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Submission 99
Estudio Teórico para el Cálculo de
Respuesta Óptica en una Nano-Estructura
Usando el Formalismo de Sistemas
Cuánticos Abiertos
Alfonso A. Portacio Lamadrid, Universidad de los Llanos; Pablo E. Villamil Barrios, Universidad de
Sucre; Boris A. Rodríguez Rey, Universidad de Antioquia.

Abstract. Nonlinear optical phenomena that exhibit low
dimensional systems are present in various applications of
quantum optics, nano-photonics, quantum information and
opto-electronics. Because of these applications, many
theoretical and experimental studies has conducted in
nonlinear quantum optics. However the reports exist in the
literature on the theoretical calculation of linear optical
properties and nonlinear in nano-structures are based on
the solution of the equation Liouville-von Neumann adding
a phenomenological term associated with some dissipative
processes describing the system interaction with the
environment. This calculation method has limited
theoretical research in the field of optics, because it allows
us to consider the interaction of nanostructures with
classical optical fields and phenomenological account of the
spontaneous emission, even if experimentally developed
various light sources nature quantum that interact with
low-dimensional systems have shown interesting optical
responses. A theoretical method is necessary to calculate the
optical response in nano-structured systems due to its
interaction with light classical or quantum nature and not
to resort to phenomenological quantities for results. QD
GaAs / AlGaAs with cylindrical geometry with a donor
impurity in his - in this order of ideas, a theoretical study
based on the formalism of open quantum systems to
calculate the nonlinear optical response of a nano-structure
(a quantum dot presents inside).
Este trabajo es apoyado un avance del trabajo doctoral de Alfonso A. Portacio
Lamadrid, estudiante del doctorado en Ciencias Físicas de la Universidad de
Sucre – Colombia, bajo la dirección del Dr. Pablo E. Villamil Barrios docente
de la Universidad de Sucre y el Dr. Boris A. Rodríguez Rey, docente de la
Universidad de Antioquia.
For these optical responses, the formalism of the density
matrix and procedure where energy levels and wave
functions of the impurity in the QD by the variational
method were calculated in the framework of the effectivemass approximation was used and the time evolution of the
density matrix operator nano-structure was calculated
using the steady-state solution of a master equation BornMarkov in the Lindblad form that comes from the quantum
theory of open systems..
Palabras clave: óptica no lineal, punto cuántico, ecuación
maestra, sistemas cuánticos abiertos
I.
INTRODUCCIÓN
Los fenómenos ópticos no lineales que presentan los sistemas
de baja dimensionalidad están presentes en diversas
aplicaciones de óptica cuántica, nano-fotónica, información
cuántica y opto-electrónica. Como resultado de estas
aplicaciones, muchos estudios teóri-cos y experimentales se
han realizado en óptica cuántica no lineal. Sin embargo los
repor-tes que existen en la literatura científica sobre el cálculo
teórico de propiedades ópticas lineales y no lineales en nanoestructuras se basan en la solución de la Ecuación de Liouville-von Neumann adicionando un término fenomenológico
asociado con algunos procesos disipativos que describen la
interacción del sistema con el ambiente. Este método de cálculo
ha limitado la investigación teórica en el área de óptica, porque
permite considerar la interacción de las nano-estructuras con
campos ópticos clásicos y la consideración fe-nomenológica de
la emisión espontánea, aun cuando experimentalmente se han
desarro-llado diversas fuentes de luz de naturaleza cuántica que
al interactuar con sistemas de baja dimensionalidad han
mostrado respuestas ópticas interesantes. Se hace necesario un
mé-todo teórico para calcular la respuesta óptica en sistemas
nano-estructurados debido a su interacción con luz de
naturaleza clásica o cuántica y que no recurra a cantidades fenomenológicas para obtener resultados.
