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CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CA
UNIDAD 4
REDES ACOPLADAS MAGNÉTICAMENTE-TRANSFORMADORES
CONTENIDO
4.1
4.2
INTRODUCCIÓN
VOLTAJE DE AUTOINDUCCIÓN EN UN INDUCTOR
LEY DE LA AUTOINDUCCIÓN DE JOSEPH HENRY- INDUCTANCIA PROPIA
4.3
INDUCTANCIA MUTUA
4.4
LEY DE LA INDUCCIÓN DE MICHAEL FARADAY
4.5
CONVENCIÓN DE PUNTOS
4.6
ECUACIONES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
4.7
ANÁLISIS DE ENERGÍA
4.8
EL TRANSFORMADOR IDEAL
4.8.1 RELACIONES ENTRE VOLTAJES, CORRIENTES E IMPEDANCIAS PARA UN TRANSFORMADOR IDEAL
4.8.2 TÉCNICAS PARA SIMPLIFICAR LOS CIRCUITOS QUE CONTIENEN EL TRANSFORMADOR IDEAL
4.8.2.1 PRIMARIO REFLEJADO EN EL SECUNDARIO
4.8.2.2 SECUNDARIO REFLEJADO EN EL PRIMARIO
4.9
EL AUTOTRANSFORMADOR
4.9.1 RELACIÓN DE VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UN AUTOTRANSFORMADOR
4.9.2 RELACIÓN DE POTENCIAS PARA UN AUTOTRANSFORMADOR
4.10
EL TRANSFORMADOR REAL
4.10 1 INTRODUCCIÓN
4.10.2 PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN UN TRANSFORMADOR
4.10.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR
4.10.3.1 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR REFERIDO A SU LADO PRIMARIO
4.10.3.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR REFERIDO A SU LADO SECUNDARIO
4.10.4 ENSAYOS DEL TRANSFORMADOR REAL
4.10.4.1 PRUEBA DE CIRCUITO ABIERTO
4.10.4.2 PRUEBA DE CORTO CIRCUITO
4.10.5 SIMULACIÓN DE TRANSFORMADORES
4.10.5.1 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE MULTISIM
4.10.5.2 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE Pspice (OrCAD Release 9.1)
4.10.5.3 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE Pspice (Microsim EVALUATION 8 )
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CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA
UNIDAD 4
REDES ACOPLADAS MAGNÉTICAMENTE - EL TRANSFORMADOR
4.1 INTRODUCCIÓN
En el estudio del análisis de los circuitos de corriente alterna, hasta el momento, la inductancia es el único
elemento simple considerado para representar la energía almacenada en un campo magnético.
Se ha considerado a la bobina o inductancia como un elemento mas de los componentes de una red eléctrica, o
sea, se ha considerado la inductancia actuando sola (Inductancia Propia) sin tener en cuenta la presencia de otras
inductancias en la red, pero debido a que en una red existen muchas bobinas o inductancias, se hace necesario
introducir en el análisis el efecto o el comportamiento de la inductancia debido a la presencia de otra
inductancia (Inductancia Mutua)
A partir de la ley de autoinducción de Joseph Henry y de la ley de la inducción de Michael Faraday se
analizan los conceptos de autoinducción (Inductancia propia) y de inducción (Inductancia mutua) para que
posteriormente se estudie la viabilidad de si se incluye o no en el análisis de una red eléctrica. Finalmente, como
una aplicación principal de estos conceptos se estudiará el comportamiento del transformador ideal y del
transformador real, principalmente en sus relaciones de voltaje y corriente entre el primario y el secundario,
como también el estudio se extiende hacia el autotransformador.
4.2 VOLTAJE DE AUTOINDUCCIÓN EN UN INDUCTOR
LEY DE LA AUTOINDUCCIÓN DE JOSEPH HENRY- INDUCTANCIA PROPIA
Establece que el voltaje autoinducido en una bobina es proporcional a la razón del cambio en el flujo con
respecto al tiempo y el número N de vueltas de la bobina, luego, el voltaje de autoinducción para un inductor
d φ( t )
está dado por: VL ( t ) = N *
1
dt
A partir de la ley de la autoinducción de Joseph Henry, podremos expresar la derivada del flujo con respecto al
d φ( t )
d φ( t )
N
N d i( t )
=
2,o la relación entre el número de espiras y la reluctancia
=
3 .
tiempo
*
dt
ℜ dt
d i( t )
ℜ
Remplazando la ecuación 2 en la ecuación 1, resulta: VL ( t ) =
la última expresión, ésta quedará: VL ( t ) = N
d φ( t )
d i( t )
*
d i( t )
dt
N2 d i( t )
4. Remplazando la ecuación 3 en
*
ℜ
dt
5.
d φ( t )
N2
= N
= L , se le denomina INDUCTANCIA PROPIA, que representa el fenómeno
ℜ
d i( t )
de la AUTOINDUCCIÓN, la cual es una relación entre el flujo producido por el inductor y la corriente que lo
atraviesa, es de anotar, que en esta definición de relación está incluido el número de espiras y el tipo de núcleo
del inductor. También se le denomina inductancia a la capacidad de un dispositivo para almacenar energía en
forma de campo magnético. La unidad de la inductancia es el Henry (Henrrio), en honor al descubridor del
fenómeno de la autoinducción, Joseph Henry.
Remplazando la ecuación de la inductancia en la ecuación 4 o en la 5, resulta la ecuación que relaciona el
voltaje autoinducido y la corriente en el inductor, cuando éste es considerado como elemento pasivo.
d i L( t )
VL ( t ) = L
6 , cuyo símbolo es:
L(H) o N vueltas
dt
i(t)
A la expresión
v(t)
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ANALOGÍAS ENTRE LAS PRINCIPALES UNIDADES DEL CIRCUITO MAGNÉTICO Y LAS DEL CIRCUITO ELÉCTRICO
CIRCUITO ELÉCTRICO
CIRCUITO MAGNÉTICO
φ ( t ) Flujo magnético (weber)
i ( t ) Corriente (amp)
V( t ) Voltaje
Resistencia al paso de la
corriente ohmios Ω
R
G=
(volt)
1
Conductancia (siemens)
R
Ley de Ohm
V( t ) = R * i ( t )
i( t ) =
V( t )
R
N* i ( t ) Fuerza Magnetomotriz
( amp vuelta)
ℜ Reluctancia o resistencia al
amp vuelta
paso del flujo (
)
weber
1
Permeancia- conducción
P=
ℜ
Ley de la autoinducción de Henry
d i( t )
d φ( t )
= ℜ*
N*
dt
dt
NI
= NI P
N*I = ℜ*φ ; φ =
ℜ
La relación entre el flujo magnético Φ o la densidad de flujo β y la fuerza magnetomotriz N I para un inductor
está representada por la figura siguiente curva:
CURVA DE MAGNETIZACIÓN
saturación
Φ
β
Núcleo de material ferromagnético
Núcleo de aire
NI
Para una bobina arrollada sobre un núcleo cerrado, de longitud media lm , y de material ferromagnético en
donde el flujo magnético viene expresado por : Φ =
μr μo N iA
, la inductancia L de la bobina puede ser
lm
expresada por:
μrμo N i A
]
d φ( t )
μ μ N2 A
lm
μ N2 A N2
=N
=
=
= r o
= N2 P luego la inductancia de un inductor
L= N
di
lm
lm
ℜ
d i( t )
es una medida de la relación entre la corriente y el flujo del inductor ; es la razón de cambio del flujo con
respecto a la corriente por el número de vueltas del inductor ; es un parámetro de la bobina que depende de la
permeabilidad del material y del área de la sección transversal del núcleo , como también de la longitud media
del núcleo cerrado de la bobina ; o depende del número de vueltas y la reluctancia del núcleo, o del número de
vueltas y la permeancia del núcleo.
d[
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4.3 INDUCTANCIA MUTUA
La figura a continuación representa una descripción esquemática de los flujos magnéticos que se presentan en
bobinas o inductancias, localizadas muy cerca una de la otra, cuando éstas están siendo atravesadas por una
corriente eléctrica
Φ21
Φi2
i1
i2
1
2
Φi1
Φ12
Las componentes de los flujos son las siguientes:
Φ11 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 1 i1
Este flujo se presenta en dos formas, a saber: Φ11 = Φi 1 + Φ21
Φi 1 Flujo en la bobina 1 que no alcanza la bobina 2
Φ21 Flujo en la bobina 1 que alcanza la bobina 2 o el flujo en la bobina 2
producido por la corriente en la bobina 1, i1
Φ22 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 2 i2
Este flujo se presenta en dos formas, a saber: Φ22 = Φi 2 + Φ12
Φi 2 Flujo en la bobina 2 que no alcanza la bobina 1
Φ12 Flujo en la bobina 2 que alcanza la bobina 1 o el flujo en la bobina 1
producido por la corriente en la bobina 2, i2
Φ1 Flujo total en la bobina 1 ; Φ1 = Φ11 ± Φ12
En donde el flujo total en la bobina 1, es el flujo propio producido por la corriente i1,
más o menos, el flujo que alcanza la bobina 1 y producido por la bobina 2. El más o
menos depende de si los flujos tienen igual o dirección contraria.
Φ2 Flujo total en la bobina 2; Φ2 = Φ22 ± Φ21
En donde el flujo total en la bobina 2es el flujo propio producido por la corriente i2,
más o menos, el flujo que alcanza la bobina 2 y producido por la bobina 1
4.4 LEY DE LA INDUCCIÓN DE MICHAEL FARADAY
Establece que, el voltaje inducido en una bobina es proporcional a la razón de cambio del flujo con respecto al
tiempo y el número de vueltas N de la bobina.
