Download Cátedra de Campos y Ondas - Universidad Nacional de La Plata

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERIA
Cátedra de Campos y Ondas
Resumen de Fórmulas sobre Reflexión y Refracción de Ondas
Planas y Vector de Poynting 1
1
Resumen de fórmulas del apunte de la Cátedra: “Notas sobre Ecuaciones de Maxwell, Propagación de Ondas Planas y Vector de Poynting “
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
ECUACIONES DE MAXWELL EN MEDIOS LINEALES,
ISOTROPICOS Y HOMOGENEOS, PARA CAMPOS CON VARIACION
ARMONICA.
Hipótesis
- medios homogéneos, isotrópicos y lineales
- medio acotado espacialmente.
- ondas planas
- campos armónicos en el tiempo
Considerando que no hay cargas libres en el espacio
∂H
∂t
∇⋅E = 0
∇ × E = −µ
∇⋅H = 0
∂E
∇×H =σE +ε
∂t
Considerando fasores
•
•
•
∇ × E = − j µω H
∇⋅E = 0
•
•
•
•
∇ × H = σ E + jωε E
∇⋅H = 0
i
i
∇ E = jωµ (σ + jωε ) E
2
2
∗
•
2
•
∇ E=ϒ E
∗
Siendo
ϒ
la constante de propagación, un número complejo
∗
ϒ=
jωµ (σ + jωε ) = α + j β
2
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Para ondas planas será:
i
2
2
∗
•
2
∂ E y ( x)
•
∇ E=ϒ E
∂x
══►
2
∗
2
i
= ϒ E y ( x)
y la solución para el fasor será:
i
∗
E y ( x) = C1 e
∗
−ϒ x
∗
∗
+ C2 e
+ϒx
i
i
= Ei ( x) + Er ( x)
CONDICIONES DE CONTORNO
∂B
∇×E = −
∂t
══►
∂B
≠ ∞ → Ey1 = Ey2
∂t
Et1 = Et2
3
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
∇×H =J +ε
1. ═►J finita
∂D
∂D
=
≠
∞
→
J
≠ ? ∞ ???
∂ t ══► ∂t
Hz1 = Hz2 → Ht1 = Ht2
2. ═►J infinita Hz1∆z − Hz2 ∆z
= lim J y ∆x∆z
∆x →0
Hz1∆z − Hz2 ∆z = ( lim J y ∆x)∆z = ily ∆z
∆x →0
ily corriente laminar, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campo
magnético [A/m]
4
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS CON INCIDENCIA
NORMAL.
Hipótesis
- dos medios diferentes σ1 ≠σ2 ; ε1≠ ε2 ; µ1≠ µ2 (ambos LIH)
- ondas planas
- campos armónicos en el tiempo
- incidencia normal a la superficie límite
CASO 1: MEDIO 1 DIELECTRICO PERFECTO /
MEDIO 2 CONDUCTOR PERFECTO
- σ1 =0 (ε1 ; µ1= µ0)
- σ2 = ∞; (ε2 = ε0; µ2= µ0)
Figura. Reflexión y refracción de ondas planas.
