Download prueba de definición de niveles física

PRUEBA DE DEFINICIÓN DE
NIVELES
FÍSICA
CUADERNO
AUTOINSTRUCTIVO DE
PREPARACIÓN
ÍNDICE
1.
MAGNITUDES FISICAS
1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA
1.2. MAGNITUDES FÍSICAS
1.2.1. Cantidad o magnitud física
1.2.2. Medición
1.2.3. Magnitud
1.2.4. Magnitudes Fundamentales
1.2.5. Sistema Internacional de unidades
1.2.6. Conversión de unidades
1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA
1.3.1. Análisis dimensional
1.3.2. Principio de homogeneidad
1.4. PROBLEMAS RESUELTOS
1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.6. AUTOEVALUACIÓN
2.
VECTORES
2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE METODOS GRAFICOS
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR
2.4. VECTORES UNITARIOS
2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES
2.6. PRODUCTO ESCALAR
2.7. PRODUCTO VECTORIAL
2.8. FUERZA Y VECTORES
2.8.1. Fuerza Resultante
2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES
2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS
2.11. AUTOEVALUACIÓN
3.
CINEMÁTICA
3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
3.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
3.2.2. Análisis de gráficas del MRU
3.2.3. Movimiento rectilíneo uniforme variado (MRUV)
3.2.4. Análisis de gráficas del MRUV
3.2.5. Movimiento de caída libre
3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO
3.3.1. Movimiento de proyectiles
3.3.2. Movimiento circular
3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU)
3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
ÍNDICE
3.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
3.5. AUTOEVALUACIÓN
4.
LEYES DEL MOVIMIENTO
4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA
4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO
4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO
4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y REACCIÓN
4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO
4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
4.7. FUERZA CENTRÍPETA
4.8. PROBLEMAS RESUELTOS
4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS
4.10. AUTOEVALUACIÓN
5.
TRABAJO
5.1. UNIDADES DE TRABAJO
5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE
5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS
5.4. POTENCIA
5.5. ENERGIA MECÁNICA
5.6. ENERGIA CINÉTICA
5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA
5.8. ENERGÍA POTENCIAL
5.8.1. Energía potencial gravitatoria
5.8.2. Energía potencial elástica
5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL
5.10. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
5.11. PROBLEMAS PROPUESTOS
5.12. AUTOEVALUACIÓN
6.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE DOS
PARTÍCULAS
6.2. COLISIONES
6.2.1. Colisiones en una dimensión
6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas
6.2.3. Coeficiente de restitución
6.3. PROBLEMAS RESUELTOS
6.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
6.5. AUTOEVALUACIÓN
7.
DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS
7.1. MOMENTO DE INERCIA
7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE
7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
ÍNDICE
7.5. MOMENTO ANGULAR
7.5.1. Conservación del momento angular
7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas
7.5.3. Momento angular de un sólido
7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
COMBINADAS
7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA
7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
7.9. AUTOEVALUACIÓN
8.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
8.1. ECUACIONES DEL MAS
8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (OSCILADOR ARMÓNICO)
8.3. PROBLEMAS RESUELTOS
8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
8.5. AUTOEVALUACIÓN
9.
ONDAS MECÁNICAS
9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA
9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL
9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS
9.4. ONDAS SONORAS
9.4.1. Intensidad del sonido
9.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
9.6. AUTOEVALUACIÓN
10.
FLUIDOS
10.1. DENSIDAD
10.2. PRESIÓN
10.2.1. Presión atmosférica
10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo
10.2.3. Vasos comunicantes
10.3. PRINCIPIO DE PASCAL
10.4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
10.5. FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO
10.6. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
10.7. ECUACIÓN DE BERNOULLI
10.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
10.9. AUTOEVALUACIÓN
11.
CALOR Y TEMPERATURA
11.1. DILATACIÓN TÉRMICA
11.2. CALOR
11.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
11.3.1. Conducción
11.3.2. Convección
11.3.3. Radiación
ÍNDICE
11.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
11.5. AUTOEVALUACIÓN
12.
ELECTRICIDAD
12.1. CORRIENTE ELÉCTRICA
12.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE
12.3. RESISTENCIA ELÉCTRICA
12.4. ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS
12.5. RESISTORES EN SERIE Y PARALELO
12.5.1. Resistores en serie
12.5.2. Resistores en paralelo
12.6. PROBLEMAS RESUELTOS
12.7. PROBLEMAS PROPUESTOS
12.8. AUTOEVALUACIÓN
13.
APÉNDICE I. CONCEPTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
13.1. DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES
13.2. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
13.3. INTEGRALES
13.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
13.5. PROBLEMAS RESUELTOS
14.
APÉNDICE II. CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1. MAGNITUDES FÍSICAS
1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA
La alegría de ingresar a una Universidad le permite a uno, realizar una serie de
actividades, se siente triunfador, comunica este acontecimiento a todas las personas
de su entorno, hasta se siente dueño del mundo. De pronto retorna a la realidad, pues
empieza mañana sus clases en la Universidad, reflexiona y observa el mundo exterior,
como consecuencia de ello, llega a la conclusión de que se encuentra en el “espacio
exterior” rodeado de cerros, árboles, edificios, aves, ríos y automóviles en movimiento;
observa en la noche la luna brillante en movimiento fuera de todo control humano, y se
da cuenta que tampoco puede controlar el movimiento de la Tierra. Sin embargo se
entera que después de mucho el hombre ha podido comprender las reglas que rigen
estos movimientos.
El estudio de las reglas que rigen el comportamiento de los fenómenos naturales es lo
que constituye la Ciencia; estas reglas cuyo número es sorprendentemente pequeño
explican por qué la Tierra es redonda, por qué el mar y el cielo son azules, etc.
Entonces conocer el funcionamiento de las leyes de la naturaleza es fascinante y de
suma importancia, porque nos permite aplicarlas a nuestras necesidades.
La ciencia es una forma de pensar y también un cúmulo de conocimientos, es decir: la
ciencia es una forma de conocer. Y ¿la Física? La física estudia cosas tan básicas
como: el movimiento, las fuerzas, la energía, el calor, el sonido, la luz, los átomos,
etcétera, conocimientos que serán fundamentales en tu carrera.
Magnitudes físicas
1
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.2. MAGNITUDES FÍSICAS
En la naturaleza se presentan una serie de fenómenos, cuya descripción conduce a
establecer varias hipótesis, las cuales se ponen a prueba una y otra vez y si no hay
contradicciones se puede llegar a establecer una LEY o PRINCIPIO.
Cuando uno se encuentra en un taller o una planta industrial, nace la necesidad de
hacer mediciones de algún tipo, como la temperatura del ambiente, la presión del
sistema de refrigeración, el voltaje a que trabajan las maquinarias, etc. El desarrollo
de la ingeniería de la construcción de la hidráulica y la ingeniería estructural involucran
la longitud, el área, el volumen y la masa.
En la exploración de la naturaleza se ha encontrado que la longitud, el tiempo y la
masa desempeñan un papel fundamental en la medición.
1.2.1.
Cantidad o magnitud física
Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible a ser medido, al cual
se le asocia un número, que se obtiene por medio de la operación llamada medición.
El volumen de un objeto, la altura de una edificación, la temperatura del medio
ambiente, el periodo de rotación de la tierra, etc., son ejemplos de cantidad física.
1.2.2.
Medición
Es una técnica que se utiliza para determinar el número asociado a la cantidad física
por comparación con un patrón conocido que se adopta como UNIDAD.
Por ejemplo, cuando se desea conocer la longitud de una barra metálica. Con un
instrumento apropiado se determina que es 12 m, para obtener esto, se hizo una
comparación con la longitud de un patrón conocido como "metro".
Magnitudes físicas
2
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.2.3.
Magnitud
La magnitud de una cantidad física está dada por un número y una unidad de
medición.
Ejemplo: Si M es una cantidad física su magnitud puede ser M: 20º C, 60 kg, 30 s. Los
números asociados son: 20, 60 y 30 y las unidades: ºC: grado centígrado, kg.: 1
kilogramo y s: 1 segundo.
1.2.4.
Magnitudes fundamentales
La experiencia demuestra que hay tres modos básicos de describir cualquier cantidad
física que son: el espacio que ocupa, la materia que contiene y el tiempo que persiste.
Todas las descripciones de la materia, relaciones y eventos son combinaciones de
éstas. Todas las medidas se reducen a la medición de la longitud, la masa y el tiempo.
De ahí, que las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen en
términos de otras, son independientes entre sí. La longitud, el tiempo y la masa son
magnitudes fundamentales, suficientes y necesarias para el estudio de la mecánica.
Tabla 1.1. Magnitudes fundamentales
MAGNITUDES FUNDAMENTALES
DIMENSION
LONGITUD
L
MASA
M
TIEMPO
T
La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la
misma. Así para medir la distancia entre dos puntos, se compara con una unidad
estándar de distancia, tal como el metro. Todas las magnitudes físicas pueden
expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales.
Magnitudes físicas
3
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.2.5.
Sistema Internacional de unidades
El sistema internacional de unidades (SI), es esencialmente el mismo que se conoce
como sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido
siete cantidades fundamentales y ha asignado unidades básicas oficiales para cada
cantidad.
Su estructura está conformada por magnitudes fundamentales y derivadas.
