Download Problemas de Selectividad

Problemas de Selectividad
1. Un electrón entra en una región del espacio en la8que existe8un campo eléctrico uniforme, paralelo al eje OX y de intensidad E = 1 000 ·8i (V/m). La veloci8
dad del electrón es paralela al eje OY y de valor v = 1 000 · j (m/s):
a) Calcula la fuerza eléctrica sobre el electrón. ¿Cómo será la trayectoria descrita?
b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse mediante una fuerza
producida por un campo magnético superpuesto al anterior en esa región
del espacio. Determina:
el módulo, la dirección y el sentido de la intensi8
dad de ese campo, B .
c) Haz un dibujo que incluya los campos y las fuerzas que actúan sobre el
electrón, así como la trayectoria seguida por este en a) y en b).
Datos: qe = –1,6 · 10–19 C; me = 9,1 · 10–31 kg.
Propuesto en junio de 2008.
a) Cuando un electrón8 entra en una región del espacio
en la que existe un campo
8
eléctrico uniforme, E , experimenta una fuerza, F e, constante dada por:
8
8
8
8
F e = qe · E = –1,6 · 10–19 C · 1 000 V/m · i = –1,6 · 10–16 · i N
Su dirección es la misma que la del campo eléctrico, y su sentido, el opuesto.
De acuerdo con la segunda ley de la dinámica, el electrón adquirirá una fuerza
constante igual a:
8
8
8
F
–1,6 · 10–16 · i N –
8
a = e =
= 1,76 · 1014 · i m/s2
9,1 · 10–31 kg
m
La dirección y el sentido de la aceleración son los mismos que los de la fuerza
eléctrica.
El movimiento del electrón a lo largo del eje Y es uniforme; su ecuación es:
y = 1 000 · t
A lo largo del eje X, el movimiento es acelerado, de ecuación:
1
1
x=
· a · t2 8 x =
· (–1,76 · 1014) · t 2 = – 8,8 · 1013 · t 2
2
2
[1]
[2]
Para obtener la ecuación de la trayectoria, despejamos t en [1] y lo sustituimos en [2]:
y
y 2
8 x = – 8,8 · 1013 ·
t=
= – 8,8 · 107 · y 2
1 000
1 000
( )
La ecuación de la trayectoria obtenida se corresponde con la de una parábola.
8
b) La fuerza magnética, F m, ejercida sobre el electrón por encontrarse en el seno de
un campo magnético debe tener la misma dirección que la fuerza eléctrica y sentido contrario a esta para anularla. Además, sus módulos deben ser iguales; así:
8
8
8
8
8
8
8
8
F m = q · v Ò B 8 F m = q · v · B · sen (v , B ) · i = 1,6 · 10–16 · i N
8
Entonces, el
campo magnético, B , debe
estar dirigido en el sentido negativo del
8
8
8
eje Z; así, F m es perpendicular a v y B y, como el electrón tiene carga negativa, el
sentido 8de la fuerza magnética es contrario al del avance de un tornillo cuando va
8
de v a B por el camino más corto.
Unidad 7. Campo magnético
239
El módulo del campo magnético resulta:
Fm = Fe 8 q · v · B · sen 90° = q · E 8 B =
E
1 000 V/m
=
=1T
v
1 000 m/s
c) En el caso a), la trayectoria es una parábola contenida en el plano XY, similar a la
mostrada en la figura:
Z
Fe
Trayectoria del electrón
e–
Y
v
E
X
En el caso b), como la fuerza magnética compensa la fuerza eléctrica, el electrón realizará un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje Y, en sentido positivo.
Z
Fe
Trayectoria del electrón
y = 1 000 · t
Y
v
e–
X
Fm
E
B
2. Un electrón, acelerado mediante una diferencia de potencial de 200 voltios, se
mueve en el campo magnético terrestre, cuya intensidad es 7 · 10–5 T. Halla el
radio de la circunferencia que describe, si su velocidad es perpendicular al
campo magnético de la Tierra.
Datos: qe = –1,6 · 10–19 C; me = 9,1 · 10–31 kg.
Propuesto en junio de 2008.
