Download Imagens de fontes magnéticas usando um sistema multicanal de

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS.
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
LABORATÓRIO DE BIOMAGNETISMO
Programa de pós-graduação em Física Aplicada à Medicina e Biologia.
IMAGENS DE FONTES MAGNÉTICAS USANDO UM SISTEMA
MULTICANAL DE SENSORES MAGNETORRESISTIVOS
JUAN ALBERTO LEYVA CRUZ
Ribeirão Preto-SP-Brasil
Outubro de 2005
ii
Juan Alberto Leyva Cruz
IMAGENS DE FONTES MAGNÉTICAS USANDO UM SISTEMA
MULTICANAL DE SENSORES MAGNETO-RESISTIVOS
Tese de Doutorado apresentada à
Faculdade de Filosofia Ciências e
Letras de Ribeirão Preto-USP, para
obtenção de título de doutor em
ciências – Área de Física Aplicada à
Medicina e Biologia.
Orientador: Prof. Dr.Oswaldo Baffa Filho
Co-Orientador: Prof. Dr.Antonio Adilton Carneiro
Ribeirão Preto-SP, Outubro de 2005
iii
FOLHA DE APROVAÇÃO
Juan Alberto Leyva Cruz
IMAGENS DE FONTES MAGNÉTICAS USANDO UM SISTEMA. MULTICANAL DE
SENSORES MAGNETO-RESISTIVOS
Tese de Doutorado apresentada à
Faculdade de Filosofia Ciências e
Letras de Ribeirão Preto-USP, para
obtenção de título de doutor em
ciências – Área de Física Aplicada à
Medicina e Biologia.
Este doutorado foi aprovado no dia: 05-10-2005 pela seguinte Banca Examinadora:
1. Oswaldo Baffa Filho (Orientador)
Titulação: Professor Titular
Departamento: Física e Matemática
Instituição/Unidade: FFCLRP-USP
Especialidade/e ou área de atuação: Física Aplicada a Medicina e Biologia
2. Antonio Adilton Oliveira Carneiro (Co-Orientador)
Titulação: Professor Dr.
Departamento: Física e Matemática
Instituição/Unidade: FFCLRP-USP
Especialidade e/ou área de atuação: Física Aplicada a Medicina e Biologia
3. Antonio Carlos Oliveira Bruno
Titulação: Professor Dr.
Departamento: Departamento de Física
Instituição/Unidade: Centro Técnico-Científico/ Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
Especialidade e/ou área de atuação: Ensaios Magnéticos Não-Destrutivos
4. Jose Ricardo de Arruda Miranda
Titulação: Livre-docência
Departamento: Departamento de Física e Biofísica
Instituição/Unidade: Instituto de Biociências / Universidade Estadual
Paulista Júlio de Mesquita Filho.
Especialidade e/ou área de atuação: Biomagnetismo
5. Daniel Acosta Avalos
Titulação: Professor Dr.
Departamento: Engenharia Biomédica
Instituição/Unidade: Universidade Vale do Paraíba
Especialidade e/ou área de atuação: Orientação Magnética de insetos
iv
A meus pais, “Marlenis e Roberto”; irmãos “Julio-Vladimir-Juana Maria e
Robertico (in memoriam)”, minha alma se põe de pé, cada vez que penso neles;
Aos meus parentes e amigos (“Felli-Libancito”), e a minha esposa Lucilene,
por seu amor e dedicação.
v
“Eu poderia viver recluso numa casca de noz e me considerar rei do infinito.”
Shakespeare, Hamlet, Ato 2, Cena2.
“Hamlet talvez quisesse dizer que, embora nós, seres humanos, sejamos muito limitados
fisicamente, nossas mentes estão livres para explorar todo o universo e para avançar
audaciosamente para onde até mesmo jornada nas estrelas teme seguir---> se os maus sonhos
permitirem.”
STEPHEN HAWKING.
O Universo numa Casca de Noz. 2001.
vi
AGRADECIMENTOS
Agradeço cordialmente às seguintes pessoas e instituições:
Ao professor Dr. OSWALDO BAFFA FILHO, por ter tido a paciência em ensinarme, e aconselhado em muitos assuntos, durante o período de orientação. Ao professor
Dr. ANTONIO ADILTON CARNEIRO OLIVEIRA, por me transmitir conhecimentos
práticos de muita ajuda, e pelos seus valiosos conselhos. Ao professor Dr. DRÁULIO
BARROS DE ARAÚJO, pela sua amizade constante, sua ajuda a compreender mais a
fundo, algumas ferramentas de computação avançada usando Matlab. A todos, lhes sou
muito grato.
Aos técnicos: Elcio, Aziani, Adriano, Eldereis e Serginho, por sua sincera amizade e
ajuda inestimável, em alguns momentos do trabalho.
Ao Dr. José E. Duran por sua boa amizade e conselhos sempre seguro.
Um agradecimento muito especial ao técnico de laboratório de biomagnetismo,
Lourenço Rocha, pela sua grande amizade, confiança, e ajuda muito importante na
realização desta tese.
Aos companheiros (as) do grupo de pesquisa e da pós-graduação: aos DOUTORES
Felipe Chen, Fredy Tedeschi, João Borin, e George aos MESTRES Douglas, Sandra,
Helen, Tiago, Mônica, Pablo3 (tem 3), Lucas, Fabio e Nivia; e aos estudantes de
MESTRADO do grupo de pesquisas Marcio, Adelson, Silvio, Arthur, Bruno, Juliana,
Kátia, e Paula. Aos ESTUDANTES, André, Tenyson, e Guilherme. Todas excelentes
pessoas com as quais a troca de conhecimento e amizade, foi muito proveitosa e bonita.
A meus amigos mexicanos, Dr. Theodoro e Mr. Eduardo (O Lalo). Foi muito bom
lhes conhecer e espero “já que Cuba e México são países muito amigos”, continuar a
trabalhar juntos em pesquisa num futuro muito próximo.
Aos profissionais do DFM da FFCLRP pelo calor para comigo, em todos estes anos
e em especial ao grupo de pesquisas em biomagnetismo, no qual realizei o aprendizado
e as investigações do doutorado. Agradeço em especial ao CNPq e ao Centro Latino
Americano de Física (CLAF) pelo apoio financeiro do trabalho.
vii
RESUMO
Apresenta-se o desenho, construção e caracterização de uma plataforma experimental
para a obtenção de imagens magnéticas bidimensionais (2D) geradas pela distribuição não
uniforme em gel de vaselina de micro-partículas magnéticas (magnetita- Fe3O4), acomodadas
em fantomas magnéticos de geometrias irregulares. A instrumentação é basicamente formada
por um arranjo multicanal de 12-sensores magnetorresistivos de última geração (modelo HMC
1001/1002 da Honeywell), os quais convertem os sinais magnéticos, a serem medidas, em
voltagens diferenciais, que posteriormente passam-se pela etapa de condicionamento analógico
multisinais, e adquiridos por uma placa de aquisição PCI de 16 canais simples, e geradas pelas
fontes magnéticas (fantomas) as quais eram posicionadas acima de uma tabua porta-fantoma a
qual era acionada por um sistema de posicionamento x-y, utilizando-se dois motores de passo
controlados via porta paralela. A obtenção e processamento das imagens de forma automática
foi levado acabo por médio da ferramenta computacional SmaGimFM v1.0 (grupo de scripts
escritos pelo autor, em LABVIEW v8.1 e Matlab v7.3). A montagem experimental foi desenhada
para realizar o scan numa área de ate (20x18) cm2. O sistema consegue medir campos na ordem
de poucos nano-teslas (10-9 T).
Foi demostrado experimentalmente que: a detectibilidade do sistema está na ordem de
100 pT/√Hz; a resolução, o menor valor da indução magnética detectada e a resolução espacial
dos sensores foi aproximadamente de (3±1) nT e (3.0± 0.1) mm, respectivamente, este último
obtido para uma distancia sensor-fonte média de (6.0± 0.1) mm. O nível de ruído ambiental
médio foi corroborado experimentalmente no valor de 10 nT. O fator de Calibração para todos
os sensores alimentados com 8V, foi aproximadamente de 10-6 T/V, confirmando o valor da
sensibilidade nominal oferecida pelo vendedor no data-sheet dos sensores.
Os multisinais sempre foram pré-processadas para a remoção dos offset, e
posteriormente era realizadas uma interpolação bi-cúbica, para gerar imagens magnéticas com
uma alta resolução espacial da ordem de (256x256) pixels. A funções de transferência da
modulação e espalhamento pontual do sistema foram estudados e os sensores foram espaçados
e fixados de acordo com os resultados destes estudos. Nesta tese todas as imagens cruas foram
geradas pelo mapeamento da resposta do sistema multicanal de magnetômetros a pequenas
distancias e geradas pela presença de micropartículas de magnetita (Fe3O4) não tratada
termicamente e dispersada em oitos fantomas planares com geometrias complexas e chamados
como: PhMão; PhNum; PhLines; PhCinco; PhTrês; PhCircle; PhQuadSmall e PhQuadBig. As
imagens magnéticas de cada um destes fantomas é apresentada. A cada experimento, estes
fantomas eram magnetizados pela ação de um pulso magnético uniforme no volume dos
fantomas, com um valor aproximadamente de 81.6 mT, e produzido por um sistema de bobinas
par de Helmholtz. Para fazer o registro experimental das imagens magnéticas, os fantomas
foram posicionados a uma altura fixa em relação aos sensores, e movidos numa direção de scan,
assim nos detectores observávamos as voltagens gerados pela variação no campo remanente
devido às diferentes concentrações de micro-partículas magnéticas magnetizadas foram medidos
e controlados por um computador pessoal.
Usando as imagens cruas (imagens ruidosas e borradas) e outras informações a priori,
foram obtidas as imagens reconstruídas das fontes do campo magnético, tais como, a
distribuição de partículas ferrimagnéticas no interior dos fantomas, a qual é relacionada com a
susceptibilidade magnética das amostras. Encontrar as imagens das fontes magnéticas, é
resolver o problema magnético associado, e nosso trabalho estas restaurações foram realizadas
usando-se os seguintes algoritmos numéricos de deconvolução, filtragem espacial de Wiener e
viii
Fourier, o filtragem Pseudo-inversa, o método do gradiente conjugado e os procedimentos de
regularização de Tikhonov e Decomposição de Valores singulares truncados, dentre outros.
Estes procedimentos foram implementados e testados. As imagens reconstruídas das fontes
magnéticas de quatro fantomas são apresentadas. Estas técnicas foram programadas
computacionalmente por médio de um conjunto de scripts chamados de SmaGimFM v1.0, estes
foram escritos nos linguagens computacionais MATLAB® desde a MathWorks Inc.; e LABVIEW
desde a National Instruments Inc.
Estes resultados preliminares mostram que o sistema de imagens apresenta potencial
para ser aplicada em estudos na área da Física Médica, onde imagens com moderada para alta
resolução espacial e baixa amplitude da indução magnética são exigidas. Contudo, podemos
afirmar que à distância sensor-fonte é crítica e afeta a resolução das imagens. O sistema é
capaz de registrar imagens na ordem de 10-9 T, e sua elevada resolução espacial indica que pode
ser testada como uma nova técnica biomagnética para gerar imagens em 2D de partículas
magnéticas dentro de objetos, na região do campo próximo, para futuras aplicações médicas.
ix
ABSTRACT
We have designed and build a magnetic imaging system for obtaining experimental
noisy and blurred magnetic images from distribution of ferromagnetic tracers (magnetite Fe3O4).
The main part of the magnetic imaging system was formed by a linear array composed of 12magnetoresistive sensors from Honeywell Inc. (HMC 1001). These sensors are microcircuits
with a configuration of wheatstone-bridge and convert magnetic fields into differential voltage,
which after pass for the multichannel signal stage can be to measure magnetic signals about of
10-9 T. The system is capable of scanning planar samples with dimensions up to (16x18) cm
square.
A full experimental characterization of the magnetic imaging system was carried out.
The calibration factor for all sensor supplied by 8 V, was approximately 10-6 T/V, confirming
the data sheet nominal properties from the vendor. The spatial resolution and the resolution of
the magnetic imaging system were experimentally confirmed to be 3 mm and 3 nT, respectively.
The spectral density noise was about 0.15nT / Hz , for the experimental conditions used in
these studies. The signals were pre-processed for offset remove and the interpolation for spatial
resolution improves and generates images of (256x256) pixels. The point spread and modulation
transference functions of multi-sensor system were studied and the sensors were spaced
accordingly. In this thesis, all raw images were generated by mapping the response of the
magnetoresistive magnetometers multichannel array at short distances due to the presence of
uncooked magnetite powder dispersed in eight planar phantoms with complex geometries and
called as: PhMão; PhNum; PhLines; PhCinco; PhTrês; PhCircle; PhQuadSmall and
PhQuadBig. These phantoms were magnetized by a uniform pulse field of approximately of
81.6 mT produced by a Helmholtz coil system. The samples were moved under the
magnetoresistive sensors and the voltages generated by the variation in remanent magnetic field
due to different magnetized ferromagnetic particles concentrations were recorded and controlled
by a personal computer.
Using the experimental noisy and blurred magnetic field images (raw images), and
some another, a priori information’s, the reconstruction of the magnetic field source images,
such as, the distribution of ferromagnetic particles inner of the phantoms which are related with
magnetic susceptibility, was obtained by various inverse problem solution algorithms’, such as,
the spatial Wiener and Fourier filtering, the Pseudo-inverse filtering; the conjugated gradient
and Tikhonov and Decomposition of Truncated Singular Values approaches and others. These
procedures were implemented by mean of the scripts set called SmaGimFM v1.0, that we
developed using the MATLAB® language from MathWorks Inc.
A preliminary result shows that this magnetic imaging system join to some
deconvolution technique can be considered efficient to be used in functional images of the
gastrointestinal tract, where a moderate resolution is required. We can affirm that at a distance
sensor-source choose is a critical parameter and affects the resolution of the images; and we can
conclude that this magnetic images method can be successfully used to generate planar blurred
magnetic images and magnetic field sources images in the near field region at macroscopic level
generated by ferromagnetic materials.
Keywords: Inverse Magnetic Problems, Deconvolution, Multichannel System, Magnetic Sensors,
Magnetic Imaging, Point Spread Function
x
SUMÁRIO
Lista de Figuras............................................................................................................. xii
Capitulo 1. Introdução
1.1 Introdução................................................................................................................... 1
1.2 Objetivos..................................................................................................................... 8
1.3 Referências bibliográficas........................................................................................... 9
Capitulo 2. Revisão da literatura
2.1 Introdução................................................................................................................. 12
2.2 Microscopia de força magnética (MFM).................................................................. 13
2.2 Magnetovision........................................................................................................... 17
2.4 Imagens das fontes magnéticas em geofísica........................................................... 20
2.5 Problema inverso na área de ensaios não – destrutivos (NDE)................................ 25
2.6 Eletroencefalografia (EEG)...................................................................................... 31
2.7 Magnetoencefalografia (MEG) e magnetocardiografia (MCG)............................... 32
2.8 Magnetogastrografia (MGG).................................................................................... 43
2.9 Referências bibliográficas......................................................................................... 48
Capítulo 3. Problema inverso e métodos de solução
3.1 Introdução................................................................................................................. 59
3.2 Formação de uma imagem ....................................................................................... 59
3.3 Problema inverso....................................................................................................... 60
3.4 Problemas mal-condicionados ................................................................................ 61
3.5 Decomposição de valores singulares (DVS)............................................................. 62
3.6 Decomposição de valores singulares truncados (T-SVD)........................................ 65
3.7 Método de regularização de Tikhonov...................................................................... 66
3.8 Filtro Inverso, pseudo-inverso e de Wiener.............................................................. 69
3.9 Estimativas das densidades espectrais do ruído e da imagem.................................. 70
3.10 Deconvolução via filtro de Wiener paramétrica generalizada................................ 76
3.11 Deconvolução usando filtragem espacial de Fourier (D-FFT)............................... 80
3.12 Método do gradiente conjugado.............................................................................. 84
3.13 Referências bibliográficas....................................................................................... 88
Capitulo 4. Métodos de medição de campos magnéticos
4.1.Introdução................................................................................................................. 89
4.2 Bobina de indução.................................................................................................... 92
4.3 Sensores por efeito Hall............................................................................................ 94
4.3 Sensores por ressonância magnética nuclear............................................................ 97
4.4 Sensores magnéticos tipo Fluxgates......................................................................... 99
4.5 Sensores magnéticos tipo SQUIDs......................................................................... 102
4.7 Sensores magnetorresistivos. Principio de funcionamento..................................... 106
4.8 Referências bibliográficas....................................................................................... 114
Capitulo 5. Propriedades magnéticas das substancias
xi
5.1 Introdução............................................................................................................... 116
5.2 Tipos de materiais magnéticos............................................................................... 117
5.3 Susceptibilidade magnética.................................................................................... 118
5.4 Sobre os domínios ferromagnéticos....................................................................... 119
5.5 Histerese magnética................................................................................................ 120
5.6 Magnetismo dos sensores magnetorresistivos. Permalloy..................................... 121
5.7 Referências bibliográficas....................................................................................... 123
Capitulo 6. Sistema magnético e resposta dos sensores a uma amostra
magnetizada. Função de espalhamento pontual
6.1 Caracterização do sistema de magnetização... ....................................................... 124
6.2 Campo magnético gerado por uma fonte extensa bidimensional............................133
6.3 Resposta dos sensores á uma amostra em 2D e sua discretização..........................137
6.4 Função de espalhamento pontual do sistema (PSF) ............................................... 142
6.5 Referências bibliográficas..................................................................................... .145
Capitulo 7. Resultados Experimentais I
7.1 Introdução............................................................................................................... 146
7.2 Condicionamento dos sinais.................................................................................... 148
7.3 Construção do Circuito de Geração dos pulsos de set e set.................................... 155
7.4 Montagem do sistema automático de aquisição dos sinais......................................157
7.5 Calibração do sistema multicanal........................................................................... 162
7.6 Referências bibliográficas....................................................................................... 171
Capitulo 8. Resultados experimentais II
8.1 Introdução............................................................................................................... 172
8.2 Construção dos fantomas........................................................................................ 172
8.3 Determinação da resolução do SMGRA................................................................ 174
8.4 Determinação da distancia ótima entre os sensores................................................ 178
8.5 Resolução espacial do sistema de imagens magnéticas.......................................... 185
8.6 Repetividade na obtenção das imagens.................................................................. 193
8.7 Imagens magnéticas degradadas............................................................................. 196
8.8 Resolução das imagens magnéticas com a distância sensores-fonte...................... 205
8.9 PSF e MTF. Imagens magnéticas do ruído e análise de Picard............................. 209
8.10 Problema direto..................................................................................................... 215
8.11 Obtenção das imagens das fontes magnéticas...................................................... 221
8.12 Análises e discussões............................................................................................ 268
8.13 Referências bibliográficas.................................................................................... 277
Capitulo 9. Conclusões......... ...................................................................................... 280
Apêndice e anexos.................. .................................................................................... 285
APÊNDICE 1. Interfaces gráficas para o controle e processamento e visualização dos
sinais e imagens medidos experimentalmente.............................................................. 285
ANEXO 1. Demonstração da solução do problema inverso usando o método de
regularização, chamado de decomposição singular truncado (SVD-T)........................ 293
xii
LISTA DE FIGURAS
Capitulo 1
Fig. 1. Principais fontes de campos biomagnéticos localizados no corpo humano.