Tabla 1.2. Magnitudes fundamentales
CANTIDAD
UNIDAD
SÍMBOLO
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Corriente eléctrica
ampere
A
Temperatura
kelvin
K
Intensidad luminosa
candela
cd
Cantidad de sustancia
mol
mol
Tabla 1.3. Magnitudes suplementarias
CANTIDAD
UNIDAD
Ángulo plano
radián
Ángulo sólido
estereoradián
Magnitudes físicas
SÍMBOLO
rad
sr
4
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Tabla 1.4. Magnitudes derivadas
Cantidad
Unidades derivadas
Símbolo
Área
metro cuadrado
m2
Volumen
metro cúbico
m
Frecuencia
hertz
Hz
Densidad de masa
kilogramo por metro cúbico
kg/m
Rapidez, velocidad
metro por segundo
m/s
Velocidad angular
radian por segundo
rad/s
Aceleración
metro por segundo cuadrado
m/s
Aceleración angular
radian por segundo cuadrado
rad/s2
Fuerza
newton
N (kg·m/s )
Presión
pascal
Pa (N/m2)
Trabajo, energía, cantidad de calor
joule
J (N·m)
Potencia
watt
W (J/s)
Carga eléctrica
coulomb
C
Diferencia de potencial, fem
volt
V (J/C)
Resistencia eléctrica
ohm
Ω (V/A)
Conductividad térmica
watt por metro kelvin
W/(m·K)
1.2.6.
3
3
2
2
Conversión de Unidades
Debido a que se requieren muchas unidades en una diversidad de trabajos, con
frecuencia es necesario convertir una medición de una a otra unidad. Por ejemplo: El
diámetro de una varilla de construcción 1/2 pulgada se necesita pasar a mm. Se usa 1
pulgada = 25,4 mm. Entonces la conversión será: 0,5 pulg×(25,4 mm/1 pulg) = 12,5
mm.
Magnitudes físicas
5
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Ejercicios resueltos
1.
Convertir 30 m a pies.
Entonces: 1 m = 3,281 pies
30 m×(3,281 pies/1 m) = 114,3 pies
2.
La velocidad de 60 mi/h a pies/s.
Entonces: 1mi = 5 280 pies, 1 hora = 3 600 s
60 mi/h = 60×(5 280 pies/1 mi) ×(1 h/3 600 s) = 88 pies/s
1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA
La dimensión de una cantidad física es la combinación algebraica de [L], [T] y [M], a
partir de las cuales se forma la cantidad física.
Una velocidad es una longitud por unidad de tiempo. Por lo tanto la dimensión de la
velocidad es: [V] = L/T
La dimensión de la fuerza es: [F] = MLT−2
No se debe confundir la dimensión de una cantidad física con las unidades en las
cuales se mide.
Una velocidad se puede representar en unidades de metros por segundo, millas por
hora, kilómetros por hora, todas estas elecciones son consistentes con la dimensión
L/T.
Cualquier cantidad física tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de las
dimensiones fundamentales LqTrMs, donde q, r y s indican el orden o exponente de la
dimensión, los cuales pueden ser positivos, negativos, enteros o fraccionarios.
Magnitudes físicas
6
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.3.1.
Análisis dimensional
El estudio de las dimensiones de una ecuación física se llama análisis dimensional.
Cualquier ecuación que relacione cantidades físicas debe tener dimensiones
consistentes, es decir: las dimensiones de un lado de la ecuación deben ser las
mismas que las del otro lado. Por ejemplo para la ecuación 2gh = v2:
Su ecuación dimensional es:
[g] [h] = [v]2 donde observarás que la constante 2 tiene dimensión igual a la unidad
(LT−2)(L) = (L/T)2
L2T−2 = L2T−2
1.3.2.
Principio de homogeneidad
Si las dimensiones en ambos lados de una ecuación física son las mismas, se dice
que la ecuación física es dimensionalmente homogénea.
Si una ecuación física consiste de una suma algebraica de varios términos, la
dimensión de todos y cada uno de los términos debe ser la misma.
1.4. PROBLEMAS RESUELTOS
3.
Hallar la ecuación dimensional del volumen de un cuerpo esférico.
Solución
El volumen es: V = 4/3π r3 entonces:
[V] = [4/3][π][ r3]
[V] = L3
Observa que las constantes 4/3 y π su dimensión es igual a la unidad.
Magnitudes físicas
7
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
4.
Hallar la dimensión de la energía cinética.
Solución
2
Ek = ½ mv
[Ek] = [½][m][v] 2
2 -2
2 -2
[Ek] = (1) M (L T ) = ML T
5.
Uno de los resultados más famosos que obtuvo Albert Einstein está dado por la
ecuación: E = mc2, en la que E es el contenido de energía de la masa m y c es
la rapidez de la luz. ¿Cuáles son las dimensiones de E?
Solución
E = mc2, entonces [E] = [m][c] 2 = M [L/T]2 = ML2T−2
6.
En la ecuación: D = A·m + B·E +C·X, donde D es densidad, E es área, m es
masa y X es distancia. Hallar la dimensión de A, B y C.
Solución
Por el principio de la homogeneidad, cada término de la ecuación debe tener la misma
dimensión que la del primer miembro. Entonces:
[D] = [A·m] = [B·E] = [C·X]
[D] = [A] [m]
[M/L3] = [A] M
Despejando, [A] = L−3
Análogamente:
[D] = [B·E]
[M/L3] = [B] L2
Despejando, [B] = ML−5
Finalmente,
Magnitudes físicas
8
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
[D] =[C·X]
[M/L3] = [C] L
[C] = ML−4
7.
Halle la dimensión de K, dada la ecuación:
K = m·v2/F
Donde m es masa, v es velocidad y F es fuerza.
Solución
[K] = [m][v] 2/[F]
[K] = M×(L/T)2/(ML/T2] = L
8.
Hallar la dimensión de R, si P·R = AB sen 60°, donde P es peso, A es
aceleración y B es volumen.
Solución
[P·R] = [P][R] = [A][B][sen 60°]
[ML/T2][R] = [L/T2][L3]
[R] = M−1L3.
9.
La velocidad v que adquiere una embarcación marina es una función de la
potencia P del motor, de la fuerza de resistencia F que ejerce el agua y está
dado por:
v = Pr·Fs
Hallar los valores de r y s.
Solución
Usando el principio de homogeneidad:
[v] = [Pr][Fs]
L/T = (ML2/T3)r (ML/T2)s.
r+s
LT−1 = M
2r+s
L
T−3r−3s
Magnitudes físicas
9
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Igualando exponentes de las dimensiones correspondientes.
r+s=0
2r + s = 1
−3r −2s = −1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: r = 1, s = −1
10.
¿Es dimensionalmente correcta la relación x = v/3 + 8at, donde x es distancia, v
es velocidad, t es tiempo y a es aceleración?
Solución
Debe cumplirse que [x] = [v/3] = [8at] o [x] = [v] = [a][t]
Así, L = L/T y por lo tanto no se cumple el principio de homogeneidad.
La ecuación es incorrecta.
Magnitudes físicas
10
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Convierta la densidad del agua de mar de 1,02 g/cm3 a kg/m3.
Respuesta. 1,02×103 kg/m3
2.
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, hallar la ecuación
dimensional de K:
C=
P ⋅K2
ρ ⋅D
Donde: C = velocidad, P = presión, ρ = densidad y D = diámetro.
Respuesta. L1/2
3.
El período de oscilación de un péndulo está dado por la siguiente fórmula:
T = 2πLx g y
2
Hallar (x/y), si L = longitud y g = 9,81 m/s .
Respuesta. −1
4.
Hallar x + y para que la siguiente fórmula sea dimensionalmente correcta:
 a2 bx
2 H = 
y
 2c

 senθ

Donde: H = altura, b = radio, a = velocidad y c = aceleración.
Respuesta. 1
5.
Calcular las dimensiones de X e Y, si la ecuación dada es correcta
dimensionalmente:
Magnitudes físicas
11
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
P −d2
A X + B Y + C = 
 m0
2



2
Donde: A = área, B = volumen, P = presión y m0 = masa.
Respuesta. L−4T−4, L−5/2T−2
Magnitudes físicas
12
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
1.6. AUTOEVALUACIÓN
1.
2.
Si se cumple: A + B = 1/A; entonces podemos afirmar que:
I.
A y B son funciones trigonométricas
II.
A y B son magnitudes adimensionales
III.
No se sabe qué tipo de magnitudes son A y B
a)
Solo I es verdadero
b)
Solo II es cierto
c)
Solo III es cierto
d)
I y II son verdaderos
e)
II y III son ciertos
Hallar la ecuación dimensional de la constante G de la ley de gravitación de
Newton, sabiendo que F es fuerza, d es distancia, m1 y m2 son masas. La ley de
gravitación está expresada mediante la fórmula:
F =G
3.
a)
M−1 L3 T−2
b)
M L3 T−2
c)
M− L T
d)
M L3 T
e)
MLT
1
2
m1 m 2
d2
2
Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta:
Ax +By
= 7,5 3 metros
x + y2
Halle las dimensiones de B y A, sabiendo que y = 7,5 3 N , donde N se mide
en newtons.
a)
M L2 T−1 y M L2
Magnitudes físicas
13
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
4.
b)
M L3 T−2 y L2
c)
L yL
d)
M L T− y L
e)
Ninguna anterior
3
2
2
2
Hallar la ecuación dimensional de P, si la ecuación dada es correcta
dimensionalmente:
P=
m0 R
R
1−  
C 
2
m0 es masa y C es la velocidad de la luz.
5.
a)
M L T-1
b)
MLT
c)
M L T-2
d)
M L T2
e)
M L T3
Hallar las dimensiones de X en la ecuación dada, si ésta es correcta
dimensionalmente:
K X + Y + 5 3 cm = 2 π A sen (2 π K Y )
a)
L
b)
L2
c)
L3
d)
L−1
e)
Ninguna anterior
Magnitudes físicas
14
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2. VECTORES
En muchas aplicaciones de la física es necesario indicar la dirección así como la
magnitud de una cantidad.
