Download Tema 1: Fundamentos Matemáticos P t 7/7 Parte 7/7 Teoremas de

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Antonio Gon
nzález Ferná
ández
Tema 1:
Fundamentos Matemáticos
Antonio González Fernández
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Parte
P
t 7/7
Teoremas de unicidad
El problema inverso: Dadas las fuentes
¿podemos
d
h
hallar
ll llos campos??
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Hemos definido las fuentes
escalares y vectoriales de
un campo vectorial
Si conocemos F,
F
obtenemos ρ y J
  ·F
ρ:fuentes escalares
J    F J:fuentes vectoriales
Si conocemos ρ y J,
J
¿obtenemos F?
En principio, para determinar un campo (x,y,z) debemos
saber las 3 derivadas parciales (el gradiente)
Para un campo vectorial serán 9 derivadas parciales
La di
L
divergencia
i y ell rotacional
t i
l equivalen
i l a1
1+3
3=4
derivadas parciales. ¿Es suficiente?
2
Las ecuaciones de Poisson y Laplace
p
Para un campo
F  0
irrotacional
F deriva de un
potencial escalar
F  
Si conocemos llas ffuentes
t escalares
l
d
de F,
F   ·F se cumple:
l
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Ec. de Poisson
2  
r  
τ
τ
 = V(r)
Si ρ=0
Ec. de Laplace
2  0
r  
ρ es el dato,
 es la incógnita
Además hay que conocer las condiciones
de contorno en la frontera τ
C c Dirichlet: se da el valor de ,
C.c.
  = V(r)
C.c. Neumann: se da la derivada de , n· = f(r)
n·
 = f(
f(r))
C.c. mixtas: se da una u otra cosa, por zonas
Ejemplo: potencial eléctrico entre conductores
3
Teorema de unicidad para las
ecuaciones
i
d
de Laplace
L l
y Poisson
P i
Dada una función que verifica la ecuación de Poisson (o
Laplace) en una región τ
Si las c.c.
c c son de Dirichlet o mixtas,
mixtas
la solución existe y es única
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τ
τ
Si las c.c son de Neumann, la solución
es única es única salvo una constante
También vale en el caso de frontera en el infinito
Caso particular:
2  0
0
r  
 r   
0
 r   
Un potencial armónico
que se anula en la
frontera, se anula en
el interior
4
Unicidad de los campos vectoriales:
t
teorema
d
de Helmholtz
H l h lt
Conocidas las fuentes
escalares y vectoriales
de u
un ca
campo:
po:
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Si además F  0
·F  
F  J
 r  
Debe cumplirse
·J  0
la condición
Ya
a que ·   F   0
Existe solución única para el
campo F (teorema
(t
de
d Helmholtz)
H l h lt )
El teorema también Este teorema jjustifica estudiar la
da la solución
divergencia y el rotacional de los campos
Por ello,
P
ll las
l
ecuaciones de
Maxwell se escriben
en la forma

·E 
0
·B  0
B
B
E  
t
E
E
  B   0 J   00
t
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Sevilla octubre de 2010
Sevilla,
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