Capitulo 2
Fig. 2.1 Imagem da magnetização obtida usando MFM.
Fig. 2.2 Imagem magnética da magnetização de um disquete floppy de 3 ½ polegadas.
Fig. 2.3. Imagens da magnetização de padrões de bits F6 (11110110).
Fig. 2.4 Imagem degradada na área de (3 μm x10. 5 μm).
Fig.2.6. Imagem processada na área de (8.6μm x15 μm).
Fig. 2.5 Imagem realçada da mesma da região na Fig. 2.4.
Fig. 2.7 Imagem Usando MFM da região na Fig. 2.6.
Fig. 2.8 Distribuição da intensidade do campo magnético obtida computacionalmente.
Fig. 2.9 Esquema de um sistema de magnetovisão.
Fig. 2.10 Mapas do campo magnético para varias distancias sensor-fonte.
Fig.s 2.11 Modelos de anomalias magnéticas.
Fig. 2.12. Imagem de susceptibilidade magnética, nos três modelos da Fig. 2.11.
Fig. 2.13 Em (a) temos a imagem magnética medida de um avião, e em (b) a iamgém do campo
magnético líquido (b). A imagem da susceptibilidade magnética a 800m usando inversão
suavizada mostra-se em (c) e a focalizada em (d).
Fig. 2.14 Estrutura de um Sistema de NDE usando energia magnética.
Figure 2.15. Representação do mapa de contornos e da superfície do campo magnético devido a
esferas magnetizadas a 25 mm acima das amostras [Extraída de 37].
Figure 2.16. Imagens da distribuição da magnetização produto da solução do problema inverso
[Extraída de 37]
Fig. 2.17 Imagens magnéticas de seis dipolos com a mesma intensidade.
Fig. 2.18. Apresentamos a variação do campo magnético de uma amostra de alumínio de um
processo de corrosão em andamento.
Fig. 2.19. Câmara isolada de campos ambientais de origem magnética desenhada por
ZIMMERMAN no Massachusetts Institute of Technology [Extraída de Cf57].
Fig. 2.20. Na parte de acima mostramos o MCG e ECG (baixo) registrado para um paciente
normal.
xiii
Fig. 2.21 Magnetocardiograma e eletrocardiograma de um feto.
Fig. 2.22 Em (a) Diferentes MCG medidos com um Cardiomagnetômetro de 99 canais em um
paciente sofrendo uma taquicardia ventricular, b) o batimento normal do ritmo sinusal e c)
batimento extracistólito ventricular.
Fig. 2.23 Mapas isointegral de um indivíduo normal e de outro com uma isquemia cardíaca.
Fig. 2.24. Campo magnético medido sobre a área temporal e parietal por dois sensores depois de
uma estimulação elétrica na mão esquerda de um voluntário.
Fig. 2.25: Esquerda mostra a ativação cortical do córtex somatosensorial primária durante a
estimulação do nervo médio.
Fig. 2.26. Comparação dos métodos de IFM com fMRI na localização de zonas de ativação.
Fig. 2.27 Imagens mostrando a localização da zona de ativação ao estimular o dedo indicador
esquerda.
Fig. 2.28 Falha na localização da zona de ativação ao estimular o dedo indicador esquerda.
Fig. 2.29 Imagens de fontes magnéticas degradadas e suas correspondentes imagens
reconstruídas.
Capitulo 3
Figura 3.1 Esquema que mostra o processo de formação de uma imagem.
Figura 3.2 Estrutura do problema inverso
Figura 3.4 O gráfico de Picard.
Figura 3.5 Esquema funcional da regularização na solução do problema inverso.
Figura 3.6 Esquema que mostra o processo de inverso.
Figura 3.11 Apresenta-se o diagrama lógico aplicação do Filtro de Wiener.
Capitulo 4
Figura 4.1 Em (a) um sensor convencional, em (B) um sensor magnético.
Figura 4.2 Classificação dos diferentes tipos de magnetômetros.
Figura 4.3 Ação de um campo magnético variável sobre uma espira indutora sensora.
Figura 4.4 Funcionamento do sensor tipo Hall.
Figura 4.5 Esquema do magnetômetro de precessão nuclear.
Figura 4.6 Funcionamento do Fluxgate.
Figura 4.7 Configuração básica do sensor Fluxgate.
Figura 4.8 Esquema geral de um Dewar onde é esfriado o sensor SQUIDS.
xiv
Figura 4.9 Anel supercondutor mostrando a juntura resistiva de Josephson.
Figura 4.10 Em (a) mostramos o circuito da ponte de Wheatstone dos smgra, e em (b)
ilustramos um elemento de um rmgr com o campo e a corrente aplicada.
Figura 4.11 Em (a) observamos a ponte do sensor HMC 1001 sendo alimentado e em (b)
esquema ilustrando o efeito magneto-resistivo.
Figura 4.12 Curva característica do efeito magneto-resistivo.
Figura 4.13 As barras de alumínio formam os chamados pólos Barber.
Capitulo 5
Figura 5.1 Característica do Ferrimagnetismo. (extraída de 2)
Figura 5.2. Curva de histerese magnética.
Figura 5.3 Curva de histerese de um material ferromagnético do Permalloy.
Capitulo 6
Figura 6.1 Esquema do sistema de magnetização. Um bloco de circuitos e um par de bobinas de
Helmholtz.
Figura 6.2 Esquema detalhado do funcionamento do circuito do sistema de magnetização.
Figura 6.3 Circuito RLC em série, tendo em conta os parâmetros do circuito, obtemos que a
resposta do circuito é criticamente amortecida, pois a freqüência de neper é aproximadamente
igual à freqüência ressonante do circuito ( α = 100 Hz ≅ ω 0 = 129 Hz ).
Figura 6.4 Bobinas de magnetização em configuração do par de Helmholtz. Corrente elétrica
nas bobinas de magnetização e o campo magnético produzido pela corrente.
Figura 6.5 Corrente elétrica nas bobinas de magnetização (a) e o campo magnético produzido
pela corrente que circula no para de bobinas de Helmholtz (b). Vê-se que os valores picos são,
793A e 816gauss , respectivamente.
Figura 6.6 Campo magnético do pulso magnetizante medido pelo sistema multicanal, a uma
distancia das bobinas de 2.50m , aproximadamente.
Figura 6.7 Análise da uniformidade do sistema magnético. Obtemos uma homogeneidade de
0.5% , para o volume de uma esfera de raio aproximadamente igual à metade do raio das
bobinas, que em nosso caso foi de 0.24m .
Figura 6.8 Sistema de coordenadas situado na amostra magnetizada.
Figura. 6.9 Função de passo ou step function que tem comportamento de filtro no espaço das
freqüências espaciais.
Figura 6.10 Componentes em K x e K y da função filtro step function.
xv
Capitulo 7
Figura 7.1 Fluxograma geral da obtenção das imagens das fontes magnéticas.
Figura 7.2 Esquema geral do controle das medições com PC via placa de aquisição.
Figura 7.3 Circuito da fonte de alimentação bipolar “super-filtrada” gerando uma voltagem de ± 8V
Figura 7.4: Esquema do circuito usado no condicionamento dos sinais multisensor.
Figura 7.5 Circuito de um amplificador de instrumentação clássico discreto.
Figura 7.6 Relação do CMRR quando o amplificador de instrumentação tem os buffers
acoplados (x) e não acoplados (+) na entrada não-inversora.
Figura 7.7 Circuito detalhado com a função de gerar os pulsos de set e reset.
Figura 7.8 Forma da onda dos pulsos set e reset simulado usando Matlab (a), em (b) foto do
pulso adquirido experimentalmente.
Figura 7.9 Esquema geral do sistema de varredura e das medições simultâneas do sistema
multicanal de sensores magnetorresistivos.
Figura 7.10 Foto da instrumentação utilizada nesta Tese.
Figura 7.11 Painel frontal da rotina que controla o movimento do motor de passo e as medições
do sistema multicanal.
Figura 7.12. Fluxograma da rotina que controla de forma automática o movimento do motor de
passo e as medições do sistema de magnetômetros multicanal.
Figura 7.13 Esquema experimental da calibração sistema multicanal de sensores
magnetorresistivos.
Figura 7.14. Forma do sinal campo magnético senoidal medido pelo magnetômetro Fluxgate
comercial, para uma amplitude de aproximadamente 140nT de pico.
Figura 7.15 Forma dos sinais medidos pelo sistema multicanal de smgra.
Figura 7.16 Relação do campo magnético medido pelo Fluxgate e pelo sistema multisensor
versus a voltagem aplicada no sistema magnético de calibração.
Figura 7.17 Painel frontal ilustrando as medições do sistema multicanal fazendo a calibração.
Figura 7.18 Curvas de calibração do sistema multicanal, as gráficas em (a-f) correspondem aos
sensores (1-6), respectivamente.
Figura 7.19 Curvas de calibração do sistema multicanal, as gráficas em (a-f) correspondem aos
sensores (7-12), respectivamente.
Figura 7.20 Curvas de calibração do sistema multicanal com ajuste linear e inclinação corrigida
em (a), com ajuste linear, inclinação e intercepta corrigidos.
Capitulo 8
xvi
Figura 8.1 Diferentes tipos de phantom construídos nesta tese.
Figura 8.2 Resposta do Filtro passa-baixa de ordem 40 e freqüência de corte de 200 Hz em (a) e
de 34 Hz em (b).
Figura 8.3 Análises espectrais do sistema multi-sensores.
Figura 8.4 Sinais do campo magnético e sua densidade espectral de potencias.
Figura 8.5. Campo magnético teórico calculado usando Matlab.
Figura 8.7 Modelagem do sistema de imagem é um filtro digital.
Figura 8.8 Arranjo linear de sensores eqüidistantes.
Figura 8.9 Padrões da função de sensores versus distancia entre eles.
Figura 8.10 Padrões da função de sensores versus varias distância entre eles em (b) de 10 mm,
(c) de 15 mm e em (d) de 20 mm.
Figura 8.11 Janela da interface gráfica Adquisition.vi utilizada para avaliar o estado de
funcionamento dos sensores, antes de começar a realizar os experimentos.
Figura 8.12 Phantoms de duas fontes pontuais feitas de material magnético (Fe2 O3 ) .
Figura 8.13 Imagem das fontes pontuais bidimensionais e na direita sua correspondente vista em
3D do campo magnético para várias distâncias sensor-fonte variando entre: 8 mm, 10 mm, 15
mm.
Figura 8.14 Imagem das fontes pontuais bidimensionais e na direita sua correspondente vista em
3D do campo magnético para várias distâncias sensor-fonte variando entre: 20 mm, 25 mm, 30
mm.
Figura 8.15 Imagem das fontes pontuais bidimensionais e na direita sua correspondente vista em
3D do campo magnético para várias distâncias sensor-fonte variando entre: 35 mm, 40 mm, 45
mm.
Figura 8.16 Imagem das fontes pontuais bidimensionais e na direita sua correspondente vista em
3D do campo magnético para várias distâncias sensor-fonte variando entre: 50 mm, 55 mm e 63
mm.
Figura 8.17 Resolução espacial do sistema de imagens magnéticas para diferentes distâncias
sensor fontes.
Figura 8.18 Dependência de resolução espacial com a distância sensor-fonte. Nas regiões de
trabalhos temos 10 mm e 25 mm de resolução.
Figura 8.19 Imagens magnéticas borradas em tons de cinza desde (a)-(b), feitas em intervalos de
tempo de 60 minutos.
Figura 8.20 Imagens magnéticas degradadas obtidas em momentos de tempo diferentes fazendo
uma varredura sobre um phantom pontual magnético.
Figura 8.21 Janela da interface gráfica da poli-rotina mãe RotinaMadrefinal.m (SmaGimFM).
Controla a obtenção e processamento das imagens.
xvii
Figura 8.22 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradada do phantom PhMão para uma
distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.23 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradadas do phantom PhNum para uma
distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.24 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradadas do phantom PhLine para uma
distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.25 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradadas do phantom PhQuadSmall,
para uma distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.26 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradada do phantom PhQuadBig para
uma distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.27 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradada do phantom PhCinco para uma
distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.28 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradadas do phantom PhTres para uma
distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.29 Sinais multicanais e imagens magnéticas degradadas do phantom PhCircle para
uma distância sensor fonte de 20 mm.
Figura 8.30 Modelo geométrico onde foram feitas as imagens para estudar a degradação das
imagens em função das distâncias sensor-fonte.
Figura 8.31 Imagens magnéticas degradadas do fantom PhCircle ao aumentar a distância
sensor-fonte.
Figura 8.32 Sinais com offset corrigido e imagem magnética degradada com vista em 3D
obtidas no estudo da degradação das imagens do fantom PhCircle ao aumentar a distância
sensor-fonte desde 8mm, 20 mm e 55 mm.
Figura 8.33 Função de espalhamento pontual e sua respectiva função de transferência de
modulação para distância sensor-fonte igual a 8 mm (parte superior) e 20 mm (parte inferior).
Figura 8.34 Imagens degradadas do ruído magnético medido antes de obter as imagens
magnéticas degradadas do fantom PhCinco (parte superior) e para PhCircle (parte inferior),
respectivamente.
Figura 8.35 Imagens degradadas do ruído magnético medido antes de obter as imagens
magnéticas degradadas do fantom PhLines (parte superior) e para PhTres (parte inferior),
respectivamente.
Figura 8. 36 Condição de Picard para PhCinco (a), para PhCircle em (b), para PhLines (c) e
para PhTres em (d).
Figura 8.33 Modelos geométricos cobertos pela uma malha de elementos finitos de todos os
fantoms a serem usados na deconvolução.
Figura 8.34 Imagens magnéticas degradadas simuladas para cada fantom. Assim como uma
representação das linhas de força do campo magnético produzido por cada um deles.
Figura 8.35 Imagens das fontes magnéticas simuladas para cada fantom.
xviii
Figura 8.36 Janela da interface gráfica da poli-rotina mãe SmaGimFM que controla a execução
dos diferentes métodos de solução do problema inverso implementados usando a linguagem de
programação MATLAB®.
Figura 8.37 Vista em 3D da imagem magnética degradada em (a) e da imagem das fontes
magnéticas em (b) correspondente ao fantom PhCinco a uma distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.38 Imagens indexadas, em tons de cinza e de contornos das fontes de campo magnético
e de suas respectivas imagens magnéticas degradadas do fantom PhCinco em (a), (b) e em (c),
respectivamente.
Figura 8.39 Imagens das fontes de campo magnético e de suas respectivas imagens magnéticas
degradadas do fantom PhCinco usando o método da Filtragem espacial de Fourier em (a) e (b),
e a filtragem Pseudo-Inversa em (c) e (d), respectivamente.
Figura 8.40 Imagens das fontes magnéticas do PhCinco restauradas variando a tolerância ou
critério de parada usando o método do Gradiente Conjugado.
Figura 8.41 Imagem reconstruída com escolha automática da tolerância usando o método do
Gradiente Conjugado.
Figura 8.42 Imagem reconstruída usando Algoritmo de Lucy-Richardson.
Figura 8.43 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco usando o Filtro Regularizado.
