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Veamos un ejemplo de comunicación vía satélite en
donde los enlaces de microondas juegan un papel
vital:
El satélite usa una antena con múltiplos beams para
comunicarse con más de una estación terrestre a la
vez.
La estación #1 transmite a 6 GHz (uplink). Esta señal
es transmitida por microondas hasta el satélite. El
satélite, con la ayuda de un mixer hace un
downconversion a 4 GHz y retransmite la señal para
que la estación terrestre #2 la pueda recibir.
2
¿Por qué el uplink y el donwlink están a frecuencias
distintas?
Porque si tratáramos de usar la misma frecuencia, la
señal que el satélite transmite retroalimentaría el
receiver y lo saturaría.
El circulator conectado a la antena del satélite
permite que la misma antena funcione como
transmisor y como receiver simultáneamente.
El circulator permite que la señal de 6 GHz pase de la
antena al receiver y que simultáneamente la señal de
4 GHz pase del transmisor a la antena.
La estación #1 está conectada a multiples terminales.
La concección a estos terminales se hace mediante
varios tipos de líneas de transmisión, incluyendo
cable coaxial y fibras ópticas.
Este diagrama sencillo resume varios de los temas
principales a cubrirse en el curso:
1. Líneas de transmisión
2. Propagación de ondas en cables coaxiales
3. Propagación de ondas en el espacio
4. Fundamentos de fibra óptica
5. Antenas
6. Diseño de links de microondas
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Para la presentación de algunos de los temas se hará
amplio uso de la matemática, pero la matemática es
tan sólo una herramienta y no el propósito
fundamental del curso.
Sistema de medidas (por lo menos para la parte de
electromagnética): MKS (metro – kilogramo –
segundo).
Campos Eléctricos:
Las
fuerzas
componentes:
electromagnéticas
tienen
dos
Fuerza eléctrica Fe
Fuerza magnética Fm
La fuerza eléctrica es similar a la fuerza de gravedad,
pero con una diferencia fundamental. La fuente que
genera la fuerza de la gravedad es la masa, y la fuente
que genera la fuerza eléctrica es la carga eléctrica, ya
sea positiva o negativa.
La unidad fundamental de carga es el electrón cuya
carga se mide en Coulombs.
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| e | = 1.6 x 10-19 C
La carga de un electron es q = – e y la carga de un
protón es q = e.
Ley de Coulombs:
a. Cargas iguales se repelen. Cargas opuestas se
atraen.
b. La fuerza entre 2 cargas actúa en la dirección de la
línea que une a las 2 cargas.
c. La fuerza de atracción (cargas opuestas) o de
repulsión (cargas iguales) es proporcional al
producto de las magnitudes de las dos cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas.
^
Fe21 = R12
q1 q2
2
4   o R12
newtons (N)
Fe21 es la fuerza eléctrica actuando en la carga #2
como resultado de la presencia de la carga #1.
R12 es la distancia entre las 2 cargas.
es el vector unitario apuntando de la carga #1 a
la carga #2.
R12
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0 = permitividad del espacio libre (free space)
0 = 8.854 x 10-12 faradios / metro
Hemos asumido que las 2 cargas están en el espacio
libre (free space) y que están aisladas de otras cargas.
Esto es, no hay ninguna otra carga en dicha región.
La fuerza actuando en la carga #1 debido a la
presencia de la carga #2 tiene que ser igual en
magnitud, pero opuesta en dirección a la fuerza
actuando en la carga #2 debido a la presencia de la
carga #1.
Fe21 = - Fe12
Al igual que en el caso de la fuerza de gravedad, en
donde ésta es definida como la fuerza de atracción
entre 2 cuerpos y luego generalizada a un campo
gravitacional que posee cada cuerpo de masa,
también podemos hablar de la intensidad de campo
eléctrico producido por cualquier carga q:
^
q
E = R 4  R
o
2
V/m
R es la distancia entre la carga y el punto de
observación.
6
^
R es el vector unitario radial apuntando hacia afuera
de la carga.
El campo eléctrico E se mide en unidades de
voltios/metro.
La carga eléctrica
importantes:
exhibe
dos
propiedades
1. Las cargas eléctricas se conservan. La carga
eléctrica neta permanecerá constante. No
puede crearse ni destruirse.
2. Podemos aplicar superposición para calcular
el efecto neto de las cargas eléctricas. El
campo eléctrico en un punto de observación
será la suma vectorial de la contribución de
los campos eléctricos generados por cada una
de las cargas en la región.