La dirección en la que se mueve una banda
transportadora es a menudo tan importante como la rapidez con la que lo hace. El
efecto de un jalón de 20 N haciendo un ángulo con el piso es diferente del
correspondiente a un jalón también de 20 N pero paralelo al piso. Las cantidades
físicas como desplazamiento, velocidad y fuerza con frecuencia se encuentran en la
industria.
2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
Algunas cantidades físicas pueden describirse por completo mediante un número y
2
una unidad. Sólo las magnitudes físicas son de interés al hablar de un área de 12 cm ,
un volumen de 15 m3 o una distancia de 15 km. Estas cantidades se denominan
escalares.
Una cantidad escalar se específica completamente por medio de su magnitud, esto
es, un número y una unidad. La rapidez (20 mi/h), la distancia (30 km) y el volumen
(200 cm3) son ejemplos de ella.
Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o
restarse de la manera usual. Así.
24 mm + 30 mm = 54 mm
20 pies2 – 14 pies2 = 6 pies2
Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección, así como
magnitud. En esos casos, reciben el nombre de cantidades vectoriales. La dirección
debe ser una parte de los cálculos relacionados con dichas cantidades.
Vectores
15
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Una cantidad vectorial se específica completamente mediante una magnitud y una
dirección; consta de un número, una unidad y una dirección. Son ejemplos, el
desplazamiento (29 m, norte) y la velocidad (41 mi/h, 30º al noroeste).
La dirección de un vector puede establecerse haciendo referencia a las direcciones
convencionales norte, este, oeste y sur. Considere, por ejemplo, los vectores 20 m,
oeste, y 40 m, a 30º NE, como se muestra en la Figura 2.1. La expresión NE, noreste,
indica que el ángulo se forma girando una línea en la dirección norte a partir de la
dirección este.
N
N
90o
Noroeste
40 m, 30º Noreste
Noreste
30º
O
E
20 m, 0
O
E
Suroeste
Sureste
o
S 270
S
Fig. 2.1. Indicación de la dirección de un vector con referencia al norte (N), al sur (S),
al este (E) y al oeste (O).
Otro método para especificar la dirección, que será particularmente útil más adelante,
es tomar como referencia las líneas perpendiculares denominadas ejes. Estas líneas
imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, si bien pueden orientarse en
cualquier otra dirección en tanto sigan siendo perpendiculares. Una línea horizontal
imaginaria suele llamarse eje x y una línea vertical imaginaria denominarse eje y.
(Véase la Fig. 2.2). Las direcciones se determinan por medio de ángulos que se
miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. En la
figura se ilustran los vectores 40 m a 60° y 50 m a 210°.
r
En este cuaderno los vectores se representarán con los siguientes símbolos: A o A
Vectores
16
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
r
mientras que su módulo se representará por: A o A .
Eje y
90º
(40 m, 60º)
210º
180º
Eje x
60º
(50 m, 210º)
0º, 360º
270º
Fig. 2.2. Indicación de la dirección de un vector.
Suponga que una persona viaja en automóvil de Lima a San Juan, el desplazamiento
desde Lima puede representarse mediante un segmento de línea dibujado a escala
desde Lima hasta San Juan (Véase la Fig. 2.3). Una punta de flecha se dibuja sobre el
extremo en San Juan para denotar la dirección. Conviene notar que el
r
desplazamiento, representado por el vector D1 o D1 , es por completo independiente de
la trayectoria real del medio de transporte.
San Juan D1
•
S1
40º
140º
Lima
•
Fig. 2.3. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Su dirección se indica mediante
una flecha continua. El espacio recorrido es una cantidad escalar, indicada en la
figura por medio de una línea punteada.
Vectores
17
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Otra diferencia importante es que el desplazamiento vectorial tiene una dirección
constante de 140º (o 40º noroeste). Sin embargo, la dirección del automóvil en
cualquier instante del viaje varía.
2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE MÉTODOS GRÁFICOS
Hay dos métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores.
El método del polígono es el más útil, puesto que puede aplicarse rápidamente a más
de dos vectores. El método del paralelogramo es útil para la suma de dos vectores a
la vez.
En cada caso, la magnitud de un vector se indica a escala mediante, la
longitud de un segmento de recta. La dirección se denota por medio de una punta de
flecha al final del segmento.
Ejercicios resueltos
1.
Un barco recorre 100 mi en dirección norte, el primer día de un viaje; 60 mi al
noreste, el segundo día; y 120 mi rumbo este, el tercer día. Encuentre el
desplazamiento resultante mediante el método del polígono.
Solución
Una escala adecuada puede ser 29 mi = 1 cm, como en la Fig. 2.4. Usando esta
escala, se tiene:
100 mi = 100 mi x
60 mi = 60 mi x
1 cm
20 mi
1 cm
20 mi
1 cm
120 mi = 120 mi x
20 mi
= 5 cm
= 3 cm
= 6 cm
Al medir con una regla, se tiene del diagrama a escala que la flecha de la resultante
tiene una longitud de 10,8 cm. Por tanto, la magnitud es:
Vectores
18
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
10,8 cm = 10,8 cm x
20 mi
1 cm
= 216 mi
La medición del ángulo θ con un transportador, muestra que la dirección es 41°. El
desplazamiento resultante es, en consecuencia,
R = (216 mi, 41°)
120 millas
60 millas
N
45º
Desplazamiento
resultante
100 millas
20 mi
θ
•
Punto de Inicio
1 cm
E
Fig. 2.4. Método del polígono para la suma vectorial.
Note que el orden en el que se suman los vectores no cambia la resultante de ningún
modo, por lo que se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas
por el barco.
El método del polígono puede resumirse como sigue:
• Elija una escala y determine la longitud de las flechas que correspondan a cada
vector.
• Dibuje una flecha a escala que represente la magnitud y la dirección del primer
Vectores
19
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
vector.
• Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta del
primer vector.
• Continúe el proceso de juntar cola con punta hasta que se haya representado la
magnitud y dirección de todos los vectores.
• Dibuje el vector resultante de modo que su cola se sitúe en el origen (punto de
inicio) y su punta coincida con la punta del último vector.
• Mida con una regla y un transportador para determinar la magnitud y dirección de la
resultante.
Los métodos gráficos pueden emplearse para encontrar la resultante de todos los
tipos de vectores. No se restringen a medir desplazamientos. En el siguiente ejemplo,
se determina la resultante de dos fuerzas por medio del método del paralelogramo.
En el método del paralelogramo, que es útil para sumar sólo dos vectores a la vez,
dichos vectores se dibujan a escala con sus colas en un origen común. (Véase la Fig.
2.5) En ese caso, las dos flechas forman los lados adyacentes de un paralelogramo.
Los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas de igual longitud. La
resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo comprendida entre
las dos flechas vectoriales.
20 N
120º
θ
R
60 N
1N
1 cm
Fig. 2.5 Método del paralelogramo para la suma de vectores.
Ejercicios resueltos
2.
En un poste telefónico se enrolla una cuerda, formando un ángulo de 120°. Si
se tira de un extremo con una fuerza de 60 N, y del otro con una fuerza de 20 N,
¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
Vectores
20
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Solución Empleando la escala de 1 cm = 10 N, encontramos:
60 N x
20 N x
1 cm
10 N
1 cm
10 N
= 6 cm
= 2 cm
En la Fig. 2.5, se construye un paralelogramo dibujando las dos fuerzas a escala
desde un origen común con 120° entre ellas. Completando el paralelogramo, es
posible dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. La medición de R y θ
con una regla y un transportador produce los valores de 53 N para la magnitud y 19°
para la dirección.
En consecuencia, R = (53 N, 19°)
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR
r
A , en un sistema de coordenadas
r
rectangulares como se muestra en la Fig. 2.6. El vector A
Considere el vector
y
r
Ay
puede ser representado como la suma de dos vectores:
r
A
r r
r
A = A x + Ay
θ
x
r
Ax
Donde, Ax = A cos θ , Ay = A sen θ.
Fig. 2.6
r
La magnitud y la dirección de A se determinan por
A = Ax2 + Ay2
Vectores
 Ay
θ = tan −1 
 Ax



21
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.4. VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es un vector adimensional con magnitud
y
igual a 1. Sirve para describir una dirección. En un sistema
coordenado xy se pueden definir los vectores unitarios î y
ĵ como se muestra en la figura 2.7.
r
Ay
r
A
ĵ
r
r
Dado el vector A se define el vector Unitario µ A como:
θ
î
r
A
µ̂ A =
A
x
r
Ax
Fig. 2.7
r
El vector Unitario µ A no tiene significado físico pero se usa para especificar una
dirección en el espacio.
Los vectores unitarios en el sistema cartesiano son:
î : Vector unitario a lo largo del eje x.
ĵ : Vector unitario a lo largo del eje y.
k̂ : Vector unitario a lo largo del eje z.
z
La representación de un vector en el plano cartesiano (Fig.
2.8), en el caso de tres dimensiones es:
r
A
r
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
Y su módulo es A =
Ax2 + Ay2 + Az2
y
x
Fig. 2.8
Vectores
22
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES
Para este método primero debe dibujarse un sistema de coordenadas el cual servirá
de referencia para la ubicación de los vectores.
Luego se determinan las componentes de cada uno de los vectores a sumarse,
obteniéndose finalmente las componentes del vector resultante.