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Submission 99
En este trabajo se presenta un estudio teórico sobre la respuesta
óptica lineal y no lineal en un punto cuántico cilíndrico (CQD)
en presencia de un campo magnético uniforme usando el
formalismo de la matriz densidad y un procedimiento
perturbativo. Los niveles de energía y las funciones de onda de
un electrón en el CQD se obtuvieron solucionando la ecuación
de Schrödinger independiente del tiempo en el marco de la
aproximación de masa efectiva. Los cálculos numéricos se
realizaron para un CQD de 𝐺𝑎𝐴𝑠/𝐴𝑙𝐺𝑎𝐴𝑠.
Fenómenos ópticos no lineales como: rectificación óptica,
generación de segundo armónico, generación tercer armónico,
cambios en el índice de refracción y absorción óptica en
sistemas semiconductores de baja dimensionalidad han sido
objeto de estudio por diferentes grupos de investigación a nivel
mundial, porque estimulan interesantes aplicaciones en óptica
cuántica, información cuántica, dispositivos opto-electrónicos,
etc [1-5]. En los trabajos teóricos sobre respuesta óptica de
nano-estructuras, el método de cálculo usado desde hace
aproximadamente cuatro décadas, consiste en tratar los
sistemas como sistemas cuánticos cerrados con una descripción
fenomenológica de algunos procesos de relajación [6-10]. Sin
embargo, hoy en día se cuenta con herramientas teóricas que
consideran los sistemas como sistemas abiertos y permiten
describir diferentes procesos de interacción de un sistema
cuántico con el entorno. En este proyecto se propone investigar,
¿Qué ventajas tiene calcular la respuesta óptica no lineal de una
nano-estructura con la teoría de sistemas cuánticos abiertos?
II. TEORÍA
El estudio de la dinámica de sistemas cuánticos abiertos
involucra la interacción de un sistema cuántico con su entorno.
Comprender esta interacción permite entender aspectos
fundamentales de la mecánica cuántica y describir fenómenos
físicos en óptica cuántica, teoría cuántica de la medida,
mecánica estadística cuántica, etc. El problema planteado en
este proyecto se ubica en este contexto ya que se propone
realizar un estudio teórico basado en el formalismo de sistemas
cuánticos abiertos para calcular la respuesta óptica no lineal de
una nano-estructura. En lo que sigue se hará una descripción
teórica más detallada que sustente el problema que se pretende
abordar en este proyecto.
Operador densidad y ecuación maestra
Según el formalismo de la mecánica cuántica, todo sistema
tiene asociado un operador de estado 𝜌̂ denominado operador
densidad que lleva toda la información del sistema. Si un
sistema cuántico se encuentra en el estado |𝛹𝑖 ⟩ con
probabilidad 𝑝𝑖 el operador densidad es [11]:
𝜌̂ = ∑𝑖 𝑝𝑖 |𝛹𝑖 ⟩ ⟨𝛹𝑖 |,
(1)
{|𝛹𝑖 ⟩} no necesariamente es una base ortogonal y ∑𝑖 𝑝𝑖 = 1. Al
elegir una base ortonormal {|𝑢𝑖 ⟩}, los elementos matriciales del
operador 𝜌̂ se pueden escribir en la forma:
𝜌𝑛𝑚 = ∑𝑖 𝑝𝑖 ⟨𝑢𝑚 |𝛹𝑖 ⟩⟨𝛹𝑖 ||𝑢𝑛 ⟩ = ⟨𝑢𝑚 |𝜌̂|𝑢𝑛 ⟩.
(2)
El operador 𝜌̂ también se puede definir en términos de sus
elementos matriciales,
𝜌̂ = ∑𝑛𝑚|𝑢𝑚 ⟩𝜌𝑛𝑚 ⟨𝑢𝑛 |.
