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Teoría Electromagnética:
¿Qué es? y ¿Cómo se estudia?
Dr. José A. Andrade Lucio
Periodo Mayo-Agosto 2014
Objetivos y temas de estudio
•  Explicar, de manera simple, que es la energía
electromagnética, como se propaga en el espacio y porque
es importante para la Ingeniería Electrónica (Eléctrica)
•  Explicar como se estudian y controlan las características de
propagación de la energía electromagnética
•  Presentar algunas aplicaciones que se logran propagando
energía EM de manera controlada
Teoría electromagnética aplicada
Estudio de fenómenos eléctricos y magnéticos y sus
aplicaciones en el campo de la Ingeniería, en condiciones tanto
estáticas como dinámicas
Disciplinas
incluidas:
•  Microondas
•  Comunicaciones
ópticas
•  Sistemas de radar
•  Bioelectromagnética
•  Microelectrónica de alta
velocidad
Cronología histórica de la electricidad y
magnetismo
Cronología histórica de la electricidad y
magnetismo
Naturaleza del electromagnetismo
El universo físico está regido por cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza:
Estructura de la teoría electromagnética
Se compone de ciertas leyes fundamentales que rigen los campos eléctricos
y magnéticos inducidos por cargas eléctricas estáticas y móviles,
respectivamente, las relaciones entre los campos eléctricos y magnéticos, y
las formas como estos interactúan con la materia.
Campos eléctricos:
Fuerzas eléctricas que actúan
en dos cargas puntuales positivas
en el espacio libre.
La unidad con la cual se mide la carga
eléctrica es el coulomb (C), nombrada
en honor del científico francés Charles
Augustin de Coulomb (1736-1806).
Los experimentos de Coulomb demostraron que:
1.  dos cargas iguales se repelen entre si, mientras que
dos cargas de polaridad opuesta se atraen,
2.  la fuerza actúa a lo largo de la línea que une las
cargas, y
3.  su intensidad es proporcional al producto de las
magnitudes de las dos cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa.
Estas propiedades constituyen lo que actualmente se
conoce como Ley de Coulomb:
Campos eléctricos (continuación)…
ε0 es una constante universal llamada permitividad eléctrica del espacio libre
(ε0=8.854x10-12 farads/metro [F/m]) La intensidad de campo eléctrico E, ocasionada por cualquier carga q, esta dada por:
Donde R es la distancia entre la carga y el punto de observación,
y Ř es el vector unitario radial que se aleja de la carga.
La carga eléctrica tiene dos propiedades importantes:
1.  Ley de conservación de la carga eléctrica: La carga eléctrica (neta) no se crea ni
se destruye.
2.  Principio de superposición lineal: El vector de campo eléctrico total en un punto
del espacio producido por un sistema de cargas puntuales es igual a la suma vectorial
de los campos eléctricos en ese punto producidos por las cargas individuales.
Campos eléctricos (continuación)…
Considerando una carga puntual positiva en un material compuesto de átomos:
Los átomos experimentan fuerzas que los distorsionan. El centro
de simetría de la nube de electrones se altera con respecto al
núcleo, con un polo del átomo volviéndose más positivamente
cargado. El otro polo adquiere más carga negativa. Tal átomo
polarizado se llama dipolo eléctrico y el proceso de distorsión se
llama polarización.
En un medio cualquiera, la permitividad del espacio libre ε0 se reemplaza con ε, donde ε ahora es la
permitividad del material en el cual se mide el campo eléctrico y es, por consiguiente, característico
de ese material particular. A menudo, ε se expresa en la forma: ε=εr ε0 (F/m), donde εr es una
cantidad sin unidades llamada permitividad relativa o constante
dieléctrica del material. En vacio, εr=1; para el aire cerca de la
superficie terrestre, εr=1.0006.
Además de la intensidad de campo eléctrico E, con frecuencia se vera que es conveniente
utilizar una cantidad relacionada llamada densidad de flujo eléctrico D:
Campos magnéticos
En 1819 el cien+fico danés Hans Oersted (1777-­‐1851) descubrió La conexión entre electricidad y magnéCsmo: El alambre que conduce corriente
inducía un campo magnético que
formaba círculos alrededor del
alambre.
Patrón de líneas de campo
magnético alrededor de
un imán
La relación entre la densidad de flujo magnético B en un punto del espacio con la corriente I en el conductor
se conoce como ley de Biot-Savart:
Donde r es la distancia radial a la corriente y Φ es un vector unitario azimutal que denota el hecho de que la
dirección del campo magnético es tangencial al circulo que circunda la corriente. El campo magnético se mide en
teslas (T), en honor de Nikola Tesla (1856-1943). La cantidad µ0 se llama permeabilidad magnética de espacio libre
[µ0=4π x 10-7 (H/m)], y es análoga a la permitividad eléctrica ε0 . El producto de ε0 y µ0 especifica c, la velocidad de
La luz en el espacio libre:
Campos magnéticos (continuación…)
La mayoría de los materiales naturales son no magnéticos (µ=µ0). Para materiales ferromagnéticos, tales como
el hierro y el niquel, µ es mucho más grande que µ0.
La permeabilidad magnética µ explica las propiedades de magnetización de un material. Podemos expresar la µ
de un material particular como: µ=µr µ0 (H/m), donde µr es una cantidad sin unidades llamada permeabilidad
magnética relativa del material.
La relación entre la densidad de flujo magnético B y la intensidad de campo magnético H vía el parámetro de
permeabilidad µ: B=µH
Campos estáticos y dinámicos
Considerando, que el campo eléctrico E está regido por la carga q y que el campo magnético H está regido por
I=dq/dt, y puesto que q y dq/dt son variables independientes, los campos eléctrico y magnético inducidos son
independientes uno del otro en tanto I permanezca constante.
El campo magnético no depende de q, sino de
la tasa de carga (corriente) que fluye a través
de esa sección. Pocas cargas que se mueven
muy rápido pueden constituir la misma corriente
que muchas cargas que se mueven lentamente.
En estos dos casos, el campo magnético inducido
será el mismo porque la corriente I es la misma,
pero el campo eléctrico inducido será bastante
diferente porque los números de cargas no son
los mismos.
Campos estáticos y dinámicos (cont..)
La electrostática y la magnetostática, correspondientes a cargas estacionarias y corrientes constantes
respectivamente, son casos especiales del electromagnetismo.
La dinámica, la tercera y más general rama de la electromagnética, implica campos Variables con el
tiempo inducidos por fuentes variables con el tiempo, es decir, corrientes y densidades de carga:
Un campo eléctrico variable con el tiempo generará un campo magnético variable con el tiempo
y viceversa.
Campos estáticos y dinámicos (cont..)
Las propiedades eléctricas y magnéticas de los materiales están caracterizadas por los dos parámetros
ε y µ, respectivamente. También se requiere de un tercer parámetro fundamental, la conductividad
de un material σ, la cual se mide en siemens por metro (S/m).
La conductividad caracteriza la facilidad con la que las cargas (electrones) se mueven libremente en
un material, si σ=0, las cargas no se mueven más que distancias atómicas y se dice que el material es
un dieléctrico perfecto; si σ=∞, las cargas se mueven libremente por todo el material, y entonces se
tiene un conductor perfecto.
A menudo se hace referencia a los parámetros ε, µ y σ del material como los parámetros Constitutivos
de un material. Se dice que un medio es homogéneo si sus parámetros constitutivos son constantes
en todo el medio.
Preguntas de repaso
1.- ¿ Cuáles son las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y cuales son sus
Intensidades relativas?
2.- ¿ Cuál es la ley de Coulomb? Enuncie sus propiedades
3.- ¿ Cuáles son las dos propiedades importantes de la carga eléctrica?
4.- ¿ Qué explican la permitividad y la permeabilidad magnética de un material?
5.- ¿ Cuales son las tres ramas y las condiciones asociadas de la teoría electromagnética?
