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1 031 AMPLIACIÓN DE FÍSICA I
Examen de junio 2 007-06-28
RESOLUCIÓN POSIBLE para la Segunda Parte
1) El campo eléctrico se obtiene mediante el teorema de Gauss pues la simetría de revolución determina E =
Eρ uρ . El campo y el potencial sólo dependen de ρ. Por tanto:
2πρEρ =
λ
ε0
E=
λ uρ
2πε0 ρ
El potencial se deduce del anterior
E = − grad V
⇒
Como V(1) = 0, la constante es nula y
V=−
Z
V=−
E · d` + cte. = −
λ
ln ρ + cte.
2πε0
λ
ln ρ
2πε0
2) Aplicando el principio de superposición y de acuerdo con la figura 1 se obtiene
V=−
ρ+
λ
ln
+ cte
2πε0 ρ−
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a la Ingeniería
Industrial
Fig.1: Sistema plano (z = 0) de las dos distribuciones.
La condición V(ρ, π/2) = 0 V(ρ, 3π/2) = 0, para todo ρ, determina cte. = 0 y sustituyendo en función de ρ
y ϕ:
p
ρ2 + 2ρa cos ϕ + a2
λ
ln p
V(ρ, ϕ) = −
2πε0
ρ2 − 2ρa cos ϕ + a2
3) La línea equipotencial correspondiente al valor V1 es
p
ρ2 + 2ρa cos ϕ + a2
λ
ln p
V1 = −
2πε0
ρ2 − 2ρa cos ϕ + a2
2πε0 V1
λ
se obtiene
e introduciendo el parámetro k = e
−
ρ2 + 2ρa cos ϕ + a2
= k2
ρ2 − 2ρa cos ϕ + a2
es decir
ρ2 + 2a
y pasando a coordenadas cartesianas
1 + k2
ρ cos ϕ + a2 = 0
1 − k2
x2 + y2 + 2a
1 + k2
x + a2 = 0
1 − k2
4) La ecuación obtenida corresponde a una circunferencia de centro en y = 0 cuya ecuación general es
(x − xC )2 + y2 = R2
Identificando con la obtenida en el epígrafe anterior se obtiene las coordenadas del centro y el radio de la
misma
1 + k2
k
xC = −a
yC = 0
R = 2a
2
1−k
|1 − k2 |
Para valores positivos de V1 (0 < V1 < +∞), se tiene 0 < k < 1 y ρ+ /ρ− < 1. Para valores negativos de V1
(−∞ < V1 < 0), se tiene 1 < k < +∞ y ρ+ /ρ− > 1. Como R > 0 siempre, se ha introducido el valor absoluto
en su denominador para que la expresión sea válida en cualquier caso.
De acuerdo con lo que acaba de indicarse, en el caso de V1 > 0 es k < 1 y la abscisa del centro es negativa.
En resumen
xC = −a
1 + k2
1 − k2
yC = 0
R = 2a
k
1 − k2
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Fig.2: Línea equipotencial V = V1 .
5) En el caso V1 < 0 es k > 1 y la ecuación de la circunferencia adopta la misma forma general que en 4), con
los siguientes valores:
(x − xC )2 + y2 = R2
xC = a
k2 + 1
k2 − 1
yC = 0
R = 2a
k
k2 − 1
6) El campo eléctrico se obtiene a partir del potencial
E=−
∂V
1 ∂V
uρ −
uϕ
∂ρ
ρ ∂ϕ
El resultado es
λa
(a2 − ρ2 ) cos ϕ
πε0 (ρ2 + a2 )2 − 4ρ2 a2 cos2 ϕ
λa
(ρ2 + a2 ) sen ϕ
= −
πε0 (ρ2 + a2 )2 − 4ρ2 a2 cos2 ϕ
Eρ =
Eϕ
7) La ecuación de las líneas de campo es
es decir
(a2
dρ ρdϕ
=
Eρ
Eϕ
dρ
ρdϕ
=− 2
2
− ρ ) cos ϕ
(a + ρ2 ) sen ϕdϕ
a2 + ρ2
cos ϕ
dϕ
dρ = −
2
2
sen ϕ
ρ(a − ρ )
Para ρ < a se obtiene
a2
ρ
C
=
2
sen ϕ
−ρ
(ρ < a)
Para ρ > a se obtiene
ρ2 − a2
= C 0 sen ϕ
ρ
(ρ > a)
8) Si se sustituye ρ = a en Eρ se obtiene valor nulo para cualquier ϕ excepto en los dos puntos del eje x que
coinciden con las distribuciones. Es decir,
La línea de campo por ρ = a, ϕ = π/2, es la circunferencia ρ = a
9) Por el punto ρ = 2a, ϕ = π/4, pasa la línea de la familia campo de parámetro
C0 =
4a2 − a2
3
= √ a
√
2a 2/2
2
y la ecuación de la línea de campo es
√ 2
2 ρ − a2
ρ
3a sen ϕ
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10) La figura 3 muestra el aspecto de las líneas equipotenciales (en azul) y las de campo (en rojo) .
Fig.3: Familia de líneas equipotenciales y de campo.