Veamos ahora que sucede cuando colocamos una
carga eléctrica positiva en un material formado por
átomos.
Antes de colocar carga teníamos la anterior situación:
En ausencia de la carga el material era eléctricamente
neutral, esto es por cada carga positiva en el núcleo
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de cada átomo había un electrón con carga negativa
en la nube rodeando el núcleo. En cualquier punto del
material no ocupado por un átomo el campo eléctrico
E es cero.
Una vez se coloca la carga eléctrica positiva, los
átomos del material experimentarán una fuerza. Se
rompe la simetría original, y los átomos se
polarizarán, quedando la nube electrónica con carga
negativa orientada hacia la localización de la carga
positiva introducida.
Esta orientación se conoce como polarización en
donde un polo de los átomos está más positivamente
cargado y el otro más negativamente cargado. Cada
átomo polarizado de esta forma se convierte en un
dipolo.
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Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el
efecto del campo eléctrico producido por la carga
positiva introducida.
Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto
del material será distinto al campo eléctrico que
mediríamos cuando colocamos la misma carga
eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia
del material y sus átomos formando dipolos.
El campo eléctrico en cualquier punto del material
estará dado por la siguiente ecuación:
^
q
E = R 4  R
2
V/m
donde
 = r 0 Faradios / metro
r es la permitividad relativa (con respecto al espacio
libre), o la constante dieléctrica del material.
Es de esperarse que para el vacío r = 1.
Otra cantidad relacionada con el campo eléctrico E
es la densidad de flujo eléctrico D .
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D =  E
C/m2
D y E constituyen uno de los 2 pares de campos
electromagnéticos fundamentales.
Campos Magnéticos:
Alrededor del año 800 B. C. los griegos descubrieron
que ciertas piedras tenían la propiedad de que atraían
pedazos de hierro.
En el siglo 13 científicos franceses descubrieron que
si colocaban una aguja sobre un imán esférico, la
posición de la aguja cambiaba según cambiaba la
orientación del imán. Comparando la posición de la
aguja con la orientación del imán, los franceses
fueron capaces de concluir que del imán emanaban
fuerzas de campo magnético que rodeaban la esfera y
que salían de dos puntos diametralmente opuestos.
Estos dos puntos, el polo norte y el polo sur, existen
para todo imán, independiente de la forma o
geometría del imán.
Patrón de líneas de campo magnético para imán
típico:
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Los franceses también observaron que polos iguales
se repelen y polos opuestos se atraen. En cierto modo
este comportamiento es similar al observado con las
cargas eléctricas, excepto por una diferencia
fundamental: Las cargas eléctricas pueden existir en
forma aislada, pero los polos de los imanes ocurren
en pares. No puede haber un polo norte sin un polo
sur, y viceversa. Aún si tomamos un imán y lo
partimos, cada pedazo a su vez tendrá un polo norte y
un polo sur.
Las líneas que salen del polo norte y mueren en el
polo sur se conocen como líneas de campo
magnético. Estas líneas representan la existencia de
una densidad de flujo magnético B .
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¿Será posible producir campos magnéticos de otra
forma que no sea mediante la presencia de imanes?
La respuesta es que Sí.
Corrientes eléctricas crean campos magnéticos.
Prueba de ellos es el siguiente experimento: Una
corriente eléctrica a través de un alambre hace que la
aguja de un compás o brújula que esté cerca apunte
en la dirección perpendicular al alambre y
perpendicular a la línea radial que conecta el alambre
con la aguja.
Como resultado del anterior sencillos experimento
fue posible concluir que alrededor de un alambre con
corriente se forma un campo magnético circular.
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Jean Baptiste Biot y Felix Savart descubrieron la
relación entre la densidad de flujo magnético B y la
corriente I en un conductor. Esta relación se conoce
como la Ley de Biot-Savart:
Para un alambre infinitamente largo la densidad de
flujo magnético inducido por la corriente que pasa a
través de un alambre en la dirección z está dada por
o I
B =  2 r
^
Tesla (T)
r es la distancia radial desde el alambre.
^
 es un vector unitario denotando la dirección
tangencial al círculo que rodea la corriente
La densidad de flujo magnético B se mide en
unidades de Tesla (T).
0 es la permeabilidad magnética del espacio libre.
(0 = 4  x 10-7 H/m) H = Henrys, m = metros
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¿ Qué relación existe entre 0 y 0 ?
c =
1
o  o
= 3 x 108 m/seg = velocidad de la luz
en el espacio libre
Esta relación la volveremos a ver cuando hablemos
de la propagación de ondas electromagnéticas, ya sea
en el espacio libre o en una línea de transmisión.
