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Capítulo 2
Electrostática
2.1. Carga Eléctrica
Se sabe que en la naturaleza unas pocas fuerzas fundamentales son responsables de todas las interacciones entre
la materia Entre ellas se cuenta:
fuerza gravitacional (responsable de la atracción entre masas)
de partículas de carga positiva) que se producen en una
determinada reacción química para un mol de un cierto
material.
Carga del electrón. En terminos del Coulomb, es posible establecer la carga electrica qe del electrón
qe
fuerza electromagnética (responsable de los fenómenos químicos)
1 6021 10
10
19
[C]
(2.1)
Quanto de carga. La cantidad
e
fuerza nuclear (responsable de la estabilidad del nucleo atómico)
1 6021
19
[C]
se conoce como “quanto de carga” pues en la naturaleza
no se encuentran partículas libres con carga menor que
dicho quanto. Con esta notación la carga qe del electrón
se abrevia:
qe
e
El descubrimiento de la fuerza eléctrica nace de la observación que, ciertos materiales, al ser frotados y puestos
a cierta distancia, o se atraen o se repelen. Se dice están
electrizados o cargados eléctricamente (ver NOTA1 ).
Algunos experimentos simples son suficientes para determinar que sólo existen dos tipos de cargas: las llamaremos
positivas y negativas.
Definición práctica del Coulomb. Una definición práctica del Coulomb está dada en términos de otra unidad, el
Ampere (se abrevia [A] y lo estudiaremos más adelante)
que cuantifica la cantidad total de carga que pasa por una
superficie dada en un tiempo dado. Es decir cuantifica una
corriente de carga.
2.1.1. Unidad de Carga Eléctrica
La carga eléctrica, al igual que cualquier propiedad física,
requiere de una unidad para ser cuantificada.
La unidad de carga en el Sistema Internacional de
Unidades es el Coulomb (que se abrevia [C]), cantidad
que se establece midiendo la cantidad de iones (cantidad
Un Ampere (1 [A]) de corriente significa, por definición, que cruza un Coulomb de carga por segundo (1
[C/s]) la superficie en cuestión.
2.1.2. Cuantización de la Carga Eléctrica
1 NOTA: El caso de una barra de caucho que es frotada contra piel
y luego suspendida es clarificador: si se acerca una segunda barra de
caucho tratada de la misma manera se observa que las barras se repelen.
Por otro lado al acercar una barra de vidrio frotada contra seda las barras
(de caucho y de vidrio) se atraen. Una explicación posible es que por la
acción de frotación el caucho y el vidrio an adquirido algo (carga) que
en un caso produce atracción y en el otro repulsión.
Una situación interesante ocurre cuando lo que se suspende es una
barra de vidrio frotada contra seda. Al acercar una segunda barra de
vidrio tratada de la misma manera se produce también repulsion.
En consecuencia barras tratadas de la misma manera adquirieron la
misma carga y se repelen; barras tratadas de manera diferente pueden
repelerse o atraerse, es decir tienen la misma carga o diferente.
En 1909, Robert Millikan mostró experimentalmente que
la carga eléctrica q de un objeto es siempre un multiplo
entero de la unidad fundamental de carga e. Es decir la
carga eletrica viene en multiplos q
Ne del cuanto fundamental de carga e (N entero).
Ya vimos que la carga del electrón es qe
e. Un protón
tiene precisamente una unidad de esta carga, pero de signo opuesto, es decir su carga es q p e. Otra partícula de
interés es el neutrón, de carga nula, qn 0.
25
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
La siguiente tabla resume algunas propiedades de estas
partículas:
Partícula
Electrón (e)
Protón (p)
Neutrón (n)
Carga [C]
1 6022 10
1 6022 10
0
Masa [Kg]
9 1095 10
1 6726 10
1 6749 10
19
19
31
27
27
2.1.3. Ejercicios y Ejemplos
1. ¿A qué número de ‘quantos’de carga e equivale 1
[C]?.
1 6021 10
Rpta. Puesto que e
tonces, despejando 1[C]=[C] queda:
C
1 6021
10
1
19
e
6 24
19
[C], en-
1018e
esto es, 6.24 trillones de partículas.
2. Sobre un cable circula una corriente (de electrones)
de 1 [A]. ¿Cuántos electrones pasaron una superficie
transversal cualquiera del cable durante 1 [s]?.
Rpta. Una corriente de 1 [A] significa que pasó
1[C], en cada segundo, por la superficie. Usando el
resultado anterior queda: 6.24 trillones de electrones.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
27
8 99 10 [N m C ]
9 0 10 [N m C ]
2.2. Ley de Fuerza de Coulomb
(a) inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y dirigida a lo largo de la recta que
une los centros.
9
K
En 1785 Charles Augustín Coulomb (1736-1806) descubrió que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 ,q2 es:
9
K
q1
F12
1
4πε0
8 8542 10
(2.4)
12
[C2 /Nm2 ]
1 q1 q2
r̂
4πε0 r12 12
1 q 1 q 2 r1 r2
4πε0 r2 r1 2
F12
r1
r2
(2.3)
(2.5)
Entonces, en el Sistema Internacional de Unidades, la Ley
de Coulomb adquiere la forma
{
q2
2
donde ε0 , la llamada permitividad dieléctrica del espacio
vacío, es
ε0
r12
2
2
Es conveniente reescribir K como
(b) proporcional al producto q1 q2 de las cargas
(c) atractiva si las cargas tienen signos opuestos y repulsiva si tienen signos iguales.
2
(2.6)
2.2.1. Ejercicios y Ejemplos
1.a Una molécula de Hidrógeno esta formada por un protón y un electrón separados a una distancia de a
1 0 10 8 [cm]. ¿Cuántos Newtons vale la fuerza
eléctrica de atracción entre las cargas?.
O
Figura 2.1: Fuerza entre cargas
Rpta.
Esto se puede resumir en que la fuerza F12 que ejerce
una carga q2 sobre otra carga q1 colocada a una distancia
r1 r2 de ella, está dada por la expresión
r12
F12
F F
1010 2 31 10 [N]
9
Kq1 q2
r̂12
2
r12
Kq1 q2 r1 r2
r1 r2 3
q p qe
a2
1 602
109
0 01
K
19 2
8 2
8
(2.2)
donde r1 y r2 son los vectores de posición de las cargas,
y r̂12 es un vector unitario que apunta desde q2 hacia
q1 y K es una constante de proporcionalidad cuyo valor
depende del sistema de unidades utilizado. Esta expresión
es conocida como la Ley de Coulomb.
Para calcular la constante K basta medir (experimentalmente) la fuerza con que interactúan dos cargas de magnitud conocida y separadas una distancia conocida. En el
Sistema Internacional de Unidades (SI) (alias MKS) se
obtiene
1.b Compare la magnitud de la fuerza eléctrica entre estas dos partículas con la magnitud de la fuerza de
atracción gravitacional entre ellas.
NOTA: La fuerza gravitacional entre 2 masas puntuales m1 y m2 , separadas a una distancia r21 entre
ellas satisface una ley similar a la ley de Coulomb
(la Ley de Atracción Universal de Newton):
grav
F12
Gm1 m2
r̂12
2
r12
en que la constante de gravitación universal G
6 67 10 11 [N m2 /kg2 ]
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Rpta. Como antes evaluamos la expresión y obtenemos
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F F
m p me
a2
1 67
10 11
G
6 67 1 01 10
47
F0
100 0 1 109 1 1 10 27
q0
31
8 2
[N]
q1
r0
r1
’!Podemos apreciar que la fuerza de atracción de
masas es mucho más pequeña que la fuerza eléctrica!
(10 37 veces más pequeña). Tanto que, en muchos de
los ejemplos que veremos, despreciaremos esta interacción frente a la eléctrica.
1.c Si debido a esta fuerza eléctrica el electrón gira en
círculos. ¿A cuántos g’s (magnitud de la aceleración
de gravedad en la superficie de la tierra) equivale la aceleración normal generada por ésta fuerza?.
¿Cuántas vueltas da por segundo el electrón en torno
al protón?.
Rpta. Puesto que el electrón se mueve en círculos
en torno al protón, la aceleración normal satisface.
q2
r2
qn
rn
Figura 2.2: Principio de superposición para la fuerza eléctrica
Si llamamos r0 al vector de posición de la carga q0 y
r1 r2
rN a los vectores de posición de las demás cargas, la fuerza sobre q0 se obtiene a partir de las suma vectorial
N Kq q
0 i
F0 ∑
r̂0i
(2.8)
i 1 r0i
F electr.
F electr.
me
2 31 10
9 11 10
me an
an
O equivalentemente
2 54 a
y equivale a 2 54 10 9 8 2 59 n
8
31
22
F0
1021 veces g.
Como vimos en el curso de Mecánica de la partícula (Fisica I) cuando hay muchas fuerzas actúando sobre una partícula la acción neta sobre la partícula
(fuerza neta) se reduce a la suma vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre ella. De
acuerdo a esto, en el caso de un sistema de cargas q1 q2
qN que interactúan con otra carga q0 , la
fuerza eléctrica neta es igual a la suma vectorial de las
fuerzas que cada carga ejerce individualmente sobre q0 .
F0elec
F01
F02
F0N
(2.9)
donde hemos hecho uso que el vector unitario se puede
reescribir
r0i
r0 ri
r̂0i
r0i
r0 ri
2.2.2. Principio de Superposición
Kq q r r
∑ 0r i 0r 3 i
i
0
i 1
1022[m/s2 ]
N
(2.7)
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2.3. Campo Eléctrico
2.3.1. Noción de Campo Gravitacional y
Campo Eléctrico
En el curso de Física I vimos el campo de aceleración
g r que experimenta una partícula de masa m debido a
la atracción de la Tierra. Este era un campo con simetría
esférica (como muestra la figura).
Z
{
g
Z
X
29
Sin embargo hay que considerar que la carga eléctrica
no puede ser subdividida indefinidamente ya que hay una
unidad mínima de carga e (cuantización de la carga). De
modo que el valor más pequeño de q0 es e.
En la práctica, la magnitud de las cargas que generan el
campo son muchos más grandes que la carga de un electrón y cargas de prueba q0 no tan pequeñas como e, permiten definir correctamente el campo eléctrico en forma
experimental.
Utilizando la Ley de Coulomb, la definición de campo
eléctrico que acabamos de dar, y el Principio de Superposición, es posible escribir una expresión para el campo eléctrico creado por un conjunto discreto de cargas
q1
qi
qN en un punto P con posición r rP
Rt + Z
E r
F0
0 q0
lı́m
q0
N
qi
r̂
2 pi
1 r pi
K∑
Figura 2.3: Campo gravitacional en torno de la superficie del planeta Tierra
i
Una expresión alternativa, útil al momento de calcular el
campo de una configuración complicada de carga, es:
En dicha ocasión encontramos que se obtenía mediante
gr
F peso
m
GMT
R2T z2
3 2
r̂
(2.10)
y que cerca de la superficie de la tiera (z 0) asume el
GMT
valor aproximado g z 0
9 8r̂.
r̂
R 3
T
De la expresión anterior se ve que g es una fuerza por
unidad de masa.
De la misma manera es posible definir un campo —
que llamaremos campo eléctrico— como una fuerza por
unidad de carga.
2.3.2. Definición de Campo Eléctrico
N
i
qi r ri
3
1 r ri
K∑
E r
(2.12)
donde se ha usado que r pi r ri y r pi
r ri . Note
que, dado que estamos sumando sólo sobre las posiciones
de las partículas del sistema y no sobre la posición de la
carga de prueba, el valor del campo depende sólo de la
variable de posición r de la carga de prueba. Note también
que esta expresión pone de manifiesto que el principio de
superposición se cumple para el (vector) campo eléctrico.
2.3.3. Fuerza Eléctrica en término del Campo Eléctrico
Se define el Campo Eléctrico E creado por una disEs claro que si conocemos el campo eléctrico E r en todo
tribución de cargas en un punto arbitrario P (posición
punto r la fuerza que actúa sobre una partícula puntual de
r en que se encuentra una carga de prueba q0 ) como
carga q debida al campo es simplemente
F0
(2.11)
E r
F r
qE r
(2.13)
q0
En estricto rigor la carga q0 debe ser tan débil que,
al introducirla en un sistema de cargas, ella produzca
fuerzas muy pequeñas sobre las otras partículas del
sistema y por ese motivo no se altere las configuración de
posiciones de ellas. A una carga con estas características
se la llama carga de prueba. Matemáticamente esto se
expresa indicando que la medición se hace en el límite
q0 0.
Una observación importante es que si q 0 tanto F como
E apuntan en la misma dirección, mientras que si q 0
entonces F apunta en dirección contraria a E. Pero esto no
tiene ninguna incidencia en la forma de calcular el campo
eléctrico.
Por último las unidades de campo eléctrico son Newtons/Coulomb: [N/C].
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2.3.4. Ejercicios y Ejemplos
para evaluar el campo.
1. En el experimento de Millikan, se equilibra un ‘quanto’de carga e (ión) bajo la acción de: la fuerza
de peso mgˆ y la acción de un campo uniforme
E
E0 ˆ. Si la partícula corresponde a un protón,
¿cuál es el valor de E0 necesario para este equilibrio?.
En el caso del campo sobre la carga q se considera
la contribución de las cargas Q y Q al campo en el
punto en que se ubica la carga q. Así r rq y r1 rQ ,
r2 r Q . Queda:
E
r r r r r KQ
r r KQ a 2x̂ a 2x̂ 3 32a2aŷ ŷ
KQ a 2x̂ a 2 x̂
a 2x̂ a 2 x̂
Q a 2x̂ 3 2aŷ Qax̂
a
a
KQ 1 2x̂ 3 2ŷ
a
KQ r
Q
Rpta.
Q
3
Q
Q
3
3
F neta
ma
qe E m p g
eE0 m pg ˆ
0
0
3
E0
10
m pg e
1 02
7
[N/C]
3
2
2. Tres cargas q, Q y Q están dispuestas en los vértices de un triangulo equilatero de lado a como muestra la figura. ¿Cuál es el valor del campo que obra sobre q?. ¿Cuál es el valor del campo sobre Q?. ¿Cuál
es valor del campo sobre Q?. ¿Cuál es el valor del
campo sobre el origen del sistema de coordenadas?.
Por último determine la fuerza eléctrica que siente
cada una de las cargas.
En el caso del campo sobre la carga Q se considera
la contribución de las cargas q y Q al campo en el
punto en que se ubica la carga Q. Así r rQ y r1 rq ,
r2 r Q . Queda:
E
{
Q
3
r r KQ
r r Kq 3 2aŷ a 2x̂
3 2ax̂ a 2x̂
KQ 3 2aŷ a 2 x̂
3 2aŷ a 2 x̂
KQ a 2x̂ 3 2aŷ KQax̂
a
a
K q Q x̂ 3 q Q ŷ
2a
Kq r rq
r rq 3
Q
Q
3
3
a
3
a/2
3
{
{
a/2
3
q
-Q
2
En el caso del campo sobre el origen r 0 se considera la contribución de las cargas q, Q y Q al campo
en el origen. Así r 0 y r1 rq , r2 r Q y r3 rQ .
Solución . Consideramos las posiciones de las cargas:
rq
r
rQ
Q
a
x̂
2
3
aŷ
2
a
ŷ
2
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
y usamos
N
E
i
qi r ri
3
1 r ri
K∑
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Queda:
r
r r K Q r r r r 0 r Kq 0 r 0 r KQ
0 r KQ 0 0r r a 2x̂ Kq a 2x̂
a 2x̂ KQ
a 2x̂ KQ 3 2a3 2a KQ a 2x̂
Kq a 2x̂
a 8 a 8
KQ 3 8a3 2aŷ K
Kq r rq
r rq 3
E
Q r
Q
q
3
q
cargas valen 1 [µ C] cada una, cuando el protón está
a una distancia x 3d del origen y d 1 0 10 8
[cm]?. Grafique la magnitud del campo versus la
coordenada de posición x. ¿Dónde es máximo este
campo?.
Q
3
Q
3
Q
31
Desarrollaremos este ejemplo con 2 métodos diferentes:
Q
Q
3
Q
3
Q
3
3
Solución A. Claramente los campos, provocadas por cada
carga q, por ser de igual magnitud, al ser sumados proyectan una componente neta exclusivamente en la dirección del eje X. El ángulo θ de
proyección satisface: cos θ x d 2 x2 . De
modo que el campo neto provocado por las dos
cargas resulta (usando que q1 q2 q):
3
3
K
3
3 2
4Kq
x̂
a2
3
4KQ
x̂
a2
q1
4KQ
ŷ
3a2
d2
3. La figura 2.4 muestra dos cargas puntuales positivas
iguales y de magnitud q, que están separadas a una
distancia 2d. Sobre el eje de las X se intenta poner
un protón a distancia x.
cos θ x̂ sin θ ŷ
x2
q
K 2 2 2 cos θ x̂ sin θ ŷ
d
x
q
2K 2
cos θ x̂
d
x2
x
q
2K 2
x̂
d
x2 d 2 x2
qx
2K
x̂
3 2
2
d
x2
E0
La fuerza sobre el protón se obtiene simplemente vía F q p E.
Graficando la componente Ex se obtiene:
0.8
0.6
d
d
{
{
a2+x2
r02
0.2
0
−0.2
{
q1 = +q
Ex/(Kqe/d^2)
0.4
x
−0.4
r01
q2 = +q
−0.6
−0.8
−10
−5
0
5
10
x/d
Figura 2.5: Magnitud
Ex
Ke d 2
versus
x
d
del campo sobre el eje x de-
bido a dos cargas positivas
Figura 2.4: Campo eléctrico sobre un protón debido a dos cargas
positivas. La figura grafíca los vectores unitarios r̂01 y r̂02 .
El campo se anula si el protón está en el origen
y su intensidad es máxima a una distancia de
2
2 d del origen.
¿Cuál es el campo eléctrico que siente el protón debido a las dos cargas?. ¿Cuánto vale este campo si las
NOTA: Dibuje el vector E para distintos valores de la posición x de la carga de prueba.
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Solución B Ahora resolveremos el problema de manera
diferente. Las posiciones de cada carga son
r1
r2
y reemplazando en
2
d ŷ
i
d ŷ
2
Resulta (aquí es donde se usa que q1
xx̂ dŷ xx̂ dŷ 1
Kqi r ri
r ri 3
1
∑
E
y el protón está en r xx̂. El campo se obtiene
directamente evaluando:
r r r r 32
x2
d2
x2
d2
q)
x q dxx̂ dŷ K qx xx̂ d dŷ 2Kqd ŷ
x d K
E
2 3 2
2
2 3 2
2
2 3 2
2
de modo que la resultante neta es en la dirección vertical.
y reemplazando en
2
Resulta
i
Kqi r ri
r ri 3
1
∑
0.8
K q xx̂ d ŷ
x2 d 2 3 2
2Kqx
x̂
2
x d2 3 2
E
1
0.9
K q xx̂
x2 d 2
d ŷ
3 2
Ey/(Kqe/d^2)
E r
Graficando la magnitud de E se obtiene:
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
de modo que se recupera el resultado obtenido
anteriormente.