Figura 8.44 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.003, 0.002], para obter a melhor imagem
possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.45 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.001, 0.0008, 0.0007, 0.0005, 0.0001, 0.00001], para obter a melhor
imagem possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.46 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.0025, 0.0024, 0.0022, 0.002, 0.0019, 0.0018], para obter a melhor
imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.47 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.0017, 0.0016, 0.0015, 0.0014, 0.0013, 0.0012], para obter a melhor
imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.48 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.001, 0.00099, 0.0008, 0.0006, 0.0005, 0.0001], para obter a melhor
imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.49 Vista em 3D da imagem magnética degradada em (a) e da imagem das fontes
magnéticas em (b) correspondente ao fantom PhCircle a uma distância sensor fonte de 20 mm.
Figura 8.50 Imagens em tons de cinza, de contornos, e indexada das fontes de campo magnético
e de suas respectivas imagens magnéticas degradadas do fantom PhCircle em (a), (b) e em (c),
respectivamente.
xix
Figura 8.51 Imagens das fontes de campo magnético e de suas respectivas imagens magnéticas
degradadas do fantom PhCircle usando o método da Filtragem espacial de Fourier em (b) e (a),
e a filtragem Pseudo-Inversa em (d) e (c), respectivamente.
Figura 8.52 Imagens reconstruídas do fantom PhCircle usando o Filtro Regularizado.
Figura 8.53 Imagem reconstruída usando Algoritmo de Lucy-Richardson do fantom PhCircle
para uma distância sensor-fonte igual a 20 mm.
Figura 8.54 Imagem magnética degradada e sua correspondente imagens reconstruída para o
fantom PhCircle, usando método Gradiente Conjugado. A distância sensor fonte foi de 20 mm.
Figura 8.55 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.05, 0.008, 0.001, 0.0007, 0.0006, 0.0005], para obter a melhor imagem
possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.56 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.0004, 0.0003, 0.00028, 0.00025, 0.00021, 0.00019], para obter a
melhor imagem possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.57 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.00017, 0.00015, 0.00012, 0.0001, 0.00005, 0.00001], para obter a
melhor imagem possível das fontes usando o método de Regularização de Tickhonov.
Figura 8.58 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.001, 0.0008, 0.0007, 0.0006, 0.0005, 0.0004], para obter a melhor
imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.59 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.0003, 0.00028, 0.00028, 0.00027, 0.00026, 0.00025], para obter a
melhor imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.60 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.00024, 0.00023, 0.00021, 0.00018, 0.00018, 0.00017], para obter a
melhor imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.61 Imagens reconstruídas do fantom PhCinco mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.00015, 0.00014, 0.00012, 0.0001, 0.00005, 0.00007], para se obter a
melhor imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T) .
Figura 8.62 Vista em 3D da imagem magnética degradada em (a) e da imagem das fontes
magnéticas em (b) correspondente ao fantom PhLines a uma distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.63 Imagens em tons de cinza, de contornos, e indexada das fontes de campo magnético
e de suas respectivas imagens magnéticas degradadas do fantom PhLines, respectivamente.
Figura 8.64 Imagens das fontes magnéticas do campo magnético e de suas respectivas imagens
magnéticas degradadas do fantom PhLines usando o método da Filtragem espacial de Fourier
em (b) e (a), e a filtragem Pseudo-Inversa em (d) e (c), respectivamente.
Figura 8.65 Imagens reconstruídas do fantom PhLines usando o Filtro Regularizado.
xx
Figura 8.66 Imagem reconstruída usando Algoritmo de Lucy-Richardson do fantom PhLines
para uma distância sensor-fonte igual a 8 mm.
Figura 8.68 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.9, 0.7, 0.1, 0.008, 0.006, 0.004], para obter a melhor imagem possível
das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.69 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.002, 0.001, 0.0009, 0.00009], para obter a melhor imagem possível das
fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.70 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [1, 0.8, 0.6], para obter a melhor imagem das fontes usando o método da
Decomposição Espectral de Valores Singulares Truncados (SVD-T) .
Figura 8.70 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.4, 0.3, 0.25], para obter a melhor imagem das fontes usando o método
da Decomposição Espectral de Valores Singulares Truncados (SVD-T) .
Figura 8.71 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.2, 0.18, 0.15], para obter a melhor imagem das fontes usando o método
da Decomposição Espectral de Valores Singulares Truncados (SVD-T) .
Figura 8.72 Imagens reconstruídas do fantom PhLines mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.12, 0.09, 0.05], para obter a melhor imagem das fontes usando o
método da Decomposição Espectral de Valores Singulares Truncados (SVD-T) .
Figura 8.73 Vista em 3D da imagem magnética degradada em (a) e da imagem das fontes
magnéticas em (b) correspondente ao fantom PhTres a uma distância sensor fonte de 8 mm.
Figura 8.78 Imagem reconstruída usando Algoritmo de Lucy-Richardson do fantom Phtres para
uma distância de Litoff igual a 8 mm.
Figura 8.74 Imagens em tons de cinza, de contornos, e indexada das fontes de campo magnético
e de suas respectivas imagens magnéticas degradadas do fantom PhTres, respectivamente.
Figura 8.75 Imagens das fontes magnéticas do campo magnético e de suas respectivas imagens
magnéticas degradadas do fantom PhTres usando o método da Filtragem espacial de Fourier em
(b) e (a), e a filtragem Pseudo-Inversa em (d) e (c), respectivamente.
Figura 8.76 Imagem magnética degradada e sua correspondente imagens reconstruída para o
fantom PhTres, usando método Gradiente Conjugado. A distância sensor fonte foi de 8 mm.
Figura 8.77 Imagem reconstruída usando Algoritmo de Filtro Regularizado do fantom Phtres
para uma distância sensor-fonte igual a 8 mm.
Figura 8.79 Imagens reconstruídas do fantom PhTres mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.05, 0.03, 0.02, 0.01, 0.009, 0.005], para obter a melhor imagem
possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
Figura 8.80 Imagens reconstruídas do fantom PhTres mudando o parâmetro de regularização
ou tolerância em λ = [0.002, 0.001, 0.0007, 0.0004, 0.0002, 0.00005], para obter a melhor
imagem possível das fontes usando o método de Regularização de Tikhonov.
xxi
Figura 8.81 Imagens reconstruídas do fantom Phtres mudando o parâmetro de regularização ou
tolerância em λ = [0.003, 0.002, 0.001, 0.0009, 0.0007, 0.0006], para obter a melhor imagem
das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares Truncados
(SVD-T) .
Figura 8.82 Imagens reconstruídas do fantom Phtres mudando o parâmetro de regularização ou
tolerância em λ = [0.0005, 0.0004, 0.0003, 0.0002, 0.0001, 0.00005], para obter a melhor
imagem das fontes usando o método da Decomposição Espectral de Valores Singulares
Truncados (SVD-T).
Figura 8.83 Desempenho dos diferentes métodos de desconvolução usados na tese para a
obtenção das imagens das fontes magnéticas dos diferentes fantoms.
Figura 8.84 Norma do residual e da solução a cada índice de iteração usando o método do
Gradiente Conjugado. Em (a-d) para os fantoms PhCinco, PhCircle, PhLines e PhTres,
respectivamente.
Figura 8.85 Histogramas das imagens original em (a), da imagem degradada em (b) e finalmente
da imagem restaurada (c), usando o método do gradiente Conjugado e em (d) o correspondente
à imagem reconstruída via Filtragem Wiener Paramétrica Generalizada.
Capitulo #1 Introdução
1
Capitulo 1 INTRODUÇÃO
1.1
Introdução
O
FATO DAS CELULAS vivas, como unidade básica da vida, possuir
membranas celulares (MC), que mantém o controle de cargas elétricas e
íons no seu interior por meio da polarização, e despolarização, impõe uma
natureza elétrica às células e em geral à matéria viva. De modo que os modelos de
membranas celulares mais aceitos na atualidade são dominados por uma distribuição de
carga positiva, no exterior da MC e uma negativa no interior. Porém, a maior
importância destas cargas elétricas é que elas dão às células a devida excitabilidade, isto
é, a capacidade de entrar em ação sob a atuação dos agentes ou estímulos externos ou
internos, aos quais pode assim reagir. Contudo esta capacidade faz com que a matéria
viva seja fonte de campos elétricos e magnéticos; e por tanto possa interagir com esses
campos. É bem conhecido que os sinais dos efeitos destas interações e/ou gerações de
campo (matéria – energia) apresentam uma fraca intensidade.
Embora o magnetismo seja conhecido desde a antiguidade1; foi a partir de 1970
que se inicia o crescimento ou a “evolução” do biomagnetismo. Principalmente por
meio dos trabalhos de Edgard Edelsack, James Zimmerman e David Cohen que
conseguiram, com absoluto sucesso, medir sem contato pela primeira vez o sinal campo
magnético gerado pelo coração de uma pessoa, tendo o mesmo uma relação sinal ruído
comparável ao do eletrocardiograma1. Podemos definir que o biomagnetismo ocupa-se
de medir e analisar os campos magnéticos produzidos pelos sistemas vivos. Na Fig. 1
Capitulo #1 Introdução
2
apresentamos um exemplo de algumas das fontes de campos biomagnéticos localizadas
no interior do corpo humano2 a) naturalmente, seja por correntes de despolarizações e
repolarizações musculares, atividade síncrona de grupos neurais, ou b) artificialmente
através de marcadores magnéticos inseridos no corpo humano ou mesmo por indução.
Nestes casos por meio dos magnetoencefalogramas3 (MEG), magnetocardiogramas4
(MCG), e magnetogastrogramas5 (MGG) podem-se estudar de forma não invasiva as
funções do cérebro, coração e do sistema gástrico.
Figura 1: Principais fontes de campos biomagnéticos localizados no interior do corpo
humano (extraída de Barros de Araújo et al., 1999)3.
Estudos
experimentais6-8
têm
mostrado
que
os
sinais
dos
campos
neuromagnéticos típicos encontram-se na ordem de (20 – 500) fT, os emitidos pelo
coração são também extremamente baixos na faixa de ( 0.1 – 100) pT, e o sistema
gastrintestinal e em especial o estômago produzem um campo magnético da ordem de
30 – 100) pT. Para registrar estes sinais precisa-se de equipamentos como
Capitulo #1 Introdução
3
magnetômetros ultra-sensíveis tais como os dispositivos supercondutores de
interferência quântica, ou SQUIDs (siglas da frase em inglês Superconducting Quantum
Interference Device).
As pesquisas na área do biomagnetismo visam correlacionar o campo magnético
medido, ou as fontes magnéticas que os geram, com algum problema de saúde ou
anormalidade. Sendo possível ter essas informações, se analisa a região da fonte de onde
ele foi originado. Deste modo podem ser caracterizados padrões de sinais magnéticos
semelhantes aos elétricos, e assim servir para ajudar o médico a inferir o estado de saúde
do paciente. Pelo que se podem inferir padrões ou mapas de campo magnéticos normais
e anormais 9.
Uma das regiões que é de nosso interesse e que apresenta atividade elétrica e
magnética constitui o trato gastrintestinal. O sistema gastrintestinal é importante na
administração ao organismo dos nutrientes necessários para a continuidade do
metabolismo; é responsável pelo armazenamento dos alimentos ingeridos, sua trituração
e mistura com a secreção gástrica, e na liberação dos mesmos, ou esvaziamento através
do duodeno. O processo digestivo é o resultado de diversos e complexos sub-processos
que se originam nos músculos lisos das paredes do estômago. A despolarização das
membranas das células dos músculos lisos origina uma atividade elétrica no estômago,
semelhante a um marca-passo situado no corpo do estômago, que se converte numa
onda mecânica que avança desde o corpo até o antro com um tempo de duração
aproximadamente de 20s. Isto faz com que apareça um padrão de freqüência da
atividade elétrica do estômago, sendo a mesma da ordem de 0,05Hz ou três ciclos por
minuto. No intestino a atividade elétrica é propagada desde vários marca-passos
situados em várias localizações e exibe então um gradiente de freqüências na faixa de 12
Capitulo #1 Introdução
4
ciclos por minuto no duodeno e chega à região mais distal até oito ciclos por minuto.
Esses marca-passos podem ser modelados também como dipolos elétricos e magnéticos
e podemos chamá-los de dipolos gástricos como as principais fontes dos campos
magnéticos gástricos naturais. Um resumo sobre a modelação de campos magnéticos
gerados pelo trato gastrintestinal pode ser encontrado no trabalho de Irimias et al10.
Alem da região gástrica, o corpo humano gera energia por meio de vários órgãos
e sistemas de órgãos através de campos bioelétricos e biomagnéticos intrínsecos, alem
da energia mecânica e térmica. Mas é sabido que existem outras fontes que podem gerar
campos magnéticos, tais como: as partículas ferromagnéticas contaminantes que chegam
até o interior do corpo pela alimentação ou ao inspirar o ar do meio ambiente
contaminado. Estas, alojam-se em órgãos como os pulmões; e por último os traçadores
ferromagnéticos (TFM) ou marcadores magnéticos (MM) os quais são ingeridos
previamente pelo paciente e utilizados para estudar o sistema gastrintestinal11.
O processo de partindo do campo chegar às fontes, é conhecido como problema
inverso12. De modo que uma imagem das fontes magnéticas está relacionada com os
diversos métodos de solução do problema inverso (PI). Obter uma solução plausível do
PI é muito difícil, pois em geral este tem uma natureza insolúvel ou mal condicionada.
Existem vários métodos para resolver o PI dentro dos quais podemos citar, o método de
filtragem espacial usando transformadas de Fourier13; o de mínimos quadrados14, dentre
os que temos Eliminação gaussiana usando decomposição QR, assim como o método
que utiliza a decomposição matricial em sua inversa simples ou generalizada, utilizando
decomposição de valores singulares (DVS). Também temos os métodos iterativos ou de
regularização, tais como o método da matriz inversa generalizada truncada15, método de
Capitulo #1 Introdução
Tiknojov16, método bayesianos17, e baseados na inteligência artificial
5
18
usando redes
neurais, entre outros.
Uma vez resolvido o PI se pode dizer que os sinais das fontes magnéticas
obtidos são convertidos em imagens, ao representar as grandezas (magnetização) em
função do espaço. Também é muito útil na hora de interpretar os resultados, fazer uma
indexação dos valores da magnetização ou susceptibilidade magnética a um mapa de
cores, ou imagens em tons de cinza ou tendo uma vista em 3-D; estes são aprimorados
nesta tese. Os avanços recentes na tecnologia de imagens aplicada a sistemas vivos
permitem fazer análises sobre processos complexos tais como aqueles que acontecem
“in vivo”. Atualmente usando imagens na clínica médica é possível obter informações
acerca dos processos metabólicos normais e anormais que acontecem no organismo
humano.
Dentre dos métodos emergentes podemos encontrar a ressonância magnética de
imagens funcional, fRMI ( siglas da frase em inglês: functional resonance magnetic of
imaging). Em geral os métodos na área dos estudos funcionais envolvem a ressonância
magnética nuclear, MRI (siglas da frase em inglês: magnetic resonance image) e
tomografia de emissão de positron, PET (siglas da frase em inglês: positron emission
tomography). Técnicas as quais tem melhorado à qualidade dos serviços aos pacientes,
pois servem para identificar tumores, estudar os efeitos de drogas, áreas de ativação no
cérebro relacionado com as funções cognitivas, e muitas outras doenças e problemas da
saúde do homem.
Novas metodologias de imagens biomédicas têm melhorado e muito os serviços
em situações médicas complicadas tais como cirurgias no próprio cérebro e no coração.
Capitulo #1 Introdução
6
Em pesquisas sobre o câncer os novos métodos têm permitido estudar a eficácia das
drogas sem precisar de biopsia ou de sintomas mais avançados da doença.
Os novos procedimentos de imagens apontam promissoras ferramentas para
elevar a qualidade de vida do paciente, desde o ponto de vista social e médico incluindo
algumas doenças tais como desordens mentais da depressão, esquizofrenia, mal de
Alzheimer. e desordens metabólicas como osteoporoses e ateroscleroses21. Tudo isto
tem sido possível devido ao aumento das potencialidades de algumas técnicas como a
tomografia por raios-x, fRMI, e os métodos de imagens usando radioisótopos, PET,
que tem logrado uma grande diminuição no tempo de exame e aumentado a resolução
espacial, essencial para o diagnóstico dos processos fisiológicos.
Outros métodos de imagens chamados de emergentes, ou em fase de pesquisas a
nível de laboratório e inclusive clínico, constituem as imagens de fontes magnéticas e
elétricas. A aplicação das técnicas biomagnéticas, na atualidade é usada na medida da
susceptibilidade na região próxima ao fígado, e mostrado grande utilidade na
determinação da concentração de ferro22. Esta ferramenta tem apresentado vantagens em
relação ao método tradicional de biópsia.
Ao mesmo tempo o desenvolvimento da ciência tem permitido a introdução de
tecnologias avançadas de imagens na área da medicina, que tem significado um aumento
da saúde humana. Os problemas de saúde são tratados em três categorias: Prevenção,
Diagnóstico e Tratamento. É no diagnóstico onde as imagens médicas são usadas com
mais freqüência, que desde o ponto de vista físico classifica-se de acordo com a energia,
encontramos imagens que usam energia exterior e obtém-se como o efeito da interação
Capitulo #1 Introdução
7
com o paciente, como raios –x, ultra-som, RMN, IRMNf dentre outras; o outro grupo
são as que se obtêm da energia que o próprio corpo produz ou emite, neste caso temos a
magnetoencefalografia, magnetocardiografia, termografia, entre outras. Clinicamente
elas também são divididas em estruturais e funcionais dependendo do tipo de
informação que fornecem. Em nosso caso a energia magnética armazenada em forma de
campo é medida por sensores magnéticos muito sensíveis e com esses dados se
reconstrói a propriedade física da fonte. Assim através da interpretação física e médica
dos mapas-imagens, espera-se que se possa inferir estados padrões das fontes e obter um
estimador clinicamente plausível do processo físico-médico estudado numa dada região
localizada
do
organismo.
