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© 2010, A
Antonio Gon
nzález Ferná
ández
Tema 2:
Principios de la electrostática
Antonio González Fernández
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Parte 7/7
Dipolo eléctrico.
D
Desarrollo
ll multipolar
lti l
Concepto de dipolo eléctrico.
Di l reales
Dipolos
l e id
ideales
l
H+
p
Cl
Un dipolo está formado por dos
cargas iguales de signo opuesto
Ejemplo:
molécula
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En la mayoría de los casos reales
las dos cargas se encuentran muy
próximas (relativamente)
Dipolo real: se toma |Δr′| << |r|
Momento dipolar: p = qΔr′
r
p
q
+ +q
Δ ′
Δr′
− −q
Δr′-
H+
Cl
Va de la carga negativa a la positiva
Un dipolo ideal
(o matemático)
se toma Δr′→0
Para evitar que el
campo se vaya a 0 se
toma q→∞, con qΔr′→p
Un dipolo
ideal es un
ente puntual2
Potencial eléctrico de un dipolo
p
ideal
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+ +q
Δr′
− −q
q
r′
Potencial de dos cargas
q
q
1 


puntuales −q y +q

40  r  r ' r ' r  r '
situadas en r′ y r′ + Δr′
Se aproxima al diferencial de una función
q
f r  
4 0 r  r '
 1
q
  r '· 
 40 r  r '
  f  r  r '   f  r   r '·f
p



 qr '· r  r ' p
 
3
4
'
  0 r  r
p· r  r '
Potencial

3
d un di
de
dipolo
l
40 r  r '
Si está en el origen
p·r
r
Si apunta

3
40 r
según el eje Z
θ
p
r
p cos 

40 r 2
3
Campo
C
p de un dipolo:
p
decae como 1/r3
H ll d ell gradiente
Hallando
di
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C. esféricas
2
3
p
·
r
r

r
p


1
·
p
r


E  
  
 3  
4 0  r 
4 0 r 5
1
p
 p cos  

2 cos u r  sen u  
E

2
3 
40  r
 4 0 r
Decae
como
1/r3:
más
rápido
que el
de una
carga
4
Dipolo
p
en un campo
p externo: fuerza
Un dipolo
p
situado en un campo
p externo sufre una fuerza
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+
F   p·  E
F    q  E  r  r    q  E  r  
F− −p+F+
−q +q  q  r·  E  r    p·  E
¡  p  ·E  !
Ejemplo: fuerza de una carga sobre un dipolo
1 q
qrr
E
40 r 3
p║r
║
2qp
2qp
F
40 r 3
2
q
q 3  p·r  r  r p
r 
Fpq 
 Fqp
 p·   3   
5
40
4 0
r
r 
F+ p F−
−+
+
F−
+p
−
F+
p┴r
F
qp
qp
4 0 r 3
5
Dipolo
p
en un campo
p externo: momento
En un campo uniforme la
fuerza neta es nula
SSe produce
d
un par de
d ffuerzas,
τ, que tiende a girar el dipolo
τ
a
F− −q− θ
+
+q
p
F+
E
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τ  aFn  qaE0n  qE0 r sen n  pE0 sen n  p  E
Tiende a alinear el dipolo con el campo (“brújula”
( brújula eléctrica)
τ
O
p
En el caso de un
campo no uniforme
M   rk  Fk  r  F  p  E
Produce rotación
alrededor de O
k
Produce rotación
sobre sí mismo
6
Dipolo
p
en un campo
p externo: energía
g
Un dipolo en un campo
externo posee energía
potencial electrostática
U e    q    r  r    q    r 
 q  r·    r   p·E   pE cos 
Es mínima cuando el dipolo está alineado con el campo
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Ejemplo: energía de un dipolo en el campo de otro
a)
2
r
1 2 p1 ·p 2  3  p1 ·r2  p1 ·r2 
U e  p 2 ·E1  r2  
40
r25
b)
c)
d)
p2
U e  2
4 0 r23
p2
Ue  
40 r23
p2
Ue 
40 r23
2 p2
Ue 
4 0 r237
Ejemplo: interacción entre dipolos
( bl
(problema
2
2.22)
22)
Fuerza entre dipolos alineados
F21   p 2 ·  E1  r2 
p1  p 2  pu z
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2
1 3  p1·r  r  r p1
E1 
40
r5
x  y 0
pu z

20 z 3
Fuerza entre dipolos paralelos
F21   p 2 ·  E1  r2 
E1
y 0
z a
p1  p 2  pu x
r2  au z
2
2
p 3 x  xu x  au z    x  a  u z

52
40
 x2  a2 
−
p1
+
r2
−
p2
Atractiva
+
r2  au z
p 2 ·  p

z
3 p 2u z
  pu z 
F21  p 

3 
20 a 4
z  2 0 z  z  a
p1 +

p 2 ·  p
x
−
r2
p2+ Repulsiva
−
3 p 2u z

F21  p  E1  xu x  au z   
x
4 0 a 4
x 0
Para el agua
g (p
p=6.14×10-30C·m2), F(N)
( ) = ((1/2)10
) -12/(a(nm))
( ( ))4
El momento es nulo en los dos casos pero el 2º es inestable
8
Desarrollo multipolar eléctrico: se usa
que las
l fuentes
f
t están
tá llocalizadas
li d
Si una densidad de carga ocupa una
región muy pequeña del espacio, se
puede aproximar el potencial

max  r ' 
r
1
Básicamente se trata de hacer un desarrollo
en serie de Taylor,
Taylor usando que δ << 1
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1 
d '


r
'
  
