonces con ese campo.En la figura 11, el alambre 1, que
conduce una corriente i1, produce un campo magnético B1 cuya
magnitud, en el sitio del segundo alambre es, de acuerdo con la
ecuación 11,
La regla de la mano derecha muestra que la dirección de B1 en el
alambre 2 es hacia abajo, como se muestra en la figura.
El alambre 2, por el cual fluye una corriente i 2, puede entonces
considerarse como inmerso en un campo magnético externo B. Una
longitud L de este alambre experimenta una fuerza magnética lateral F21
= i 2 L x B1 de magnitud
La regla vectorial para el producto cruz muestra que F21 se encuentra en
el plano de los alambres y apunta hacia el alambre 1 como se ve en la
figura 11. Hubiéramos podido igualmente haber comenzado con
el alambre 2 al calcular primero el campo magnético B2 producido por el
alambre 2 en el sitio del alambre 1 y luego determinar la fuerza F12
ejercida sobre una longitud L del alambre 1 por el campo del alambre 2.
Esta fuerza sobre el alambre 1 apuntaría, en corrientes paralelas, hacia
el alambre 2 en la figura 11. Las fuerzas que ejercen los dos alambres
uno sobre el otro son de igual magnitud y de dirección opuesta; forman
un par acción-reacción de acuerdo con la tercera ley de Newton.
Si, en la figura 11, las corrientes fuesen antiparalelas, hallaríamos que
las fuerzas sobre los alambres tendrían la dirección opuesta: los
alambres se repelerían entre si. La regla general es:
Las corrientes paralelas se atraen, y las corrientes antiparalelas se
repelen.
Esta regla es, de alguna manera, opuesta a la regla para las cargas
eléctricas, en la que las corrientes iguales (paralelas) se atraen, pero las
cargas iguales (del mismo signo) se repelen.
La fuerza entre alambres paralelos largos se usa para definir al ampere.
Dados dos alambres paralelos largos de sección
transversal
circular
despreciable separados en el vacío por una distancia de 1 metro, se
define al ampere como la corriente en cada alambre que produciría una
fuerza
de
2
x
10-7
newtons
por
metro
de
longitud.
Las mediciones de corriente primarias pueden realizarse con una
balanza de corriente, mostrada esquemáticamente en la figura 12. Esta
consta de una bobina de alambre devanada cuidadosamente y colocada
entre
otras
dos bobinas; las bobinas exteriores están sujetas a una mesa, mientras
que la bobina interior cuelga del brazo de una balanza. Las tres bobinas
conducen la misma corriente. Al igual que los alambres paralelos de la
figura 11, las bobinas ejercen fuerzas mutuas, las cuales pueden medirse al cargar con pesas la charola de la balanza. La corriente puede
determinarse a partir de esta fuerza medida y de las dimensiones de las
bobinas. Este procedimiento de uso de bobinas es más práctico que
aquél de los alambres paralelos largos de la figura 11. Las mediciones
con la balanza de corriente se emplean para calibrar otros estándares
secundarios más convenientes para medir la corriente.
Problema muestra 4
Un alambre horizontal largo soportado rígidamente conduce una corriente i, de 96 A. Directamente encima
de él y paralelo a él hay un alambre delgado conductor de una corriente ‘b de 23 A y de 0.73 N/m de peso.
¿A qué altura en el alambre inferior habría que extender este segundo alambre si esperamos soportarlo
mediante repulsión magnética?
Solución
Para proporcionar repulsión, las dos corrientes deben apuntar en direcciones opuestas. En el equilibrio, la
fuerza magnética por unidad de longitud debe ser igual al peso por unidad de longitud y debe estar dirigida
opuestamente. Al despejar d de la ecuación 18 da
Suponemos que los diámetros de los alambres son mucho más pequeños que su separación. Esta hipótesis
es necesaria porque al deducir la ecuación 18 supusimos tácitamente que el campo magnético producido por
un alambre es uniforme en todos los puntos dentro del segundo alambre.