Alguns
exemplos
magnetoencefalografia e magnetocardiografia.
deste
tipo
de
estudo
são
a
Finalmente, o uso de imagens
biomagnéticas das fontes magnéticas parece ser, sem dúvidas, muito atraente no estudo
das desordens no funcionamento do trato gastrintestinal após uma pessoa ter ingerido
um alimento teste com marcadores magnéticos.
Capitulo #1 Introdução
1.2
8
Objetivos
Nesta tese, apoiados no fato de num futuro pretender realizar pesquisas por meio de
imagens na área de biomagnetismo gástrico, na qual é essencial aprofundar o nosso
conhecimento nas ramas das tecnologias de medição de campos magnéticos, de
instrumentação analógico-digital, e do processamento digital de sinais e imagens, foram
escolhidos os seguintes objetivos principais:
1. Montagem instrumental de um sistema de imagens magnéticas utilizando um
arranjo multicanal de sensores magneto-resistivos. O sistema multi-sensor efetua
medições do campo magnético bidimensionalmente a uma dada distancia sobre
as fontes magnéticas. Estes campos magnéticos de baixa intensidade têm
magnitudes próximas às estudadas na análise da região gástrica com técnicas
biomagneticas tradicionais.
2. Implementar computacionalmente vários paradigmas de solução do problema
inverso, para obter imagens das fontes magnéticas de diferentes fantoms
magnéticos.
Assim vamos expor os fundamentos teórico-experimentais relacionados com a
obtenção de imagens magnéticas e de suas fontes. Esta última por meio da
desconvolução de imagens magnéticas degrada, ou seja, resolvendo o problema inverso
desde imagens reais. Com esses estudos em fantoms espera-se lançar as bases para
outros trabalhos de aplicações em voluntários normais e pacientes da presente
metodologia para medida e geração de imagens na região gástrica, usando-se alimentos
testes com marcadores magnéticos.
Capitulo #1 Introdução
1.3
9
Referencias Bibliográficas
2. Del Gratta, C, Pizzella. V., Tecchio. F., and Romani. G.L. Magneto
encephalography —a noninvasive brain imaging method with 1 ms time resolution.
Rep. Prog. Phys. 64 (2001) 1759–1814.
3. Dráulio Barros de Araújo, Antonio Adilton Oliveira Carneiro, Eder Rezende
Moraes, Oswaldo Baffa. O biomagnetismo uma nova interface entre a física e a
biologia. CIÊNCIA HOJE • vol. 26 • nº 153. 1999.
4. Assessment Program. MEG and MSI: Presurgical Localization of Epileptic
Lesions and Presurgical Function Mapping. Volume 18, No. 6, August 2003.
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Devices. IEEE TRANSACTIONS ON BIOMEDICAL ENGINEERING, VOL. 47,
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6. Andrei Irimia et al.
An integrative software package for gastrointestinal
biomagnetic data acquisition and analysis using SQUID magnetometers. Preprint
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Capitulo #1 Introdução
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Capitulo #2 Revisão da Literatura
12
Capitulo 2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1. Introdução
A comunidade cientifica contemporânea tem assistido a um aumento das
pesquisas do magnetismo em varias áreas. Dentro deste contexto tem-se destacado os
trabalhos envolvendo a obtenção e análises de imagens de algumas das propriedades
magnéticas da matéria, tais como a intensidade do fluxo magnético, magnetização,
susceptibilidade magnética, entres outras1-5.
O estado da arte indica que existem duas maneiras diferentes de classificarem-se
as imagens envolvendo as características magnéticas das substancias, as imagens
magnéticas ou magnetovision propriamente ditas, e as imagens das fontes magnéticas,
soam parecidas, mais são diferentes. Por terem nomes muito parecidos, é muito fácil
confundir ao referir-se a elas. As primeiras referem-se aos mapas da distribuição
espacial da grandeza intensidade do campo magnético medido fora de uma amostra
magnetizada. A segunda categoria está relacionada com os mapas das distribuições
espaciais das fontes dos campos magnéticos, e que se localizam dentro da amostra
magnetizada.
Neste capitulo faremos uma breve exposição das aplicações destas modalidades
de imagens. As quais ocupam um amplo espectro de ação que vão desde o interior da
terra, até umas dezenas de nano-metros. Especial atenção nas aplicações destas técnicas
nas áreas de ensaios não destrutivos, e em na medicina.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
13
2.2. Microscopia de Força Magnética (MFM)
Uma das técnicas de imagens de fontes magnéticas mais usadas é sem dúvidas, a
Microscopia de Força Magnética (MFM). Ela é definida como o sistema de imagens
usando sensores magnéticos a qual mede campos magnéticos locais produzidos por uma
amostra magnetizada, e utilizando processos de deconvolução com essas medições
obtêm-se às imagens da magnetização. O seu nome se deve ao fato de conseguir fazer
imagens de amostras na ordem de poucos milímetros até nanômetros6.
Estes tipos de imagens das fontes magnéticas são utilizados para analisar os
padrões de magnetização de discos rígidos de armazenamento e escrita/leitura de dados
utilizados nos computadores modernos7. Assim como a geometria da estrutura dos
domínios magnéticos. Na Fig. 2.1 ao lado mostramos a sensibilidade de um sensor
SQUID a presença de momentos magnéticos permanentes. Essa imagem é o campo
magnético medido 1μm, sobre a superfície de um disco floppy comercial. Os momentos
magnéticos se encontram no plano da superfície.
Figura 2.1: (a) Topografia de uma lamina fina de permalloy (material do qual foram
feitos os sensores utilizados nesta Tese). Em (b) temos à imagem da magnetização
obtida usando MFM da sua correspondente estrutura em domínios (retângulos).
Tamanho do varrido é de 3x3 μm. [Imagens foram feitas pelo grupo de magnetismo da
faculdade de Física da Universidade de Kaiserslautern, na Alemanha].
Capitulo #2 Revisão da Literatura
14
Kirtly J.R. et al., 1995, tem estudados os padrões da magnetização de médios
magnéticos comerciais8, utilizando MFM usando magnetômetros SQUID. Na Fig. 2.2
ilustra-se uma imagem magnética como a sensibilidade do microscópio de varredura de
SQUID a momentos magnéticos permanentes. Essa imagem é a distribuição espacial do
campo magnético medido 15 μ m encima da superfície de um disco floppy de 3 ½ pol.
Figura 2.2: Imagem magnética dos padrões de magnetização de um disquete floppy de 3
½ polegadas.
Mayergoyz I. D. et al. 2000 tem desenvolvido uma nova técnica de
processamento das imagens de MFM6. A imagem é adquirida fazendo uma varredura
sobre uma área de um disco rígido usando um sensor mgra utilizado nas cabeças de
leitura/escrita dos PC em duas direções ortogonais. No trabalho foi demonstrado que a
reconstrução das imagens pode ser feita usando a função resposta de caracterização do
sensor. A técnica desenvolvida é ilustrada com os exemplos das imagens nas Fig. 2.3.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
15
Figura 2.3: Imagens da magnetização de padrões de bits F6 (11110110). As unidades
nos dois eixos estão dadas em μ m .
Nos últimos anos tem se visto a realização em vários laboratórios de pesquisas
de novos dispositivos de imagens de campo magnéticos com intensidade baixa a escalas
de longitude microscópicas9-13. Um computador é usado para registrar a resposta dos
magnetômetros SQUID como uma função da posição. E converte os dados medidos
numa imagem em tons de cinza ou de cores falsos (imagens indexadas com um dado
mapa de cores, se lhes diz cores falsas, pois eles não apresentam essas cores na forma
natural).
Sistemas multicanais de sensores magnetoresistivos estão sendo usados para
fazer microscopia magnética. Estes arranjos de sensores magnéticos apresentam
dimensões na ordem de micrometros e o estado da arte mostra que os construídos com
tecnologia de micro-circuitos podem ser usados para detectar campos de baixa
intensidade com elevadíssima resolução espacial. Demonstra-se que são ideais para
fazer medições de campos magnéticos de intensidade extremamente baixa, ou mudanças
dos campos magnéticos, associadas com bio-sensores magnéticos, análises de ensaios
não destrutivos, medição com precisão da posição, validação de documentos como
Capitulo #2 Revisão da Literatura
16
moedas e cartões de créditos e imagens magnéticas de amostras magnetizadas. As
vantagens no uso dos sistemas de arranjos de sensores é que possibilitam a varredura de
uma área do objeto sobre o que se está fazendo a imagem com uma simples varredura.
Companieh et al. 2001., desenvolveu um novo método in-situ, para obter
imagens magnéticas com resolução ultra-alta usando sensores magnetoresistivos
análogos aos usados nas cabeças de escrita/leitura de discos rígidos de computadores.
Os sinais medidos foram linearizadas removendo a parte não linear da função de
transferência do sistema de imagens. As imagens foram deconvoluidas usando a
filtragem de Wiener, e logo correlacionadas com as imagens feitas com o método de
imagens via MFM14. Depois da deconvolução imagens bidimensionais alcança à
resolução de 30 nm.
Figura 2.4: Imagem degradada.
Figura 2.5: Imagem da Fig. 2.4 realçada.
Figura 2.6: Imagem processada.
Figura 2.7: Imagem usando MFM.
As imagens das Fig. 2.4 – 2.7 foram extraídas da Cf14. Na Fig. 2.4 é mostrada a
imagem degradada a qual corresponde a um mapa bidimensional da voltagem medido.
Na Fig. 2.5 visualiza-se a mesma imagem mais realçada ou processada (linearizada e
Capitulo #2 Revisão da Literatura
17
deconvoluida com filtragem de Wiener).
Na próxima ilustração na Fig. 2.6-2.7
observamos imagens processadas: elas tiverem um realce correlacionando às imagens
deconvoluidas com as degradadas e obtidas pela técnica microscopia de força
magnética. Com o processamento das imagens foi possível observar detalhes que não
foram observados nas imagens não processadas.
2.3. Magnetovision
Como foi colocado anteriormente, o procedimento de fazer imagens,
magnetovision, apóia-se no mapeamento da intensidade dos campos magnéticos encima
das amostras15-18 a serem estudadas. Esta técnica tem sido usada para avaliar as
estruturas de materiais magnéticos em geral somente analisando o mapa magnético.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.8: Em (a) temos a distribuição da intensidade do campo magnético obtida
computacionalmente. No meio (b) mostramos o campo magnético mapeado
experimentalmente o circuito apresentado no circulo B. Na ultima imagem (c) a mesma
imagem vista em (b) mais agora com o núcleo do circuito magnéticos apresentam os
grãos dos domínios magnéticos orientados [Imagens extraídas de Andrzej Michalski.
Magnetovision. IEEE Instrumentation & Measurement Magazine. September 2002].
Na Fig. 2.8 (b) o resultado experimental do imageamento da área mostrada na
Fig.1 (a) pela letra A ao redor da lâmina metálica. O modelo adotado para os cálculos
Capitulo #2 Revisão da Literatura
18
numéricos foi correto, porque os dois mapas foram muito similares. Na Fig.2.8 (c)
ilustra-se o resultado de um experimento onde a lâmina metálica foi orientada,
influenciando significativamente nos resultados. Neste caso fica bem ilustrado que o
método numérico e experimental teve diferenças.
Segundo Andrzej Michalski et al., 2002 os resultados exibidos na Fig. 2.8
sugerem que a magnetovision é muito efetiva para estudar as estruturas dos materiais15.
Na universidade de Warsaw foi desenvolvido um sistema de magnetovision com o
objetivo de estudar a estrutura de materiais17, 20-21. O esquema do sistema de imagens é
apresentado na Fig. 2.9. A área especifica é magnetizada usando um circuito yoque tipo
C-C. Uma linha de sensores magneto-rresistivos mede a intensidade do campo
magnético da amostra magnetizada.
Movendo os sensores é possível observar
diretamente no PC o mapa da intensidade do campo magnético.
Figura 2.9: Esquema de um sistema de magnetovision. Acima do mapa de cores
mostramos a distribuição da intensidade do campo magnético do material com os grãos
dos domínios magnéticos orientados [Imagens extraídas de Andrzej Michalski.
Magnetovision. IEEE Instrumentation & Measurement Magazine September 2002].
Na mesma Fig. 2.9 encima do mapa de cores aparece o resultado para quando se
utilizou materiais com grão orientados. Segundo o autor estes tipos de mapas, permitem
a determinação imediata da qualidade dos materiais como o aço. Essa conclusão é
Capitulo #2 Revisão da Literatura
19
reforçada colocando que por meio da magnetovision poderiam se encontrar fachas e
defeitos nos materiais, sendo uma boa opção para realizar ensaios não destrutivos. E
também podem revelar a influencia de vários processos tecnológicos sobre os
materiais16. Os materiais não estão limitados aos ferromagnéticos, pois outros metais
incluindo o alumínio podem ser analisados Usando os efeitos das correntes de eddy.
Tumanski et al., 1998, desenvolvido outro sistema de magnetovision usando
sensores magnetoresistivos para estudar a estrutura de materiais de aço21. A seguir na
Fig. 2.10 observamos os mapas magnéticos para varias distancias sensor-fonte.
Figura 2.10: Mapas do campo magnético para varias distancias entre os sensores e o
material (a) 0.3mm, (b) 0.5 mm, (c) 1 mm e (d) 2 mm [Imagem extraída de S. Tumanski
and M. Stabrowski, “The magnetovision method as a tool to investigate the quality of
electrical steel,” Meas. Sci. Technol. Vol. 9, pp. 488-495, 1998].
Os resultados da magnetovision são totalmente reprodutíveis, na Fig. 2.10 à
direita mostramos os resultados de duas varreduras em diferentes momentos de tempo
para uma mesma região encima de uma amostra. Vê-se que são quase idênticos. Destes
estudos concluiu-se que os smgra construídos de Permalloy apresentam a possibilidade
de fazerem medições de campos magnéticos sem o uso de circuitos sofisticados. Moses
et al., 1997, tem aplicado estes tipos de sensores em varias investigações22: eles
desenvolveram métodos de análises da estrutura de grãos23-25, análises da estruturas de
Capitulo #2 Revisão da Literatura
20
domínios26 e estudos de materiais com perdas localizadas de potencia27. As maiorias dos
estudos reportados na literatura tratam as análises da microestrutura dos materiais.
Tumanski et al., 1998, publicou recentemente os resultados sobre a possibilidade da
aplicação de smgra para a pesquisa de parâmetros eletromagnéticos das lâminas de
materiais como o aço, mais não só ao nível de micro-escala, eles também podem ser
usados a dimensões de macro-escala21..
2.4 Imagens de Fontes Magnéticas em Geofísica
Uma das áreas onde são concentrados os esforços das pesquisas na reconstrução
das IFM é na geofísica. De modo que a interpretação física da localização e distribuição
das fontes magnéticas por meio de imagens é uma informação importante na exploração
de petróleo e no mapeamento de áreas de exploração de outras jazidas minerais29, o
objetivo destes exames é produzir imagens para uma interpretação geológica qualitativa.
A interpretação em 3D dos dados magnéticos sobre estruturas geológicas não
homogêneas ainda é um problema para a exploração geofísica.
Os métodos de inversão de imagens degradadas de grandezas associadas com
estruturas geológicas na geofísica tradicional são usualmente baseados no uso de um
funcional de estabilização de suavização da imagem. A solução obtida usualmente
apresenta uma imagem suave, não obstante as estruturas geológicas reais são
tipicamente caracterizadas pelo forte contraste de suas propriedades físicas dos
diferentes blocos e camadas.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
21
Portniaguine and Zhdanov, 1999, introduziram um novo método de reconstrução
de imagens magnéticas de estruturas geológicas, o qual é baseado no uso de funcionais
de estabilização que suporte gradiente mínimo29. Estes funcionais permitem obter uma
imagem mais definida ao ser analisadas estruturas complexas. O procedimento é
conhecido como método de “Imagens da Inversão Focalizada”.
O método de imagens focalizadas tem sido aplicado ao problema magnético
inverso em 3D.
A focalização permite a resolução de estruturas com fronteiras
definidas. Este método é importante, especialmente, para campos potenciais onde a
inversão dos dados suavizados muitas vezes parece similar aos dados observados ou
medidos. A compressão dos dados permite inverter matrizes de dados de grande
dimensão, tais como os obtidos em levantamentos aéreos com modestos recursos
computacionais (Portniaguine and Zhdanov, 1999; Portniaguine, 1999; Zhdanov et al.,
1999)29-31.
A seguir apresentamos os resultados de um estudo computacional onde se usou o
método de inversão magnética focalizada. Neste procedimento o problema inverso é
solucionado usando o método de Gradiente Mínimo Conjugado Regularizado. Ao
termino da primeira interação, as imagens tem máxima suavização. Foram tomadas as
imagens da inversão suavizadas e comparadas.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
22
Figura 2.11: Modelos de anomalias magnéticas, no primeiro painel aparecem três tipos
de modelos, placas cúbicas (500 m3) com susceptibilidade uniforme de 0.06, no SI de
unidades. Em (a) temos um cubo não inclinado, no meio temos uma placa inclinada (b)
e por último uma placa defeituosa (c). Na parte direita são apresentadas às imagens
magnéticas geradas por cada um destes modelos, [Extraída de Portniaguine and
Zhdanov, 1999] 29.