N vueltas
dφ
v(t) = - N
( El signo es debido a la ley de LENZ)
dt
v(t)
De acuerdo con la ley de faraday, sin considerar la ley de Lenz; el voltaje inducido en la bobina 1 estará
expresado por:
dφ
dφ
dφ
v1(t) = N1 1 = N1 11 ± N1 12 (A)
dt
dt
dt
El voltaje inducido en la bobina 2 estará expresado por:
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dφ 2
dφ 22
dφ 21
= N2
± N2
(B)
dt
dt
dt
De la teoría del electromagnetismo se conoce que, el flujo en la bobina 1 producido por la propia corriente i1, es
Φ12 = N2 i2 P12, en
Φ11 = N1 i1 P11 y el flujo en la bobina 1 producido por la corriente de la bobina 2 i2, es
donde, las Ps son constantes (Permeancias) que dependen de la trayectorias magnéticas tomadas por las
componentes del flujo. Luego, la ecuación de voltaje para la bobina 1 se puede escribir como:
d (N 1 i1 P11 )
d (N 2 i2 P12 )
di
di
v1(t) = N1
± N1
= N12 P11 1 ± N1 N2 P12 2
dt
dt
dt
dt
De igual forma las componentes del flujo en la bobina 2 se pueden escribir como:
Φ22 = N2 i2 P22 y Φ21 = N1 i1 P21, por lo tanto, la ecuación de voltaje en la bobina 2 es:
v2(t) = N2
v2(t) = N2
d (N 2 i2 P22 )
d (N 1 i1 P21 )
d i2
di
± N2
= N22 P22
± N1 N2 P21 1
dt
dt
dt
dt
A las constantes N12 P11 = L11, y N22 P22 = L22, se les da el nombre de AUTOINDUCTANCIA, o sea la misma L
que hemos utilizado hasta ahora, y se refiere a la inducción de voltaje por la propia corriente de la bobina.
A las constantes N1 N2 P12 = L12, y N1 N2 P21 = L21, se les da el nombre de INDUCTANCIA MUTUA, y se
refiere a la inducción de voltaje debido a la otra bobina, este voltaje inducido puede aumentar o disminuir el
voltaje autoinducido según la dirección de los flujos, de ahí los signos que le preceden.
Las ecuaciones de voltaje de las bobinas quedarán:
v1(t) = L11 d i1 ± L12 d i2
y
v2(t) = L22 d i2 ± L21 d i1
dt
dt
dt
dt
Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces P12 = P21. De aquí, L12 = L21 = M
(inductancia Mutua) y por conveniencia L1 = L11 , L2 = L22. Por lo tanto, las ecuaciones de voltaje se pueden
escribir como:
v1(t) = L1 d i1 ± M d i2 ©
y
v2(t) = L2 d i2 ± M d i1 (D)
dt
dt
dt
dt
Con relación a la expresión anterior, al voltaje v1(t) se le da el nombre de voltaje inducido en la bobina 1 y está
compuesto por dos voltajes, a saber:
di
A) L1 1 , es el voltaje inducido por la inductancia propia, o voltaje de autoinducción
dt
di
B) M 2 , es el voltaje inducido por la inductancia mutua, o el voltaje debido a la presencia de la bobina 2
dt
La ecuación 1 puede ser reescrita de la forma siguiente:
dφ
dφ d i
v1(t) = N1 1 = N1 1 1
dt
d i1 dt
De la comparación de las ecuaciones C y D, las cuales presentan expresiones para el voltaje v1(t), podremos
dφ 1
obtener otra expresión para la inductancia de la bobina 1, esto es: L1 = N12 P11 = N1
, por tanto, la
d i1
inductancia de una bobina no es más que la relación entre el flujo que produce y la corriente que transporta; es
igual a la razón de cambio del flujo producido con respecto a la corriente que lo produce multiplicada por el
número de vueltas de la bobina.
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4.5 CONVENCIÓN DE PUNTOS
Para determinar el signo que se utiliza en el voltaje inducido por inductancia mutua, se considera la dirección de
los flujos magnéticos, si los flujos están en la misma dirección el signo del voltaje inducido por inductancia
mutua debe ser el mismo del voltaje autoinducido, si los flujos están en dirección contraria el signo del voltaje
por inductancia mutua debe ser contrario al del voltaje autoinducido.
A continuación se presenta un dibujo de las bobinas, en donde se indican los casos de igual o contraria dirección
de los flujos.
i1
•
•
i1
i2
Los flujos están en igual dirección
•
•
i2
Los flujos están en dirección contraria
Como en los esquemas eléctricos no se puede conocer la dirección de los flujos, al igual que el dibujo eléctrico
de las bobinas o inductancias anterior, se utiliza la convención de los puntos para indicar si los flujos están en la
misma o dirección contraria. Utilizando la convención de los puntos, el dibujo eléctrico anterior se puede
reemplazar por el siguiente esquema eléctrico.
i1
i2
i1
i2
M
M
+
V1(t)
•
L1
_
•
L2
+
V2(t)
_
Los flujos están en igual dirección
+
V1(t)
_
•
L1
•
L2
+
V2(t)
_
Los flujos están en dirección contraria
Para utilizar la convención de los signos se colocan puntos en un terminal de cada bobina, de modo que si las
corrientes entran o salen de ambos terminales con puntos los flujos producidos por esas corrientes están en igual
dirección, si una de las corrientes entra por un terminal con punto la otra sale por un terminal con punto los
flujos producidos por esas corrientes estarán en dirección contraria.
Los signos para los voltajes autoinducidos depende de la convención de signos pasivos o activos que se utilice,
y los signos para los voltajes inducidos por inductancia mutua dependen de los autoinducidos y de la
convención de los puntos.
Convención de puntos:
Si los flujos están en igual dirección, el signo del voltaje inducido por inductancia mutua es igual al signo del
voltaje por autoinducción (Inductancia Propia), si los flujos están en dirección contraria, entonces los signos de
los voltajes son contrarios.
EJEMPLO n° 1:
Escribir las ecuaciones de voltaje para el par de bobinas siguientes:
i1
+
V1(t)
_
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•
L1
DESARROLLO:
i2
M
•
L2
+
V2(t)
_
Se asigna un sentido arbitrario al voltaje inducido de las inductancias.
1°.Método, se asigna el voltaje inducido de la bobina 1 con el sentido
positivo hacia el punto, o sea,
se considera a la bobina 1 como elemento pasivo
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Aplicando LVK al lazo del lado izquierdo, tendremos: V1(t) - VL1 = 0 ;
V1(t) = VL1
La polaridad del voltaje inducido en la bobina y la dirección de a corriente indica
i1
que se ha considerado a la bobina como elemento pasivo, luego, el voltaje
+
•
autoinducido es el positivo e VL1, como los flujos están en igual dirección porque
L1
V1(t)
las corrientes entran por los terminales con puntos, el voltaje inducido por la
VL1
_
inductancia mutua también será positivo, o sea,
VL1 =
d i1
d i2
L1
+M
y finalmente el voltaje aplicado se puede escribir
dt
dt
di
di
como V1(t) = L 1 1 + M 2
dt
dt
2°.Método, se asigna el voltaje inducido de la bobina 1 con el sentido positivo hacia el terminal sin punto, o sea,
se considera a la bobina 1 como elemento activo.
V1(t) = - VL1
Aplicando LVK al lazo del lado izquierdo, tendremos: V1(t) + VL1 = 0 ;
La polaridad del voltaje inducido en la bobina y la dirección de la corriente indica
i1
que se ha considerado a la bobina como elemento activo, luego, el voltaje
autoinducido es el negativo de VL1, como los flujos están en igual dirección porque las
+
•
corrientes entran por los terminales con puntos, el voltaje inducido por inductancia
L1
V1(t)
VL1
di
di
_
mutua también será negativo, o sea VL1 = − L1 1 - M 2 y
dt
dt
d i1
d i2
+M
finalmente el voltaje aplicado se puede escribir como: V1(t) = L 1
dt
dt
Del último resultado se puede observar que cualquiera que sea la asignación en la polaridad del voltaje inducido,
la relación entre el voltaje aplicado y los voltajes inducidos es la misma.
Con relación a la bobina 2, se asigna el voltaje inducido de tal forma que el positivo sea el terminal con punto.
Aplicando LVK al lazo del lado izquierdo, tendremos: V2(t) - VL2 = 0 y
i2
V2(t) = VL2 . La polaridad del voltaje inducido en la bobina y la dirección de
la corriente indica que se ha considerado a la bobina como elemento pasivo, luego,
•
+
el voltaje autoinducido es el positivo de VL1, como los flujos están en igual
VL2
V2(t)
L2
dirección porque las corrientes entran por los terminales con puntos, el voltaje
_
inducido por inductancia mutua también será positivo, o sea,
di
di
d i2
d i1
+M
y finalmente el voltaje aplicado se puede escribir como V2(t) = L 2 2 + M 1
VL2 = L 2
dt
dt
dt
dt
4.6 ECUACIONES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Si para el circuito del ejemplo anterior, los voltajes que se aplican son fuentes senoidales, estos voltajes pueden
ser representados por: V1(t) = V1m ej θ1 ej w t = V1 ej θ1 ;
V2(t) = V2m ej θ2 ej w t = V2 ej θ2 y los resultados de las corrientes como: i1(t) = I1 ej θi1 ;
i2(t) = I2 ej θi2, entonces las ecuaciones anteriores presentadas en el dominio del tiempo pueden presentarse en el
dominio de la frecuencia como hasta ahora se han presentado, esto es: V1 = j w L1 I1 + j w M I2 y V2 = j
w L2 I2 + j w M I1
EJEMPLO n° 2:
Escriba las ecuaciones de malla en forma estándar para el circuito de la figura siguiente:
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L1
L2
M
•
•
VL1
i1
VL2
i2
VR2
R2
I1
R1
V1
VR1
I2
R3
VR3
i3
Aplicando LCK al nodo superior, tendremos: (A)
Aplicando LVK a la malla 1, tendremos:
-I1 R1-(jwL1 I1- jwM I2) – R2 (I1- I2) – V1 = 0
-V1 = ( R1 + R2 + jwL1) I1 – (R2 + jwM) I2
Aplicando LVK a la malla 2, tendremos:
V1 + R2 (I1- I2) – (jwL2 I2 – jwM I1) – R3 I2 = 0
V1 = (- R2 – jwM) I1 + (R2 + R3 + jwL2) I2
De igual forma las ecuaciones se pueden
presentar en términos de las corrientes de rama
i1, i2 , i3. para ello los voltajes de las
inductancias quedarán:
VL1 = j w L1 i1- j w M i2 y
VL2 = j w L2 i2- j w M i1
i1 = i2 + i3
Aplicando LVK a la malla 1, tendremos: VR1 + VL1 + VR2 + V1 = 0, que reemplazando por las corrientes
quedará: i1R1+ j w L1 i1- j w M i2 + i3 R2 + V1 = 0 , cuyo resultado después de simplificarla es: (B)
i1 ( R1+ j w L1 ) - j w M i2 + i3 R2 = -V1
Aplicando LVK a la malla 1, tendremos: V1 + VR2 - VL2 - VR3 = 0, que reemplazando por las corrientes quedará:
V1 + i3R2 - j w L2 i2 + j w M i1 - i2 R3 + = 0 , cuyo resultado después de simplificarla es: (C)
j w M i1 - ( R3+ j w L2 ) i2 + R2 i3 = -V1
4.7 ANÁLISIS DE ENERGÍA
Para el circuito de las dos bobinas acopladas magnéticamente, presentado en el ejemplo n° 1, se puede obtener
una expresión para la energía almacenada en función del tiempo, esta es:
2
2
+ 12 L22 i2(t)
± M i1(t) i2(t) , en donde el signo de la inductancia mutua depende de si los flujos
W(t) = 12 L21 i1(t)
están en igual o contraria dirección.