Cuando una partícula cargada se somete a un campo eléctrico, el campo realiza un
trabajo sobre ella; si la partícula se puede mover libremente, ese trabajo lo acumula
en forma de energía cinética. La relación entre la diferencia de potencial a que es sometida la partícula y la energía cinética adquirida es:
1
q · DV =
· m · v2
2
Despejando, sustituyendo los datos de que disponemos y operando, obtenemos el
valor de la velocidad adquirida por el electrón:
v=
240
√
2 · q · DV
m
=
√
2 · 1,6 · 10–19 C · 200 V
= 8,39 · 106 m/s
9,1 · 10–31 kg
Unidad 7. Campo magnético
La fuerza magnética que actúa sobre el electrón debido al campo magnético terrestre es:
8
8
8
8
8
F m = q · v Ò B 8 Fm = q · v · B · sen (v , B ) = q · v · B · sen 90° = q · v · B
ya que la velocidad del electrón es perpendicular al campo magnético
de la Tierra. La
8
8
dirección de esta fuerza es perpendicular al plano formado
por
v
y
B
,
y su sentido es
8
8
el contrario al del avance del tornillo cuando va de v a B por el camino más corto, al
ser la carga del electrón negativa.
Si dibujamos el campo magnético terrestre perpendicular al plano del papel y con
sentido entrante y al electrón moviéndose en el mismo plano de izquierda a derecha,
la fuerza magnética es como la indicada en la figura:
v
B
e–
e–
Fm
Fm
v
8
8
Esta fuerza, perpendicular a v (además de a B ), actúa como una fuerza centrípeta
o
8
8
normal, que cambia la dirección de v , aunque no su módulo. Como el campo B es
constante, el valor de la fuerza magnética también lo será, al igual que la aceleración
normal producida; por tanto, el electrón describirá un movimiento circular uniforme
de radio R:
m·v
v2 8
R=
Fm = Fn 8 q · v · B = m ·
q·B
R
R=
9,1 · 10–31 kg · 8,39 · 106 m/s
= 0,68 m
1,6 · 10–19 C · 7 · 10–5 T
3. De acuerdo con la figura, si la fuerza neta por unidad de longitud sobre el conductor 2 (debida a los conductores 1 y 3) y sobre el conductor 3 (debida a los
conductores 1 y 2) son nulas, razona el sentido de las corrientes I2 e I3 y calcula sus valores en función de I1.
I2
I1
d
I3
d
Propuesto en junio de 2008.
Unidad 7. Campo magnético
241
Dos conductores paralelos y rectilíneos por los que circulan corrientes eléctricas I1 e
I2, se atraen si las corrientes son del mismo sentido,
y se repelen si son de sentido
8
contrario. La fuerza de atracción o repulsión, F , por unidad de longitud, L, es proporcional a las intensidades que circulan e inversamente proporcional a la distancia
que las separa:
8
|F |
µ ·I ·I
= 0 1 2
L
2·π·d
Según el enunciado, la fuerza neta sobre el conductor 2 es nula; entonces, las
corrientes I1 e I3 deben tener el mismo valor y sentido; así, tanto si I2 tiene el mismo
sentido o el contrario, la fuerza que experimente será nula:
I2
I1
F1,2
d
I3
I2
I1
F3,2
F3,2
d
d
I3
F1,2
d
La fuerza ejercida por los conductores 1 y 2 sobre el conductor 3 también es nula, lo
que implica que las dos fuerzas que actúan sobre él han de tener sentidos contrarios.
8
Como las corrientes I1 e I3 circulan en el mismo sentido, la fuerza, F 1,3, que ejerce el
conductor
1 sobre el 3 será atractiva; por tanto, la que ejerza el conductor 2 sobre el
8
3, F 2,3, debe ser repulsiva, lo que implica que la corriente del conductor debe circular
en sentido contrario a la del conductor 3.
I2
I1
I3
F1,3
F2,3
d
d
Como la distancia entre los conductores 2 y 3 es la mitad que la distancia de 1 a 3,
también debe ser la mitad la intensidad de la corriente, para que las fuerzas que 1 y 2
ejercen sobre 3, además de tener sentidos opuestos, tengan igual módulo y se anulen:
I1
I3
I2 =
=
2
2
Además:
I1 = I3
Los resultados obtenidos se resumen en la siguiente figura:
I2 = 1 · I1
2
I1
d
242
I3 = I1
d
Unidad 7. Campo magnético