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Ondas Guíadas
Prof. A. J. Zozaya
07 de abril de 2014
Índice
1. Introducción
1
1.1. Planteamiento del problema ideal, 3.
2. Clasificación de las soluciones
7
2.1. Ondas TEM, 7 –2.1.1. Solución, 8 . —2.2. Ondas TE o H, 8 –2.2.1. Solución, 8 . —2.3.
Ondas TM o E, 10. —2.4. Solución, 11. —2.5. Estimación de la solución del problema
real, 11. —2.6. Atenuación, 12. —2.7. Cálculo de la atenuación αC por pérdidas en el
conductor, 15. —2.8. Cálculo de la atenuación αD por pérdidas en el dieléctrico, 16.
3. Resumen de fórmulas
4. Cable coaxial 17
17
4.1. Onda de voltaje, 19. —4.2. Onda de corriente, 19. —4.3. Impedancia característica,
19. —4.4. Atenuación del cable coaxial, 19 –4.4.1. Atenuación debido al conductor, 20. –4.4.2.
Atenuación debido al dieléctrico, 20. –4.4.3. Atenuación resultante, 20 .
5. Guía de onda rectangular
20
5.1. Condición de propagación, 25. —5.2. Frecuencia de corte, 25. —5.3. Modo dominante,
25.
6. Guía de onda circular
26
6.1. Ondas TE, 29. —6.2. Ondas TM, 30. —6.3. Modo dominante, 32.
A. Relación entre la densidad de corriente superficial Js de un conductor
perfecto y la densidad de corriente J en un conductor real 34
1.
Introducción
Una guía de onda está hecha de uno o más materiales de propiedades electromagnéticas intrínsecas diferentes y consiste, en general, en una estructura con gran desarrollo
longitudinal y una sección transversal uniforme. En la Figura 1 se muestran algunos
tipos de guías de ondas.
Una guía de onda puede tener la forma de una cañería, hecha de material conductor,
rellena de aire, o vacía, como es el caso de una guía de onda rectangular –ver Fig. 1(a)–,
o de una guía de onda circular; o podría consistir en dos regiones cilíndricas concéntricas
hechas de materiales dieléctricos con distintos índices de refracción, como es el caso de
1
(a) Guía de onda rectangular
(tomado
de
http://www.quinstar.com).
(b)
Cable
coaxial
(tomado
de
http://www.cybermarket.co.uk).
(c)
Microcinta (tomado de
http://www.eecs.umich.edu).
(d) Fibra óptica (tomado de
http://www.drakausa.com).
Figura 1: Ejemplos de guías de onda.
la fibra óptica –ver Fig. 1(d)–; o de un par de conductores cilíndricos formando lo que
se conoce como una línea bifilar. Existen otras estructuras de guíado, como el cable
coaxial –Fig. 1(b)–, la microcinta –Fig. 1(c)–, etc.
Normalmente se puede asumir que los campos se propagan en el interior de la guía1
en la dirección longitudinal, mediante múltiples reflexiones en la superficie de separación
de los materiales que conforman la estructura. Esto es intuitivamente cierto cuando uno
cualquiera de los campos presenta una componente longitudinal (modos TE y TM), pero
resulta muy difícil admitirlo cuanto los campos son completamente transversales (modo
TEM).
Si hacemos caso omiso de las fuentes impresas que pudieran excitar los campos dentro de la guía, lo cual se logra imponiendo la inexistencia de tales fuentes, los campos en
1
Se entiende por interior de la guía la región ocupada por el material interno
2
la guía se pueden considerar libres, pero confinados, y su estructura estaría determinada
por la solución de tantas ecuaciones homogéneas de Helmholtz como materiales distintos formen parte de la guía y de la conciliación de tales soluciones con las condiciones
de borde que las Ecuaciones de Maxwell imponen en todas las interfaces entre dichos
materiales dentro de la guía.
En este documento nos ocuparemos del estudio de las guías de onda constituidas
por uno o dos conductores y rellenas de un dieléctrico homogéneo.
En una guía de onda arbitraria, todos
los campos que tienen alguna posibilidad
Cuadro 1: Clasificacin de las ondas guiadas
de propagarse (en la dirección longitudiTEM
TE
TM
nal) presentan, en general, una estrucez , hz = 0 hz = 0 ez = 0
tura que resulta de cierta combinación
lineal de tres familias distintas de estructuras posibles. Estas estructuras se denominan –ver Cuadro 1–:
4 TEM: ondas transverse electromagnetic: los campos eléctrico y magnético son
ambos transversales a la dirección de propagación.
4 TE o H: ondas (modos) transverse electric: el campo eléctrico es transversal a la
dirección de propagación.
4 TM o E: ondas (modos) transverse magnetic: el campo magnético es transversal
a la dirección de propagación.
Para analizar estas soluciones (estructuras) partiremos de una guía de onda ideal, esto
es: hecha con conductores ideales (σ → ∞) y rellena con un dieléctrico perfecto (ε00 = 0).
El problema que así resulta se reduce a resolver un problema con valores en la frontera
en una sola región: en el dieléctrico, el cual se asume delimitado, como se ha indicado
anteriormente, por uno o más conductores perfectos.
1.1.
Planteamiento del problema ideal
Dadas la ecuaciones de Helmholtz para los campos E y H en el dieléctrico que
rellena la guía:
∇2 E + κ2 E = 0
∇2 H + κ2 H = 0
(1)
(2)
Pondremos el operador de Helmholtz en la forma:
∇2 + κ2
⇓
2
2
∂
∂2
∂
+
+
+ κ2
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
|
{z
∇2T
(3)
(4)
(5)
}
⇓
∂2
∇2T + 2 + κ2
∂z
3
(6)
(7)
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales,
y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas
transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:
E = ET (x, y, z) + Ez (x, y, z) az
|
{z
eT (x,y)g(z)
}
|
{z
ez (x,y)g(z)
(8)
}
⇓
E = eT (x, y)g(z) + ez (x, y)g(z)az
(9)
(10)