40 
r r'
Usando el desarrollo 1  1  r·r '  
r  r ' r r3
del binomio
1 
d ' 
r·r 'd
d '
1  Q p·r



  r '
    r '
  
 3  


3
4 0  
r 
r
 4 0  r r

Momento Q   r ' d '




monopolar
Momento p   r ' r'd '




dipolar
9
Interpretación del desarrollo
multipolar:
lti l
una carga, un dipolo,…
di l
1  Q p·r







40  r r 3

El potencial equivale al de una
superposición de distribuciones:
M
Momento
t monopolar:
l
una carga puntual
t l situada
it d en ell origen
i
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Es la carga total de
Q     r '  d '

la distribución
Para cargas
puntuales:
Q   qk
k
Momento dipolar: un dipolo puntual situado en el origen
Para cargas
p     r '  r'd '

puntuales:
p   qk rk
k
Análogamente para
una σs o una λ
Los potenciales monopolar y dipolar son las primeras
aproximaciones. Para una mayor precisión hace falta el
momento cuadrupolar, el octupolar,…
10
Aplicaciones
p
del desarrollo multipolar
p
Sustituye una integral complicada por varias más simples
Permite hallar el potencial en situaciones en que no hay
sol ción de la integral completa
solución
Ejemplo: potencial de un anillo fuera del eje
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Permite determinar la distribución de carga, conocido el
ccampo
ampo o el potencial
Ar  B sen  cos 

r2
A B sen  cos 
A Bx
 
  3
2
r
r
r r
Ejemplo:
Carga
Dipolo
r  
¿Q?
Q  40 A
¿p?
p  40 Bu x
11
Ejemplos de cálculo de momentos
monopolares
l
y dipolares
di l
Z
Una sola carga puntual
situada fuera del origen
a
¿Posee
P
momento
t di
dipolar?
l ?
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¡¡Sí!
p   qk rk  qau z
k
1  q qaz







3
40  r r

r
q
Y
Q   qk  q
X
k
Una carga no en el origen no es lo
mismo que una carga en el origen
Para z = 5a el error es <4%
Dipolo formado por dos cargas:
Dipolo
−q en r′ y +q en r′+ Δr′
Q   qk  q  q  0
k
p   qk rk  q  r ' r '   qr '  qr '
k
Momento
monopolar
Z
r′+Δr′
+
X
Y
Δr
′
r′ −
12
Más ejemplos: cargas y varillas
( bl
(problema
2
2.24)
24)
Tres cargas +q en +aux, +auy, +auz, y tres −q
q en −a
aux, −a
auy, −a
auz
Z
Q  3q  3q  0
a
qa  x  y  z 
1 q

Y
3

2
r
p  2qa  u x  u y  u z 
0
X
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Un segmento de longitud L con una densidad de carga λ = a+bz
L2
a  bz ' dz '  aL

L 2
Q    dl '  
Si b
b=0
0, solo carga
Si a=0, solo dipolo
bL3
p   r 'dl '    a  bz '  z ' u z  dz ' 
uz
L 2
12
L2
1  aL bL3 z 
1  aL bL3 cos  







3 
40  r 12r  4 0  r
12r 2 
13
Una esfera cargada superficialmente de
manera no uniforme
if
 s  0 cos   
Aunque
q sea una esfera no se
puede hallar el campo
aplicando la ley de Gauss
Q    s dS '  0 
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S
2
0


0
cos R 2 sen dd  0
La carga de un hemisferio se cancela con la del otro
p    s r 'dS '
S
4R 0
p
uz
3
3
px  
2
py  
2
pz  
2
0
0
0






0
0
0
0 cos   R sen  cos   R 2 sen dd  0
0 cos   R sen  sen   R 2 sen dd  0
4R 30
0 cos   R cos   R sen dd 
3
2
Resulta un campo dipolar en puntos alejados... y próximos
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Aplicación: el problema de una esfera
con un hueco
h
Visto desde fuera, el sistema
equivale a dos cargas puntuales
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0 
3Q
3Q
4  b 3  a 3 
4b3
b 3Q
Q1   0 d1 
0  3

3
b  a3
r1  0
Momento monopolar
Momento dipolar
 b3
a3 
QT   3
QQ
 3
3
3 
b a b a 
 b 3Q   a 3 Q 
a 3Qrc
p 3
0 3
r  3
3 
3  c
3
b

a
b

a
b

a

 

Potencial
lejano

Qa 3rc ·r
1 Q
  3

 
3
3

40  r  b  a  r


a 3Q
Q2   3
b  a3
r2  rc
La carga y el dipolo
están en el origen
15
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Sevilla diciembre de 2010
Sevilla,
16