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CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
UNLP
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERIA
Cátedra de Campos y Ondas
Resumen de Fórmulas sobre Radiación y Antenas 1
1
Resumen de fórmulas del apunte de la Cátedra: “Notas sobre Radiación y Antenas “
1
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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Potenciales Dinámicos
Conveniencia en el empleo de funciones potenciales para resolver problemas que
involucren cargas y corrientes variables en el tiempo.
Las ecuaciones diferenciales para los potenciales escalar y vectorial:
ρ
∂ 2φ
∇ φ − µε 2 = −
ε
∂t
2
∂ 2A
∇ A − µε 2 = − µ J
∂t
2
Los potenciales escalar y vectorial son funciones exclusivas de las densidades de
cargas y corrientes respectivamente, es decir de las fuentes que los originan.
La solución son potenciales escalar y vectorial que se propagan con velocidad
finita, (PROPAGACION).
B =∇×A
E = −∇φ −
∂A
∂t
Potenciales Retardados
Antes, para campos estacionarios la solución era:
φ=
∫
ρ
dv
4πε r
;
A=µ
J
∫ 4 π r dv
Ahora, para campos variables en el tiempo la solución es:
φ=
∫
ρ (t − r υ)
dv
4πε r
A=µ
2
∫
J (t − r υ)
4π r
dv
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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Radiación
Aplicación de las ecuaciones de Maxwell y de los potenciales retardados.
Dipolo de Hertz
Dipolo de Hertz, dipolo elemental, dipolo infinitesimal o simplemente dipolo:
pequeño trozo de conductor donde la corriente es constante en toda su longitud
i = I 0 sen ωt ═►
i = Imaginaria { I0 e
jω t
}
El dipolo de Hertz consiste en un trozo l de conductor muy
delgado (d<<l), con una corriente i senoidal de amplitud
uniforme, y una carga puntual q en ambos extremos. Esta
carga puntual en los extremos es la que da origen al nombre
de dipolo (eléctrico).
+q
l
I
La corriente y la carga están vinculadas por:
∂q
i=
≡ I 0 e jω t
∂t
-q
z
Er
Eϕ
P
θ
r
l
I
Eθ
y
ϕ
x
coordenadas esféricas
Figura. Dipolo de Hertz. Ubicación espacial relativa del dipolo y del campo
eléctrico en un punto P.
3
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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Es posible calcular los campos eléctrico y magnético a partir de los potenciales
escalar y vectorial:
B=∇×A
E = −∇φ −
∂A
∂t
Los potenciales retardados son:
φ=
∫
ρ (t − r υ)
dv
4πε r
A=µ
∫
J (t − r υ)
4π r
dv
Si las fuentes varían senoidalmente
φ=
1
4 πε ∫
ρ0 e jω ( t − r c )
r
µ J 0 e jω (t − r c )
dv
A=
∫
4π
r
dv
Sólo calcularé la solución para A ya que
φ
lo puedo obtener una vez conocido A :
∇ ⋅ A = − µε jω φ
Si la corriente está dirigida según
el eje z, el vector potencial A tiene
una única componente espacial, la
correspondiente a z:
µ0 I 0
Az =
4π
l 2 j (ω t −β r )
∫
e
−l 2
r
dz
considerando el medio como el
vacío (o aire)
Figura. Dipolo de Hertz. Contribución de un
dz de corriente al campo en el punto P
4
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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r>>l ; l<<λ
Puede despreciarse las diferencias en magnitud y
fase de las contribuciones al potencial vectorial,
de cada elemento diferencial de longitud del
dipolo:
µ 0 I 0 e jω t l − jβ r
Az =
4πr
e
z
s1
θ
dz
z
d
Conviene expresar a A en coordenadas esféricas:
µ0 I 0 e jω t l
Ar =
cos θ e − j β r
4π r
i
µ0 I 0 e jω t l
sen θ e − j β r
Aθ = −
4π r
i
i
Aϕ = 0
Ahora se puede calcular el campo magnético, ya que:
1
H=
∇×A
µ0
Resulta ser:
i
Hr = 0
i
Hθ = 0
I 0 e jω t l − j β r  jω 1 
Hϕ =
e
+ 2  sen θ