Haremos lo propio con el campo magnético:
H = HT (x, y, z) + Hz (x, y, z) az
|
{z
hT (x,y)g(z)
}
|
{z
hz (x,y)g(z)
(11)
}
⇓
H = hT (x, y)g(z) + hz (x, y)g(z)az
(12)
(13)
Al aplicar el operador 7 a los campos 10 y 13, las ecuaciones vectoriales 1 y 2 dan
lugar a las ecuaciones del cuadro 2.
Cuadro 2: Ecuaciones de Helmholtz.
Campo eléctrico
Campo magnético
!
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 eT (x, y)g(z) = 0
∂z
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 ez (x, y)g(z) = 0
∂z
!
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 hT (x, y)g(z) = 0
∂z
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 hz (x, y)g(z) = 0
∂z
!
La ecuación
!
!
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 f (x, y)g(z) = 0
∂z
4
(14)
se separa en dos ecuaciones:
d2
g(z) + κ2 f (x, y)g(z) = 0
dz 2
⇓
2
∇T f (x, y)
= −κ2T
f (x, y)
1 d2
g(z) = −κ2`
2
g(z) dz
⇓
2
κT + κ2` = κ2
⇓
2
∇T f (x, y) + κ2T f (x, y) = 0
d2
g(z) + κ2` g(z) = 0
2
dz
g(z)∇2T f (x, y) + f (x, y)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
La solución de la ecuación 23 es:
g(z) = Ae−jκ` z + Bejκ` z
(24)
con A y B constantes complejas indeterminadas.
La solución 24 está compuesta por dos ondas viajeras: una en el sentido de crecimiento de la coordenada longitudinal z, Ae−jκ` z , y la otra en sentido contrario, Bejκ` z .
Nos quedaremos con la onda viajera progresiva e−jκ` z e incluiremos la constante indeterminada A en la función f (x, y), por lo que escribiremos g(z) = e−jκ` z . De esta forma
las ecuaciones del cuadro 2 dan lugar a las ecuaciones del cuadro 3.
Dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:
∇ × E = −jωµH
∇ × H = jωεE
∇·D =0
∇·B =0
(25)
(26)
(27)
(28)
Descomponemos los operadores ∇× y ∇· de la forma:
!
∂
∇× ≡ ∇T + az ×
∂z
!
∂
∇· ≡ ∇T + az ·
∂z
donde
∇T ≡
∂
∂
ax +
ay
∂x
∂y
5
!
Cuadro 3: Resumen de las Ecuaciones resultantes
Campo eléctrico
Campo magnético
!
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 eT (x, y)e−jκ` z = 0
∂z
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 ez (x, y)e−jκ` z = 0
∂z
!
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 hT (x, y)e−jκ` z = 0
∂z
∇2T
∂2
+ 2 + κ2 hz (x, y)e−jκ` z = 0
∂z
!
!
⇓
∂2
≡ (−jκ` )2 ; κ2 − κ2` = κ2T
∂z 2
⇓
∇2T eT (x, y) + κ2T eT (x, y) = 0
∇2T hT (x, y) + κ2T hT (x, y) = 0
∇2T ez (x, y) + κ2T ez (x, y) = 0
∇2T hz (x, y) + κ2T hz (x, y) = 0
Sustituyendo las expresiones de los campos E y H de las ecuaciones 10 y 13, respectivamente, y poniendo g(z) = e−jκ` z obtenemos:
!
h
i
∂
∇T + az × eT (x, y)e−jκ` z + ez (x, y)e−jκ` z az
∂z
h
= −jωµ hT (x, y)e−jκ` z + hz (x, y)e−jκ` z az
i
!
h
i
∂
∇T + az × hT (x, y)e−jκ` z + hz (x, y)e−jκ` z az
∂z
h
= jωε eT (x, y)e−jκ` z + ez (x, y)e−jκ` z az
i
!
h
i
∂
∇T + az · eT (x, y)e−jκ` z + ez (x, y)e−jκ` z az = 0
∂z
!
h
i
∂
∇T + az · hT (x, y)e−jκ` z + hz (x, y)e−jκ` z az = 0
∂z
6
(29)
(30)
Para el campo eléctrico escribiremos:
∇T × eT (x, y) = −jωµhz (x, y)az
∇T × ez (x, y)az − jκ` az × eT (x, y) = −jωµhT (x, y)
∇T · eT (x, y) = jκ` ez (x, y)
(31)
(32)
(33)
Usando la identidad vectorial:
∇ × (ψA) = (∇ψ) × A + ψ∇ × A
se podrá escribir:
∇T × ez (x, y)az = ∇T ez (x, y) × az
ya que ∇T × az = 0. Reescribiremos la ecuación 32 de la forma:
az × ∇T ez (x, y) + jκ` az × eT (x, y) = jωµhT (x, y)
(34)
Y para el campo magnético:
∇T × hT (x, y) = jωεez (x, y)az
az × ∇T hz (x, y) + jκ` az × hT (x, y) = −jωεeT (x, y)
∇T · hT (x, y) = jκ` hz (x, y)
2.
2.1.
(35)
(36)
(37)
Clasificación de las soluciones
Ondas TEM
Para las ondas TEM se cumple que ez = 0 y hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones
de Maxwell estos valores se obtiene:
4 Ecuaciones para el campo eléctrico:
∇T × eT (x, y) = 0
κ` az × eT (x, y) = ωµhT (x, y)
∇T · eT (x, y) = 0
(38)
(39)
(40)
4 Ecuaciones para el campo magnético:
∇T × hT (x, y) = 0
κ` az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y)
∇T · hT (x, y) = 0
7
(41)
(42)
(43)
2.1.1.
Solución
∇T × eT (x, y) = 0 ⇒ eT (x, y) = −∇Φ(x, y)
⇓
∇2T Φ(x, y) = 0
Φ|S1 ,S2
(44)
(45)
)
(46)
κ` = κ
⇓
(47)
(48)
E = −∇T Φ(x, y)e−jκz
κ
H = ± az × eT (x, y)e−jκz
ωµ
(49)
(50)
κ` = κ ya que E = eT e−jκ` z debe satisfacer la ecuación (1):
∇2 eT e−jκ` z + κ2 eT e−jκ` z = 0
h
2.2.
i
∇2T − κ2` eT e−jκ` z + κ2 eT e−jκ` z = 0
Ondas TE o H
Para las ondas TE o H se cumple que ez = 0. Al sustituir en las ecuaciones de
Maxwell este valor se obtiene:
4 Ecuaciones para el campo eléctrico:
∇T × eT (x, y) = −jωµhz (x, y)az
κ` az × eT (x, y) = ωµhT (x, y)
∇T · eT (x, y) = 0
(51)
(52)
(53)
4 Ecuaciones para el campo magnético:
∇T × hT (x, y) = 0
az × ∇T hz (x, y) + jκ` az × hT (x, y) = −jωεeT (x, y)
∇T · hT (x, y) = jκ` hz (x, y)
2.2.1.
(54)
(55)
(56)
Solución
1. Se resuelve la ecuación de Helmholtz:
∇2T hz (x, y) + κ2T hz (x, y) = 0
(57)
que junto con la condiciones Et = 0 y Hn = 0 sobre la superficie conductora,
con Et = eT · at y Hn = ht · an , donde at y an son dos vectores unitarios, el
8
primero tangente a la superficie conductora y contenido en el plano transversal,
y el segundo normal a la superficie conductora, tal que az × at = an :
(az × ∇T hz + jκ` az × hT = −jωεeT ) · at –ecuación 55–
⇓
∇T hz × az · at + jκ` hT × az · at = 0
(58)
(59)
(60)
ya que A × B · C = A · B × C
∇T hz · az × at + jκ` hT · az × at = 0
⇓
∇T hz · an + jκ` hT · an = 0
⇓
∂hz
=0
∂n
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
da lugar al denominado segundo problema de contorno para la ecuación de
Helmholtz:

∇2T hz + κ2T hz = 0 



(66)

∂hz


= 0 en ST 
∂n
El problema de contorno 66 es un problema de autovalores, donde κT , con
κT ∈ {κT n }, es un autovalor del operador ∇2T , {κT n } es el espectro de ∇2T ,
y la solución hz es la autofunción asociada, con hz ∈ {hz n }. Cada solución hz
del conjunto {hz n } da lugar a una estructura transversal de los campos E y H
distinta, denominada modo de propagación . El conjunto {hz n } contiene todos los
modos de propagación: las autofunciones.
2. Se calcula ht (x, y) a partir de hz (x, y):
∇T × hT (x, y) = 0 –ecuación 54–
⇓
∇T × ∇T × hT (x, y) ≡ ∇T [∇T · hT (x, y)] − ∇2T hT (x, y) = 0
|
{z
}
de la ecuación 56
|
{z
del cuadro 3
⇓
∇T [jκ` hz (x, y)] + κ2T hT (x, y) = 0
⇓
jκ`
hT (x, y) = − 2 ∇T [hz (x, y)]
κT
(67)
(68)
(69)
}
(70)
(71)
(72)
(73)
3. Se calcula eT (x, y) a partir de hT (x, y), usando la propiedad a × b × c = (a ·
9
c)b − (a · b)c:
κ` az × eT (x, y) = ωµhT (x, y) –ecuación 52–
⇓
κ` az × az × eT (x, y) = ωµaz × hT (x, y)
⇓
ωµ
eT (x, y) = − az × hT (x, y)
κ`
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
Se define la impedancia de onda para el modo TE:
ωµ
κ
eT
=
= η
ηT E =
hT
κ`
κ`
Cuadro 4: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para las ondas TE.
∇2T hz + κ2T hz = 0
∂hz
= 0 en ST
∂n
hz = hz (x, y), hz ∈ {hz n }, κT ∈ {κT n }
hT = −
jκ`
∇T hz
κ2T
eT = −ηT E az × hT
2.3.
Ondas TM o E
Para las ondas TM o E se cumple que hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones de
Maxwell este valor se obtiene:
4 Ecuaciones para el campo eléctrico:
∇T × eT (x, y) = 0
az × ∇T ez (x, y) + jκ` az × eT (x, y) = jωµhT (x, y)
∇T · eT (x, y) = jκ` ez (x, y)
(79)
(80)
(81)
4 Ecuaciones para el campo magnético:
∇T × hT (x, y) = jωεez (x, y)az
κ` az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y)
∇T · hT (x, y) = 0
10
(82)
(83)
(84)
2.4.
Solución
1. Se resuelve la ecuación de Helmholtz:
∇2T ez (x, y) + κ2T ez (x, y) = 0
(85)
que junto con la condición ez = 0 sobre la superficie conductora, da lugar al
denominado primer problema de contorno para la ecuación de Helmholtz:
∇2T ez + κ2T ez = 0 


ez = 0 en ST
(86)


2. Se calcula et (x, y) a partir de ez (x, y):
∇T × eT (x, y) = 0 –ecuación 79–
⇓
∇T × ∇T × eT (x, y) ≡ ∇T [∇T · eT (x, y)] − ∇2T eT (x, y) = 0
|
{z
}
de la ecuación 81
|
{z
del cuadro 3
⇓
∇T [jκ` ez (x, y)] + κ2T eT (x, y) = 0
⇓
jκ`
eT (x, y) = − 2 ∇T [ez (x, y)]
κT
(87)
(88)
(89)
}
(90)
(91)
(92)
(93)
3. Se calcula hT (x, y) a partir de eT (x, y): Usando la propiedad a × b × c = (a ·
c)b − (a · b)c:
κ` az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y) –ecuación 83–
⇓
κ` az × az × hT (x, y) = −ωεaz × eT (x, y)
⇓
ωε
az × eT (x, y)
hT (x, y) =
κ`
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
Se define la impedancia de onda para el modo TM:
ηT M =
2.5.
eT
κ`
κ`
=
= η
hT
ωε
κ
Estimación de la solución del problema real
En una situación real, ni el dieléctrico ni el conductor son perfectos. El dieléctrico
presentará pérdidas por polarización (ε00 6= 0), por lo que parte de la energía transportada por los campos se disipará en forma de calor en el propio dieléctrico. Además,
11
Cuadro 5: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para las ondas TM.
∇2T ez + κ2T ez = 0
ez = 0 en ST
ez = ez (x, y), ez ∈ {ez n }, κT ∈ {κT n }
eT = −
hT =
jκ`
∇T ez
κ2T
1
ηT M
az × eT
otra fracción de la mencionada energía transportada por los campos, aún cuando muy
pequeña, se refractará en el conductor disipándose en él mediante el efecto Joule. Si
estas pérdidas se mantienen pequeñas, es posible estimar la solución del problema real
mediante una pequeña perturbación2 de la solución del problema ideal:
E = (eT + ez az ) e−κ` z
|
{z
solución ideal
}
H = (hT + hz az ) e−κ` z
|
{z
solución ideal
↓
→
f = (e + e a ) e−(κ` z+αz)
E
T
z z
|
{z
solución ideal perturbada
(99)
}
↓
f = (h + h a ) e−(κ` z+αz)
H
T
z z
→
}
|
{z
solución ideal perturbada
(100)
}
donde α es la perturbación, la cual se refleja en forma de una atenuación en la expresión
de los campos.
El calculo de α, curiosamente, se puede realizar utilizando las soluciones de los
campos del problema ideal bajo la premisa, ya mencionada, de que las imperfecciones
en los materiales causen pérdidas muy pequeñas. Este método es referido en la literatura
científica como el método de las perturbaciones [1].
2.6.
Atenuación
Aplicaremos el método de las perturbaciones para calcular la atenuación (la perturbación) haciendo uso de la solución del problema ideal3 . Para ello observamos que la
2
¿Vale la redundancia?
Esto es: en las ecuaciones utilizadas todas las expresiones de los campos eléctrico y magnético se
refieren a la solución ideal, a menos que se indique explícitamente lo contrario.
3
12
potencia que se propaga a los largo de la guía responde a una ley del tipo:
P =
ST
=
Z
<
ST
=
E × H∗
<
2
(
Z
Z
ST

 (eT
)
· ds
2

(
eT × h∗T
<
2
)