0.1
0
−10
−5
0
5
10
x/d
4. Demostrar que los máximos de intensidad para el
2
ejercicio anterior están ubicados en x
2 d
Componente Ke yd 2 del campo sobre el eje x versus
debido a un par de cargas (positiva y negativa).
5. Considere ahora que la carga que está sobre la parte
positiva del eje y es reemplazada por una carga de
magnitud q. Sobre el eje de las X se intenta poner
un protón a distancia x. ¿Cuál es el campo que siente
el protón debido a las dos cargas?.
La intensidad tiene un máximo en magnitud para x
0 (sobre el origen).
E
Figura 2.6:
x
d
Grafique la magnitud del campo versus la posición x.
¿Dónde es máximo este campo.?
Rpta. El desarrollo no varía respecto al ejercicio 3
excepto que ahra q1
q. Las posiciones de cada
carga son
r1
r2
y el protón está en r
tamente evaluando:
r r r r 1
2
d ŷ
6. Dos partículas de cargas q y 2q se ubican respectivamente en posiciones x
a y x a en el eje de
las X. Determine la fuerza elétrica que experimenta
una partícula de prueba de carga q0 q 2 ubicada
en:
(a) el origen.
(b) el punto (x
a,y
a).
d ŷ
xx̂. El campo se obtiene direc-
xx̂ dŷ xx̂ dŷ x2
d2
x2
d2
Solución:
(a) Para evaluar el campo eléctrico E que siente q0
debido a las 2 cargas q1 q y q2
2q usamos
la Ley de Coulomb y el Principio de Superposición:
E
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Kq1
r̂01
2
r01
Kq2
r̂02
2
r02
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en que r01 es la distancia entre la carga q0 y
q1 , y r̂01 es un vector unitario que apunta desde
la posición de q1 a q0 . Aquí r02 es la distancia entre q0 y q2 , en cuyo caso r̂02 es un vector
unitario que apunta de la posición de q2 a la
posición de q0 .
De acuerdo a la figura en este caso tenemos
r̂01 ı̂, r̂02
ı̂, y las distancias son r01
r02 a. Sustituyendo estos valores en (2.18)
queda:
33
presión (2.18) queda:
F
0
r̂02
r01
r02
1 1
x̂
2 53 2
F
rr rr rr rr r r r r 0
1
0
2
0
2
0
1
0
2
E
ax̂
r1
r2
r1
r2
r r r r 0
1
0
2
5
KQ
2L sin θ
x̂ 2
La fuerza eléctrica que ella siente es:
aŷ
Felec
KQ2
x̂
4L2 sin 2 θ
QE
fuerza de repulsión dirigida a lo largo del eje X y de
magnitud KQ2 a2 , en que a 2L sin θ es la distancia
de separación entre las cargas. Las otras fuerzas que
experimenta la partícula son la de peso: mgŷ y la
tensión T T cos θ ŷ T sin θ x̂.
ax̂
ax̂
aax̂x̂ aaŷŷ a x̂ax̂
1 2
3 2
Kq2
a2
E
Como el sistema está en equilibrio mecánico la suma
de fuerzas horizontales y verticales deben ser nula
por separados, lo que entrega dos ecuaciones:
y en consecuencia resulta
r0
r0
5 1 1 ŷ
La partícula de la derecha experimenta un campo
eléctrico debido a la carga de la izquierda de valor
Esta expresión se puede evaluar determinando
los vectores posición r0 , r1 y r2 por separado y
las normas indicadas. De acuerdo con la figura
se tiene:
r0
q0 E resulta
Rpta. Como el problema es simétrico basta estudiar lo que pasa con una esfera. En este problema hay
que considerar la acción de la gravedad.
Kq2 r0 r2
r0 r2 3
1
Kq1 r0 r1
r0 r1 3
7. Se carga dos esferas muy pequeñas con cargas
iguales Q desconocida. Cada esfera tiene masa m
0 03 [kg]. Al suspenderlas, de un hilo de un largo
L 0 15 [m], ambas —bajo la acción del peso y la
repulsión electrostática—forman un ángulo de θ
5o con la vertical. ¿Cuál es la carga Q de las esféras?.
¿Cuánto vale la tensión T ?.
la expresión (2.18) se puede reescribir:
de donde la fuerza F
(b) Dado que en este caso la partícula de prueba
está fuera del eje X (es decir hay una geometría
más complicada) conviene usar una estrategia
más poderosa. Considerando que
r̂01
x̂
Kq
K 2q
x̂
a2
a2
3Kq
x̂
a2
3 Kq2
q0 E
x̂
2 a2
E
Kq
2ax̂ aŷ
53 2 a3
K 2q
aŷ
a3
Kq 2x̂ ŷ
ŷ
a2 53 2
1
1
Kq
1 ŷ 2
x̂
a
53 2
53 2
E
2ax̂
aŷ
aŷ
a
a
K
Q2
T sin θ
4L2 sin2 θ
T cos θ mg
Reemplazando los valores anteriores en la ex-
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
0
0
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
mg
De la segunda ecuación se tiene T cos
θ , que reemplazada en la primera ecuación entrega
K
Q2
4L2 sin2 θ
Q2
mg
sin θ
cos θ
4L2 sin2 θ mg
sin θ
K cos θ
4L2 mg sin3 θ
K cos θ
4 4 10 8[C]
0 044[µ C]
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
34
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
2.4. Distribuciones Contínuas de
Carga
35
Z
r
r − r’
Y
En esta sección veremos como se tratan sistemas con distribuciones de cargas mas complicadas que las de las secciones anteriores.
Cuando hay muchas cargas en un determinado volumen
(tambien puede ser muchas cargas en una cierta superficie y/o segmento lineal) resulta conveniente definir una
densidad de carga por unidad de volumen ρ r (tal como
vimos en la sección 1.3.1):
X
r’
ρ(r)= dq
−
dv
dq
ρ r
∆Q
lı́m
0 ∆
∆
[C/m3 ]
dv
(2.18)
Figura 2.7: Campo eléctrico creado por una distribución continua
de carga en el volumen
aquí la suma considera
todas
las
cargas
dentro
del
elemen
to de volumen ∆ . La posición del elemento de volumen
es su centro y está especificada por un vector de posición
r.
De acuerdo con lo
anterior la carga neta dq de un elemen- Campo eléctrico creado por una distribución
to de volumen d
lı́m∆ 0 queda dada por:
volumétrica de carga En muchas situaciones, la
dq ρ r d
(2.19) carga eléctrica está distribuída sobre una volumen.
Entonces, conviene definir una densidad de carga
en torno al punto definido por la posición r .
volumétrica ρq de carga por unidad de volumen.
Z
r ( r ) = dq
dv
E r
Y
X
2.4.1.
Campo eléctrico creado por una distribución contínua
de carga
El campo eléctrico creado por esta carga dq sobre una
carga de prueba ubicada en r es
dE
K
dq r r
r r 3
∑q
∆
3
i i
lı́m
0 ∆ [C/m ]
(2.22)
∆ es el elemento de volumen donde reside la densidad
de carga ρq .
El campo eléctrico queda dado por:
dv
r
ρQ r
dq
(2.20)
K
r rr r ρd
3
(2.23)
Campo eléctrico creado por una distribución superficial y/o lineal de carga En muchas situaciones, la carga
eléctrica está distribuída sobre una superficie e incluso sobre una línea. Entonces, conviene definir una densidad de
carga superficial σ y una densidad de carga lineal λ , en
forma análoga a como se definió densidad de carga por
unidad de volumen.
λ r σ r
lı́m
∆S
∆Q
[C/m2 ]
0 ∆S
(2.24)
∆Q
[C/m]
∆
(2.25)
lı́m
∆
0
El campo eléctrico total, se obtiene sumando las contribu- ∆S es el elemento de la superficie donde reside la densiciones de los diferentes elementos
de carga dq que pueda dad de carga σ y ∆
es el elemento de longitud de la línea
haber en un volumen dado donde existe carga eléctrica. cargada con densidad de carga λ .
dq r r
E r K
(2.21)
r r 3
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Z
36
distribuidas. Determine la densidad superficial de
carga σ .
Y
X
r
s ( r ) = dq
ds
dq
Rpta. Ahora la misma carga Q esta distribuida uniformemente en una superficie total S 4πρ 2 (¡la superficie de una esfera!). Igual que antes hacemos el
cuociente
q
4πρ 2
σ
ds
Figura 2.8: Campo eléctrico creado por una distribución superficial continua de carga
0 24[µ C/m2 ]
3. Si depositamos la carga q anterior sobre un anillo de
radio ρ , de manera que esta se distribuye uniformemente sobre la longitud del anillo. ¿Cuál es la densidad lineal λ de carga?.
Rpta. Ahora la misma carga Q esta distribuida uni2πρ .
formemente en una longitud total Z
Y
λ
X
r
dq
dl
l ( r ) = dq
dl
Figura 2.9:
Campo eléctrico creado por una distribución lineal
continua de carga
q
2πρ
0 48[µ C/m]
4. Calcular el campo eléctrico creado sobre su eje axial
por un anillo delgado de radio ρ , con una distribución uniforme de carga λ λ0 .
Rpta. Nos aprovecharemos de un resultado anterior. Un elemento de carga dq sobre el anillo producira
un campo como el que muestra la figura.
dE1
Es evidente que el campo eléctrico producido por estas
distribuciones se obtiene de 2.21 reemplazando dq
σ dS cuando se trata de una distribución superficial y
dq λ d , en el caso de una distribución lineal.
dE2
df
dq
2.4.2. Ejercicios y ejemplos
1. Se deposita 3 [µ C] uniformemente en el interior de
una esfera de radio ρ 1 [m]. Calcular la densidad
volumétrica de carga ρq .
Rpta. Puesto que la densidad es uniforme basta dividir la carga q 3 [µ C] por el volumen total de una
4
3
esfera
3 πρ . La densidad de carga resulta:
ρq
q
4
3
3 πρ
0 7[µ C/m3 ]
2. Suponga ahora que, por la repulsión coulombiana,
las cargas del problema anterior se mueven a la superficie de la esfera, donde quedan uniformemente
dl = 2 r df
dq
r
Figura 2.10: Anillo con densidad lineal uniforme de carga.
Si en el extremo opuesto del anillo escogemos otro
elemento infinitesimal de carga dq de la misma magnitud, como vimos en los ejemplos de la sección ??,
los campos generados por cada uno de estos dos elementos infinitesimales se superponen (suman) para
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
dar una componente neta a lo largo del eje axial, y
con magnitud
dEz
2K z dq
ρ 2 z2 3
2
en que z es la distancia de donde se ubica la carga de
prueba al plano que contiene al anillo. Podemos reescribir la carga dq λ d en que d ρ d φ , siendo
d φ un ángulo infinitesimal de integración. Hasta aquí
se tiene:
π
2K z λ ρ d φ
ẑ
ρ 2 z2 3 2
0
zρ
2π K λ 2 2 3 2 ẑ
ρ
z
E
37
Reemplazando Qanillo 2πλ ρ dqanilloa a partir de
la respuesta del problema anterior (ver Ec. 2.26), se
puede obtener el campo debido a un anillo infinitesimal con carga total dqanillo es:
d Eanillo
K
2πλ ρ z
ẑ
ρ 2 z2 3 2
Rpta. Nos aprovecharemos del resultado anterior
para un anillo de radio ρ . Supondremos que dicho
anillo no es un cable delgado sino que es un cable
que ha sido aplanado y tiene un cierto ancho radial
dρ .
dqanilloz
ẑ
z2 3 2
zρ d ρ
2π K σ0 2 2 3 2 ẑ
ρ
z
K
(2.26)
5. Calcular el campo producido por un disco de radio a
que tiene densidad uniforme de carga σ σ0 sobre
su eje axial.
ρ2
Como por otro lado para nuestro disco dqanillo
2πσ0ρ d ρ se obtiene, que la contribución del anillo
al campo del disco es:
dE
La integral se hace entre φ 0 a φ π (la mitad de
la circunferencia) puesto que ya se ha incluido tanto
dq como la carga opuesta a dq en el otro extremo
del anillo (esto se hace para no contar 2 veces esta
carga).
dqanilloz
ẑ
z2 3 2
K
ρ2
Para obtener el campo total provocado por la superficie del disco de radio a integramos en la variable ρ
(radio del anillo) desde ρ 0 hasta ρ a. Es decir el
campo neto es la superposición del campo provocado por un conjunto de anillos que cubre la superficie
del disco.
a
zρ d ρ
2π K σ
ẑ
E
0
2
ρ
z2 3 2
0
a
ρ dρ
2π zK σ0 ẑ 2
z2 3 2
0 ρ
a
1
2π zK σ0 ẑ
ρ 2 z2 1 2 0
1
1
2π zK σ0ẑ
2
2
z
a z
z
z
2π K σ0ẑ
z
a 2 z2
dE
6. Evalúe el comportamiento del campo, para el problema anterior, si z a. Es decir cuando la superficie es
prácticamente infinita, o cuando una carga de prueba
está muuuuy cerca de la superficie.
dr
r
dq = s0 ds
ds = 2 p r dr
∞ se obtiene:
Tomando límite a
2π Kσ ẑ 0 zz σ ẑ 0 z 2ε
z
E
0
0
Figura 2.11: Disco con densidad superficial uniforme de carga. El
elemento de superficie es ahora la superficie dS de un anillo plano.
0
σ0
ẑ
2ε0
Si estamos en la parte positiva del eje z (y cerca
σ0
del origen) se tiene Ez
2ε , si se está en la parte
0
La carga total Qanillo λ 2πρ de dicho anillo se considera ahora distribuida uniformemente con densidad
σ0 , en la superficie dS 2πρ d ρ del anillo. luego se
tiene: dq σ dS σ0 2πρ d ρ .
negativa del eje z resulta Ez
E
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
σ0
2ε0 ẑ
σ0
2ε0 ẑ
σ0
2ε 0 .
Si z
En resumen:
Si z
0
0
(2.27)
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
38
Notar que este campo resulta independiente de la
altura z. Si la placa es infinita se puede tambíen
argumentar que por simetría este comportamiento no
cambia cuando el observador se traslada a lo largo
de la superficie de la placa.
σ0<0
Figura 2.14: El campo de una placa plana muy extensa con densidad uniforme de carga y negativa es constante y entrando de la
placa
Figura 2.12: Simetría traslacional del campo de una placa plana
con densidad uniforme de carga
La conclusión es que el campo de una distribución
uniforme de carga sobre una superficie plana, es
uniforme o homogéneo, y apuntando perpendicularmente en dirección exterior a la superficie de la placa
si la densidad de carga es positiva y hacia la placa si
la densidad de carga es negativa.
De modo que es posible generar campos eléctricos
relativamente uniformes, a partir de distribuciones de
carga uniforme, siempre que se considere una superficie muuuuy grande, o equivalenmente que las cargas de prueba que sienten el campo esten muy cerca
de la superficie cargada.
7. Distribución de carga lineal λ0 sobre un cable infinito. Campo fuera del eje.
Rpta. Primero, puesto que el cable es infinito, por
simetría de traslación, el campo vale lo mismo si se
evalúa en un puntp P o en un punto P que este desplazado una misma distancia ρ paralelamente al eje
del cable.
σ>0
0
Figura 2.13: El campo de una placa plana muy extensa con densi-
z
dad uniforme de carga y positiva es constante y saliendo de la placa
-z
{
{
dl=dz
dE2
{
dq’
r
dE1
dq ’
Figura 2.15: Simetría traslacional y rotacional del campo generado por un cable recto con densidad uniforme de carga
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Segundo, también podemos argumentar que el campo neto se puede obtener como la superposición de
pares de cargas dq que están equidistantes a la carga
de prueba, como muestra la figura.
39
y donde, para integrar, hicimos el cambio de variable
z uρ .
Se concluye que el campo que provoca un alambre infinito con densidad lineal uniforme de
carga λ0 apunta radialmente y es perpendicular al cable. Este campo vale lo mismo para
puntos que están a igual distancia ρ del cable.
Es decir la componente radial del campo E es
constante en magnitud sobre la superficie curva de un cilíndro de radio ρ , su valor dado por:
{
r
E
E
2K λ0
ρ̂
ρ
λ0
ρ̂
2πε0 ρ
(2.28)
Figura 2.16: Campo generado por dos elementos de carga simetricos en torno al origen en un cable recto.
Claramente el campo resultante de dos de esas cargas tiene su componentes contenidas en el plano
definido por el cable y el punto P (donde está la carga de prueba). Más aun, el campo que producen las
2 cargas dq es perpendicular al eje del cable, por
lo que evaluaremos para el punto P de coordenadas
xyz
ρ 00.
{
r
E
De acuerdo al resultado que habiamos obtenido pre
viamente, la contribución de las 2 cargas dq , separadas a distancia 2z , a la intensidad del campo en el
punto P recién mencionado es:
dEρ
Figura 2.17: Simetría rotacional y tralacional del campo eléctrico
en torno a un cable recto con densidad uniforme de carga.
2K ρ dq
z2 ρ 3 2
Pero la carga dq que provoca el cable viene de una
distribución uniforme dq λ0 dz , de modo que integrando entre z 0 y z ∞ se obtiene:
Eρ
∞
0
2K λ0 ρ dz
z2 ρ 3 2
∞
2K λ0 ρ dz
z2 ρ 3 2
2K λ0 du
ρ
u2 1 3 2
0
∞
2K λ0
u
ρ
u2 1 1 2 0
2K λ0
ρ
0
∞
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
2.5. Movimiento bajo un campo
eléctrico uniforme
En esta sección nos preocuparemos del como se mueve
una carga de prueba que esta sometida a la acción de un
campo eléctrico. Esencialmente aplicar la II Ley de Newton cuando la fuerza neta que actúa sobre la masa es de
origen eléctrico. Por simplicidad consideraremos el caso
de un campo electrico uniforme E E0 .
2.5.1. Ejercicios y Ejemplos
40
σ
− −0 x^
σ0 ^x
−
2ε 0
2ε 0
+
−
σ
−0 x^
σ0 x^
−
2 ε0
2ε 0
1. Se quiere estudiar el movimiento unidimensional
para los casos de un electrón, un protón y un neutrón
que se mueven horizontalmente hacia la derecha y
entran perpendicularmnte, con rapidez v0 , por un orificio pequeño de dos placas cargadas con densidad de
carga superficial uniforme σ0 (placa de la izquierda) y σ0 (placa de la derecha) que están separadas
una distancia .