4π
 υr r 
i
Ahora se puede calcular el campo eléctrico, a partir de A:
En notación fasorial
5
s2
x
l
∂A
∂t
s
r
dipolo
E = −∇φ −
P
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
i
i
UNLP
i
E = −∇ φ − jω A
i
∇ ⋅ A = − µε jω φ
i
i
∇⋅A
E = −∇ φ − jω A = −∇(−
) − jω A
jωµε
i
i
i
i
i


E=
∇  ∇ ⋅ A  − jω A
jωµε 

i
1
Lo que arroja como resultado:
I 0 e jω t l − j β r  2 µ0 ε 0
2 
Er =
e
+
cos θ

2
3
r
j
r
4π
ωε
0


i
µ0 ε 0
I 0 e jω t l − j β r  jωµ0
1 
Eθ =
e
+
+
sen θ

2
3
4π
r
jωε 0 r 
 r
i
i
Eϕ = 0
Si tomamos la parte imaginaria y escribimos las ecuaciones temporoespacilaes: las
componentes de campo eléctrico y magnético generadas por el dipolo de Hertz en
un punto P del espacio son:
Hr = 0
Hθ = 0
Hϕ =
I 0 l sen θ
2λ r
I l cos θ
Er = −η 0
λr
I l sen θ
Eθ = η 0
2λ r

 2π r
 1 λ
 2π r

cos
−
t
−
sen
−
t
ω
ω





 λ
 2π r
 λ


2
 1 λ
1  λ
 2π r

 2π r

ω
sen 
− ωt  +
cos
−
t




2 
π
λ
π
λ
2
r
4
r





 

2

1  λ
 2π r
 1 λ
 2π r

 2π r

ω
ω
ω
cos
−
t
−
sen
−
t
−
cos
−
t








2 
 λ
 2π r
 λ
 4π  r 
 λ
 

Eϕ = 0
6
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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CAMPOS CERCANOS O DE INDUCCIÓN (r << λ)
Predominan los términos con las mayores potencias de λ/ r
Hr = 0
Hθ = 0
Hϕ =
I 0 l sen θ
2λ r
I l cos θ
Er = −η 0
λr
I l sen θ
Eθ = η 0
2λ r

1 λ
 2π r

 2π r

cos
t
−
−
sen
−
t
ω
ω





 λ
 2π r
 λ
 

2
 1 λ
1  λ
 2π r

 2π r

sen 
− ωt  +
cos
−
t
ω




2 
2
r
4
r
π
λ
π
λ



 



2

1 λ
1  λ
 2π r

 2π r

 2π r

−
−
−
−
−
ω
t
cos
t
sen
t
cos
ω
ω








2 
 λ
 2π r
 λ
 4π  r 
 λ
 

Eϕ = 0
Hϕ = −
I 0 l sen θ
 2π r

sen
−
t
ω


4π r 2
 λ

CAMPO MAGNETICO CERCANO O DE INDUCCIÓN (r
<< λ)
I l cos θ
Er = −η 0
λr
 1  λ 2
 2π r

− ωt  

 cos 
2 
 λ
 
 4 π  r 
I l sen θ
Eθ = −η 0
2λ r
 1  λ 2
 2π r

−
t
cos
ω




2 
4
r
π
λ


 