(3)
Para un operador 𝐴̂ el valor esperado 〈𝐴̂〉 viene dado por:
〈𝐴̂〉 = ∑𝑖 𝑝𝑖 ⟨𝛹𝑖 |𝐴̂|𝛹𝑖 ⟩ = ∑𝑛𝑚⟨𝑢𝑛 |𝜌̂|𝑢𝑚 ⟩⟨𝑢𝑛 | 𝐴̂|𝑢𝑚 ⟩ =
∑𝑛𝑚 𝜌𝑚𝑛 𝐴𝑛𝑚 = 𝑇𝑟(𝜌̂𝐴̂).
(4)
La Ec. (4), indica que el valor esperado de 𝐴̂ para un estado
mezclado es la suma de los valores esperados de 𝐴̂ para cada
uno de los estados puros |𝛹𝑖 ⟩ ponderada por las probabilidades
𝑝𝑖 y que puede calcularse como la traza del producto de los
operadores 𝜌̂ y 𝐴̂ escritos en la misma base. El conocimiento de
la evolución del operador densidad de un sistema cuántico
permite conocer la evolución de dicho sistema dado que permite
calcular la evolución temporal del valor esperado de cualquier
observable que se desee estudiar.
La ecuación de movimiento para el operador densidad de un
sistema cuántico se conoce como ecuación maestra. Para un
sistema cuántico cerrado la ecuación maestra se denomina
Ecuación de Liouville-von Neumann y se escribe [12]:
𝜕𝜌
̂𝑪
𝜕𝑡
1
̂0, 𝜌̂𝑪 ],
= 𝑖ℏ [𝐻
(5)
̂0 y 𝜌̂𝑪 son el Hamiltoniano y el operador densidad asociados
𝐻
al sistema cuántico cerrado. La Ec. (5) produce la misma
dinámica unitaria que la ecuación de Schrödinger para un
sistema aislado. Sin embargo, un sistema físico real siempre
estará bajo la influencia del entorno y la tarea de tratar de
aislarlo completamente de esta influencia es imposible.
Inclusive en el caso en que la evolución del sistema se diera de
forma ideal, de todas maneras sería necesario exponerlo al
entorno para poder efectuar un proceso de medición [13].
En contraste con la dinámica del operador densidad de un
sistema cuántico cerrado, la evolución de un sistema cuántico
abierto, en general, es no unitaria, ya que la interacción con el
medio ambiente produce decoherencia, la cual se define como
la formación irreversible de correlaciones cuánticas de un
sistema con su entorno. Estas correlaciones causan la pérdida
de información del sistema de interés. Para estudiar la dinámica
de un sistema cuántico abierto se considera el acople de un
sistema 𝑆 con un entorno 𝐸 mediante un Hamiltoniano de la
forma [12 -13]:
̂=𝐻
̂𝑆 + 𝐻
̂𝐸 + 𝐻
̂𝑆𝐸 ,
𝐻
(6)
̂𝑆 y 𝐻
̂𝐸 son los Hamiltonianos del sistema y del entorno,
𝐻
̂𝑆𝐸 es el Hamiltoniano que describe la
respectivamente y 𝐻
interacción entre el sistema y el entorno. El sistema total 𝑆 + 𝐸
es cerrado por tanto su evolución se rige por la ecuación de
Liouville-von Neumann y el estado del sistema total se
representa mediante el operador densidad 𝜌̂𝑪; como el interés
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está en la dinámica del sistema, se debe considerar la traza
parcial sobre los grados de libertad del entorno como indica la
siguiente ecuación:
(7)
𝜌̂𝑆 = 𝑇𝑟𝐸 (𝜌̂𝑪 ),
𝜌̂𝑆 es el operador densidad reducida del sistema cuántico abierto
S y 𝑇𝑟𝐸 representa la traza parcial sobre los grados de libertad
del entorno E. De forma análoga, la ecuación de movimiento
del operador densidad reducida del sistema se obtiene tomando
la traza parcial sobre los grados de libertad del entorno en
ambos lados de la ecuación de Liouville-von Neumann
asociada al sistema total.