=
Lo primero es determinar el campo que se genera
por las dos placas. Puesto que tienen carga de distinto signo y sabemos que el campo provocado por
una densidad de carga uniforme σ0 positiva es de
σ
magnitud 2ε0 y dirigido desde la placa cargada hacia
0
afuera, entonces concluimos que si la carga es σ0
la dirección del campo se invierte. En la región interior entre las placas las contribuciones al campo total de ambas placas se suman en magnitud, mientras
que fuera de las placas son opuestas en dirección y
en consecuencia se cancelan. En resumen en el interior entre las placas hay un campo neto de magnitud
σ0 ε mientras que afuera es nulo.
σ
ε0
− −0 ^x
Figura 2.18: Campo eléctrico generado por dos placas planas paralelas y distantes una distancia entre sí.
Para efecto del análisis consideraremos por separado
el movimiento del neutrón, protón y electrón.
Neutrón Este caso es el más sencillo. Puesto que la
carga del neutron es nula el neutrón no experimenta
fuerza alguna debido al campo eléctrico. Mantiene
su velocidad y por lo tanto atraviesa limpiamente de
un lado a otro lado entre las placas. Se demora:
∆t
v0
Protón Este es el caso más complicado. Puesto que
la carga del proton es positiva, la fuerza electrica que
él experimenta tiene el mismo signo del campo: contra la dirección de la velocidad v0 v0 x̂ inicial. Es
decir, si el protón no va demasiado rápido, es posible
que se detenga a una distancia d antes que llege
a la placa con carga positiva. Si la rapidez v0 excede
un cierto valor —que debemos determinar— el protón no se alcanza a detener y llega a la segunda placa con alguna rapidez v f a determinar (por supuesto
menor que la inicial).
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
La ecuación de movimiento entrega una aceleración
de frenado constante dada por:
F elect
mp
at
con solución:
q pE
mp
vx t
v0
eσ0
x̂
m p ε0
a 0t
1 2
at
v0 t
2 0
xt
a0 x̂
(2.30)
0 max
d
0
v0tmax
1 v20
2 a0
0
1 2
at
2 0 max
v0
v0
a0
1
a
2 0
av 2
0
0
v20 m p ε0
2eσ0
Debemos chequear acaso la partícula se detiene o no
antes de llegar a la otra placa (d ). Usando lo anterior la condición d queda:
v20 m p ε0
2eσ0
v20
a rf
eσ
Luego v f
v20 a0 . El tiempo t f que emplea en
recorrer la distancia se obtiene exiguiendo v f
v 0 a 0t f :
v at
0
v a . Reemplazando este valor en
sigue que t
la función itinerario x t resulta
max
a0 x̂, con a0 me ε0 (note que ahopero ahora a t
0
ra figura la masa del electrón en la expresión para la
magnitud de la aceleración).
La condición para que se detenga en d al cabo de un
tiempo tmax es: vx tmax
0. De donde usando
0
v2f
eσ0
x̂
m p ε0
eσ0
m p ε0 .
y luego a0
Electrón En el caso del electrón por ser este de carga negativa, la fuerza apunta en contra del campo, es
decir a la derecha y en la misma dirección que la velocidad. El electron no se frena y llega a la placa con
una rapidez que esta dada nuevamente por
(2.29)
en que la aceleración a es:
a
41
y entrega
eσ0
1
m p v20
2
ε0
Es decir la energía cinética del proton debe ser menor
que una cierta energía umbral de valor eσ0 ε0 .
tf
vf
v0 a 0
v20
v0
a0 t f
en que t f se obtiene resolviendo la ecuación x t f
, es decir resolviendo:
1 2
v0 t f
a t
2 0 f
Una forma más simple de calcular v f es usar la
relación
v2f v20 a r f
Resulta: v f
v20
a0 v0 a 0
2. Evalue los resultados anteriores suponiendo σ0
0 3µ [C/m2 ], =3[cm], y determine cúanto es la energía cinética mínima para que el protón llege a la
placa.
3. Se quiere estudiar el movimiento de un electrón que
entra con rapidez v0 paralelamente a 2 placas con
cargas σ0 y σ0 y a mitad de distancia entre ellas.
Si la separación entre las placas es 2a, y el largo de
las placas , ¿con qué rapidez (mejor si determina la
energía cinética) debe lanzarse el electrón) para que
pase justo rasante por el extremo de una de las placas?. ¿con qué ángulo de deflexión sale el electrón?.
NOTA: esto es parte del principio de funcionamiento
de una pantalla de televisor. Si ud controla la cantidad de carga entre las placas, entonces ud. controla a
que punto de la pantalla del televisor va a chocar un
electrón del tubo de rayos catodicos (CRT) del televisor.
− σ0
Si la energía cinética del protón es mayor que la energía umbral recien calculada el proton llega a la placa con una rapidez no nula y de valor:
vf
σ
E = − y^
ε
0
0
θ
σ
0
Figura 2.19: Deflexión de una carga al moverse en el deflector de
un tubo de rayos catódicos.
Rpta. Se tiene un campo eléctrico uniforme
a0 .
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
E
σ0
ẑ
ε0
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
y despreciamos el campo gravitacional.
La aceleración queda dada por
F0
me
qq E
me
a
eE
me
eσ0
ẑ
me ε0
El movimiento es tipo parabólico con aceleración
eσ
uniforme de magnitud a0 me ε0 . El itinerario es:
0
x
v0 t
y
d
1 2
at
2 0
El electrón llega a x para t v0, y en ese intervalo de tiempo cae una distancia d, llegando a y 0
1
a
2 0
0
d
d
1 2
a
2 0 v20
v 2
0
de donde sigue que la energía cinética necesaria es:
1
me v20
2
1 eσ0 2
4 ε0 d
El ángulo de deflexión se obtiene a partir de las componentes de velocidad vy y vx para cuando llega al
borde ya que
vy
tan θ
vx
Para t
resulta
v0 se tiene vy
tan θ
a0 t
eσ0 me ε 0 v 0 ,
y vx
v0 ,
eσ0 ε me v20
y nuevamente en esta expresión figura en el cuociente la energía cinética inicial del eletrón.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
42
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
2.6. Ley de Gauss
En esta sección estudiaremos un resultado matemático importante basado en la dependencia con el inverso
del cuadrado de la distancia para la Ley de fuerzas de
Coulomb. Este resultado, conocido como Ley de Gauss
para el campo eléctrico, nos permitirá, para el caso de distribuciones geometrías de carga que exhiben fuerte cierta
simetría espacial, calcular la intensidad del campo E como función de la posición.
La Ley de Gauss se apoya en una noción importante, la de
flujo de un campo vectorial.
43
donde hemos introducido la densidad de masa ρm nm
(masa por unidad de volumen).
Del mismo modo, si cada partícula lleva una carga q, el
flujo de carga, i.e. la carga por unidad de tiempo o corriente que cruza la superficie estará dada por:
∆Q
∆t
φq
nqvA
ρq vA
donde hemos introducido la densidad de carga ρ nq
(carga por unidad de volumen).
Cuando la superficie está oblicua en un ángulo θ en
relación a la dirección de v debemos considerar, no un
cilindro recto, sino un cilindro oblicuo,
2.6.1. Flujo de un campo vectorial
Entendemos por flujo la cantidad de “algo” que cruza una
superficie por unidad de tiempo. Tomemos el caso de una
superficie A, como muestra la figura, sobre la cual inciden, atravesándola, partículas de un gas que se mueven
con rapidez v perpendicular ala superficie. Si consideramos un cilindro imaginario de largo L, es claro que todas
las partículas que están en su interior cruzan la superficie
A en un intervalo de tiempo ∆t, tal que L v∆t.
"! "! "! Area A
nvA∆t
Si adicionalmente la masa m de cada partícula es conocida, entonces la masa ∆M total que cruza resulta
∆M
nmvA∆t
φm
ρm vA cos θ
ρm v A n̂
en que hemos introducido la dirección n̂, perpendicular a
la superficie A (ver figura)
Si el número n de partículas por unidad de volumen
(densidad de número) es conocido, se puede calcular el
número ∆N total de partículas que cruzan la superficie en
el intervalo ∆t. Este es:
nLA
Area A´
de modo que el volumen del cilindro quda expresado por
LA , donde A es la proyección de la superficie respecto
de la dirección de v. Puesto que tal proyección vale A
A cos θ , el flujo (de masa por ejemplo), se escribe ahora
L=vt
∆N
$##$ )&( )&( )(
Area A
%&%&%&%&''&%'&% %&''&%'&% %&''&%'&% %&''&%'&% %''%'%
%&%&%&'&%'&%'&% '&%'&%'&% '&%'&%'&% '&%'&%'&% '%'%'%
%%&&%&'&'&%%'&% '&'&%%'&% '&'&%%'&% '&'&%%'&% ''%%'%
*&%%%&*&'%+'%'&% *'&%+'&%'&% '&%'&%'&% '&%'&%'&% '%'%'%
%&%%&&'&%'&'&%% θ '&%'&'&%% '&%'&'&%% '&%'&'&%% '%''%%
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,.,.,.,.....,.,
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.
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,
..,.,
,.,.,...,
,
,
.,.,.,
,.,,.,
,
..
.
θ .,, .,.,...,.,
,.,..,,.,-.,.,
,
...,
,.,., ., ., .,.,
.,-,.-
v
θ
ρm vA∆t
de modo que el flujo de masa φm , i.e. la masa por unidad
de tiempo que cruza la superficie es:
Del mismo modo, el flujo de carga queda φm
φm
∆M
∆t
n
ρm vA
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ρq v An̂.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Flujo saliente y entrante
44
la integral de superficie
Dirección asociada a n̂ Es claro que un vector unitario
φE E d S E n̂dS
n̂, perpendicular a una superficie tiene 2 direcciones posibles. Cuando consideramos el flujo en una superficie cer2
rada, definimos que la dirección del vector n̂ será siem- Las unidades del flujo de campo electrico son: [Nm C].
pre la que corresponda a la normal exterior a la superficie
(apunta hacia afuera).
Ejercicios previos
De acuerdo a esto existe la posibilidad de tener flujos
E0 dx x̂.
salientes o entrantes, tal como lo indican las superficies 1. Considere un campo que varía según E
Obtenga el flujo por: (a) una superficie paralela al
de la izquierda y derecha de la figura donde se tiene,
plano
YZ, ubicada en x d y orientada segun n̂ x̂;
a la derecha, An̂ v 0 (flujo saliente) y a la izquierda
(b)
Repita
su cálculo para la misma superficie pero
An̂ v 0 (flujo entrante).
x̂.
orientada según n̂
2. Considere el flujo del campo anterior sobre una superficie paralela al plano XY.
^
n
^
v
^
n
-^
n
2.6.2. Flujo del Campo Eléctrico
Para el campo eléctrico es posible tambien definir un “flujo” imitando los resultados de las secciones anteriores. Se
define el flujo de E por una superficie plana An̂ como el
producto:
φE E An̂
3. Considere ahora un campo que varía según E
E0 dxy2 x̂. Obtenga el flujo por: (a) una superficie paralela al plano YZ, ubicada en x d y orientada segun
n̂ x̂.
2.6.3. Ley o Teorema de Gauss
Esta ley, establece que el flujo del campo eléctrico sobre
una cierta superficie cerrada, es proporcional a la carga
encerrada por dicha superficie. La constante de proporcionalidad es 1 ε0 (o equivalentemente 4π K). La Ley de
Gauss se escribe:
E d S Qencerrada
Si la superficie tiene una forma cualquiera, se generaliza
ε0
la definición anterior, discretizando la superficie en elementos de superficie ∆Si ∆Si n̂i , y sumando las contribuDemostracisn. La demostración se apoya en el teorema
ciones de flujo de cada elemento de superficie:
de la divergencia, aplicado al campo de una carga puntual.
Primero observemos que una carga puntual ubicada en el
DSi= n^iDSi
origen de un sistema de coordenadas genera un campo
eléctrico con divergencia nula (excepto en r 0 donde
DSn= ^nnDSn
DS1= ^n1DS1
la divergencia queda indeterminada)
1 ∂
1 sin θ Eθ
1 ∂ Eφ
r2E
r
r2 ∂ r
r sin θ ∂ θ
r sin θ ∂ φ
Kq
1 ∂
r2
0
si r 0
r2 ∂ r
r2
∇ E
Esto mismo ocurre en el caso de que la partícula se encuentre ubicada en un punto r cualquiera. Aquí se tiene
φE
∑ Ei
∆S i
i
En el límite ∆Si 0 y número de elementos de superficie
tiende a infinito, el flujo total del campo se expresa como
E r
r y r y ŷ z z ẑ
Kq r r
r r 3
Kq x x x̂
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
3
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
La divergencia resulta:
rx rx ∂
z z
∂z
r r ∇ E
Kq
∂
∂x
∂
∂y
3
3 x x Kq
r r r 1r 3 y y r r r 1r 3 y y r r r 1r 3 r r r r r 3r ry ry 45
sulta
E dS
3
S
3
2
5
3
2
5
2
3
2
5
Kq
δ̂ n̂dS
S δ2
Kq
S
δ 2 δ̂
Kq
δ̂ dS
dS
S δ2
Kq dS
δ2
Kq
4πδ 2
δ2
4π Kq
q
ε0
3
5
3
Lo que demuestra el teorema para el caso de una partmcula.
Así, al integrar el flujo del campo eléctrico (generado por Si se tiene varias partículas, se usa el principio de superuna partícula de carga q ubicada en r ) sobre una superfi- posicisn
E E1 E2
EN
cie S con forma cualquiera que encierra una carga q, pero
tal que su volumen tiene un hueco esférico de radio δ (con y se calcula el flujo total como (al lado derecho las supersuperficie asociada S ) que excluye a la carga q, se obtiene ficies S corresponden a circulos de radio δ
0)
i
(por el teorema de la divergencia y ya que el volumen no
incluye a r ):
E dS
E dS E dS
E dS
N
1
2
0
∇ E
S
S
E dS
S
E dS
0
E dS
S
S
S
S
S1
q1
ε0
q1
E dS
E dS
S2
q2
ε0
q2
ε0
q
SN
qN
ε0
N
Qencerrada
ε0
Z
lo que completa la demostración del teorema.
Y
X
r
Aplicación práctica de la Ley de Gauss
‘
S’
La Ley de Gauss resulta útil para determinar el campo
eléctrico en todo el espacio, en situaciones en que la densidad de carga presenta simetría sencilla.
q
2d
S
Para evaluar
carga q es
S E
1. Carga puntual q. Usar la Ley de Gauss para determinar la intensidad del campo electrico en todo el
espacio.
d S usamos que el campo en torno a la
E
Kq
δ̂
δ2
y que la superficie S tiene normal exterior n̂
δ̂ . Re-
Solucion: El campo eléctrico presenta simétria esférica. Es decir la magnitud E
E del campo
toma el mismo valor sobre puntos de una superficie que está a una misma distancia r en cualquier
dirección respecto a la carga. Esto quiere decir que
el campo eléctrico tiene la forma E E r n̂. La integral de flujo sobre una superficie esférica de radio
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
r (superficie gaussiana) queda:
E dS
dro. Se tiene
E dS
E r n̂ dSn̂
E ρ dS
E r 4π r2
E ρ 2πρ L
en que hemos usado que la superficie de la esfera
(integral total sobre la superficie de una esfera) es
4π r2 . El flujo recién calculado debe ser igual a q ε0
(ya que la carga encerrada por la superficie gaussiana
es q) de donde igualando y despejando E r sigue:
E ρ n̂ dSn̂
E r dS
E r
46
q
4πε0 r2
Kq
r2
Sin embargo de acuerdo a la Ley de Gauss, este flujo
debe ser igual a la carga neta encerrada (λ L) dividida
por ε0 . De esta igualdad resulta
λL
2πρε0L
E ρ
λ
2πε0 ρ
que es la expresión que ya conociamos para este
problema.
expresión que ya conociamos a partir de la Ley de
Coulomb.
2. Línea infinita con densidad de carga uniforme λ . Usar la Ley de Gauss para determinar el campo en todo
el espacio.
3. Plano infinito delgado con densidad superficial uniforme σ0 . Calcular el campo eléctrico en todo el espacio usando la Ley de Gauss.
E(z)
n
z{
-z
Q=A s 0
{
n
E(-z)
{
r
E
Solución: El campo eléctrico presenta simetría
cilíndrica. Es decir la magnitud E toma el mismo valor sobre los diferentes puntos de la superficie de un
cilindro concéntrico al cable. Para aplicar el teoréma
escogemos una superficie gaussiana que es un cilindro finito (con tapas) de largo L y radio ρ concéntrico
al cable con carga. Claramente no hay contribución
al flujo en las tapas, pues allí el campo es perpendicular a la direccion n̂ de la superficie de las tapas. La
única contribución al flujo viene del manto del cilin-
Solucion: Debido a la simetría de la configuración
de carga, el campo eléctrico presenta la simétria del
plano. De acuerdo a esta simetria el campo en la
región superior tiene orientación perpendicular al
plano mientras que el campo en la región inferior
tiene dirección también perpendicular al plano cargado, pero opuesta a la dirección del campo en la
región superior.
Para calcular el campo eléctrico escogemos una superficie gaussiana de integración constituida por un
cilindro plano cuyas tapas superior e inferior estan a
igual distancia del plano con carga. El manto de este
cilindro tiene la normal n̂ de su superficie perpendicular al vector campo electrico luego no hay contribución al flujo de esta superficie y la única contribución viene de las tapas superior e inferior (cada una
de área A). El flujo resulta:
E dS
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AE z
AE
z
2E z A
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
y donde hemos usado que las magnitudes de E arriba
y abajo, a la misma distancia z, son iguales.
Por otro lado la carga encerrada por este volumen es
toda la carga contenida en el área A de la superficie
que intersecta el cilindro: Qencerrada σ0 A. Aplicando la Ley de Gauss queda:
σ 0 A ε0
2E z A
de donde se obtiene que el campo tiene intensidad
σ0
E
2ε0 constante (independiente de la altura z respecto del plano), resultado que ya conociamos.
4. Volumen esférico de radio a con densidad volumétrica uniforme de carga ρ0 . Determinar el campo en el
interior y exterior de la esfera.
47
(i) distancias r a. La carga neta encerrada por
la superficie de radio r vale:
4
ρ0 π r 3
3
q
de modo que la Ley de Gauss queda:
E r 4π r2 ρ0 34 π r3 ε1 , de donde sigue
0
intensidad del campo que aumenta linealmente
con la distancia r.