¿Es el equilibrio del alambre suspendido estable o inestable contra los desplazamientos
verticales? Esto puede demostrarse si desplazamos el alambre verticalmente y examinamos
cómo cambian las fuerzas sobre el alambre. ¿Es el equilibrio estable o inestable contra los
desplazamientos horizontales?
Supongamos que el alambre delgado está suspendido debajo del alambre soportado
rígidamente. ¿Cómo puede hacerse que “flote”? ¿Es el equilibrio estable o inestable contra los
desplazamientos verticales? ¿Y contra los desplazamientos horizontales?
35-5 LA LEY DE AMPÉRE
La ley de Coulomb puede considerarse como una ley fundamental de la
electrostática; podemos usarla para calcular el campo eléctrico asociado
con cualquier distribución de cargas de corriente. Sin embargo, en el
capitulo 29 demostramos que la ley de Gauss nos permite resolver
cierta clase de problemas que contienen un alto grado de simetría, con
facilidad y elegancia. Además, demostramos que la ley de Gauss
contiene en sí a la ley de Coulomb para el campo eléctrico de una carga
puntual. En resumen, consideramos que la ley de Gauss es más básica
que la ley de Coulomb, y que la ley de Gauss es una de las cuatro
ecuaciones fundamentales (Maxwell) del electromagnetismo. La
situación es similar en el magnetismo. Usando la ley de Biot-Savart,
podemos calcular el campo magnético de cualquier distribución de
corrientes, del mismo modo en que usamos la ecuación 2 (equivalente a
la ley de Coulomb) para calcular el campo eléctrico de cualquier distribución de cargas. Un enfoque más fundamental de los campos
magnéticos hace uso de una ley que (como la ley de Gauss para los
campos eléctricos) aprovecha la simetría presente en ciertos problemas
para simplificar el cálculo de B. Esta ley se considera más fundamental
que la ley de Biot-Savart y conduce a otra de las cuatro ecuaciones de
Maxwell.
Este nuevo resultado es lo que constituye la ley de Ampére y se escribe
Se recordará que, al usar la ley de Gauss, primero construiamos una
superficie cerrada imaginaria (una superficie gaussiana) que encerraba
una cierta cantidad de carga. Al usar la ley de Ampére construimos una
curva cerrada imaginaria (llamada anillo amperiano), como se indica en
la figura 13. El lado izquierdo de la ecuación 19 nos dice que dividamos
a la curva en segmentos pequeños de longitud ds. Al recorrer el anillo
(nuestra dirección de viaje determinará la dirección de ds), evaluamos la
cantidad B * ds y sumamos (integramos) todas esas cantidades alrededor del anillo.
La integral de la izquierda en la ecuación 19 se llama integral de línea.
(Anteriormente hemos usado integrales de línea en el capitulo 7 para
calcular el trabajo y en el capitulo 30 para calcular la diferencia de
potencial.) El círculo sobrepuesto en el signo de la integral nos recuerda
que la integral de línea debe evaluarse alrededor de una trayectoria
cerrada. Si θ representa el angulo entre ds y B, podemos escribir la
integral de línea como
El lado derecho de la ecuación 19 es la corriente total “encerrada” por el
anillo; esto es, es la corriente total que pasa por los alambres que
perforan la superficie encerrada por el anillo. Como en el caso de la ley
de Gauss para las cargas, no se incluyen las corrientes afuera del anillo.