Por ejemplo para la Fig. 2.9:
r
r
y
r
Suma Vectorial: R = A+ B = R x î + R y ĵ
r
R
r
B
Componente x: R x = Ax + B x
r
A
Componente y: R y = Ay + B y
x
Fig. 2.9
El método de componentes puede resumirse como sigue:
•
Elegir un sistema de coordenadas.
•
Dibujar los vectores a sumar con un rótulo, desde el origen de coordenadas.
•
Determinar las componentes x e y de todos los vectores.
•
Determinar la suma algebraica de las componentes en las direcciones x e y.
•
Encontrar el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras.
•
Utilizar una relación trigonométrica idónea para encontrar el ángulo que el vector
resultante forma con el eje +x.
Vectores
23
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Ejercicios resueltos
3.
y
En la figura se muestran tres fuerzas que
F1 = 500 N
actúan sobre una partícula. Obtener: (a) las
componentes x, y de la fuerza neta sobre la
partícula, (b) la magnitud y (c) la dirección de
la fuerza resultante.
F3 = 150 N
53,0°
x
F2 = 200 N
Solución
Componentes de las fuerzas
r
F1x
r
F1y
r
F2 y
r
F3 x
= (500 N cos 53,0°) î = (301 N ) î
= (500 N sen 53,0°) ĵ = (399 N ) ĵ
= −(200 N) ĵ
= −(150 N) î
Componentes de la fuerza neta
r
R x = (151 N) î
r
R y = (199 N) ĵ
Magnitud de la fuerza neta
R = R x2 + R y2 = 1512 + 199 2 N = 250 N
Dirección de la fuerza neta
 Ry
 Rx
θ = tan −1
Vectores

 199 
 = tan −1
 = 52,8°
 151 

24
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
4.
En
la
vectores
figura
de
se
muestran
velocidad
y
tres
cuyos
módulos son: A = 5,0 m/s, B = 10,0
y
r
C
r
B
m/s, C = 15,0 m/s. Obtenga la
r
r
r
resultante de los vectores, A+ B + C ,
y determine el módulo y la dirección
60,0°
30,0°
x
r
A
de la resultante.
Solución
r
A = (5,0 m s ) î
r
B = (10,0 cos 60,0° m s ) î + (10,0 sen 60,0° m s) ĵ
r
C = −(15,0 cos 30,0° m s ) î + (15,0 sen 30,0° m s ) ĵ
r
R = −(3,0 m s ) î + (16,2 m s ) ĵ
y
El módulo es:
R=
(3,0 m s)2 + (16,2 m s)2
= 16 ,475 m s = 16 m s
La dirección es 180° − α
16,2 m/s
 16,2 
 = 80°
 3,0 
α = tan −1 
α
x
3,0 m/s
θ = 180° − 80° =100°
2.6. PRODUCTO ESCALAR
r
r
r
A
Dados los vectores A y B mostrados en la Fig.
2.10, se define el producto escalar como,
θ
r r
A ⋅ B = AB cos θ
r
B
Fig. 2.10
Vectores
25
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas
r
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
r
B = Bx î + By ĵ + Bz k̂
Su producto escalar se representa como:
r r
A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Ejercicios resueltos
5.
Calcule el ángulo entre los vectores A = (−1,00 i + 6,00 j) N y B = (3,00 i − 2,00
j) N.
Solución
r r
El producto escalar es: A⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z = (− 3 ,00 − 12,00 ) N = −15,00 N
Como el módulo del vector A es A =
B=
(3,00 )2 + (− 2,00 )2
(− 1,00 )2 + (6,00 )2
= 37 ,0 N y del vector B es
r r
= 13 ,0 N , reemplazando en A⋅ B = AB cos θ tenemos:
− 15 ,00 = 37 ,0 13 ,0 cos θ

− 15,00 
 = 133°

37
,
0
13
,
0


De donde θ = cos −1 
Vectores
26
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.7. PRODUCTO VECTORIAL
r
r
Dados los vectores A y B mostrados en la Fig.
2.11, se define el producto vectorial como:
r r r
C = A× B
r
B
r r r
C = A× B
θ
r
A
Fig. 2.11
Siendo C un vector perpendicular a los vectores A y B cuya magnitud es
C = AB sen θ
Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas
r
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
r
B = Bx î + By ĵ + Bz k̂
Su producto vectorial se determina como la determinante de la matriz:
î
r
C = Ax
Bx
ĵ
Ay
By
k̂
Az = (Ay Bz − Az B y )î + (Az B x − Ax Bz ) ĵ + (Ax B y − Ay B x )k̂
Bz
Ejercicios resueltos
6.
r
r r
r
Determine el producto vectorial τ = r × F , donde r = (5 ,50 m ) i − (2,55 m ) j y
s
F = (5,34 × 10 5 N)k̂ .
Solución
Vectores
27
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
 î

ĵ
k̂
r r 

6
6
0
τ = r × F = 5,50 − 2,55
Nm = − 1,36 × 10 Nm î − 2,94 × 10 Nm ĵ
 0
0
5,34 × 10 5 


(
r
) (
)
2.8. FUERZA Y VECTORES
Un empuje o tirón que tiende a provocar movimiento, recibe el nombre de fuerza. Un
resorte estirado ejerce fuerzas sobre los objetos a los cuales están unidos sus
extremos, el aire comprimido ejerce fuerzas sobre las paredes del recipiente que lo
contiene, y un tractor ejerce una fuerza sobre el camión que tira de él. Es probable
que la fuerza más familiar sea la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre todo
cuerpo por la Tierra, que se denomina peso del cuerpo. Existe una fuerza definida aun
cuando no haya contacto entre la Tierra y los cuerpos que atrae. El peso como una
cantidad vectorial está dirigida hacia el centro de la Tierra.
La unidad de fuerza del SI es el newton (N).
2.8.1.
Fuerza resultante
Cuando dos o más fuerzas actúan en el mismo punto sobre un objeto, se denominan
fuerzas concurrentes. Su efecto combinado recibe el nombre de fuerza resultante.
La fuerza resultante es aquella fuerza única que producirá el mismo efecto en
magnitud y dirección que dos o más fuerzas concurrentes.
Las fuerzas resultantes pueden calcularse de manera gráfica representándose cada
fuerza concurrente como un vector.
El método del polígono o el método de
componentes para la suma de vectores darán entonces la fuerza resultante.
Vectores
28
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Propiedad
Igualdad
Explicación
Figura
A = B si A=B y
A
AX = BX
B
sus direcciones
AY = BY
son iguales
AZ = BZ
CX = AX + BX
B
C
Adición
Representación
Cy = Ay + By
C=A+B
Cz = Az + Bz
A
Propiedad
Explicación
Figura
Negativo de
A = −B si B=A y
un vector
su dirección es opuesta
Representación
A
AX = −BX
B
AY = −BY
AZ = −BZ
Sustracción
C
Multiplicación
B = sA si B= sA y
por un escalar
la dirección de B y A
son iguales
Vectores
B
A
C=A−B
CX = AX − BX
Cy = Ay − By
−B
Cz = AZ − BZ
B
BX = sAX
BY = sAY
A
sA
BZ = sAZ
29
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS
M
1.
Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo
N
o magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios.
10 cm
Respuesta. 5 2 cm
2.
A = 20 N
Determine el módulo o magnitud de la
resultante de los vectores mostrados.
B = 20 N
60º
Respuesta. 20 3 N
3.
Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
y
A = 10√2 N
B = 10 N
37º
45º
x
Respuesta. 5,0 N
C = 15 N
4.
Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar
el módulo de la resultante de los vectores que se muestran.
Respuesta. 10 cm
5.
10 cm
y
Si la resultante de los vectores mostrados es un
vector vertical, hallar el módulo de C.
4√3 N
60º
C
x
Respuesta. 21 N
37º
25 N
Vectores
30
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
2.11. AUTOEVALUACIÓN
1.
Hallar el módulo de la resultante de los vectores
16 cm
graficados.
2.
a)
8,0 cm
b)
10 cm
c)
20 cm
d)
1,0 cm
e)
15 cm
A
partir
de
12 cm
10 cm
los
vectores
mostrados,
37º
determine:
r r
r
r
A − 2B + 3C − D
Datos: A = 20 m, B = 30 m, C = 10 m y D = 50 m.
3.
a)
20
b)
30
c)
40
d)
50
e)
60
¿Cuál es el módulo de la resultante de
r
A
A
r
C
r
D
r
B
20 cm
los tres vectores mostrados?
60º
a)
5 √3 cm
b)
5,0 cm
c)
10 √3 cm
d)
10 cm
e)
−5,0 cm
Vectores
60º
120º
30 cm
120º
10 cm
31
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
4.
En el cubo de lado a que se muestra, hallar el módulo del
r
r
r
r
r
vector R = A + B − C − D .
5.
a)
a
b)
2a
c)
4a
d)
a 2
e)
2 2a
r
A
r
B
r
C
r
D
El gráfico que se muestra es una pirámide recta cuya
base es un cuadrado de lado a. Si su altura es igual a
a 2 , hallar el módulo de la resultante de los vectores
que se indican.
a)
a 2
b)
2a 2
c)
4a 2
d)
6a 2
e)
8a 2
Vectores
32
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
3. CINEMÁTICA
Se vive en un mundo donde a simple vista, se aprecia que todo está en movimiento:
un hombre caminando, un ave volando, un pez nadando, un motor que tira, un río que
fluye, una corriente de agua, un automóvil en marcha, un avión en vuelo, el Sol y la
Luna se mueven respecto a la Tierra.
El movimiento es un fenómeno que consiste en el cambio de posición que realiza un
cuerpo, en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera
fijo.
3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
Los elementos del movimiento son:
•
MOVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento.
