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Ponticia Universidad Católica de Chile
Facultad de Física
Electricidad y Magnetismo: Fis 1532-1; Fiz 0221-1
Ayudantía 19
Ley de Ampere
Profesor: Ricardo Ramirez([email protected])
Ayudante: Daniel Narrias ([email protected])
Miércoles 05 de Noviembre del 2008
Problema 1
Un cable de radio R lleva una densidad de corriente J~ = J0 ẑ . El cable tiene un hoyo
cilíndrico de radio r paralelo al eje del cilindro a distancia b de él. Muestre que el campo
magnético dentro de la cavidad es uniforme.
Solución:
Encontremos primeramente el campo magnético en el interior de un cilindro con densidad de corriente J~ = J0 ẑ (paralelo a su eje de simetría). Por la simetría de la densidad
de corriente y del cilindro, tenemos que el campo magnético debe tener simetría cilín~ r) = B(r)θ̂.
drica y B(~
Consideremos un camino circular de radio r concéntrico al eje de simetría del cilindro.
Así, usando ley de Ampere, tenemos
I
~ · d~r = µ0 ienc
B
I
Z
B(r)θ̂ · dsθ̂ = µ0 J~ · n̂dS
Γ
I
ZS2π Z r
B(r) ds = µ0
J0 ẑ · ẑrdrdθ
Γ
0
0
Z 2π Z r
B(r)2πr = µ0 J0
rdrdθ
Γ
0
B(r)2πr = µ0 J0 πr2
1
0
1
µ0 J0 r
2
1
~
µ0 J0 rθ̂
=⇒ B(r)
=
2
=⇒ B(r) =
~
Por tanto, el campo magnético dentro del cilindro es B(r)
= 21 µ0 J0 rθ̂.
Ahora, para resolver nuestro problema, usaremos el principio de superposición. El campo magnético producido por el cilindro con una cavidad es equivalente al campo magnético producido por el cilindro completo con densidad J~ = J0 ẑ superpuesto con el
campo producido por la cavidad cilíndrica con densidad −J~ = −J0 ẑ .
La complicación de este problema es el hecho que el campo magnético fue calculado
respecto el eje de simetría del cilindro, por lo que los vectores bases (en particular, el
vector θ) cambiarán para el campo de cada cilindro. Es importante contemplar esto
y ser consistente para llegar al resultado deseado. Considerando esto, tenemos que el
campo magnético del cilindro completo (digamos, cilindro 1) y el campo magnético de
la cavidad cilíndrica (digamos, cilindro 2) dentro de la cavidad, están dados por
1
µ0 J0 r1 θˆ1
B~1 =
2
1
B~2 = − µ0 J0 r2 θˆ2
2
Tenemos que r~1 = r~2 + ~b, donde r~1 ,r~2 son los vectores respecto el eje de 1 y 2,
respectivamente. Además, por las relaciones de los vectores bases, tenemos que θˆi =
ẑ × rˆi .
Por tanto, el campo dentro de la cavidad es
~ = B~1 + B~2
B
1
1
=
µ0 J0 r1 θˆ1 + − µ0 J0 r2 θˆ2
2
2
1
ˆ
ˆ
=
µ0 J0 r1 θ1 − r2 θ2
2
1
=
µ0 J0 (r1 ẑ × rˆ1 − r2 ẑ × rˆ2 )
2
1
=
µ0 J0 ẑ × (r1 rˆ1 − r2 rˆ2 )
2
1
µ0 J0 ẑ × (~
r1 − r~2 )
=
2
1
=
µ0 J0 ẑ × ~b
2
por lo que claramente el campo magnético dentro de la cavidad es constante y depende del vector desplazamiento entre los ejes de los cilindros 1 y 2.
2
Note la semejanza de este problema con uno resuelto en ayudantías anteriores, especícamente en la ayudantía de ley de Gauss, problema 4.
Problema 2
Se tiene un conductor cilíndrico de radio R, innito, que lleva una corriente i, y un
conductor plano, de ancho a, largo innito y corriente supercial i0 . Ambos son paralelos,
y el plano y el eje del cilindro son coplanares.
~ sobre el eje x, para x > a.
a) Encuentre el campo magnético B
b) Encuentre la fuerza de interacción por unidad de largo.
Solución:
Calcularemos el campo magnético de ambas conguración, y luego usaremos superposición para encontrar el campo total.
Calculemos primeramente el campo producido por la huincha. Consideremos la huincha
como una sucesión de alambres de corriente di0 . Ya que la corriente está uniformemente
distribuida sobre la huincha, se debe cumplir la relación
0
dx
di0
0
0 dx
=
=⇒
di
=
i
i0
a
a
Encontremos el campo magnético generado por un alambre con corriente di0 (para
todos los efectos, es lo mismo que considerar i). Consideremos un camino circular de
radio r concéntrico al alambre. Así, por ley de Ampere, tenemos
I
~ · d~r = µ0 ienc
dB
Γ
2πrdB(r) = µ0 di0
0
~ = µ0 di θ̂
=⇒ dB
2π r
µ0 i0 dx0
=
θ̂
2πa r
3
Como queremos encontrar el campo magnético para x > a, el campo producido
por cada alambre innitesimal debe tener sentido −ẑ . Además, si x es el punto de
observación en el eje x y x0 la coordenada del alambre, tenemos nalmente dB~1 =
µ0 i0 dx0
− 2πa
ẑ .