Ondas viajeras
Propiedades:
•  Las ondas en movimiento transportan energía de un punto a otro
•  Las ondas tienen velocidad; vacío 3x108, ondas sonoras 330 m/s
•  Algunas ondas exhiben propiedades de linealidad (ondas que no afectan el
paso de otras ondas)
Ondas transitorias, generadas por una perturbación
de corta duración
Tipos de ondas
Ondas armónicas continuas, generadas por una fuente
oscilante
Una caracterís+ca esencial de una onda que se propaga es que es una perturbación autosustentable del medio a través del cual viaja !!! Ondas viajeras (características)
Unidimensional
bidimensional
tridimensionales
Ondas viajeras (propiedades)
Onda sinusoidal en un medio sin perdidas
Se dice que un medio no experimenta pérdidas si no atenúa la amplitud de la onda que
viaja dentro de él o sobre su superficie
Suponiendo una onda generada en la superficie de agua (despreciando fuerzas de fricción), que
viaja de forma indefinida sin perder su energía. Si y denota la altura de la superficie del agua con
respecto a la altura media y x denota la distancia recorrida por la onda, la dependencia funcional
de y en el tiempo t y la coordenada espacial x tiene la forma general:
A es la amplitud de la onda
T es su periodo
λ longitud de onda espacial
Φ0 fase de referencia
donde,
Ondas viajeras (propiedades)
El ángulo ϕ(x,t) es la fase de la onda y no deberá confundirse con la fase de referencia Φ0, que es
constante con respecto tanto al tiempo como al espacio.
Para el caso simple cuando ϕ0 = 0;
Tomando la derivada con
respecto al tiempo:
Obteniendo la velocidad de fase
up (o velocidad de propagación):
Ondas viajeras (propiedades)
La frecuencia de una onda sinusoidal, f, es el recíproco de su periodo T: f=1/T (Hz). Combinando
con la definición previa de la velocidad de fase: up=fλ (m/s)
Con esta definición y agregando la velocidad angular de la onda ω, así como su constante de fase
(o número de onda) β, podemos reescribir una expresión para re-definir la propagación de la onda:
Con:
Ondas viajeras (propiedades)
Onda sinusoidal en un medio con perdidas
Si una onda viaja en la dirección x de un medio con pérdidas, su amplitud decrecerá como e-αx,
este factor es el llamado factor de atenuación y α es la constante de atenuación del medio y su
unidad es el neper por metro (Np/m). En general,
Ahora la amplitud de la onda es Ae-αx y no solo A. En la siguiente figura se muestra una gráfica
para t=0, A=10m, λ=2 m, α=0.2 Np/m y ϕ0=0. Observe que la envolvente del patrón de ondas
decrece como e-αx
Ondas viajeras (Ejemplos)
1.- Una onda acústica que viaja en la dirección x en un fluido (líquido o gas) está caracterizado por
una presión diferencial p(x,t). La unidad de presión es el newton por metro cuadrado (N/m2).
Encuentre la expresión para p(x,t) de una onda sonora sinusoidal que viaja en la dirección x positiva
en agua, dado que la frecuencia de la onda es de 1 KHz, la velocidad del sonido en agua es de 1.5 Km/
s, la amplitud de la onda es de 10 N/m2 y se observó que p(x,t) alcanza su valor máximo cuando t=0 y
x=0.25 m. Considere el agua como un medio sin pérdidas.
2.- Un haz de luz láser que se propaga a través de la atmósfera está caracterizado por una intensidad
de campo eléctrico dada por E(x,t)=150e-0.03xcos(3*1015t-107x) [V/m], donde x es la distancia a la
fuente en metros. La atenuación se debe a la absorción por gases atmosféricos. Determine a) la
dirección de recorrido de la onda, b) la velocidad de la onda y c) la amplitud de la onda a una
distancia de 200m.
3.- El campo eléctrico de una onda electromagnética viajera está dado por E(z,t)=10cos(π*107t+πz/
15+π/6) [V/m]. Determine a) la dirección de propagación de la onda, b) la frecuencia de la onda f, c)
su longitud de onda λ y d) su velocidad de fase up.
4.- Una onda electromagnética se propaga en la dirección z en un medio con pérdidas con constante de
atenuación α=0.5 Np/m. Si la amplitud de campo eléctrico de la onda es de 100 V/m con z=0, ¿qué tan
lejos viajará la onda antes de que su amplitud se reduzca a a) 10 V/m, b) 1 V/m, c) 1 µV/m.
El espectro electromagnético
La luz visible pertenece a una familia de ondas llamada espectro electromagnético.
Otros miembros de esta familia incluyen los rayos gamma, los rayos X, las ondas
infrarrojas y las ondas de radio. Genéricamente, todas se llaman ondas
electromagnéticas (EM) porque comparten las siguientes propiedades fundamentales:
•  Una onda EM se compone de intensidades de campo eléctrico y magnético que
oscilan a la misma frecuencia f.
•  La velocidad de fase de una onda EM que se propaga en el vacío es una constante
universal dada por la velocidad de la luz c.
•  En el vacío, la longitud de onda λ de una onda EM está relacionada con su
frecuencia de oscilación f mediante λ=c/f.
El espectro electromagnético
El espectro electromagnético
Repaso de números complejos
Un número complejo se escribe en la forma z=x+jy, donde x y y son las partes real (Re) e
imaginaria (Im) de z, respectivamente y j=√-1. De forma alternativa, z se escribe en forma polar
como:
z = z e jθ = z ∠θ
Donde |z| es la magnitud de z y θ es su ángulo de fase y la forma ∠θ es una representación
comúnmente utilizada en cálculos numéricos. Aplicando la identidad de Euler,
e jθ = cosθ + jsenθ , entonces podemos reescribir: z = ze jθ = z cosθ + j z senθ que conducen a
las relaciones de equivalencia presentadas en la siguiente figura,
El complejo conjugado de z, se define:
z * = ( x + jy ) = z − jy = z e− jθ = z ∠ − θ
*
la magnitud de z:
z = + zz *
Propiedades del algebra compleja
Considere dos números complejos definidos como:
z1 = x1 + jy1 = z1 e jθ1
z2 = x2 + jy2 = z2 e jθ2
•  Igualdad:
z1=z2 si y solo si x1=x2 y y1=y2 ó de forma equivalente, |z1|=|z2| y θ1=θ2
•  Adición:
z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)
•  Multiplicación:
z1z2=(x1+jy1)(x2+jy2)=(x1x2 - y1y2) + j(x1y2 + x2y1)
z1z2 = z1 e jθ1 * z2 e jθ2 = z1 z2 e j(θ1 +θ2 )
= z1 z2 ⎡⎣ cos (θ1 + θ 2 ) + jsen (θ1 + θ 2 ) ⎤⎦
•  División: con z2 ≠ 0,
z1 x1 + jy1 ( x1 + jy1 ) ( x2 − jy2 ) ( x1 x2 + y1 y2 ) + j ( x2 y1 − x1 y2 )
=
=
⋅
=
z2 x2 + jy2 ( x2 + jy2 ) ( x2 − jy2 )
x22 + y22
z1 e jθ1
z
z
z1
=
= 1 e j(θ1 −θ2 ) = 1 ⎡⎣ cos (θ1 − θ 2 ) + jsen (θ1 − θ 2 ) ⎤⎦
jθ 2
z2 z2 e
z2
z2
Propiedades del algebra compleja
•  Potencias: Con cualquier entero positivo n,
z n = ( z e jθ ) = z e jnθ = z
n
z
1
2
=±z
1
2
e
n
jθ
2
=±z
1
2
n
( cos nθ + jsennθ )
( )
•  Relaciones útiles:
−1 = e jπ = e− jπ = 1∠180!
j=e
jπ
2
− j = −e
= 1∠90!
jπ
2
=e
jπ
2
= 1∠ − 90!
jπ
jπ
2
± (1+ j )
j = ⎛e 2 ⎞ = ±e 4 =
⎝
⎠
2
1
− j = ±e
− jπ
4
=
( )
⎡ cos θ + jsen θ ⎤
2
2 ⎦
⎣
± (1− j )
2
Ejercicios con números complejos
•  Dados dos números complejos: V=3-j4 , I=-(2+j3)
a)  Exprese V e I en forma polar y determine: b) VI, c) VI*, d)V/I y e) √I
•  Exprese las siguientes funciones complejas en forma polar:
a)  z1=(4-j3)2
b)  z2=(4-j3)1/2
Repaso de fasores
El análisis fasorial es una herramienta matemática útil para resolver problemas que implican
sistemas lineales en los cuales la excitación es una función de tiempo periódica. Muchos
problemas de ingeniería se plantean en la forma de ecuaciones íntegro-diferenciales lineales. Si
la excitación varia de forma sinusoidal con el tiempo, el uso de fasores para representar
variables dependientes del tiempo permite convertir la ecuación original en una ecuación lineal
sin funciones sinusoidales, con lo cual se simplifica el método de solución. Luego de resolver
para la variable deseada, tal como voltaje o corriente en un circuito eléctrico, la conversión del
dominio fasorial al dominio del tiempo proporciona el resultado deseado.