CAMPO ELÉCTRICO CERCANO O DE INDUCCIÓN (r
<< λ)
En la región cercana al dipolo:
- H prácticamente en fase con la corriente que lo genera. En el campo cercano
Hφ pesa más la fuente de rotacional debida a la corriente de la
antena: ∇ × H = J +
∂D
∂t
- E está desfasado temporalmente en π/2 respecto de H. El campo eléctrico en
esta región puede ser identificado con aquél calculado para un dipolo
electrostático. En el campo cercano E pesan más las fuentes de divergencia es
decir las cargas que las de rotacional, ∇.D = ρ ; ∇ × E = − µ
7
∂H
.
∂t
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CAMPOS LEJANOS O DE RADIACION (r > λ)
Se desprecian los términos con las mayores potencias de λ/ r
Hr = 0
Hθ = 0
I l sen θ
Hϕ = 0
2λ r
I l cos θ
Er = −η 0
λr
I l sen θ
Eθ = η 0
2λ r

1 λ
 2π r

 2π r

sen 
− ωt  −
− ωt  
 cos 
λ
π
λ
2
r



 

 1 λ
1 λ2
 2π r

 2π r

−
t
+
cos
−
t
sen
ω
ω





4π 2 r 2
 λ

 λ
 
 2 π r

1 λ
1 λ2
 2π r

 2π r

 2π r

− ωt  −
− ωt  −
−
t
sen 
cos
ω
 cos 


2
2
r
r
2
4
λ
π
λ
π
λ

 





Eϕ = 0
Hr = 0
Hθ = 0
Hϕ =
I 0 l sen θ
2λ r
 2π r

cos 
− ωt 
 λ

CAMPO MAGNETICO LEJANO O DE RADIACIÓN (r
>> λ)
Er = 0
Eθ = η
I 0 l sen θ
 2π r

cos 
− ωt 
2λ r
 λ

Eϕ = 0
CAMPO ELÉCTRICO LEJANO O DE RADIACIÓN (r
>> λ)
Las componentes de los campos eléctrico y magnético, Eθ y Hϕ, están en fase
temporal y cuadratura espacial, dando como resultado un flujo promedio de
energía activa, tal cual el caso de una onda plana progresiva.
8
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A distancias muy grandes del dipolo, cualquier porción de la onda esférica generada
por el dipolo, puede ser considerada como una onda plana que se propaga en
dirección radial, alejándose del dipolo.
Puede decirse que el campo lejano es generado por el campo cercano, mientras que
el campo cercano es generado por las fuentes, cargas y corrientes.
En la Figura se muestran las líneas de campo eléctrico y magnético, cerca y lejos
del dipolo.
Las líneas de campo eléctrico cercano terminan en los extremos del dipolo, en
donde están las fuentes de divergencia
Las líneas de campo eléctrico lejano son cerradas, revelando que son debidas a una
fuente rotacional
Las líneas de campo magnético son siempre circulares alrededor del eje del dipolo,
ya que sus únicas fuentes son de rotacional. Mientras en el campo cercano las
fuentes predominantes son las corrientes (H en fase con la corriente), en el campo
lejano predominan las corrientes de desplazamiento o sea la variación del campo
eléctrico (H en fase con E, por ser el medio sin pérdidas, η es un número real)
Figura - Líneas de campo eléctrico y magnético generadas por el dipolo de Hertz.
9
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DIAGRAMA DE RADIACIÓN DE UNA ANTENA:
(cuando hablamos de radiación hablamos de campos lejanos!!! r > λ)
Ambos son proporcionales al sen θ, esto significa que ambos son El diagrama de
radiación resulta de para un r dado trazar para cada θ un radiovector cuya magnitud
sea proporcional a la intensidad del campo en esa dirección θ.
Eθ = η
I 0 l sen θ
2λ r
el radiovector es máximo cuando θ=90o
y nulo cuando θ=0o (en la dirección del eje del dipolo).
z
z
θ
θ
P
P
dipolo
ϕ
dipolo
y
a)
y
b)
x
Figura : Diagramas de campo lejano del dipolo de Hertz (Eθ y Hϕ).
a) Diagrama de campo tridimensional. b) Diagrama de campo bidimensional.
10
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VECTOR DE POYNTING
El vector de Poynting en esta región lejana es radial y en el sentido de la
propagación de la onda.
I 0l sen θ
cos( 2π r λ − ωt )
2λ r
I l sen θ
Hϕ = 0
cos ( 2π r λ − ωt )
2λ r
Eθ = η
I 0l sen θ − j β r
I β l sen θ − jβ r
e
=η 0
e
2λ r
4π r
fasorial═► i
I β l sen θ − j β r
Hϕ = 0
e
4π r
i
Eθ = η
Valor medio (temporal) del vector de Poynting:
×
i
Eθ × Hϕ
Pr =
2
2
η I 02  l 
η β 2 I 02 l 2
2
2
=
sen
=
sen
θ
θ