La figura 13 muestra tres alambres portadores de corriente. El campo
magnético B es el efecto neto de las
corrientes en todos los alambres. Sin embargo, en la evaluación del lado
derecho de la ecuación 19, sólo incluimos las corrientes i 1 e i2, porque el
alambre que conduce a i 3, no pasa a través de la superficie encerrada
por el anillo. Los dos alambres que pasan a través del anillo conducen
corrientes en dirección opuesta. Se emplea una regla de la mano
derecha para asignar signos a las corrientes: con los dedos de la mano
derecha en la dirección en que se recorre el anillo, las corrientes que
siguen la dirección del pulgar (como i 2) se toman como positivas,
mientras que las corrientes en dirección opuesta (como ~2) se toman
como negativas. La corriente neta ¡ en el caso de la figura 13 es,
entonces,
El campo magnético B en los puntos sobre el anillo y dentro del anillo
depende, ciertamente, de la corriente i 3; sin embargo, la integral de B *
ds alrededor del anillo no depende de corrientes como i 3 que no
penetran la superficie encerrada por el anillo. Esto es razonable, porque
B* ds para el campo creado por i 1 o por i 2 tiene siempre el mismo signo
cuando viajamos alrededor del anillo; sin embargo, B*ds para el campo
debido únicamente a i 3 cambia de signo cuando recorremos el anillo, y
de hecho las contribuciones positiva y negativa se cancelan exactamente
entre sí.
Nótese que el hecho de incluir a la constante arbitraria 4π en la ley de
Biot-Savart reduce la constante que aparece en la ley de Ampére a µ0
simplemente. (Se obtuvo una simplificación similar de la ley de Gauss al
incluir la constante 4π en la ley de Coulomb.)
Nos fue posible emplear la ley de Gauss para calcular los campos
eléctricos sólo en aquellos casos que tienen un alto grado de simetría.
En esos casos, argumentábamos que E era constante y que podía
eliminarse de la integral. Elegimos a los anillos amperianos de manera
similar, de modo que B sea constante y pueda eliminarse de la integral.
A modo de ilustración, usemos la ley de Ampére para hallar el campo
magnético a una distancia r de un alambre recto largo, problema que ya
hemos resuelto al usar la ley de Biot-Savart. Como se ilustra en la figura
14, elegimos como nuestra trayectoria amperiana un círculo de radio r.
A partir de la simetría del problema, B puede depender únicamente de r
(y no, por ejemplo, de la coordenada angular alrededor del círculo). Al
elegir una trayectoria que esté a la misma distancia del alambre en
todos sus puntos, sabemos que B es constante alrededor de la trayectoria.
De los experimentos de Oersted sabemos que B tiene sólo una
componente tangencial Entonces, el ángulo O es cero, y la integral de
línea es
Nótese que la integral de ds alrededor de la trayectoria es simplemente
la longitud de la trayectoria, o sea 2πr en el
caso del círculo. El lado derecho de la ley de Ampére es simplemente p0i
(tomada como positiva, de acuerdo con la regla de la mano derecha). La
ley de Ampére da
Esto es idéntico a la ecuación 11, un resultado que obtuvimos (con
mucho más esfuerzo) usando la ley de BiotSavart.
Problema muestra 5
Deduzca una expresión para B a una distancia r del centro de un alambre cilíndrico largo de
radio R, en donde r < R. El alambre conduce una corriente i, distribuida uniformemente en la
sección transversal del alambre.
Solución
La figura 15 muestra un anillo amperiano circular adentro del alambre. La simetría sugiere que B
es de magnitud constante a lo largo del anillo y tangente a él como se muestra. La ley de
Ampére da
en donde el lado derecho incluye únicamente la fracción de la corriente que pasa a través de la
superficie encerrada por la trayectoria de integración. Al despejar B se obtiene
En la superficie del alambre (r= R), esta ecuación se reduce a la misma expresión que hallamos
al poner r= R en la ecuación 11 (B=µ0i/2πR). Esto es, ambas expresiones dan el mismo resultado
para el campo de la superficie del alambre. La figura 16 muestra el grado al que el campo
depende de r, tanto dentro como fuera del alambre.