La técnica fasorial también se puede emplear en el caso de funciones excitadoras periódicas (no
sinusoidales – como señales cuadradas o una secuencia de pulsos-) expandiendo esta en forma
de series de Fourier de componentes sinusoidales, es posible resolver la variable deseada
utilizando análisis fasorial para cada componente de Fourier por separado. Aplicando el
principio de superposición encontramos el mismo resultado que si se resolviera el problema por
completo en el dominio del tiempo.
Método fasorial
Suponiendo la función excitadora de la forma:
vs(t)=V0sen(ωt+ϕ0)
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff obtenemos:
vs ( t ) = Ri ( t ) +
1
i ( t ) dt
C∫
1) Empleando fasores y transformando la función excitadora a una función cosenoidal:
vs ( t ) = V0 sen(ω t + φ0 ) = V0 cos(π 2 − ω t − φ0 ) = V0 cos(ω t + φ0 − π 2 )
2) Exprese las variables dependientes del tiempo como fasores
vs (t) = ℜ ⎡⎣V0 e j (ω t+φ0 −π /2) ⎤⎦ = ℜ ⎡⎣V0 e j (φ0 −π /2)e jω t ⎤⎦ = ℜ ⎡⎣V!s e jω t ⎤⎦ , donde V!s = V0 e j (φ0 −π /2)
! jω t )
i(t) = ℜ( Ie
Recuerde las propiedades:
di d
! jω t ) ⎤ = ℜ ⎡ d ( Ie
! jω t ) ⎤ = ℜ ⎡ jω Ie
! jω t ⎤
= ⎡⎣ ℜ( Ie
⎦
⎣
⎦
⎢
⎥
dt dt
⎣ dt
⎦
⎛ I! jω t ⎞
jω t
jω t
!
!
∫ i dt = ∫ ℜ( Ie )dt = ℜ ∫ Ie dt = ℜ ⎜⎝ jω e ⎟⎠
(
)
Método fasorial
3) Reescriba la ecuación integro-diferencial en forma fasorial
!
! jω t ) + 1 ℜ ⎛ I e jω t ⎞
ℜ(V!s e jω t ) = Rℜ( Ie
⎟⎠
C ⎜⎝ jω
R, C son cantidades reales y el operador ℜ() es distributivo, podemos simplificar:
⎛
1 ⎞
V!s = I! ⎜ R +
⎝
jω C ⎟⎠
4) Resuelva la ecuación en el dominio fasorial
I! =
I! = V0 e
j (φ0 −π /2)
V!s
R + 1 ( jω C)
⎤
⎡ jω C ⎤
ω Ce jπ /2
V0ω C
j (φ0 −π /2) ⎡
j (φ0 −φ1 )
=
V
e
=
e
0
⎢+
⎥
⎢ 1+ jω RC ⎥
2 2 2 jφ
+
1+ ω 2 R 2C 2
⎣
⎦
⎣ 1+ ω R C e 1 ⎦
φ1 = tan −1 (ω RC)
Método fasorial
5) Determine el valor instantáneo
V0ω C
V0ω C
j (φ0 −φ1 ) jω t ⎤
! jω t ⎤ = ℜ ⎡
i(t) = ℜ ⎡⎣ Ie
e
e
=
cos(ω t + φ0 − φ1 )
⎢+
⎥ +
⎦
2 2 2
2 2 2
1+ ω R C
⎣ 1+ ω R C
⎦
Funciones sinusoidales en el dominio del
tiempo z(t) y sus equivalentes coseno de
referencia en el dominio fasorial Z, donde
z(t)=Re[Zejωt]
Método fasorial
Ejercicio 1: Circuito RL
vs (t) = 5sen(4 ⋅10 4 t − 30! )
(V).
Obtenga una expresión para el voltaje del inductor.
Ejercicio 2: Un circuito RL en serie está conectado a una fuente de voltaje vs(t)=150cosωt [V].
Determine a) la corriente fasorial I y b) la corriente instantánea i(t) con R=400 Ω, L=3 mH y
ω=105 rad/s.
Ejercicio 3: Un voltaje fasorial esta dado por V=j5 [V]. Determine v(t).
Análisis Vectorial
Leyes básicas del álgebra vectorial
Un vector A tiene una magnitud A=|A| y una dirección especificada por un vector unitario â:
Representación gráfica del vector A como una línea recta de
longitud A cuyo extremo apunta en la dirección de â.
Sistema de coordenadas cartesianas: a) vectores base x, ŷ, ž
b) componentes del vector A.
El vector A en el b) de la figura se representa como:
⌢
⌢
⌢
A = xAx + yAy + zAz
Análisis Vectorial
La aplicación del teorema de Pitágoras, primero al triángulo rectángulo en el plano x-y para
expresar la hipotenusa Ar en función de Ax y Ay y luego otra vez al triángulo rectángulo vertical
con lados Ar y Az e hipotenusa A, da la siguiente expresión para la magnitud de A:
A = A = + Ax2 + Ay2 + Az2
El vector unitario â se determina mediante
⌢
⌢
⌢
⌢ A xAx + yAy + zAz
a= =
A + Ax2 + Ay2 + Az2
Igualdad de dos vectores
Se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen magnitudes iguales y vectores unitarios
idénticos. Por lo tanto, si
⌢
⌢
⌢
⌢
A = aA = xAx + yBy + zAz
⌢
⌢
⌢
⌢
B = bB = xBx + yBy + zBz
⌢
⌢
entonces A=B siempre y cuando A=B y a = b, lo cual requiere que Ax=Bx, Ay=By y Az=Bz. La
igualdad de dos vectores no necesariamente implica que son idénticos; en coordenadas
cartesianas, dos vectores paralelos desplazados de igual magnitud y que apuntan en la misma
dirección son iguales, pero son idénticos sólo si están uno encima del otro.
Análisis Vectorial
Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores A y B es un vector C que se expresa como C=A+B=B+A
Si A y B se dan en un sistema de coordenadas rectangulares, la suma de
estos vectores es:
(
) (
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
C = A + B = xAx + yAy + zAz + xBx + yBy + zBz
⌢
⌢
⌢
= x(Ax + Bx ) + y(Ay + By ) + z(Az + Bz )
)
La sustracción del vector B del vector A es equivalente a la suma de A y B negativo. Por lo
tanto,
C = A − B = A + (−B)
⌢
⌢
⌢
= x(Ax − Bx ) + y(Ay − By ) + z(Az − Bz )
Análisis Vectorial
Vectores de posición y distancia
En un sistema de coordenadas dado, el vector de posición de un punto P en el espacio es el
vector desde el origen hasta P. Los puntos P1y P2 están localizados en (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2),
respectivamente. Sus vectores de posición son
!!!" ⌢
⌢ ⌢
R1 = OP1 = xx1 + yy1zz1
!!!"
⌢
⌢
⌢
R 2 = OP 2 = xx2 + yy2 + zz2
donde el punto O es el origen. El vector de distancia desde P1
hasta P2 se define como
!!!!"
R12 = P1P2 = R 2 − R1
⌢
⌢
⌢
=x(x2 − x1 )2 + y(y2 − y1 )2 + z(z2 − z1 )2
y la distancia d entre P1 y P2 es igual a la magnitud de R12:
d = R12 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Análisis Vectorial
Multiplicación vectorial
En el cálculo vectorial pueden ocurrir tres tipos de productos. Estos son los productos simple,
escalar (o punto) y vectorial.
•  Producto simple
La multiplicación de un vector por un escalar se llama producto simple. El producto del
vector A=âA por un escalar k da por resultado un vector B cuya magnitud es kA y cuya dirección
es la misma que la de A. Es decir,
( )
⌢
⌢
⌢
⌢
B = kA = akA = x ( kAx ) + y kAy + z ( kAz )
•  Producto escalar o punto
El producto escalar (o punto) de dos vectores A y B, que se denota como AŸB y se define
geométricamente como el producto de la magnitud de uno de los vectores por la proyección del
otro vector sobre el primero o viceversa.