•
TRAYECTORIA. Es la línea recta o curva que describe el móvil.
•
POSICION. Es un vector que indica la posición de un móvil, empieza en el origen
de coordenadas y termina en el móvil. Se representa por
r
r (t ) = x î + y ĵ + z k̂ .
•
DESPLAZAMIENTO. Se define para un intervalo de tiempo (t1, t2). Es el vector que
va desde la posición en t1 hasta la posición en t2.
r
r
r
∆ r (t ) = r2 (t ) − r1 (t )
Cinemática
33
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
•
INTERVALO DE TIEMPO (∆t). Es el tiempo transcurrido desde un instante t1 hasta
un instante t2: ∆t = t2 – t1.
•
VELOCIDAD MEDIA. Es la relación entre el vector deplazamiento y el intervalo de
tiempo empleado:
r
r
r
r
∆ r (t ) r2 (t ) − r1 (t )
vm =
=
∆t
t 2 − t1
Se mide en m/s y tiene la misma dirección que el desplazamiento.
•
RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el
tiempo total empleado.
rm =
distancia recorrida
tiempo empleado
La rapidez media es una cantidad escalar y es diferente a la velocidad media. Por
ejemplo si partes de tu casa y después de un tiempo retornas a ella, tu
desplazamiento será nulo al igual que la velocidad media. Sin embargo si habrá
rapidez media ya que realizaste cierta distacia o espacio recorrido.
•
VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la derivada
del vector posición respecto del
tiempo:
r
r
d r (t )
(
)
vt =
dt
Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:
vx =
d x (t )
d y (t )
d z (t )
, vy =
, vz =
dt
dt
dt
Revisa el Apéndice I para que revises ejercicios de derivación.
•
RAPIDEZ INSTANTÁNEA. Es el módulo o valor de la velocidad instantánea.
Cinemática
34
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
•
ACELERACION MEDIA. Se define la aceleración media como la rapidez del cambio
de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo:
r
r
r
r
∆ v (t ) v 2 (t ) − v 1 (t )
=
am =
∆t
t 2 − t1
•
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA. es igual a la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t:
r
r
d v (t )
a(t ) =
dt
Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:
ax =
dv y (t )
d v x (t )
d v z (t )
, ay =
, az =
dt
dt
dt
y
Vector velocidad
r
instantánea, v
Trayectoria
móvil
Vector posición,
del
r
r
x
3.2. CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN
Es el que se realiza a lo largo de una línea que puede ser horizontal, vertical o
inclinada. Estudiaremos dos clases de estos movimientos: Movimiento Rectilíneo
Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
Cinemática
35
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
3.2.1.
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Es el movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, con velocidad
constante.
Ejemplo. El automóvil viaja por una trayectoria recta, recorriendo espacios en tiempos
iguales.
v
Ecuaciones del MRU
La velocidad es constante e independiente del tiempo transcurrido.
La distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado.
Ecuaciones:
Posición
: x = xo + v t
Desplazamiento
: ∆x = x − xo
Siendo xo la posición inicial del móvil. Observe que no es necesario escribir las
ecuaciones en notación vectorial ya que el movimiento es en una dimensión.
Tabla 3.1. Unidades de distancia, tiempo y velocidad
UNIDADES
DISTANCIA
TIEMPO
VELOCIDAD
SI
m
s
m/s
De uso
popular
km
h
km/h
Cinemática
36
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
3.2.2.
Análisis de gráficas del MRU
Gráfica posición (x) – tiempo (t)
Se va a representar gráficamente la distancia recorrida por un móvil que viaja con una
velocidad de 40 m/s con movimiento rectilíneo uniforme y que parte del origen de
coordenadas xo = 0 m.
t = 0s
x = xo
t = 1s
x1 = 0 + 40 m/s × 1 s = 40 m
t = 2s
x2 = 0 + 40 m/s × 2 s = 80 m
t = 3s
x3 = 0 + 40 m/s × 3 s = 120 m
t = 4s
x4 = 0 + 40 m/s × 4 s = 160 m
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
x(m)
0
40
80
120
160
200
240
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
En la gráfica se representan los tiempos empleados en el eje de las abscisas y las
distancias recorridas en el eje de las ordenadas, obteniendo el siguiente gráfico.
x (m)
160
∆x
80
∆t
t (s)
0
Pendiente =
Cinemática
2
4
∆x 160 - 80 80
=
=
= +40 m/s que es la velocidad media.
∆t
4-2
2
37
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Análisis de la gráfica. En el MRU la gráfica de la posición x en función del tiempo es
una línea recta que pasa por el origen cuando xo = 0, por tanto es una función lineal.
Se
encuentra
que
a
intervalos
de
tiempos
iguales
(∆t),
le
corresponde
desplazamientos iguales (∆x). La pendiente de la recta x vs t representa la velocidad
media del móvil.
Pendiente = ∆x / ∆t
En el MRU la velocidad es constante.
Gráfica velocidad – tiempo
Se va a representar gráficamente la velocidad de un cuerpo que recorre una
trayectoria recta de 30 m en cada segundo.
t1 = 1s
x1 = 30 m
v = 30/1
m/s = 30 m/s
t2 = 1s
x2 = 60 m
v = 60/2
m/s = 30 m/s
t3 = 1s
x3 = 90 m
v = 90/3
m/s = 30 m/s
t4 = 1s
x4 = 120 m
v = 120/4 m/s = 30 m/s
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
v (m/s)
30
30
30
30
30
30
30
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
Al representar los tiempos empleados en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje
de la ordenada, se obtiene el siguiente gráfico:
v (m/s)
Desplazamiento, ∆x
30
v
0
Cinemática
2
t (s)
∆t 4
38
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Análisis de la gráfica. El valor de la pendiente en la gráfica v vs t es constante e igual
a 30 m/s para todos los intervalos de la recta.
La altura en la gráfica v vs t indica la velocidad media y el eje horizontal el intervalo de
tiempo. El valor de la velocidad multiplicada por un intervalo de tiempo define el área
del rectángulo que es el desplazamiento del móvil, por tanto, en toda gráfica v - t, el
área debajo de la gráfica representa el desplazamiento efectuado por el móvil.
Las unidades de esta área no son metros cuadrados por que un lado del rectángulo
está medido en segundos y el otro lado en metros por segundo.
Ejercicios resueltos
1.
Un automóvil se mueve con velocidad constante v = 72 m/s. Se pide:
a)
Una expresión para la posición x(t)
b)
La posición en t = 20 s.
c)
El desplazamiento entre t = 10 s hasta t = 20 s.
d)
Haga una gráfica x vs. t.
Solución (a)
Considerando que el móvil parte desde un origen de coordenadas, es decir xo = 0,
escribimos:
Posición: x(t) = xo + v t = 0 + 72 t
x (t) = 72t
Solución (b)
Para t = 20 s, se tiene: x (20) = 72 (20) = 1 440 m
x (20) = 1 440 m
Solución (c)
∆x = v ∆t = 72 (20 − 10) = 720 m
∆x = 720 m
Cinemática
39
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
x (m)
144
∆x
72
∆t
t (s)
0
2.
1
2
Un automóvil parte del kilómetro cero de una carretera, desarrollando 100 km/h
durante una hora; se detiene por completo durante 0,50 h, luego regresa a 50
km/h durante 1,0 hora, vuelve a detenerse 0,50 h y finalmente vuelve al punto de
partida a 50 km/h. Si cada tramo se realiza con un MRU, se pide:
a)
Traza la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t).
b)
Traza la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t).
Solución (a)
v (km/h)
100
0
1
-50
2
3
4
t(h)
Solución (b)
Primer tramo:
0 ≤ t ≤ 1h
x = xo+ v t = 0 + 100 t = 100 t
Segundo tramo:
1 ≤ t ≤ 1,5h
x = xo+ v t = 100 +0 t = 100 km
Tercer tramo:
1,5 ≤ t ≤ 2,5h
x = xo+ v t = 100 – 50 (t - 1,5)
Cuarto tramo:
2,5 ≤ t ≤ 3h
x = xo+ v t = 50 + 0 t = 50 km
Quinto tramo:
3 ≤ t ≤ 4h
x = xo+ v t = 50 – 50 (t - 3)
Cinemática
40
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
x (km)
100
50
0
1
3.
2
3
4
t(h)
Un tren se traslada sobre una vía rectilínea, manteniendo la velocidad constante
de 20 m/s. Sabiendo que el tren parte de un punto considerado como origen, en
el instante to = 0, en movimiento progresivo, y que en el margen de la ferrovía
existen postes espaciados a intervalos regulares de 100 m, determine:
a)
La ecuación de movimiento con respecto al tiempo
b)
El tiempo transcurrido durante el paso de dos postes consecutivos, para
un observador en el tren.
c)
La cantidad de postes que pasan por el observador del ítem b en 1 minuto.
Solución (a)
Datos: v = 20 m/s, t0 = 0 s, x0 = 0 m
Distancia entre los postes = 100 m.
Siendo el movimiento uniforme:
x = xo + v t ⇒ x = 0 + 20 t
x = 20 t
Solución (b)
∆x = x - xo= v t
∆x = v t
100 = 20 t⇔
t=
100
= 5,0 s
20
Solución (c)
Utilizando regla de tres:
Cinemática
41
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
5,0 s _____ 1 poste
60 s _____ n postes
5,0n = 60
n =
60
= 12
5,0
n = 12 postes
4.
Dos móviles A y B parten simultáneamente de
la misma posición, con velocidades constantes
y respectivamente iguales a 6,0 m/s y 8,0 m/s.