Si a la expresión anterior se le suma y se le resta el término
W(t) =
1
2
(L1 -
(
1 M2
L2
2
2
) i1(t)
, podremos reagrupar la expresión a:
M
M2 2
) i1(t) + 12 L 2 (i2(t) +
i1(t) ) 2 . De la expresión se encuentra que para que la energía instantánea no
L2
L2
sea negativa se requiere que: M ≤
mutua, que es
L1 L 2 , luego existe un límite superior para el valor de la inductancia
L1 L 2
Por lo anterior se define un coeficiente de acoplamiento entre las dos bobinas K =
M
y cuyo valor oscila
L1 L 2
entre 0 ≤ K ≤ 1
El coeficiente de acoplamiento es un indicador de la cantidad de flujo en una bobina que está ligado con la otra
bobina, o sea, que si todo el flujo de una bobina alcanza a la otra bobina, entonces se encuentra el 100% de
acoplamiento ( K = 1.0, caso del transformador ideal ). Para bobinas que estén fuertemente acopladas,
K≥
0.5. Para bobinas en donde no exista influencia mutua, K = 0, o sea, solo existe el fenómeno de la autoinducción
( L, inductancia propia)
Para la simulación de los circuitos eléctricos en Pspice, la información sobre la inductancia mutua se ingresa con
el coeficiente de acoplamiento K.
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EJEMPLO N° 3:
Para el circuito que se muestra en la figura siguiente, las bobinas tienen un coeficiente de acoplamiento K = 1.
Determinar la energía almacenada en las bobinas acopladas mutuamente en t = 5 ms, L1 = 2.653 mh, L2 = 10.61
mh, v(t) = 24Cos(377 t) Voltios.
2Ω
i1
24 ∟0°
•
•
L1
i2
4Ω
L2
Malla 1, 24 ∟0° = 2 I1 + j 1 I1 – j 2 I2
w = 377 ; j w L1 = j 1; j w L2 = j 4
M = K L1 L 2 = 5.305x 10- 3
jwM= j2
Aplicando LVK a cada una de las mallas,
se tiene :
24 ∟0° = ( 2 + j ) I1 – j 2 I2
0 = - j 2 I1 + ( 4 + j 4 ) I2
Malla 2, j 4 I2 – j 2 I1 + 4 I2 = 0
Desarrollando simultáneamente las ecuaciones, encontramos los resultados siguientes:
I1 = 9.40 ∟-11.26° ; I2 = 3.34 ∟33.74° , luego las ecuaciones en el dominio del tiempo serán:
i1(t) = 9.4Cos(377 t – 11.26°) = 9.4Cos(377 t – 0.196rad) ; i1(5ms) = - 1.1 A
i2(t) = 3.34Cos(377 t + 33.74°) = 3.34Cos(377 t + 0.588rad) ; i2(5ms) = - 2.62 A
W(5 ms) = 22.5 mj
W(5 ms) = 12 (2.653x10 - 3 )(- 1.1) 2 + 12 (10.6x10 - 3 )(- 2,62) 2 - 5.305x10 - 3 (-1.1)(-2.62)
4.8 EL TRANSFORMADOR IDEAL
Una aplicación de dos bobinas acopladas magnéticamente es el transformador ideal. El transformador ideal lo
conforman dos bobinas de alambre enrolladas en un solo núcleo magnético cerrado, como el dibujado en la
figura siguiente, en donde no se le consideran las pérdidas en la transferencia de la energía,
i1
+
v1
-
Φ1
•
•
N1
N2
Φ2
v1(t) = N1
v1(t) = N1
i2
+
v2
-
El núcleo magnético concentra el flujo de manera tal que todo el
flujo atraviesa las espiras de las dos bobinas, por lo anterior,
Φ1 = Φ2 = Φ, en donde Φ1 es el flujo total en la bobina 1,incluida la
inductancia mutua, Φ2 es el flujo total en la bobina 2, incluida
la inductancia mutua y Φ es el flujo del transformador.
Bajo estas condiciones, las ecuaciones de los voltajes
presentados se pueden escribir como:
dφΦ11 = Φ2 = Φ
dφ 2
y v2(t) = N2
, las cuales se pueden convertir a:
dt
dt
dφ
dφ
y v2(t) = N2
, determinando la relación de los voltajes, tendremos:
dt
dt
v1(t)
v 2(t)
N1
, en donde la relación de los voltajes es directamente proporcional a la relación de las espiras, la relación
N2
es positiva cuando en la polaridad de los voltajes asignados tienen los positivos en los terminales con puntos,
como en este caso, o cuando en la polaridad de los voltajes asignados tienen los positivos en los terminales sin
puntos. La relación será negativa si la polaridad de los voltajes asignados no cumplen con la condición anterior.
A continuación se dibuja el esquema eléctrico o circuito equivalente del transformador ideal con núcleo de
material ferromagnético analizado anteriormente y a partir de éste, se determina la relación entre las corrientes
del transformador.
De la teoría del campo electromagnético, Ley de Ampere, que se escribe en
K=1
i1
i2
forma matemática como: ∫ H * dl = iencerrada , puede ser aplicada al circuito
+
•
•
+
magnético del transformador, en donde H es la intensidad de campo
V1(t)
V2(t)
_
_
=
24/01/10
N1
N2
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magnético y la integral está sobre la trayectoria cerrada recorrida por el flujo
alrededor del núcleo del transformador.
Aplicando la ley de ampere a la trayectoria cerrada del flujo magnético en el transformador, tendremos:
∫ H * dl = iencerrada = N1 i1 + N2 i2 = 0, ya que, para el material del núcleo ideal, μ = ∞ , H = 0, luego la
relación para las corrientes en este caso es
i1(t)
i2(t)
=-
N2
, en donde La relación de las corrientes es inversamente
N1
proporcional a la relación de las espiras.
La relación es negativa cuando la dirección de las corrientes asignadas entran a los terminales con puntos, como
en este caso, o cuando la dirección de las corrientes salen de los terminales con puntos. La relación será
negativa si la dirección de las corrientes asignadas no cumplen con la condición anterior.
4.8.1 RELACIONES ENTRE VOLTAJES, CORRIENTES E IMPEDANCIAS PARA UN TRANSFORMADOR IDEAL
A continuación se presenta un transformador ideal con núcleo de hierro, en donde la entrada es el voltaje
aplicado a la bobina N1(recibe el nombre de primario), y la salida es la bobina N2 ( recibe el nombre de
secundario), donde se induce un voltaje, la cual es aplicado a la carga conectada.
N
V1
= 1
N2
V2
•
•
N
I
ZL
La relación para los fasores de corriente quedará: 1 = 2
v1(t)
v2(t)
I2
N1
La potencia de salida del transformador quedará definida por:
N1
N2
N2
N
S2 = V2 I2* =
V1 ( 1 I1)* = V1 I1 = S1, luego la potencia de salida es
N1
N2
igual a la potencia de entrada, lo que significa que el transformador ideal no tiene pérdidas de energía.
N2
N
N V1
V2
De la figura encontramos: ZL = Z2 =
= N11
= ( 2 )2 Z1, por lo tanto, la relación entre las impedancias
N1
I2
N I1
i1(t)
i2(t)
La relación para los fasores de voltaje quedará:
2
N
del primario y el secundario será: Z2 = [ 2 ]2 Z1
N1
N2
, las relaciones entre el primario y el secundario
N1
I1
Z1
V1
1
1
quedarán definidas por: S1 = S2
;
= n
;
;
= 2
=
n
I2
Z2 n
V2
N1
NOTA . Algunos autores presentan a la relación de espiras como: a =
, por lo tanto, las expresiones
N2
I2
V2
Z2 1
1
anteriores cambian por su inverso: S1 = S2 ;
=a ;
;
=
=
I1
V1
a
Z1 a 2
Si a la razón entre las espiras la denominamos por n =
EJEMPLO N° 4:
Para el circuito de la figura siguiente, determine las corrientes y voltajes indicados.