Na Fig. 2.11 mostramos no painel da direita à imagem magnética sintética
degradada para os três modelos. Às mesmas adicionaram-se 2% da magnitude dos
dados e adicionados 1nT. Os modelos de anomalias magnéticas vêm-se no primeiro
painel, utilizaram-se três tipos de modelos, placas cúbicas (500 m3) com
susceptibilidade uniforme de 0.06, no SI de unidades. Na Fig. 2.11a temos um cubo não
Capitulo #2 Revisão da Literatura
23
inclinado, no meio tem-se uma placa cúbica inclinada Fig. 2.11b e por último uma placa
defeituosa e inclinada Fig. 2.11c.
Figura 2.12: Na fila do meio se ilustra o resultado da filtragem da imagem pelo método
direito de eliminação de ruídos, e finalmente na última fila aparecem os resultados para
inversão focada. A imagem de susceptibilidade magnética, nos três modelos da Fig. 2.1
[Extraída de Portniaguine and Zhdanov, 1999]32.
Na Fig. 2.12 mostramos às restaurações via suavização e focalização. As
imagens suavizadas fornecem uma informação útil acerca da localização e geometria
dos modelos. Porem, as imagens são difusas e fora de foco, enquanto que as
reconstruções por focalizações reconstroem muito bem os modelos originais das seções
dos modelos. Na parte da placa cúbica inclinada 45o, o defeito é quase invisível na
Capitulo #2 Revisão da Literatura
24
imagem suavizada, enquanto este pode ser reconhecido facilmente na imagem
focalizada, ver Fig. 2.12 (f).
Figura 2.13: Em (a) e (b) temos as imagens dos contornos magnéticos medidas desde
um avião. A imagem da susceptibilidade magnética a 800m usando inversão suavizada
mostra-se em (c) e a focalizada em (d) [Extraída de Portniaguine and Zhdanov, 2003]30.
Portniaguine and Zhdanov, 2000, aplicaram os métodos anteriores a situações
reais. Os dados do campo magnético foram registrados de um avião, segundo
Exxonmobil Upstream Research Company no nordeste do Canadá. Na Fig. 2.13a
mostramos a imagem magnética do campo magnético total observado. Para formar o
mapa de medições o vôo foi feito em linhas separadas a umas distancias de 300m, e a
uma altura de vôo de 100m. A cada 16 metros encima das linhas foram feitas às
medições30.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
25
Aplicando os métodos de inversão citados acima obtemos na Fig. 2.13 as
imagens das fontes magnéticas. Na Fig. 2.13c mostramos os resultados da inversão por
suavização. Esta representa uma placa horizontal de anomalias da distribuição da
susceptibilidade magnética a uma profundidade de 800m. O resultado da aplicação da
inversão focalizada é mostrada na Fig. 2.13d. Vê-se claramente a forma lateral e
extensão de rochas magnetizadas em formação. Por tanto, o procedimento de solução
suavizado produz ima imagem difusa do alvo magnético, por outro lado a solução
focada providencia uma imagem com melhores contrastes30. A escala de cores
corresponde à escala da susceptibilidade magnética anômala em unidades no Sistema
Internacional,
2.5 Problema Inverso na área de Ensaios Não – Destrutivos (NDE)
Os testes ou ensaios não destrutivos (NDE) da frase em inglês (Non-destructive
evaluation) é a ciência que inspeciona a estrutura dos materiais para detectar algum tipo
de falha no interior de sua estrutura, sem comprometer a sua integridade. Um sistema
para fazer NDE genérico é mostrado na Fig. 1. No mesmo os elementos básicos são: (1)
um dispositivo de excitação chamado também fonte de energia; (2) o material a ser
estudado; (3) os transdutores, (4) o sistema de condicionamento dos sinais provenientes
destes últimos, e o por último (5) o computador o qual controla e adquire os sinais em
muito caso via placa de aquisição.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
26
Existem diferentes fontes de energia, dentre das mais utilizadas temos a
eletromagnética, ultra-som, e de raios-x33.
Fonte de
Excitação
Placa de
aquisição
Par de Helmholtz
Transdutores
Magnéticos
Condicionamento
dos sinais
Figura 2.14: Estrutura geral de um sistema de ensaios não destrutivos usando energia
magnética.
O principal motivo para o uso de sensores SQUID na avaliação não destrutiva, é
necessidade de detecção de sinais muito fracas originadas por falhas no interior dos
materiais. Dentre das vantagens no uso dos SQUID estão sua elevada sensibilidade o
que lhe permite medir sinais muito baixas acompanhado com alta resolução espacial,
entre outras.
A essência do uso destas técnicas de imagens das fontes magnéticas medindo o
campo magnético usando SQUID radica em que os mapas do campo magnético
degradados são convertidos, a através da solução do problema inverso, em imagens das
fontes magnéticas (corrente ou susceptibilidade magnética). Entre as técnicas usadas no
NDE tempos filtragem espacial usando transformadas de Fourier, deconvolução a cegas
entre outra, para conhecer mais sobre NDE ver o resumo de Wikswo, 99535-36.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
27
Figura 2.15: Representação do mapa de contornos e da superfície do campo magnético
produzido por esferas magnetizadas a 25 mm acima das amostras [Extraída de 37].
Figura 2.16: Imagens da distribuição da magnetização produto da solução do problema
inverso [Extraída de 37]
Na Fig. 2.15 apresenta-se o mapa de contornos e da superfície do campo
magnético devido a esferas magnetizadas a 25 mm acima das amostras. As separações
entre os picos dos campos, estão em correspondência com as medições encima da
amostra. Isto demonstra que a técnica de NDE com sensores SQUID pode detectar
falhas no interior desses materiais com uma resolução muito menor que 1 mm37. Na Fig.
2.16 mostram-se as imagens da distribuição da magnetização.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
28
Kosmas et al., 2005, utilizou sensores Hall, para desenvolver testes não
destrutivos de superfícies ferromagnéticas, baseadas no fenômeno de detecção de
anomalias magnéticas3. O principio de operação á a medição do fluxo magnético de
fuga, medido na superfície do material.
Na Tese de Hall Barbosa C. R.38 reporta-se a obtenção de imagens da
distribuição das fontes magnéticas como uma das técnicas empregadas na análise e
testes dos materiais e produtos industriais antes de serem vendidos, para assegurar seu
desempenho e confiabilidade durante seu tempo de vida útil. Em geral existem vários
métodos de END tais como: métodos radiológicos (utilizam raios-x, gama e feixes de
nêutrons); métodos acústicos onde se emprega ultra-som e impedância mecânica;
técnicas ópticas e visuais baseadas em interferometria e holografia; também são
utilizados métodos térmicos usando radiação infravermelha e tintas térmicas e por fim,
temos a utilização de métodos magnéticos por meio de análise das correntes de indução,
injeção de corrente elétrica, fuga de fluxo magnético e susceptometria. O primeiro caso
quase sempre é usado para bons condutores, no segundo só para materiais
ferromagnéticos tais como o aço, enquanto o da susceptibilidade em geral usa-se para
testar materiais em geral, dependendo somente da sensibilidade do sensor magnético.
Somente vamos considerar o método magnético. Neste método tem-se a amostra a se
examinar a qual é excitada por um campo magnético, logo a amostra magnetiza-se e as
distorções do fluxo magnético resultantes da presença de falhas ou impurezas na região
de interesse são medidas com magnetômetros. Logo por meio da reconstrução das
imagens das fontes destes dados medidos, se avaliam a presença de defeitos, impurezas,
rigidez mecânica e dureza dos materiais. Este método é utilizado com mais freqüência
na indústria do petróleo, onde é muito comum a corrosão de equipamentos presentes nas
refinarias e plantas petrolíferas.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
Na Fig. 2.17 apresentamos as imagens obtidas usando simulação (ver
29
39
) A
imagens deconvoluida obtida na Fig. 2.17c gerada por seis dipolos magnéticos
(simulando o defeito) com a mesma intensidade, como se pode observar o defeito
corresponde à mancha branca, e o resto que corresponde à mínima intensidade é
material permeável magneticamente.
Figura 2.17: Em (a) temos seis dipolos com a mesma intensidade, supondo que estão no
interior de um material ferromagnético são previamente magnetizados, no meio (b) uma
vista da iso-densidade a seguir destes dipolos, e (c) representação da imagem em tons de
cinza destes dipolos, [Extraída de A. C, Bruno. 1997. J. Appl. Phys. 82 (12): 5899-5905.
December]39.
A reconstrução da imagem das fontes magnéticas tem que resolver o problema
inverso, ou seja, desde o valor do campo magnético, computar as fontes que lhe
produzem, para fazer isto existem vários métodos e um dos mais usados é o da
decomposição ortogonal da matriz induzida ou de Green, conhecido como
decomposição de valores singulares (DVS). Em Abedi et al., 1999, reporta-se o uso do
SQUID no exame da corrosão de estruturas de alumínio. Na Fig. 2.18 apresentamos a
variação da imagem dos contornos do campo magnético produzido por uma amostra de
alumínio em andamento de um processo de corrosão40.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
30
Figura 2.18: Apresentamos a variação do campo magnético produzido por uma amostra
de alumínio durante um processo de corrosão em andamento [Extraída de Abedi et al.,
1995. In: IEEE Transactions on Applied Superconductivity. Vol. 5, No. 2 June]40.
A superfície inferior da amostra examinada de 7 cm de diâmetro e 1,2 mm de
espessura foi exposta a uma solução de hidróxido de Sódio (NaOH) durante 33 horas a
temperatura ambiente. As imagens mostradas na Fig. 2.18 representam a mudança da
componente-z do campo magnético sobre a amostra corroída durante as primeiras 18
horas do experimento. A atividade magnética é localizada sobre as áreas da amostra, e
exibe uma estrutura espacial e temporal complexa em escalas espaciais da ordem de
vários milímetros. A área escura a seguir significa regiões de corrosão menos ativas, e
as regiões com maior atividade de corrosão são claras, por isso podemos ver que à
medida que o tempo passa as imagens vão perdendo a cor clara e tornando-se mais
escuras. Os autores sugerem o uso da técnica de END usando SQUID no exame de
todos os metais não-magnéticos41.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
31
2.6 Eletroencefalografia (EEG)
Os avanços recentes na tecnologia de imagens aplicada a sistemas vivos
permitem fazer análises sobre processos complexos tais como aqueles que acontecem
“in vivo”. Atualmente usando imagens na clínica médica é possível obter informações
acerca dos processos metabólicos normais e anormais que acontecem no organismo
humano42. Devido ao fato inerente da alta resolução temporal do EEG, pesquisas para
aumentar a resolução das images de EEG, têm recebido uma considerável atenção nas
últimas décadas43.
De tal forma que modalidades de imagens poderiam facilitar a localização não
invasiva da descarga no cérebro de focos epilépticos, e a caracterização de mudanças
rápidas de patrões de ativação cerebral43.
Varias esforços tem sido feito para encontrar imagens de alta resolução espacial
usando EGG, a maioria faz a desconvolução de filtragem espacial considerando os
efeitos de filtragem passa baixa do volume condutor da cabeça (DALE and SERENO,
1993) 43. A técnica de imagem da camada de dipolos corticais, a qual permite estimar a
distribuição de dipolos corticais desde os potenciais medidos externamente no córtex
cerebral, é uma das técnicas usadas para realçar as características espaciais das imagens
de EEG. Neste procedimento uma camada de dipolos fontes, é usada para modelar a
atividade elétrica do cérebro. Usando-se esse modelo se tem obtido resultados, na
obtenção de imagens de fontes elétricas do cérebro, que demonstram um melhor
desempenho em quanto à resolução espacial comparada com os métodos usuais tais
como “smeared scalp” (HORI and HE, 2001; HE, 1999)44-46.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
32
O problema inverso em EEG é mal-condicionado e em geral um procedimento
de regularização é necessário para obter uma solução estável. Recentemente tem-se
desenvolvido novos métodos de analises de imagens de EEG, dentro do qual se destaca
um método baseado também na técnica de imagem da camada de dipolos cortical, mas a
diferença, neste utiliza-se uma filtragem de projeção paramétrica (FPP). O paradigma
anterior permite estimar a solução do problema inverso da camada de dipolos corticais
em presença de ruído de covariância (HORI and HE, 2001; 2002 2003)47,
48, 49
. Os
resultados indicaram que o método FPP mostrou melhores resultados na aproximação
das camadas de dipolos original, respeito a técnica de solução do problema inverso
tradicional, nos casos de baixa correlação entre as distribuições dos sinais e o ruído.
Na atualidade Hori et al., 2004, tem reportando a importância da informação
espaço-temporal subministrada pela atividade elétrica do cérebro, desde medições
experimentais eletromagnéticas de forma não-invasiva50. Concretamente, a covariância
do ruído e o parâmetro de regularização do FPP são considerados dependentes do tempo
com o objetivo de eliminar a influencia do ruído e artefatos que impedem melhores
relações sinal-ruído.
2.7 Magnetoencefalografia (MEG) e Magnetocardiografia (MCG).
Há mais de 200 anos sabe-se que os campos biomagnéticos relacionam-se com o
funcionamento normal dos tecidos biológicos. Galvani demonstrou que os músculos são
ativados pela corrente elétrica. Ukhtomsky et al., 1970, comprovou os efeitos da
exposição a campos magnéticos intensos que, por indução, conseguiam estimular o
sistema muscular da rã54. Hoje se sabe que a função das células excitáveis está baseada
no intercambio de íons, principalmente os de K+, Na+ e Cl-. O campo gerado por estas
Capitulo #2 Revisão da Literatura
33
mudanças dos íons numa só célula é muito diminuto, da ordem de 10-18 T, logo se
necessita de um conjunto de células realizando uma dada atividade simultânea para
obter campos biomagnéticos mensuráveis, grupo de células que ocupam uma dada
região do espaço macroscópico e sua atividade acontece num dado intervalo te tempo.
Como foi dito a MEG mede e interpreta o campo magnético gerado pela atividade
síncrona dos neurônios cerebrais e localiza a origem das bio-correntes. Desde o ponto
de vista médico esta técnica não nos oferece detalhes anatômicos, portanto ela é
combinada com mapas de RMN para obter informações anatômico-funcionais das
diferentes regiões do córtex cerebral. Logo se formam novos conjuntos de dados que se
podem classificar como uma nova técnica de diagnóstico em pesquisas chamada
Imagem de Fontes Magnéticas (IFM).
Os primeiros trabalhos onde se identifica a atividade elétrica neural para
comprovar as possibilidades dos campos magnéticos como fonte de informação nos
estudos da condução elétrica, se realizaram em fibras nervosas por SEIPEL e
MORROW55 (1960). Em 1963, BAULE e MCFEE56 registraram pela primeira vez a
atividade elétrica do coração a partir da detecção dos campos magnéticos mediante uma
bobina sensora de 2 × 10 6 voltas. Não obstante, teve-se que esperar outros cinco anos
até que, no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, COHEN58 (1968) registrasse os
fracos sinais produzidos pela atividade cerebral. Ele usou um sistema de 106 espiras
com uma sensibilidade de 0,1 pT pico a pico. Um ano depois, ZIMMERMAN57,
desenha a primeira câmara isolada de campos ambientais e registra a atividade cardíaca
com o novo sistema de captação mediante o uso de supercondutores SQUID, baseados
no efeito Josephson. Em 1972, o próprio COHEN conseguiu identificar a atividade alfa
em quatro sujeitos, utilizando a câmara isolada de Zimmerman (ver Fig. 11)57.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
34
Figura 2.19: Câmara isolada de campos magnéticos ambientais, desenhada por
ZIMMERMAN no Massachusetts Institute of Technology [Extraída de Cf57].
COHEN, 1972, realiza as primeiras comparações do MEG com o EEG e
comprova que as duas formas de onda obtidas eram similares58, à medida que os
sistemas de registro avançavam, o modelo mais utilizado era o de um dipolo situado
numa superfície esférica homogênea, que considerava a morfologia da cabeça próxima a
uma esfera. Os magnetômetros “mono-canais” deram rapidamente passagem a outros
aparelhos de maior número de canais com o objetivo de poder realizar registros
simultâneos de áreas cada vez maiores: primeiro de um só hemisfério e depois de
ambos.
Na década de 80, os trabalhos de CLARKE59 sobre novos sistemas de registro
SQUID à temperatura mais elevada permitiram começar a desenvolver equipamentos,
de maneira que possibilitaram diferenciar o sinal com melhor resolução espacial, tanto
em superfície como em profundidade. Desta forma, obtém-se acesso a registros
“subcorticais” de forma totalmente não evasiva. O aumento do número de canais foi
produzido de forma paulatina ao compasso do desenvolvimento dos novos sistemas
Capitulo #2 Revisão da Literatura
35
gradiométricos (de primeira e segunda ordem, e planares) que conseguiam eliminar
fontes de ruído e o registro simultâneo em todo o escalpo (wholehead).