𝜕𝜌
̂𝑆
𝜕𝑡
=
1
𝑖ℏ
̂ , 𝜌̂𝑪 ]),
𝑇𝑟𝐸 ([𝐻
(8)
La dinámica definida por la Ec. (8) puede ser formulada en el
marco de la aproximación de Born, que consiste en despreciar
términos mayores al primer orden en el operador Hamiltoniano
̂𝑆𝐸 y de la aproximación de Markov, según la
de interacción 𝐻
cual la evolución futura de 𝜌̂𝑆 depende exclusivamente de su
valor presente y no de sus valores pasados de tal forma que se
pueden despreciar sus efectos de memoria. Estas
consideraciones permiten escribir una ecuación diferencial de
primer orden para 𝜌̂𝑆
𝜕𝜌
̂𝑆
𝜕𝑡
= ℒ𝜌̂𝑆 ,
(9)
que se conoce como ecuación maestra Markoviana. Para la
construcción de la forma más general que toma el generador ℒ
pueden utilizarse argumentos de la teoría de grupos u optar por
una derivación microscópica, en cualquiera de los casos, la
forma diagonal que adopta dicho generador es
1
̂ , 𝜌̂𝑆 ] + ∑𝜈
ℒ𝜌̂𝑆 = 𝑖ℏ [𝐻
𝜆𝜈
2
(2𝐿𝜈 𝜌̂𝑆 𝐿†𝜈 − 𝐿†𝜈 𝐿𝜈 𝜌̂𝑆 − 𝜌̂𝑆 𝐿†𝜈 𝐿𝜈 ), (10)
El primer término del generador representa la dinámica unitaria
̂ . Los operadores 𝐿𝜈 se denominan
dada por el Hamiltoniano 𝐻
usualmente como operadores de Lindblad, su estructura
depende del tipo de proceso disipativo al que esté expuesto el
sistema cuántico, 𝜆𝜈 son las tasas de relajación para los
diferentes procesos disipativos. Combinando las Ecs. (9) y (10)
se obtiene una ecuación maestra para el operador densidad del
sistema que se denomina Ecuación de von Neumann-Lindblad
y tiene la siguiente forma [14]:
lineales de nano-estructuras interactuando con campos clásicos
de luz usando ecuaciones maestras.
Susceptibilidad óptica
Las propiedades ópticas de un medio a través del cual se
propaga una onda electromagnética se describen por la relación
entre el vector de polarización 𝑷(𝑡) y el vector de campo
eléctrico de la onda incidente 𝑬(𝑡). La relación matemática
entre las funciones vectoriales 𝑷(𝑡) y 𝑬(𝑡) está ligada a las
características del medio. Esta relación generalmente se escribe
como:
(1)
𝜕𝑡
=
1
𝜆𝜈
̂ , 𝜌̂] + ∑𝜈 (2𝐿𝜈 𝜌̂𝐿†𝜈
[𝐻
𝑖ℏ
2
−
𝐿†𝜈 𝐿𝜈 𝜌̂ − 𝜌̂𝐿†𝜈 𝐿𝜈 ),
(11)
La solución de la ecuación maestra en la forma Lindblad
proporciona la descripción dinámica más general de los
sistemas cuánticos abiertos en la aproximación de BornMarkov, este tipo de ecuaciones se utiliza ampliamente para
describir enfriamiento de átomos, decoherencia en información
cuántica, ingeniería de estados cuánticos y cálculos de
fotoluminiscencia [15-16]. Cabe anotar que en la literatura
científica no se registran cálculos de propiedades ópticas no
(3)
(12)
(𝟏)
𝜀0 es la permitividad del vacío, 𝝌𝒊𝒋 es un tensor asociado con
la susceptibilidad óptica lineal que describe procesos ópticos
lineales asociados con la absorción o emisión de un solo fotón
(𝟐)
[7, 17], 𝝌𝒊𝒋𝒌 es un tensor asociado con la susceptibilidad óptica
no lineal de segundo orden, el cual describe procesos de
absorción de dos fotones presentes en fenómenos físicos tales
como: el efecto Pockels, la mezcla de tres ondas, generación de
segundo armónico, suma o diferencia de frecuencias y la
rectificación óptica [18-20]. Cabe anotar que entre las
propiedades ópticas no lineales, las de segundo orden juegan un
papel esencial por ser su magnitud generalmente mayor con
respecto a los órdenes superiores cuando el sistema presenta
cierta asimetría. Recientemente se han reportados trabajos
donde producen este tipo de asimetrías aplicando un campo
eléctrico estacionario al sistema y/o confinando los electrones,
los huecos, las impurezas donadoras o aceptoras, mediante
(𝟑)
potenciales asimétricos [21-22]. Por último 𝝌𝒊𝒋𝒌𝒍 es un tensor
asociado con la susceptibilidad óptica de tercer orden que
describe procesos de absorción de tres fotones inmersos en
fenómenos no lineales tales como: generación de tercer
armónico y efecto Kerr óptico [23-24].