A i B = AB cosθ AB
donde θAB es el ángulo entre A y B (medido de A a B). La cantidad
Acos θAB es la componente de A a lo largo de B y es igual a la
proyección del vector A a lo largo de la dirección del vector B.
Análisis Vectorial
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
Si A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz), entonces A i B = ( xA
x + yAy + zAz ) i ( xBx + yBy + zBz ) Como los
⌢ ⌢ ⌢
vectores base x, y y z son ortogonales entre sí, se deduce que
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
xi x = yi y = z iz =1
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
xiy = yiz = zix =0
Utilizando estas últimas identidades, en el producto AŸB:
A i B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Por otro lado, el producto punto obedece las propiedades conmutativa y distributiva de la
multiplicación:
AŸB=BŸA
y
AŸ(B+C)=AŸB+AŸC
El producto punto de un vector por si mismo:
AŸB=|A|2=A2
Si el vector A se define en un sistema de coordenadas dado, su magnitud A se determina:
A=|A|=√AŸA
Si los vectores A y B se especifican en un sistema de coordenadas dado, entonces el ángulo más
pequeño entre ellos se determina como:
AiB
⎡
⎤
θ AB = cos −1 ⎢ +
⎥
+
⎣ AiA BiB ⎦
Análisis Vectorial
Producto vectorial o cruz
Suponga dos vectores A y B denotados como A×B y definido como:
⌢
A × B = nABsenθ AB
⌢
Donde θAB es el ángulo entre A y B, n es un vector unitario normal al plano que contiene A y B.
La magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo definido por los dos vectores,
⌢
como se observa en la figura siguiente y su dirección se especifica por n de acuerdo con la
regla de la mano derecha como se muestra:
⌢
La dirección de n apunta a lo largo del dedo pulgar cuando los
⌢
dedos giran de A a B por el ángulo θAB. Se observa que, como n
es perpendicular al plano que contiene A y B, también es
perpendicular a los vectores A y B.
El producto cruz en anticonmutativo, lo que significa:
A×B=-B×A
Otras propiedades:
A×(B+C)=A×B+A×C
A×A=0
Análisis Vectorial
De acuerdo con la definición del producto cruz, encontramos las siguientes relaciones para los
⌢ ⌢ ⌢
vectores base x, y, z del sistema de coordenadas cartesianas:
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
x × y = z, y × z = x, z × x = y
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
x×x= y×y=z×z =0
Definiendo A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz) y aplicando las relaciones anteriores, definimos:
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
A × B = ( xAx + yAy + zAz ) × ( xBx + yBy + zBz )
⌢
⌢
⌢
= x(Ay Bz − Az By ) + y(Az Bx − Ax Bz ) + z(Ax By − Ay Bx )
La forma cíclica del resultado anterior permite expresar el producto cruz en la forma de un
determinante:
⌢
x
⌢
y
⌢
z
A × B = Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Análisis Vectorial
Ejercicio 1) En coordenadas cartesianas, el vector A está dirigido del origen al punto P1(2, 3,
3) y el vector B está dirigido del punto P1 al punto P2(1, -2, 2). Encuentre:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
El vector A, su magnitud A y el vector unitario â
El ángulo que forma A con el eje y
El vector B
El ángulo entre A y B
La distancia perpendicular del origen al vector B
Ejercicio 2) Encuentre el vector de distancia entre P1(1, 2, 3) y P2(-1, -2, 3) en coordenadas
cartesianas.
Ejercicio 3) Calcule el ángulo θ entre los vectores A y B del ejercicio 1) utilizando el producto
cruz entre ellos
Ejercicio 4) Determine el ángulo que el vector B del ejercicio 1) forma con el eje z
Análisis Vectorial
Producto triple escalar
El producto punto de un vector con el producto cruz de otros dos vectores se llama producto
triple escalar, llamado así porque el resultado es un escalar. Un producto triple escalar obedece
el siguiente orden cíclico:
A i (B × C) = B i (C × A) = C i (A × B)
El producto triple escalar de los vectores A=(Ax, Ay, Az), B=(Bx, By, Bz), C=(Cx, Cy, Cz) se
escribe en la forma de un determinante de 3X3:
Ax
Ay
Az
A i (B × C) = Bx
By
Bz
Cx
Cy
Cz
Producto triple vectorial
El producto triple vectorial implica el producto cruz de un vector con el producto cruz de otros
dos, tal como: A×B×C, cuyo resultado es un vector. En general, no obedece la ley asociativa.
Es decir, A×(B×C)≠(A×B)×C. Lo que indica que es importante especificar cuál multiplicación
cruz tiene que efectuarse primero. Expandiendo los vectores A, B y C en su forma de
componentes, se demuestra que:
A × (B × C) = B(A i C) − C(A i B)
Análisis Vectorial
⌢
⌢ ⌢
⌢ ⌢
Ejercicio: A partir de A = x⌢ − y⌢ + 2 x,
B = y + z, C = −2 x + 3z , calcule (A×B)×C y compárelo con
A×(B×C)
Sistemas de coordenadas ortogonales
Un sistema de coordenadas ortogonales es aquel cuyas coordenadas son mutuamente
perpendiculares, los más estandarizados son:
•  Sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular)
•  Sistema de coordenadas cilíndricas
•  Sistema de coordenadas esféricas
Coordenadas Cartesianas:
Longitud, área y volumen diferenciales
en coordenadas cartesianas
Análisis Vectorial
Coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas útil para resolver problemas que presentan una simetría de este tipo,
por ejemplo, calcular la capacitancia por unidad de longitud en una línea de transmisión
coaxial. La localización de un punto en el espacio se define de forma única por tres variables, r,
ϕ y z.
El punto (r1, ϕ1, z1) en coordenadas
cilíndricas; r1 es la distancia radial al
origen en el plano x-y, ϕ1 es el ángulo
en el plano x-y medido con respecto al
eje x hacia el eje y, z1 es la distancia
vertical al plano x-y.
Rangos:
!!!"
⌢
⌢
R1 = OP = r1r + z1 x
0≤r≤∞
0 ≤ ϕ ≤ 2π
-∞ ≤ z ≤ ∞
OP tiene componentes a lo largo de r y z únicamente, r está en ϕ1
Análisis Vectorial
Coordenadas cilíndricas
La siguiente figura muestra un elemento de
volumen diferencial en coordenadas cilíndricas. Las
⌢ ⌢ ⌢
longitudes diferenciales a lo largo de r, φ y z son:
El producto de cualquier par de longitudes
diferenciales es igual a la magnitud de un área de
superficie diferencial vectorial con una normal de
superficie que apunta a lo largo de la tercera
coordenada,
Análisis Vectorial
Ejemplo: Vector de distancia en coordenadas cilíndricas
Encuentre una expresión para el vector unitario del vector A mostrado en la figura en
coordenadas cilíndricas.
Solución: En el triángulo OP1P2,
!!!" !!!"
⌢ ⌢
A = OP2 − OP1 = r0 r − hz
⌢ ⌢
r0 r − hz
⌢ A
a=
= 2
A
r0 + h 2
Se observa que la expresión para A es independiente de ϕ0.
es decir, todos los vectores del punto P1 a cualquier punto del
círculo definido por r=r0 en el plano x-y son iguales en el
sistema de coordenadas cilíndricas.
Análisis Vectorial
Ejercicio. Área cilíndrica
Calcule el área de una superficie cilíndrica descrita por r=5, 30º ≤ ϕ ≤ 60º y 0 ≤ z ≤ 3.
Análisis Vectorial
Ejercicio.
Un cilindro circular de radio r=5 cm es concéntrico con el eje z y se extiende entre z=-3 cm y
z=3 cm. Determine el volumen del cilindro
Coordenadas esféricas
En este sistema, la ubicación de un punto en el espacio se especifica únicamente por las
variables R, θ y ϕ. La coordenada R, que en ocasiones se llama coordenada de rango. Describe
una esfera de radio R con centro en el origen. El ángulo cenit θ se mide a partir del eje z
positivo y describe una superficie cónica con su vértice en el origen y el ángulo azimutal ϕ es el
mismo como en el sistema de coordenadas cilíndricas. Los rangos de R, θ y ϕ son 0 ≤ R < ∞,
0 ≤ θ < π y 0 ≤ ϕ < 2π
Análisis Vectorial
⌢ ⌢
⌢
Los vectores base r, θ y φ obedecen las relaciones cíclicas de la mano derecha:
Un vector con componentes AR , Aθ y Aφ se escribe como:
y su magnitud es:
. El vector de posición del punto P(R1, θ1, ϕ1) es
!!!" ⌢
simplemente R1 = OP = RR1 mientras se tiene en cuenta que Ř es implícitamente dependiente de
θ1 y ϕ1.