(ii) distancias r a. La carga neta encerrada por
la superficie de radio r vale:
q
4
ρ0 π a3
3
de modo que al aplicar la Ley de Gauss queda:
E r 4π r2 ρ0 34 π a3 ε1 , de donde sigue
r
r
a
a
1 ρ0 r
3 ε0
E r
0
1 ρ0 a 3
3 r 2 ε0
E r
(i)
(ii)
Solucion: Separaremos el análisis en 2 partes: (i)
distancias r desde el centro de la esfera que sean
menores que el radio a de la esfera y (ii) distancias r mayores que a. El cuidado que se tendrá al
aplicar la Ley de Gauss es que para r a la carga
neta encerrada por la superficie gaussiana de radio r
es una fracción de la carga total en la esfera de radio
a, i.e., Qencerrada Qtotal 4 3π a3ρ0 , mientras que al
aplicar la Ley de Gauss a la superficie con r a se
debe tener en cuenta que toda la carga de la esfera
de radio a esta encerrada por la superficie gaussiana
esferica de radio r.
intensidad del campo que disminuye inversamente con el cuadrado de la distancia r. NOTA:
observar que si no se reemplaza q ρ0 43 π a3 se
obtiene:
q
E r
4πε0 r2
que es la misma expresión del campo que entrega una carga puntual ubicada
Propuesto. (desarrollado en clases) Considere
un cascarón esférico hueco de radio interior a
y radio exterior b con densidad volumétrica de
carga ρ0 . Determinar el campo en el interior y
exterior del cascarón.
Por otro lado ya vimos que para una superficie gaussiana esferica, cuando el campo eléctrico exhibe
simetría esferica, la integral de flujo de E vale:
E dS
E r 4π r2
por lo que solo debemos preocuparnos de calcular la
carga neta encerrada en cada caso e igualar con el
flujo dividiendo por ε0 . Se tiene:
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
ρ=0
ρ=ρ0
ρ=0
b
a
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Indicación: Considerar superficies gausianas
esféricas separando el análisis en 3 partes: (i)
distancias al origen r menores que a, (ii) r entre
a y b y (iii) distancias r mayores que b. en r 0.
Propuesto. Considere para el problema anterior el límite b
a, pero tal que la carga en el
cascarón permanece constante y de valor total
Q σ0 4π a2. Determine E r en el interior y
exterior de la superficie cargada.
ρ=0
Q=4 π a 2 σ 0
ρ=0
a
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
48
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
2.7. Potencial Eléctrostático
2.7.2. Existencia de la función potencial
eléctrico V
Hemos estudiado hasta aquí el cómo se generan los campos eléctricos y las fuerzas que estos realizan sobre las
partículas. Una pregunta que naturalmente viene a continuación es la del trabajo asociado a esa fuerza, es decir el
trabajo eléctrico.
2.7.1. Campo eléctrico es conservativo
La observación importante aquí es que el campo eléctrico es conservativo. Es decir el valor del trabajo no varia
independiente de que camino describa la partícula para ir
de un punto A a un punto B, o en otras palabras el trabajo
sobre un camino cerrado de la fuerza eléctrica es nulo.
Veremos que efectivamente esto es así. Si consideramos
que
F dr
q
q
E dr
49
Como vimos en el capítulo de analisis vectorial, el hecho
que el rotor del campo E sea nulo quiere decir que existe
un campo escalar V tal que E
∇V . Dicho campo V
se denomina potencial eléctrico. Nos dedicaremos en lo
que sigue a la obtención de una expresión explicita para
evaluar dicho campo.
2.7.3. Potencial eléctrico y energía potencial
eléctrica
Evaluemos el trabajo sobre una carga puntual q0 :
q0 E d r
WBA
rr rr N
q0 ∑ Kqi ∇ E dS
i 1
donde hemos usado el teorema de Stokes, y evaluamos el
rotor del campo eléctrico para
N
∑ Kqi
E
i 1
rr rr r
q0 ∑ Kqi WBA
3
i 1
N
encontramos
r ri
r ri
∑ Kqi ∇
∇ E
q0 ∑ Kqi N
i 1
N
∑ Kqi ∇
i
i
i
3
N
WBA
r r
y
∇
∇ r
i
r 1r i
3
3
0
rr rr 5
como vimos en una de las Tareas. De aquí sigue el resultado importante que
∇ E
N
∑ Kqi r
i 1
ri
r r
r r q0 ∑ Kqi
i 1
0
en el último paso hemos usado que A A 0
1
du
u2
u1 uB
uA
N
q0 ∑ Kqi
i 1
r 1 r N
∆BA q0 ∑
i 1
i
U r
(ver nota:2 ). Es decir el campo electrostático es conservativo.
Esta propiedad es muy importante de modo que destacaremos este resultado en recuadro:
2 NOTA:
du
3
i
B
A
Kqi
r ri
La expresión (campo escalar)
i
9
∇ E
i 1
N
i
i
q0 ∑ Kqi Expresión que se puede evaluar usando los resultados:
∇
ri resulta
expresión que podemos evaluar en coordenadas esféricas
(d u duû ud θ θ̂ u sin θ d φ φ̂ ) para obtener:
3
i
dr
i 1
3
1
û d u
u2
i 1
3
r r r 1r r r ∇ r 1r i
uu
N
i
i
haciendo el cambio de variable u
i
(2.31)
N
q0 ∑
i 1
rKq r i
(2.32)
i
se conoce como energía potencial eléctrica.
Si se introduce la cantidad V tal que U q0V se obtiene
el campo escalar
V r
N
∑
i 1
rKq r i
i
que se conoce como el potencial eléctrico.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
(2.33)
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Las unidades del potencial eléctrico serán las de energía
dividida por carga:
V
U
q
Joule
Coulomb
0
B
UA
A
a) El potencial eléctrico que provoca el protón sobre el electrón en la situación inicial A
b) El potencial eléctrico que provoca el protón sobre el electrón en la situación final B.
c) La diferencia de potencial ∆BAV y el trabajo,
que hace la fuerza eléctrica sobre el electrón
para mover este desde la situación A hasta la
situación B.
d) Evalúe la energía potencial eléctrica en la
situación A y en la situación B, y determine con
ello la diferencia de energía potencial eléctrica
∆BAU.
Solución: Escogemos un sistema de coordenadas
en que el protón esta en el origen del sistema de coordenadas.
En la situación inicial A se tiene r re y r1 0 de
modo que r r1
rA 10 10 [m]. El potencial
resulta:
14 4[Volts]
En la situación final B se tiene r ∞ y r1
modo que r r1
∞. El potencial resulta:
VB
Kq p
rA
Ke2
rA
qV luego:
eVA
0
Ke2
rA
A
Ke
rA
eVB
0 BA
1. Si un electrón (que inicialmente estaba ligado a un
protón a distancia rA 10 8 [cm], se separa de éste
alejándose hasta que la separación final es rB ∞.
Evalúe:
Kq p
rA
UB
2.7.4. Ejercicios
VA
Ke
rA
La energia potencial eléctrica es U
es decir de acuerdo a esto el trabajo sobre una carga q0 es
la diferencia de potencial eléctrico, con signo cambiado
y multiplicada por el valor de la carga que sufre dicho
trabajo.
e qe ∆BAV
q ∆ V
V r q V V ∆BAU
q0 V rB
La diferencia de potencial es: ∆BAV
VB VA
Ke
,
luego
el
trabajo
que
hace
el
campo
eléctrico
rA
sobre el electrón es:
WBA
Joule
unidad que abreviamos Coulomb
1 Volt 1 V .
El trabajo eléctrico se puede escribir entonces:
WBA
50
0
0 de
2. Un electrón se mueve entre los extremos A y B de un
enchufe. La diferencia de potencial entre los dos extremos del enchufe es 220 [Volts]. ¿Cuál es la diferencia de energía eléctrica que experimenta el electrón?.
qV de
Solución: Nuevamente usamos que U
donde sigue ∆U q∆V , resulta
∆U
e∆V
3 52 10
17
[Joule]
3. Considere el potencial eléctrico que un disco plano
de radio a y carga total Q 2q distribuida uniformemente sobre su superficie, genera sobre una partícula
de carga q0
q ubicada en el eje axial del disco.
Este está dado por:
2π K σ0
V z
z2
a2
z
Si la partícula, inicialmente a distancia 2a, se encuentra en reposo, ¿Con qué energía cinética llegaría a tocar el plano del disco?. Evalúe para el caso
q 0 001 [µ C] y a 0 1 [m].
Solución Usamos que el trabajo y la energía cinétineto
∆BA Ec . Por otro laca se relacionan mediante WBA
do WBA
∆BAU en que U es la energía potencial
eléctrica. Luego sigue que ∆BA Ec WBA
∆BAU
q0∆BAV de donde
Ecfinal
Ecinicial q0∆BAV
0 q0 VB VA
q 2π K σ0
2a
2
2qπ K σ0 3a
a2
2a 5a
3a 2qπ K 2q π a2
4Kq2
3
a
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
a2
5
5a
10
2 75
7
[Joules]
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
4. Considere el sistema de 2 cargas q ubicadas sobre
el plano XY en coordenadas x 0 y d y x
0y
d , que estudiamos en la sección de campo
eléctrico. La fuerza sobre una carga de prueba q0 q
ubicada sobre el eje de las x y a distancia x del origen
está dada por:
F
q0 E
2Kq2 x
x2 3 2
d2
x̂
B
F dr
A
4d
2Kq2 x d 2
d
d2
1
2d
1
2
2Kq2
2Kq2
d
x2
x
1
2Kq2
3 2
dx
4d
2
de donde:
WBA
d
1
17d
1
17
b) Si la carga de las partículas corresponde a la
de un electrón, ¿Cuál sería la ganancia de energía cinética que experimenta el eléctrón para
ir desde x 0 hasta x ∞?. Evalúe considerando d 10 10 [m].
Kq
d 2 x2
La diferencia de potencial ∆BAV se obtiene evaluando:
V xB
V xA
2Kq
2
2
17d
d
4d
2Kq
2Kq
2d
d2 d2
dando:
∆BAV
2Kq
d
1
17
1
2
∞ da: W∞ 0
2Kq2
d
a) Calcular el potencial que sentiría una carga de
prueba ubicada en el centro del triángulo.
b) Calcular el potencial que siente una de las
partículas ubicadas en uno de los vértices, debido a las otras dos partículas (NOTA: es decir
la contribución al potencial sobre la posición en
que se encuentra una de las partículas debido a
las otras dos partículas).
d) Si una partícula de prueba q0 ubicada inicialmente en el centro del triangulo se desplaza
hasta infinito. ¿Cuánto sería la variación de potencial que ella experimenta?. ¿Cuánto seria la
variación de energía potencial que ella experimenta?. ¿Cuánto sería el trabajo que hacen entonces las tres partículas de la configuración triangular sobre la carga q0 ?.
Solución: La distancia entre los vértices y el centro
es: 33 a. Las tres cargas están a la misma distancia y
tienen el mismo signo, por lo que contribuyen con
el mismo valor del potencial. El potencial generado
sobre la carga de prueba sería:
2Kq
d 2 x2
2Kq
1
17
5. Tres cargas iguales, de valor q, se ubican en los
vértices de un triángulo equilatero de lado a.
V
Kq
d 2 x2
verificándose el resultado obtenido por integración.
Solución El potencial sobre el eje está dado por
1
2
c) Calcular el potencial que generan cada una de
las partículas en un punto ubicado en infinito.
a) Determine el potencial V x que generan las
dos partículas sobre el eje x, calcule la diferencia de potencial ∆BAV y con esto verifique que
el trabajo WBA
q∆BAV efectivamente recupera el resultado recién obtenido.
V x
2Kq2
d
q∆BAV
El trabajo entre x 0 y x
4 6 10 8 [Joules].
El trabajo que hace esta fuerza sobre la partícula de
prueba si ella se mueve desde la posición inicial xA
d hasta la posición final xB 4d está dado por:
WBA
51
3
q a
K
9 Kq
3 a
3
3
El potencial que siente una carga ubicada en un vértice se debe a las dos restantes partículas. Esto es:
V
2
K
a q 2 Kqa
En el infinito cualquiera de las partículas genera un
potencial nulo ya que V∞ K ∞ q
0.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Si la partícula se desplaza del centro hasta el infinito
se tiene:
∆V
V∞
9 Kq
3 a
52
W
∆U K σ0 ρ d ρ d θ
2π
0
q0 ∆V
a
9 Kq
3 a
∆U
rKdq r V z
ρ2
0
2π K σ0 9 Kqq0
3 a
q ∆V 0
0
2π K σ0
9 Kqq0
3 a
z2
ρ
ρ 2 z2
a
ρ2
z2
2π K σ0
z2
a2
a
0
z
2.7.5. Potencial asociado a una distribución
Si usamos que E
∇V podemos reobtener el campo
contínua de carga
eléctrico a lo largo del eje axial. Se tiene
Tal como vimos en la sección de campo eléctrico generado por una distribución continua de carga aquí tambien se
puede generalizar la expresión
N
∑
V r
i 1
donde hemos usado que z z
z 0.
(2.34)
Potencial generado por un anillo circular de radio a
con distribución uniforme de carga λ0 sobre su eje axial: Aqui se considera dq λ0 dl λ0 a d φ , y se tiene
r zẑ, r
aρ̂ , de donde r r
a2 z2 . La integración es trivial
rKdq r V z
2π
K λ0 a d φ
a2
2π aK
a 2 z2
0
z2
Si usamos que E
∇V podemos reobtener el campo
eléctrico a lo largo del eje axial. Se tiene
E
∂V
ẑ
∂z
2π aKz
2
a z2 3 2
∂V
ẑ
∂z
rKdq r 2π K σ0
Kqi
r ri
para considerar sumas sobre infinitesimales dq. Se tiene:
V r
E
Potencial asociado al disco plano con densidad uniforme sobre su eje axial: Se considera la carga dq sobre un elemento de superficie del disco: dq σ0 dS
σ0 ρ d ρ d φ , y se tiene r zẑ, r ρ ρ̂ , de donde r r
ρ 2 z2 .
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
z
a2
z2
1 si z
z z
1 si
0yz z
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
53
Z
Potencial generado por un segmento de cable curvo
semicircular de radio a con densidad uniforme λ0 sobre el centro del semicírculo:
|| r − r´ ||
Y
r
θ
a
q=p
2
a dq
q
X
ds
q=-p
2
rKdq r V r
V z
Kdq
r r
π 2 Kλ a dθ
0
a
π 2
πλ0 K
Aquí sólo se conoce el potencial en un punto de modo
que no es posible aplicar E
∇V para obtener el campo
eléctrico en dicho punto.
Potencial en todo el espacio generado por un cascarón
esférico con densidad superficial uniforme Usamos
coordenadas esféricas. Nos aprovechamos que el potencial tiene simetría esférica luego sólo depende de la variable r y no de la variable θ ni de la variable φ por lo que
podemos escoger una posición conveniente de la posición:
r rẑ. La posición sobre la cual integramos es: r
ar̂.
Como sigue de la figura la distancia entre estos puntos
satisface:
r r 2
r
r2
2
r
a2
2r r
2ra cos θ
a2 2ra cos θ
K σ0 a2 sin θ d θ d φ
r2
K σ0 dS
a cos θ x̂ a sin θ ŷ.
λ0 a d θ . El potencial
De acuerdo a la figura r 0 y r
Se tiene r r
a. dq λ0 dl
resulta:
σ0 dS
La carga infinitesimal está dada por dq
σ0 a2 sin θ d θ d φ . Se tiene
r2
K σ0 a2 0
2ra cos θ
sin θ d θ d φ
2
0
r
a2 2ra cos θ
a2
2π
π
Hacemos el cambio u r 2 a2
2ra sin θ d θ de donde sigue:
V r
2ra cos θ . Se tiene du
2π K σ0a2 du
2ra
u
2π K σ0a du
r
2 u
2π K σ0a
u
r
2π K σ0a
r2 a2 2ra cos θ
r
2π K σ0a
r2 a2 2ra
r
r2
a2
π
0
2ra
r a
a 2a2r rr aa
2π K σ0a
r a2
r
2π K σ0a
r a
r
r
2π K σ 0 a
r
2π K σ 0 a
r
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
2
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
y finalmente
4π K σ 0
r
a2
KQ r r
4π K σ0a KQ a r
V r
54
El valor V0 V r0 es, en general, un potencial de referencia respecto del cual se mide el potencial en otros puntos del espacio. Se acostumbra escoger V0 0 en r0 ∞.
Pero en ciertos casos (simetría cilindrica) se escoge mas
bien r0 ∞.
a
a
Observemos que este resultado muestra que afuera del
cascarón el potencial se comporta igual que el potencial
de una ésfera puntual cuya carga total Q σ0 4π a2 estu- 2.7.7. Aplicación a la obtención del potencial en todo el espacio
viera concentrada en el origen del sistema de coordenadas.
Por otro lado en el interir del cascarón se tiene que el poPotencial generado por un cable recto infinito con dentencial resulta constante.
sidad de carga uniforme λ0 . Habiamos obtenido, vía
integración que
Campo eléctrico dentro y fuera del cascarón esféri2K λ0
E
ρ̂
co: Una consecuencia importante del resultado anterior
ρ
es que el campo eléctrico en el interior del cascarón es
Por simetría podemos argumentar que el potencial en conulo ya que E
∇V 0, mientras que afuera se tiene
ordenadas
cilíndricas no depende ni de z ni de φ . El poten∂V r
KQ
r̂. En resumen:
E
∇V
∂r
r2
cial en todo el espacio está dado, entonces, por la integral
KQ
r̂
r2
E r
r
r
0
a
a
V ρ
2.7.6. Relación entre el campo eléctrico y el
campo potencial eléctrico
Hemos visto ya que E
es la que sigue de W
∇V . Otra relación importante
∆U. Esto es:
∆BAU
WBA
F dr
q E dr
de donde se obtiene:
∆BA
q∆BAV
V q∆BAV
(2.35)
VA
VB
q
VA
B
E dr
V0
2K λ0 ln
V0
z
0
z
V0
V0
2π K σ0 V0
2π K σ0
V0
2π K σ0
0
V r
0
z
0
E dr
A
r
E dr
ρ0
2π K σ0
B
Si el punto inicial A corresponde a una posición r0 y el
punto final B a una posición cualquiera r se obtiene:
q
ρ
2π K σ0
V ρ0
2K λ0
ρ̂ d r
ρ
2K λ0
dρ
ρ
ρρ z
V0
2π K σ0
2π K σ0
a2
z2
a2
z
a2
z2
z
a2
z2
A
q
V0
ρ
Las superficies de igual potencial corresponden entonces
a cilindros concéntricos al eje axial y de largo infinito.
A
rescribiendo esta expresión para despejar VB se puede
obtener otro importante resultado:
VB
0
V z
E dr
Potencial generado por un disco plano con densidad
uniforme sobre su eje axial Aquí hacemos uso de que
conocemos el campo eléctrico para cualquier punto del
eje axial perpendicular al disco. Se tiene:
B
q
V0
a2
z2
a2
z2
2
2
z z
z z
z
z
a z z z z
z ẑ
z
que nos permite calcular el potencial en el punto r del
espacio si conocemos el campo eléctrico en un camino
que nos lleve de r0 a r.
dz
dz
z
0
z
0
a
2
(2.36)
r0
dr
donde se ha escogido el nivel de referencia V0
2π K σ0 a.
