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Examen Final
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
19/05/06
Nombre:
Física 2º Bach.
Elige y desarrolla una de las dos opciones propuestas.
Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada uno) Cuestiones 4 puntos (1cada cuestión, teórica o práctica)
No se valorará la simple anotación de un ítem como solución a las cuestiones teóricas. Puede usarse calculadora siempre que no sea
programable ni memorice texto.
Opción A
Problemas
1.
El trabajo de extracción del platino es 6,30 eV. Calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos
en caso de iluminar el platino con luz de 150 nm.
2.
Un cuerpo de 250 g dotado de un movimiento armónico simple de 10,0 cm de amplitud, tarda 0,200 s
en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 s su velocidad era nula y la elongación positiva, determina la velocidad del cuerpo en el instante t = 0,250 s.
3.
El período de un péndulo de l = 1,000 m en un globo que se encuentra a una altura h = 19,6 km sobre el
nivel del mar es T = 2,012 s. Determina el valor del radio terrestre.
4.
En un espectrómetro de masas en el que actúa un campo magnético constante de 0,30 T penetra un isótopo de magnesio (12Mg2+) con una velocidad de 60 km/s. Si el radio de la trayectoria es de 2,70 cm,
¿cuál es la masa del isótopo en u?
DATOS:
1 e = 1,60×10-19 C
g0 = 9,81 m/s2
h = 6,63×10-34 Js
c = 3,00×108 m/s
1 u = 1,66054×10-27 kg
me = 9,11×10-31 kg
Cuestiones
1.
Una nave se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,9 veces la de la luz (0,9 c). Desde la nave se envía
una señal luminosa hacia la Tierra. ¿Qué velocidad tiene esta señal luminosa respecto a la nave? ¿Y respecto a la Tierra?
2.
¿Por qué las órbitas de los planetas son planas?
3.
¿En qué consiste la polarización de la luz? ¿Qué modelo de la luz confirma?
Cuestión práctica
1.
En la determinación de g mediante un péndulo simple, se miden tiempos de una serie de oscilaciones
para péndulos de diversas longitudes. Indica qué magnitudes hay que representar gráficamente para obtener una recta a partir de los datos experimentales, y relaciona el valor de “g” con la pendiente de la
gráfica.
Opción B
Problemas
1.
¿Cuál será la actividad radiactiva de una muestra de 3,00 mg de cobalto-60 al cabo de 20,0 años?
DATOS: T1/2 (60Co) = 5,27 años
2.
Una carga +3q se coloca en el origen de un cierto sistema de coordenadas, mientras que otra de carga
-q se coloca sobre el eje X a una distancia de 1,00 m respecto del origen. Calcula las coordenadas del
punto donde el campo electrostático es nulo.
3.
Un coleccionista de sellos desea utilizar una lente convergente de distancia focal 5,00 cm como lupa
para observar detenidamente algunos ejemplares de su colección. Calcula la distancia a la que debe colocar los sellos respecto a la lente si se desea obtener una imagen virtual diez veces mayor que la original.
4.
Una onda armónica transversal tiene una amplitud de 3,00 cm, una frecuencia de 25,0 Hz y se propaga
con velocidad 5,00 m/s. Escribe la ecuación de la onda y calcula la diferencia de fase entre dos puntos
separados 5,00 cm, en un instante dado.
DATOS:
1 e = 1,60×10-19 C
g0 = 9,81 m/s2
h = 6,63×10-34 Js
c = 3,00×108 m/s
-27
1 u = 1,66054×10 kg
me = 9,11×10-31 kg
Cuestiones
1.
¿Qué son las líneas de campo? ¿Pueden cortarse entre sí?
2.
Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una
distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano.
3.
Si se aleja el polo Sur de un imán recto de una espira rectangular, indica gráficamente el sentido de la
corriente inducida. Justifica la respuesta.
Cuestión práctica
1.
Explica cómo determinarías gráficamente la constante elástica del muelle con un cronómetro.
Soluciones
Opción A
Problemas
1.
El trabajo de extracción del platino es 6,30 eV. Calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos
en caso de iluminar el platino con luz de 150 nm.