· ds
(101)
· ds e−2αz
{z
|
+ ez az ) e−(κ` z+αz) × h∗T + h∗z az eκ` z−αz 
}
P0
=P0 e−2αz
donde ST es la superficie transversal del dieléctrico y P0 es la potencia que sería transportada por los campos en el caso ideal (ausencia de pérdidas) y que equivale, en el
caso real, a la potencia transportada por los campos en z = 0.
Dado que la onda electromagnética progresiva ha de experimentar una variación de
potencia ∆P en una longitud ∆Z de la guía que se debe corresponder con la misma
cantidad de potencia disipada tanto en el dieléctrico como en el conductor por unidad
de longitud, P` , tomando en cuenta la ecuación (101), se podrá escribir:
∆P
∆z→0 ∆z
dP
=−
dz
= 2αP
P` = − lı́m
(102)
la cual implica que las pérdidas por unidad de longitud en un plano transversal dado
de la guía es directamente proporcional a la potencia transportada por los campos en
el mismo plano. De la ecuación (114) es posible despejar α:
P`
(103)
2P
Por razones de linealidad, α se puede descomponer en una suma de dos partes: una,
αD , que modela las pérdidas en el dieléctrico y otra, αC , que modela las pérdidas en el
conductor: α = αD + αC . Para el cálculo de estas atenuaciones partiremos de la parte
real de la ecuación de balance energético complejo:
α=
E × H∗
<
2
S
I
(
)
ωZ
· ds = −
(µ00 H · H ∗ + ε00 E · E ∗ ) dν
2 V (S)
1Z
−
σE · E ∗ dν (104)
2 V (S)
la cual aplicaremos a una región volumétrica de la guía definida por ST y una longitud
incremental ∆z –ver figura 2(a)–, suponiendo que el dieléctrico no exhibe pérdidas ni
magnéticas ni óhmicas:
E × H∗
<
2
S
I
(
)
· ds = −
13
ωZ
ε00 E · E ∗ dν
2 V (S)
(105)
(a) Corte en perspectiva.
(b) Corte transversal.
Figura 2: Tramo de guía de onda de longitud ∆z.
La integral del miembro de la derecha se divide en dos partes al considerar que
la superficie de integración está compuesta por una superficie ST transversal, a través
de la cual fluye la energía transportada por los campos a lo largo de la guía, y una
superficie lateral S`at –ver figura 2(a)–, la cual coincide con la superficie interior de los
conductores, a través de la cual fluye la energía que se refracta en estos y que se disipa
por efecto Joule:
I
S
E × H∗
· ds =
<
2
(
)
)
(
)
Z
E × H∗
E × H∗
<
· ds +
<
· ds (106)
2
2
(
Z
S`at
ST (z)+ST (z+∆z)
que al sustituir en la ecuación (105), y luego de despejar apropiadamente, nos permite
obtener:
Z
ST (z)+ST (z+∆z)
E × H∗
<
2
(
)
· ds = −
Z
S`at
∆P = −
Z
S`at
E × H∗
<
2
)
∗
)
(
(
E×H
<
2
|
{z
ω
· ds −
2
ω
· ds −
2
}
PC
Z
ε00 E · E ∗ dν
V (ST +S`at )
Z
ε00 E · E ∗ dν
V (ST +S`at )
|
{z
PD
}
(107)
donde ∆P es la variación de la potencia electromagnética transportada por los campos
en ∆Z metros de longitud, PC es la potencia refractada hacia los conductores que
fluye desde el volumen considerado a través de la superficie lateral, y PD es la potencia
disipada en el interior del volumen considerado debido a las pérdidas de polarización
del dieléctrico.
Para la aplicación de la fórmula (103) tal que:
αC =
P`C
2P
αD =
P`D
2P
es necesario definir P`C y P`D en función de PC y PD , respectivamente.
14
(108)
2.7.
Cálculo de la atenuación αC por pérdidas en el conductor
PC
∆z→0 ∆z
P`C = lı́m
<
R
S`at
= lı́m
∆z→0
R
= lı́m
n
H
∆z L`at
E×H ∗
2
=
(
<
L`at
· ds
∆z
n
o
∗
< E×H
· d`dzan
2
∆z→0
I
o
E×H
2
∗
(109)
∆z
)
· d`an
donde an es un vector unitario normal a la superficie lateral de la guía que apunta
hacia el interior del conductor y L`at es el contorno lateral de los conductores en el
plano transversal –ver figura 2(b)–.
En virtud de que el campo eléctrico ideal es nulo en el contorno lateral L`at la integral
anterior –ecuación (109)– no nos sirve directamente para calcular P`C . En un conductor
real, el campo eléctrico tangencial a la superficie, aún cuando muy pequeño, no es
nulo. Tendremos que calcular P`C utilizando los valores de los campos en el conductor
(¿cómo?):
)
(
I
EC × HC∗
· d`an
(110)
<
P`C =
2
L`at
Aplicando las condiciones límites de Leontóvich, podemos expresar el vector de
Poynting complejo en el conductor como un vector en la dirección de an , de tal forma
que:
1
S0 an = EC × HC∗
2
+
−κC n
+
donde EC = E (0)e
y HC = H (0)e−κC n son el campo eléctrico y magnético,
respectivamente, en el conductor. Como EC = ηC HC × an , sigue que:
EC × HC∗ = (ηC HC × an ) × HC∗
=ηC HC · HC∗ an
(111)
sustituyendo la ecuación (111) en la ecuación (110), se obtiene:
P`C =
I
L`at
<

 ηC HC
· HC∗ an 

2
< {ηC } I
HC · HC∗ d`
=
2
L`at
15


· d`an
(112)
y como HC (0) = H(0), o sea: la componente tangencial del campo magnético en la
superficie de separación entre un dieléctrico y un conductor real es continua:
P`C
< {ηC } I
H · H ∗ d`
=
2
(113)
L`at
Tomando en cuenta que
1Z
< {E × H ∗ } · ds
2 ST
Z
1
∗
=<
(ηD H × az ) × H · dsaz
2 ST
Z
ηD
=
H · H ∗ ds
2 ST
P =
será:
2.8.
< {ηC } L`at H · H ∗ d`
R
αC =
2ηD ST H · H ∗ ds
(114)
H
(115)
Cálculo de la atenuación αD por pérdidas en el dieléctrico
La potencia disipada en el dieléctrico por unidad de longitud vale:
PD
∆z→0 ∆z
P`D = lı́m
ω
2
= lı́m
V (ST +S`at )
∆z→0
ω
2
= lı́m
ε00 E · E ∗ dν
R
R R
∆z
ε E · E ∗ dsdz
00
(116)
∆z ST
∆z→0
∆z
ωε00 Z
=
E · E ∗ ds
2
ST
de modo que:
ωε00 ST E · E ∗ ds
R
αD =
2ηD ST H · H ∗ ds
R
16
(117)
3.
Resumen de fórmulas
Cuadro 6: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para cualquier modo.
TEM
TE
TM
∇2T Φ = 0
∇2T hz + κ2T hz = 0
∇2T ez + κ2T ez = 0
Φ|ST 1 ,ST 2
∂hz
= 0 en ST
∂n
ez = 0 en ST
κ` = κ
ηT E =
eT = −∇T Φ
hT = az ×
eT
η
hT = −
κ
η
κ`
ηT M =
jκ`
∇T hz
κ2T
eT = −
eT = −ηT E az × hT
hT =
κ`
η
κ
jκ`
∇T ez
κ2T
1
ηT M
az × eT
Solución ideal
E = (eT + ez az ) e−κ` z
H = (hT + hz az ) e−κ` z
Solución real
E = (eT + ez az ) e−(κ` +α)z
H = (hT + hz az ) e−(κ` +α)z
ω00 ST E · E ∗ ds
αD = R
2 ST < {E × H ∗ } · ds
R
α = αD + αC
4.
< {ηC } ΓT H · H ∗ d`
αC = R
2 ST < {E × H ∗ } · ds
H
Cable coaxial
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 3, interiormente relleno de un
dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos
se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:
!
1 d
dΦ
ρ
=
ρ dρ
dρ
Φ(a) = V0 , Φ(b) =
17
0