18 Ω
I1
I2
2Ω
•
120 ∟0°
-j4Ω
V1
•
V2
j1Ω
N1 = 4 N2 = 1
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De acuerdo con la convención de los signos, los voltajes y las corrientes tendrán las relaciones siguientes:
N
V
V1
1
= - 1 = ;
V1 = - 2
Voltajes:
N2
V2
n
n
N
I
Corrientes: 1 = - 2 = - n
;
I1 = - n I2
N1
I2
Relación de espiras: n = 14 ; a = 4
La impedancia de carga o del secundario es: ZL = Z2 = 2 + j 1
Z
2 + j1
La impedancia del secundario reflejada en el primario es: Z1 = 22 = 1 = 32 + 16 j = 35.77 ∟26.56°
n
16
Por lo tanto el circuito primario quedará:
De la figura podremos obtener I1
18 Ω
I1
120 ⊥ 0°
I1 =
= 2.33 ⊥ -13.44° . Por lo tanto, sí
V1 =
18 − j 4 + 32 + 16 j
V1 Z1
I1 Z1, entonces, V1 = 2.33 ∟-13.44° 35.77 ∟26.56° ;
V1 =
120 ∟0°
-j4Ω
83.34 ∟13.06°
A partir de las condiciones del primario, podremos determinar las del
secundario, luego el voltaje será: V2 = - n V1 = - 14 83.34 ∟13.06°
V2 = - 20.83 ∟13.06° = 20.83 ∟-166.94° y de acuerdo con el circuito secundario la corriente será:
V2
20.83 ⊥ -166.94°
I2 2 Ω
=
I2 =
= 9.315 ∟166.5°
2 + j1
2.236 ⊥ 26.56°
I
2.33 ⊥ -13.44°
j1Ω
= 9.32∟166.5°
Por otro lado, I2 = - 1 =
V2
1
n
4
•
4.8.2 TÉCNICAS PARA SIMPLIFICAR LOS CIRCUITOS QUE CONTIENEN EL TRANSFORMADOR IDEAL
La técnica principal consiste en convertir el circuito eléctrico del primario, el circuito magnético del
transformador y el circuito eléctrico del secundario en un solo circuito eléctrico, para lo anterior, se refleja el
circuito eléctrico del primario en el secundario o el circuito eléctrico del secundario en el primario.
En la figura a continuación se presenta un transformador ideal que tiene conectado tanto en el primario como en
el secundario una fuente de tensión y una impedancia.
I2 2
Z1
1 I1
Z2
•
VS1
•
V1
V2
1´
VS2
2´
1 : n
Las ecuaciones para el transformador de acuerdo con la dirección de las corrientes, polaridad de los voltajes y la
V
posición de los puntos son: I 1 = n I 2
;
V1 = 2
n
4.8.2.1 PRIMARIO REFLEJADO EN EL SECUNDARIO
Para reflejar el primario en el secundario, determinamos el equivalente de Thevenin en los terminales 2-2´y el
circuito equivalente estará conformado por el equivalente la impedancia Z2 y la fuente independiente de voltaje
VS2
El equivalente de Thévenin en los terminales 2 – 2´ se puede determinar a partir del circuito siguiente:
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Z1
1 I1
•
V1
VS1
1´
Zthv =
I2
Como el secundario está abierto, I2 = 0, entonces, I1 = 0, el
voltaje a través de la impedancia es igual a cero y
V1 =
VS1 por lo tanto, Vthv = V2 = n VS1
Para determinar la impedancia equivalente de Thevenin, se
determina la corriente de corto circuito en los
terminales 2 - 2´ , por lo tanto,
2
•
V2
Vthv
2´
Vthv n V1 n V1 n 12 V: 1 n 2
=
=
=
= n Z1 , luego el circuito eléctrico equivalente en el secundario
I1
I cc
I2
I1
n
quedará:
I2
n2 Z1
Z2
2
V2
n VS1
VS2
2´
NOTA: Cuando se utiliza la relación de espiras a, las formulas anteriores cambiarán por su inverso.
4.8.2.2 SECUNDARIO REFLEJADO EN EL PRIMARIO
Para reflejar el secundario en el primario, determinamos el equivalente de Thévenin en los terminales 1-1´y el
circuito equivalente estará conformado por el equivalente, la impedancia Z1 y la fuente independiente de voltaje
VS1
I2 2
El equivalente de Thévenin en los terminales 1 – 1´ se puede
1 I1
Z2
determinar a partir del circuito siguiente:
•
•
Utilizando un procedimiento similar al anterior, se puede
V1
V2
Vthev
VS2 determinar el voltaje y la impedancia de Thévenin,
V
Z
1´
2´
resultando: Vthev = S2 ; Zthev = 22
n
n
1 : n
Por lo tanto, el circuito eléctrico equivalente en el primario quedará:
Z1
I1
Z2/n2
1
V1
VS1
VS2/n
1´
NOTA: Cuando se utiliza la relación de espiras a
, las formulas anteriores cambiarán por su inverso.
CONCLUSIONES:
Cuando se desarrolla un circuito equivalente para el transformador en el secundario, cada voltaje primario se
multiplica por n, cada corriente primaria se divide entre n y cada impedancia primaria se multiplica por n2.
Cuando se desarrolla un circuito equivalente para el transformador en el primario, cada voltaje secundario se
divide entre n, cada corriente en le secundario se multiplica por n y cada impedancia en el secundario se divide
entre n2.
Si uno de los puntos en la bobina se invierte, entonces n se reemplaza por – n en los circuitos equivalentes.
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Si existe cualquier conexión externa entre el primario y el secundario la técnica del circuito equivalente no
puede usarse.
EJEMPLO N° 5:
Determine los voltajes y corrientes indicadas en el circuito eléctrico siguiente:
2–j2
2Ω
I1
I2
•
V1
V2
36 ∠0°
12 ∠0°
•
1 : 2
De acuerdo con la convención de los puntos, las polaridades de los voltajes y las direcciones de las corrientes,
las relaciones entre el primario y secundario serán: V2 = - n V1 ; I1 = - n I2 ; n = 2
Determinando el circuito equivalente en el secundario, de acuerdo con el proceso anteriormente indicado, el
esquema quedará:
I2
2Ω
8–j8
72 ∠0°
12 ∠0°
V2
Como la relación de los voltajes es negativa, la polaridad en la fuente equivalente de voltaje se invierte.
Aplicando LVK a la malla externa, tendremos: 72 ⊥0° + 12 ⊥0° + 2 I2 +(8-j8) I2 = 0, de donde,
= 6.56 ⊥ - 141.34°
Aplicando LVK a la malla interna, tendremos: V2 – 2 I2 – 12 ⊥0° = 0, de donde,
V2 = 8.37 ⊥- 77.87°
Con base en la relación de las corrientes encontradas: I1 = - n I2 , luego,
I1 = 13.12 ⊥38.66°
Con base en la relación de los voltajes encontrados: V2 = - n V1 , luego,
V1 = 4.185 ⊥102.15°
I2
EJEMPLO N° 6:
En el esquema de la figura siguiente, la fuente Ve suministra energía a una carga compuesta por una resistencia
de 10 Ω y una impedancia ZL a través de un transformador ideal de 1000 VA, 100 /200 v. Las características
del transformador y las condiciones de la carga están indicadas sobre la figura. ZL es una impedancia la cual
consume 500 w, con FP = 0.85 en atraso y VL = 120 ∟ 0° v, RMS
Determine la potencia aparente, activa y reactiva entregada por la fuente Ve
Características del transformador:
Potencia aparente: 1000 VA
I1
I2
10 Ω
Relación de espiras:
•
•
N p 100 v 1
V
V
=
a
=
= = 0.5
1
2
Ve
ZL 120 ∟0° v
N s 200 v 2
VL
Características de la carga:
IL
Resistencia = 10 Ω
1 : 2
Impedancia Z ; Características:
L
P = 500 w ; FP = 0.85 en atraso
Voltaje VL = 120 ∟0° v, RMS
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SOLUCIÓN
Características de ZL :
Cos ( θ ) = 0.85 ; θ = 31.78° ; P = 500 w ; Q = 500 tan(31.78°) = 309.79 VARL
S=
(500 2 + 309.7 2 ) ∟31.78° = 588.23 ∟31.78° VA = 500 + j 309.79 VA
VL = 120 ∟0° v, RMS , S = VL x IL* , IL* =
ZL =
588.23 ∠ 31.780
120 ∠ 0 0
= 4.901 ∟31.78° A
VL
120 ∠ 0 0
= 4.901
= 24.48 ∟31.78° = 20.80 + j 12.89
∠-31.780
IL
Requiv = 20.80 Ω , Xequiv = 12.89 Ω ; Lequiv =
12.89 Ω
w ( rad seg )
Henrry
= 0.0342 H
Corriente de la carga : IL = 4.901 ∟-31.78° A
Corriente en el secundario del transformador : Is = 4.901 ∟-31.78° A
Voltaje a través de la resistencia de 10 Ω : VR = 10 ∟0° x 4.901 ∟-31.78°
VR = 49.01 ∟-31.78° v
Voltaje en el secundario del transformador :Vs = 120 ∟0° + 49.01 ∟-31.78° Vs = 163.70 ∟-9.07° v
Voltaje en el primario del transformador :Vp = a x Vs = 0.5 x 163.70 ∟-9.07° Vp = 81.85 ∟-9.07° v
I
Corriente en el primario del transformador : Ip = s = 2 x 4.901 ∟-31.78°
Ip = 9.802 ∟-31.78° A
a
Corriente en la fuente : Ie = Ip = 9.802 ∟-31.78° A
Voltaje de la fuente : Ve = Vp = 81.85 ∟-9.07° v
Potencia entregada por la fuente : Se = Ve x Ie*
Se = 81.85 ∟-9.07° x 9.802 ∟31.78° = 802.29 ∟22.71° = 740 + j 309.7 VA
Potencia aparente = 802.29 VA , Factor de potencia = 0.92 en atraso
Potencia activa = 740 w , Potencia reactiva = 309.7 VARL
Potencia de entrada al transformador: Sp = Vp x Ip*
Como el devanado primario del transformador está en paralelo con la fuente, la potencia entregada por la
fuente es igual a la potencia del primario o de entrada al transformador
Potencia de salida del transformador: Ss = Vs x Is*
Se = 163.70 ∟-9.07° x 4.901 ∟31.78° = 802.29 ∟22.71° = 740 + j 309.7 VA
Potencia aparente = 802.29 VA , Factor de potencia = 0.92 en atraso
Potencia activa = 740 w , Potencia reactiva = 309.7 VARL
Potencia de la carga:
Potencia de la resistencia de 10 Ω : PR = ( Is )2 x R = (4.901 )2 x 10 = 240.19 w
Potencia de la impedancia: (condiciones del problema )
Potencia activa : PZL = 500 w ; Potencia reactiva : QZL = 309.79 VARL ,
Potencia aparente : SZL = 588.23 VA ; Factor de potencia = 0.85 en atraso
Potencia total de la carga:
Potencia activa : Pcarga = 240.19 + 500 = 740.19 w
Potencia reactiva : Qcarga = 309.79 VARL
.19
Potencia aparente : Scarga = (740.19 2 + 309.79 2 ) ∟tan-1( 309
740.19 ) = 802.4 ∟22.67°
Potencia aparente : 802.4 VA ; Factor de potencia : Cos(22.67) = 0.92 en atraso
OBSERVACIONES:
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De los datos anteriormente obtenidos se puede inferir que el transformador es ideal por que en la transferencia
de la energía no se han considerado las pérdidas, esto es, la potencia de entrada al transformador es igual a la
potencia de salida del transformador y ésta es igual a la potencia absorbida por la carga.