5
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Ecuación diferencial en el medio 1
i
2
∂ E y ( x)
∂x
2
∗
2
1
i
= ϒ E y ( x)
y la solución para el fasor será:
i
∗
E y ( x) = C1 e
∗
− ϒ1 x
∗
+ C2 e
∗
+ ϒ1 x
i
i
= Ei ( x) + Er ( x)
Donde
∗
ϒ1 = α1 + j β1 =
jωµ1 (σ 1 + jωε1 ) =
jωµ0 ( 0 + jωε1 ) = jω µ0ε1 ,
∗
ϒ1 = 0 + jω µ0ε1
es decir
α1 = 0 y β1 = ω µ0ε1
El medio 1 no tiene pérdidas por lo tanto no tiene atenuación(α1=0)
Supongamos conocida la onda incidente
Por simplicidad asumimos φEi=0
i
i
∗
E i ( x) = E i 0 e − ϒ1 x = Ei 0 e −0 x − j β1x + 0
Sea la onda incidente :
Ei y ( x, t ) = E0 cos(ωt − β1 x)
6
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Deduzcamos la onda reflejada a partir de las condiciones de contorno:
Etang1 = Etang 2
conductor ideal no deja penetrar al campo, δ2 = 0
Para x > 0 es decir adentro del conductor ideal ═► E = 0
⇒ E2 = 0;o sea Etransmitida = 0
E2 = 0 ⇔ E1 = 0
E1 = 0 = Ei (0) + Er (0)
en x= 0
Er (0) = − Ei (0)
∗
i
E i (0) = E 0 e
∗
i
E r (0) = E r 0 e
i
− ϒ1 0
= E0
∗
+ ϒ1 0
Er ( x) = − E0 e
= − E0
∗
+ ϒ1 x
La solución para la onda reflejada será:
Er ( x, t ) = − E0 cos(ωt + β1 x)
E1 ( x, t ) = E0 cos(ωt − β1 x) − E0 cos(ωt + β1 x)
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
E1 = Re al  E0 e j (ωt − β1x ) − E0 e j (ωt + β1x ) 
E1 = Re al  E0 e jωt ( e − jβ1x − e jβ1x ) 
Reconociendo la expresión exponencial del seno trigonométrico:
E1 = Re al  −2 jE0 e jωt sen ( β1 x )  =
j (ωt −π )

2
= Re al 2 E0 e
sen ( β1 x ) 


Volviendo a notación trigonométrica, la expresión de la onda total de campo
eléctrico en el medio 1 (vacío) resulta ser:
E1 y = 2 E0 sen ( β1 x ) sen (ωt )
ONDA ESTACIONARIA
Ex = Ez = 0
Onda estacionaria de campo eléctrico: no transporta energía
Vientres : máxima amplitud 2E0
Envolvente de la onda estacionaria (lugar geométrico de los máximos en cada
punto del espacio):
Envolvente ⇒ 2 E0 sen ( β x )
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Conocida la onda incidente así como la reflejada, del campo eléctrico, cómo puedo
ahora conocer tanto la onda incidente como la reflejada del campo magnético???
Sabemos que una vez conocida la onda del campo eléctrico, la onda del campo
magnético se puede obtener a través de la ecuación de Maxwell:
i
i
∇ × E = − j µω H
Recordemos que cuando teníamos una onda plana viajando por un medio ilimitado
esta misma ecuación es la que nos permitió definir la impedancia intrínseca del
∗
medio η como:
i
∗
∗
E
η=
la cual resultaba η =
i
jωµ
∗
=
ϒ
H
i
Veremos que aplicando nuevamente
obtendremos el mismo resultado:
jωµ
jωµ (σ + jωε )
i
∇ × E = − j µω H
para la onda incidente
i
Ei y
i
=
jωµ1
∗
∗
= η1
ϒ1
Hiz
Pero al deducir la onda reflejada del campo magnético por medio de la ecuación
de Maxwell y realizar el cociente entre el fasor H y el fasor E obtendremos el
valor negativo de la impedancia intrínseca del medio :
i
Ery
i
Hrz
=−
jωµ1
∗
∗
= −η 1
ϒ1
11
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Por lo tanto es posible obtener las dos ondas de campo magnético (incidente y
∗
reflejada) a partir de las ondas de campo eléctrico (incidente y reflejada) y η
según las siguientes relaciones:
i
i
Ei y
Ery
∗
= η1
i
y
∗
= −η 1
i
Hiz
Hrz
A partir de la impedancia intrínseca del medio 1 (dieléctrico sin pérdidas)
jωµ0
∗
η1 =
jωµ0 (0 + jωε1 )
=
µ0
ε1 es un número real
i
Ei y
i
∗
= η1
Hiz
Hi ( x, t ) =
Ei ( x, t )
=
∗
η1
Hi ( x, t ) =
E0
µ0
E0
η1
cos(ωt − β1 x − ϕη1 )
cos(ωt − β1 x) = H 0 cos(ωt − β1 x)
ε1
i
Ery
i
∗
= −η 1
Hrz
Hr ( x, t ) =
Er ( x, t )
∗
−η1
=
− E0
cos(ωt + β1 x − ϕη1 )
− η1
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Hr ( x, t ) =
E0
µ0
cos(ωt + β1 x ) = H 0 cos(ωt + β1 x)
ε1
H1 ( x, t ) = Hi ( x, t ) + Hr ( x, t )
H1 ( x, t ) = H 0 cos(ωt − β1 x) + H 0 cos(ωt + β1 x)
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
− j β1 x
j β1 x
jωt

H1 = Re al  H 0 e ( e
+ e ) 
Reconociendo la expresión exponencial del coseno trigonométrico:
H1 = Re al  2 H 0 e jωt cos ( β1 x )  =
Volviendo a notación trigonométrica, la expresión de la onda total de campo
magnético en el medio 1 (vacío) resulta ser:
H1z = 2 H 0 cos ( β1 x ) cos (ωt )
ONDA ESTACIONARIA
Hx = Hy = 0
Envolvente ⇒ 2 H 0 cos ( β x )
15
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
16
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Observará el alumno que NO hemos obtenido el valor de la onda reflejada de
campo magnético a partir de la incidente y las condiciones de contorno. Y esto es
así pues la condición de contorno para la componente tangencial del campo
magnético implicaba que esta componente se conservaba si y sólo si se podía
asegurar que la densidad de corriente NO ERA INFINITA, sin embargo
estamos frente al único caso en el cual no es posible asegurar esto, pues no es
posible asegurar que J sea finita. Este caso en el cual el material sobre el que se
refleja la onda de campo magnético es un conductor ideal de conductividad
infintia (σ = ∞) no me permite resolver la ecuación de la ley de Ohm puntual (J =
σ E) en la superficie de separación.