2 
2 2
8 r λ
32 π r
[W m 2 ]
Recordar que:
µ0 Impedancia intrínseca del vacío
ε0
η=
β=
ω
υ
∗
Constante de fase, parte imaginaria de la constante de propagación ϒ
El flujo total de potencia irradiada por el dipolo:
π 2π
W = ∫ P ⋅ ds = ∫
∫ P (r , θ ).(rsenθ dϕ.rdθ ) =
r
0 0
=∫
π
0
η I 02  l 
2
Pr ( r , θ ). 2 π r sen θ dθ ==
 
4 λ
ηπ I 02  l 
W=
 
3 λ
2
∫
π
0
sen 3 θ dθ
la potencia total que atraviesa una superficie es
constante para cualquier superficie que encierra a la
antena.
2
[W]
2
l
W = 40 π 2 I 02   [W] en el vacío
λ
Mientras que la densidad de potencia sí cambia, y decrece con r2
×
i
Pr =
Eθ × Hϕ
2
2
η I 02  l 
η β 2 I 02 l 2
2
=
sen 2 θ
 sen θ =
2 
2 2
8 r λ
32 π r
11
[W m 2 ]
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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RESISTENCIA DE RADIACION
La defino como aquella resistencia sobre la cual se disipa la potencia radiada,
cuando sobre ella circula la misma corriente eficaz máxima que en la antena (para el
dipolo de Hertz esta corriente eficaz es constante en toda la longitud del mismo). O
sea:
I ef2 Rradiación = W
→
Rradiación =
2W
I 02
para el dipolo de Hertz :
l
2 × 40 π I  
λ
=
I 02
2
Rradiación
2
2
0
2
Rradiación
l
= 80 π 2   [W]
λ
DIPOLO CORTO (o ANTENA CORTA) l <<λ
Distribución de corriente sigue una ley lineal con respecto a la longitud del dipolo.
+l/2
+l/2
I0
I0
I0
0
a)
b)
-l/2
Figura: a) Dipolo corto de longitud l, excitado por su centro, y su distribución de
corriente lineal. b) Distribución de corriente equivalente.
12
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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Dado que l <<λ, se pueden suponer despreciables las diferencias de fase debido a
diferencias de camino recorrido, en las contribuciones de cada elemento diferencial
de longitud.
Por lo tanto, las expresiones de los campos magnético y eléctrico producidos por el
dipolo corto son similares a aquéllas del dipolo de Hertz, con una corriente igual a
la máxima y una longitud del dipolo corto igual a la mitad de la real.
Los campos eléctrico y magnético para este dipolo resultan ser:
I 0l sen θ
cos( 2π r λ − ωt )
4λ r
I l sen θ
Hϕ = 0
cos ( 2π r λ − ωt )
4λ r
Eθ = η
Campos de Radiación de una Antena Corta
Se define la longitud efectiva lef de una antena como aquella longitud para la cual si
considerara que mi antena se comporta como dipolo de Hertz irradiaría la misma
magnitud en la dirección de máxima radiación (θ=90º).
Eθ max = η
I l
I0 l
= η 0 ef
4λ r
2λ r
para antena corta ═► lef = 0,5 l
Siendo lef, la longitud efectiva del dipolo, y l la longitud real del dipolo corto.
Se ha introducido el concepto de longitud efectiva cuya definición es el de aquella longitud de una antena dipolo
de Hertz equivalente (es decir con una distribución de corriente constante), que produce el mismo campo en un
punto cualesquiera del espacio, en la dirección del máximo del diagrama de radiación, que la antena real con su
propia longitud y distribución de corriente.
Vector de Poynting y Potencia de Radiación
×
i
Pr =
Eθ × Hϕ
2
2
2
ηI  l 
η I  lef 
2
2
2
=
sen
=
sen
[W
m
]
θ
θ
 