35-6 SOLENOIDES Y TOROIDES
Dos clases de componentes prácticos basados en los devanados de
espiras de corriente son los solenoides y los toroides. El solenoide suele
utilizarse para crear un campo magnético uniforme, al igual que el
capacitor de placas paralelas crea un campo eléctrico uniforme. En los
timbres de las puertas y en los altavoces, el solenoide a menudo
proporciona el campo magnético que acelera a un material magnético.
Los toroides se emplean también para crear campos grandes.
SOLENOIDE.
El solenoide es un alambre largo devanado en una hélice fuertemente
apretada y conductor de una corriente i. La hélice es muy larga en
comparación con su diámetro. ¿Cuál es el campo magnético B que
genera el solenoide? La figura 17 muestra, sólo con fines de ilustración,
la sección de un solenoide “extendido”. En los puntos cercanos a una
sola vuelta del solenoide, el observador no puede percibir que el
alambre tiene la forma de arco. El alambre se comporta
magnéticamente casi como un alambre recto largo, y las líneas de B
debidas a esta sola vuelta son casi círculos concéntricos. El campo del
solenoide es la suma vectorial de los campos creados por todas las
espiras que forman el solenoide. La figura 17 sugiere que los campos
tienden a cancelarse entre alambres contiguos. También sugiere que, en
los puntos dentro del solenoide y razonablemente alejados de los
alambres, B es paralelo al eje del solenoide. En el caso limite de
alambres cuadrados empaquetados en forma compacta, el solenoide se
convierte esencialmente en una lámina de corriente cilíndrica, y las
necesidades de simetría obligan entonces a que sea rigurosamente
cierto el hecho de que B sea paralelo al eje del solenoide.
A continuación, damos por sentado que esto es así. Para puntos como P
en la figura 17, el campo creado por la parte superior de las espiras del
solenoide (marca das con el signo O, porque la corriente sale de la
página) apunta a la izquierda y tiende a cancelar al campo generado por
la parte inferior de las espiras del solenoide (marcadas como O, porque
la corriente entra a la pagina), que apunta hacia la derecha. Cuando el
solenoide se vuelve más y más ideal, esto es, cuando se aproxima a la
configuración de una lámina de corriente cilíndrica e infinitamente larga,
el campo B en los puntos de afuera tiende a cero. Considerar que el
campo externo sea cero es una buena hipótesis de un solenoide práctico
si su longitud es mucho mayor que su diámetro y si consideramos
únicamente los puntos externos cerca de la región central del solenoide,
es decir, lejos de los extremos. La figura 18 muestra las líneas de B para
un solenoide real, que está lejos de ser ideal, puesto que la longitud es
ligeramente mayor que el diámetro. Aun aquí, el espaciamiento de las
lineas de B en el plano central muestra que el campo externo es mucho
más débil que el campo interno.
Apliquemos la ley de Ampére,
a la trayectoria rectangular abcd en el solenoide ideal de la figura 19.
Escribiremos la integral
como la suma de cuatro integrales, una
por cada segmento de la trayectoria:
La primera integral a la derecha es Bh, donde B es la magnitud de B
dentro del solenoide y h es la longitud arbitraria de la trayectoria desde
a hasta b. Nótese que la trayectoria ab, si bien paralela al eje del
solenoide, no necesariamente coincide con él. Resultará que B adentro
del solenoide es constante en su sección transversal e independiente de
la distancia desde el eje (como se sugiere por el espaciamiento igual de
las líneas de B en la figura 18 cerca del centro del solenoide). La
segunda y cuarta integrales de la ecuación 21 son cero, porque en cada
elemento de estas trayectorias B está en ángulo recto con la trayectoria
(para los puntos dentro del solenoide) o bien es cero (para los puntos
fuera de él). En cualquier caso, B* ds es cero, y las integrales se anulan.
La tercera integral, que incluye la parte del rectángulo que se encuentra
fuera del solenoide, es cero porque hemos aceptado que B es cero en
todos los puntos externos de un solenoide ideal. Para toda la trayectoria
rectangular,
tiene el valor Bh. La corriente neta i que pasa por el
anillo amperiano rectangular no es la misma que la corriente i 0 en el
solenoide porque el devanado atraviesa el anillo más de una vez.