Las expresiones para la longitud diferencial vectorial
dl, la superficie diferencial vectorial ds y el volumen
diferencial dv son:
Análisis Vectorial (Resumen de relaciones vectoriales)
Análisis Vectorial
Ejemplo: Área de superficie en coordenadas esféricas
La franja esférica indicada en la figura es una sección de una esfera de 3 cm de radio. Calcule el
área de la franja.
Solución: Considere la expresión para el área de una área
esférica elemental con radio constante R:
S = R2 ∫
π /3
θ =π /6
senθ dθ ∫
2π
φ =0
π /3
2π
dφ =
= 9(− cosθ ) π /6 φ 0 = 18π (cos π / 3 − cos π / 6) = 20.7 cm 2
Análisis Vectorial
Ejercicio: Carga en una esfera
Una esfera de 2 cm de radio contiene una densidad de carga por unidad de volumen ρv que se
determina mediante ρv=4cos2 θ (C/m3). Calcule la carga total Q contenida en la esfera.
Transformaciones entre sistemas de coordenadas
La posición de un punto dado en el espacio es invariable con respecto a la selección del sistema
de coordenadas. Es decir, su ubicación es la misma independientemente de que sistema de
coordenadas específico se utilice para representarlo.
Análisis Vectorial
Transformaciones cartersianas a cilíndricas
Interrelaciones entre coordenadas cartesianas (x,y,z) y
coordenadas cilíndricas (r,ϕ,z)
r = + x 2 + y2
φ = tan −1 ( y x )
x = r cos φ
y = r s e nθ
⌢ ⌢
⌢
Interrelaciones entre vectores base x, y y r,θ
⌢ ⌢
⌢ ⌢
r i x = cos φ , r i y = senφ
⌢ ⌢
⌢ ⌢
φ i x = −senφ , φ i y=cosφ
⌢
⌢ ⌢
⌢ ⌢
⌢
x = r cos φ − φ senφ
r = x cos φ ysenφ
⌢
⌢
⌢ ⌢
⌢
⌢
y
=
rsen
φ
+
φ
cos φ
φ = − xsenφ + y cos φ
⌢
z es el mismo vector en ambos sistemas de coordenadas
Análisis Vectorial
⌢
⌢
⌢
Por ejemplo,
un vector A = xAx + yAy + zAz en coordenadas cartesianas se transforma en
⌢
⌢
⌢
A = rAr + φ Aφ + zAz en coordenadas cilíndricas aplicando:
Ar = Ax cos φ + Ay senφ
Aφ = −A x senφ + Ay cos φ
Ax = Ar cos φ − Aφ senφ
Ay = Ar senφ + Aφ cos φ
⌢
⌢
⌢
Ejemplo: Dados el punto P1(3,-4,3) y el vector A = 2 x − 3y + 4 z , definidos en coordenadas
cartesianas, exprese P1 y A en coordenadas cilíndricas y evalúe A en P1
Análisis Vectorial
Transformaciones cartesianas a esféricas
De la figura se obtienen las siguientes relaciones de transformación:
R = + x 2 + y2 + z 2
⎡ + x 2 + y2 ⎤
θ = tan ⎢
⎥
z
⎢⎣
⎥⎦
⎛ y⎞
φ = tan −1 ⎜ ⎟
⎝ x⎠
−1
x = Rsenθ cos φ
y = Rsenθ senφ
z = R cosθ
⌢ ⌢
⌢
⌢
R = xsenθ cos φ + ysenθ senφ + z cosθ
⌢ ⌢
⌢
⌢
θ = x cosθ cos φ + y cosθ senφ − zsenθ
⌢
⌢
⌢
φ = − xsenφ + y cos φ
⌢
⌢
⌢ ⌢
x = Rsenθ cos φ + θ cosθ cos φ − φ senφ
⌢
⌢ ⌢
y = Rsenθ senφ + θ cosθ senφ + φ cos φ
⌢
⌢ ⌢
z = R cosθ − θ senθ
Ejercicio: Transformación cartesiana a esférica. Exprese el vector A = (x + y) x⌢ + (y − x) y⌢ + zz⌢ en
coordenadas esféricas
Análisis Vectorial
Análisis Vectorial
Distancia entre dos puntos
•  Coordenadas cartesianas
•  Coordenadas cilíndricas
•  Coordenadas esféricas
Ejercicio: 1) El punto P(2 3, π / 3,−2) se da en coordenadas cilíndricas. Exprese P en
coordenadas esféricas
⌢
⌢ ⌢
2) Transforme el vector A = (x + y) x + (y − x) y + zz de coordenadas cartesianas a
cilíndricas.
Análisis Vectorial
En teoría electromagnética se trabaja con cantidades vectoriales, en donde sus magnitudes
como direcciones pueden variar con la posición espacial. Se utilizan tres operadores
fundamentales para describir las variaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores;
estos son los operadores gradiente, divergencia y rotacional.
El operador gradiente se aplica a campos escalares. Suponga que T1(x,y,z) es la temperatura en
un punto P1(x,y,z) en alguna región del espacio y T2(x+dx,y+dy,z+dz) es la temperatura en un
punto cercano a P2 . Las distancias diferenciales dx, dy y dz son los componentes del vector de
distancia diferencial dl. Es decir
⌢
⌢
⌢
dl = xdx + ydy + zdz
para calcular el diferencial de temperatura:
dT =
∂T
∂T
∂T
⌢
⌢
⌢
dx +
dy +
dz ; dx = x ⋅ dl, dy = y ⋅ dl, dz = z ⋅ dl
∂x
∂y
∂z
⎡ ⌢ ∂T ⌢ ∂T ⌢ ∂T ⎤
dT = ⎢ x
+y
+z
⎥ ⋅ dl
∂x
∂y
∂z
⎣
⎦
El vector entre corchetes define el cambio de temperatura dT correspondiente a un cambio de
posición vectorial dl. Este vector se llama gradiente de T o grad T y en general se escribe
simbólicamente como ∇T . Es decir,
Análisis Vectorial
⌢ ∂T ⌢ ∂T ⌢ ∂T
∇T = grad T ! x
+y
+z
∂x
∂y
∂z
El símbolo ∇ se llama operador gradiente y se define como:
⌢ ∂ ⌢ ∂ ⌢ ∂
∇!x
+y +z
∂x
∂y
∂z
El operador como tal, no tiene algún significado físico por si mismo. Adquiere significado
cuando opera sobre una cantidad física escalar y el resultado de esta operación es un vector
cuya magnitud es igual a la tasa de cambio máxima de la cantidad física por unidad de
distancia y cuya dirección es a lo largo de la dirección de incremento máximo.
Suponiendo dl=âldl, donde âl es el vector unitario de dl, la derivada direccional de T a lo largo
de la dirección âl está dado por
dT
⌢
= ∇T ⋅ al
dl
Si ∇T es una función conocida de las variables coordenadas de un sistema de coordenadas
determinado, se puede encontrar la diferencia (T2-T1) donde T1 y T2 son los valores de T en los
puntos P1 y P2, respectivamente. Por lo tanto,
P2
T2 − T1 = ∫ ∇T ⋅ dl
P1
Análisis Vectorial
Ejercicio: Determine la derivada direccional de T=x2+y2z a lo largo de la dirección 2 x⌢ + 3y⌢ − 2 z⌢
y evalúela en (1,-1,2)
Operador gradiente en coordenadas cilíndricas y esféricas
⌢ ∂ ⌢1 ∂ ⌢ ∂
∇ = r +φ
+z
, (cilíndricas)
∂r
r ∂φ
∂z
⌢ ∂ ⌢1 ∂ ⌢ 1
∂
∇=R
+θ
+φ
, (esféricas)
∂R
R ∂θ
Rsenθ ∂φ
Propiedades del operador gradiente
Para dos funciones escalares cualesquiera U y V, se aplican las siguientes relaciones:
∇(U + V ) = ∇U + ∇V
∇(UV ) = U∇V + V∇U
∇V n = nV n−1∇V
Análisis Vectorial
Ejercicio: Cálculo del gradiente
Determine el gradiente de cada una de las siguientes funciones escalares y luego evalúelo en el
punto dado.
a)  V1=24V0cos(πy/3)sen(2πz/3) en (3, 2, 1) en coordenadas cartesianas
b)  V2=V0e-2rsen3ϕ en (1, π/2, 3) en coordenadas cilíndricas
c)  V3=V0(a/R)cos2θ en (2a, 0, π) en coordenadas esféricas
Ejercicio: Dado V=x2y+xy2+xz2, a) determine el gradiente de V y b) evalúelo en (1,-1,2)
⌢ ⌢
Ejercicio: Encuentre la derivada direccional de V=rz2cos2ϕ a lo largo de la dirección A = 2 r − z
y evalúela en (1,π/2,2)
Análisis Vectorial
Divergencia de un campo vectorial
De la ley de Culomb, sabemos que una carga puntual positiva aislada q induce un campo
eléctrico E en el espacio alrededor de ella, con la dirección de E a lo largo de la dirección hacia
fuera de la carga. Asimismo, la intensidad (magnitud) de E es proporcional a q y disminuye con
la distancia R desde la carga con 1/R2.