La potencia aparente nominal del transformador es de 1000 VA y la potencia aparente de trabajo del
transformador es de 802.4 VA , lo que significa que el transformador transferirá energía con un valor de potencia
por debajo de las condiciones nominales y no se expondrá a que sus características de diseño sean deterioradas.
4.9 EL AUTOTRANSFORMADOR
Si al transformador ideal se le interconecta un terminal del secundario con un terminal del primario, constituye
el dispositivo llamado AUTOTRANSFORMADOR, por lo tanto, la transferencia de energía del primario al
secundario se hace a través del campo magnético y por conducción eléctrica.
En un transformador conectado como autotransformador, se pueden transferir potencias mas elevadas que la
potencia nominal del transformador.
El auto transformador también es utilizado para diferentes voltajes de salida dependiendo de la conexión que se
utilice como autotransformador.
i1
Φ1
•
•
+
+
X
i2
N2
v1 N1
-
ve
•
+
v2
-
Entrada
Φ2
-
Y
N1
Salida •
N2
Z
Φ1 = Φ2 = Φ
A continuación se presenta el circuito eléctrico de las dos posibilidades de conexión del autotransformador.
Polaridad Aditiva
Polaridad Sustractiva
X
+
X
+
•
I1
V1
ve
N1
V1
•
V2
•
I1
I2
Y
+
ve
I2
vS
N2
-
-
Z
Z
N1
V2
vS
N2
•
-
Y
+
-
Z
Z
Otras combinaciones permiten encontrar diferentes voltajes a la entrada y por ende a la salida, el primario
puede estar sobre una sola bobina y la salida sobre las dos bobinas, pero cualquiera que sea la combinación no
se encuentra sino dos clases de polaridades, la aditiva y la sustractiva, o sea, cuando los flujos están en igual o
dirección contraria respectivamente.
4.9.1 RELACIÓN DE VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UN AUTOTRANSFORMADOR
X
+
•
I1
V1
ve
Z
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N1
•
V2
-
Para el autotransformador con polaridad aditiva podremos
encontrar las relaciones de voltaje, corriente y potencia
siguientes:
Potencia de entrada = ve I1*
I2
N2
IZY
Y
+
CARGA
Potencia de salida
vS
= v2 I2*
La relación de las espiras quedará n =
N2
N1
-
Z
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De acuerdo con la convención de los puntos las relaciones quedarán:
V1
V
I
N
I
1
1
=
d) 1 =
y b) 1 = 2 = n ; c) 1 = a ;
V2
V2
n
I ZY
N1
I ZY
a
IZY = I2 – I1 e)
Aplicando LCK al nodo del centro, tendremos: I1 + IZY = I2 , o,
Reemplazando la ecuación e) en la b y despejando la corriente I1 en función de I2, ésta quedará:
, por otro lado, aplicando LVK a la malla de entrada, tendremos la ecuación: f) ve = V1 + V2
n
I1 =
I2
. Reemplazando la ecuación a en f y despejando el voltaje de salida en función del voltaje de
1+ n
entrada, éste quedará:
, y despejando el voltaje
n
V2 =
ve
1+ n
V1 en función del voltaje de entrada, éste quedará:
1
V1 =
ve
1+ n
a)
4.9.2 RELACIÓN DE POTENCIAS PARA UN AUTOTRANSFORMADOR
La potencia del transformador es aquella para la cual se diseñaron las bobinas del transformador y los valores de
voltaje y corriente correspondientes no se pueden exceder porque se corre el riesgo de afectar su devanado. La
potencia de entrada y de salida del dispositivo es la potencia que maneja el autotransformador y que en la
mayoría de los casos es mayor que la potencia del transformador, razón por la cual se conecta un transformador
como autotransformador.
Para el autotransformador del ejemplo inmediatamente anterior se pueden determinar las potencias siguientes:
Potencia del transformador: ST = V1 x I1* = V2 x IZY* , el cual al reemplazar la ecuación c, la potencia quedará:
⎛ 1 ⎞
*
ST = V1 x I1* = ⎜
⎟ V2 x I2
1
+
n
⎝
⎠
Potencia de entrada al autotransformador: Se = ve x I1* = ( n + 1) V1 x I1*
Potencia de salida del autotransformador: Ss = vs x I2* = V2 x I2* = ( n + 1) V1 x I1*
COMPARACIÓN DE LAS POTENCIAS
Ss = V2 x I2* = ( n + 1) V1 x I1* = ( n + 1) ST , lo que significa que la potencia de salida del autotransformador
puede ser (1 + n) veces la potencia del transformador o la potencia de los devanados.
Se = ( n + 1) V1 x I1* = ( n + 1) ST , lo que significa que la potencia de entrada del autotransformador puede ser
(1 + n) veces la potencia del transformador o la potencia de los devanados.
EJEMPLO N° 5:
Un transformador de dos devanados de 36 KvA, 14 400/3 600 v, se conecta como autotransformador para
suministrar 18 000 v a una carga de 180 KVA con un factor de potencia de 0.819 en atraso. Dibuje el esquema
eléctrico y obtenga todos los voltajes y corrientes correspondientes que se dan en el autotransformador.
Y
•
V2
X
+
ve
-
Z
I2
+
DATOS DEL PROBLEMA
vS
SS = 180 KVA , FP = 0.819 en atraso, θ = 35°
P = 147.44 Kw , QL = 103.24 KVAR
VS = 18 000 ∟0° v
IS = I2 = 10.0 ∟- 35° A
N2
•
I1
V1
IZY
CARGA
FP = 0.819
N1
-
Requiv = 1474.5Ω ; Lequiv = 2.7385 h
Z
Primera alternativa de conexión:
N1 = 14 400 espiras; N2 = 3 600 espiras; n = 0.25 ; a = 4
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Determinación del voltaje de entrada:
Aplicando LVK a la malla del lado derecho, tendremos V1 + V2 = VS (A)
Como los voltajes apuntan hacia los puntos, V1 = 4 V2 (B), reemplazando B en A, resulta: V1 =
4
VS ;
5
V1 = 14 400∟0° v, y de B, V2 = 3 600∟0° v.
DETERMINACIÓN DE LAS CORRIENTES:
Aplicando LCK al nodo del centro, tendremos I1 + IZY = I2 ( C )
Como las corrientes en los devanados salen por los puntos I2 = - 4 IZY (D), reemplazando D en C, resulta
5
I1 = I2 ; I1 = 12.5 ∟- 35° A ;
4
De igual forma IZY = - 0.25 I2 ; IZY = 2.5 ∟145° A
DETERMINACIÓN DE LAS POTENCIAS:
Potencia del transformador SP = V1 x IZY* = 14 400∟0° x 2.5 ∟-145° = 36 000∟-145°
Potencia del transformador SS = V2 x I2* = 3 600∟0° x 10.0 ∟35° = 36 000∟35°
Luego el transformador transfiere mediante inducción magnética, solo 36 KVA, o sea, la potencia del
transformador.
Potencia de entrada al autotransformador Se=ve x I1* = V1 x I1*
Se = 14 400∟0° x 12.5 ∟35° = 180 000 ∟35°.
Potencia de salida del autotransformador Se = vs x I2* = 18 000∟0° x 12.5 ∟35°
Se = 180 000 ∟35°. Luego el autotransformador transfiere un total de 180 KVA.
RESUMEN SOBRE LA TRANSFERENCIA DE ENERGÍA (POTENCIAS)
Potencia transferida por inducción del campo magnético: 36 KVA
Potencia transferida por conducción eléctrica:------------- 144 KVA
Potencia total transferida por el autotransformador:
180 KVA
CONCLUSIÓN:
Un transformador de 36 KVA, 14 400/3 600v, conectado como autotransformador maneja una potencia de 180
KVA, 14 400/18 000 v.
Segunda alternativa de conexión:
DATOS DEL PROBLEMA
X
X
SS = 180 KVA , FP = 0.819 en atraso, θ = 35°
+
•
Ie
I1
+
P = 147.44 Kw , QL = 103.24 KVAR
V2
N2
VS = 18 000 ∟0° v
ve
IS = I1 = 10.0 ∟- 35° A
IXY
vS CARGA
N1 = 14 400 espiras;
Y
•
FP = 0.819
N2 = 3 600 espiras; n = 0.25 ; a = 4
V1
N1
De acuerdo con la convención de los puntos, las
características de entrada son:
Z
ve = V2 = 0.25 V1 = 0.2 vS = 3 600∟0° v
; V1= 0.8 vS = 14 400∟0° v
IXY = - 4 I1 = 40 ∟145° A
Ie = 5 I1 = 50 ∟- 35° A ;
Potencia del transformador: V1 x I1* = V2 x IXY* = 144 KVA
NOTA: La forma de conectar el autotransformador no se constituye en alternativa de solución, porque el
transformador se sobre carga con una potencia de 144 KVA.