La mayor parte de los materiales no son magnéticos.
Por lo tanto su permeabilidad es igual a 0. Para los
materiales ferromagnéticos como el hierro y el
níquel,  > 0 .
También podemos definir
magnética relativa r :
la
permeabilidad
= r 0
Nota: r no tiene dimensiones.
La permeabilidad relaciona la densidad de flujo
magnético B con la intensidad de campo magnético
H (Se mide en unidades de Amperes/metro.)
B =  H
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E es función de la carga q. H es función de la
corriente I = dq/dt. Esto es, H es función de 2
variables: q y t. En el caso general, E y H están
acoplados, esto es, uno depende del otro. Sin
embargo, hay 2 casos especiales:
1. No hay corriente.
Interpretación física:
Si no hay corriente, no puede haber campo
magnético. Por lo tanto, E y H no pueden estar
acoplados.
Interpretación matemática:
I = dq/dt = 0 => q es constante =>
^
q
E = R 4  R
2
 0
pero como no hay corriente,
I
B =  H =  2  r = 0
^
Este es el caso de electrostática.
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2. La corriente es constante.
Interpretación física:
Si hay corriente, tiene que haber un campo
magnético. Al ser la corriente constante entonces en
cualquier segmento de conductor a través del cual
pasa esta corriente, la carga neta o total no cambia.
Esto es, en todo instante de tiempo igual cantidad de
carga sale del segmento que la que entra, quedando el
segmento eléctricamente neutral. Como en dicho
segmento no habrá cargas extras, el campo eléctrico
es cero.
Interpretación matemática:
I = dq/dt = constante = K
^
^
Como B =  H =  I / (2  R) =  K / (2  R)
habrá un campo magnético.
Como dq/dt es constante, la carga neta q dentro del
conductor es cero.
Por lo tanto,
^
q
E = R 4  R
2
= 0
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Este es el caso magnetostático.
Electrostática y magnetostática corresponden
respectivamente a los casos en que las cargas están
estacionarias (i.e. no se mueven) y las corrientes son
constantes. Bajo estos 2 casos los campos eléctricos y
los campos magnéticos no están acoplados, lo que
simplifica ENORMEMENTE la matemática.
Hay una tercera rama en electromagnética, dinámica,
que es la rama más general, y la que incluye campos
que varían con el tiempo. Estos campos que varían
con el tiempo son inducidos por fuentes que varían
con el tiempo, ya sea corrientes o densidades de
carga eléctrica. En este caso los campos eléctricos y
magnéticos
están
acoplados,
complicando
ENORMEMENTE la matemática.
Un campo eléctrico que varía con el tiempo genera
un campo magnético que varía con el tiempo, y
viceversa.
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Resumen:
Rama
Condición
Electrostática
cargas estacionarias
dq/dt = 0
Cantidades
E (V/m)
D (C/m2)
D = E
Magnetostática
corrientes constantes
dI/dt = 0
B (T)
H (A/m)
B= H
Dinámica
(campos que
varían con el
tiempo)
corrientes que varían
con el tiempo
E,D,B,H
( E , D ) acoplados
a (B,H )
Otro parámetro que necesitamos definir es la
conductividad  (Siemens/metro).
Conductividad = 1 / Resistividad
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La conductividad nos dice con cuánta facilidad las
cargas pueden desplazarse en presencia de un campo
eléctrico.
= 0 => Las cargas no se mueven. => El material es
un aislador.
= infinito => Las cargas se mueven con gran
facilidad. => El material es un perfecto conductor.
Las propiedades eléctricas y magnéticas de los
materiales quedan definidas en términos de la
permeabilidad , la permitividad , y la
conductividad 

Un medio es homogéneo si sus tres parámetros
constituyentes , son constantes a través de todo
el medio.
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Ondas:
En la naturaleza existen todo tipo de ondas:
a. olas en el mar
b. ondas acústicas
c. ondas producidas al estirar la cuerda de un
instrumento como el violín o la guitarra
d. ondas sísmicas producidas por un terremoto
e. ondas electromagnéticas
Todas estas ondas, irrespectivo de cómo son
producidas, poseen las siguientes características
comunes:
 Al propargarse, las ondas llevan energía de un
punto a otro. Por lo tanto, si la onda es
modulada, también puede llevar información.