Primeiro foram dois canais; depois quatro Hämäläinen60 (1985); a continuação
sete canais, um dos sistemas mais utilizados por Ahonen39 em 1986; logo de catorze
canais, Crum61 em 1985; a seguir de vinte e quatro canais, Hämäläinen62 em 1989 e,
finalmente, Daalmans63 apresentou no Congresso de Shikabe, Japão (1989), o primeiro
DC-SQUID de 31 canais. Apesar de que todos estes sistemas de registro eram monohemisféricos, isto é, não registravam toda a atividade cerebral simultaneamente, nessa
época a MEG se mostrou como a tecnologia que mostrava menos erros de localização
entre as técnicas funcionais não invasivas em tarefas de estimulação do córtex
somatosensorial64. Não obstante, a necessidade de obter medidas em tempo real da
atividade cerebral global estimulou o desenvolvimento de equipamentos bi-hemisféricos
(em realidade de aparelhos de 37 canais acoplados a um mesmo sistema de análises,
Biomagnetics Technologies Inc. San Diego). Posteriormente, CTF Systems Inc.
(Vancouver, Canadá) produz um sistema de 64 canais que utilizavam um sistema de
referência de EEG de 16 canais simultaneamente.
Com efeito, somente nos últimos anos, com a aparição dos sistemas dotados de
um grande número de canais (Neuromag122, Biomagnetics148, e 150, e finalmente
com o Neuromag Vectorview306) pode-se ter acesso à informação de forma simultânea
produzida em qualquer área do coração e do cérebro. Pizzella et al., 2001 fizeram um
excelente resumo do uso dos SQUID em imagens biomagnéticas onde se apresenta
similaridade entre o EEG e MEG como podemos ver na Fig. 2.20 observamos a
Capitulo #2 Revisão da Literatura
36
analogia entre o EEG e o MEG de um paciente normal, demonstrando que ambas as
técnicas estão medindo as mesmas fontes66.
Figura 2.20: Na parte de acima mostramos o MCG e ECG (baixo) registrado para um
paciente normal (Extraída de Pizzella et al. 2001. Supercond. Scienc. Thech. 14: R79R114)66.
O organismo humano é condutor de eletricidade e as correntes (primárias) que se
produzem no coração geram correntes secundárias em outros tecidos. O ECG detecta
os sinais gerados pelas correntes secundárias, pelo que seria mais importante medir e
conhecer as primárias, diretamente ligadas à atividade muscular do coração. Portanto, a
MCG seria capaz de acompanhar, mais fielmente que a eletrocardiografia, o que se
passa no coração, pois existem evidências de que o sinal magnético é produzido,
sobretudo pelas correntes primárias e pouco influenciado pelas secundárias. Isso fica
claro se compararmos o eletrocardiograma e o magnetocardiograma de um feto, ver Fig.
2.21. O primeiro obtido por eletrodos colocados sobre o ventre da mãe, mostra, além do
sinal elétrico do coração do feto, outro (de maior amplitude) vindo da atividade do
coração da mãe a quase meio metro de distância dos eletrodos. Já no
Capitulo #2 Revisão da Literatura
37
magnetocardiograma só aparece o sinal magnético do coração do feto: o gerado pelas
correntes secundárias produzidas pelo coração da mãe não é detectado67.
Figura 2.21: Magnetocardiograma e eletrocardiograma de um feto: no primeiro só
aparece o sinal do feto, e no outro estão presentes os sinais da atividade elétrica do
coração da mãe picos mais altos e do feto, picos menores [Extraída de Cf67].
Investigações prévias demonstram que a MCG multicanal pode ser usada não
invasivamente para fazer imagens cardíacas funcionais para estudar a fisiologia do
coração, consequentemente o número de hospitais onde se usam estes sistemas têm
aumentando68, apesar de que ainda a MCG não é reconhecida como ferramenta clínica
de rotina. Resultados importantes têm sido publicados sobre problemas relacionados
com: 1) localização não-invasiva de regiões no coração que causam arritmias69, 70, 71, 72
2) alertarem do perigo de sérios riscos para a vida devido à arritmias73,
caracterização e localização de isquemias do miocárdio77-79.
74, 75,76
e 3)
Capitulo #2 Revisão da Literatura
38
Figura 2.22: Em (a) Diferentes sinais de MCG medidos com um cardiomagnetometro de
99 canais em um paciente sofrendo uma taquicardia ventricular, b) o batimento normal
do ritmo sinusal e c) batimento extracistólito ventricular (Extraída de Keiji Tsukada et
al. 1999. Hitachi Review Vol. 48 No. 3:117-119 )80.
Na Fig. 2.22 visualiza-se MCG medidos com um cardiomagnetômetro de 99
canais em um paciente sofrendo uma taquicardia ventricular. Em (a) mostra-se os
primeiros complexos QRS indicando uns batimentos normais, seguidos por um
batimento extracistólito anormal depois da onda-T. Os sinais medidos por um
magnetômetro de 33 canais são mostrados pelas curvas azuis.
A apresentação dos iso-contornos (mesmo valor do campo em todo o perímetro
do circulo que representa o campo magnético) da componente do campo magnético
normal à superfície do arranjo dos sensores pode ser extrapolada. Eles são aqui
descritos ambos no começo, (b) o batimento normal do ritmo sinusal, e (c) batimento
extracistólito ventricular. Os círculos denotam os sensores. O mapa de linhas iso-campo
magnético mostrado na Fig. 2.22 representa a mudança eletro fisiológica dinâmica do
coração80. Ao mesmo tempo são muito usados para identificar mudanças temporais, tais
como as causadas por arritmias ou bloqueio da condução, diagnósticos de outras
doenças, como a isquemia do miocárdio que algumas vezes é muito difícil identificar,
somente observando mudanças dinâmicas.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
39
Figura 2.23: Mapas isointegral de um indivíduo normal e de outro com uma isquemia
cardíaca. Ao comparar os mapas isointegral para os processos de despolarização (QRS)
e de repolarização (ST-T), ficou claro a diferença entre ambos os processos no caso do
coração com isquemia (Extraída de Keiji Tsukada et al.1999. Hitachi Review Vol. 48
No. 3: 117-119)80.
Em um mapa de campo magnético tangencial, a área entre o campo magnético e
a fonte de corrente é coincidente. Esta coincidência nos permite obter uma imagem de
corrente total projetada por o uso de mapas isointegrais77. Tsukada et al., 1999,
examinou a possibilidade do uso de tais mapas para o diagnóstico de doenças
isquêmicas do coração. O processo de ativação cardíaca no ventrículo é dividido em
duas partes: despolarização (QRS) e repolarização (ST-T).
Exemplos de mapas isointegral são mostrados na Fig. 2.23, de um paciente
normal e de um com isquemia. O mapa do paciente normal mostra um padrão similar
para ambos os processos, QRS e ST-T. O valor máximo é localizado no ventrículo
esquerdo. O mapa do paciente com isquemia cardíaca mostrou diferenças nos processos
QRS e ST-T. Essas diferenças poderiam ser devido a correntes de perturbação causadas
Capitulo #2 Revisão da Literatura
40
por regiões isquêmicas. Isto é, o fluxo de corrente nas regiões isquêmicas se converte
em randômicas e a corrente total é mínima. A comparação entre os iso-mapas QRS e
ST-T pode ser um método promissor no diagnóstico nas isquemias cardíacas80.
A MEG representa o campo de pesquisas onde IFM tem apresentado vários
resultados clínicos importantes pelo que têm crescido o interesse de neurologistas,
físicos médicos e neurofisiologos. Como uma conseqüência direta, a MEG junto com
IFM tem sido reconhecida como uma potente ferramenta para fazer imagens funcionais
para complementar a fMRI e PET, também é a técnica de melhor resolução temporal, da
ordem de 1ms ou menor, comparado com a fRMI (1s) e a PET(1 min). Por outro lado a
resolução espacial, que tanto importa para localizar as diferentes áreas de ativação do
cérebro, é da ordem de 2-10 mm, não tão boa quando é comparada com as técnicas de
fMRI e PET, as quais apresentam 2 mm e 2.5 mm, respectivamente.
Figura 2.24: Campo magnético medido sobre a área temporal e parietal por dois
sensores depois de uma estimulação elétrica na mão esquerda de um voluntário,
[Extraída de Pizzella et al., 2001. Supercond. Scienc. Thech. 14: R79-R114]66.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
41
Na Fig. 2.24a vemos o campo magnético medido sobre a área temporal e parietal
por dois sensores depois de uma estimulação elétrica na mão esquerda de um
voluntário, a barra vertical indica o momento do estímulo. A série de picos indica a
subseqüente ativação de grupos de neurônios. Na Fig. 2.24b vemos a distribuição do
campo magnético ao acontecer o primeiro pico apresentado em Fig. 2.24a e registrado
21 ms após a estimulação66.
Figura 2.25: Esquerda mostra a ativação cortical do córtex somatosensorial primária
durante a estimulação do nervo médio [Extraída de Pizzella et al., 2001. Supercond.
Scienc. Thech. 14: R79-R114]66.
A Fig. 2.25 nos mostra a capacidade do método em identificar diferentes áreas
do cérebro reagindo a um estímulo sensorial. O sinal dado indicado pelo quadradinho
branco mostra a ativação cortical medido por meio de MEG 20 ms depois da
estimulação; a área cinza com as bordas brancas é a ativação cortical medida por fRMI.
Na parte direita se visualiza a ativação do córtex somatosensorial secundário durante a
estimulação do nervo médio esquerdo. A caixa branca significa a ativação da área
cortical medido com MEG após 70 ms da estimulação. A habilidade ou sutileza do IFM
mostra mudanças nos padrões das “bio-correntes” (ou em geral das fontes magnéticas)
geradores dos campos magnéticos. Segundo os autores66 é plausível o uso de IFM na
observação de fenômenos de reorganização cerebral (chamado de plasticidade do
cérebro).
Capitulo #2 Revisão da Literatura
42
Na Fig. 2.26 se apresenta uma comparação de IFM versus fMRI a razão de
acertos na localização das fontes magnéticas, como se pode apreciar para estudos de
estimulações somatosensoriais a IFM tem uma taxa de 100% de acertos79.
Figura 2.26: Comparação dos métodos de IFM com fMRI na localização de zonas de
ativação, [Extraída de Timothy P.L., et al.1997. AJNR Am J Neuroradiol 18:871-880]79.
Com estímulos similares, fRMI, uma identificação satisfatória dos pixels em
somente 69% dos casos. Com uma tarefa motora mais robusta, com protocolo de
aquisição e análises estatístico similares, a fRMI apresento 100% de sucesso na
localização das regiões ativas79.
Figura 2.27: Imagens mostrando a localização da zona de ativação ao estimular o dedo
indicador esquerda, [Extraída de Timothy P.L., et al.1997. AJNR Am J Neuroradiol
18:871-880]79.
Na Fig. 2.27 à esquerda mostra os resultados da localização da zona de ativação
após a estimulação do dedo indicador esquerdo, em (A) por meio de fMRI e em (B) por
Capitulo #2 Revisão da Literatura
43
meio IFM. Para o mesmo voluntário nas mesmas condições, nota-se que a resolução do
método IFM é maior79.
Na Fig. 2.28 podemos ver alguns casos onde a fMRI não funciona ou falha ao
mostrar uma região de ativação(A), como pode se ver múltiplos pixels individuais que
satisfazem a condição de correlação (pontos vermelhos), porem esta técnica falha ao
satisfazer a correlação, requerimento básico para satisfazer a conectividade espacial 79.
Esta observação foi feita em vários sujeitos, e presumivelmente reflete a
falta de extensão espacial suficiente.
Figura 2.28: Falha na localização da zona de ativação ao estimular o dedo indicador
esquerda, [Extraída de Timothy P.L., et al.1997. AJNR Am J Neuroradiol 18:871-880]79.
2.8 Magnetogastrografia (MGG)
As técnicas para estudar a região gástrica (motilidade gástrica, gastroparesias,
isquemias intestinais, etc.) tanto na clínica médica quanto nas pesquisas básica, utilizam
Capitulo #2 Revisão da Literatura
44
as medidas de grandezas físicas, como a pressão, fluxo, força, entre outras. Métodos
que não tem muita aceitação pro partes dos pacientes, pelo desconforto que elas
provocam ao serem aplicadas. Só, recentemente medições usando técnicas elétricas têm
sido investigadas, para extra-ir informação da região gastrintestinal. Mais ainda o
diagnóstico desta região do corpo humano, é feito pelas técnicas iniciais tais como
raios-x, cintilografia, cateteres, e tubos introduzidos no trato gastrintestinal. A pesquisa
do trato gastrintestinal via técnicas biomagneticas tem sido separada em duas áreas bem
definidas: (a) medições com sensores muito sensíveis dos campos magnéticos
produzido pelas correntes que circulam nos órgãos, MGG e, (b) medições dos campos
magnéticos produzidos por materiais magnéticos que são ingeridos. As medições dos
campos magnéticos intrínsecos podem servir para estimar a distribuição das correntes
na região gastrintestinal, e de com essa informação caracterizar a sua atividade bioelétrica.
Os campos produzidos por marcadores magnéticos (MM), ou traçadores
magnéticos (MT), e localizados no interior do corpo podem ser medidos e seguidos
encima do torso. Os sinais medidos brindam informação sobre a posição, curso do
tempo, concentração, estado de organização, que nos podem das uma relação com a
motilidade gastrintestinal e outras atividades mecânicas associadas.
Desde começos dos anos 90 do século passado se iniciaram em nosso laboratório
uma série de estudos sobre o sistema gastrintestinal, aplicando principalmente técnicas
biomagnéticas com o intuito de avaliá-las como possível método diagnóstico eficaz da
dita região. Em vários trabalhos de Teses foram levados a cabo estudos de montagem
de instrumentação, estudos in vivo in voluntários, de simulação e analise de sinais81-91,
Capitulo #2 Revisão da Literatura
45
entre outros; que nos reforça a idéia de obter imagens dos traçadores ferromagnéticos,
ou de sua magnetização ou suceptibilidade magnética.
A idéia em concreto seria: uma vez ingerido os traçadores magnéticos
(principalmente de MnFe2O3) inócuos ao organismo, o mesmo é magnetizado por um
campo magnético externo, alinhando o momento dipolar magnético das partículas
suspensas no alimento teste, logo começa o processo de perda da magnetização a qual é
seguida. Esta relaxação randômica dos traçadores é causada principalmente pela
interação direta com o estômago, seja sua atividade mecânica, e trata-se de encontrar
alguma informação sobre a fisiologia do sistema gástrico para ter elementos e inferir um
critério diagnóstico.
Com o interesse de estudar o esvaziamento gástrico, Miranda et al., 1992,
desenvolveu um biosuceptômetro de corrente alternada92 AC (BCA) e obtive que o
tempo médio de relaxação das partículas no estômago medida via biomagnética
mostrava boa precisão comparada com o tempo médio de decaimento registrado pela
câmera ganma. A mesma técnica usando os traçadores e o BCA foi usado para medir a
contração antral93, o tempo de trânsito do colon94 obtendo-se que esta técnica também
pode servir para estudar a motilidade do esôfago e do colon obtendo resultados
comparáveis com as outras técnicas. Outra vantagem pode ser observada na estimação
do tempo de transito do esôfago, determinado por via biomagnética, ou seja, não
invasiva.
Carneiro et al., 1999, implementou um sistema par medir a velocidade de
relaxação das partículas ferromagnéticas no estudo da motilidade gástrica95. Nesse
estudo chegou-se à conclusão que a velocidade de relaxação das partículas pode ser
Capitulo #2 Revisão da Literatura
46
tomada como uma boa variável estimadora da potência de mistura do estomago. Em
estudos recentes tem registrado o Monitoramento de Marcadores Magnéticos (MMM)
para estudar a atividade motora do estômago. Outros estudos estão relacionados com a
dissolução de doses de drogas ingeridas via oral, confirmado padrões cíclicos da
atividade elétrica gástrica (AEG)96; por meio de ultrasonografía e a Ressonância
Magnética Nuclear, tem-se visualizado contrações do estomago, e com o emprego dos
sensores quânticos supercondutores (SQUID); tem-se mostrado mudanças cíclicas dos
campos magnéticos endógenos produzidos pelo estômago e intestinos97. Bradshaw et
al., 2001, sugeriu que a isquemia mesenterica poderia ser diagnosticada por meio das
medições dos campos magnéticos que gera o intestino 97, 98.
Moreira et al., 2001; realizaram os primeiros passos na futura aplicação de
técnicas biomagnética por meio de imagens99. O estudo tinha como objetivo realizar
imagens de Fantons de traçadores ferromagnéticos usando um BCA mono canal. Dos
resultados dos estudos foi demonstrado que a técnica usando BCA tem potencial para
ser utilizada no estudo de sistemas in vivo e sugeririam o uso de sistemas multicanal
para adquirir mais imagens num tempo mais rápido compatível com a atividade
funcional do estômago. Uma mostra das imagens obtidas pelo o sistema desenvolvido
nesse trabalho pode ser vista na Fig. 2.29 eles concluíram que a técnica usando BCA
tem potencial para ser utilizada no estudo de sistemas in vivo e sugeriram o uso de
sistemas multicanal para adquirir mais imagens num tempo mais rápido compatível com
a atividade funcional do estômago.
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47
Fig. 2.29 Imagens de fontes magnéticas degradadas e suas correspondentes imagens
reconstruídas, típicas de dois fantons em (a-b) para o fantons com formato do número 7,
e em (c-d) as do fantom com formato de cruz +, [Extraídas de Moreira et al., 2001]99.