Los móviles recorren los ejes Ox y Oy,
formando un ángulo recto. Determine:
a)
Las ecuaciones con respecto al tiempo
de los móviles
b)
La distancia que los separa, después de 5,0 segundos de su partida
Solución (a)
Datos:
vA = 6,0 m/s
vB = 8,0 m/s
Para un móvil A, vA = 6,0 m/s y xoA = 0 m. Por tanto, su ecuación de movimiento será
xA = 0 + 6
xA = 6 t
Para móvil B, vB = 8,0 m/s y xoB = 0 m. Por tanto, su ecuación horaria será
xB = 0 + 8 t.
XB = 8 t
Solución (b)
d2 = xA2 + xB2 ⇒ d2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500
d=
2500 = 50
d = 50 m.
Cinemática
42
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
5.
Los
diagramas
temporales
de
los
puntos
materiales A y B, que se desplazan sobre una
misma recta, están representados en la figura.
Determine:
a)
Las ecuaciones con respecto al tiempo
b)
El instante en que se produce el encuentro
de los móviles
c)
La posición del punto de encuentro
d)
Los desplazamientos de los móviles hasta el encuentro
e)
Los instantes en que la distancia entre los móviles es 40 m.
Solución (a)
Para la obtención de sus ecuaciones horarias determinemos el inicio de sus
velocidades.
vA =
∆x A x A − x oA 0 − ( −30 ) 30
=
=
=
= 5 m/s
∆t A
t A − t oA
6−0
6
vB =
∆x B x B − x oB 0 − 90 − 90
=
=
=
= −3 m/s
∆t B
t B − t oB
30 − 0
30
vA > 0 ⇒ Movimiento Progresivo
vB < 0 ⇒ Movimiento Retrógrado
Ecuación horaria de A:
xA = -30 + 5 t
Ecuación horaria de B:
xB = 90 – 3 t
Solución (b)
-30 + 5 t = 90 – 3 t ⇒ 8 t = 120 ⇔ t =
120
= 15
8
t = tE por tanto:
tE = 15 s
Solución (c)
xE = xA = -30 + 5 · 15 = 45 o xE = xB = 90 - 3 · 15 = 45
xE = 45 m
Cinemática
43
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Solución (d)
Para un móvil A:
∆xA = xE - xoA = 45 - (-30) = 75 m
Para móvil B:
∆xB = xE - xoB = 45 - 90 = - 45 m
Solución (e)
Antes de encontrar:
Después de encontrar:
xB - xA = 40 m
xA - xB = 40 m
90 – 3 t - (- 30 + 5 t) = 40
-30 + 5 t - (90 – 3 t) = 40
120 – 8 t = 40
-120 + 8 t =40
8 t = 80
8 t = 160
t=
80
= 10
8
t = 10 s
6.
t=
160
= 20
8
t = 20 s
Un tren de 100 m de longitud mantiene una velocidad constante de 72 km/h.
Determine la longitud del puente por el cual pasa el tren, si el transcurso
completo dura 15 s.
Solución
vtren = 20 m/s
vtren . t1 = 20 · t1 = 100
t1 = 5 s
Tiempo Total = 15 s = t1 + t2
t2 = 10 s
vtren · t2 = Lpuente = 20 · 10 = 200 m
7.
Dos móviles se trasladan por la misma carretera, la cual es rectilínea, y sus
desplazamientos obedecen a las ecuaciones horarias x = 10 + 40 t y x' = 330 –
60 t. Los espacios son medidos en kilómetros y los instantes en horas. Si ambos
parten en el mismo instante, determine:
Cinemática
44
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
a)
El instante del encuentro.
b)
La posición del encuentro.
c)
Los respectivos desplazamientos hasta el encuentro.
d)
La distancia que los separa, después de 3 horas de la partida
Solución (a)
x = 10 + 40 t ...(1) (km/h)
x' = 330 – 60 t ...(2) (km/h)
x = x' (encuentro)
de (1) - (2)
0 = -320 + 100 t
t = 3 h 12 min.
Solución (b)
Reemplazando t en (1):
x = 138 km
Solución (c)
∆x = 128 km
∆x' = -192 km
Solución (d)
x = 10 + 40 (3) = 130 km
x' = 330 – 60 (3) = 150 km
x' - x = 20 km
8.
La figura ilustra las posiciones de los dos móviles, A y B, que parten en el mismo
instante, con velocidades constantes y respectivamente iguales a 1,2 m/s y 1,6
m/s. La distancia inicial entre los móviles es 40 m. Determine:
a)
El tiempo que transcurre desde hasta el instante del encuentro.
b)
Las distancias recorridas por los móviles hasta el encuentro.
Cinemática
45
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Solución (a)
vA - t = dA
....(1)
vB - t = dB
....(2)
Del gráfico y por pitágoras
(vA t)2 + (vB t)2 = dA2 + dB2
2
2
2
2
t (vA + vB ) = 40
t = 20 s
Solución (b)
vA(20) = 24 m
vB(20) = 32 m
9.
El diagrama registra la variación de las posiciones de los dos móviles, que
caminan sobre la misma recta, en función del tiempo. Sabiéndose que la razón
entre las velocidades de los móviles A y B es 2, determine:
a)
Las respectivas velocidades de los móviles.
b)
La posición del punto de encuentro.
Cinemática
46
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Solución (a)
vA
= 2 ...(1)
vB
xA = -50 + 20 vA
xB = 50 + 20 vB
⇒ t = 20 se cumple xA = xB y de (1):
vB = 5 m/s y vA = 10 m/s
Solución (b)
Remplazando en cualquiera de las ecuaciones de movimiento:
x = -50 + 20 (10) = 150 m
3.2.3.
Movimiento rectilineo uniforme variado (MRUV)
Es aquel movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, variando
progresivamente el valor de la rapidez (v), ya sea aumentando (acelerando) o
disminuyendo (desacelerando o retardado) esta variación depende de la aceleración y
esta aceleración es una magnitud constante.
Ecuaciones del MRUV
•
Aceleración media o instantánea a = ∆v/∆t es constante en el tiempo.
Cinemática
47
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
•
Velocidad instantánea v(t) = vo + a t
La gráfica velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente puede ser
positiva (+) cuando la velocidad aumenta y negativa (-) cuando la velocidad
disminuye.
v (m/s)
v (m/s)
a>0
a<0
V0
V0
t(s)
t(s)
•
La posición x(t) tiene una relación cuadrática con el tiempo.
x(t) = xo + vo t + a t2/2
La gráfica x - t corresponde a una parábola.
x (m)
x (m)
xo
xo
t (s)
a>0
•
t (s)
a<0
Reuniendo las ecuaciones de la velocidad y de la posición, se obtiene:
v2 = vo2 + 2a (x − xo)
IMPORTANTE: Recuerde que:
•
Cuando el móvil parte del reposo la velocidad inicial vo es igual a 0,
•
el desplazamiento recorrido por un móvil, es igual al área en una gráfica v – t y
•
la aceleración es igual a la pendiente en una gráfica v – t.
Cinemática
48
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Tabla 3.2. Unidades de distancia, tiempo, velocidad y aceleración
3.2.4.
UNIDADES
DISTANCIA
TIEMPO
VELOCIDAD
ACELERACIÓN
SI
m
s
m/s
m/s2
De uso
popular
km
h
km/h
km/h2
Análisis de gráficas de MRUV
Gráfica de la velocidad (v) – tiempo (t)
Representamos la velocidad en el eje de las ordenadas, mientras que el tiempo en el
eje de la abscisa, de un cuerpo que parte del reposo (vi = 0) que se mueve con una
aceleración de 4 m/s2.
vt = v1 + a t
2
2
vt = 0 + (4 m/s ) (0 s) = 0 m/s
vt = 0 + (4 m/s2) (1 s) = 4 m/s2
2
2
vt = 0 + (4 m/s ) (2 s) = 8 m/s
vt = 0 + (4 m/s2) (3 s) = 12 m/s2
Registramos los datos obtenidos en la tabla y graficando obtenemos:
v(m/s)
0
4
8
12
16
20
24
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
v (m/s)
16
∆v
8
Pendiente:
2
a = ∆v/∆t= 4 m/s
∆t
t (s)
0
Cinemática
2
4
49
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Análisis de la gráfica. La gráfica v – t es una línea recta.
La recta pasa por el origen de coordenadas, debido a que el móvil parte sin
velocidad inicial.
La pendiente de la recta es la constante, que en este caso viene a ser la
aceleración.
Aceleración = pendiente en gráfica v – t
El desplazamiento es el área debajo la gráfica.
Gráfica de la posición (x) – tiempo (t)
Representamos la posición x en el eje de la ordenada y el tiempo en la abscisa, para
un cuerpo que parte del reposo (vo = 0) y del origen de coordenadas (xo = 0),
moviéndose con una aceleración de 2 m/s2.
x(t) = xo + vot + a t2/2
Aplicando la fórmula:
Se registra los datos obtenidos en la tabla y se grafica:
x(m)
0
1
4
9
16
25
t(s)
0
1
2
3
4
5
t2(s2)
0
1
4
9
16
25
2
Linealizamos la gráfica (x vs t ), con el objeto de hallar la pendiente, elevando los
Cinemática
50
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
datos del tiempo al cuadrado en la tabla.
Análisis de la gráfica 1. La gráfica posición (x) en función del tiempo es una
parábola.
La parábola siempre pasa por el origen, debido a que el móvil parte desde el reposo
(velocidad inicial = 0).
El movimiento tiene aceleración positiva porque la parábola es cóncava hacia arriba.
Análisis de la gráfica 2. La gráfica muestra que la distancia es directamente
proporcional al cuadrado de los tiempos.