0
(118)
z
b
y
a
ρ
ϕ
x
(a) Sección transversal.
(b) Perspectiva.
Figura 3: Cable coaxial. : conductor; : dieléctrico.
La solución de la ecuación (118) es:
Φ(ρ) = A ln ρ + B
(119)
evaluando la solución (119) en los bordes se obtiene:
de donde
A ln a + B = V0
A ln b + B = 0
(120)
V0
ln (a/b)
V0 ln b
B = −
ln (a/b)
(121)
A =
de esta forma:
Φ(ρ) =
V0
(ln b − ln ρ)
ln (b/a)
(122)
y
eT = − ∇T Φ
dΦ
=−
aρ
dρ
V0 aρ
=
ln (b/a) ρ
(123)
sustituyendo esta solución en las ecuaciones (49) y (50) se obtiene:
V0 aρ −κz
e
ln (b/a) ρ
V0 1 aϕ −κz
H=
e
ln (b/a) η ρ
E=
18
(124)
(125)
4.1.
Onda de voltaje
Podemos calcular la diferencia de potencial entre los conductores en el plano transversal z = ctte. –ST (z)–:
V =−
Z +
E · d`
−
"
#
V0 Z b aρ
=−
· dρaρ e−κz
ln(b/a) a ρ
−κz
= V0 e
(126)
y vemos como, existiendo una relación unívoca entre E y V , es posible hablar de una
onda de voltaje.
4.2.
Onda de corriente
Podemos calcular la corriente enlazada por el campo magnético en el conductor
interior (o exterior) en el plano transversal ST (z). Sea Γ un camino cerrado alrededor
del conductor interno del cable coaxial:
I=
I
H · d`
"Γ
#
Z 2π
aϕ
V0
=
· ρdϕaϕ e−κz
ln(b/a)η o ρ
= I0 e−κz
(127)
donde
2πV0
ln(b/a)η
Como la relación entre H e I es unívoca, también podemos hablar de una onda de
corriente.
I0 =
4.3.
Impedancia característica
La relación entre la onda de voltaje –ecuación (126)– y la onda de corriente –ecuación
(127)– tiene unidades de Ohmios y es una función de la geometría transversal de la línea
y de las propiedades intrínsecas del dieléctrico:
V
ln(b/a)
= Zc =
η
I
2π
(128)
Zc se conoce como impedancia característica del cable coaxial.
4.4.
Atenuación del cable coaxial
La atenuación α = αC + αD del cable coaxial se puede calcular haciendo uso de
las fórmulas (115) y (117), respectivamente, sustituyendo en ellas las expresiones de los
campos (124) y (125).
19
4.4.1.
Atenuación debido al conductor
A partir de la ecuación (115):
< {ηC } L`at H · H ∗ d`
R
αC =
2ηD ST H · H ∗ ds
H
h
i2 R
R
2π dϕ
+ 02π dϕ
0
a
b
h
i2 R R
b 2π dϕdρ
V0
a 0
ln(b/a)ηD
ρ
V0
ln(b/a)ηD
=
<{ηC }
2ηD
=
<{ηC } a + b 1
2ηD ab ln(b/a)
y tomando en cuenta que para un buen conductor <{ηC } =
un un buen dieléctrico ηD =
q
µ0
,
ε0
q
(129)
ωµ0
2σ
=
q
πf µ0
σ
y que para
resulta:
q
πf ε0
1
a+b
σ
αC =
2 ln(b/a) ab
4.4.2.
(130)
Atenuación debido al dieléctrico
A partir de la ecuación (117):
ωε00 ST E · E ∗ ds
R
αD =
2ηD ST H · H ∗ ds
R
00
=
ωε
h
2ηD
=πf ε00
4.4.3.
h
V0
ln(b/a)
i2 R R
b 2π dϕdρ
V0
ln(b/a)ηD
r
a
0
ρ
i2 R R
b 2π dϕdρ
a
0
(131)
ρ
µ0
ε0
Atenuación resultante
Finalmente podemos escribir:
q
πf ε0
µ0 1
a+b
σ
α = πf ε00
+
0
ab
|
{z ε } |2 ln(b/a)
{z
}
r
αD
5.
(132)
αC
Guía de onda rectangular
La geometría de una guía de onda rectangular se muestra en al figura 4. La ecuación
de Helmholtz en este caso asume la forma:
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 + κ2T u = 0
2
∂x
∂y
20
(133)
y
b
b
x
a
a
z
(a) Sección transversal.
(b) Perspectiva.
Figura 4: Guía de Onda rectangular.
Para las ondas TE:
∂ 2 hz ∂ 2 hz
+
+ κ2T hz = 0
∂x2
∂y 2
∂hz
= 0 para
∂x
(
∂hz
= 0 para
∂y
(
x=0
x=a
y=0
y=b















(134)














Para las ondas TM:
∂ 2 ez ∂ 2 ez
+
+ κ2T ez = 0
∂x2
∂y 2
(
ez = 0 para
x=0 y=0
x=a y=b








(135)







La ecuación 133 se resuelve asumiendo una solución producto: u(x, y) = X(x)Y (y),
donde las funciones X y Y dependen exclusivamente de las variables x y y, respectivamente:
∂ 2u ∂ 2u
+
+ κ2T u = 0
(136)
∂x2 ∂y 2
d2 X
d2 Y
Y
+
X
+ κ2T XY = 0
(137)
dx2
dy 2
1 d2 X
1 d2 Y
+
+ κ2T = 0
(138)
X dx2
Y dy 2
La ecuación 138 se separa en dos ecuaciones:







d2 X
+ κ2x X = 0
dx2
1 d2 X
1 d2 Y
+
+ κ2T = 0 ⇒
2
2

X dx
Y dy


d2 Y


+ κ2y Y = 0

dy 2
21
(139)
donde κ2x + κ2y = κ2T . Las soluciones de las ecuaciones 139 son:
X(x) = A cos(κx x) + B sin(κx x)
Y (y) = C cos(κy y) + D sin(κy y)
Y por tanto:
u(x, y) = [A cos(κx x) + B sin(κx x)][C cos(κy y) + D sin(κy y)]
(140)
Para las ondas TE, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la
ecuación 134 permite obtener la solución para hz :
∂hz = 0 ⇒ −κx [A sin(κx 0) − B cos(κx 0)]Y = 0 ⇒ B = 0
∂x x=0
∂hz mπ
=
0
⇒
−κ
, m = 0, 1, 2 . . .
x A sin(κx a)Y = 0 ⇒ κx =
∂x x=a
a
∂hz = 0 ⇒ −Xκy [C sin(κy 0) − D cos(κy 0)] = 0 ⇒ D = 0
∂y y=0
∂hz nπ
= 0 ⇒ −Xκy C sin(κy b) = 0 ⇒ κy =
, n = 0, 1, 2 . . .
∂y y=b
b
Y
hz (x, y) = Hmn cos
mπ
nπ
x cos
y
a
b
(141)
donde Hmn = AC.
La ecuación (141) representa la familia de modos de propagación T E o H.
Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la
ecuación 135 permite obtener la solución para ez :
ez |x=0 = 0 ⇒ [A cos(κx 0) + B sin(κx 0)]Y = 0 ⇒ A = 0
mπ
, m = 1, 2, 3 . . .
ez |x=a = 0 ⇒ B sin(κx a)Y = 0 ⇒ κx =
a
ez |y=0 = 0 ⇒ X[C cos(κy 0) + D sin(κy 0)] = 0 ⇒ C = 0
nπ
ez |y=b = 0 ⇒ XD sin(κy b) = 0 ⇒ κy =
, n = 1, 2, 3 . . .
b
Y
ez (x, y) = Emn sin
mπ
nπ
x sin
y
a
b
(142)
donde Emn = BD.
La ecuación (142) representa la familia de modos de propagación T M o E.
A partir de las soluciones 141 y 142, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y
5, se pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 7 se
resumen estos resultados junto con otros parámetros de interés.
22
(a) Modo T M1,1
(b) Modo T M1,2
(c) Modo T M2,2
(d) Modo T M3,2
Figura 5: Estructura transversal de ez m,n (x, y) en una guía de onda rectangular de dimensiones a × b, con
a = 2b.
En la Figura 5 se muestra la estructura transversal de ez m,n correspondiente a los
modos T M1,1 –Fig. 5(a)–, T M1,2 –Fig. 5(b)–, T M2,2 –Fig. 5(c)– y T M3,2 –Fig. 5(d)–.
Tales gráficas fueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente código:
a=1; b=0.5;
x=linspace(0,a,50);
y=linspace(0,b,30);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ez=sin(m*pi*X./a).*sin(n*pi*Y./b);
surf(X,Y,ez);
shading(’interp’);
axis([0 a 0 b]) set(gca,’PlotBoxAspectRatio’, [2 1 1]);
view(0,90),axis equal, grid off, box off , axis off
23
24
fc,mn
λc,mn
κ`,mn
κT,mn
ηT E,mn
ηT M,mn
Hy
Hx
Ey
Ex
Ez
Hz
mπ
x
a
0
cos
nπ
y
b
modos TE
e−jκ`,mn z
s
−
mπ
a
mπ
a
2
2
+
a
2
2
0
modos TM
+
2 2
b
2
n
nπ
b
2
nπ
b
+
κ`,mn
η
κ
Emn sin mπ
x sin nπ
y e−jκ`,mn z
a
b κ
mπ
nπ
−jEmn κ2`,mn mπ
cos
x
sin
y
e−jκ`,mn z
a
T,mn
a b κ
−jEmn κ2`,mn nπ
sin mπ
x cos nπ
y e−jκ`,mn z
b
T,mn
a b κ`,mn nπ
mn
j ηTEM,mn
sin mπ
x cos nπ
y e−jκ`,mn z
κ2T,mn b
a
b
κ`,mn mπ
mπ
nπ
mn
−j ηTEM,mn
cos
x
sin
y
e−jκ`,mn z
a
b
κ2T,mn a
( ma ) +( nb )
q
2 µε
r 2
m
1
√
κ2
r
nπ
cos mπ
x sin nπ
y e−jκ`,mn z
b
T,mn
a
b
κ
mπ
nπ
−ηT E,mn Hmn j κ2`,mn mπ
sin
x
cos
y
e−jκ`,mn z
a
T,mn
a
b
κ
Hmn j κ2`,mn mπ
sin mπ
x cos nπ
y e−jκ`,mn z
a
T,mn
a b κ
Hmn j κ2`,mn nπ
cos mπ
x sin nπ
y e−jκ`,mn z
b
a
b
T,mn
κ
η
κ`,mn
κ
ηT E,mn Hmn j κ2`,mn
Hmn cos
Cuadro 7: Estructura de los campos y otras propiedades en una guía de onda rectangular.
5.1.
Condición de propagación
Para que un determinado modo se propague en la guía es necesario que el coeficiente
de propagación κ`,mn :
κ`,mn =
=
q
κ2 − κ2T
v
"
u
u
mπ 2
tω 2 µε −
a
nπ
+
b
2 #
sea real, circunstancia que se conoce como condición de propagación:
nπ 2
mπ 2
+
a s
b
1
mπ 2
nπ 2
f> √
+
2π µε
a
b
(2πf )2 µε >
5.2.
(143)
Frecuencia de corte
La frecuencia límite a partir de la cual un determinado modo m, n puede propagarse
se conoce como frecuencia de corte de dicho modo:
fc,mn =
5.3.
1
√
s
2π µε
mπ
a
2
+
nπ
b
2
(144)
Modo dominante
El modo que presenta la frecuencia de corte menor se conoce como modo dominante. Con la ayuda de la Ec. (144) y poniendo a = 2b, se ha llenado el Cuadro
8.
Cuadro 8: Frecuencias de corte de los primeros modos.
modo
m,n
1,0
0,1
frecuencia de corte
1
√
2π µε
1,1
2,1
1,2
r
2
mπ
+
a
1
√
2a µε
√1
a√µε
√5
2a µε
√ 2√
2a
√ µε
17
√
2a µε
nπ
b
2
A partir del Cuadro 8 se observa que:
fc,10 < fc,01 < fc,11 < fc,21 < fc,12 < fc,22 < · · ·
25
El rango [fc,10 , fc,01 ] es el rango de frecuencias en el que se suele usar la guía, dado
que en dicho rango solo se propaga el modo dominante.
De la solución de ez –ecuación (142)– vemos que los modos T M requieren que m
y n sean ambos distintos de cero, por lo que el modo más bajo que puede propagarse
es el modo T M11 . Tal restricción no existe para los modos T E –ver ecuación (141)–,
siendo el modo T E10 el modo dominante.
Problema
1. Diseñe una guía de onda rectangular para que opere en la banda K (18 : 26.5
GHz).
a) Determine los valores de a y b de la guía.
b) Determine un valor de frecuencia que permita la propagación del modo T M11
en la guía diseñada.
c) Se desea excitar dicho modo mediante ondas planas. Diga sobre que lados de
la guía debería(n) incidir la(s) onda(s) plana(s) para excitar el modo T M11 .
d) Diga que polarización debería(n) tener la(s) onda(s) incidente(s) para excitar
el modo T M11 a la frecuencia calculada en el literal (b).
e) Determine el(los) ángulo(s) de incidencia correspondiente(s) de la(s) onda(s)
plana(s) del punto anterior.
6.
Guía de onda circular
y
ρ
a
a
ϕ
x
z
(a) Sección transversal.
(b) Perspectiva.
Figura 6: Guía de Onda circular.
La geometría de una guía de onda circular se muestra en al figura 7. La ecuación de
Helmholtz en este caso asume la forma:
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂ 2u
+
+ 2 2 + κ2T u = 0
2
∂ρ
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
Para las ondas TE:
26
(145)
∂ 2 hz 1 ∂hz
1 ∂ 2 hz
+
+
+ κ2T hz = 0
∂ρ2
ρ ∂ρ
ρ2 ∂ϕ2







∂hz
= 0, para ρ = a
∂ρ






(146)
Para las ondas TM:
1 ∂ 2 ez
∂ 2 ez 1 ∂ez


+
+
+ κ2T ez = 0 

2
2
2
∂ρ
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ

(147)




ez = 0, para ρ = a
La ecuación 145 se resuelve asumiendo una solución producto: u(ρ, ϕ) = P (ρ)Φ(ϕ),
donde las funciones P y Φ dependen exclusivamente de las variables ρ y ϕ, respectivamente:
Φ dP
P d2 Φ
d2 P
+
+
+ κ2T P Φ = 0
dρ2
ρ dρ
ρ2 dϕ2
1 d2 P
1 dP
1 d2 Φ
+
+
+ κ2T = 0
P dρ2
P ρ dρ
Φρ2 dϕ2
Φ
multiplicando este resultado por ρ2 se obtiene:
ρ dP
1 d2 Φ
ρ 2 d2 P
+
+
+ ρ2 κ2T = 0
P dρ2
P dρ
Φ dϕ2
ρ dP
1 d2 Φ
ρ2 d2 P
2 2
+
+
ρ
κ
=
−
T
P dρ2
P dρ
Φ dϕ2
(148)
(149)
La ecuación 149 se separa en dos ecuaciones:







ρ 2 d2 P
ρ dP
+
+ ρ2 κ2T = ν 2
2
P dρ
P dρ



1 d2 Φ
= −ν 2
Φ dϕ2
ρ2 d2 P
ρ dP
1 d2 Φ
2 2
+
+
ρ
κ
=
−
⇒
T

P dρ2
P dρ
Φ dϕ2


o
!
d2 P
1 dP
ν2
2
+
P =0
+
κ
−
T
dρ2
ρ dρ
ρ2
d2 Φ
+ ν 2Φ = 0
dϕ2
donde ν 2 es cierta constante de separación.
27
(150)
(151)
Las solución de la ecuación 151 es:
Φ(ϕ) = A cos(νϕ) + B sin(νϕ)
donde A y B son dos constantes indeterminadas. Como la función Φ(ϕ) ha de ser
unievaluada: Φ[ν(α + 2π)] = Φ(να), ν ha de ser un número entero:
Φ(ϕ) = A cos(nϕ) + B sin(nϕ)
La solución de la ecuación 150 es:
CJn (κT ρ) + DYn (κT ρ)
donde C y D son dos constante indeterminadas, Jn es la función de Bessel de orden n
–ver la Fig. 7(a)–, y Yn es la función de Neuman de orden n –ver la Fig. 7(b)–.
1
1
J0(x)
J1(x)
J2(x)
Y0(x)
J3(x)
Y1(x)
0.5
J4(x)
Y2(x)
Y3(x)
Y4(x)
Jn(x)
Yn(x)
0.5
0
−0.5
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
−0.5
0
10
(a) Del primer tipo o de Bessel.
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
(b) Del segundo tipo o de Neuman.
Figura 7: Funciones de Bessel.
La función de Bessel Jn (x) se define como:
Jn (x) =
∞
X
(−1)m (x/2)n+2m
m!(n + m)!
m=0
Las funciones Jn y Yn se conocen también como funciones de Bessel de primer y
segundo tipo, respectivamente, de orden n. La función de Bessel de segundo tipo se le
suele denominar también de Newman, y en algunos textos se le designa con letra N :
Nn (x).
La ecuación 150 se denomina ecuación de las funciones cilíndricas o ecuación
de Bessel. Sus soluciones, las funciones Jn y Yn , se denominan funciones cilíndricas. Las funciones Jn y Yn no son periódicas, pero al crecer ρ, oscilan cerca de cero,
decrecen monótonamente, y se aproximan a las funciones trigonométricas para ρ → ∞
(ver figuras 7(a) y 7(b)). Es cómodo comparar la ecuación de funciones cilíndricas con
la ecuación de funciones trigonométricas y exponenciales, así como las soluciones respectivas:
28
Cuadro 9: Comparación entre las ecuaciones diferenciales de las funciones cilíndricas y de las funciones
trigonométricas.
Ec. dif. de las funciones
cilíndricas Ec. dif. de las funciones trigonométricas
1 0
n2
00
y + x y + 1 − x2 y = 0
y 00 + y = 0
o
n
Jn (x), Yn (x), Hnh1i (x), Hnh2i (x)
Jn (x)
Yn (x)
Hnh1i (x)
Hnh2i (x)
{cos(x), sin(x), ex , e−x }
cos(x)
sin(x)
ex
e−x
donde Hnh1i (x) = Jn (x) + Yn (x) y Hnh2i (x) = Jn (x) − Yn (x) son las funciones de
Hankel de primero y segundo tipo, o especie, respectivamente. Asi como las funciones
exponenciales son ideales para representar procesos propagantes, de la misma manera
lo son las funciones de Hankel. Por otro lado, las funciones de Bessel y de Newman
naturalmente representan procesos estacionarios.
La función de Neuman Yn (κT ρ) → ∞ para ρ → 0 –ver Fig. 7(b)–. Por esta razón la
solución de la ecuación 145 asume definitivamente la forma:
u(ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn (κT ρ)
6.1.
Ondas TE
Para las ondas TE, la aplicación de las condiciones de borde, especificadas en la
ecuación 146, permite obtener los autovalores {κT,nm } a partir de las raíces de las
ecuaciones4 :
Jn0 (κT a) = 0
(152)
de donde
p0nm
a
0
siendo pnm la raíz m-ésima de la ecuación 1525 –ver Cuadro 10(a)–, n = 0, 1, 2 . . ., y
m = 1, 2, 3 . . ..
κT,nm =
Cuadro 10: Raíces p0nm y pnm .
(a) Algunas raíces p0nm .
p0n1
n
0 3.832
1 1.841
2 3.054
p0n2
p0n3
7.016
5.331
6.706
10.174
8.536
9.970
(b) Algunas raíces pnm .
n pn1
0 2.405
1 3.832
2 5.135
pn2
5.520
7.016
8.417
pn3
8.654
10.174
11.620
Se comprueba que Jn0 (x) = nx Jn (x) − Jn+1 (x).
La ecuación 152 se obtiene al igualar la derivada de la función de Bessel de orden n evaluada en
ρ = a a cero.
4
5
29
Las soluciones para hz (modos o autofunciones) tienen la forma:
p0nm
ρ
a
!
hz (ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn
6.2.
(153)
Ondas TM
Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde, especificadas en la
ecuación 147 permite obtener los autovalores {κT,nm } a partir de las raíces de las ecuaciones:
Jn (κT a) = 0
(154)
de donde
pnm
a
siendo pnm la raíz m-ésima de la ecuación 1546 –ver Cuadro 10(b)–, n = 0, 1, 2 . . ., y
m = 1, 2, 3 . . ..
Las soluciones para ez (modos o autofunciones) tienen la forma:
κT,nm =
ez (ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn
6
pnm
ρ
a
(155)
La ecuación 154 se obtiene al igualar la función de Bessel de orden n evaluada en ρ = a a cero.
30
31
fc,mn
λc,mn
κ`,mn
ηT E,mn
ηT M,mn
κT,mn
Hϕ
Hρ
Eϕ
Eρ
Ez
Hz
p0nm
ρ
a
r
(
κ2 −
p0nm 2
a
p0nm
1
√
2π µε a
2πa
p0nm
p0nm
a
n
ρ
)
B cos(nϕ)
e−jκ`,nm
−A
sin(nϕ)
(
)
A cos(nϕ)
κ`,nm p0nm 0 p0nm
e−jκ`,nm
jηT E,nm κT,nm a Jn a ρ
+B
sin(nϕ)
(
)
A cos(nϕ)
κ`,nm p0nm 0 p0nm
−j κT,nm a Jn a ρ
e−jκ`,nm
+B
sin(nϕ)
(
)
0
B cos(nϕ)
κ`,nm
pnm
n
−j κ2 Jn a ρ ρ
e−jκ`,nm
−A sin(nϕ)
T,nm
κT,nm
η
κ`,nm
0
modos TE
)
A cos(nϕ)
e−jκ`,nm
+B sin(nϕ)
p0nm
ρ
a
(
κ
−jηT E,nm κ2`,nm Jn
T,nm
Jn
pnm
ρ
a
0
)
κ`,nm
η
κT,nm
pnm
a
r
2
2
κ − pnm
a
pnm
1
√
2π µε a
2πa
pnm
A cos(nϕ)
Jn
e−jκ`,nm
+B(sin(nϕ)
)
A cos(nϕ)
κ`,nm p0nm 0 pnm
−j κT,nm a Jn a ρ
e−jκ`,nm
+B
sin(nϕ)
(
)
B cos(nϕ)
nκ`,nm
pnm
n
−j κ2
Jn a ρ ρ