Hagamos que n sea el número de espiras por unidad de longitud:
entonces la corriente total, que está fuera de la página dentro del anillo
amperiano rectangular de la figura 19, es
La ley de Ampére se convierte entonces en
La ecuación 22 muestra que el campo magnético adentro de un
solenoide depende únicamente de la corriente i 0 y del número de espiras
n por unidad de longitud.Si bien hemos deducido la ecuación 22 para un
solenoide ideal infinitamente largo, se cumple bastante bien con los
solenoides reales en los puntos internos cerca del centro del solenoide.
Para un solenoide ideal, la ecuación 22 indica que B no depende del
diámetro o de la longitud del solenoide y que B es constante en la
sección transversal del solenoide. El solenoide es una manera práctica
de crear un campo magnético uniforme.
Toroides
La figura 20 muestra un toroide, que debemos considerar que es un
solenoide doblado en forma de rosca. Hallemos el campo magnético en
los puntos interiores usando la ley de Ampére y ciertas consideraciones
de simetría.
Partiendo de la simetría, las lineas de B forman círculos concéntricos en
el interior del toroide, como se muestra en la figura. Elegimos un círculo
concéntrico de radio r como anillo amperiano y lo recorremos en
dirección de las manecillas del reloj. La ley de Ampére da
donde i 0 es la corriente en el devanado del toroide y N es el número
total de espiras. Esto da
Al contrario de lo que ocurre con el solenoide, B no es constante en la
sección transversal de un toroide. Debemos poder demostrar, a partir de
la ley de Ampére, que B=0 en los puntos fuera de un toroide ideal.
Una observación más detallada de la ecuación 23 justifica nuestra
anterior aseveración de que el toroide es “un solenoide doblado en
forma de rosca”. En la ecuación 23, el denominador, 2π, es la
circunferencia central del toroide, y N/2 π es justamente n, el número de
espiras por unidad de longitud. Con esta sustitución, la ecuación 23 se
reduce a B = µ0i 0n, la ecuación del campo magnético en la región central
de un solenoide.
La dirección del campo magnético dentro de un toroide (o de un
solenoide) se deduce de la regla de la mano derecha: doble los dedos de
la mano derecha en dirección de la corriente; el pulgar derecho
extendido apunta entonces en dirección al campo magnético.
Los toroides forman la característica central del tokanak, máquina que
muestra ser prometedora como base del reactor termonuclear.
Estudiaremos su modo de operación en el capítulo 55 de este mismo
texto.
Problema muestra 6
Un solenoide tiene una longitud de L = 1.23 m y un diámetro interior d = 3.55 cm. El devanado
tiene cinco capas de 850 espiras cada una y conduce una corriente i0 = 5.57 A. ¿Cuál es B en su
centro?
Solución
De la ecuación 22
Nótese que la ecuación 22 se cumple aun cuando el solenoide tenga más de una capa de
devanado porque el diámetro del devanado no interviene en la ecuación.