La pendiente de la gráfica es igual a la mitad de la aceleración (a/2) cuando el móvil
parte del reposo.
Ejercicios resueltos
10.
Un vehículo que se desplaza a 10 m/s, debe parar después de 10 s que el
conductor frena. Se pide:
a)
Representar las gráficas v - t y x - t
b)
¿Cuál es el valor de la aceleración, en el MRUV, que los frenos deben
imprimir al vehículo?
c)
Escriba las ecuaciones v(t) y x(t).
d)
¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada?
Solución (a)
Solución (b)
Aceleración, a = ∆v/∆t = (0 – 10) / (10 – 0) = –1m/s2
Cinemática
51
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Solución (c)
Ecuación para la velocidad: v= vo + a t = 10 + (-1) t = 10 – t
2
2
Ecuación para la posición: x(t) = xo + vo t + a t /2 = 0 + (10) t + (-1) t /2
= 10 t – t2/2
Solución (d)
2
2
De la ecuación v = vo + 2a (x - xo), obtenemos
0 = (10)2 + 2 (-1)(x-0)
x = 50 m
11.
Un auto se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando el conductor pise el
acelerador, el movimiento pasa a ser uniformemente acelerado, alcanzando una
velocidad de 35 m/s en 3 s. Se pide:
a)
Trazar las gráficas v - t y x - t.
b)
Calcular la aceleración del auto.
c)
Escribir las ecuaciones v(t) y x(t).
d)
Hallar la distancia alcanzada.
Solución (a)
v (m/s)
x(m)
35
5
t(s)
t(s)
Solución (b)
2
Aceleración a = ∆v/∆t = (35-5) / (3-0) = 10 m/s
Solución (c)
Ecuación para la velocidad.
Cinemática
2
v(t) = vo + a t = 5 + 10 t
52
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Ecuación para la posición.
2
2
x(t) = xo + vo t + a t /2 = 0 + 5 t + 10(t )/2
= 5 t + 5 t2
Solución (d)
La distancia corresponde al valor de x cuando t = 3 s
x = 5 (3) +5 (3)2 = 60 m
12.
En el instante en que una señal de tránsito cambia a verde, un automóvil se
pone en movimiento con la aceleración de 1,8 m/s2. En el mismo instante pasa
un tranvía con velocidad uniforme de 9,0 m/s, en la misma dirección del
automóvil. Se pide:
a)
Graficar v - t y x – t.
b)
Escriba las ecuaciones x(t) y v(t) para el automóvil y el tren.
c)
¿Qué velocidad tendrá cuando alcanza el auto al tranvía?
d)
¿A qué distancia lo alcanza?
Solución (a)
Solución (b)
Para el automóvil
2
2
2
Posición:
x(t) = x o + vo t + a t /2 = 0 + 0(t) + 1,8(t )/2 = 0,9 t
Velocidad:
v(t) = vo + a t = 0 + 1,8 t = 1,8 t
Para el tren
Posición:
x (t) = x o + vot + a t2/2 = 0 + 9(t) + 0(t2)/2 = 9 t
Velocidad:
v(t) = vo + a t = 9 + 0 t = 9 m/s = constante (MRU)
Solución (c)
Cinemática
53
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
En el punto de encuentro las posiciones x son iguales, por tanto:
2
0,9 t = 9 t
1ra solución: t = 0
2da solución: t = 10 s
La velocidad del automóvil cuando lo alcanza es: v = 1,8(10) = 18 m/s
Solución (d)
Lo alcanza en x = 9(10) = 90 m
13.
Un punto material recorre el eje Ox con las velocidades indicadas en el
diagrama. En el instante inicial to = 0, el móvil pasa por el origen de las abscisas
x o = 0. Determine:
a)
La aceleración
b)
La ecuación de la velocidad
c)
La ecuación con respecto al tiempo
d)
La posición del móvil en el instante t = 5 s.
e)
El desplazamiento en los 10 s iniciales.
Solución
a)
Sabemos que a =
∆t = 5 - 0
Cinemática
∆v
y que:
∆x
=5s
54
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
∆v = 0 - 20 = -20 m/s
La aceleración será: a =
− 20
= -4 m/s2
5
b)
v = vo + a t ∴ v = 20 – 4 t
c)
x = 0 + 20 t +
d)
Para t = 5 s, la posición del móvil será:
−4 2
t
2
x = 50 m
e)
Observando el gráfico v - t, verificamos que:
Área del triángulo superior = 50 (entre 0 s y 5 s)
Área del triángulo inferior = -50 (entre 5 s y 10 s)
Por tanto, el desplazamiento entre 0 s y 10 s será:
∆x = 0 m
14.
Un punto material recorre
el eje x con velocidad que
varia en el tiempo, según
el diagrama, determine:
a)
La aceleración.
b)
La ecuación de la
velocidad.
c)
El desplazamiento en
los 25 s iniciales.
Solución
∆v
= 1 m/s2
∆t
a)
a=
b)
De: v = vo + a t
Siendo para t = 0 ⇒ vo = 10 m/s
v = -10 + t
c)
Del diagrama:
A1 + A2 = 62,5 m
Cinemática
55
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
15.
Una partícula recorre una
recta con velocidad que
varia según el diagrama.
Determine:
d)
Las
aceleraciones
en los trechos AB y
BC.
e)
El instante en que el
desplazamiento
es
máximo.
f)
El desplazamiento en el instante t = 30 s.
Solución
a)
Tramo AB ⇒ a =
∆v
= 0,8 m/s2
∆t
Tramo BC ⇒ a = -0,8 m/s
b)
20 s
c)
A1 + A2 = 40 m
16.
Dos
móviles
A
y
2
B
parten
simultáneamente de la misma posición y
v (m/s)
A
B
recorren el eje Ox. El diagrama representa
las velocidades de los móviles en función
del tiempo. Determine:
a)
El instante del encuentro
b)
El instante en que la razón entre las
velocidades de B y de A es igual a
3.
20
10
t (s)
0
5
Solución
a)
vA = 4 t
vB = 10 + 2 t
xA = xoA + 2 t2
...(1)
xB = xoB + 10 t + t2 ...(2)
Cinemática
56
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
En el encuentro xA = xB y como parten de la misma posición xoA = xoB, así:
Restando (1) - (2):
t = 10 s
b)
10 + 2t
vB
=3=
vA
4t
t=1s
17.
La posición x de un cuerpo, que se mueve a lo largo de una recta, en función
del tiempo t, es mostrada en el gráfico. Para cada uno de los cuatro intervalos
señalados en el gráfico, indique:
a)
Si la velocidad es positiva, negativa o nula.
b)
Si la aceleración es positiva, negativa o nula.
Solución (a)
Se observa que en todo momento el movimiento se realiza en la dirección positiva del
eje x, por lo tanto en los intervalos I, II y III la velocidad es positiva y en el intervalo IV
la velocidad es nula.
Solución (b)
Analicemos la concavidad de la gráfica en:
Intervalo I
:
Hacia arriba
:a>0
Intervalo II
:
Recta
:a=0
Intervalo III
:
Hacia abajo
:a<0
Intervalo IV
:
Recta
:a=0
Cinemática
57
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
18.
Una partícula recorre el eje x. En el instante to = 0
el espacio inicial es xo = 0. En el diagrama se
representa la velocidad de la partícula en función
del tiempo. Determine:
a)
La aceleración de la partícula.
b)
Los tipos de movimiento entre los instantes 0
y 15 s y 15 s y 30 s.
c)
El desplazamiento en los 15 s iniciales y entre 15 s y 30 s.
d)
La posición del móvil en el instante 15 s y en el instante 30 s.
Solución
a)
vf = vo + a t entonces a = 2 m/s2
b)
De 0 s - 15 s
a es positivo y v negativo
El movimiento es uniformemente acelerado.
De 15 s – 30 s
a es positivo y v positivo
El movimiento es uniformemente acelerado.
c)
De 0 - 15 s
d = vo t +
1 2
a t = -225 m
2
De 15 s – 30 s
d = 225 m
d)
En el instante
t = 15 s
⇒ x = -225 m
t = 30 s
⇒x=0m
Luego en t = 30 s el móvil regresa a su posición inicial.
Cinemática
58
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
19.
Un punto material describe un movimiento rectilíneo, partiendo de un punto
donde se encontraba en reposo. Se observa que su velocidad varía con el
tiempo, indicado por un reloj, de acuerdo con los valores medidos y tabulados a
continuación.
a)
Construya, en papel milimetrado, el gráfico de v en función de t.
b)
A partir de la curva ajustada en el gráfico del ítem anterior, calcule la
distancia recorrida por el punto material entre t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s.
Solución (a)
Solución (b)
Sabiendo las velocidades en los puntos t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s, usamos:
v22 = v12 + 2 a·∆x
2
2
(6,77) = (2,25) + 2a·∆x
...(1)
...(2)
De la parte primera se sabe que la aceleración es 1,5 m/s2
Luego remplazando en (2): ∆x = 13,5 m
Cinemática
59
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
20.
A partir del gráfico construido para resolver la pregunta anterior. Determine:
La velocidad media del punto material entre los instantes t1 = 1,0 s y t2 =
a)
6,0 s.
b)
La aceleración del punto material.
Solución (a)
La velocidad media es:
vm =
v t1 + v t2
2
...(1)
Necesitamos vi para t1 = 1 s, luego:
∆x· t1 = vo t1 +
1
a t12 =
2
0,75 m (con a = 1,5 m/s2)
y su velocidad será vt1 = 1,5 m/s
...(2)
Remplazando (2) en (1):
vm = 1,5 +
8,97
= 5,24 m/s
2
Solución (b)
a = tg α =
3.2.5.