Potencial generado por una placa plana infinita ubicada en el plano z 0 y con densidad uniforme de carga
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
σ0 . Aquí habiamos visto
E
donde podemos usar el teorema del coseno para obtener
que:
σ0
ε ẑ
σ00
ε0 ẑ
55
z
z
0
0
a
2
a
2
r12
r22
La integración es trivial y entrega:
V0
V
σ0
ε z
σ00
ε0 z
V0
z
z
0
V z
σ0
z
ε0
r2
2
a
r cos θ
2
a
2
r cos θ
2
2
r2
Como el potencial es lejano podemos aproximar r1 usando
i
expansión en serie de potencias. Se usará el resultado
0
que se puede resumir (previo escoger V0
2
1 x
0) en:
n
1
(donde hemos usado x
periores a 2).
Podemos escribir:
2.7.8. El dipolo eléctrico
r
r1
1 x nx
2
1 2n n
1
nx
1 para despreciar potencias su
1
a
cos θ
r
a
cos θ
r
2
1 a
4 r
En la naturaleza es frecuente encontrar moléculas neur 1
tras que cuando son sometidas a un campo externo se deforman debido a las fuerzas eléctricas en distinta direca
1 a 2
ción que actúan sobre las cargas del nucleo de la molécucos θ
r2
r 1
r
4 r
la y de los eléctrones que envuelven la molécula. Si el
a
material es un liquido formado por muchas moléculas
cos θ
r 1
polarizadas, por ejemplo, esto significará que el líquido
r
tendra propiedades eléctricas especiales conocidas como
de donde sigue que:
propiedades dieléctricas.
1 2
1
1
a
Para una molécula aislada esto significa esencialmente
1
cos θ
r1
r
r
que la moléecula está polarizada de modo que vista desde
una cierta distancia ella se puede caracterizar aproximán1
1a
1
cos θ
dola como dos cargas de distinto signo separadas una cierr
2r
ta distancia a. Siendo las moléculas muy pequeñas lo que
1 2
1
1
a
1
cos θ
interesará sera su campo lejano, es decir el campo evalur2
r
r
ado en el caso que la distancia r al punto en que se evalúa
1
1a
el campo es mucho más pequeña que la separación a.
1
cos θ
r
2r
La figura muestra esquemáticamente esta situación para
una molécula polarizada a lo largo del eje z.
Hasta aquí el potencial lejano (aproximado):
+q
a/2
V
r1
r2
a/2
r1 r1 Kq
1a
1
cos θ 1 r
2r
Kq
1
r
θ
2
1a
cos θ
2r
El resultado final para el potencial lejano del dipolo es:
Kqa cos θ
V rθ
(2.37)
r2
−q
El potencial en r está dado por
V
Kq
r1
K
r q
Momento dipolar
Las cargas de un dipolo tienen orientación en el espacio,
de modo que conviene definir un vector momento dipolar:
2
p
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
qa
(2.38)
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
56
+q
2.7.9. Líneas de campo o fuerza y superficies equipotenciales del dipolo
Líneas de campo. Las líneas de campo eléctrico satisfacen la ecuación
a
dr
d
−q
El potencial se puede reescribir aprovechando que en
coordenadas esféricas p r̂ p cos θ aq cos θ , queda:
K p r̂ K p r
V
(2.39)
r2
r 3
expresión que tiene la ventaja de ser válida en cualquier
sistema de coordenadas, y con cualquier orientación del
dipolo p. Si el dipolo no esta ubicado en el origen (por
ejemplo está ubicado en r ) entonces basta considerar
Kp r r
r r 3
V
(2.40)
Cte
E
es decir en cada punto del espacio son tangentes al campo
eléctrico en ese lugar.
Las líneas de campo o líneas de fuerza representan el
camino que un observador describiría si sigue la dirección del campo en cada punto, trasladándose de un punto
a otro según lo indica la dirección local del campo.
Estas líneas de campo o fuerza tienen la característica de
que:
1. Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
E
E
Campo eléctrico de un dipolo ubicado en el origen y
orientado segun ẑ
Esto no ocurre !!
Como ya conocemos el potencial basta usar E
∇V en
coordenadas esféricas para calcular el campo eléctrico. Se
obtiene:
∂V
∂r
1 ∂V
r ∂θ
1 ∂V
r sin θ ∂ φ
2Kqa cos θ
r3
Kqa sin θ
r3
2. Las líneas de campo no se cortan entre sí (pues de
lo contrario el campo E tendría dos valores en un
mismo punto)
0
E
E
E
de donde el campo resulta:
V3
Kqa
2 cos θ r̂
r3
E
sin θ θ̂
V2
V1
V0
expresión que se puede reescribir (para el caso de un
dipolo en el origen con orientación cualquiera)
E
K
E
3 p r̂ r̂
r3
p
(2.41)
El caso general queda entonces descrito por:
E
K
r r r r r r pr 3 p r
3
3
(2.42)
Superficies equipotenciales. Estas se obtienen de resolver la ecuación
V r
Cte
en que la Cte va tomando distintos valores (fijos) de potencial. A cada valor que se escoja corresponde una única
superficie equipotencial.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
57
100
Ejemplo: Consideremos el potencial de una carga puntual
y busquemos la superficie que toma por valor V Cte. Se
tiene:
Kq
Cte
r
de donde sigue que la superficie equipotencial está caracterizada por esféras de radio r Kq Cte. Si V0 aumenta,
las superficies esféricas equipotenciales son mas pequeñas
y concéntricas a la anterior. Si V0 disminuye las superficies equipotenciales son de radio más grande. Se tiene:
50
V
V
V
V0
2V0
3V0
r
r
r
Kq V0 r0
Kq 2V0
r0 2
Kq 3V0
r0 3
0
-50
-100
-100
-50
0
50
100
Figura 2.20: Lineas equipotenciales para un dipolo orientado verticalmente. Las zonas más claras corresponden a zonas de potencial
más alto (carga positiva), las zonas más oscuras a regiones de potencial más bajo (carga negativa).
r0
El campo de fuerzas asociado al dipolo se presenta en la
figura siguiente:
r0/2
V0
2V0 3V0
ro/3
10
5
0
Superficies equipotenciales y líneas de fuerza del dipolo. Un ejemplo mas interesante lo entrega el caso del
dipolo. Aqui las superficies equipotenciales están dadas
por la ecuación
K p cos θ
r2
V rθ
V
V0
V0
V0
V0
V0
θ
0
π
4
π
2
3π
4
π
r0
0 707 K p V0
0
0 707 K p V0
K p V0 r0
0
-10
-10
-5
0
5
10
Figura 2.21:
Cte
cos θ
.
con solución r 2 K pCte
Esta solución corresponde a curvas tales que para por
ejemplo si tomamos V
V0 se tiene valores:
r
K p V
-5
0 707r0
Campo de fuerzas para un dipolo orientado verticalmente. Observe que de la región en que está la carga positiva las
líneas de fuerza salen, mientras que en la región que está la carga
negativa las líneas de fuerza llegan.
Fuerza y torque que experimenta un dipolo sumergido
en un campo externo
Puesto que el dipolo es un par de cargas ubicadas muy
cercanamente un campo eléctrico externo actuándo sobre
ambas cargas se puede considerar prácticamente uniforme
y luego la fuerza neta sobre el dipolo resulta nula:
Situación que graficamos a continuación:
F
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
q E r q E rq
qE
qE
q
0
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
En cambio el torque que experimenta un dipolo debido a
un campo externo no es nulo pues:
τ
q r r E
qa E
r q E rq
q
r
q
qE r
WBA1
2. Para traer la segunda partícula se hace trabajo pues
actúa sobre la segunda el campo de la primera. Se
tiene:
q2V21
WBA2
(2.43)
Kq
en que V21 r 1 es el potencial que siente la segunda
21
debido a la primera. Notemos que se cumple q2V21
q1V12 . Efectivamente pues
q2V21
Kq
q2 1
r21
Ejercicios y ejemplos
1. Un sistema está formado por dos dipolos. Uno de ellos ubicado en el origen y orientado a lo largo del eje
Z. El otro ubicado a distancia d del origen (con d a
donde a la separacion entre cargas en cada dipolo) y
observando un ángulo de 30 grados respecto del eje
vertical z. . El segundo dipolo tiene una inclinacion
de α respecto de la vertical. Determine el torque que
experimenta el segundo dipolo.
2. Repita su cálculo anterior pero para el torque que experimenta el dipolo ubicado en el origen (NOTA: Haga uso de la expresión 2.42) para evaluar el campo
que genera un dipolo ubicado en un punto r .)
luego se tiene:
p r dq
q1V12
Kq
q1 2
r12
1
qV
2 2 21
q1V12
3. Para traer la tercera carga se hace trabajo en presencia de la primera carga y de la segunda, se tiene:
WBA3
qV
q3V32
3 31
q V
q2V23
1 13
WBA3
1
qV
2 1 13
q2V23
q3V31
q3V32
4. . . .
5. Para traer la N-ésima carga se hace un trabajo
WBAN
V q V qN VN1 VN2
q1V1N q2V2N
NN 1
N 1 N 1N
de modo que queda:
WBAN
tada en crear (o almacenada) en una
configuración de cargas
1
qV
q2VN2 q3VN3
2 1 N1
qN 1VN N 1 qNVN 1 N
Finalmente sumando todos los trabajos se tiene:
a) Calcule la carga total del segmento positivo de
carga del dipolo.
total
WBA
WBA1 WBA2
WBAN
b) Calcule el momento dipolar del dipolo.
1
q V
V13 V14
V1N
2 1 12
2.7.10. Energía potencial electrostática gasq2 V21 V23 V24
V2N
Consideremos N partículas y el trabajo para llevar las cargas desde el infinito (partiendo del reposo) a una cierta
posición final B quedando ellas finalmente quietas allí.
Luego resulta:
Considere la situación de una antena dipolar que
consiste de un tubo metálico de largo total que
en cierto instante tiene carga distribuida linealmente
(dq λ d ) a lo largo del eje z, partíendo con carga
negativa en uno de los extremos hasta carga positiva
en el otro. La densidad de carga está dada por:
z
λ z
λ0
2
WBA2
3. En el caso de que la carga de un dipolo no este concentrada sino que distribuida el momento dipolar se
define mediante:
p E
0
Si usamos la definición de momento dipolar el resultado
se puede escribir:
1. Para traer la primera partícula se hace un trabajo nulo
q
q
τ dipolo
58
VN2
N
1
q
V
2 1 j∑1 1 j
1
q V ri
2 1
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
qN VN1
VN3
q2 ∑ V2 j
j 2
q2V r2
VNN
N
q
1
N
N
∑ VN j j N
qN V rN
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
de donde sigue que el trabajo total está dado por:
W total
N
1
q V ri
2 i∑1 i
59
tinuamente es:
(2.44)
Por otro lado sabemos que dicho trabajo es conservativo,
de modo que la energía potencial electrostática asociada
satisface: W total
∆U total. Puesto que cuando las
partículas están en infinito se tiene U 0 resulta la energía potencial electrostática asociada a la configuración
final de cargas está dada por:
W
total
Ufinal
∆U total
1 N
q V ri
2 i∑1 i
W total
(2.45)
Para el caso de cargas distribuidas continuamente se tiene
la relación equivalente:
1
U total
dqV r
(2.46)
2
2.7.11. Ejercicios y ejemplos
(i) Determine la energía (trabajo) necesaria para crear
una configuración de 3 cargas en posiciones dadas
por:
i
1
2
3
qi
q
q
xi
0
2
0
q
yi
0
0
3
Use esta expresión para calcular el trabajo o energía
necesaria para cargar con carga total Q una esféra
1 KQ2
conductora de radio R. Verifique que W
8 πR y
compare este valor con el que obtiene si usa W
1 Q2
1
2
2 C
2 CV .
Considere ahora un condensador formado por dos
placas planas muy grandes, de área A y separadas
a distancia d, que tienen densidades de carga σ0 y
σ0 . El potencial sobre cada placa es uniforme y de
valor V0 2 y V0 2 respectivamente. Calcule:
La fuerza que hace la placa positiva sobre la
placa negativa. NOTA: use que la fuerza sobre
un elemento de carga dq σ dS es dqE para
integrar la fuerza sobre toda el área de la placa a
potencial negativo. Recuerde el valor del campo que produce una placa plana con densidad
σ sobre todo el espacio.
Calcule la energía electrostática almacenada en
el condensador vía integrar U 12 dqV .
NOTA: Primero evalúe el costo (trabajo) W1 para
traer la primera partícula (en ausencia de otras) desde el infinito. Luego el costo W2 para traer la segunda
partícula en presencia de la primera. Finalmente el
trabajo W3 para traer la tercera partícula en presencia
de las otras dos:
W
W1
W2
W3
(ii) Compare el valor que obtuvo en (i) contra la fórmula
W
1
dqV
2
1
ρ r V r d
2
1
σ r V r dS
2
1 3
qV
2 i∑1 i i
en que Vi V ri es el potencial que siente cada
partícula i-esima ubicada en ri , debido al resto de las
partículas.
(iii) La generalización de W para cargas distribuidas con-
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
60
2.8. Materiales Conductores
(a) Si se deposita una cierta cantidad de carga neta positiva Q al interior del conductor, las partículas que
constituyen esta carga experimentan entre sí una repulsión coulombiana, de manera que, al repelerse
mutuamente ellas tienden a moverse hasta la superficie del material conductor, donde, deslizan sobre la
superficie buscando su acomodo. Pasado cierto tiempo alcanzan el equilibrio y ya no se mueven más ya
que se ejerce una fuerza nula (aceleración nula) sobre ellas, de modo que las partículas se quedan estacionadas sobre la superficie del metal. En consecuencia, en el interior del conductor no hay carga neta, por
el Teorema de Gauss se puede inferir que el campo
se anula en el interior (E 0).
+
+ +
++
+ + + + ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + ++
Q
Sin embargo como toda la carga Q está en la superficie es posible inferir también —por el Teorema de
Gauss aplicado a una superficie gaussiana que envuelve externamente al conductor— que afuera del
conductor existe campo eléctrico no nulo E 0.
(b) Si por el contrario se deposita iguales cantidades de
carga positiva y negativa Q y Q, ocurrirá que las
partículas de signos opuestos se atraerán formando,
probablemente, moléculas neutras o al menos una
densidad de carga nula en el interior. Al no haber carga neta al interior y aplicando el teorema de Gauss
a una superficie dentro del conductor, se podrá inferir que el campo en el interior del conductor es nulo
(E 0).
+
−
tiempo
+
−
Ahora tanto la superficie come el volumen del conductor son neutros en carga y luego al aplicar el Teorema de Gauss a una superficie gaussiana que envuelva exteriormente al conductor se inferirá que no se
genera campo eléctrico en el exterior del conductor.
(c) Por último podría ocurrir también que se deposite
carga positiva y negativa pero no en la misma cantidad. Entonces se tendrá que parte de la carga positiva se sentirá atraída con la carga negativa y formará, como antes, moleculas neutras o densidad de
carga nula. La diferencia de carga (totalmente positiva o totalmente negativa) experimentará repulsión
Coulombiana entre sí y como en la situación (a) se
depositará en la superficie formando allí una densidad superficial.
Igual que en el caso (a) y (b) como en el interior
del conductor no hay carga neta, por el Teorema de
Gauss, se infiere que el campo en el interior es nulo,
mientras que en el exterior del conducotr, por haber
carga en la superficie, el mismo teorema indica que
se genera un campo eléctrico no nulo.
(d) En el caso de presencia de cargas fuera del conductor
la distribución de cargas en la superficie puede tener
regiones con densidad superficial negativa y regiones
con densidad superficial positiva. Esquematicamente
podemos graficar todo esto así:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + ++ +
+
En esta sección estudiaremos que ocurre con el campo
eléctrico en sistemas conductores.
Los materiales conductores son en general metales. Por
esta razón las cargas que son depositadas al interior del
material conductor se mueven casi libremente en su interior. Esto lo hacen en tiempos característicos muy pequeños
(10 19 [seg]). Las siguientes situaciones son comunes:
E=0
--
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
En conclusión: las fuerzas eléctricas internas hacen repelerse a las partículas, las que se van a la superficie del conductor formando allí densidades superficiales de carga. En
el interior el campo eléctrico es nulo (E 0).
61
− − − −−
−σ
+ + + + + +
2.8.1. Ejemplos
σ
1. Conductor esférico macizo on carga neta Q. Determinar el campo eléctrico en todo el espacio.
Solución: Por ser la esféra de material conductor
el campo eléctrico en el interior es nulo. La carga
se deposita en la sperficie. Por simetría de la esféra
esta carga se distribuye uniformemente con densidad
Q
superficial σ σ0
en que a es el radio del
4π a 2
conductor. Afuera del conductor, en una superficie
gaussiana de radio r el flujo neto del campo eléctrico
resulta ΦE E r 4π r2 y debe (por el Teorema de
Gauss) ser igual a la carga encerrada dividido por ε0 .
Q
, de modo que
De la igualdad resulta: E r
4πε0 r2
el campo en todo el espacio es:
Al interior de cada placa conductora el campo es nulo
(y por supuesto la carga encerrada por una superficie
gaussiana también es nula).
En la región entre las placas, suponiendo que la carga en cada placa se distribuye uniformemente en la
superficie, se genera un campo eléctrico uniforme.
Aplicando el teorema de Gauss a la superficie indicada en la figura que sigue se puede concluir que el
campo entre las placas es uniforme y de intensidad
E σ ε0 .
0
E r
Q
4πε0 r2
Si r <a
Si r >a
En la superficie misma del conductor, justo afuera, a
partir de la expresión última se concluye que el camσ0
po vale: Esup E a
ε .
0
+ + + + ++
2. Condensador de placas planas de área A con cargas
Q (placa inferior) y Q (placa superior). Determine
el campo en todo el espacio.
E z
E zA
−Q
Q
σA
ε0
σ
ε0
Aplicando el Teorema de Gauss a la superficie indicada por la figura que sigue es posible mostrar que
el campo en la región de afuera (tanto superior como
inferior) de los conductores es nulo.
Solución: Las cargas Q y Q (que están en placas
diferentes) tienden a atraerse entre sí, de manera que
la carga Q en la placa inferior se termina depositando
en la superficie superior de dicha placa. Por otro lado
la carga Q en la placa superior se deposita a su vez
en la superficie inferior de esta placa.
− −− −−
+ + + + + +
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62
En resumen, en las distintas regiones el campo vale:
3. Esfera conductora de radio a y carga neta Q envuelta
por un cascarón esférico de carga neta nula y radios
interior b y exterior c.