Métodos de cálculo de la respuesta óptica en nanoestructuras semiconductoras
Los estudios teóricos sobre respuesta óptica no lineal producida
por la interacción de una nano-estructura con un campo clásico
de luz se han realizado desde hace más de cuatro décadas
adicionando un término fenomenológico en la Ecuación de
Liouville-von Neumann, de esta forma:
𝜕𝜌
̂
𝜕𝜌
̂𝑆
(2)
𝑃𝑖 (𝑡) = 𝜀0 (𝜒𝑖𝑗 𝐸𝑗 + 𝜒𝑖𝑗𝑘 𝐸𝑗 𝐸𝑘 + 𝜒𝑖𝑗𝑘𝑙 𝐸𝑗 𝐸𝑘 𝐸𝑙 ⋯ ),
𝜕𝑡
=
1
𝑖ℏ
̂0 + 𝑉̂(𝑡), 𝜌̂(𝑡)] − Γ̂ (𝜌̂(𝑡) − 𝜌̂(0) (𝑡)),
[𝐻
(13)
Γ̂ (𝜌̂(𝑡) − 𝜌̂(0) (𝑡)) es el término fenomenológico que da cuenta
de algunos procesos disipativos y de relajación del sistema
̂0
generados por la interacción del sistema con el ambiente [7], 𝐻
representa el operador Hamiltoniano del sistema cuántico sin
interactuar con el campo óptico, 𝑉̂(𝑡) = − ̂𝝁 ∙ 𝑬(𝑡) es el
operador Hamiltoniano, en la aproximación dipolar, de la
interacción entre el campo óptico 𝑬(𝑡) y el operador momento
̂ , de la nano-estructura, 𝜌̂(0) (𝑡) es el operador
dipolar 𝝁
densidad del sistema no perturbado, Γ̂ es el operador
fenomenológico responsable de los procesos de relajación y sus
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elementos matriciales se asocian con los tiempos de relajación
de los procesos de emisión espontánea y pérdida de coherencia
del sistema, los valores de estos tiempos son tomados de
resultados reportados en la literatura [25-26].
polarización eléctrica inducida 𝑷(𝑡) en el sistema cuántico
nano-estructurado por la interacción con un campo óptico de
luz, así:
1
Incluir el término fenomenológico en la Ec. (13) indica que el
método anteriormente descrito no considera en su deducción los
procesos de relajación del sistema. Para solucionar este
problema, en esta investigación se propone calcular la
evolución temporal del operador densidad del sistema mediante
la solución de una la ecuación maestra en la forma Lindblad que
involucra los procesos de emisión espontánea (𝛾). La ecuación
maestra que se considerará es [27-28]:
𝜕𝜌
̂
𝜕𝑡
1
̂0 + 𝑉̂(𝑡), 𝜌̂] + 𝛾 ℒ 𝜎̂ {𝜌̂},
= 𝑖ℏ [𝐻
(14)
𝜎̂ es operador desexcitación de la materia, los valores 𝛾 son
tomados de resultados experimentales y ℒ es un súper operador
definido como:
1
ℒ𝑂̂ {𝜌̂} ≡ 2 (2𝑂̂𝜌̂𝑂̂† − 𝑂̂ † 𝑂̂𝜌̂ − 𝜌̂𝑂̂† 𝑂̂).