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Tercera alternativa de conexión:
X
+
DATOS DEL PROBLEMA
V2
ve
N2
IS
•
V1
-
SS = 180 KVA , FP = 0.819 en atraso, θ = 35°
P = 147.44 Kw , QL = 103.24 KVAR
VS = V1 = 18 000 ∟0° v
IS = 10.0 ∟- 35° A
N1 = 14 400 espiras;
N2 = 3 600 espiras; n = 0.25
•
I1
N1
IZY
Z
Y
+
vS
Z
CARGA
FP = 0.819
De acuerdo con la convención de los puntos, las características de entrada son:
ve = 5V2 = 1.25 V1 = 1.25 vS = 22 500∟0° v ; V2= 0.25 vS = 4 500∟0° v
I1 = 4 IZY = 0.8 IS = 8 ∟- 35° A ; IZY = 0.2 IS = 2 ∟-35° A
Potencia del transformador:
V2 x I1* = V1 x IZY* = 4500 ∟0° x 8 ∟ 35° = 18000 ∟0° x 2 ∟35° = 36 KVA
NOTA: La forma de conectar el autotransformador se constituye en alternativa de solución, porque el
transformador se carga con una potencia de 36 KVA, la cual es la potencia de diseño, solo que los voltajes de
operación son ligeramente mayores que los de diseño, y las corrientes son ligeramente menores que las de
diseño, trabajando así el transformador con la potencia de diseño.
CONCLUSIÓN:
Un transformador de 36 KVA, 14 400/3 600v, conectado como autotransformador maneja una potencia de 180
KVA, 22 500/18 000 v
4.10 EL TRANSFORMADOR REAL
4.10 1 INTRODUCCIÓN
Sí al transformador ideal que se estudió en la sección anterior, se le consideran las perdidas de energía que se
presentan cuando ésta es transferida, el modelo así obtenido es muy aproximado al modelo del transformador
real.
Cuando una fuente de potencia alterna se conecta al primario de un transformador, fluye una corriente en el
circuito primario, aún cuando el circuito secundario esté abierto, que es la requerida para producir flujo en el
núcleo ferromagnético real y tiene dos componentes:
1° . La corriente de magnetización iM, requerida para producir el flujo en el núcleo del transformador.
2° . La corriente de pérdidas en el núcleo ih+e , requerida por el fenómeno de histéresis y por las corrientes
parásitas.
La corriente de magnetización iM es proporcional (en la región no saturada) al voltaje aplicado al núcleo y está
retrasada 90° del voltaje aplicado, por lo que se puede modelar por una inductancia LM conectada en paralelo
con la fuente de voltaje primario. La corriente de pérdidas en el núcleo ih+e, es una corriente proporcional al
voltaje aplicado, por lo que se puede modelar por una resistencia RC, conectada en paralelo con la fuente de
voltaje primario.
4.10.2 PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN UN TRANSFORMADOR
A continuación se indican las principales pérdidas que ocurren en el transformador real y que deben ser
consideradas para construir un modelo bastante preciso.
1°. Pérdidas en el cobre ( I2 R ). Son pérdidas por calentamiento resistivo en los devanados primario y
secundario del transformador. Se modelan disponiendo un resistor Rp en el circuito primario y un resistor Rs
en el circuito secundario del transformador.
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2°. Pérdidas en el núcleo
2-A. Pérdidas por corrientes parásitas. Pérdidas por calentamiento resistivo en el núcleo del transformador.
2-B. Pérdidas por histéresis. Pérdidas que están relacionadas con los reordenamientos de los dominios
magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo.
Las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas ocasionan calentamiento en el núcleo, ocurren dentro
del metal del núcleo, por lo tanto se agrupan con el nombre de “Pérdidas en el núcleo”. Como la corriente
de pérdidas en el núcleo ih+e es proporcional al voltaje aplicado al núcleo y está en fase con el voltaje
aplicado, las pérdidas en el núcleo pueden ser modeladas por una resistencia RC conectada en paralelo con la
fuente de voltaje primario.
3°. Pérdidas por el flujo disperso. Pérdidas que están relacionadas con los flujos que escapan del núcleo y pasan
únicamente a través de uno de los devanados del transformador. Se modelan disponiendo un inductor Lp en
el circuito primario y un inductor Ls en el circuito secundario del transformador.
3.10.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR
A partir del esquema eléctrico o circuito equivalente del transformador ideal con núcleo de material
ferromagnético, analizado anteriormente, se puede construir el circuito equivalente del transformador real,
adicionándole al modelo del transformador ideal los modelos correspondientes a las pérdidas que ocurren en el
transformador ideal.
El circuito eléctrico del devanado primario se puede modelar por una resistencia Rp en serie con una inductancia
Lp, y el circuito eléctrico del devanado secundario se puede modelar por una resistencia Rs en serie con una
inductancia Ls, luego en el dominio de la frecuencia las inductancias quedan convertidas en las reactancias
inductivas Xp y Xs
Las resistencias ( Rp , Rs ) representan las pérdidas en el cobre y las reactancias (Xp , Xs) las perdidas por el flujo
disperso, tanto del primario como del secundario. Las pérdidas en el núcleo (pérdida por histéresis y por
corrientes parásitas) se modelan por una resistencia RC. La reactancia inductiva XM representa el fenómeno de la
magnetización (autoinducción e inducción en el primario y secundario respectivamente) o representa el
establecimiento del flujo mutuo en el núcleo.
Rc y XM están conectadas en paralelo con el voltaje de la fuente y por estos elementos va a circular corriente aún
cuando el transformador trabaje en vacío o cuando se deje abierto el secundario
El circuito equivalente resultante se muestra en la figura siguiente:
ip
Rp
j Xp
Rs
•
Vp(t)
RC
j Xs
is
•
Vs(t)
j XM
Np
Ns
Aunque la figura anterior es un modelo correcto de un transformador real, no es la más utilizada. Normalmente,
para hacer un análisis práctico de circuitos que contienen transformadores se requiere convertir el circuito
completo en un circuito equivalente de un único nivel de voltaje. O sea, las impedancias, voltajes y corrientes
del secundario se refieren al primario o viceversa, encontrando así un circuito de un solo nivel de voltaje.
Además, la rama de excitación tiene una corriente muy pequeña comparada con la corriente de carga de los
transformadores. En efecto, es tan pequeña que en condiciones normales causa una caída de voltaje despreciable
en Rp y Xp. Por esta causa, se ha elaborado un circuito equivalente simplificado que opera casi tan bien como el
original. Solo se ha movido la rama de excitación hacia la entrada del circuito, dejando en serie las impedancias
primaria y secundaria. Estas impedancias se suman dando como resultado los circuitos siguientes:
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4.10.3.1 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR REFERIDO A SU LADO PRIMARIO
ip
Vp(t)
Donde:
RC
Req p = Rp + a2 Rs ;
Req p
j Xeq p
is
a
aVs(t)
j XM
Xeq p = Xp + a2 Xs
4.10.3.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR REFERIDO A SU LADO SECUNDARIO
a ip
Vp (t)
a
Donde:
Req s
RC
a2
Req s = Rs +
j
Rp
2
;
j Xeq s
XM
a2
Xeq s = Xs +
is
Vs(t)
Xp
a
a2
En ciertas aplicaciones, la rama de excitación puede omitirse por completo sin ocasionar graves errores en el
análisis del transformador real.
4.10.4 ENSAYOS DEL TRANSFORMADOR REAL
Las resistencias e inductancias del modelo en el transformador real se pueden determinar experimentalmente por
medio de las pruebas de circuito abierto y corto circuito.
4.10.4.1 PRUEBA DE CIRCUITO ABIERTO
En la prueba de circuito abierto, se deja abierto el devanado secundario del transformador y el devanado
primario se conecta al voltaje pleno nominal.
ip(t)
Como las componentes en serie Rp y Xp son tan pequeñas
• •
comparadas con RC y XM para ocasionar una caída
significativa de voltaje, todo el voltaje de entrada se aplica a
través de la rama de excitación, luego toda la corriente de
vp(t)
ve (t)
entrada debe fluir a través de la rama de excitación.
Por lo tanto, el circuito equivalente en la prueba de circuito
abierto quedará:
Np
Ns
Lectura del Vatímetro:WCA = VCA x ICA x Cos(θ)
ICA
Lectura del Voltímetro: VCA
Lectura del Amperímetro: ICA
La admitancia total del circuito quedará:
I
1
1
VCA
RC
j XM
-j
= ⎢YE ⎢ ∠ - θ Luego, ⎢YE ⎢= CA ; FP = Cos(θ) =
YE =
RC
XM
VCA
WCA
WCA
o sea que, θ = Cos- 1 [
] , por lo
VCA x I CA
VCA x I CA
W
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tanto, los valores de RC y XM se pueden obtener a partir de
1
RC
=
I CA
I
1
= CA Sen(-θ)
Cos(-θ) y
VCA
XM
VCA
4.10.4.2 PRUEBA DE CORTO CIRCUITO
En la prueba de corto circuito, los terminales del secundario del transformador se cortocircuitan y el devanado
primario se conecta a una fuente adecuada de voltaje.
El voltaje de entrada se ajusta hasta que la corriente de los devanados cortocircuitados sea igual al valor
ip(t)
nominal.
is (t) Como las componentes en paralelo R y X son grandes
C
M
• •
comparadas con Rp y Xp y el voltaje de entrada es muy
pequeño durante la prueba, la corriente que fluye por la rama
vp(t)
de excitación es despreciable, luego toda la corriente fluirá
ve (t)
solamente a través de Rp y Xp.