e−jκ`,nm
−A
sin(nϕ)
T,nm
(
)
B cos(nϕ)
κ`,nm
pnm
1
n
j ηT M,nm κ2 Jn a ρ ρ
e−jκ`,nm
−A
sin(nϕ)
T,nm
(
)
A cos(nϕ)
κ`,nm p0nm 0 pnm
1
−j ηT M,nm κT,nm a Jn a ρ
e−jκ`,nm
+B sin(nϕ)
(
modos TM
Cuadro 11: Estructura de los campos y otras propiedades en una guía de onda circular.
A partir de las soluciones 153 y 155, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y
5, se pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 11 se
resumen estos resultados junto con otros parámetros de interés.
(a) Modo T E1,1
(b) Modo T E1,2
(c) Modo T E2,2
(d) Modo T E2,3
Figura 8: Estructura transversal de hz m,n (x, y) en una guía de onda circular.
En la Figura 8 se muestra la estructura transversal de hz m,n correspondiente a los
modos T E1,1 –Fig. 8(a)–, T E1,2 –Fig. 8(b)–, T E2,2 –Fig. 8(c)– y T E2,3 –Fig. 8(d)–. Tales
gráficas fueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente código:
A=0,5 B=0,5
phi=linspace(0,(2*pi),200);
r=linspace(0,1,200);
[Phi,R]=meshgrid(phi,r);
[X,Y]=pol2cart(Phi,R);
p=[3.832,7.016,10.174;1.841,5.331,8.536;3.054,6.706,9.970]
Hz=besselj(n,p(n+1,m)*R).*(A*cos(n*Phi)+B*sin(n*Phi));
surf(X,Y,Hz);
shading(’interp’);
view(0,90),axis equal, grid off, box off, axis off
6.3.
Modo dominante
Inspeccionado las tablas 10(b) y 10(a) se observa que el modo T E11 –ver Fig. 8(a)–
es el modo dominante. Para este modo tenemos: ver cuadro 12.
32
Cuadro 12: Campos del modo T E11
E
H
(
)
B cos(ϕ)
Eρ =
e−jκ`,11
−A
sin(ϕ)
(
)
0 A cos(ϕ)
0 p11
Eϕ = jEϕ,11 J1 a ρ
e−jκ`,11
+B sin(ϕ)
−j Eρ,11
J1
ρ
p011
ρ
a
Ez = 0
(
)
A cos(ϕ)
Hρ =
e−jκ`,11
+B
sin(ϕ)
(
)
0 B cos(ϕ)
p11
Hρ,11
Hϕ = −j ρ J1 a ρ
e−jκ`,11
−A
sin(ϕ)
(
)
0 A cos(ϕ)
p11
Hz = J1 a ρ
e−jκ`,11
+B sin(ϕ)
−jHρ,11 J10
p011
ρ
a
Con la ayuda de la gráfica 9 podemos trazar las líneas de fuerza de E y de H a
mano alzada. ¡Inténtalo!
J1(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
J’1(x)
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 9: J1 y J10 .
33
3.5
4
4.5
5
A.
Relación entre la densidad de corriente superficial Js de un conductor perfecto y la densidad
de corriente J en un conductor real
En un conductor ideal los campos eléctrico y magnético son nulos, y la corriente es
superficial –ver figura 10(a)–. De tal suerte que si se toma un contorno Γ cerrado, como
se ilustra en la figura 10(a), y se calcula la circulación de H, se obtiene:
I
Z
H · d` =
S(Γ)
Γ
=−
Z
∆y
Js · ds
(156)
Js · dyax
J 0 H y ( x, y, 0) ≠ 0
S
x
⊙× ⊙ y⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙J ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ L
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
Γ
z
H y ( x, y , L ) → 0
∆y
JS
H (S ) ≠ 0
S
y y
x
×⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
⊙
Γ
L
z
H y (S ) = 0
∆y
(a) Conductor ideal
(b) Conductor real
Figura 10: Relación entre Js y J .
En un conductor real los campos eléctrico y magnético no son nulos, y la corriente,
aunque se atenúa fuertemente a razón de 1/δ nepers por metro de longitud, se distribuye
volumétricamente – ver figura 10(b)–. Si tomamos un contorno Γ, similar a como se
procedió en el caso del conductor real y como se indica en la figura 10(b), al calcular
la circulación de H se obtiene:
I
H · d` =
Z
J · ds
S(Γ)
Γ
=−
Z L
Z
∆y
=−
0
Z L
Z
∆y
J · dzdyax
J dz ·dyax
| 0 {z
Js
=−
Z
∆y
(157)
}
Js · dyax
donde se ha definido de manera natural la densidad superficial de corriente Js del
conductor ideal en términos de la densidad de corriente J del conductor real:
Js =
Z L
0
.
34
J dz
(158)
Referencias
[1] Robert E. Collin. Foundations for microwave engineering. McGraw-Hill Book Company, USA, 1963.
[2] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. MIR, Moscú,
1980.
[3] David Cheng. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Addison-Wesley
Iberoamericana, USA, 1997.
[4] Hermann A. Haus and James R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. Prentice Hall, USA, 1989.
[5] Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, and Gabriel G. SkiteK. Electromagnetismo, conceptos y aplicaciones. Prentice Hall Hipanoamericana, México, 1997.
35
Índice alfabético
Atenuación, 12
Atenuación del cable coaxial, 19
autofunción, 9
autovalor, 9
cálculo de la atenuación, 15
Cable coaxial, 17
condición de propagación, 25
condiciones límites de Leontóvich, 15
ecuación de Bessel, 28
ecuación de las funciones cilíndricas, 28
espectro, 9
Frecuencia de corte, 25
función de Bessel, 28
función de Neuman, 28, 29
funciones cilíndricas, 28
funciones de Bessel del primer y segundo
tipo, 28
funciones exponenciales, 28
funciones trigonométricas, 28
Guía de onda circular, 26
Guía de onda rectangular, 20
Impedancia característica del cable coaxial,
19
impedancia de onda TE, 10
impedancia de onda TM, 11
método de las perturbaciones, 12
modo de propagación, 9
Modo dominante, 25
Onda de corriente, 19
Onda de voltaje, 19
ondas TE o H, 3, 8
ondas TEM, 3, 7
ondas TM o E, 3, 10
ondas viajeras, 5
primer problema de contorno, 11
problema de autovalores, 9
segundo problema de contorno, 9
36