Solución:
La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es:
Efotón = Wextracción + Ec electrón
La energía de un fotón de frecuencia f viene dada por la ecuación de Planck
Efotón = h·f
en la que h es la constante de Planck.
Como el dato es la longitud de onda umbral, se usa la relación que hay en una onda luminosa entre la
frecuencia f de la radiación y su longitud de onda λ :
f=
c

en la que c es la velocidad de propagación de la luz.
−1
8
c 3,00×10 [ m · s ]
f= =
=2,00×1015 s−1=2,00×1015 Hz
−9

150×10 [ m]
Efotón = h·f = 6,63×10-34 [J·s] · 2,00×1015 [s-1] = 1,32×10-18 J
−19
Wextracción = 6,3 [eV]
1,60×10
1e
[C]
= 1,01×10-18 J
Ec electrón = Efotón – Wextracción = 1,32×10-18 [J] – 1,01×10-18 [J] = 3,15×10-19 J
Si la energía de los fotones fuese inferior al trabajo de extracción no se produciría efecto fotoeléctrico.
De la expresión de la energía cinética:
Ec = ½ m v2
v=
2.
 
2 EC
2 · 3,15×10−19 [J ]
=
=8,32×105 m /s
−31
me
9,11×10 [kg]
Un cuerpo de 250 g dotado de un movimiento armónico simple de 10,0 cm de amplitud, tarda 0,200 s
en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 s su velocidad era nula y la elongación positiva, determina la velocidad del cuerpo en el instante t = 0,250 s.
Solución:
Un M.A.S. es aquél en que la elongación x cumple que:
x = A sen(ωt + φ0)
donde A es la amplitud, ω la pulsación, t el tiempo y φ0 la fase inicial.
La amplitud es la máxima elongación:
A = 10,0 cm = 0,100 m
La fase inicial se calcula en la ecuación x = A sen(ωt + φ0) a partir de la posición y la velocidad iniciales.
Derivando la ecuación de movimiento:
v = dx / dt = d (A sen(ωt + φ0) ) / dt = A ω cos(ωt + φ0)
Sustituyendo los valores: t = 0, v0 = 0
0 = A ω cos(φ0)
φ0 = arccos(0) = ± π /2 rad
El otro dato es que la elongación es positiva, eso corresponde a φ0 = +π /2 rad, ya que
x0 = A sen(φ0) = A sen(+π /2) = +A > 0
Análisis: El móvil parte de +A, puesto que la velocidad es nula en los extremos y dice que la elongación es
positiva.
Usamos el tiempo que tarda en describir una oscilación completa para calcular la pulsación.
T = 0,200 s
=
2  2 [ rad ]
=
=10  rad /s
T
0,200[s]
La ecuación de movimiento es:
x = 0,100 sen(10 π t + π /2) [m]
y la de la velocidad:
v = 0,100 · 10 π cos(10 π t + π /2) = π cos(10 π t + π /2) [m/s]
Para t = 0,250 s
v1/4 = π cos(10 π / 4 + π /2) = -3,1 m/s
Análisis: Si el período es de T = 0,200 s, para t = 0,250 s, el móvil se encuentra en el origen, ya que ha
descrito una oscilación completa y 1/4 de la siguiente: 0,050 s = T / 4. Por tanto su velocidad tendrá el
valor máxim, que corresponde a vmáx = ω A = 3,1 m/s, pero negativo porque está moviéndose en sentido de
las elongaciones negativas.
3.
El período de un péndulo de l = 1,000 m en un globo que se encuentra a una altura h = 19,6 km sobre el
nivel del mar es T = 2,012 s. Determina el valor del radio terrestre.
Solución:
La aceleración de la gravedad gh en la superficie de la Tierra disminuye con la altura h, ya que, según la ley
de Newton de la gravitación universal,
g h=
FG
=
m
G
Mm
r2
M
=−G
m
 Rh2
en la que G es la constante de la gravitación universal, M es la masa de la Tierra y R su radio.
La gravedad media a nivel del mar vale: g0 = 9,81 m/s2.
