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CONTROL
AUTOM Á
TICO
INDUSTRIAL
DIAGRAMA
DE
BLOQUES 1
Junio 2001
Control Automático Industrial curso tutoríal
pagina 2
Ejercicio 1
El ejercicio consiste en llevar a diagrama de bloques la red eléctrica de la figura 1.
Fig. 1 Circuito RLC.
Lo primero que se debe hacer es señalar cuales son los sentidos de las corrientes y las caídas
de tensión.
Fig. 2 Sentido de
corrientes y voltajes
por rama.
Las ecuaciones involucradas para este ejercicio son:
V L (t ) = L ⋅
i C (t ) = C ⋅
di L (t )
dt
dV
C
(t )
dt
VR (t ) = R ⋅ iR (t )
Relación voltaje- corriente en el inductor.
Relación voltaje- corriente en el capacitor.
Relación voltaje- corriente en la resistencia.
Sin embargo, las dos primeras ecuaciones deben ser orientadas y dejadas en la forma integral,
es decir:
1 t
iL (t ) = ∫ VL (t )dt
L −∞
t
1
VC (t ) = ∫ iC (t )dt
C −∞
Esto quiere decir que los bloques que representen a ese
tipo de ecuaciones serán los siguientes.
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Para unir cada una de las ecuaciones anteriores se debe tener presentes las leyes de
conservación de la carga en una superficie cerrada, que aplicada a un nudo se conoce como ley de
kirchhoff de corriente, y la de conservación del campo eléctrico en una trayectoria cerrada, donde
su aplicación a un lazo de red se conoce como ley de kirchhoff de voltaje.
∑
i =0
(n ) j
∑
(l)
vj = 0
La suma de las corrientes que entran a un nudo es cero.
La suma de las caídas de voltaje en un lazo cerrado es nula.
Considerando que IL3=IR3 y VC1=VR2, las ecuaciones empleadas son:
U-VR1=VL1
VL1-VC1=VL2
VC1-VR3=VL3
IL2-IR2-IL3=IC1
IL1+IL2=IR1
Con estas consideraciones es posible establecer un diagrama de bloques para la red que se
esta analizando. Observando que cada bloque de suma representa una ley de Kirchhoff.
u
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Ejercicio 2
Sea ahora una red que incluya un transformador, como el de la figura 3.
Figura 3 Red con un
transformador
El problema se presenta igual al anterior, con la diferencia de presentar un par de bobinas
acopladas magnéticamente entre sí. Las ecuaciones de voltaje corriente para el transformador ideal
son:
donde: V1=voltaje del primario.
V2=voltaje del secundario.
di t
di t
I1=corriente en el primario.
V1 t = L1 ⋅ 1 ± M ⋅ 2
I2=corriente en el secundario.
dt
dt
L1=inductancia del primario.
di 2 t
di1 t
L2=inductancia del secundario.
V2 t = L 2 ⋅
± M⋅
M=L12=L21=inductancia mutua.
dt
dt
()
()
()
()
()
()
El signo ± indica que los efectos de acoplamiento pueden sumarse o restarse, dependiendo del sentido
relativo de los enrollados, que está indicado por marcas (puntos), y del sentido de las corrientes. Como
la ecuación debe está orientada en el sentido inverso es necesario expresar en forma matricial las
ecuaciones del transformador.
 L1 ± M  Di1  V1
 ± M L2  Di2 =  V2

   
D representa al operador d/dt.
Integrando respecto al tiempo y despejando la matriz de corrientes:
−1
i1  L1 ± M D −1V1
i1 =  ± M L2  ⋅  −1 
  
 D V2
D −1 representa a la integral entre - y t, respecto al tiempo. Además:
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−1
 L1 ± M
 L2 m M
1
=
± M L2 
L1⋅ L2 − M2  m M L1 


Por lo tanto las corrientes valen:
L2
L1 ⋅ L2 − M2
L1
T22 =
L1 ⋅ L2 − M2
T11 =
i1 = T11 ⋅ D −1V1 m T12 ⋅ D −1 V2
i2 = T22 ⋅ D −1 V2 m T21 ⋅ D −1V1
donde:
T21 = T12 =
M
L1 ⋅ L2 − M2
Habiendo orientado en la forma integral las ecuaciones del transformador, ya es posible
construir un diagrama de bloques para él.
De forma análoga al ejercicio anterior se
construye el diagrama de bloques generalizado
para este circuito. Las ecuaciones de Kirchhoff,
empleadas, en este caso son:
e-VC1=VL3
VC1VR1=VL1
IL3IL1=IC1
IL2-IR2=IC2
Considerando que: IR1=IL1 y VL2=VC2=VR2
Uniendo las ecuaciones de cada elemento con las ecuaciones de Kirchhoff, se obtiene el siguiente
diagrama de bloques.
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Tarea nº 1
Obtener el diagrama de bloques para los siguientes circuitos.
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