Es decir por ser un conductor ideal sé que es imposible que los campos lo
penetren (δ=0) es decir tanto E como J y H serán cero en el interior o sea para
x > 0, pero aún no sé cuanto valdrán en x = 0. De la condición de contorno de la
componente tangencial del campo eléctrico sé que esta se conserva SIEMPRE,
por lo tanto si E es cero para x > 0 también será cero en x = 0.
Entonces cuando pretenda resolver la ley de Ohm puntual (J = σ E) en la
superficie de separación tendré una indefinición:
J = ∞ . 0 = ?? indefinido ; en x = 0
Es por ello que este camino no me permite resolver la condición de contorno y
poder deducir cuánto vale el campo magnético reflejado a partir de conocer el
incidente. Sino el camino correcto es el que ya realizamos, es decir conociendo el
i
campo eléctrico reflejado y aplicando la relación
Ery
i
∗
= −η
obtenemos el campo
Hrz
magnético reflejado.
Ahora que conocemos tanto la onda incidente como la reflejada de campo
magnético, entonces para x = 0 podremos ver qué condición de contorno se
cumple:
Hz1 ? Hz2
=
H1 (0, t ) = 2 H 0 cos(ωt )
H 2 (0, t ) = 0
H1 (0, t ) ≠ H 2 (0, t )
17
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Entonces si H no se conserva es porque hay una densidad de corriente Jy infinita,
es decir una corriente que fluye por un área de espesor nulo. Es posible definir
entonces una corriente laminar ily como :
( lim J y ∆x) = ily
∆x →0
ily corriente laminar, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campo
magnético [A/m]
Recordando las condiciones de contorno dicha corriente laminar es igual a la
diferencia entre los campos magnéticos a uno y otro lado de la superficie de
separación:
Hz1∆z − Hz2 ∆z = ( lim J y ∆x)∆z = ily ∆z
∆x →0
H1 − H 2 = ily
H1 − 0 = ily = 2 H 0 cos(ωt )
corriente laminar ily = 2 H 0 cos(ωt ) [A/m]
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CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
CASO 2 (GENERAL): MEDIO 1 / MEDIO 2
Hipótesis
- dos medios diferentes , ambos LIH
-
(σ1 ; ε1 ; µ1); (σ2 ; ε2 ; µ2)
- ondas planas [Ex=Ez=0; Ey(x,t) se propaga en la dirección de x]
- campos armónicos en el tiempo
- incidencia normal a la superficie límite
2
i
∂ E1 y ( x)
∂x
2
∗
2
1
i
2
∂ E2 y ( x)
i
= ϒ E1 y ( x)
∂x
Medio 1
i
2
= ϒ 2 E2 y ( x)
Medio 2
La solución en el Medio 1
implicará una onda incidente Ei y una
reflejada Er
i
2
∗
∗
E1 y ( x) = A e
∗
− ϒ1 x
La solución en el Medio 2 implicará
una onda transmitida Et
∗
∗
+ Be
19
+ ϒ1 x
i
i
= Ei ( x) + Er ( x)
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
∗
i
∗
E2 y ( x) = C e
− ϒ2 x
Supongamos conocida Ei(x,t):
Ei( x, t ) = E m e−α1x cos(ωt − β1 x + 0)
Su forma fasorial será:
i
∗
Ei ( x) = A e
∗
− ϒ1 x
= E m e −α1 x − jβ1x + 0