A la altura de 19,6 km, se puede calcular la aceleración de la gravedad a partir de la ecuación del período de
un péndulo ideal.
T =2 
2
g h=
La relación entre gh y g0 es:
2

l
g
4  l 4  · 1,000[ m]
=
=9,752 m /s2
2
2
T
2,012[s]
gh
=
g0
G
M
2
 Rh
R2
=
M
 Rh2
G 2
R
de donde
 
2
g0
Rh
9,81[ m /s ]
=
=
=1,003
2
R
gh
9,75[ m /s ]
R + h = 1,003 R
h = 0,003 R
R = h / 0,003 = 19,6 [km] / 0,003 = 6×103 km = 6×106 m
Análisis: El resultado se aproxima al valor conocido de 6 370 km, pero está afectado de un error
importante por la pequeña precisión de uno de los datos: g0 = 9,81 m/s2. En realidad, si aplicamos las
normas de uso de las cifras significativas, el cociente (R + h) / R = 1,00 sólo debería tener 3 cifras
significativas, y no podríamos calcular el radio porque h ≈ 0 · R.
4.
En un espectrómetro de masas en el que actúa un campo magnético constante de 0,30 T penetra un isótopo de magnesio (12Mg2+) con una velocidad de 60 km/s. Si el radio de la trayectoria es de 2,70 cm,
¿cuál es la masa del isótopo en u?
Solución:
La ley de Lorentz dice que cuándo una partícula de carga q entra en un campo magnético de intensidad B,
con una velocidad v, la fuerza FB que ejerce el campo magnético sobre la partícula viene dada por el
producto vectorial:
FB = q (v × B)
O vector FB será siempre perpendicular a la velocidad v. Siendo la fuerza resultante, por la segunda ley de
Newton, la aceleración
a = FRESULTANTE / m
será también perpendicular a la velocidad, o sea, será una aceleración normal.
a= aN= v2 / R
en la que v es el módulo de la velocidad, y R el radio de la circunferencia.
Igualando los módulos:
q v B sen π/2 = m v2 / R
y despejando la masa del isótopo
m=qBR/v
La carga del ion es 2+, o sea, el doble de la carga del electrón (y positiva)
q = 2 e = 3,20×10-19 C
La velocidad en el S.I. es:
v = 60 [km/s] · 103 [m/km] = 6,0×104 m/s
Sustituyendo los datos
m = q B R / v = 3,20×10-19 [C] · 0,30 [T] · 2,70×10-2 [m] / 6,0×104 [m/s] = 4,32×10-26 kg
m = 4,32×10-26 [kg] · 1 [u] / 1,66×10-27 [kg] = 26 u
Cuestiones
1.
Una nave se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,9 veces la de la luz (0,9 c). Desde la nave se envía
una señal luminosa hacia la Tierra. ¿Qué velocidad tiene esta señal luminosa respecto a la nave? ¿Y respecto a la Tierra?
Solución:
La teoría de la relatividad especial de Albert Einstein está basada en dos postulados.
1º postulado: No existe ningún medio ni mecánico ni electrodinámico que permita averiguar si
un sistema de referencia se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme
2º postulado: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales.
Del segundo postulado, se deduce que la velocidad de la señal luminosa que medirá cualquier observador de
la nave, lo mismo que cualquiera en la Tierra será la misma c.
2.
¿Por qué las órbitas de los planetas son planas?
Solución:
La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre los planetas es una fuerza central, es decir, está dirigida en
todo momento hacia el Sol y depende de la distancia (es inversamente proporciona al cuadrado de la
distancia). Como consecuencia, el momento angular L = r × mv es un vector constante.
Si hallamos la derivada del momento angular respecto al tiempo
d L / dt = d (r × mv) / dt = dr / dt × mv + r × d (mv) / dt ) = v × mv + r × F = 0
porque v y mv son vectores paralelos y r y F también, por ser una fuerza central.
Si el vector momento angular es constante, su dirección no varía. Como el vector momento angular es siempre perpendicular a los vectores r y v (por ser su producto vectorial), el plano que los contiene en un instante, no puede variar con el tiempo, por lo que la trayectoria tiene que ser plana.