En una superficie límite, la densidad de flujo se define
como la cantidad de flujo que atraviesa una superficie
unitaria ds:
⌢
E ⋅ ds E ⋅ nds
Densidad de Flujo de E =
=
ds
ds
El flujo total que atraviesa una superficie cerrada S,
como la de la esfera es:
Líneas de flujo del campo eléctrico E
producido por una carga positiva q.
Flujo total = !
∫ E ⋅ ds
s
Análisis Vectorial
Considere un cubo , cuyos bordes están alineados con los ejes de un sistema de coordenadas
cartesianas. Existe un campo vectorial E(x,y,z) en la región del espacio que contiene el cubo y
se desea determinar el flujo de E a través de su superficie total S. Como S incluye seis caras, se
tienen que sumar los flujos a través de todas ellas y, por definición, el flujo a través de cualquier
cara es el flujo hacia fuera del volumen Δv a través de esa cara.
⌢
⌢
⌢
E se define como: E = xEx + yEy + zEz
⌢
⌢
el área de la cara 1 es ΔyΔz y su vector unitario n1 = − x . Por
consiguiente, el flujo hacia fuera F1 a través de la cara 1 es:
F1 =
∫
⌢
E ⋅ n1ds =
Cara 1
∫
⌢
⌢
⌢
⌢
( xEx + yEy + zEz )⋅(− x)
Cara 1
= − Ex (1)ΔyΔz
La suma de los flujos F1 a F6 da el total del flujo a
través de la superficie S del cubo:
Líneas de flujo de un campo vectorial E
que pasa por un cubo diferencial de volumen
Δv = ΔxΔyΔz
⎛ ∂Ex ∂Ey ∂Ez ⎞
E
⋅
ds
=
⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ ΔxΔyΔz
!∫S
=(div E)Δv
∇ ⋅ E ! div E =
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
+
∂x
∂y
∂z
Análisis Vectorial
La divergencia es un operador diferencial, solo actúa en vectores y el resultado de su
operación es un escalar. Esto contrasta con el operador gradiente, que sólo actúa en escalares y
el resultado es un vector. El operador divergencia es distributivo. Es decir, con cualquier par de
vectores E1 y E2
∇ ⋅ ( E1 + E2 ) = ∇ ⋅ E1 + ∇ ⋅ E2
Teorema de la divergencia
Para un volumen diferencial Δv puede extenderse para relacionar la integral de volumen de
en cualquier volumen v con el flujo E a través de la superficie cerrada que limita v. Es decir,∇ ⋅ E
!∫ E ⋅ds = ∫ ∇ ⋅ Edv
S
V
Ejercicios: Cálculo de la divergencia
Determine la divergencia de cada uno de los siguientes campos vectoriales y luego evalúela en
el punto
indicado.
! ⌢ 2 ⌢
⌢
a) E = x 3x + y2z + zx 2 z en (2, -2, 0)
! ⌢
⌢
b) E = R(a 3 cosθ / R 2 ) − θ (a 3senθ / R 2 ) en (a/2, 0, π )
!
!
⌢
⌢
Dado A = e−2 y ( xsen2x + y cos 2x), determine ∇ ⋅ A
Análisis Vectorial
Rotacional de un campo vectorial
El rotacional de un campo vectorial B describe la propiedad rotacional o la circulación de B,
para un contorno cerrado C, la circulación de B se define como la integral de línea de B
alrededor de C. Esto es,
Circulación = !
∫ B ⋅ dL
C
Para comprender el significado físico de esta expresión, considere un campo uniforme B=xB0,
cuyas líneas de campo se ilustran en la figura:
Para el contorno abcd se tiene:
b
c
d
a
a
b
c
d
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
⌢
Circulación = ∫ xB0 ⋅ x dx + ∫ xB0 ⋅ y dy + ∫ xB0 ⋅ x dx + ∫ xB0 ⋅ y dy
= B0 (b − a) + 0 + B0 (d − c) + 0 = 0
De acuerdo con este resultado,
La circulación de un campo uniforme es CERO!!
Análisis Vectorial
Ahora consideremos un campo magnético B inducido por un alambre infinito que transporta
corriente directa I. Si esta corriente se encuentra en el espacio libre y está orientada a lo largo de
la dirección z, entonces:
⌢ µ0 I
B=φ
2π r
Donde µ0 es la permeabilidad del espacio libre y r es la
distancia radial a la corriente en el plano x-y. La dirección de
B es a lo largo de la dirección azimutal ϕ. Las líneas de campo
de B son círculos concéntricos alrededor de la fuente de
corriente.
Para un contorno circular de radio r, el vector de longitud
⌢
diferencial dl = φ rdφ , y la circulación de B alrededor de C:
circulación = !
∫ B ⋅ dl =
C
2π
⌢ µ0 I ⌢
φ
∫0 2π r ⋅ φ r dφ = µ0 I
El rotacional de un campo vectorial B, denotado rotacional de B o ∇ × B , se define como:
⎤
1 ⎡⌢
n
B
⋅
dl
⎢ #
⎥
∫
Δs→0 Δs
⎣ C
⎦ máx
∇ × B = rotacional B ! lim
El rotacional de B es la circulación de B por unidad de área, con el área Δs del contorno C
orientada de forma que la circulación sea máxima !
Análisis Vectorial
⌢
La dirección del rotacional de B es n , la normal unitaria de Δs, definida de acuerdo a la regla de
la mano derecha: con los cuatro dedos de la mano derecha siguiendo la dirección del contorno
⌢
dl, el pulgar apunta a lo largo de n .
Para un vector B dado en coordenadas cartesianas como:
⌢
⌢
⌢
B = xBx + yBy + zBz
podemos expresar el rotacional como:
⌢ ⎛ ∂B ∂B ⎞ ⌢ ⎛ ∂B ∂B ⎞ ⌢ ⎛ ∂B ∂B ⎞
∇ × B = x⎜ z − y ⎟ + y⎜ x − z ⎟ + z ⎜ y − x ⎟ =
⎝ ∂z
⎝ ∂y
⎝ ∂x
∂z ⎠
∂x ⎠
∂y ⎠
⌢
⌢
⌢
x
y
z
=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Bx
By
Bz
Para dos vectores A y B cualesquiera,
1) ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
2) ∇ ⋅(∇ × A) = 0 para cualquier vector A
3) ∇ × (∇V ) = 0 para cualquier función escalar V
Análisis Vectorial
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes convierte la integral de superficie del rotacional de un vector sobre una
superficie abierta S en una integral lineal del vector a lo largo del contorno C que limita la
superficie S.
∫ (∇ × B)⋅ ds = !∫ B ⋅ dl
S
C
Si ∇ × B =0, se dice que el campo B es conservativo o irrotacional porque su circulación,
representada por el lado derecho del teorema de Stokes es cero.
Ejercicio. Verificación del teorema de Stokes
Un campo vectorial está dado por B = z⌢ cos(φ / r) . Verifique el teorema de Stokes para un
segmento de superficie cilíndrica definido por r=2, π/3≤ϕ≤π/2 y 0≤z≤3.