i
A partir de la onda incidente de campo eléctrico Ei ( x ) , más las condiciones de
∗
∗
contorno y las impedancias intrínsecas de ambos medios η1 y η 2 , es posible
obtener el resto de las ondas es decir:
i
- onda reflejada de campo eléctrico Er ( x )
i
- onda transmitida de campo eléctrico Et ( x )
i
- onda incidente de campo magnético Hi ( x )
i
- onda reflejada de campo magnético Hr ( x )
i
- onda transmitida de campo magnético Ht ( x )
20
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
CONDICIONES DE CONTORNO
Etang1 = Etang 2
H tang1 = H tang 2
siempre y cuando ninguno de los medios sea un conductor
ideal
en x = o que es donde se ubica la superficie de separación de los dos medios:
i
i
∗
i
Ei (0) + Er (0) = Et (0)
∗
i
═► η1 Hi (0) − η1 Hr (0) = η 2
i
i
i
i
Ei (0)
i
Hi (0) + Hr (0) = Ht (0)
∗
i
═►
∗
Et (0)
=
∗
η1
Ht (0)
i
Er (0)
−
i
∗
η1
η2
coeficientes me dan relaciones entre las componentes reflejada y/o transmitida,
respecto de la incidente:
∗
ρ RE =
∗
i
Er (0)
=
i
ρ RH =
η2 − η1
∗
∗
i
Hr (0)
i
∗
=
ρTE =
∗
i
∗
2η2
=
Ei (0)
∗
ρTH =
Ht (0)
i
Hi (0)
∗
2η1
=
∗
i
i
i
∗
RE
Er (0) = Ei (0) ρ RE e jϕRE = ρ RE E m e jϕRE
Er ( x) = B e
∗
+ ϒ1 x
= ρ RE E m eα1x + j ( β1x +ϕRE )
Er ( x, t ) = ρ RE E m eα1x cos(ωt + β1 x + ϕ RE )
21
∗
∗
η2 + η1
´
ρ RE = ρ RE e jϕ
∗
η2 + η1
i
∗
η2 + η1
Hi (0)
Et (0)
∗
η1 − η2
∗
i
∗
η2 + η1
Ei (0)
∗
∗
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Et ( x, t ) = ρTE E m e−α 2 x cos(ωt − β 2 x + ϕTE )
Hi ( x, t ) =
Em
η1
e−α1x cos(ωt − β1 x − φη ) = H m e−α1x cos(ωt − β1 x − φη )
Hr ( x, t ) = ρ RH H m eα1x cos(ωt + β1 x − φη + ϕ RH )
Ht ( x, t ) = ρTH H m e−α 2 x cos(ωt − β 2 x − φη + ϕTH )
22
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
CASO 3: MEDIO 1 DIELECTRICO sin pérdidas /
MEDIO 2 DIELECTRICO sin pérdidas
Hipótesis
- dos medios diferentes , ambos LIH
- σ1 = 0; (ε1 ; µ1); σ2 = 0; (ε2 ; µ2)
- ondas planas [Ex=Ez=0; Ey(x,t) se propaga en la dirección de x]
- campos armónicos en el tiempo
- incidencia normal a la superficie límite
2
i
∂ E1 y ( x)
∂x
2
∗
2
1
2
i
∂ E2 y ( x)
i
= ϒ E1 y ( x)
∂x
Medio 1
2
∗
2
i
= ϒ 2 E2 y ( x)
Medio 2
La solución en el Medio 1
implicará una onda incidente Ei y una
reflejada Er
La solución en el Medio 2 implicará
una onda transmitida Et
E2 ( x, t ) = Et ( x, t )
E1 ( x, t ) = Ei ( x, t ) + Er ( x, t )
23
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Para medios sin pérdidas (σ = 0)
∗
∗
ϒ1 y ϒ 2
son números reales
Medio 1:
{
E1 ( x, t ) = Re al Eim e j (ωt − β1x + 0) + Erm e j (ωt + β1x +ϕ Er )
Tratamiento fasorial
i
E1 ( x) = Eim e
j ( − β1 x + 0 )
+ Erm e
j ( + β1 x +ϕ Er )
Medio 2:
i
E2 ( x ) = Etm e
j ( − β 2 x +ϕtE )
Aplicando condiciones de contorno (en x = 0)