3.
¿En qué consiste la polarización de la luz? ¿Qué modelo de la luz confirma?
Solución:
La luz es una onda transversal que cuando sale de un emisor como una bombilla o el Sol, vibra en múltiples
planos. Cuando la luz atraviesa un polarizador, sólo pasan a través de él las ondas que vibran paralelas a la
dirección de la polarización. Se puede comprobar colocando detrás del primero otro polarizador. Si las direcciones de los polarizadores son paralelas, la luz polarizada que atraviesa el primero, pasa también a través
del segundo, pero si se hace girar uno de ellos 90º, de forma que sus direcciones de polarización sean perpendiculares, no pasa ninguna luz a través del segundo.
Después que se hubiese confirmado la naturaleza ondulatoria de la luz propuesta por Huygens, el descubrimiento de que podía polarizares, estableció la naturaleza de la luz como una onda transversal.
Cuestión práctica
1.
En la determinación de g mediante un péndulo simple, se miden tiempos de una serie de oscilaciones
para péndulos de diversas longitudes. Indica qué magnitudes hay que representar gráficamente para obtener una recta a partir de los datos experimentales, y relaciona el valor de “g” con la pendiente de la
gráfica.
Solución:
De la ecuación del período para el péndulo simple

l
g
se ve que la representación de los períodos “T” frente a las longitudes “l” no da una recta. Elevando al cuadrado
4 2
2
l
T =
g
tomando T2 como variable dependiente y l como variable independiente, queda la ecuación de una recta que
pasa por el origen y cuya pendiente vale
 T 2 4 2
pendiente=
=
g
l
T =2 
Opción B
Problemas
1.
¿Cuál será la actividad radiactiva de una muestra de 3,00 mg de cobalto-60 al cabo de 20,0 años?
DATOS: T1/2 (60Co) = 5,27 años
Solución:
La actividad de una sustancia radiactiva viene dada por la expresión
A = - dN / dt = λ N
La constante de desintegración radiactiva λ se puede calcular a partir de la expresión de desintegración:
N =N 0 e− t
sabiendo que el período de semidesintegración T es el tiempo que tarda una muestra radiactiva en reducirse
a la mitad:
N0
=N 0 e−T
2
Sacando logaritmos neperianos:
ln (½) = -λ T
Como el periodo de semidesintegración es T = 5,27 años = 1,66×108 s
=
ln 2
ln 2
−9 −1
=
=4,17×10 s
8
T
1,66×10 [s]
La cantidad de núcleos que hay en 3,00 mg de cobalto-60 es
−6
N 0=3,00 mg
10 kg
1u
1 núcleo Co
=3,0×1019 núcleos Co
1 mg 1,66054×10−27 kg
60 u
Al cabo de 20,0 años (= 6,31×108 s), quedarán:
− t
N =N 0 e
19
−4,17×10−9 [s−1 ]· 6,31×108 [s]
=3,0×10 [ núcleos Co] e
18
=2,2×10 núcleos Co
que tendrán una actividad radiactiva de:
A = λ N = 4,17×10-9 [s-1] · 2,2×1018 [núcleos de Co] = 9,0×109 Bq
2.
Una carga +3q se coloca en el origen de un cierto sistema de coordenadas, mientras que otra de carga
-q se coloca sobre el eje X a una distancia de 1,00 m respecto del origen. Calcula las coordenadas del
punto donde el campo electrostático es nulo.
Solución:
El campo eléctrico E creado por una carga puntual Q en un punto que está a una distancia r viene dado por:
 =K Q 
E
u
2 r
r
El punto tiene que encontrarse en el eje X, porque si no, las componentes verticales de los campos no se
anularían. El punto no puede encontrarse entre ambas cargas, ya que en esa zona, los campos eléctricos son
del mismo sentido (hacia la derecha) y no se anulan.
En el diagrama, el punto donde se anulará el campo
1m
eléctrico deberá estar a la derecha de la carga negativa,
+3 q
-q
E-q E+3q
ya que debe encontrarse más cerca de la carga más
d
pequeña. En ese punto, los módulos de los campos
creados por cada una de las cargas deberán ser iguales.