Análisis Vectorial
Operador laplaciano
En algunos problemas de electromagnetismo, con frecuencia es necesario calcular la
divergencia del gradiente de un escalar. Para una función escalar V definida en coordenadas
cartesianas, su gradiente es:
⌢ ∂V ⌢ ∂V ⌢ ∂V ⌢
⌢
⌢
∇V = x
+y
+z
= xAx + yAy + zAz
∂x
∂y
∂z
Donde se define un vector A con componentes Ax, Ay y Az. La divergencia de ∇V es:
∇ ⋅(∇V ) = ∇ ⋅ A =
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ 2 V ∂V ∂V
= 2 + 2+ 2
∂x
∂y ∂z
Por conveniencia,∇ ⋅(∇V ) se llama el laplaciano de V y se denota por ∇ 2V (el símbolo
∇ 2 se lee “nabla al cuadrado”). Es decir:
∂ 2 V ∂V ∂V
∇ V ! ∇ ⋅(∇V ) = 2 + 2 + 2
∂x
∂y ∂z
2
Como se puede ver, el laplaciano de una función escalar es un escalar.
Análisis Vectorial
El laplaciano de un escalar permite definir el laplaciano de un vector. Por ejemplo, para un
vector E dado en coordenadas cartesianas por:
⌢
⌢
⌢
E = xEx + yEy + zEz
El laplaciano de E se define como:
⎛ ∂ 2 E ∂E ∂E ⎞
⌢
⌢
⌢
∇ E = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ E = x∇ 2 Ex + y∇ 2 Ey + z∇ 2 Ez
∂y ∂z ⎠
⎝ ∂x
2
Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos
componentes son iguales a los laplacianos de sus componentes.
Una identidad útil del operador laplaciano es:
∇ 2 E = ∇(∇ ⋅ E) − ∇ × (∇ × E)
Análisis Vectorial
Resumen:
•  El gradiente de una función escalar es un vector cuya magnitud es igual a la máxima tasa de
cambio creciente de la función escalar por unidad de distancia y su dirección es a lo largo de
la dirección de incremento máximo.
> f := (x,y) -­‐> x^2+y^2-­‐x*cos(Pi*y)-­‐y*sin(Pi*x); plot3d(f(x,y),x=-­‐2..2,y=-­‐2..2); > fx:=unapply(diff(f(x,y),x),x,y): fy:=unapply(diff(f(x,y),y),x,y): gradiente:=(x,y)-­‐>vector([fx(x,y),fy(x,y)]); Para evaluarlo en cualquier punto basta susCtuir: > gradiente(-­‐1,2); Análisis Vectorial
Resumen:
•  La divergencia de un campo vectorial es una medida del flujo neto hacia fuera por unidad de
volumen a través de una superficie cerrada que circunda el volumen unitario.
•  El rotacional de un campo vectorial es una medida de la circulación del campo vectorial por
unidad de área Δs, con la orientación de ésta elegida de forma que la circulación sea
máxima.
•  El teorema de Stokes transforma la integral de superficie del rotacional de un campo
vectorial en una integral lineal del campo sobre el contorno que limita la superficie.
•  El laplaciano de una función escalar se define como la divergencia del gradiente de esa
función.
Electrostática
Ecuaciones de Maxwell
El electromagnetismo moderno está basado en un conjunto de cuatro relaciones fundamentales
conocidas como ecuaciones de Maxwell:
∇ ⋅ D = ρV
∇×E= −
∇⋅B = 0
∂B
∂t
∇×H= J+
∂D
∂t
E y D son cantidades de campo eléctrico interrelacionadas por D=εE, donde ε es la
permeabilidad eléctrica del material.
B y H son cantidades de campo magnético interrelacionadas por B=µH, donde µ es la
permeabilidad magnética del material
ρV es la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen
J es la densidad de corriente por unidad de área
Estas ecuaciones se mantienen en cualquier material, incluido el espacio libre (vacío) y en
cualquier lugar del espacio (x,y, z).
Electrostática
En el caso estático, ninguna de las funciones de las ecuaciones de Maxwell son función del
tiempo (es decir, ∂/ ∂t = 0). Esto sucede cuando todas las cargas están permanentemente fijas
en el espacio, o, si se mueven , lo hacen a una tasa constante, de manera que ρV y J
permanecen constantes en el transcurso del tiempo. En estas circunstancias, las derivadas con
respecto al tiempo de B y D en las ecs. de Maxwell se reducen a:
Electrostática:
∇ ⋅ D = ρV
∇×E= 0
Magnetostática:
∇⋅B = 0
∇×H= J
Las cuatro ecuaciones de Maxwell se dividen en dos pares no acoplados, donde el primero
implica sólo las cantidades de campo eléctrico E y D y el segundo implica sólo cantidades de
campo magnético B y H. Los campos eléctrico y magnético no están interconectados en el caso
estático.
Esto permite estudiar la electricidad y el magnetismo como dos fenómenos distintos y
separados, en tanto las distribuciones espaciales de carga y flujo de corriente permanezcan
constantes en el tiempo.
Electrostática
Distribuciones de carga y corriente
En teoría electromagnética, se presentan varias formas de distribuciones de carga eléctrica, y si
las cargas están en movimiento, constituyen distribuciones de corriente. La carga puede
distribuirse sobre un volumen de espacio, a través de una superficie o a lo largo de una línea.
Densidad de carga
La densidad de carga en un volumen ρv se define como:
Δq dq
=
Δ v →0 Δv
dv
ρV = lim
(C/m 3 )
donde Δq es la carga contenida en Δv. La variación de ρv con la ubicación en el espacio se llama
distribución espacial, o simplemente distribución. La carga total contenida en un volumen
dado v se determina mediante
Q = ∫ ρ v dv
v
En algunos casos, la carga eléctrica puede estar distribuida a través de la superficie de un
material, en cuyo caso la cantidad relevante de interés es la densidad de carga superficial, ρs,
definida como
Δq dq
ρ s = lim
=
Δs→0 Δs
ds
donde Δq es la carga presente a través de un área de superficie elemental Δs. Si la carga está
distribuida a lo largo de una línea, la cual no tiene que ser recta, la distribución se caracteriza en
función de la densidad de carga lineal ρl, definida como
Δq dq
ρ l = lim
=
Δl→0 Δl
dl
Electrostática
Ejercicios
1) Calcule la carga total Q contenida en un tubo cilíndrico de carga orientado a lo largo del eje
z. La densidad de carga lineal es ρl =2z, donde z es la distancia en metros al extremo inferior del
tubo. La longitud de éste es de 10 cm.
2) El disco circular de carga eléctrica que se muestra en la figura, está caracterizado por una
densidad de carga superficial azimutalmente simétrica que se incrementa en forma lineal con r
desde cero en el centro hasta 6 C/m2 con r=3 cm. Calcule la carga total presente en la superficie
del disco.
Electrostática
3) Una placa cuadrada en el plano x-y situada en el espacio está definida por -3≤x≤3 m y
-3≤y≤3 m. Calcule la carga total sobre la placa si la densidad de carga superficial está dada por
ρs=4y2 (µC/m2).
4) Un cascarón esférico centrado en el origen se extiende entre R=2 cm y R=3 cm. Si la
densidad de carga volumétrica está dada por ρv=3R x 10-4 (C/m3), calcule la carga total
contenida en el cascarón.
Electrostática
Densidad de corriente
Considere un tubo cuya densidad de carga volumétrica es ρv,. Las cargas se mueven con una
velocidad media u a lo largo del eje del tubo. Durante un periodo Δt, las cargas recorren una
distancia Δl=uΔt.
Considere ahora el caso más general en el que las cargas fluyen a través de una superficie Δs
⌢
cuya normal n no es necesariamente paralela a u. En este caso, la cantidad de carga Δq que
fluye a través de Δs es:
Δq = ρ v u ⋅ ΔsΔt
y la corriente correspondiente es:
ΔI =
Δq
= ρ v u ⋅ Δs = J ⋅ Δs
Δt
Donde J=ρvu, se define como la densidad de corriente [A/m2]. Para una superficie arbitraria S,
la corriente total que fluye a través de ella está determinada entonces por
I = ∫ J ⋅ ds
S
[A]
Electrostática
Cuando el movimiento de la materia eléctricamente cargada genera la corriente, se llama
corriente convectiva y J se llama densidad de corriente de convección. Ésta es distinta de
una corriente de conducción, donde los átomos del medio conductor no se mueven.