Por lo tanto, el circuito equivalente en la prueba de corto
Np
Ns
circuito quedará:
W
ICC
Req s
j Xeq s
VCC
is
Lectura del Vatímetro:WCC = VCC x ICC x Cos(φ)
Lectura del Voltímetro: VCC
Lectura del Amperímetro: ICC
La impedancia total del circuito quedará:
ZE = Req p + j Xeq p = ⎢ZE ⎢ ∠ φ
V
WCC
Luego, ⎢ZE ⎢= CC ; FP = Cos(φ) =
I CC
VCC x I CC
WCC
] , por lo tanto, los valores de Req p y Xeq p se pueden obtener a partir de: Req p
VCC x I CC
V
y
Xeq p = CC Sen(φ)
I CC
o sea que, φ = Cos- 1 [
=
VCC
Cos(φ)
I CC
EJEMPLO N° 6:
Al probar un transformador de 20 KVA, 8000/240 v, 60 Hz, para determinar su circuito equivalente, los resultados
obtenidos son los siguientes:
Prueba de circuito abierto Prueba de corto circuito
VCA = 8000 v
VCC = 489 v
ICA = 0.214 A
ICC = 2.5 A
WCA = 400 w
WCC = 240 w
Todos los datos fueron tomados en el lado primario del transformador.
a) Encuentre el circuito equivalente del transformador referido al primario o el lado de alto voltaje.
b) Encuentre el circuito equivalente del transformador referido al secundario o el lado de bajo voltaje.
c) Encuentre la regulación de voltaje del transformador en condiciones nominales y factor de potencia de 0.8 en
atraso
d) Determine la eficiencia del transformador en condiciones nominales.
SOLUCION:
1
= 0.03
a
Características nominales del transformador: S = 20 KVA, FP = 0.8 en atraso ; θ = 36.86° ; P = 16 Kw
= 12 KVARL ; Ip nom = 2.5 A ; Vp nom = 8000 v ; Is nom = 83.33 A ; Vs nom = 240 v
A partir de la prueba de circuito abierto: FP = Cos(θ) = 8000400
x 0.214 = 0.234 ; θ = 76.5°
La relación de espiras del transformador es : a =
⎢YE ⎢ ∠ - θ =
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0.214
8000
8000
240
= 33.333 ; a2 = 1111.11 ;
∠ - 76.5° = 0.0000268 ∠ - 76.5° = 0.0000063- j 0.0000261
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Q
1
1
= 0.0000063 ; RC = 159 K Ω , y
= 0.0000261 ; XM = 38.4 K Ω
RC
XM
A partir de la prueba de corto circuito : FP = Cos(θ) = 489240
x 2. 5 = 0.196 ; θ = 78.7°
Luego,
⎢ZE ⎢ ∠ φ =
489
2.5
∠ 78.7° = 38.4 + j 192 , luego, Req p = 38.4 Ω y Xeq p = 192 Ω
Por lo tanto. a) El circuito equivalente referido al lado primario quedará :
ip
Vp(t)
38.4 Ω 0.5092 H
159 KΩ
is
a
aVs(t)
101.85 H
LM = 101.85 h ; Leq p = 0.5092 h
0.034 Ω 0.4562 mH
a ip
is
b) El circuito equivalente referido
al lado secundario quedará :
Vp (t)
143.1Ω
a
LM = 0.09151 h ; Leq s = 0.4562 mh
0.09151 H
Vs(t)
c) REGULACIÓN EN EL SECUNDARIO:
A partir de las condiciones nominales en el circuito equivalente del secundario:
S = 20 KVA, FP = 0.8 en atraso ; θ = 36.86° ; P = 16 Kw ; Q = 12 KVARL
Vp
Vs nom = 240 ∠ 0° v ; Is nom = 83.33∠ - 36.86° A, hay que determinar
, cuando se le aplica la carga
a
indicada.
Con el voltaje de 240∠ 0° v, la carga puede ser simulada por: Zequiv = 2.88 ∠ 36.86° , Zequiv = 2.304 + j 1.727,
la cual corresponde a:
Requiv = 2.304 Ω ; Lequiv = 4.582 mh
Al hacer referencia al circuito equivalente en el lado de bajo voltaje tendremos:
Vp
En vacío, las condiciones son las siguientes: IS = 0 A ; Vs = 240 ∠ 0° v y
= 240 ∠ 0° v .
a
Con carga, las condiciones son: Is = 83.33∠ - 36.86° A ; Vs = 240 ∠ 0° v y se debe determinar
a Ip
0.034 Ω j 0.172 Ω
Vp
a
.
Is nom = 83.33∠ - 36.86° A
IS
Vp
a
143.1Ω
IRC
j 34.5 Ω
Vs(t) = 240 ∠ 0° v
Zequiv = 2.304 + j 1.727
I XM
Vs = 240 ∠ 0° ; Is = 83.33 ∠ - 36.86° ; Zeq S = 0.034 + j 0.172 = 0.175 ∠ 78.8°
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VZeq s = Zeq S x Is = 0.175 ∠ 78.8° x 83.33 ∠ - 36.86° = 14.58 ∠ 41.94°
Aplicando Kirchhoff al camino de la derecha, tendremos :
Vp
Vp
- VZeq s - Vs(t) = 0 , o sea que,
= Vs + VZeq s
a
a
Vp
= 240 ∠ 0° + 14.58 ∠ 41.94° = 250.84 + j 9.74 = 251.02 ∠ 2.22° v
a
Luego, la regulación de voltaje quedará expresada por:
V
[ p ] - Vs
251.02 - 240
a
x 100% =
x 100% = 4.59 %
RV =
Vs
240
d) Para hallar la eficiencia en el transformador, primero se calculan las pérdidas.
Pérdidas en el cobre : PCO = (Is)2 Req s = (83.33)2 0.034 = 236.09 w
V
[ p ]2
[251.02] 2
a
Pérdidas en el núcleo : PNU =
= 440.32 w
=
RC
143.1
Potencia de salida = Vs x Is Cos(θ) = 240 x 83.33 Cos(-36.86) = 16000 w
Potencia de entrada = PCO + PNU + Psal
Psal
16000
Eficiencia η =
x 100% =
x 100% = 95.94 %
236.09 + 440.32 + 16000
PCO + PNU + Psal
DETERMINACIÓN DE LAS CORRIENTES:
A partir de las condiciones IS = 83.33 ∠ - 36.86° ;
Vp
a
= 251.02 ∠ 2.22° v
251.02 ∠ 2.22 o
251.02 ∠ 2.22 o
= 1.7541 ∠ 2.22° A ; IXM =
= 7.2759 ∠ - 87.8 ° A
143.1
34.5 ∠ 90 o
Iperdidas = 1.7541 ∠ 2.22° A + 7.2759 ∠ - 87.8 ° A = 7.4837 ∠ - 74.2 °
a ip = 83.33 ∠ - 36.86° + 7.4837 ∠ - 74.2 ° = 89.39 ∠ - 40.02°
Luego: IRC =
ip =
89.39 ∠ - 40.02 o
= 2.6819 ∠ - 40.02°
33.33
SIMULACIÓN CON PSPICE:
La regulación en el secundario del transformador efectuado en el paso inmediatamente anterior, se puede
simular, utilizando el software de Pspice, en donde se ingresa el circuito presentado, la carga respectiva Req ,
Vp
Leq y se estimula con el resultado obtenido para
= 251.02 ∠ 2.22° v. Al efectuar la simulación se trata de
a
determinar todos los voltajes, corrientes y potencias presentes en el circuito, probando con ello que los valores
encontrados en el proceso analítico son reales.
a*Ip
Vp/a
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Reqs
Irc
ILm
355V
251.02V_rms
60Hz
2.22Deg
Rc
143.1ohm
Leqs
Is nom
0.034ohm 0.4562mH
Lm
0.09151H
Requivc
2.304ohm
Vs (t)
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Lequivc
4.582mH
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REGULACIÓN EN EL PRIMARIO:
A partir de las condiciones nominales en el circuito equivalente del secundario:
S = 20 KVA, FP = 0.8 en atraso ; θ = 36.86° ; P = 16 Kw ; Q = 12 KVARL
I
a Vs = 8000 ∠ 0° v ; S = 2.5∠ - 36.86° A, hay que determinar Vp cuando se le aplica la carga indicada.
a
Con el voltaje de 8000∠ 0° v, la carga puede ser simulada por: Zequiv = 3200 ∠ 36.86° ,
Zequiv
= 2560.3 + j 1918.88, la cual corresponde a:
Requiv = 2560 Ω ; Lequiv = 5.091 mh
Al hacer referencia al circuito equivalente en el lado de alto voltaje tendremos:
I
En vacío, las condiciones son las siguientes: S = 0 A ; a Vs = 8000 ∠ 0° v y Vp = 8000 ∠ 0° v .
a
IS
= 2.5∠ - 36.86° A ; a Vs = 8000 ∠ 0° v y se debe determinar Vp.
a
IS
= 2.5∠ - 36.86° A
Ip
38.4 Ω j 192 Ω
a
Con carga, las condiciones son:
IS
a
VP
159kΩ
IRC
a Vs = 8000 ∠ 0° ;
j 38.4k Ω
aVs = 8000 ∠ 0° v
Zequiv = 2560 + j 1918.8
IXM
IS
= 2.5 ∠ - 36.86° ; Zeq p = 38.4 + j 192 = 195.8 ∠ 78.69°
a
IS
= 195 ∠ 78.69° x 2.5 ∠ - 36.86° = 489.5 ∠ 41.83°
a
Aplicando Kirchhoff al camino de la derecha, tendremos :VP - VZeq s - a Vs = 0 , o sea que, VP = a Vs + VZeq s
VP = 8000 ∠ 0° + 489.5 ∠ 41.83° = 8364.73 + j 326.45 = 8371.09 ∠ 2.23° v, Luego, la regulación de voltaje
V - aVs
8371.09 - 8000
x 100% =
x 100% = 4.63 %
quedará expresada por: RV = P
8000
aVs
d) Para hallar la eficiencia en el transformador, primero se calculan las pérdidas.