Llamando d a la distancia desde el punto hasta el origen donde se encuentra la carga positiva.
K
∣−q∣
3q
=K
2
2
d
d −1
3 (d – 1)2 = d2
d −1 ±1
=
d
3
d=
3
 3−1
=2,37 m
Las coordenadas del punto son:
(2,37, 0) m
3.
Un coleccionista de sellos desea utilizar una lente convergente de distancia focal 5,00 cm como lupa
para observar detenidamente algunos ejemplares de su colección. Calcula la distancia a la que debe colocar los sellos respecto a la lente si se desea obtener una imagen virtual diez veces mayor que la original.
Solución:
Datos:
f : distancia focal
AL : aumento lateral
f = 5,00 cm = +0,0500 m (+ porque la lente es convergente)
AL : 10
Ecuaciones:
1 1 1
− =
s' s f
AL=
y ' s'
=
y
s
s
f
De la ecuación del amento lateral:
10=
s'
s
I
s'
FO
F'
s' = 10 s
Aunque no dicen si la imagen es derecha o invertida, como la imagen es virtual, tiene que estar situada a la
izquierda de la lente. Es decir s', lo mismo que s, es negativa. El aumento lateral es positivo.
De la ecuación de las lentes:
1
1
1
− =
10 s s 0,0500[ m ]
s = - 0,045 m
La imagen es virtual, derecha y (10 veces) mayor.
4.
Una onda armónica transversal tiene una amplitud de 3,00 cm, una frecuencia de 25,0 Hz y se propaga
con velocidad 5,00 m/s. Escribe la ecuación de la onda y calcula la diferencia de fase entre dos puntos
separados 5,00 cm, en un instante dado.
Solución:
Datos
Cifras significativas: 3
A = 3,00 cm = 0,0300 m
f = 25,0 Hz = 25,0 s-1
c = 5,00 m/s
amplitud
frecuencia
velocidad de propagación
Incógnitas
ecuación de onda
diferencia de fase entre dos puntos que distan 5,00 cm = 0,0500 m
Otros símbolos
posición del punto (distancia al foco)
período
longitud de onda
Ecuaciones
y (x,t)
∆φ
x
T
λ
[  ]
y= Asen 2
de una onda armónica unidimensional
frecuencia
relación entre la longitud de onda y la frecuencia
t x
−
T 
f=1/T
c=λf
Solución:
a) Período
Longitud de onda:
Ecuación de onda:
T = 1 / f = 1 / 25,0 [s-1] = 0,0400 s
λ = c / f = 5,00 [m/s] / 25,0 [s-1] = 0,200 m
y = 0,0300 sen(50,0 π t – 10,0 π x) [m]
b) Si un punto se encuentra en x1, el otro está en x2 = x1 ± 0,0500. En un instante dado t, la diferencia de fase
es:
    
 =2 
 
 

x1

t x2
t x1
t x 1±0,0500
t
∓0,0500[ m]
−
−2 
−
=2 
−
−2 
−
=2 
=
T 
T 
T
0,200
T 0,200
0,200[ m]
2
∆φ = π / 2 [rad]
Cuestiones
1.
¿Qué son las líneas de campo? ¿Pueden cortarse entre sí?
Solución:
Se representa un campo de fuerzas (gravitatorio, electrostático) mediante lineas de fuerza que se
dibujan de forma que en cada punto el vector campo sea tangente a las lineas de fuerza. La densidad de las líneas de fuerza da una medida de la intensidad del campo.
No pueden cortarse por la definición de campo. Un campo es una función de las coordenadas del
punto y tiene un valor único. Si dos lineas de campo se cortasen en un punto, existirían en ese
punto dos vectores tangentes, uno a cada linea de campo, y habría dos vectores campo, lo que va contra la
definición de campo.
2.
Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una
distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano.
Solución:
El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al
cociente entre la carga encerrada por dicha superficie dividido entre ε0.