El campo fuera de un solenoide (Opcional)
Hasta el momento hemos despreciado el campo fuera del solenoide
pero, aun en un solenoide ideal, el campo no es cero en los puntos fuera
del devanado. La figura 21 muestra una trayectoria amperiana en forma
de circulo de radio r. Ya que los devanados del solenoide son
helicoidales, una espira del devanado cruza la superficie encerrada por
el circulo. El producto B*ds para esta trayectoria depende de la
componente tangencial del campo B1’ y por tanto la ley de Ampére da
que es el mismo campo (en magnitud y también en dirección) que se
generaría por un alambre recto. Nótese que los devanados, además de
conducir corriente alrededor de la superficie del solenoide, conducen
también corriente de izquierda a derecha en la figura 21, y a este
respecto el solenoide se comporta como un alambre recto en los puntos
fuera del devanado. El campo tangencial es mucho más pequeño que el
campo interior (Ec. 22), como podemos ver al considerar la razón
Supongamos que el solenoide consta de una capa de vueltas en la que
los alambres se tocan entre si, como en la figura 19. Cada intervalo a lo
largo del solenoide de longitud igual al diámetro D del alambre contiene
una espira, y así el número de espiras n por unidad de longitud debe ser
de 1/D. Entonces, la razón se convierte en
En un alambre típico, D = 0.1 mm. La distancia r a los puntos exteriores
debe ser cuando menos tan grande como el radio del solenoide, el cual
podría ser de unos cuantos centímetros. Entonces B1/B 0001, y el
campo tangencial exterior es realmente despreciable comparado con el
campo interior a lo largo del eje. Por lo tanto, estamos en lo seguro al
despreciar el campo exterior.Al dibujar un círculo amperiano similar al
de la figura 21 pero con un radio más pequeño que el del solenoide, uno
debe poder demostrar que la componente tangencial del campo interior
es cero.
35-7 EL ELECTROMAGNETISMO
Y LOS MARCOS DE REFERENCIA
(Opcional)
La figura 22a muestra una partícula portadora de una carga positiva q
en reposo cerca de un alambre recto largo por el que fluye una corriente
i. Vemos al sistema desde un marco de referencia S en el que el
alambre está en reposo. Dentro del alambre hay electrones negativos
que se mueven a una velocidad de arrastre vd y núcleos de iones
positivos en reposo. En cualquier longitud dada del alambre, el numero
de electrones es igual al número de corazas de iones, y la carga neta es
cero. Los electrones pueden considerarse instantáneamente como una
línea de carga negativa, la cual crea un campo eléctrico en la ubicación
de q de acuerdo con la ecuación 33 del capitulo 28:
en donde ë es la densidad de carga lineal de los electrones (un número
negativo). Las corazas de iones positivos generan también un campo
eléctrico dado por una expresión similar, dependiendo de la densidad de
carga lineal R, de los iones positivos. Puesto que las densidades de
carga son de magnitud igual y signo opuesto, ë+ + ë- = 0, y el campo
eléctrico neto que actúa sobre la partícula es cero también. Existe un
campo magnético distinto de cero sobre la partícula, pero, como la
partícula está en reposo, no existe fuerza magnética. Por lo tanto, en
este marco de referencia no actúa ninguna fuerza neta de origen
electromagnético sobre la partícula. Consideremos ahora la situación
desde la perspectiva de un marco de referencia S’ que se mueve
paralelo al alambre a velocidad Vd (la velocidad de arrastre de los
electrones). La figura 22b muestra la situación en este marco de
referencia, donde los electrones están en reposo y las corazas de iones
se mueven hacia la derecha a una velocidad Vd. Claramente, en este
caso la partícula, por estar en movimiento, experimenta una fuerza
magnética FB como se muestra en la figura.
Observadores en marcos inerciales diferentes deben estar de acuerdo en
que, si no existe una aceleración en el marco S, tampoco existirá una
aceleración en el marco S’. Por lo tanto, la partícula no debe
experimentar una fuerza neta en S’, y entonces, debe haber otra fuerza
además de FB que actúe sobre la partícula para que la fuerza neta sea
cero.
Esta fuerza adicional que actúa en el marco S’ debe ser de origen
eléctrico. Consideremos en la figura 22a que el alambre tiene una
longitud L. Podemos imaginar que la longitud del alambre consta de dos
barras de medición, una barra (los iones) en reposo cargada
positivamente y una barra (los electrones) en movimiento cargada
negativamente. Las dos barras tienen la misma longitud (en S) y
contienen el mismo número de cargas. Cuando transformamos a
aquellas barras en S’, hallamos que la barra de carga negativa tiene una
longitud mayor en S’. En S, esta barra en movimiento tiene su longitud
contraída, de acuerdo con el efecto relativista de contracción de la
longitud que ya hemos estudiado en la sección 21-3. En S’, está en
reposo y tiene su longitud propia, la cual es más larga que la longitud
contraída en S. La densidad lineal negativa ë’ de carga en S’ es de una
magnitud menor que la de aquélla en S (esto es,
porque la
misma cantidad de carga se distribuye sobre una longitud mayor en S’.