x−x0
Por tanto, usando superposición, el campo sobre el eje x para x > a producido por la
huincha es
a
µ0 i0 dx0
ẑ
2πa x − x0
0
Z
µ0 0 a dx0
i
= −
ẑ
2πa 0 x − x0
µ0 0
0
i ẑ ln(x − x0 )|a
= −
2πa
x
µ0 0
i ln
ẑ
= −
2πa
x−a
B~1 (x) =
Z
−
Ahora calculemos el campo magnético generado por el cilindro. Debemos calcular el
campo fuera y dentro del cilindro. Encontremos primeramente el campo fuera del cilindro. Consideremos un camino circular de radio r > R, concéntrico al eje del cilindro.
Usando ley de Ampere, tenemos que
I
~ ext · d~r = µ0 ienc
B
Γ
2πrBext (r) = µ0 i
µ0
i
=⇒ Bext (r) =
2πr
Tenemos que r = |x − b|, por lo que
Bext (r) =
µ0 i
i
2π|x − b|
El sentido lo determinaremos después por regiones.
Ahora encontremos el campo dentro del cilindro. Consideremos un camino de radio
r < R, para usar la ley de Ampere. En este caso, tenemos que
r 2
ienc
πr2
=
=⇒
i
=
i
enc
i
πR2
R
Por tanto
4
I
~ in · d~r = µ0 ienc
B
Γ
r 2
2πrBin (r) = µ0 i
R
µ0 i
=⇒ Bin (r) =
r
2πR2
µ0 i
=
|x − b|
2πR2
Ahora encontremos el campo magnético para x > a, distinguiendo en regiones.
Recuerde que las lineas de campo del cilindro son cilindros concéntricos al cilindro con
corriente, por lo que para x > b el campo magnético apuntará en −ẑ y para a < x < b
apuntará en ẑ .
I) a < x < b − R
~ = (Bext − B1 ) ẑ =
B
µ0 0
µ0 i
i−
i ln
2π(b − x)
2πa
x
x−a
ẑ
II) b − R < x < b
~ = (Bin − B1 ) ẑ =
B
µ0 i
µ0 0
(b − x) −
i ln
2
2πR
2πa
x
x−a
ẑ
III) b < x < b + R
~ = (−Bin − B1 ) ẑ = −
B
µ0 0
µ0 i
(x − b) +
i ln
2
2πR
2πa
x
x−a
ẑ
IV) x > b + R
~ = (−Bext − B1 ) ẑ = −
B
µ0 i
µ0 0
i+
i ln
2π(x − b)
2πa
x
x−a
ẑ
Problema 3
Considere un solenoide recto, de largo innito, radio R, con N vueltas por unidad de
longitud y con corriente i por vuelta. Encuentre el campo magnético en todo el espacio.
Solución:
Considere los tres caminos de la gura.
Por la simetría del problema, tenemos que el campo no puede depender de z ni de
~ r) = B(r)ẑ .
θ y debe tener sentido ẑ , es decir, B(~
Usemos ley de Ampere para el camino Γ1 . Lo elegimos tal que el eje de simetría del
5
solenoide no pase por la mitad de los lados que corta y los otros dos lados sean paralelos
a él. Por tanto, la distancia r desde el eje hacia los lados paralelos a él, son distintas.
~ = B(r)ẑ , no
Además, no hay corriente encerrada por el camino. También, dado que B
contribuyen a la integral de línea los lados paralelos al eje. Con esto en mente, tenemos
que
I
~ · d~r
B
µ0 ienc =
Γ2
Z
Z
~ · d~r
B
Z
Z
B(r1 )ẑ · dz ẑ + B(r2 )ẑ · −dz ẑ
0 =
↓
↑
Z
Z
0 = B(r1 ) dz − B(r2 ) dz
0 =
~ · d~r +
B
↓
↑
↑
↓
0 = B(r1 )l − B(r2 )l
=⇒ B(r1 ) = B(r2 )
Por tanto, el campo magnético es constante dentro del solenoide.
Integrando sobre el camino Γ1 obtenemos un resultado totalmente similar, por lo que
también concluímos que el campo magnético es constante en el exterior (esto se deja al
lector, es totalmente análogo a lo hecho antes).
Ahora apliquemos la ley de Ampere con el camino Γ3 . Tenemos que
6
I
µ0 ienc =
~ · d~r
B
ZΓ2
Z
~
~ ext · d~r
µ0 N li =
Bin · d~r + B
↓
Z↑
Z
µ0 N li =
Bin ẑ · dz ẑ + Bext ẑ · −dz ẑ
↑
Z↓
Z
µ0 N li = Bin dz − Bext dz
↑
↓
µ0 N li = Bin l − Bext l
=⇒ Bin − Bext = µ0 N i
Ahora, tenemos que en el innito el campo magnético se anula, es decir, Bext → 0
cuando r → ∞. Y dado que, el campo es constante en el exterior, tenemos que Bext = 0.
Por tanto, el campo dentro del solenoide es
Bin = µ0 N i
Por tanto, resumiendo, tenemos que el campo magnético generado por el solenoide es
~
B(r)
=
µ0 N iẑ r < R
~0
r>R
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