(15)
La Ec. (14) muestra la ecuación maestra en la forma Lindblad
que describe la interacción de un sistema cuántico con un
campo óptico clásico considerando los procesos de emisión
espontánea; sin embargo el formalismo de la teoría cuántica de
sistemas abiertos permite explorar la respuesta óptica lineal y
no lineal en nano-estructuras cuando éstas interactúan con un
campo óptico clásico o un campo óptico cuántico, contrario a
lo que sucede con el método fenomenológico convencional
basado en la Ec. (13) que limita el estudio a respuesta óptica
producida por la interacción de nano-estructuras con campo
óptico clásico.
Para hacer un estudio teórico de las respuestas ópticas lineal y
no lineal en nano-estructuras semiconductoras interactuado con
campos cuánticos de luz, el operador Hamiltoniano total del
̂𝑡𝑜𝑡 [12, 29-30]
sistema, nano-estructura + campo, 𝐻
̂𝑡𝑜𝑡 = 𝐻
̂0 + 𝐻
̂𝑒𝑚 + 𝐻
̂𝑒𝑚−𝑒 ,
𝐻
(16)
̂0, el
consiste del operador Hamiltoniano de la nano-estructura 𝐻
̂𝑒𝑚
operador Hamiltoniano del campo electromagnético libre 𝐻
̂𝑒𝑚−𝑒 .
y del operador Hamiltoniano de interacción luz-materia 𝐻
La ecuación maestra en la forma Lindblad que considera los
procesos de emisión espontánea (𝛾) para el sistema, nanoestructura + campo, es:
𝜕𝜌
̂𝑆
𝜕𝑡
=
1
𝑖ℏ
̂𝑡𝑜𝑡 , 𝜌̂𝑆 ] + 𝛾 ℒ𝜎̂ {𝜌̂𝑆 }.
[𝐻
(19)
̂ operador son el volumen y momento dipolar de la nano𝑉y𝝁
estructura respetivamente. La combinación de las Ecs. (12) y
(19) permiten obtener expresiones de las susceptibilidades
ópticas lineales y no lineales.
Sistema cuántico nano-estructurado
Se soluciona la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo:
̂0𝜑𝑛 = 𝐸𝑛 𝜑𝑛 ,
𝐻
(20)
que corresponde a las energías 𝐸𝑛 y funciones de onda 𝜑𝑛 del
̂0 de una impureza donadora en punto
operador Hamiltoniano 𝐻
cuántico cilíndrico de 𝐺𝑎𝐴𝑠/𝐴𝑙𝐺𝑎𝐴𝑠 sometidos a un campo
magnético uniforme 𝑩 orientado en la dirección axial del QD.
̂0 se puede
En el marco de la aproximación de masa efectiva 𝐻
escribir como:
2
2
̂0 = 1 ∗ (𝑷
̂ − 𝑒 𝑨) − 𝑒
𝐻
+ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑓 (𝒓),
2𝑚
𝑐
𝜀 |𝒓−𝒓 |
𝟎
(21)
̂ es el operador momento
𝑚∗ es la masa efectiva del electrón, 𝑷
lineal, 𝑒 es la carga eléctrica fundamental, 𝑐 es la velocidad de
la luz en el vacío, 𝒓𝟎 es la posición de la impureza medida desde
el centro del QD, 𝜀 es la constante dieléctrica del semiconductor
𝐺𝑎𝐴𝑠 dentro del QD, 𝑨 es el potencial vector del campo
magnético uniforme el cual se puede escribir como 𝑨(𝒓) =
1
𝑩 × 𝒓 con 𝑩 = 𝐵𝒛̂ y en coordenadas cilíndricas se convierte
2
1
en 𝐴𝜌 = 𝐴𝑧 = 0, 𝐴𝜑 = 2 𝐵𝜌, 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑓 (𝒓) es un potencial de
confinamiento finito [31]. La Ec. (20) no tiene solución
analítica cuando se considera un operador Hamiltoniano como
el que está descrito por la Ec. (21), así que es necesario recurrir
a métodos numéricos de solución tales como el método
variacional [32 - 33].