Na parte da direita das imagens aparece uma vista do plano de projeção. Como
se pode ver o procedimento para a produção das imagens foi capaz de produzir imagens
de boa definição e resolução. Os fantons foram de ferrita de densidade de 4.88 g/cm3,
ocupando 3% do volume total. Esses resultados iniciais mostram que um
biosuceptômetro de corrente alternada pode ser usado para obter imagens de fontes
magnéticas com moderada resolução espacial.
Capitulo #2 Revisão da Literatura
48
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Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
59
Capitulo 3. PROBLEMA INVERSO E MÉTODOS DE SOLUÇÃO
3.1 Introdução
As técnicas matemáticas de regularização são de muita ajuda à hora de enfrentar
solucionar problemas mal-condicionados. Por exemplo, a regularização é usada para fazer o
problema mal-posto menos sensível ao ruído. Nesta parte da tese vamos descrever, e entender a
necessidade de usar a regularização para resolver o problema magnético inverso na obtenção de
imagens das fontes magnéticas.
3.2 Formação de uma imagem
O problema de obter uma imagem relaciona três espaços ou planos: espaço objeto, onde
esta situada o objeto fonte da imagem; espaço do sistema de medições, e o plano das imagens,
como podem observar-se na Fig. 3.1.
f [n, m ]
η [n, m] Ruído
H
g[n, m]
+
Sistema
Espaço das Medições
Espaço Objeto
Espaço Imagem
Figura 3.1: Esquema que mostra o processo de formação de uma imagem.
Da figura anterior fica claro que o processo de obtenção de uma imagem passa por uma
etapa de medições, onde se produz a conversão dos sinais registrados pelo sistema de
transdutores numa imagem. Se o sistema fosse um transdutor ideal, a propriedade física
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
60
imagem gerada desde os correspondentes pontos do objeto iria ter uma correspondência
biunívoca nos pontos da imagem. Mas na realidade o sistema é imperfeito e apresenta
instabilidade e ruídos e, como conseqüência, não se tem uma imagem fiel e sim uma imagem
borrada ou degradada.
Matematicamente este processo seria o resultado da resposta do sistema H [n, m] devido
à presença do objeto f [n, m] o qual implica a formação da imagem degradada g[n, m] :
g [n, m] = H { f [n, m]}
(3.1)
A expressão anterior pode ser escrita da seguinte forma segundo Moreira et al [Marcelo teses]:
∞
∞
g[n, m] + η[n, m] = ∑∑ f [α , β ]h[n − α , m − β ]
(3.2)
−∞ −∞
Que não é mais que a convolução da resposta de sistema com a função objeto, ou seja:
g [n, m] = h[n, m] ⊗ f [n, m]
(3.3)
Nesta teses vamos chamar a eq. (3.3) como equação fundamental para um maior
entendimento ao explicar a deconvolução usando o filtro de Wiener Paramétrico Generalizado
e outros métodos de solução do problema inverso.
Em termos de processamento de imagens o problema de obter uma dada imagem
conhecido o objeto é conhecido como problema direto, e conhecer a imagem do objeto dada à
imagem degradada (saída do sistema), e a função característica do sistema (função de
espalhamento pontual) chama-se problema inverso, restauração ou deconvolução da imagem.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
61
3.3 Problema inverso
Desde o ponto de vista fenomenológico (causa do processo -sistema - efeito), o
problema inverso, pode ser descrito como o procedimento lógico dado pela seqüência efeito –
sistema – causas. No sistema físico de estudo (fontes magnéticas – sistema de medição – campo
magnético), a aplicação do problema inverso, seria obter as imagens das fontes magnéticas
(causa), conhecido a função de transferência do sistema (sistema de medição) e a imagem
degradada do campo magnético medido experimentalmente (efeito).
Em geral um modelo que descreva o problema inverso consiste na relação entre alguma
entrada e alguma saída, onde usualmente a saída é definida pelos dados medidos
experimentalmente, ver Fig. 3.2. Solucionar o problema inverso é encontrar a entrada que
melhor satisfaz a saída definida pelo sistema de medição, essa relação vem expressada na eq.
(3.3).
ENTRADA
SISTEMA
SAÍDA
Figura 3.2: Estrutura do problema inverso
O problema inverso é muito mais complicado de solucionar que o problema direito,
porque o problema é de natureza mal - condicionado devido à presença de ruído nas medições.
O significado de um problema de ser “mal–condicionado” será discutido na próxima seção. Só
vamos deixar um ponto no ar: sem conhecermos de forma exata as medidas da imagem da saída
(degradada), solucionar o problema inverso não teria problema algum.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
62
3.4 Problemas “mal-condicionados”.
A equação fundamental (3.3) pode ser rescrita de forma matricial da seguinte forma:
Af = b
Sendo A = h [ n, m ] ; b = g [ n, m ] e
(3.4)
f = f [ n, m] a resposta do sistema ou função de
espalhamento pontual (PSF), a imagem degradada e a imagem do objeto fonte magnética,
respectivamente. Intuitivamente, quando lidamos com um problema da forma expressa na eq.
(3.4), a solução mais simples poderia resultar ao multiplicarmos ambas parte em (3.4) por A−1 ,
calcula-se como:
A−1 Af = A−1b ⇒ f simples = A−1b ,
(3.5)
Onde se deve garantir que A−1 exista. Em conexão com a teoria de problemas inversos, esta
solução é chamada de solução “ingênua”. Estudos1 demonstram que está solução não é única, a
solução computada apresenta um grande erro, pelo que sua aplicação não é a melhor escolha,
em comparação aos algoritmos que vamos expor mais adiante.
De fato essa solução ingênua não é boa estimativa da solução num problema inverso.
Isto é causado pela natureza mal – condicionada do problema. Segundo Hadamard um
problema “bem-condicionado” é caracterizado pela existência, unicidade e estabilidade da
solução. Um problema no qual não se satisfaz todas as três condições anteriores o problema é
chamado de “mal-condicionado”. Uma conseqüência da instabilidade de um problema malcondicionado é que pequenas alterações nos dados medidos (aqui entra a influencia do ruído, o
qual assegura na prática esta condição) induz perturbações grandes na solução. Isto é, pequenos
erros; exemplo o ruído na imagem degrada, que também lhe chamaremos lado da parte direita
do sistema dado pela eq. (3.4), provocaria o produziria grandes influencia na solução. Um
indicador da estabilidade do problema é o numero da condição de uma matriz de range
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
63
completo. Este número é uma media de quanto de grande é a influencia das perturbações nos
dados medidos na saída tem sobre a solução.
Os problemas inversos normalmente são mal-condicionados2, pois somente numa
situação irrealista podem se conseguir medir dados exatos. Consequentemente a influencia do
ruído é um problema muito serio a ter presente na hora de computar a solução destes tipos de
problemas. A idéia é que se deve tratar alguma maneira de processar os dados medidos
degradados considerando o ruído para obter uma solução estável. Precisamente os métodos de
Regularização apóiam-se nessa situação, usam procedimentos de estabilização, por meio do
controle do ruído para solucionar os problemas mal-condicionados. Na essência eles utilizam
conhecimento à “priori” sobre a natureza da solução para estabilizar-lha.
3.5 Decomposição de Valores Singulares (SVD).
A decomposição de valores singulares é uma ferramenta de muita utilidade na solução e
analises de problemas mal-condicionados. Em ordem de definir a DVS consideraremos a
matriz A representante da função de espalhamento do sistema de medições, como sendo
quadrada, mais em geral não se precisa cumprir esta condição.
Teorema 1 Seja A ∈ ℜ m×n então existem U ∈ ℜ m×m , V ∈ ℜ n×n ortogonais e D ∈ ℜ m×n uma
matriz diagonal cuja diagonal vem dado pelos valores singulares μ1 ≥ μ 2 ≥ ... ≥ μ p ≥ 0 com
p = mín{m, n} de modo que podemos expressar a matriz A como,
A = UDV T
(3.6)
Se m > n então
(3.7)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
64
Se m < n então
(3.8)
Corolário 1 Seja A ∈ ℜ m×n , com posto( A) = p e sejam μ1 ≥ μ 2 ≥ ... ≥ μ p ≥ 0 seus valores
singulares. Se U = [u1 ,..., u m ] ∈ ℜ m×m , V = [v1 ,..., v n ] ∈ ℜ n×n são ortogonais tal que A = UDV T ,
então se cumpre que:
p
A = ∑ μ i u i viT
(3.9)
i =1
A solução do sistema de equações lineares (3.4) usando DVS (aqui σ i = μ i )
demonstrasse vem dado por (mais detalhes da solução podemos encontrar-lha no anexo A7):
n
f simples = A−1b = ∑
i =1
uiT b
σi
vi
(3.10)
A qual como já foi visto, não é uma boa solução para resolver o problema inverso, pois
queda totalmente corrompido com o ruído. Isto é causado, como já foi entredito, pelos erros na
matriz da PSF ( A ) e da imagem magnética degradada ( b ) da parte direita, o qual pode ser
ilustrado no gráfico de Picard. O gráfico de Picard mostra a variação dos valores singulares σ i ,
T
i
os Coeficientes de Fourier u b e os coeficientes dos SVD
uiT b
σi
.
O gráfico da Fig. 3.4 mostra a condição de Picard para uma matriz A ,nele mostra-se em
claro como os valores singulares σ i de A , decaem gradualmente a zero. Para valores do índice
i os Coeficientes de Fourier uiT b também decaem gradualmente, até alcançar o nível do ruído,
depois desse ponto estes coeficientes são totalmente dominados pelo ruído do sistema os
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
coeficientes dos SVD
uiT b
σi
65
. Também decresce para valores pequenos de i, mais depois de
atingir o ruído começam aumentar gradualmente. Mais também são dominados pelo ruído, pois
não cumpre a condição de Picard discreta, a qual afirma que os coeficientes de Fourier versus
o índice de iteração, decaem tão rapidamente quanto os valores singulares. Como podemos ver
na Fig. 3.4 isto não se cumpre. Está condição é muito importante, pois é a que nos assegura
que a solução do problema inverso real pode ser aproximada pela regularizada (pois no caso
ideal numas medições sim ruídos os coeficiente de Fourier e os valores singulares cumprem a
condição de Picard) com a escolha certa dos parâmetros de regularização3.
Figura 3.4: O gráfico de Picard mostra a variação dos valores singulares σ i , os Coeficientes de
uiT b
. Foi adicionado um ruído de 10-3 na parte direita
σi
do sistema apresentado pela eq. (3.4) [gráfica extraída Cf4]
T
i
Fourier u b e os coeficientes dos SVD
Este tipo de analises gráfico ilustram que num problema mal – condicionado somente os
primeiros coeficientes SVD contribuem na imagem, quando computamos a solução ingênua, o
resto são dominados pelo ruído. Isto permite que possa ser feita uma filtragem dos coeficientes
SVD de tal maneira que os coeficientes com índices pequenos possam ser ponderados mais que
o resto. Deste analises pode deduzir uma solução regulada via SVD, da seguinte forma:
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
n
f reg = ∑ ℑi
i =1
uiT b
σi
vi
66
(3.11)
onde ℑi são escalares chamados de Fatores de Filtro.
Diferentes métodos ou vias de fazer a escolha de ℑi resultam em diferentes métodos de
regularização. Nós interessamos especialmente por dois métodos referidos como método da
Decomposição de Valores Singulares Truncado “T-SVD” (da frase em inglesa, Truncated
Singular Values Decomposition) e o método de Regularização de Tickhonov.
3.6 Decomposição de Valores Singulares Truncados (T-SVD)
Uma via simples mais não muito boa para ponderar os componentes SVD é
simplesmente omitir aqueles componentes que estão influenciados pelo ruído. Este método de
regularização é chamado de Decomposição de Valores Singulares Truncados (T-SVD) e os
fatores de filtros associados calculam-se como
⎧1 para i ≤ κ ⎫
ℑi = ⎨
⎬
⎩0 para i > κ ⎭
(3.12)
onde k é o parâmetro de escolhido visualmente sobre o gráfico de Picard como o índice onde
os valores singulares deixam de diminuir e começam a ficar constantes a medida que aumenta o
índice de iteração.
A solução do problema inverso neste casso vem dado pela eq. (3.11) com os fatores de
Filtros expressados pela eq. (3.12).
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
67
3.7 Método de Regularização de Tickhonov
Na década de 60 vários pesquisadores trabalharam na solução do problema inverso
mediante técnicas de regularização. Entre eles destacou-se V.K. Ivanov (1962), D.L. Phillips
(1962) e S. Twomey (1963) merecem destaque, mas foi com o trabalho de Andrei Nikolaevich
Tikhonov em 1963, o início de uma formulação geral para problemas mal-condicionados,
chamada regularização ou método de regularização. Tikhonov foi um matemático proeminente
e trabalhou no prestigioso Instituto de Matemática Steklov da Academia Russa, tendo trabalhos
importantes em topologia, análise funcional, matemática computacional e física matemática. O
método da regularização apóia-se na determinação da solução aproximada mais suave
compatível com os dados da observação, para certo nível de ruído. A busca da solução mais
suave (regular) é uma informação adicional, que transforma o problema mal posto num
problema bem-posto, ver Fig. 3.5.
Problema
mal-condicionado
Informação a
+
Priori
Problema
bem-condicionado
Realidade Física
Figura 3.5: Esquema funcional da regularização na solução do problema inverso.
Quando o ruído na parte direita (b) é dado por um ruído Gaussiano, a técnica comum
para a minimização dos parâmetros vem dada pela soma dos erros quadráticos.
{
f mq = mín Af − b
f
2
2
}
(3.13)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
68
Esta ultima expressão f mq nos da o estimador dos mínimos quadrados, também
conhecido como solução ingênua mencionada anteriormente, e que como sabemos não é muito
bom estimador. Pois permite o ruído dominar a solução do problema inverso.
A próxima expansão da formulação dos mínimos quadrados dada em (3.10) é
conhecida como a formulação geral da regularização de Tickhonov.
{ Af −b
f mq = mín
f
+ λ q Γf
2
2
q
q
}
(3.14)
Onde o segundo termo na soma na eq. (3.11) representa a informação a priori sobre o
problema físico. Este termo extra impõe uma penalidade para fazer a norma da solução o
maior possível, o qual reduz o efeito dos valores singulares menores. O operador Γ é a matriz
de regularização que normalmente é a matriz identidade ou um operador de derivadas, λ é um
parâmetro positivo controlando a quantidade de regularização.
Um exemplo de uma informação a priori poderia ser que a norma da solução seja
menos que a norma da solução ingênua. Isto resulta na seguinte variação da formulação de
Tickhonov.
{ Af −b
f mq = mín
f
2
+
λ
f
2
2
2
2
}
(3.15)
Como foram mencionados anteriormente os fatores de filtro determinam o tipo de
método de regularização. No caso da Regularização de Tickhonov vem dado por:
ℑi =
σ i2
σ i2 + λ 2
(3.16)
Podemos observar que para quando λ = 0 o filtro se faz um, ℑi = 1 , e obtemos a
regularização dada pela eq. (3.9) o qual nos da à solução ingênua expressa em (3.7). Se λ tem
uma valor grande a norma da solução poderia dominar a regularização (3.12) o qual poderia
nos dar solução zero, pois si λ → ∞ os fatores de filtro ℑi → 0 , o resulta em f mq → 0 . Como
escolher o as informações a priori e assim definir os parâmetro de regularização é de grande
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
69
interesse no campo dos problemas inverso.
O problema em na eq. (3.12) pode ser rescrito
como (ver anexo A7):
⎧⎪ ⎛ A ⎞ ⎛ b ⎞
f λ = mín ⎨
⎜ λ I ⎟ f −⎜ 0 ⎟
f
⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2⎫
⎪
⎬
2⎪
⎭
(3.17)
A solução do sistema linear dado pela eq. (3.5) vem determinando por:
⎛ σ i u iT b ⎞
= ∑ ℑ i ⎜⎜ 2
v ⎟
2 i ⎟
+
σ
λ
i =1
i
⎝ i
⎠
n
f
Tikhonov
red
(3.18)
O qual da às soluções quando o problema é de grande ou pequena escala (nosso caso
usamos matrizes de imagens de resolução 256x256) nós temos que usar métodos iterativos para
obter a solução. Um dos métodos iterativos que soluciona a regularização de Tickhonov é
conhecido como Método dos Mínimos Quadrados Gradiente Conjugado (C-GLS) (da frase em
inglês Conjugated Gradient Least Square). Este método encontra as soluções f λ dados A , λ e
b.
Podemos notar que λ é zero o método converge para a solução ingênua, f λ =0 = f simples .
Isto é significa que incluso no caso da solução ingênua vamos ter uma convergência para a
solução mais ótima, pois ela é obtida para uma dada iteração k . Para ver mais sobre a
demonstração da solução do problema inverso usando o método de Regularização de Tikhonov
ver anexo A7.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
70
3.8 Filtro Inverso, Pseudo-inverso e de Wiener.
A aplicação do Filtro de Wiener na solução do problema inverso esta relacionado com
um sistema físico onde temos um objeto fonte de campo, que vai ser uma amostra magnetizada,
posteriormente e por meio de um sistema multicanal de sensores magnéticos realizam-se as
medições do mapa do campo magnético bidimensional, a uma dada distancia sensores-fontes.