Q =Q
esfera
b
a Q
4πε0 r2
0
E r
Q
4πε0 r2
r
a
b
r
a
r
r
c
b
c
Q =0
cascaron
Solución: En el interior de cada uno de los conductores el campo debe ser nulo (equilibrio de fuerzas:
E
F q 0). En la región a r b podemos
aplicar el Teorema de Gauss a una superficie gaussiana esférica de radio r entre a y b, para demostrar
que el campo allí resulta de intensidad
0
2.8.2. Densidad de carga en la superficie de
un conductor de forma arbitraria
c
E r
Si consideramos un punto cualquiera de la superficie de un
conductor de forma cualquiera es posible probar, usando
el Teorema de Gauss aplicado a un pequeño cilindro que
contiene dicho punto en la superficie (ver figura), que la
componente normal En E n̂ a la superficie del campo
eléctrico en dicho lugar se relaciona directamente con la
densidad de carga en dicha parte de la superficie
σ ∆S
ε0
σ
ε0
E n̂∆S
Q
4πε0 r2
En
φE =E ^
n dS
E
Q=dS σ
n
Si aplicamos el Teorema de Gauss nuevamente pero
ahora para una superficie de radio r en la región interior del cascarón esférico y que envuelve a la esféra,
y usamos que el flujo ΦE
E d S debe ser nulo,
concluimos necesariamente que en la superficie inE=0
terior (r b) del cascarón esférico debe haber carga
neta nula Qb de valor opuesto a Q (esto pues la carga total encerrada debe ser cero). Es decir Qb
Q.
Pero por otro lado sabiamos que el cascarón exterior
tenía carga neta nula y está aislado, de modo que su donde hemos usado que el cilindro es mucho menos alto
carga total se conserva, luego en la superficie de ra- que ancho de manera que el flujo por el manto resulta nulo
dio c del cascarón se debe haber inducido una carga en el límite que el alto del cilindro va a cero.
Qc opuesta a Qb . Es decir Qc
Qb
Q.
Más adelante veremos que en la superficie de un conducComo debido a la simetría del problema la carga Qb tor, no hay componente tangencial del campo eléctrico. Es
se distribuye uniformemente en la superficie de radio decir el campo eléctrico es perfectamente perpendicular
r c, el campo afuera debe respetar la simetría es- (o normal) a la superficie del conductor y luego la intenférica. Si aplicamos el Teorema de gauss a una super- sidad de este es Esup En . Otro punto que es importante
ficie imaginaria esférica de radio r c, considerando observar aquí que esto vale localmente en cada punto de
que la carga total Qtot Q Qb Qc Q Q Q
la superficie, es decir σ σ r , y luego el campo en cada
Q, es posible demostrar que en la región exterior al punto de la superficie depende del valor de la densidad de
cascarón hay un campo
carga allí:
E r
Q
4πε0 r2
σε r n̂
Esup r
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
0
(2.47)
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Ejemplo
La máxima carga que puede existir en un conductor está
limitada por el hecho de que pasado cierto valor de la intensidad del campo eléctrico el aire mismo que toma contacto con el conductor se puede transformar en un medio
conductor a su vez. Esto se debe a que las moléculas del
aire se pueden ionizar en la presencia de un campo eléctrico muy intenso y las cargas libres que se generan pueden
desplazarse formándose corrientes o rayos de carga que
migran hacia el conductor. La intensidad característica del
campo para que ocurra esto es Emax 107 [N/C].
Calculemos la densidad superficial de carga máxima necesaria para que esto no ocurra:
σ
ε0 E n̂
ε0 Emax
88 4µ C/m2
Para una esféra conductora de radio a esto significaría una
carga neta Q 4π a2σ que en el caso de a 1 [m], a
1 [cm] y a 1 [mm] corresponde a cargas máximas de
Qmax 1 1 [µ C], Qmax 0 11 [µ C] y Qmax 0 0011 [µ C]
respectivamente.
63
Por ejemplo sabemos que para una distribución de carga
uniforme en el interior de una esféra el campo eléctrico
está dado por:
E r
E dS
1
Qencerrada
ε0
1 ρQ d v
ε0
∇ E dv
∇ E
ρQ
ε0
dv
ρ0
ε0 r
ρ0 a 3
ε0 r 2
Si r
Si r
a
a
La ecuación de la divergencia entrega:
ρq r
ε0 r12 ∂∂r r2
ε0 r12 ∂∂r
r2
1
3
1
3
ρ0
ε0 r
ρ0 a 3
ε0 r 2
ρ0
Si r
0 Si r
a
a
2.10. Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
y
∇V y aplicando divergencia a la
Usando que E
Ecuación (2.48) se obtiene
2.9. Ecuación de la Divergencia del
Campo Eléctrico
El Teorema de Gauss que relaciona el flujo del campo
eléctrico por una superficie cerrada con la carga encerrada por dicha superficie puede ser restablecido en forma
diferencial usando el Teorema de la Divergencia:
1
3
1
3
∇ E
∇ ∇V
∇ 2V
La ecuación:
∇ 2V
ρq
ε0
ρq
ε0
ρq
ε0
ρq ε 0
(2.49)
es conocida como Ecuación de Poisson.
En las regiones donde la densidad de carga ρq es nula se
satisface la llamada Ecuación de Laplace:
∇ 2V
0
(2.50)
que si se especifica las condiciones de borde tiene
solución única, como veremos a continuación.
0
Como esta igualdad tiene que cumplirse para cualquier
volumen de integración (el volumen de integración es
arbitrario) el integrando debe ser nulo, y se obtiene la
siguiente ecuación (Ecuación de la Divergencia del
Campo Eléctrico):
ρq r
(2.48)
∇ E
ε0
2.10.1. Teorema de Unicidad de la Ecuación
de Laplace
Veremos aquí que la ecuación de Laplace ∇2V 0, sujeto a valores en el borde (o superficie) de la región que
interesa resolver esta ecuación, tiene solución única:
La demostración es por contradicción con la hipótesis:
suponemos que hubiera dos soluciones diferentes: V1 r y
V2 r con V1 V2 . Definimos Φ V1 V2 . Obviamente Φ
2
2
Un resultado inmediato que sigue es que si conocemos también satisface la Ecuación de Laplace: ∇ Φ ∇ V1
2
el campo eléctrico en una región del espacio, podemos ∇ V2 0, luego:
deducir la densidad de carga en dicha región:
Φ∇2 Φ dv 0
ρq r
ε0 ∇ E r
Vol
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
∇Φ 0) que:
pero tenemos la identidad: ∇ Φ∇Φ
Φ ∇2 Φ de donde sigue (usando que ∇2 Φ
2
Vol
∇Φ
2
∇ Φ∇Φ dv
dv
Vol
Φ∇Φ d S
64
No puede haber carga neta en el interior del conductor (si en la superficie). Lo que sigue de aplicar el
Teorema de Gauss a un volumen en el interior del
conductor y considerar que como el campo es nulo el
flujo es nulo. Si hubiera carga habría una contradicción.
Sup
en donde en la última línea hemos usado el Teorema de la
divergencia para convertir la integral de volumen del lado derecho en una integral de superficie. Esta integral de
superficie resulta nula pues el potencial lejano Φ se comporta como Φ 1 r y el gradiente de dicho potencial se
comporta como ∇Φ 1 r 2 , mientras que por otro lado el
elemento de superficie dS se comporta como dS r 2 dΩ
en que dΩ sin θ d θ d φ . Considerando una superficie suficientemente grande la integral de superficie
1
dΩ
r
Por último si acercamos una carga q (externa al conductor) los eléctrones y protones en la superficie del
conductor se redistribuyen (ver figura 2.22
0
+
+
+
11 2
r dΩ
r r3
2.10.2. Aplicación de la Ecuación de
Laplace a materiales conductores
Recordemos que los materiales conductores son en general metales. En su interior las cargas se pueden mover
libremente y las fuerzas superficiales impiden que las cargas escapen.
Las propiedades de estos materiales se pueden resumir en:
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +++
ya que r, el radio de una esféra muy grande, tiende a infinito. Se concluye que ∇Φ 2 dv 0 si y solo si el integrando ∇Φ 2 0, de modo que Φ Cte.
Como Φ Cte se puede evaluar Φ en cualquier parte, por
ejemplo en la superficie infinitamente lejana donde Φ 0,
sigue que V1 V2 lo que contradice la hipótesis. Luego
V1 V2 y en consecuencia el potencial tiene solución única en todas partes.
σ r
n̂
ε0
Esup
--
Φ∇Φ d S
Ya hemos visto (aplicando el teorema de Gauss a un
pequeño cilindro en la superficie) que el valor del
campo en la superficie satisface
E=0
Figura 2.22:
2.10.3. Ejemplos
1. Conductor hueco, de forma arbitraria, cargado.
Q
En el interior E 0 y por lo tanto la función potencial (que satisface E
∇V ) debe ser uniforme
dentro del conductor. Es decir V Cte o equivalentemente los conductores son cuerpos equipotenciales.
Puesto que el conductor es equipotencial, su superficie tambien lo es, y sabemos que la dirección del gradiente de V es perpendicular a la superficie equipotencial asociada a dicho punto, luego el campo E
∇V justo en el exterior de la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie. Es decir:
Esup
E r n̂
o equivalentemente las líneas de fuerza son perpendiculares al conductor.
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
V= V0
V= V0
E=0
E=0
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Resolvemos usando unicidad de la Ecuación de
Laplace:
En el conductor se satisface ∇2V 0 con solución V r
V0 cte. En particular en el borde interior del conductor (borde del hueco) se
tiene V V0 .
En el hueco se satisface también ∇2V 0. Para
el hueco se postula V
V0 como solución.
Puesto que esta solución satisface la ecuación
de Laplace y satisface la condición de borde,
esta es la solución. En consecuencia, dentro del
hueco, E
∇V 0, y el campo Esup , justo en
la superficie interior, es nulo. Luego,
σ
ε0 Esup n̂
0
y no hay densidad de carga en la superficie interior. La carga del sistema está sólo distribuida
en la superficie exterior del conductor.
2. Conductor esférico cargado con hueco interior de
forma arbitraria.
65
que efectivamente satisface la ecuación de Laplace:
1 ∂
∂V
r2
2
r ∂r
∂r
∂V
1
∂
sin θ
2
r sin θ ∂ θ
∂θ
∇ 2V
1
∂ 2V
r2 sin2 θ ∂ φ 2
C1
1 ∂
r2
2
r ∂r
r2
0
La condición V ∞
0 implica C2 0. La condición V a
V0 implica C1 V0 a, de modo que la
solución que satisface la Ecuación de Laplace y las
Condiciones de Borde y en consecuencia es la solución es:
V r
V0
a
r
a
para r
De esta solución sigue que el campo afuera de la superficie es:
a
E V0 2 r̂
r
V
+
+ + + +
+
+
+
+
V= V0
+
+
+
+
V= V0
+
+
+
+
+
+
+
V= V0
+
+
Ñ2V=0
V= V(r)
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
0
y justo en la superficie resulta Esup
a r̂ de modo
que la densidad superficial es uniforme sobre la superficie y de valor
+
σ
ε0 E
r a
ε0V0
a
Puesto que la densidad es uniforme, se tiene q
σ 4π a2 de donde reemplazando el valor de σ resulta
una ecuación para V0 con solución: V0 4πεq a .
0
3. Conductor esférico neutro con hueco que tiene
carga q en su interior.
La solución es similar a la anterior, con la carga distribuyéndose en la superficie exterior y campo nulo
en el conductor y en el hueco. Lo que interesa ahora
es la solución de la Ecuación de Laplace en la región
exterior a la esféra.
Afuera de la esféra se satisface la ecuación de
Laplace con condiciones de borde V 0 en infinito y
V V0 justo en r a (el borde de la esféra). Tomando como modelo la solución del problema de un cascarón esférico hueco visto anteriormente se postula
como solución
V r
C1
r
q
-q
q
C2
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
V= V0
2
Ñ V=0
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Al poner una carga q en el interior del hueco ésta
atrae cargas libres del interior del conductor hacia la
superficie interior del hueco. Como el conductor es
globalmente neutro la diferencia de carga (del otro
signo) se tiene que reubicar en la superficie exterior
al conductor. Llamemos Qa la carga en la superficie
interior y Qb la carga en la superficie exterior. De la
neutralidad sigue que Qa Qb 0.
Por otro lado si aplicamos el Teorema de Gauss a una
superficie cerrada de forma arbitraria en el interior
del conductor, por ser este de campo nulo, resulta
flujo ΦE 0, y en consecuencia se tiene que la carga
neta encerrada debe ser nula (q Qa 0) de modo
que:
Qa
q
y luego (puesto que Qa
Qb
Qb
+
+
+ + + +
q
0) se tiene
+
+
+
+
+
Ñ2V=0
+
+
- -- Q
-q
- V= V
+ +
+
+- +
-
+
0
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
Vsup= V0
+
Fuera del conductor se puede resolver la Ecuación de
Laplace en forma exactamente identica al problema
anterior, encontrando
V r
E r
σ
+
- -
- -
+
-
+
-
q
+
-
+
-
+
-
+
+
-
-
-
-
2.11. Concepto de Capacidad
Hemos visto que el Potencial en todo el espacio está relacionado con la densidad de carga a través de la Ecuación
de Poisson
ρ r
∇ 2V r
ε0
Q
+
66
a
r
a
V0 2
r
ε0V0
a
V0
Puesto que la densidad es uniforme, se tiene Qb
σ 4π a2 de donde reemplazando los valores de Qb y σ
obtenidos resulta una ecuación para V0 con solución:
V0 4πεq a igual que en el ejemplo anterior.
0
El análisis del campo en el hueco es más complicado pues, si la carga está ubicada excentricamente, el
campo presenta una distribución de líneas irregular
como la que sugiere la figura por lo que obviaremos,
por ahora, dicho analisis (ver más adelante método
de imagenes para la solución del campo en el hueco).
Esto tiene implicancias interesantes: si se aumenta la densidad de carga en cada punto de un sistema en un cierto
factor α , digamos por ejemplo α 2, el potencial cambiará (via la Ecuación de Poisson) en ese factor también.
Inversamente, si se aumenta el potencial en todas partes en
un cierto factor, la densidad de carga (y en consecuencia
la carga total) se incrementa en ese mismo factor también.
Para un conductor esto implica que la carga total almacenada por él depende en forma directa del voltaje aplicado.
El factor de proporcionalidad se conoce como Capacidad
y éste factor solo depende de la geometría del sistema y
de la constante ε0 .
Se define formalmente la Capacidad como el valor absoluto del cuociente entre la carga Q almacenada por un
elemento conductor sobre la diferencia de potencial ∆V
del conductor respecto de un punto de referencia
C
Q
∆V
(2.51)
Lo que la Capacidad mide es: cuanta carga almacena un
sistema por unidad de voltaje aplicado.
2.11.1. Ejemplos
1. Capacidad de una esféra conductora respecto al
infinito
El voltaje sobre la superficie de una esféra conductora aislada que tiene carga Q está dado (vía resolver la
Ecuación de Laplace) por:
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Vsup
KQ
a
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
La diferencia de voltaje respecto al infinito es ∆V
KQ a 0. La capacidad resulta:
Q
KQ a
C
a
K
67
A
-Q
4πε0 a
d
2. Capacidad de una esféra cargada respecto de un
cascarón esférico que la envuelve concéntricamente.
E=
a
b
E=0
^r
Q
2
4 p e0 r
E=0
Q
Suponemos que las placas del condensador (de área
A y separación d, con d muy pequeña) tienen cargas
Q y Q (vea el ejemplo 2 de la sección Materiales
Conductores). El campo eléctrico entre las placas es:
σ
ẑ
ε0
Q
E
Q
ẑ
ε0 A
c
-Q
La diferencia de potencial entre estos radios se obtiene integrando
∆V
z d
E dr
z 0
Suponemos que la esfera interior tiene carga Q y radio a y los radios del cascarón esférico son b (radio
interior) y c (radio exterior).
El campo eléctrico entre la superficie de la esféra interior y el radio interior del cascarón se obtiene usando el Teorema de Gauss:
Q
r̂
4πε0 r2
E
a
b
Q
4πε0
a
E d r 1
a
b
Q
dz
ε0 A
La capacidad resulta
Q
Qd ε0 A
C
ε0 A
d
-Q
Q
dr
4πε0 r2
Q
E¹0
+
+
+
+
+
-
-
E=0
1
b
-
-
E¹0
-Q
Q
Q
Q
4πε0
0
Qd
ε0 A
La capacidad resulta
C
a
4. Capacidad de un condensador de placas planas
con conductor intermedio
La diferencia de potencial entre estos radios se obtiene integrando
∆V
1
a
1
b
4πε0 ab
b a
3. Capacidad de un condensador de placas planas
Suponemos que la carga en las placas de afuera Q
y Q y que el conductor intermedio es neutro y de
tamaño b. Usando el Teorema de Gauss es posible
demostrar que en el conductor intermedio se forman
cargas Q y Q respectivamente, como muestra la
figura. En la región donde no hay conductor se tiene
campo de magnitud σ ε0 Q Aε0 . En la región
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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conductora el campo es nulo. La diferencia de potencial entre las placas resulta
∆V
E dr
b
Q
2π ε 0
z 0
Q
d
Aε0
d
Q
Q
ε0 A
Q
C
b
ε0 A
d b
2π ε0
ln ba
b
a
ln
Capacidad de un sistema de líneas conductoras cilíndricas en trifásico Un arreglo de conductores cilíndricos de radio a y muy separados entre sí (separación b),
llevan corrientes en trifásico, de manera que se genera sobres sus superficies cargas q1 q2 y q3 tales que:
La capacidad resulta
C
La capacidad en un segmento de longitud resulta
z d
68
La capacidad del condensador de placas planas con
conductor intermedio resulta mayor que para el condensador sin conductor intermedio.
q1
q2
q3
0
y voltajes V1 V2 y V3 tales que:
V1
5. Capacidad de un condensador formado por conductor interior cilíndrico y cascarón cilíndrico
concéntrico muy largos
V2
V3
0
V1
b
b
V3
V2
b
a
b
c
Q
se quiere calcular la capacidad respecto de V 0.
El que estén en trifásico no altera la descripción usual. Los
voltajes y las cargas ahora dependen del tiempo. Para los
voltajes se tiene:
-Q
Consideramos radio a para el cilindro interior, y radios b y c para los radios interior y exterior del cascarón cilíndrico respectivamente. Suponemos que los
conductores tiene carga total interior Q y exterior Q
en cada segmento de largo .
El campo entre los conductores (a ρ
tiene por el Teorema de Gauss y resulta
λ0
ρ̂
2πε0 ρ
E
b) se ob-
Q
ρ̂
2π ε0ρ
La diferencia de potencial se obtiene integrando
∆V
ρ b
ρ a
E dρ
b
a
Q
dz
2π ε0ρ
2π 3
V cos wt 2π 3 V1
V0 cos wt
V2
V0 cos wt
V3
0
mientras que para las cargas en un segmento en cada
cable:
2π 3
2π 3
q1
q0 cos wt
q2
q3
q0 cos wt
q0 cos wt
Lo que se quiere es determinar el valor V0 y q0 y luego
con esto la capacidad
Q
ln b a
2π ε0
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
C
q0
V0
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entre las amplitudes q0 , V0 del sistema trifásico.