 
32 r  λ 
8r λ 
2
0
2
2
0
2
2
η I 02  lef 
2
2
W =
P
⋅
d
S
=
sen
θ
.2
π
r
senθ dθ


∫∫
∫0 8 r 2  λ 
π
ηπ I 02  lef 
W=
 
3 λ
2
[W]
antena corta
2
l
W =10 π 2 I 02   [W]
λ
13
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RESISTENCIA DE RADIACION
Usando los resultados de la potencia total de radiación de la antena corta:
2
l
2  ef 
W = 40π I 0   = 10 π 2 I 02
λ
2
l
  [W]
λ
Usando los resultados de la resistencia de radiación para el dipolo de Hertz
Rradiación
2
2
2
l
2W 2 × 40π I  ef  2 × 10π I 0  l 
= 2 =
  =
 
2
2
I0
I0
λ
I
λ
 
0
2
0
2
para la antena corta : Rradiación
2
l
l
2  ef 
= 80 π   = 20 π 2   [W]
D
λ
λ 
DIPOLO LARGO l comparable a λ
Si la antena lineal tiene una longitud comparable con la longitud de onda, que es el caso de las
antenas prácticas, la corriente no puede ser considerada constante ni con variación lineal, sobre
la longitud de la antena. Sin embargo, la antena puede ser descompuesta en un gran número de
elementos diferenciales (dipolos de Hertz), cuyos efectos, en un punto cualesquiera del
espacio, pueden ser sumados.
DIPOLO LARGO: caso ANTENA DE MEDIA LONGITUD DE ONDA (l=λ/2)
Se demuestra que
I 0 co s( π2 cos θ )
Eθ = η
.
cos( 2π r λ − ωt )
2rπ
senθ
Campos de Radiación de una Antena
de media longitud de onda l=λ/2
I 0 co s( π2 cos θ )
Hϕ =
.
cos( 2π r λ − ωt )
2rπ
senθ
14
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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DIAGRAMA DE RADIACIÓN:
Comparación del diagrama de radiación de un dipolo de media longitud de onda con el
diagrama de radiación de un dipolo corto.
Por comparación se nota que el dipolo de media longitud concentra más el campo eléctrico (y
la energía), en la dirección normal, que el dipolo corto.
1.0
0.8
0.6
0.4
E
0.2
θ
θ
Dipolo λ/2
Dipolo corto
Figura: Diagramas de radiación del dipolo corto y del dipolo de λ/2.
LONGITUD EFECTIVA
Se define la longitud efectiva lef de una antena como aquella longitud para la cual si
considerara que mi antena se comporta como dipolo de Hertz irradiaría la misma
magnitud en la dirección de máxima radiación (θ=90º).
I 0 co s( π2 cos θ )
Eθ = η
.
cos( 2π r λ − ωt )
2rπ
senθ
Eθ max = η
lef =
2
π
I l
I0
I l
I l
=η 0
= η 0 = η 0 ef
2rπ
2rπ λ 2
rπλ
2λ r
l = 0, 636 l = 0,318 λ
lef = 0,5 l antena corta
lef = 0, 637 l antena de media longitud de onda
15
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
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Vector de Poynting y Potencia de Radiación
×
i
Pr =
Eθ × Hϕ
2
η I 02  co s( β l cos θ ) − co s β l 
=