- Componente tangencial de campo eléctrico se conserva
i
i
E 1 (0) = E2 (0)
Eim e j 0 + Erm e j (0+ϕrE ) = Etm e j (0+ϕtE )
Para medios sin pérdidas (σ = 0)
∗
∗
η1 y η2
∗
son números reales
∗
∗
∗
∴ ρ RE ; ρ TE ; ρ RH ; ρ TH son números reales
24
}
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Superposición de ondas viajeras en el medio 1
i
E1 ( x ) = Eim e − j β1x + Erm e + j β1x =
= Eim e − j β1x − Erm e − j β1x + Erm e − j β1x + Erm e + j β1x =
= ( Eim − Erm )e − j β1x + Erm (e − j β1x + e + j β1x ) =
(e − j β1x + e + j β1 x )
= ( Eim − Erm )e
+ 2 Erm
=
2
= ( Eim − Erm )e − j β1x + 2 Erm cos( β1 x )
− j β1 x
Multiplicando por ejωt y tomando parte real:
E1 ( x, t ) = ( Eim − Erm ) cos(ω t − β1 x ) + 2 Erm cos(ω t ) cos( β1 x )
PROGRESIVA
+
25
ESTACIONARIA
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE)
la relación entre las intensidades de campo (eléctrico o magnético) en los
vientres y nodos.
Ei m + Erm 1 + ρ RE
Vientre
ROE =
=
=
Nodo
1 − ρ RE
Eim − Erm
1 ≤ ROE < ∞
ROE = 1, cuando el coeficiente de reflexión es nulo (medios completamente
adaptados),
ROE = ∞, cuando el coeficiente de reflexión es unitario (medios completamente
desadaptados).
26
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Reflexión y refracción de ondas planas sobre superficie dieléctrica perfecta.
27
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Onda progresiva y onda estacionaria en distintos instantes de tiempo
20
onda progresiva
16
ϕ=0
(desfasaje entre Er y Ei)
= ( E im − E rm ) cos( ω t − β x )
Eim=10
onda estacionaria = 2Erm cos( βx + ϕ 2 ) cos(ωt + ϕ 2 )
Erm= 6
12
8
4
0
0,00 λ
0,25 λ
0,50 λ
0,75 λ
1,00 λ
-4
-8
-12
-16
-20
βx
28
1,25 λ
1,50 λ
1,75 λ
2,00 λ
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
VECTOR DE POYNTING
Los campos electromagnéticos en general tienen asociados a ellos energía. Una
onda electromagnética transporta energía.
El vector de Poynting:
2
P = E × H [W/m ]
El vector de Poynting es el flujo de potencia por unidad de área
∫∫
SC
( E × H ) ⋅ dS
El producto vectorial de E por H sobre una superficie cerrada, es igual a la
velocidad del flujo energético a través de tal superficie.
La dirección de tal flujo de energía perpendicular a E y H, y en el sentido
correspondiente al producto vectorial de los mismos.
E = E0 e−α x cos(ωt − β x) ˆj
H=
E0
η
e −α x cos(ωt − β x − θη )kˆ
29
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
P = E× H = [
E02
η
cos θη e −2α x cos 2 (ωt − β x) +
E02 senθη −2α x
e sen(2ωt − 2 β x)] iˆ
2
η
VECTOR DE POYNTING COMPLEJO.
ADVERTENCIA: El producto de funciones armónicas, no se corresponde con el
producto de los fasores
Sólo es posible usar fasores para calcular VALOR MEDIO
P es un valor medio, no instantáneo.