Partimos considerando que por estar muy separados los
cables se pueden pensar como si fueran cables infinitesimalmente delgados para efecto de evualar el voltaje total
(debido a la distribución de carga en los 3 cables) sobre la
superficie de un cable, en este caso el cable 1.
V1
V12
V13
2K λ2 ln
ba 2K λ3 ln
2Kλ ln ρa En particular V a 2K λ ln a a 0.
Sobre las superficies de los cables 2 y 3 se tiene:
V ρ
1
ba 2Kλ ln b a
V3
1
Sumando V1
V2
V1
2K λ3 ln
V2
2K λ1 ln
ba 4K λ1
V12
V1
V1
V3
Sumando V13
2K λ2
λ3
2K λ2
1
2
1
V12 resulta:
V13
V12
2K λ3
1
1
3
2
3
ba λ1 ln
3
2λ1
2
3
C
2K ln
b
a
Por supuesto si los cables están muy cerca este resultado
ya no es cierto pues la distribución superficial de carga
sobre cada cable ya no resulta uniforme.
λ
λ2
1
1
Para la capacidad en un segmento de longitud se obtiene
C
Dv1
Q
∆V
Dv2
Dv
Dvn
v1
1
2
2.12.1. Conexión en Serie
V V V V 2V V V ,
2K 2λ λ λ (2.52)
2V V V
pero V13 V12
luego queda:
0
de la capacidad de un condensador constituido por una red
conductora la cantidad Q se refiere a la carga útil del sistema. Es decir aquella que puede fluir por los conductores
del circuito en forma de corriente y ser aprovechada en la
red externa del circuito.
La carga en condensadores intermedios muchas veces
queda encerrada alli y no es útil en el sentido que no fluye
hacia el exterior del sistema y no puede ser aprovechada
en forma de trabajo o energía en la red externa del circuito.
λ ln ba 2K λ λ ln b a
V2
0
b
λ3 ln
a
λ2
1
Previo al análisis debemos establecer que en la expresión
de modo que las densidades de carga satisfacen la condición de trifásico λ1 λ2 λ3 . Hasta aquí esto no es más
que un chequeo de la salud de nuestras ecuaciones.
Restando V1 y V3 y restando V1 y V2 se obtiene:
V13
1
b
2K λ2 ln
a
V3 se obtiene
V3
V0 cos wt
sigue
que:
1
2.12. Capacidad Equivalente de
sistemas de condensadores
conectados entre sí
1
V2
ba donde,
previo
usar
V
λ
q q cos wt ,
b
V
2Kq ell ln a
2K 3λ1 ln
3V1
0
Para calcular la contribución del cable 1 sobre su propia
superficie hemos considerado que por estar los otros 2 cables muy alejados, ellos no alteran sustancialmente la distribución de carga sobre la superficie del 1, de modo que
ésta carga se puede considerar distribuida uniformemente
sobre la superficie del mismo. La distribución de carga de
este cable genera en todo el espacio un potencial dado por
por otro lado V1 V2 V3 0 entrega V2 V3
V1 y
λ1 λ2 λ3 0 entrega λ2 λ3
λ1 que reemplazadas
en la expresión (2.52) entregan:
de
y
ba 69
3
Vn
- Q1
Q1
- Q2
- Qn-1 Qn-1
Q2
- Qn
Qn
2
Aquí la carga util es la Q1 (o QN ) que están en los condensadores del extrémo de la conexión. Como cada con-
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densador intermedio es neutro inicialmente, se puede establecer que Q1 Q2
QN Q. Por otro lado las
diferencias de potencial de los condensadores satisfacen
V2
V3
V1
∆V1
V2
∆V2
V
V V VN
1
∆VN
N 2
N
Q
C1
Q
C2
mismo potencial
Q1
Q2
∆V
V1
CN
Q
CN
Q
C1
1
C2
1
1
CN
N
N
1
Cequiv
C1
2.12.2. Conexión en Paralelo
- Q1
- Qn
C2
∆V
C
N
dq V
Trabajo que debemos integrar desde la situación inicial
q 0, hasta la situación final q Q. Se tiene:
Q
dW 0
Qn
- Q2
N
(2.53)
(2.54)
Si el conductor está inicialmente descargado podemos
colocar una pequeña cantidad de carga sobre él sin realizar
trabajo. Al agregar más carga la fuerza de repulsión entre
la carga en el conductor y la carga a agregar implica que
cada vez se debe hacer más trabajo.
Consideremos una situación intermedia, cuando el conductor tiene una cierta carga q y está a potencial V
q C respecto del infinito (V
V t , es decir el potencial del conductor varia con el tiempo).
Al agregar dq el trabajo infinitesimal es
W
Q2
N
2.13. Energía almacenada en un
conductor aislado
dW
Q1
Q
C
y luego la capacidad equivalente de capacitores conectados en paralelo es:
de donde podemos identificar la Capacidad Equivalente
Cequiv Q ∆V que resulta para la conección en serie de
capacitores:
C
Q 1 Q2
C1 C2
1
N
CN ∆V
∆
CQ
C1 ∆V1 ∆V2
Q
Q
C1 C2
1
1
Q
C1 C2
Sumando las cargas se obtiene:
Sumando todas las diferencias de potencial entre sí se
tiene (observe las cancelaciones en la columna de la
izquierda)
VN
C1 ∆V
C2 ∆V
QN
Q
1
∆VN
N 1
70
q
dq
C
1 2
Q
2C
La energía almacenada resulta
U
W
Q2
2C
1 2
CV
2
en que V aquí se refiere al potencial de la superficie respecto del infinito.
Aca la suma de todas las cargas en una de las placas de
cada condensador es la carga util, pues toda ella puede
fluir fuera del sistema, de modo que
Q
Q1
Q2
QN
Por otro lado todos los condensadores están sometidos al
2.14. Energía almacenada en un
condensador
El trabajo para mover carga dq entre las placas, cuando
estas tienen carga q y diferencia de potencial ∆V entre
ellas, es
dW
dq ∆V
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pero ∆V
q
C
que hay en cada elemento de volumen en el espacio:
1
u
ε E2
(2.56)
2 0
luego
dW
W
Q
0
q
dq
C
1 2
Q
2C
y la energía almacenada resulta
U W
Q2
2C
1
C∆V 2
2
71
2.16. Concepto de Tierra
en que ∆V se refiere a la diferencia de potencial final
entre los condensadores.
2.15. Energía almacenada en terminos del campo E. Densidad de
energía eléctrica
Entendemos por Tierra: un conductor que puede entregar y recibir una gran cantidad de carga sin variar esencialmente su potencial. Usualmente el valor de su potencial se fija arbitrariamente a cero (nivel de referencia).
Un buen ejemplo para entender en la práctica que significa
una tierra es considerar dos esféras conductoras de radios
a y b, con a
b. Inicialmente se considera las esféras
muy separadas e inicializadas con cargas Qa y Qb respectivamente.
Hemos visto que la energía almacenada se puede escribir
como:
1
1
U ρqV dv
dqV 2
2
si usamos la ecuación de la divergencia del campo eléctrico ρq ε0 ∇ E esta expresión se puede escribir:
U
1
ε ∇ E V dv
2 0
∂ Ey
1
∂ Ex
ε V
V
2 0
∂x
∂y
V
Qa
Qb
a
b
∂ Ez
dv
∂z
Vb
Va
integrando por partes resulta
1
∂V
∂V
∂V
ε
Ex
Ey
Ez
dv
2 0
∂x
∂y
∂z
1
∂
∂
∂
ε
V Ex
V Ey
V Ez dv
2 0 ∂x
∂y
∂z
1
ε E 2 Ey2 Ez2 dv
2 0 x
U
1 ε
∇ V E dv
2 0
1 E 2 dv 1 ε V E
2
2 0
En estas condiciones cada esféra tiene potencial de valor
KQb
a
Va KQ
a y Vb
b .
Si se pone, por algún intervalo de tiempo, en contacto las
esféras entre sí (por ejemplo uniéndolas con un cable conductor), ellas igualan su potencial (las esféras y el cable
forman durante ese tiempo un sólo cuerpo equipotencial).
Q’a
Q’b
dS
+
+ + + +
+
+
+
+
+
+
En esta última expresión el término de flujo asociado a V E
se anula al integrar en la superficie pues para un dominio
de integración muy grande (superficie en infinito) V E se
comporta como r13 mientras que dS r 2 dΩ de modo que
todo el término de flujo va a cero como 1r .
En definitiva resulta:
1
U ε E 2 dv
(2.55)
2 0
Este resultado permite definir la llamada “densidad
de energia” o “energía por unidad de volumen” u
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +
+
+
+
V = V’
+
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
V’b = V’
V’a = V’
Si luego se retira el cable conductor, podemos preguntarnos que cargas tienen ahora ambas esféras.
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
72
Por un lado sabemos que la carga se conserva, de modo ser más intenso en las regiones con radio de curvatura más
que si llamamos Qtotal Qa Qb a la carta inicial, después pequeño. Este se puede apreciar haciendo el cuociente endel contacto se tendrá
tre los radios de los conductores después del contacto
Qa
Qb
Qtotal
para las nuevas cargas. Por otro lado claramente se satisface una relación similar a la anterior para los potenciales
de cada esféra:
KQa
a
KQb
b
Va
Vb
Sólo que ahora Va
ecuación:
σa ε 0
σb ε 0
Eb
Ea
(2.57)
Qa a2
Qb b2
b
a
1
E’a
E’b
a
b
Vb . Esto entrega una segunda
Qa Qb
0
(2.58)
a
b
Del sistema formado por las Ecs. (2.57) y (2.58) sigue
que:
Por ejemplo una situación donde ocurre este es en un arbol
a
Qa
Qtotal
para una condición de tormenta.
a b
b
Qb
Qtotal
E grande
a b
Pero como a
b se tiene
Qa
Qb
Qtotal
+
0
E chico
Es decir el conductor de radio más grande se lleva (o almacena) casi toda la carga, mientras que el pequeño termina
prácticamente descargado.
Por otro el nuevo valor para el potencial resulta:
Va
Vb
+ ++
+
KQtotal
a b
KQtotal
a
Si a ∞ este valor deviene nulo.
Es en este sentido que un conductor de gran tamaño se
puede considerar una tierra: En el ejemplo presentado el
conductor más grande absorve con facilidad la carga. Por
otro lado si el radio de este conductor es muy grande el
potencial en su superficie resulta muy pequeño (para los
efectos prácticos resulta aproximadamente nulo).
Esto nos permite entregar una definición alternativa de
tierra. Una tierra es un cuerpo conductor muy grande (con
radio de curvatura grande), que tiene gran superficie para
almacenar o entregar carga. La esféra más grande a la cual
tenemos acceso es nuestro planeta Tierra.
2.17. Efecto punta
A partir del ejemplo anterior podemos tambien concluir
otro interesante efecto: el campo en un conductor tiende a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
La carga en las nubes atrae un poco de carga de la tierra que se deposita sobre un árbol asilado. El campo en
la superficie del árbol (de radio de curvatura chico: ramas, hojas, etc.) resulta mucho más intenso que el debido
a la densidad de carga sobre la superficie plana del suelo (tierra) y luego el aire es más proclive a romperse, por
ionización, cerca del árbol que en la superficie del suelo.
Este es el principio del pararrayos. Un elemento puntudo (con radio de curvatura pequeño) donde se romperá
primero el aire (permitiendo la caida del rayo en forma
controlada sobre él). También esto muestra el peligro de
guarecerse durante un día de tormenta bajo un árbol en
una región plana (tipo pampa).
2.18. Blindaje
Analizaremos el efecto de blindaje mediante el caso de un
conductor hueco, de forma arbitraria, conectado a tierra.
y que tiene carga q en el interior del hueco.
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
V00=0
-q
-- -
V=0
-- - - q
- --
2
Ñ V=0
73
2.19. Método de Imágenes (o Método de Cargas Virtuales)
Hemos visto que el potencial de una carga puntual ubicada
en un punto rq está dado por
r Kq r V= cte = 0
E=0
V=0
V r
q
Este potencial permite calcular el campo eléctrico mediante
Kq r rq
E
∇V
r rq 3
Tierra V= 0
Resolvemos usando unicidad de la Ecuación de Laplace:
Por otro lado hemos visto (en el Capítulo 1) que esta última expresión tiene divergencia nula excepto en r rq :
∇ E ∇
∇V
∇ 2V 0
En el conductor se satisface ∇2V 0 con solución
V r
V0 cte. En particular en el borde exterior Es decir el campo generado por una carga puntual satisdel conductor se tiene V V0 .
face la Ecuación de Laplace en todas partes excepto donde
se encuentra ubicada ella misma.
Afuera se satisface la Ecuación de Laplace con
condiciones de borde V 0 en infinito y V 0 so- El método de imágenes o de las cargas virtuales se apoya
bre la superficie del conductor de forma arbitraria y en esta propiedad del campo generado por cargas punV 0 sobre la superficie de la tierra. Se postula como tuales. La idea es inventar un conjunto de cargas virtuales
solución para todo el espacio de afuera V Cte 0 que sean capaces de reproducir las condiciones de borde
que satisface tanto las condiciones de borde como para el potencial en un cierta región. Las cargas virtuales
∇2V 0 y por unicidad es LA solución. Como el deben estár ubicadas fuera de la región en que interesa
gradiente de cero es nulo, el campo afuera resulta conocer el potencial, de manera que el campo generado
nulo (blindaje) a pesar de que hay una carga en el por ellas tenga divergencia nula sobre la región en que interesa resolver la Ec. de Lapace (es decir el potencial geninterior.
erado por ellas satisfaga automaticamente allí ∇2V 0).
Por otro lado aplicando teorema de gauss a una su- La condición de borde se satisface escogiendo el valor,
perficie por dentro del conductor se puede encontrar ubicación y cantidad de cargas imágenes.
que en la superficie del huego se genera una distribución de carga superficial cuyto total Qsup es justo op2.19.1. Ejemplos
uesta en valor a la carga dentro del hueco
Qsup
q
1. Carga q a distancia d de un conductor plano conectado a tierra.
El campo dentro del hueco resulta complicado y
retrasaremos su estudio hasta la sección siguiente:
método de imágenes.
d
La consecuencia importante de este ejemplo es que a pesar de haber carga adentro del conductor, y campo dentro
del conductor. Afuera no se siente dicho campo si el conductor está conectado a tierra.
{
q
Aquí interesa conocer el campo en la región que está
sobre la placa pues dentro de ella sabemos que trivialmente E 0.
Para satisfacer la condición de borde V 0 sobre la
superficie de la placa se ubica una carga imagen de
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valor q a distancia d bajo la superficie (en la región
conductora, donde no nos interesa resolver la Ec. de
Laplace).
74
En la figura siguiente se grafíca esta densidad de carga como función de la distancia ρ .
s(r)
Y
d
V(r)
{
{
q
r
rq
-q
2
2pd
X
r-q
d
-q
El potencial total estaría dado por:
r Kq r r Kqr V r
con rq
d ẑ y rq
q
(2.59)
q
Es fácil verificar que la carga total sobre la superficie
es q. Esto se puede hacer en forma directa aplicando el teorema de gauss por una superficie que está
justo debajo de la superficie z 0 y que se cierra en
infinito por arriba.
d ẑ.
Las dos cargas satisfacen automáticamente la condición en infinito de potencial nulo, y cerca de la carga
puntual ubicada en z d (en la región esférica en
torno a dicha carga) el potencial está dominado por
la contribución
Kq
Vq r
r rq
E=0
de la propia carga q, de modo que todas las condiciones de borde se satisfacen y también se satisface
la Ecuación de Laplace sobre la región de interés.
Por unicidad entonces el potencial propuesto en Ec.
(2.59) es la solución al problema.
Calculemos ahora el campo que se genera justo encima de la superficie conductora y la densidad de carga
allí.
Como consideramos el campo sobre el plano
tomamos z 0. El vector de posición en coordenadas
cilíndricas queda dado por: r ρ ρ̂ zẑ ρ ρ̂ .
El campo total sobre la superficie está dado por:
Esup
Kq ρ ρ̂ d ẑ ρ ρ̂ dẑ Kq ρ ρ̂ d ẑ
r d ẑ 3
3
2Kqd ẑ
ρ 2 d2 3
2
La densidad de carga resulta
σ ρ
ε0 Esup ẑ
2π ρ 2
qd
d2
d
{
q
Qsup
E=0
Como el flujo es nulo la carga total encerrada q
debe ser nula también de donde sigue:
qsup
qsup
q
Pero esto también se puede verificar por integracioñ
directa:
Qsup
σ ρ dS
qd 2π
∞
qd 0
ρ dρ dφ
ρ 2 d2 3 2
ρ dρ
2
ρ
d2 3 2
qd
1
d
Otra pregunta de interés es qué fuerza hace la placa conductora sobre la carga puntual. Esto se puede
3 2
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contestar integrando directamente la fuerza provocada sobre q por la densidad de carga σ vía:
F
q
qE
dKẑ σ rdS
4. Carga q cerca de una esquina en ángulo de π 4.
3 2
qE
q
-q
q
o simplemente evaluando el campo sobre q producido por la carga virtual q:
F
75
p/4
-q
q
q
-q
Kq2
ẑ
4d 2
d ẑ
Kq d ẑ
d2 d2 3 2
2. Carga q cerca de la esquina rectangular de un conductor conectado a tierra
q
-q
{
a
-q
q
}
+q
b
Ejercicio propuesto: Ya vió el caso con ángulo π 2,
y ahora el caso con π 4. ¿Es posible resolver el caso
de un ángulo π n. ¿Para que valores de n es posible
esto?.
5. Cable recto con densidad de carga λ0 paralelo a la
tierra
-q
l0
En la figura se muestra el conjunto de imagenes que
resuelve la Ec. de Laplace para el potencial.
Ejercicio propuesto: Evalúe la densidad de carga en
los puntos A, B y C. Compare. ¿Efecto punta?.
d
Z=0
d
3. Carga q equidistante entre dos planos conductores
paralelos
{
{
-l0
La solución corresponde a elegir un cable imagen a
distancia d bajo la superficie z 0.
-q
q
a/2
q
}
}
}
}
}
a
-q
q
a/2
a/2
a
Ejercicio propuesto: Evalúe el potencial que siente
la carga central. Escriba expresiones (si realizar la
suma de la serie que resulta) para el campo justo en
la superficie de la derecha
2.20. Línea de transmisión formada
por dos conductores cilíndricos paralelos de radio a y separación entre sí
. Un aspecto interesante del ejemplo correspondiente al
problema anterior es que el potencial en todo el espacio
generado por los dos cables está constituido por superficies equipotenciales que son cilíndros excéntricos a cada
cable. Esta particularidad permite estudiar el potencial en
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todo el espacio formado por cilíndros conductores macizos a partir del generado por dos cables de densidades de
carga λ0 y λ0 ..