I
Pérdidas en el cobre : PCO = ( S )2 Req s = (2.5)2 38.4 = 240 w
a
[VP ] 2
[8371.09] 2
=
= 440.8 w
Pérdidas en el núcleo : PNU =
RC
159k
I
Potencia de salida = aVs x S Cos(θ) = 8000 x 2.5 Cos(-36.86) = 16000 w
a
Potencia de entrada = PCO + PNU + Psal
Psal
16000
x 100% =
Eficiencia η =
x 100% = 95.91 %
PCO + PNU + Psal
240 + 440.8 + 16000
DETERMINACIÓN DE LAS CORRIENTES:
I
A partir de las condiciones S = 2.5 ∠ - 36.86° ; Vp = 8371.09 ∠ 2.23° v
a
VZeq s = Zeq p x
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CODIGO: 00076 UFPS
8371.09 ∠ - 2.23o
8371.09 ∠ 2.23o
= 52.64 ∠ 2.23° mA ; IXM =
= 218 ∠ - 87.77 ° mA
159 k
38.4 k ∠ 90 o
Iperdidas = 52.64 ∠ 2.23° mA + 218 ∠ - 87.77° mA = 0.2242 ∠ - 74.2°
Luego: IRC =
Ip = 2.5 ∠ - 36.86° A + 0.2242 ∠ - 74.2° = 2.6814 ∠ - 39.76°
IS = 2.5 ∠ - 36.86° x 33.33 = 83.33 ∠ - 36.86°
SIMULACIÓN CON PSPICE:
La regulación en el primario del transformador efectuado en el paso inmediatamente anterior, se puede simular,
utilizando el software de Pspice, en donde se ingresa el circuito presentado, la carga respectiva Req , Leq y se
estimula con el resultado obtenido para VP = 8371.09 ∠ 2.23° v. Al efectuar la simulación se trata de
determinar todos los voltajes, corrientes y potencias presentes en el circuito, probando con ello que los valores
encontrados en el proceso analítico son reales.
Para este caso sí VP = 8371.09 ∠ 2.23° v, entonces debe resultar que: a*VS = 8000 ∠ 0° v. e
IS/a = 2.5 ∠ -36.86° v.
Ip
Reqs
Irc
Vp
Ixm
11838.5V
Rc
8371.09V_rms
159kohm
60Hz
2.23Deg
38.4ohm
Lm
101.85H
Leqs
Is/a
0.5092H
Requivc
2.56kohm
a*Vs (t)
Lequivc
5.091mH
4.10.5
SIMULACIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE TRANSFORMADORES
TRANSFORMADOR A SIMULAR
Las características del transformador a simular son:
20 KVA, 8000/240 v , 60 Hz
Las características nominales de plena carga son:
S = 20 KVA, FP = 0.8 en atraso, θ = 36.86° , P = 16 Kw , Q = 12 KVAR , V= 240 v, I = 83.33 A, con estas características la carga puede
ser simulada por un circuito RL en serie en donde: Requiv = 2.304 Ω ; Xequiv = 1.727 Ω y Lequiv = 4.582 mh
Las características nominales del transformador a plena carga quedarán:
POTENCIAS: S = 20 KVA, FP = 0.8 en atraso, θ = 36.86° , P = 16 Kw , Q = 12 KVAR
VOLTAJES Y CORRIENTES: Vp nom = 8000 v , Ip nom 2.5 A, Vs nom = 240 v , Is nom 83.33 A
Las características para el circuito equivalente del transformador son:
Cir. Equiv. Referido al primario: RC = 159 KΩ ; LM = 101.85 H ; Req p = 38.4 Ω ; Leq p = 0.5092 H
Cir. Equiv. Referido al secundario: RC = 143.1Ω ; LM = 0.09151 H ; Req s = 0.034 Ω ; Leq s = 0.4562 mH
SIMULACIÓN DEL TRANSFORMADOR IDEAL
Para simular el transformador como ideal no se le consideran las pérdidas, lo que significa que no se consideran los circuitos
equivalentes del transformador, solo se tiene en cuenta las relaciones de voltaje y corriente tanto en el secundario como en el primario.
4.10.5.1 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE MULTISIM
A partir del modelo del software Multisim “TRANSFORMER VIRTUAL” se puede simular el transformador ideal de las
características presentadas anteriormente:
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XMM2
XWM1
v
I
XMM4
V1
11313.7V
8000.00V_rms
60Hz
0Deg
R1
2.304ohm
XMM3
T1
XMM1
L1
4.582mH
33.333
Las características internas del modelo de transformador virtual utilizado son:
Primary-to-secondary turns ratio: 33.333 ; Leakage inductance: 1e- 12 H ;Magnetizing inductance : 100 H
Primary winding resistance: 1 ohm ; Secondary winding resistance : 1e- 6 ohm
Nota: Al seleccionar un valor más bajo de 100 H para la inductancia magnetizante, el valor de la corriente en el primario es muy
elevada lo que indica que la pérdida por energía reactiva es elevada.
Para efectuar la simulación se selecciona el voltaje de la fuente como el voltaje de entrada al transformador el cual para este caso es
igual a: vf = vp = 11313.7 Cos(377 t ) v.
Se activa el circuito y se toman las lecturas de los instrumentos de medida presentados, arrojando los resultados siguientes:
Vp = 8000 v ; Ip = 2.640 A ; Vs = 239.974 v ; Is = 83.335 A ; Ps = 15 996 w ; FPs = 0.8
SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE MULTISIM
Para el transformador considerado, las relaciones entre los voltajes y corrientes del primario y secundario quedarán:
VP = 33.333 VS e IS = 33.333 IP . Luego, el circuito equivalente será:
Ip
+
Vp
11313.8V
8000.06V_rms
60Hz
0Deg
Is
a=33.333
+
33.333V/V
Vp
Vp=33.33*Vs
Vs
33.333A/A
-
R1
2.304ohm
L1
4.582mH
Is=33.33*Ip
Para el transformador considerado, las segundas relaciones de voltajes y corrientes entre el primario y secundario quedarán:
VS = 0.03VP e IP = 0.03 IP. Luego, el circuito equivalente será:
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Ip
Is
+
Vp
11313.8V
8000.06V_rms
60Hz
0Deg
R1
2.304ohm
+
Vp
Vs
0.03A/A
-
0.03V/V
-
(1/a)=0.03
Ip=0.03*Is
L1
4.582mH
Vs=0.03*Vp
4.10.5.2 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE PSPICE (OrCAD Release 9.1)
Utilizando el programa de OrCAD Release 9.1y el subprograma Schematic de Capture CIS, el circuito equivalente para la
simulación del transformador ideal anterior en el primer caso quedará:
1
R1
2.304ohm
E1
+
-
V4
8000Vac
2
F
+
-
1
L1
F1
0
R2
2
1
E
33.333
4.582mH
33.333
2
1u
0
0
En donde se intercala una resistencia muy pequeña, R2 = 1 uohm, en serie con la fuente para eliminar el paralelo con la fuente de
voltaje dependiente E1( Inductor Loop)
El circuito equivalente para la simulación del transformador ideal en el segundo caso quedará:
V2
0Vac
1
R1
F1
V1
8000Vac
0
F
0.03
0
2.304ohm
E1
+
-
2
+
-
1
E
0.03
L1
4.582mH
2
0
Para este caso se ha intercalado una seudo fuente en el primario del transformador con el fin de tener una referencia para solicitar el
valor de la magnitud y la fase de la corriente en el primario, V2 = 0, en donde la corriente entra por el nodo positivo.
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4.10.5.3 SIMULACIÓN CON EL SOFTWARE DE PSPICE ( MIROSIM EVALUATION 8)
La simulación del transformador ideal también se puede llevar con el programa de Pspice de Microsim , el circuito equivalente
dibujado en el subprograma de Schematics del Microsim es el siguiente:
Para la medida de los ángulos en este programa hay que tener cuidado con la polaridad de las resistencias, pues en este programa las
resistencias tienen polaridad y cuando se dibuja la resistencia a partir de la librería, ésta es dibujada horizontalmente colocándole el
signo positivo al terminal de la izquierda. En este programa la rotación siempre la efectúa en sentido antihorario.
La simulación del transformador ideal también se puede llevar con el programa de Pspice de Microsim , en donde el circuito
equivalente es ingresado al programa mediante el texto correspondiente en el submenú TEXT EDITOR.
Para efectuar lo anterior se prepara el dibujo del circuito a simular, adecuándolo a la técnica del análisis nodal y utilizando la
nomenclatura del programa Pspice de Microsim. El circuito a simular es:
A continuación se encuentra el programa editado en Pspice para el circuito anterior y sus respectivas respuestas de voltajes y
corrientes:
**** 03/28/105 19:11:22 ******** NT Evaluation PSpice (July 1997) ************
TRANSFORMADOR CON ESPIRAS
****
CIRCUIT DESCRIPTION
******************************************************************************
*El programa presenta la simulación de un transformador, en donde se conoce el número *de vueltas de cada
devanado y se efectúa un análisis fasorial para un solo valor de *frecuencia
Vp
1
0
AC 8000
0
Vx
1
2
0 ;Seudofuente para la referencia de la corriente Ip
Epri 2
5
3
0
33.333; Primario,fuente de voltaje dependiente.
R
5
0
1u
Fsec
0
3
Vx
33.333; Secundario,fuente de corriente dependiente.
R1
3
4
2.304
L1
4
0
4.582m
.AC
LIN
1
60
60
.PRINT AC V(Vp)VP(Vp)V(2) VP(2) I(Vx)IP(Vx)V(3)VP(3)I(R1)IP(R1)
_RESULTADOS:
****
AC ANALYSIS
TEMPERATURE =
27.000 DEG C
******************************************************************************
FREQ
V(Vp)
VP(Vp)
V(2)
VP(2)
I(Vx)
6.000E+01
8.000E+03
0.000E+00
8.000E+03
0.000E+00
2.500E+00
FREQ
IP(Vx)
V(3)
VP(3)
I(R1)
IP(R1)
6.000E+01
-3.686E+01
2.400E+02
1.074E-08
8.335E+01
-3.686E+01
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