Las impurezas en heteroestructuras de baja dimensionalidad
son utilizadas en un amplio rango de aplicaciones en optoelectrónica. En los últimos años se ha incrementado el estudio
de sistemas cuánticos con impurezas en sistemas nanoestructurados estimulando la creación de detectores de
infrarrojos, dispositivos utilizados en espintrónica, dispositivos
láser en el infrarrojo y el verde [33].
(17)
La solución de la Ec. (17) es el operador densidad del sistema
𝜌̂𝑆 , la respuesta óptica de la nano-estructura se obtiene con la
traza parcial de 𝜌̂𝑆 sobre los grados de libertad del campo,
𝜌̂ = 𝑇𝑟𝐸𝑀 (𝜌̂𝑆 ),
̂ (𝑡)〉 = 𝑇𝑟[𝜌̂(𝑡) 𝝁
〈𝑷
̂ ],
𝑉
(18)
Finalmente, el conocimiento del operador densidad de la nanoestructura 𝜌̂(𝑡) permite calcular el valor esperado la
También, diversas investigaciones teóricas y/o experimentales
sobre el control de la respuesta óptica no lineal de QD’s
semiconductores se han realizado considerando agentes
externos tales como presión y la temperatura [34-36], campos
eléctricos [37] y campos magnéticos [17, 20, 38], motivando el
desarrollo de nuevas y/o potenciales aplicaciones tecnológicas.
5
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Alfonso A. Portacio Lamadrid. Nació en
Sahagún – Córdoba, Colombia. Físico
egresado de la Universidad de Córdoba –
Colombia, 2005. Magister en Física
egresado de la Universidad de Córdoba en
el marco del red Sue Caribe, 2008.
Actualmente, Candidato a Doctor en
Física y se realiza investigaciones teóricas
en óptica no lineal, óptica cuántica y sistemas cuánticos
abiertos.
Ha desarrollado actividades de investigación y docencia en la
Universidad de Córdoba entre los años 2006 y 2013. Luego en
la Universidad de Sucre hasta el año 2015. Actuantemente, es
docente de planta en la Universidad de los Llanos, adscrito a la
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías.
Pablo E. Villamil Barrios. Profesor
de la Universidad de Sucre –
Colombia.
Físico 1982, Universidad Nacional
de Colombia - Sede Bogotá
Magister en Física,
1997
Universidad del Valle. Tesis:
Estados excitados de impurezas
donoras en hilos cuánticos de
GaAs-(Ga, Al)As bajo la acción de campos magnéticos.
Doctor en Ciencias Físicas, 2001 Universidad del Valle. Tesis:
Propiedades electrónicas de estados de impurezas y de
excitones en hilos cuánticos de GaAs-(Ga, Al)As, bajo la acción
de campos magnéticos.
Boris A. Rodríguez Rey. Profesor
de la Universidad de Antioquia –
Colombia.
Físico
1994,
Universidad
Nacional de Colombia - Sede
Bogotá. Tesis: Teoría de campos
sobre un modelo no convencional
Magister
en
Física,
1997
Universidad De Antioquia - Udea.
Tesis: Puntos cuánticos: una aproximación por el método 1/N.
Doctor en Ciencias Físicas, 2002 Universidad De Antioquia Udea. Tesis: Núcleos Artificiales: Un estudio teórico sobre las
correlaciones electrón hueco para el estado base de un sistema
finito confinado en un punto cuántico parabólico
bidimensional.