Para las cargas positivas, la situación es opuesta. En S, las cargas
positivas están en reposo, y la barra de carga positiva tiene su longitud
propia. En S’, está en movimiento y tiene una longitud contraída más
corta. La densidad lineal R de la carga positiva en S’ es mayor que
aquélla en S
, porque la misma cantidad de carga está distribuida
sobre una longitud menor. Por lo tanto, tenemos las relaciones
siguientes para las densidades de carga:
La carga q experimenta los campos eléctricos debidos a una línea de
carga positiva y una línea de carga negativa. En S’, estos campos no se
cancelan, porque las densidades de carga lineal
son diferentes. El campo eléctrico en q dentro de S’ es, por lo tanto,
debido a una densidad lineal neta de carga positiva, y q es repelida del
alambre. La fuerza eléctrica FE sobre q se opone por tanto a la fuerza
magnética FB, como se muestra en la figura 22b. Un cálculo detallado
demuestra que la fuerza eléctrica resultante es exactamente igual a la
fuerza magnética, y la fuerza neta dentro de S’ es cero. Así, la partícula
no experimenta ninguna aceleración en cualquiera de los marcos de
referencia. Podemos extender este resultado a otras situaciones diferentes al caso especial que consideramos aquí, en el que S’ se mueve a la
velocidad Vd con respecto a S. En otros marcos de referencia, la fuerza
eléctrica y la fuerza magnética tienen valores diferentes de sus valores
en S’; sin embargo, en cada marco son iguales y opuestas entre si, y la
fuerza neta sobre la partícula es cero en todos los marcos de referencia.
este es un resultado sorprendente. De acuerdo con la relatividad
especial, los campos eléctrico y magnético no se presentan en forma
independiente. Un campo que sea puramente eléctrico o puramente
magnético en un marco de referencia tiene componentes tanto eléctricas
como magnéticas en otro marco. Usando las ecuaciones relativistas de
transformación, podemos fácilmente ir y venir de un marco al otro, y a
menudo podemos resolver problemas difíciles escogiendo un marco de
referencia en el que los campos tengan un carácter más sencillo y
transformando luego el resultado otra vez al marco original. La
relatividad especial puede tener un gran valor práctico para resolver
tales problemas, porque las técnicas de la relatividad especial pueden
ser más sencillas que las técnicas clásicas. En lenguaje matemático,
decimos que las leyes del electromagnetismo (las ecuaciones de
Maxwell) son invariantes con respecto a la transformación de Lorentz.
Recordemos nuestro estudio en la sección 3-6 acerca de las leyes físicas
invariantes: ponemos por escrito la ley en un marco de referencia, la
transformamos a otro marco, y obtenemos una ley exactamente de la
misma forma matemática. Por ejemplo, la ley de Gauss, una de las
cuatro ecuaciones de Maxwell, tiene exactamente la misma forma en
todo marco de referencia. Las palabras de Einstein son directas y sin
ambages: “La fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento dentro
de un campo magnético no es otra cosa que un campo eléctrico.” (De
hecho, el trabajo original de Einstein en 1905, en el que present ó por
vez primera las ideas de la relatividad especial, se titulaba “Sobre la
electrodinámica de los cuerpos en movimiento.”) En este contexto,
podemos ver al magnetismo como un efecto relativista, dependiente de
la velocidad de la carga relativa al observador. Sin embargo, al contrario
de lo que ocurre con otros efectos relativistas, tiene consecuencias
sustancialmente observables a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.