14,87
2
= 1,49 m/s
10
Movimiento de caída libre
La caída libre es un caso particular del MRUV siendo la aceleración la gravedad (g =
9,8 m/s2) un vector vertical hacia abajo. El movimiento descrito es acelerado con
trayectoria rectilínea vertical; no se tiene en cuenta la resistencia del aire.
La aceleración de la gravedad no es una constante en la superficie de la tierra, esto se
debe a que la tierra noes perfectamente esférica y además posee superficies
accidentadas. Los valores de la gravedad son:
En los polos g = 9,83 m/s2
2
En el ecuador g = 9,79 m/s
Cinemática
60
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Observe que:
•
El movimiento de subida es desacelerado o retardado
alcanzando el móvil una altura máxima en cuyo instante
su velocidad es cero.
•
El
movimiento
de
caída
libre
es
rectilíneo
y
uniformemente acelerado.
•
En el vacío todos los cuerpos caen con la misma
aceleración.
•
A una misma altura, el tiempo de subida y el tiempo de
bajada son iguales.
•
A una misma altura, el módulo de la velocidad de subida y de bajada son iguales.
Ecuaciones de caída libre
Como el movimiento de caída libre es un caso particular del MRUV, las fórmulas son
las mismas, siendo la aceleración ya conocida (g) y la posición la identificamos por la
coordenada “y”. Así tenemos:
v = vo − g t
2
v = vo2 − 2 g (y − yo)
y = yo + vo t − g t2/2
Cinemática
61
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Ejercicios resueltos
21.
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s.
Se pide:
a)
Graficar v - t, y – t.
b)
Escriba las ecuaciones y(t) y v(t).
c)
¿En qué tiempo alcanza su altura máxima?
d)
¿Cuál es la altura máxima?
e)
¿En qué tiempo regresa al punto de lanzamiento?
Solución (a)
y (m)
v (m/s)
v=0
hmax
20
hmax
t (s)
t (s)
Solución (b)
Posición:
y = yo + vo t - g t2/2 = 0 + 20(t) – 9,8(t2)/2 = 20 t – 4,9 t2
Velocidad:
v = vo – g t = 20 – 9,8 t
Solución (c)
El tiempo de subida se obtiene cuando v = 20 – 9,8 t = 0, es decir
t = 20/9,8 = 2,02 s
Solución (d)
La altura máxima se alcanza cuando v2 = vo2 - 2 g h = 0, es decir
h = vo2/2g = (20)2/(2·9,8) = 20,4 m
Solución (e)
Regresa al punto de lanzamiento cuando y = 20 t – 4,9 t2 = 0, es decir
t = 20/4,9 = 4,08 s
Cinemática
62
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
22.
Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota, verticalmente hacia abajo, con
una velocidad inicial de 14 m/s y tarda 2,0 s en llegar al piso. Se pide:
a)
Graficar y - t y v – t.
b)
La altura de donde fue lanzada la pelota.
c)
Escribir las ecuaciones y(t) y v(t)
d)
La velocidad con que la pelota llega al piso.
Solución (a)
y (m)
v (m/s)
hmax
0
2,0
t (s)
−14
t (s)
0
2,0
Solución (b)
La altura desde donde se lanzo debe cumplir:
2
2
y = yo + vo t - g t /2 = H – 14(2) – 4,9(2) = 0, resultando H = 47,6 m
Solución (c)
2
Posición.
y = yo + vo t - g t /2 =
Velocidad
v = vo – g t = -14 – 9,8 t
-14 t – 4,9 t
2
Solución (d)
La velocidad de llegada, se obtiene de: v = -14 – 9,8(2) = -33,6 m/s
Cinemática
63
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
23.
Un observador ve desde su ventana, un cuerpo caer con velocidad de 10 m/s.
Otro observador, situado a 75 m debajo del primero, observa el mismo objeto
pasar en caída libre y alcanzar el suelo en 1,0 s, considerando la aceleración de
la gravedad local igual a 10 m/s2, determine:
a)
La velocidad del móvil al pasar por el segundo observador
b)
El tiempo que le toma al cuerpo para ir del primero al segundo observador.
c)
La altura relativa del segundo observador al suelo.
d)
La altura de caída del cuerpo relativa al suelo, desde el instante en que es
abandonado.
Solución
a)
En el tramo entre el 1o y el 2o observador:
vo = v1 = 10 m/s
v = v2 = ?
h = ∆h2 = 75 m
g = 10 m/s
2
Sustituyendo estos datos en:
2
2
v = vo + 2gh
v2 = 40 m/s
b)
En el tramo entre el 1o y el 2o observador:
vo = v1 = 10 m/s
t = t2 = ?
v = v2 = 40 m/s
g = 10 m/s2
Sustituyendo:
t2 = 3,0 s
c)
o
En el tramo entre el 2 observador:
h = ∆h3 = ?
vo = v2 = 40 m/s
Sustituyendo ⇒ ∆h3 = 45 m
d)
La caída es de una altura total de : ∆h1 + ∆h2 + ∆h3
Desde el punto inicial hasta el punto en que se localiza el 1er observador, se
tiene:
vo= 0 , v = v1 = 10 m/s y ∆h1 = ?
Cinemática
64
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Sustituyendo en
2
2
v = vo + 2gh ⇒ ∆h1 = 5,0 m
Siendo ∆h2 = 75 m y ∆h3 = 45 m, tenemos:
h = 125 m.
24.
Dos esferitas son lanzadas verticalmente de abajo hacia arriba, a partir de la
misma altura, con la misma velocidad inicial de 15 m/s, pero con intervalo de
tiempo de 0,5 s entre los lanzamientos. Despreciando la resistencia del aire,
realice en el mismo sistema de ejes, los gráficos de velocidad en función del
tiempo para las dos esferitas. Indique en los ejes las unidades de medida.
Determine también el instante en que las alturas de las dos esferitas coinciden y
justifique sus respuestas.
Solución
La altura máxima alcanzada es igual para las dos esferas, pues la resistencia del aire
fue despreciada.
El tiempo de ascenso de la esfera A es:
ta = −
vo
= −1,5 s
g
Como t'a = ta + t'o ⇒ t'a = 2,0 s
Las esferas A y B tendrán la misma altura, en el instante en que la primera estuviera
en caída y la segunda estuviera ascendiendo, cuando el tiempo transcurrido para A
fuera t, para la esfera B será (t - 0,5), pues hay un desfase de 0,5 s entre ambas.
Cinemática
65
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Las observaciones correspondientes serán:
− 10 2
t
2
A⇒
hA = 15 t +
B⇒
hB = 15(t-0,5) +
− 10
(t − 0,5)2
2
Igualando hA = hB ⇒ t = 1,75 s
Podemos llegar a la observación de t = 1,75 s a través de la observación del gráfico
anterior.
•
El área A representa la altura de caída de la esfera A.
•
El área B representa la altura que le falta a la esfera B para alcanzar la altura
máxima.
Para que el área A sea igual al área B, el instante t deberá ser el punto medio entre
1,5 s y 2,0 s. Así las esferas A y B estarán en la misma altura en el instante t = 1,75 s.
Cinemática
66
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
25.
La figura representa la velocidad en función del tiempo, de un cuerpo que fue
lanzado de abajo para arriba (t = 0 representa el instante del lanzamiento).
¿Cual es la mayor altura que él alcanza en relación al punto de lanzamiento?
Justifique su respuesta.
Solución
Calculemos el tiempo que toma el alcanzar su máxima altura (vf = 0):
vf = vo – g t
0 = 10 – 10 t ⇒ t = 1s
con t = 1 s calculamos la altura correspondiente:
h = 10(1) - 5 = 5 m.
26.
Un proyectil es lanzado desde el suelo, en dirección vertical, con una velocidad
inicial de 400 m/s. Considerando la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 y
despreciando la resistencia del aire, determine:
a)
La altura máxima alcanzada.
b)
El tiempo empleado por el proyectil hasta regresar a la posición inicial.
c)
La altura, desde el suelo, en que ocurre el encuentro con un segundo
proyectil, soltado en el instante del lanzamiento del primer proyectil y
desde el punto de altura máxima por este alcanzado.
Solución
a)
Hallando el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima:
vf = vo – g t ⇒ t = 40 s
Entonces hmax = 400(t) - 5(t2) = 8 000 m
Cinemática
67
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
b)
Para subir emplea 40 s y despreciando la resistencia del aire, se cumple:
tsalida = tbajada
c)
⇒ ttotal = 80 s
Para el proyectil (1):
vf1 = 400 – 10 t
Para el proyectil (2):
vf2 = -10 t
Pero vf1 = vf2 ⇒ t = 20 s
Ahora:
h = 400(20) - 5(20)2 = 6000 m, que es la altura del punto de encuentro.
27.
Un cuerpo abandonado cae, en caída libre, de una altura de 125 m del suelo, en
un local donde la aceleración de la gravedad es 10 m/s2. Determine:
a)
El tiempo de recorrido.
b)
La velocidad con que llega al suelo.
c)
La altura del punto donde el cuerpo pasa con velocidad igual a la quinta
parte de la velocidad máxima.
Solución
h = 125 m
a)
⇒ 125 = 5 t2 ⇒ t = 5s
b)
La velocidad con que llega al suelo es:
vf = vo + g t = 50 m/s
c)
La vmax = 50 m/s, entonces:
La altura para v = 10 m/s:
2
2
vf = vo + 2gh ⇒ h = 5 m
Es decir que el punto esta a 5 m de nuestro nivel de referencia, entonces la
altura de