 Las ondas exhiben una velocidad de
propagación, la cual puede ser lenta en el caso
de las olas del mar o rápida (velocidad de la
luz) como las ondas electromagnéticas en el
espacio libre.
Algunas ondas son lineales. Esto es, les aplica
superposición. Una onda lineal puede atravesar otra
onda y no sufre alteración alguna.
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El total o resultado de dos ondas lineales es la suma
de las dos ondas como éstas existirían
individualmente.
Las ondas electromagnéticas son lineales. Las ondas
acústicas también son lineales. Cuando dos personas
hablan, la voz de una persona no interfiere con la de
la otra.
Hay dos tipos de ondas:
 Ondas transitorias (transient waves) – son
producidas por una pequeña perturbación.
 Ondas armónicas continuas (continuous
harmonic waves) – son producidas por una
fuente que oscila.
En el curso discutiremos ambos tipos de onda, pero
nos concentraremos en las ondas armónicas
continuas.
Una onda propagándose a través de un medio es en
realidad una perturbación autosostenible del medio a
través del cual se propaga.
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Si la perturbación varía en función de uno de los ejes
de coordenadas, entonces la onda es de una
dimensión.
Ejemplo de onda de una dimensión:
En la siguiente Figura, el desplazamiento vertical
varía con el tiempo y con la localización a lo largo de
la cuerda. Una vez se forma la onda, la perturbación
varía en función de la localización a lo largo de la
cuerda.
Una onda de dos dimensiones se propaga a lo largo
de una superficie, como una onda en un lago. La
perturbación varía en función de dos ejes de
coordenadas.
Ejemplo de una onda de dos dimensiones:
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Una onda tridimensional se propaga a través del
volumen y su perturbación es función de los 3 ejes de
coordenadas.
Ejemplos de ondas tridimensionales:
a. Planares
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b. Cilíndricas
c. Esféricas
Onda Sinusoidal En Un Medio Sin Pérdidas
Un medio es lossless o sin pérdidas si la amplitud de
la onda no es atenuada cuando ésta se propaga a
través del medio.
En la realidad, un medio sin pérdidas no existe. Sin
embargo, si las pérdidas por unidad de propagación
son pequeñas, es posible, como aproximación
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razonable, descartar dichas pérdidas en nuestro
análisis. Además, el caso real con pérdidas es aún
más complejo de analizar que el caso sin pérdidas.
Ejemplo de descripción matemática
sinusoidal en medio sin pérdidas:
de
onda
y(x,t) = A cos( 2t/T – 2x/ + 0 ) = A cos (x,t) m
y es la amplitud de la onda.
T es el período de la onda.
 es el largo de onda de la onda.
0 es la fase de referencia = constante.
(x,t) es la fase de la onda
La siguientes figuras muestran la gráfica de y(x,t)
para el caso en que 0 = 0.
a) Caso en que t = 0, x variable
b) Caso en que x = 0, t variable
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De las 2 anteriores gráficas podemos observar que a
lo largo del eje de x la onda se repite cada  metros, y
que a lo largo del eje de t la onda se repite cada T
segundos.
 es el largo de onda.
T es el período de la onda.
Veamos ahora un ejemplo de una gráfica que integra
espacio y tiempo mostrando como la onda se propaga
a lo largo del eje de x y en función del tiempo.
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Si tomamos un punto, digamos la cresta marcada por
el punto P, y lo seguimos según varía el tiempo,
vemos como la onda se propaga a lo largo del eje de
x en función del tiempo.
Para el anterior ejemplo podemos calcular la
velocidad de fase con que la onda se propaga.
velocidad = distancia recorrida / tiempo
velocidad = ( 3/2 - ) / (T/2 – 0) = /T
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Como no siempre vamos a tener un buen dibujo para
calcular la velocidad de fase, necesitamos una
formulación matemática.
En el punto P y(x,t) es constante. =>
Si y(x,t) = A cos x,t) entonces x,t) tiene que ser
constante.
x,t) = 2t/T – 2x/cos-1(y0/A) = constante
Ahora calculemos la derivada de x,t) con respecto
al tiempo.
2/T – (2dx/dt = 0
Resolviendo por dx/dt obtenemos la velocidad de
fase up
up = dx/dt = /T m/seg
La velocidad de fase o la velocidad de propagación
es la velocidad con la que se propaga la onda a lo
largo del medio.
¿En que dirección se propaga la onda definida por
y(x,t) = A cos( 2t/T – 2x/ + 0 ) = A cos (x,t) ?