 ·d 
=∯ E
S=
Q ENCERRADA
0
Se dibuja un fragmento del plano infinito y el punto P donde se va a determinar el vector intensidad de
campo eléctrico.
E
1. A partir de la simetría de la distribución de carga en el plano, se ve
que la dirección del campo eléctrico en el punto P es perpendicular al
plano.
d
S
P
+
2. Se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio arbitrario con
una de sus bases que pase por el punto P y la otra colocada
simétricamente con respecto al plano.
+
+
3. Se calcula el flujo a través de la superficie cerrada del cilindro,
sumando las contribuciones de cada parte:
- Flujo a través de cada una de las bases del cilindro: el campo E y el
vector superficie S son paralelos, por lo que:
+
+
+
+
S
+
+
+
+
+
+
+
+
S
E
E · dS = │E│·│dS│ = E · dS
El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la base:
 ∬∣E
 · d S=
∣· d S =∣E
 ∣· S B
 B=∬ E
para cada una de las bases.
- Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es perpendicular al vector superficie dS
superficie lateral, por lo que el producto escalar es nulo:
E · dS = 0
y el flujo a través de la superficie lateral es nulo.
- El flujo total es:
Φ = 2 │E│S
4. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada es la que hay en una superficie S del plano igual al
area de las bases. Si hay una densidad de carga σ = Q / S constante,
QENCERRADA = σ · S
5. Aplicando el teorema de Gauss
Φ = QENCERRADA / ε0
igualando al flujo obtenido antes y despejando el módulo del campo eléctrico
│E│= σ / (2 ε0)
que es independiente de la distancia d del punto al plano.
3.
Si se aleja el polo Sur de un imán recto de una espira rectangular, indica gráficamente el sentido de la
corriente inducida. Justifica la respuesta.
Solución:
a) Por la ley de Faraday – Lenz, se inducirá en la espira una corriente que se oponga a la variación de flujo a
través de la espira. Por tanto la espira enfrentará al polo sur del imán un polo norte, por lo que la corriente
circulará en ella en sentido antihorario.
Al alejar el imán, disminuye el número de líneas de campo magnético que atraviesan la espìra, por lo que la
corriente inducida circulará en el sentido de “corregir” la disminución de lineas, es decir lo hará de forma
que el campo magnético Bi debido a la corriente I inducida tenga el mismo sentido que tenía el del imán. Por
S
S
B
Bi
I
B
la regla de la mano derecha, la corriente debe ser antihoraria.
Cuestión práctica
1.
Explica cómo determinarías gráficamente la constante elástica del muelle con un cronómetro.
Solución:
Se cuelga un resorte de un soporte.
Se cuelga de él una masa conocida (50 g).
Se da un ligero tirón hacia abajo y se suelta.
Se dejan pasar tres oscilaciones y se comprueba que el muelle oscila verticalmente. Cuando pase por el
punto más bajo se pone en marcha el cronómetro y se mide el tiempo de diez oscilaciones.
Se detiene el muelle y se anota la masa y el tiempo.
Se sustituye esta masa por otra y se repite el procedimiento hasta disponer de unas seis medidas.
(P. ej. con masas de 100 g, 150 g, 200 g, 250 g, 300 g y 350 g.)
A partir de los tiempos de las diez oscilaciones se calculan los períodos para cada masa.
Se construye una tabla:
masa (kg)
tiempo de 10 oscilaciones (s) período (s)
cuadrado de los períodos. (s2)
1/2
Como la ecuación del período del M.A.S. es
T = 2π (m / K) , para obtener una línea recta hay que representar los cuadrados de los períodos frente a las masas. De la pendiente de la recta se obtiene la constante
del muelle.
ordenadas
=
pendiente · abscisas + ordenada en el origen
T2
=
4 π2 / K · m
Se construye la gráfica representando en abscisas las masas colgadas y en ordenadas, los cuadrados de los
períodos. Debe ajustarse a una recta que pasa por el origen (si la masa del muelle es despreciable).
Se calcular la pendiente de la recta, usando dos puntso cualesquiera: pendiente = ∆T2/ ∆m.
Se calcula la constante del muelle, K = 4 π2 / pendiente.