{{
2.20.1. Cálculo de la capacidad entre dos
conductores cilíndricos de radio a y
separación
.
Supondremos que los conductores están a potencial V0 y
V0 La idea aquí es aprovechar el resultado para el ejemplo anterior: ponemos cables imágenes (de grosor infinitesimal y densidades de carga λ0 y λ0 ) en el interior de los
conductores. Se tiene que determinar la separación 2d entre los cables imágenes de manera que ellos formen una
superficie equipotencial V V0 a distancia a del centro de
los cables.
La relación entre la separación la distancia d entre los
cables imágenes y el radio a de los conductores está dada
por:
Y
V
{
y-d
p2
l0
{
p1
{
d
y+d
76
X
X
d
α0
α0
-l0
a
Efectivamente, el potencial total generado por los dos cables en el espacio satisface
V
ρ
2K λ0 ln 1
ρ0
ρ
2K λ0 ln 1
ρ2
2K ρ
λ0 ln 2
ρ0
yy dd xx
2K λ ln
Kλ ln y d x y d x
2
0
2
0
de donde sigue que
e
V
Kλ
yy dd 0
2
2
2
2
2
x2
x2
2
Esta expresión se puede llevar a la forma
x
x0
2
y
y0
2
en que α0
tiene
e
V0 K λ0
. Haciendo cuociente entre y a se
αα 11 α α 1
0
a
α0
0
0
0
ex
1
α0
1 si x 0). A partir de esta
donde hemos usado que
última ecuación sigue que a α0 α0 1, de donde se
obtiene una ecuación de 2do grado para α0 :
α02
2
2
1
d
1
α0
2
d
α0 1
2
2
2a2
α0
β
1
2
α0
1
0
con solución
en que β
(ya que 2
2a2
β2
1
(2.60)
1 es una cantidad que es mayor que 1
2a).
Se tiene entonces (via ln α0
V0
K λ0
a2
V0
ln e K λ0 ) que:
ln α0
de donde sigue que la capacidad, en un segmento de longiV
encontrándose, si definimos α
e K λ0 , que el centro tud L del cable (usando que Q λ0 L y ∆V 2V0 ) resulta
x0 y0 y el radio a, de cada equipotencial, están dados
λ0 L
Q
por:
C
∆V
2V0
x0
0
L
α 1
2K
ln
α0
d
y0
α 1
L
α
2
2
d
a
2 12 1
2K ln 2a
1
α 1
2
2a2
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Si los cables están muy separados entre sí (
2a), el argumento del logaritmo se puede aproximar de la siguiente
manera
2a 1 1 2a 1
2
2
2
2
2
2
77
que evaluado a la altura del suelo (y
E
2
C
2
ln
2πε0 L
2a 2
4 l 2a
a
ln
a2
ε0 E ŷ
4K ε0 λ0 d
d 2 x2
πλ0 d
d 2 x2
2πε0 L
σ
expresión que se usa usualmente en cálculos de líneas de
transmisión. Por otro lado si los cables están muy cerca
2a se tiene
4K λ0 d
ŷ
d 2 x2
y 0
la densidad de carga resulta:
2a2
y la capacidad de un segmento de cable de longitud L
resulta aproximadamente
πε0 L
L
C
(2.61)
4K ln a
ln a
2
a2
∇V
0) entrega:
Para los valores de más arriba se tiene
λ0
α0
d
πε0V0
0 083[µ C]
ln 2b
a
V
exp 0
4 12 1011
K ε0
b 10[m]
2.20.2. Campo y densidad de carga genera- Justo debajo del cable se siente un campo de:
da en el suelo por una línea de trans4K λ0
ẑ 299 2ẑ Volts/m
E
misión formada por un solo cable de
b
radio a y separación b del suelo
y la densidad superficial de carga resulta allí de:
Supondremos que el cable conductor tiene voltaje V muy
alto (V 20 000 [Volts]), que su distancia al suelo es b
10 [m], y que su grosor es de una pulgada (a 2 5 [cm]).
La situación es similar al problema anterior si consideramos que hay una imagen del cable a distancia b por debajo del suelo. Los cables infinitesimales imagen tiene separación d y densidad de carga λ0 dadas por:
α0
α0
Q
L
d
λ0
1
b
1
CV0
L
πεln V 0
0
2b
a
σ
πλ0
b
0 026 [µ C]
A distancia x del cable estos valores decrecen como
1 1
x b 2 . Para x 10[m], por ejemplo, se tiene
E
150 [Volts/m].
2.21. Conductor esférico conectado
a tierra, frente a carga puntual
q
en que C es la capacidad del cable recien calculada.
El potencial total generado por los dos cables en todo el
espacio fuera de los conductores satisface
ρρ y d
K λ ln y d
2K λ0 ln
1
d
{
V
0
con gradiente
∇V
2
2
x2
x2
x̂
y 8dxy
d
x 4d d x y ŷ y d x K λ0
2
2
2
2
2 2
2
2 2
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
d’
{
2
X
q’
a
q
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Un plano conductor conectado a tierra tiene una imperfección esférica de radio a. Sobre esta, a distancia d del plano (con d a), se hubica una carga q.
Encuentre el conjunto de imágenes que resuelve el
problema de calcular el potencial en la región sobre
el conductor.
Consideramos una esféra de radio a y separación d entre
su centro y la carga puntual. Ubicamos una carga imágen
en el interior a distancia d del centro.
El tratamiento (en coordenadas cartesianas) es similar al
de los dos cables, buscándose llevar la superficie equipotencial V 0 a la forma
x x y y z z 2
2
0
0
0
2
a2
78
Esféra conductora conectada a potencial V0 respecto de Tierra
Se encuentra que la ubicación y magnitud de las cargas
imágenes que resuelven este problema valen:
d
q
{
d
a2
d
a
d
q
a
2.21.1. Ejercicios propuesto
Hueco en conductor.
Indicación: la diferencia de este problema respecto
del problema de la esfera conectada directamente a
tierra, es que se debe además agregar una carga central que reproduzca el potencial V0 sobre la superficie
del conductor.
{
d
X
q’
a
2.22. Método de Relajación para resolver la Ecuación de Laplace
(método numérico)
Plano conductor con imperfección semiesférica.
Por simplicidad presentaremos el método aplicándolo al
calculo del potencial en una región rectangular de tamaño
Lx Ly constituida por dos conductores en forma de L que
están sometidos a potenciales V0 y V0 . La separación
(entrehierro) entre las placas cargadas positiva y negativamente, por simplicidad la supondremos de Lx 16 para
la esquina inferior izquierda y de Ly 16 para la esquina
superior derecha.
{
Lx
{
{
d
q
h
a
- V0
X
{
h
V0
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
{
Considere un hueco de radio a al interior de una esféra conductora conectada a tierra. Dentro del hueco,
a distancia d del centro del hueco se ubica una carga
q. Aproveche el resultado para la esfera del ejemplo
anterior y determine la carga imágen q y la distancia
d a la cual hay que ubicar dicha carga imágen.
Ly
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Considerarems Nx
16, Ny
16 y supondremos discretizada la región de tamaño Lx Ly en Nx Ny celdas
rectángulares de tamaño
79
del mismo modo se puede calcular la derivada por la
izquierda:
dVi
dV i
dx
dx
Vi
V
i 1
h
x xi
Ly
Ny
¿Cómo se calcula la segunda derivada?. Se usa las
derivadas por la izquierda y por la derecha en los puntos
vecinos al punto central y se estima la segunda derivada
mediante
dv
dx
dv
dx
x-h
i-1
Ny
i
{
{
dV
dx x h
dVi2
dx2
dV i 1
dx
En la figura los puntos marcados con círculos llenos ( )
corresponden a los puntos donde queremos conocer el potencial. Los círculos vacíos (o) es donde el potencial está
prescrito por las condiciones de borde.
2.22.1. Como calcular
Vi
dVi2
dx2
{
{
V i 1
x xi
1
Vi
h
1
V hV i
2Vi
Vi
i 1
1
(2.62)
De acuerdo con esto y la figura
{
{
{
h
Vi
h
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
j+1,i
h
{
dx
1
V
2h2 i
La derivada por la derecha en el punto xi se aproxima por
dVi
dx
2h
Vi
2.22.2. La Ecuación de Laplace discreta
i-1,j
2h
dV i 1
dx
X
Xi +1
dVi dV
dx x h
de donde finalmente se tiene:
Xi
Vi +1
h
h
Xi -1
1
2h
numéricamente
Lo primero a discutir es como se evalúa una derivada
numéricamente en forma aproximada. Consideremos el
eje x de la figura.
Vi -1
X
i+1
2h
Nx
∇ 2V
x+h
{
Lx
Nx
h
i i,j
j-1,i
i+1,j
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
80
j=ny
j=ny-1
el laplaciano (derivadas segundas tanto respecto a x como
respecto a y) sería
V 2V
V
V - V0
…
∇ 2V
1
2h2
xi yi
j=1
i j
i 1 j
i 1 j
i j 1
2Vi
Vi
j
j 1
j=0
i=0
La ecuación de Laplace exige ∇2V
0 de modo que
a partir de esta última expresión resulta la siguiente
relación:
1
V
4 i
Vi
j
1 j
Vi
Vi
1 j
Vi
j 1
j 1
…
i=2
i=nx
i=nx-1
V0
(2.63)
En otras palabras, el potencial en el punto de indices i j
es el promedio aritmético del potencial en los 4 puntos
más cercanos (primeros vecinos).
2.22.3. El algoritmo
i=1
1. Se parte con valores iniciales cualquiera para los
puntos i j (excepto para los puntos del borde, que
tienen un valor fijo y conocido )
2. Para cada punto i j (que no sea punto de borde) se
obtiene un nuevo valor a partir de los valores anteriores usando la formula 2.63.
# fila inferior
for(i=0; i<=Nx; i++)
# columna derecha
for(j=1; j<Ny; j++)
# fila superior
for(i=0; i<=Nx; i++)
# columna derecha
for(j=1; j<Ny; j++)
{ V[i,0] = -Vo}
{ V[Nx,j]= -Vo}
{ V[i,Ny]= Vo}
{ V[0,j] = Vo}
Dar valor inicial al azar entre V0 y V0 a cada punto
interior de la grilla (se hace uso de función rand()
que genera números al azar entre 0 y 1)
1
V (viejo)
4 i 1j
Vi(nuevo)
j
Vi(viejo)
1 j
Vi(viejo)
j 1
Vi(viejo)
j 1
(2.64)
for(i=1; i<Nx; i++) {
for(j=1; j<Ny; j++) {
V[i,j]= Vo*(2*rand()-1);
}
}
3. Se repite el proceso hasta que la diferencia
Vi(nuevo)
j
Vi(viejo)
j
sea menor que un valor muy chico, prefijado, para
todos los puntos i j .
2.22.4. Las partes del código
Primero explicaremos las distintas partes del codigo. Se
usará lenguaje AWK (muy parecido a lenguaje C).
Dar valores al potencial en los bordes (condición de
borde):
Ciclo de iteración donde se calcula nuevos valores
para cada V[i,j]
do {
# metodo de relajacion
for(i=1;i<Nx; i++) {
for(j=1;j<Ny; j++) {
Viejo[i,j]=V[i,j];
V[i,j]=0.25*(V[i+1,j]+V[i-1,j]
+V[i,j+1]+V[i,j-1]);
# err[i,j] se requiere para
# calcular el error posteriormente
err[i,j]=sqrt((V[i,j]-Viejo[i,j])^2);
}
}
# calculo del error. Se termina si la
# precision es la adecuada
terminar=VERDADERO;
for(i=1;i<Nx; i++) {
for(j=1;j<Ny; j++) {
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
if (err[i,j]>PRECISION)
terminar=FALSE;
#pared derecha:
sigma[Nx,j]= -epsilon0*Ex[0,j];
#pared abajo:
sigma[i,0]= epsilon0*Ey[i,0];
#pared arriba:
sigma[i,Ny]= -epsilon0*Ey[i,Ny];
}
}
} while(terminar!=VERDADERO);
Etapa final: Se termina de calcular y hay que imprimir los valores del potencial para cada punto i j .
for(i=1;i<Nx; i++) {
for(j=1;j<Ny; j++) {
print(i,j,V[i,j]);
}
}
i
{
V[i,Ny]
h
V[Nx,j]
V[i,Ny-1]
j-1
V[Nx-1,j]
{
i
{
h
V[1,j]
i
2.22.5. El código completo y final
#-----------------------------# Codigo de Felipe Pezo
# (Curso Electromagnetismo
# Primavera 2000).
# Calculo de Potencial
# y Capacidad de un capacitor
# de geometria rectangular en forma de
# 2 Ele’s conectadas a sendos
# Potencials Vo y -Vo
#-----------------------------BEGIN {
h
j-1
V[0,j]
V[i,1]
V[i,0]
i-1
La carga total sobre las placas a potencial V0 y la
capacidad C entre las placas se calcula vía:
Q=0;
for(i=0;i<Nx;i++){ Q=Q+sigma[i,Ny]*h*Largo; }
for(j=1;j<Ny; j++){ Q=Q+sigma[0,j]*h*Largo; }
C=Q/(2*Vo);
print("Capacidad es: ",C," farad");
Adicionalmente se puede calcular la capacidad. Para
ello el campo superficial en cada punto de las paredes izquierda, derecha, abajo y arriba (ver figura) se
obtiene mediante:
i-1
i
81
i+1
#pared izquierda:
Ex[0,j] = -(V[1,j]-V[0,j])/h;
#pared derecha:
Ex[Nx,j]= -(V[Nx,j]-V[Nx-1,j])/h;
#pared abajo:
Ey[i,0] = -(V[i,1]-V[i,0])/h;
#pared arriba:
Ey[i,Ny]= -(V[i,Ny]-V[i,Ny-1])/h;
La densidad superficial por unidad de largo en cada
punto de la caja se calcula como: σ ε0 E n̂. Es decir
#pared izquierda:
sigma[0,j]= epsilon0*Ex[0,j];
# CONSTANTES
FALSE=0;
TRUE=1;
EPSILON0=8.84*10^(-12);
PRECISION=0.000001;
Vo=1.0;
Lx=0.1;
Ly=0.1
Nx=16;
Ny=16;
h=Lx/Nx;
# CONDICION DE BORDE
for(i=0;i<=Nx;i++) {
V[i,0]=-Vo;
V[i,Ny]=Vo;
}
for(j=1;j<Ny;j++) {
V[Nx,j]=-Vo;
V[0,j]=Vo;
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# Segmento vertical:
Qv=0;
for(j=1;j<Ny;j++){
Qv=Qv+(V[Nx,j]-V[Nx-1,j]);
}
}
# INICIALIZACION POTENCIAL
# EN INTERIOR
for(i=1;i<Nx;i++){
for(j=1;j<Ny;j++){
V[i,j]=Vo*(2*rand()-1);
}}
print("Ctrl-D para calcular")
# CALCULO DE LA CAPACIDAD
# POR UNIDAD DE LONGITUD
C=(EPSILON0*(Qv+Qh)/h)/(-2*Vo);
print("Capacidad=",C,"[farad]");
}
}
END{
# CICLO DE RELAJACION
do {
Terminar=TRUE;
La version presentada corresponde al codigo de un exalumno de este curso (F.Pezo). En ella se salva los valores
del potencial en un archivo V.dat., y se imprime a pantalla el valor de la capacidad calculada.
El codigo, almacenado en archivo relaja.awk, se ejecuta bajo ambiente Unix (Sun Solaris, Linux, CygWin
para Windows, etc.) mediante el comando
for(i=1;i<Nx;i++){
for(j=1;j<Ny;j++){
Vviejo[i,j]=V[i,j];
V[i,j]=0.25*(V[i+1,j]\
awk -f relaja.awk
+V[i-1,j]\
y las líneas equipotenciales que resultan del archivo de
+V[i,j+1]\
salida
V.dat se muestran en la siguiente figura
+V[i,j-1]);
err=sqrt((V[i,j]-Vviejo[i,j])^2);
if(err>PRECISION){
Terminar=FALSE;
}
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
14
0.2
0.1
12 2.22e-16
-0.1
10
-0.2
-0.3
-0.4
8
-0.5
-0.6
6
-0.7
-0.8
-0.9
4
}}
} while(Terminar==FALSE);
# SE SALVA POTENCIAL
# EN ARCHIVO DE NOMBRE V.dat
printf("\n") > "V.dat";
for(i=0;i<=Nx;i++){
for(j=0;j<=Ny;j++){
print(i,j,V[i,j]) >>"V.dat";
}
printf("\n") >>"V.dat";
}
# CALCULO DE LA CARGA EN CADA
# PLACA, POR UNIDAD DE LONGITUD
# Segmento horizontal:
Qh=0;
for(i=1;i<Nx;i++){
Qh=Qh-(V[i,1]-V[i,0]);
}
2
-0.5
0.5
-1
0
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Si se considera una caja rectangular de lados Lx Ly
0 10 [m]. Con separación entre las placas de h Lx 16 y
sometidas a sendos potenciales V V0 1 [Volt] y V
V0
1 [Volt]. Discretizando la superficie en 16 16
celdas rectangulares, la capacidad, por unidad de largo, de
este ejemplo resulta: 5 10 10 3 [µ farad]. Aunque debe
comentarse que en este caso el cálculo tiene un cierto error
debido al tremendo gradiente de potencial que se genera
en las puntas, donde la densidad de carga se hace muy
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grande y la grilla rectangular que hemos usado no es suficientemente fina para describir bien la densidad de carga
superficial en dichos puntos.
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el cálculo de la densidad de carga superficial y el correspondiente potencial serán bastante precisos tomando una
grilla en que halla, por ejemplo unos 10 puntos en cada
placa.
2.22.6. Ejercicio Propuesto
Considere un condensador de placas planas de tamaño
finito L y separación d entre placas como muestra la figura.
L
L
{
- V0
V=0
d
V0
L
Suponga que el potencial en los bordes de la caja es nulo
(que las paredes están muy lejos).
Considere que la distancia de las paredes a las placas conductoras es L. Considere sendos potenciales V0 y V0
aplicados a cada placa. Modifique el programa anterior
para estas condiciones de borde y la condición para V sobre las placas. Encuentre el potencial en todo el espacio.
Gráfique las curvas isopotenciales, y calcule la capacidad
de este sistema.
Estudie el efecto de considerar distintas relaciones ancho–
separación de las placas, en particular visualize el efecto
de curvatura del campo cerca de los bordes cuando d L.
¿Qué tan distinto resulta la capacidad evaluada numéricamente comparada con la capacidad teórica de un condensador de placas planas en que se supone la densidad
de carga distribuida homogéneamente sobre las placas?.
Imprima los valores de la densidad de carga superficial en
una de las placas y grafique para visualizar el efecto punta.
La ventaja de este ejercicio, respecto del ejemplo desarrollado anteriormente, es que los gradientes de potencial no
serán tan abruptos como en el ejemplo anterior, y luego
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