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Si uno de los signos es positivo y el otro negativo,
entonces se propaga en la dirección de +x. Si ambos
signos son positivos o ambos signos son negativos,
entonces se propaga en la dirección de –x.
Si la frecuencia de la onda sinusoidal es f = 1/T Hz,
entonces
up = /T =  f metros/seg
Para una velocidad de fase constante, si aumenta
(como en el caso del instrumento bajo) entonces f
disminuye. Si  disminuye (como en el caso del
violín), entonces f aumenta.
La ecuación de una onda sinusoidal también es
comúnmente expresada de la siguiente forma:
y(x,t) = A cos( 2t/T – 2x/ + 0 ) = A cos(t - x)
donde
 = 2f = 2/T = velocidad angular en rad/seg
 = 2/constante de fase o wavenumber en
rad/m (Nota: los rad de las unidades es arbitrario.)
0 es la referencia de fase.
¿Qué papel juega 0?
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0 positivo indica que la onda se adelanta con
respecto al caso de 0 = 0.
0 negativo indica que la onda se atrasa con respecto
al caso de 0 = 0. Ejemplo:
Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas:
Este es un caso mucho más real en donde la onda se
atenúa según se propaga.
Una onda viajando a través de un medio con
pérdidas observará que su amplitud se atenúa
conforme a e-x. Este factor de e-x se conoce como el
factor de atenuación.  es la constante de
atenuación y sus unidades son nepers/metro (i.e.
N/m). (Nota: en realidad las unidades deberían ser
1/m. La unidad de nepers es arbitraria.)
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Ecuación de onda de 1 dimensión:
y(x,t) = A e-x cos(t - x)
La amplitud de la onda ya no es A. Ahora es A e-x .
Según x -> infinito, la amplitud -> 0.
Ejemplo de onda propagándose en un medio con
pérdidas:
Ejemplo Numérico:
Una onda acústica viajando a través del agua se
caracteriza por su diferencial de presión p(x,t). La
unidad de presión es Newton/m2. Defina p(x,t) si:
a. La onda es sinusoidal.
b. Viaja en la dirección de +x.
c. La frecuencia de la onda es de 1 kHz.
d. La velocidad del sonido en el agua es de 1.5
km/seg.
e. La amplitud de la onda es 10 N/m2.
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f. p(x,t) alcanza su valor máximo en t=0 y
x=0.25 m.
g. Asuma que el medio no tiene pérdidas.
Solución:
p(x,t) = A cos( 2t/T – 2x/ + 0 ) = A cos(t - x)
A = 10 N/m2
T = 1/f = 1/1000 = 0.001 seg
Velocidad de fase = up = f 
 up / f = (1.5 x 103) / 1000 = 1.5 m
Por lo tanto,
p(x,t) = 10 cos(2000 t - 1.33  x + 0)
p(0.25,0) = 10 cos(0 - 1.33 /4 + 0) = 10 = máximo
cos(0 - 1.33 /4 + 0) = 1
- 1.33 /4 + 0 = 0
0 = /3 radianes
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Por lo tanto,
p(x,t) = 10 cos( 2000  t - 4 /3 x + /3) N/m2
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Ejemplo Numérico:
La luz creada por un rayo laser que se propaga a
través de la atmósfera se caracteriza por tener una
intensidad de campo eléctrico definido por
E(x,t) = 150 e-0.03x cos(3 x 1015 t – 107x) V/m
x es la distancia desde el laser.
Calcule:
a. La dirección de propagación
b. La velocidad de la onda
c. La amplitud de la onda a una distancia de 200
metros.
Solución:
a. Como los coeficientes de t y x tienen signos
opuestos, la onda se propaga en la dirección de
+x.
b. up =  = (3 x 1015 / 107) = 3 x 108 m/seg = c =
velocidad de la luz en el espacio libre.
c. La amplitud en x = 200 m es
150 e-0.03 x 200 = 0.37 V/m
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Asignación:
1. El campo eléctrico de una onda electromagnética
que se propaga está definido por
E(z,t) = 10 cos( x 107 t +  z/15 + V/m
Calcule:
a. La dirección en que la onda se propaga.
b. La frecuencia de la onda.
c. La velocidad de fase up de la onda.
Asignación:
Una onda electromagnética se propaga a través de un
medio con pérdidas en la dirección de –z con una
constante de atenuación de 0.5 Nepers/metro. Si la
amplitud de la onda es 100 V/m en z=0, ¿cuán lejos
puede viajar la onda hasta que su amplitud se reduzca
a 10 V/m?