Ley de Coulomb
1)  Una carga aislada q induce un campo eléctrico E en todos los puntos del espacio y en
cualquier punto específico P, y que E se determina mediante:
⌢
E=R
q
4πε R 2
(V/m)
2)  En la presencia de un campo eléctrico E en un punto dado en el espacio, que puede deberse
a una sola carga o a una distribución de muchas, la fuerza que actúa en una carga de prueba
q´, cuando ésta se coloca en ese punto, se determina por
F=q´E (N)
Con F medida en (N) y q´en coulombs (C), la unidad de E es (N/C) o (V/m). Para un material
con permitividad eléctrica ε, las cantidades de campo eléctrico D y E están relacionadas por
D=εE, con ε=εrε0
Electrostática
Donde ε0=8.85 x 10-12 ≈ (1/36π) x 10-9 (F/m) es la permitividad eléctrica del espacio libre y
εr=ε/ε0 se llama permitividad relativa (o constante dieléctrica) del material. Para la mayoría de
los materiales y en la mayoría de las condiciones, su ε tiene un valor constante independiente
tanto de la magnitud como de la dirección de E.
Si ε es independiente de la magnitud de E, entonces se dice que el material es lineal porque D y
E están relacionados linealmente y si es independiente de la dirección de E, se dice que el
material es isotrópico.
En general, los materiales no exhiben un comportamiento de permitividad no lineal excepto
cuando la amplitud de E es muy alta (a niveles que se aproximen a las condiciones de ruptura
dieléctrica), y la anisotropía es peculiar sólo en ciertos materiales con estructuras cristalinas.
Electrostática
Campo eléctrico producido por múltiples cargas puntuales
Considere dos cargas puntuales, q1 y q2, localizadas con vectores de posición R1 y R2 a partir
del origen de un sistema de coordenadas dadas. El campo eléctrico E tiene que evaluarse en el
punto P con el vector de posición R. En P, el campo eléctrico E1 producido solo por q1 está
determinado por:
E1 =
q1 (R − R1 )
4πε R − R1
3
,
(V/m). y E2 =
q2 (R − R 2 )
4πε R − R 2
3
, (V/m)
El campo eléctrico obedece el principio de superposición
lineal. Por consiguiente, el campo eléctrico total E en
cualquier punto del espacio es igual a la suma vectorial de los
campos eléctricos inducidos por todas las cargas individuales:
E = E1 + E2 =
1 ⎡ q1 (R − R1 ) q2 (R − R 2 ) ⎤
+
⎢
3 ⎥
4πε ⎢⎣ R − R1 3
R − R 2 ⎥⎦
Generalizando el resultado anterior al caso de N cargas puntuales, el campo eléctrico E en el
vector de posición R provocado por las cargas q1, q2, …, qN localizadas en puntos con vectores
de posición R1, R2, .. RN, se determina por:
1 N qi (R − R i )
E=
∑
4πε i=1 R − R i 3
Electrostática
Ejercicios. 1) Dos cargas puntuales con q1=2 x 10-5 C y q2= -4 x 10-5 C están localizadas en el
espacio libre en (1, 3, -1) y (-3, 1, -2), respectivamente, en un sistema de coordenadas
cartesianas. Calcule a) el campo eléctrico E en (3, 1, -2) y b) la fuerza sobre una carga de 8 x
10-5 C localizada en ese punto. Todas las distancias están en metros.
2) Cuatro cargas de 10 µC cada una están localizadas en el espacio libre en (-3, 0, 0), (3, 0, 0),
(0, -3, 0) y (0, 3, 0) en un sistema de coordenadas cartesianas. Calcule la fuerza sobre una
cargas de 20 µC localizada en (0, 0, 4). Todas las distancias están en metros.
3) Dos cargas idénticas están localizadas sobre el eje x en x=3 y x=7. ¿En que punto del espacio
es cero el campo eléctrico neto?
4) En un átomo de hidrógeno el electrón y el protón están separados por una distancia promedio
de 5.3 x 10-11 m. Calcule la magnitud de la fuerza eléctrica Fe entre las dos partículas y
compárela con la fuerza gravitacional Fg entre ellas.
Electrostática
Campo eléctrico producido por una distribución de carga
Considere el volumen v’ mostrado en la figura, este contiene una distribución de carga eléctrica
caracterizada por una densidad de carga volumétrica ρv, cuya magnitud varía con la ubicación
en el espacio dentro de v’.
El campo eléctrico diferencial en un punto P producido por una
cantidad de carga diferencial dq=ρvdv’ contenido en un volumen
diferencial dv’ es:
⌢
dE = R '
⌢ ' ρ v dv'
dq
=R
4πε R'2
4πε R'2
donde R’ es el vector del volumen diferencial dv’ al punto P.
Aplicando el principio de superposición lineal, el campo eléctrico total E se obtiene integrando
los campos contribuidos por todas las cargas que forman la distribución de carga. Por lo tanto,
1 ⌢ ' ρ v dv'
E = ∫ dE =
R
∫
4
πε
R'2
v'
v'
E = ∫ dE =
S'
1 ⌢ ' ρ s ds '
R '2
4πε ∫S '
R
1 ⌢ ' ρ l dl '
E = ∫ dE =
R '2
4πε ∫l '
R
l'
(distribución de volumen)
(distribución de superficie)
(distribución de volumen)
Electrostática
Ejercicio: 1) Un anillo de carga de radio b se caracteriza por una densidad de carga lineal
uniforme de polaridad positiva ρl. Con el anillo en el espacio libre y colocado en el plano x-y,
determine la intensidad de campo eléctrico E en un punto P(0, 0, h) a lo largo del eje del anillo
a una distancia h de su centro.
Solución: considerando un segmento 1 localizado en (b,0,h) en la
fig. a). La longitud del segmento es dl=bdϕ, con una carga
dq=ρldl=ρlbdϕ. El vector R’1 del segmento 1 al punto P(0,0,h) es:
⌢ ⌢
R1' = − rb + zh
de donde obtenemos:
⌢ ⌢
⌢ ' R1'
− rb + zh
R = R = b + h , R1 = ' =
R1
b2 + h2
'
1
'
1
2
2
El campo eléctrico en P(0,0,h) producido por la carga del
segmento 1 es:
⌢ ⌢
1 ⌢ ' ρ l dl
ρ l b ( − rb + zh )
dE1 =
R1 '2 =
dφ
4πε 0
R1
4πε 0 ( b 2 + h 2 )3/2
Por consideraciones de simetría, las componentes r⌢ de la suma se
⌢
eliminan y las contribuciones en z se suman. La suma de las 2 contribuciones es:
Electrostática
dφ
⌢ ρ bh
dE = dE1 + dE2 = z l
2πε 0 ( b 2 + h 2 )3/2
Por cada segmento anular localizado en el semicírculo definido en el rango 0≤ϕ≤π (la mitad
derecha del anillo circular) existe un segmento correspondiente diametralmente opuesto en
(ϕ+π), se puede obtener el campo total generado por el anillo integrando dE sobre un
semicírculo como sigue:
⌢
E=z
ρ l bh
2πε 0 ( b + h
2
π
)
2 3/2
⌢
d
φ
=
z
∫
0
ρ l bh
2ε 0 ( b + h
2
Donde Q=2πbρl es la carga total contenida en el anillo.
)
2 3/2
⌢
=z
h
4πε 0 ( b + h
2
)
2 3/2
Q
Electrostática
Ley de Gauss
Partiendo de la forma diferencial de la ley de Gauss: ∇ ⋅ D = ρ v , la cual es susceptible de
convertirse y expresarse en forma integral, multiplicando ambos lados por dv y tomando la
integral de volumen sobre un volumen arbitrario v:
∫ ∇ ⋅ Ddv = ∫ ρ dv = Q
v
v
v
Donde Q es la carga total encerrada en v. El teorema de la divergencia establece que la integral
de volumen de la divergencia de cualquier vector sobre un volumen v es igual al flujo total
hacia fuera de ese vector a través de la superficie s que encierra a v. Por lo tanto, para el vector
D,
∫ ∇ ⋅ Ddv = !∫ D ⋅ds
v
s
De estas expresiones tenemos la forma integral para la ley de Gauss:
!∫ D ⋅ds = Q
s
Para cada elemento de superficie diferencial ds, la divergencia de
D ⋅ ds es el flujo de campo eléctrico que fluye a través de ds, y el
flujo total a través de la superficie s es igual a la carga encerrada
en Q. Ls superficie s se conoce como superficie gaussiana.