P=
1
Px dt
∫
T
Px = [
E02
η
cos θη e
−2α x
E02 senθη −2α x
cos (ωt − β x) +
e sen(2ωt − 2 β x)]
η
2
2
E02
1
1
P = ∫ Pdt =
cos θη e −2α x + 0
η
T
2
Aplicando fasores:
i ∗

 E× H 
 1
−α x − j β x E0 −α x + j β x + jθη 
P = real 
⋅ e
 = real  E0 e

2
2
η




E02
P=
cos θη e−2α x
2η
30
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
La potencia promedio que fluye a través de una superficie cerrada esta expresada
por:
Ppromedio
 E × H* 
=
∫∫ SC Re al [ P ]⋅ dS = ∫∫ SC Re al  2  ⋅ dS
Si se divide al vector de Poynting por la densidad de energía, se obtiene una
cantidad que dimensionalmente es una velocidad, y cuyo significado físico es el
de ser la velocidad con que se propaga o transmite la energía.
venergía =
Vector de Poynting
= v fase
Densidad de energía
- medio no dispersivo la velocidad de propagación de la energía es igual a la
velocidad de fase
- medio dispersivo pero sin pérdidas, la velocidad de propagación de la
energía es igual a la velocidad de grupo. En un medio con pérdidas, la
velocidad de grupo tiende a perder significado físico, no así la velocidad
de propagación de la energía.
NOTA:un medio no dispersivo es aquel en el cual la velocidad de fase de una
onda es independiente de la frecuencia. Por el contrario, un medio dispersivo es
aquel medio en el cual la velocidad de fase de una onda depende de la
frecuencia.
Mientras que la velocidad de fase (v) o la de grupo (u) pueden adoptar valores
inferiores o superiores al de la velocidad de la luz (c), la velocidad de
propagación de la energía es siempre inferior a este límite teórico.
Siempre se debe verificar:
uν = c
31
2
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
En un medio sin pérdidas (σ = 0)la onda progresiva no se atenúa, α=0
La impedancia intrínseca del medio
es un número real:
y viaja a la velocidad es:
η = µε
P = E0 cos(ωt − β x).
=
E02
µ
v=
E0
µ
1
µε
cos(ωt − β x) =
ε
cos 2 (ωt − β x)
ε
El vector de Poynting es una entidad pulsante, con dos pulsos por cada
longitud de onda.
32
CÁTEDRA CAMPOS Y ONDAS - UNLP
El valor medio y el valor pico del vector de Poynting están dados por las
siguientes expresiones:
P=
1 2
E0
2
1
µ
2
= Eeficaz
ε
1
µ
ε
La expresión de la velocidad del flujo de energía por unidad de área es
fácilmente verificable en una onda plana progresiva que viaja a la velocidad:
v=
1
1
(µε ) 2
La densidad de energía total de la onda electromagnética, expresada como la
suma de las densidades de energía debidas al campo eléctrico y al campo
magnético es:
Welectromagnética = Weléctrica + Wmagnética
Un hecho importante para resaltar es que ambas densidades de energía, las
correspondientes al campo eléctrico y al campo magnético respectivamente, son
iguales entre sí.
Weléctrica =
ε E2
Wmagnética =
2
µH 2
2
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en los medios sin pérdidas
E
=η =
H
µ
ε
:
E2 µ
2
2
ε
µ
⇒
=
⇒
E
=
H
H2 ε
Weléctrica = Wmagnética
Welectromagnética = µH 2 = εE 2 = 2Weléctrica = 2Wmagnética
venergía =
Vector de Poynting
= v fase
Densidad de energía
Para una onda progresiva que viaja a velocidad v, el flujo de energía por unidad
de área, resulta ser:
1
P = (µH 2 + ε E2 ) v
2
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VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
Se supone tener dos ondas planas progresivas, de igual amplitud pero viajando
en sentidos opuestos, en un medio dieléctrico ideal (espacio libre por ejemplo).
Si estas ondas están polarizadas linealmente, por ejemplo el campo eléctrico
tiene componente según el eje y solamente, y que viajan una en el sentido
positivo del eje x, con amplitud E1, y otra en el sentido negativo del eje x, con
amplitud E2. El valor instantáneo de la onda compuesta Ey resultara ser:
E y = 2 E0 sen (ωt ) sen ( β x )
H z = 2 H 0 cos (ωt ) cos ( β x )
La magnitud del vector de Poynting, realizado el producto vectorial
correspondiente, es la siguiente:
Px = E y H z
Px = 2 E0 s en (ωt ) sen ( β x ) .2 H 0 cos (ωt ) cos ( β x )
Px = E0 H 0 sen ( 2 β x ) sen ( 2ωt )
Px = 0 para la onda estacionaria
2
0
2
2
Weléctrica = 2ε E sen ωt .sen β x
Wmagnética = 2µ H 02 cos 2 ωt .cos 2 β x
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