8 π 2 r 2 
senθ
2
[W m2 ]
π
2
W =
P
⋅
d
S
=
P
.2
π
r
senθ dθ
∫∫
∫ r
0
Potencia irradiada por la antena de media longitud de onda:
W=
2
( co s( β l cos θ ) − co s β l ) dθ = η I 02 1, 2182[W]
∫
2 π
0
ηI
4π
0
senθ
4π
RESISTENCIA DE RADIACION
I ef2 Rradiación = W
Rradiación = 1, 2182
η
= 73, 09[Ω]
2π
DIRECTIVIDAD
Directividad de la antena: la relación entre la potencia de un radiador isotrópico que
produce la misma intensidad de campo eléctrico en una dada dirección y la potencia
que irradia la antena en cuestión para lograr el mismo objetivo.
4 π r 2 Pr
D=
W
D≥1 : El porcentaje ahorrado de potencia es (D-1)x100 [%]
16
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La directividad toma valores distintos para cada dirección θ, y es frecuente darla
para la dirección del máximo del diagrama de radiación (θ = π/2).
4π r 2 Prmax
D=
Wr
Por ejemplo, para el dipolo corto será:
4π r 2 Prmax
D=
=
Wr
2
2

 3 λ2
η
I
l
3
0 ef
2
D = 4π r 
=
= 1,5 → ahorro 50%
 8 r 2 λ 2  ηπ I 2 l 2 2
0 ef


Por ejemplo, para el dipolo de media longitud de onda, en la dirección θ=π/2, la
directividad será:
I 0 co s( π2 cos θ )
Eθ = η
.
cos( 2π r λ − ωt )
2rπ
senθ
I 0 co s( π2 cos θ )
Hϕ =
.
cos( 2π r λ − ωt )
2rπ
senθ
I 02
I 02
Prθ max = 2 2 η = 2 2 120π
8π r
8π r
15I 02
Prθ max =
π r2
Retomando el valor de la resistencia de radiación de la antena de media longitud de
onda
Rradiación = 73, 09[Ω]
y la definición de resistencia de radiación como
I 02
Rradiación = W y aplicando la definición de Directividad:
2
17
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
UNLP
Pr 4π r 2
Pr 4π r 2
D=
=
I 02
Wrad
Rrad
2
15 I 02
2
2
4
.
≈ 1, 64 → ahorro 64%
D=
r
π
2
2
73.09 I 0
πr
GANANCIA
El concepto de directividad (D) se basa exclusivamente en propiedades del
diagrama de radiación de la antena, y no tiene en cuenta la eficacia de la antena. Por
ello se introduce otro parámetro de mérito denominado ganancia de potencia o
simplemente ganancia (G), que consiste en la relación entre la intensidad de
radiación máxima de una antena isotrópica, y la potencia de entrada de la antena en
cuestión.
Ambos conceptos, directividad y ganancia, están vinculados por la eficiencia (e) o
rendimiento de la antena, el cual está vinculado a las pérdidas en la antena.
La eficiencia (e) es el cociente entre la potencia total de radiación de la antena (Wr)
y la potencia de entrada (We)
Wr
e=
(eficiencia o rendimiento)
We
0 ≤ e ≤1
La ganancia (G) se define como el cociente entre la intensidad máxima (de
radiación de la antena en cuestión, o sea vector de Poynting en la dirección de
máxima (Prmax) y la intensidad máxima de radiación (Prmax-ref) de una antena de
referencia con la misma potencia de entrada (We).
Prmax
G=
Prmax ref
Convenientemente se toma como referencia una antena isotrópica y 100% eficiente
(e =1). Para esta antena de referencia (isotrópica y sin pérdidas) será:
18
CÁTEDRA DE CAMPOS Y ONDAS
UNLP
Potencia total irradiada Wrref = Prmax-ref 4πr2
e =1 o sea Wrref = We
Entonces la ganancia será:
Prmax
Prmax
Prmax
G=
=
=
Wr
We
Prmax ref
ref
2
2
4
π
r
4π r
Recordando la definición de Directividad para la dirección de máxima (θ = π/2)
4π r 2 Prmax
D=
Wr
D.Wr
G=
We
4π r 2
4π r 2
= D. Wr
We
= D. e
G = D. e
19