Nosso objetivo central é justamente encontrar a imagem do objeto fonte desde a
imagem degradada, (ver Fig.3.6). Portanto resolver o problema inverso. A tarefa é encontrar
uma função de transferência ou resposta impulsiva inversa h −1 [n, m] denominado filtro inverso
que poda-se aplicar num sistema invariante espacial-temporalmente que agindo sobre a imagem
resultante do processo de degradação por blurring g [n, m] nos permita recuperar a imagem do
objeto ou original f [n, m]
h −1 [n, m] ⊗ g [n, m] = f [n, m]
f [n, m ]
η [n, m] Ruído
H-1
(3.19)
g [n, m]
+
Sistema
Espaço das Medições
Espaço Objeto
Espaço Imagem
Figura 3.6: Esquema que mostra o processo de inverso para obter a imagem do objeto fonte.
Colocando a eq. (3.19) em eq. (3.3) obtemos,
h −1 [n, m] ⊗ h[n, m] ⊗ f [n, m] = f [n, m]
Para que dita equação seja satisfeita tem se que cumprir,
(3.20)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
71
h −1 [n, m] ⊗ h[n, m] = δ [n, m]
(3.21)
Esta última relação nos permite determinar a resposta inversa do sistema, ao qual
chamaremos de filtro inverso h −1 [n, m] . Utilizando o teorema da convolução para passar a eq.
(3.15) para o domínio das freqüências espaciais chegamos à:
H −1 (K x , K y )H (K x , K y ) = 1
(3.22)
H −1 (K x , K y ) =
(3.23)
O que implica que:
1
H (K x , K y )
Como observamos, o filtro inverso é o recíproco da resposta em freqüência do sistema original.
Na pratica este filtro posse instabilidade (pode apresentar singularidades, coordenadas espaciais
para as quais H (K x , K y ) se faz zero). Isto faz com que não seja muito prático usar a filtragem
inversa direta para reconstruir á imagem.
Por outro lado o filtro inverso é muito sensível ao ruído aditivo presente, tanto na
eletrônica do sistema, no ambiente, e outros, tornando necessária à pesquisa de diferentes
métodos ou alternativas que permitam contornear as dificuldades inerentes à solução do
problema inverso.
Uma forma de evitar ou minimizar o problema da sensibilidade ao ruído, é limitar a resposta
em freqüência do filtro resultante, sempre que se pode garantir que a resposta do sistema a ser
invertido adquira ou tenha valores abaixo de certo limiar- γ , e tem a seguinte expressão:
1
⎧
⎪ H (K , K ) ;
x
y
⎪
−1
H γ (K x , K y ) = ⎨
1
⎪1
;
⎪⎩ γ H (K x , K y )
⎫
H (K x , K y ) > γ ⎪
⎪
⎬
H (K x , K y ) ≤ γ ⎪
⎪⎭
(3.24)
Onde fator γ controla o nível de ruído aditivo. Este filtro é chamado de filtro pseudo-inverso.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
72
Através de uma análise estatística ao resolver a reconstrução de um campo randômico
f [n, m] a partir de outro campo g [n, m] pode ser descrito como sendo o problema da
determinação de uma estimativa fˆ [n, m], de forma que o erro quadrático médio entre os sinais
original e processado seja mínimo. Essa análise nos permite obter uma expressão para o filtro
de Wiener:
[
]
W Kx, Ky =
[
] [
2
H K x , K y Pf K x , K y
[
] [
2
]
[
]
H K x , K y Pf K x , K y + Pη K x , K y
1
H Kx, Ky
] [
.
]
(3.25)
Este filtro é completamente determinado pelo espectro de potências do objeto e do ruído e pela
resposta em freqüência do sistema.
O funcionamento do filtro de Wiener pode ser mais bem entendido separando-se
conceitualmente a expressão anterior em dois sistemas em cascata:
[
]
[
]
[
W K x , K y = H red K x , K y .H inv K x , K y
]
(3.26)
Onde
[
]
[
]
H inv K x , K y =
H red K x , K y =
1
H Kx, Ky
[
]
[
(3.27)
] [
2
H K x , K y Pf K x , K y
[
] [
2
]
[
]
H K x , K y Pf K x , K y + Pη K x , K y
]
(3.28)
A eq. (3.23) representa à inversa da função característica do sistema, seja filtro anti-blurring e
como já vimos pode apresentar instabilidades, pelo que pode ser usado o filtro pseudo-inverso
eq. (3.24). O último termo expresso na eq. (3.28) é denominado como filtro redutor de ruído, e
[
]
[
]
apresenta fase nula, pois Pf K x , K y e Pη K x , K y são reais e não negativos, ou seja, reduz o
ruído aditivo e não afeita à fase da imagem processada. Este fato fica confirmado escrevendose a eq. (3.28) da seguinte forma,
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
[
]
H red K x , K y =
[
H Kx, Ky
[
H Kx, Ky
]
2
]
+ 10
73
2
[
−S K x ,K y
(3.29)
]
10
Onde o termo
[
]
S K x , K y = 10. log10
[
]
P [K , K ]
Pf K x , K y
η
x
(3.30)
y
Constitui uma definição alternativa para a relação sinal-ruído. Observa-se então que todas as
[
]
regiões do espectro tais que S K x , K y << 1 (incidência elevada de ruído) serão fortemente
atenuadas.
Com o intuito de ter um melhor julgamento da proximidade da imagem processada com
a imagem original, adotou-se no presente trabalho uma expressão mais geral para o filtro de
Wiener:
Wwiener
β
⎫
⎧
2
H Kx,Ky
⎪
⎪
−1
Kx,Ky = ⎨
.H γ K x , K y
− S [K x , K y ] ⎬
⎪ H K , K 2 + α10 10 ⎪
x
y
⎭
⎩
[
]
[
[
]
]
Onde α e β são constantes reais ( α , β >1) e H γ
[
−1
]
(3.31)
[K , K ] é o filtro pseudo-inverso. Pode-se
x
y
apreciar que o parâmetro α , aplicado ao termo redutor de ruído do filtro de Wiener, permite
controlar ao grau de ruído aditivo presente na imagem, à medida que este parâmetro aumenta, a
redução de ruído é realizada de modo mais efetivo, este tipo de técnica da origem ao chamado
filtro de Wiener paramétrico [Lim, 1990]; O expoente β nos deixa selecionar o decaimento da
banda de transição, à medida que beta aumenta a banda de transição torna se mais abrupta; O
uso do filtro pseudo-inverso permite o controle da influência dos pólos do filtro sobre o
processo de deconvolução, por meio de manipular o parâmetro γ . Esta última expressão é
denominada como filtro de Wiener paramétrico generalizado. Um estudo desenvolvido por
Moreira et al, 2001[teses] considerando-se a implementação e aplicação prática deste filtro, se
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
74
concluiu que os valores mais ótimos para os parâmetros dos filtros são: α = 105 ; β = 1 e
γ = 10 −6 . É importante notar na expressão do filtro de Wiener que a mesma foi deduzida na
suposição que ambas
f [n, m] e η [n, m] , sejam amostras de processos com média nula. Caso
não se cumpra isso, ou seja, se elas possuírem médias não-nulas, m f e mη respectivamente,
então estes valores deverão ser previamente subtraídos da imagem degradada. O sinal
resultante, g [n, m] − (m f + mη ) , é a seguir processado pelo filtro de Wiener. A média do sinal
m f é então adicionada ao sinal filtrado. É conveniente destacar que a dedução do filtro de
[
Wiener está baseada na hipótese que as densidades espectrais de potências Pf K x , K y
[
]
e
]
Pη K x , K y sejam conhecidas ou que possam ser convenientemente estimadas. Moreira et al
[teses 1995] propuseram modelos que permitem a estimativa destas funções a partir das
imagens degradadas obtidas no processo de aquisição dos sinais e da resposta espectral dos
sensores.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
75
3.9 Estimativas das densidades espectrais do ruído e da imagem.
[
]
O espectro de potências Pη K x , K y do ruído ambiental estimou-se da seguinte forma:
foram calculadas inicialmente as matrizes de autocorrelação não polarizadas de um conjunto de
imagens ui [n, m] , de dimensão M × M geradas pelo processo de amostragem da ausência de
qualquer fonte magnética. As medidas foram feitas nas condições experimentais descritas no
capítulo 7; segundo Moreira et al., 2001 esta estimativa matematicamente vem dado por,
⎛ 1 ⎞⎛ 1
⎟⎜
Rui [k , l ] = ⎜⎜
⎟⎜
⎝ M − k ⎠⎝ M − l
⎞ M −1 M −1
⎟ ∑ ∑ ui [n, m]ui [n + k , m + l ] 0 ≤ k , l ≤ M − 1
⎟ m =0 n =0
⎠
(3.32)
Sendo i=1...N o número de imagens utilizadas. À estimativa geral atribui-se, então, a média
aritmética das transformadas de Fourier das autocorrelações resultantes.
[
]
[
− j 2π
]
1 N −1
1 N −1
( 2 M −1)(K x k + K y l )
Pˆη K x , K y = ∑ Pˆui K x , K y = ∑ ∑ Rˆ ui [k , l ]w[k , l ]e
N i =0
N i =0 k ,l =− M +1
(3.33)
Onde w(k , l ) é uma função janela bidimensional separável.
Por outro lado para a estimativa da densidade espectral da imagem não degradada
[
]
[
]
Pf K x , K y assume-se que o espectro da função do sistema H K x , K y e da imagem degradada
[
]
por efeito de blurring G K x , K y , seja conhecido. Aplicando então, a transformada de Fourier
aos membros da eq. (3.3), e considerando-se o módulo da expressão resultante, obtém-se,
[
]
[
] [
G Kx, Ky = F Kx, Ky .H Kx, Ky
]
(3.34)
Realizando alguns cálculos considerando um operador linear S hipotético podemos escrever,
[
]
F Kx, Ky ≅
{[
]}
]
S G Kx, K y
[
H Kx, Ky
(3.35)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
76
[
]
Desta última expressão conclui-se que a função F K x , K y apresentará instabilidades, caso a
[
]
resposta do sistema F K x , K y também o faça. No entanto este problema pode ser contornado
pelo emprego do filtro pseudo-inverso, convertendo-se a fórmula anterior em:
[
]
F Kx, Ky ≅
{[
S G Kx, K y
[
Hγ K x , K y
]}
] = S {G[K , K ]}.H [K , K ]
−1
x
γ
y
x
(3.36)
y
[
]
Esta equação representa a essência para a estimativa de Pf K x , K y , claramente se
observa que os termos obtêm-se a partir da imagem degradada por blurring g [n, m] e o filtro
pseudo-inverso, o qual pode ser obtido através da função de espalhamento pontual do
sistema h[n, m] . Finalmente podemos concluir que a estimativa para a densidade espectral de
uma dada imagem não-degradada é:
[
]
[
Pfi K x , K y ≈ (Fi K x , K y
])
2
(3.37)
s
[
]
Onde se entende o subscrito (s) como função suave. Os espectros Fi K x , K y são obtidos a
partir da eq. (3.36). Logo a estimativa para a densidade espectral da imagem não-degradada é
calculada pela média aritmética das densidades espectrais obtidas a partir de imagens
magnéticas típicas,
[
]
1
Pˆ f K x , K y =
N
N
[
]
1
Pˆ fi K x , K y ≈
∑
N
i =0
∑ (S {G [K
N
i =0
i
x
]} [
, K y .H γ−1 K x , K y
])
2
(3.38)
Da eq. (3.36) podemos obter também uma estimativa da imagem não-degradada, ou seja:
{{ [
]} [
f (n, m ) = ℑ−1 G K x , K y .H γ−1 K x , K y
]}
(3.39)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
77
3.10 Desconvolução via Filtro de Wiener Paramétrica Generalizada
Com o objetivo de entender a fundo o procedimento de desconvolução usando a
filtragem de Wiener no processo de restauração de imagens degradadas, seria útil lembrar à
equação fundamental dada pela formula (3.3), da qual se deriva a eq. (3.4), ou seja,
h −1 [n, m] ⊗ g [n, m] = f dec [n, m] ; Nela a função
f dec [n, m] representa a imagem final que
queremos reconstruir por meio da filtragem. O processo necessita informação a priori ao igual
que as técnicas de regularização vistas anteriormente. Em principio imagem objeto f dec [n, m] é
obtida partindo de uma imagem degradada g [n, m] e da função h −1 [n, m] , e da qual já sabemos
que é o inverso da função de transferência do sistema, e que representa um filtro inverso.
Segundo Moreira [mestrado] para evitar singularidades, chegou-se a conclusão que seria
melhor usar o filtro pseudo-inverso para contornear as singularidades.
O filtro de Wiener usa-se precisamente porque ele é obtido no processo de restauração
de uma função partindo de outra função, sendo o mesmo processo que nós almejamos fazer.
Outras razões podem-se obter da interpretação física da expressão do filtro de Wiener
paramétrico generalizado do qual se conclui que o mesmo reduz o ruído aditivo do sistema, e
aumenta sua estabilidade por meio do filtro pseudo-inverso. Em resumo nossa imagem
restaurada via filtro de Wiener pode ser escrito como:
f dec [n, m] = Wwiener [n, m] ⊗ g [n, m]
(3.40)
Novamente usando-se o teorema da convolução podemos representar a eq. (3.40) no
espaço das freqüências espaciais, ou seja:
f dec (K x , K y ) = Wwiener (K x , K y ).g (K x , K y )
(3.41)
Em sua forma mais geral seria:
[
[
]
]
f dec (K x , K y ) = Wwiener (K x , K y ). ⇒ {g K x , K y − (m f + mη )} + m f
O primeiro termo na última fórmula é precisamente o filtro de Wiener.
(3.42)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
78
Na equação (3.42) aparece também o sinal resultante da diferença entre imagem
degradada g (K x , K y ) menos a soma das médias das imagens não-degradada e do ruído, isso no
casso geral. Dessa expressão podemos ver claramente que depois de filtrar o sinal resultante,
em geral, se estamos frente a processos com média diferente de zero, se tem que adicionar ao
sinal filtrado o valor da media do sinal imagem não-degradada.
Em nosso caso a imagem degradada seria á imagem dos sinais da voltagem adquiridos,
pelo sistema de medição e da qual vou partir para obter a imagem original f dec [n, m] a qual
poderia ser igual à imagem da distribuição da concentração-susceptibilidade ou da
magnetização da ferrita. Pensando dessa maneira agora podemos escrever a equação (3.36) em
termos das variáveis ou grandezas físicas que interessam ao nosso trabalho, ou seja:
[
{
}]
total
(K x , K y ) − (m f + mη ) + m f
C Z dec (K x , K y ) = Wwiener (K x , K y ). ⇒ v saida
(3.43)
total
(K x , K y ) é a resposta dos sensores a que veremos mais adiante. Finalmente a
Onde vsaida
imagem restaurada ou deconvoluida é CZ dec (K x , K y ) , que representa a distribuição
bidimensional da concentração de material ferromagnético.
Tendo presente o analisado e para um melhor entendimento do processo de restauração de
uma imagem, via filtragem de Wiener, vamos apresentar o diagrama ou algoritmo lógico por
meio de passos e por blocos ou tarefas a serem cumpridas como ilustra na Fig. 3.7.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
79
Passos a seguir para obter uma imagem usando a filtragem de Wiener
Passo I. Obter a psf, a partir dos valores da transformada de Fourier da step funtion, e
da matriz de Green do sistema, que se obtém colocando um phantom pontual de
concentração C0.
Passo II. Obter a imagem magnética degradada, a partir dos valores do campo
magnético medido pelo sistema de imagens magnéticas para um dado fantom.
Passo III. Determinar a imagem do ruído, e a imagem não-degradada. Após isto
calcular suas médias ( m f e mη ).
Passo IV. Computar à diferença da imagem degrada menos a soma das duas medias (no
caso estas sejam não-nula) e obtém-se um sinal resultante. Se as médias são nulas então
se trabalha diretamente com a função degradada, que neste casso passa a ser o sinal
resultante.
Passo V. Cálculo das densidades espectrais de potência das imagens não-degradada e
do ruído Pf K x , K y e Pη K x , K y , respectivamente.
[
]
[
]
[
]
[
]
Passo VI. Calcular a estimativa da relação sinal-ruído S K x , K y .
Passo VII. Calcular o filtro pseudo-inverso Η γ−1 K x , K y , e o filtro redutor
[
]
Η red K x , K y .
[
]
Passo VIII. Calcular o filtro de Wiener Paramétrico Generalizado Wwiener K x , K y .
Passo IX. Aplicar o filtro de Wiener sobre sinal resultante. Em caso geral temos
Sinalf iltrada = Wwiener K x , K y ⇒ {g K x , K y − (m f + mη )}
[
]
[
]
Passo X. Obter a imagem restaurada somando a média da imagem não-degradada ( m f )
ao sinal filtrado (em geral). Fazer a Transformada Inversa de Fourier desta soma para
obter o sinal restaurado no espaço real.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
80
Figura 3.7 Apresenta-se o diagrama lógico para a obtenção de uma imagem restaurada, pela
aplicação do Filtro de Wiener. Primeiro obtém-se a psf e a imagem degradada produzida pelo
objeto. Depois se calcula a imagem ruído e a não-degradada. A seguir determinam-se as médias
destas duas últimas m f e mη , no caso estas sejam não-nulas então se computa a diferença da
imagem degrada menos à suma destas duas medias e obtém-se um sinal resultante. Logo se
computa o filtro de wiener, e aplica-se no sinal resultante. Ao sinal filtrado se adiciona a media
da imagem não-degradada para obter a imagem restaurada f res [n, m] .
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
81
3.11 Desconvolução Usando Filtragem Espacial de Fourier (D-FFT)
Apresentamos um procedimento de filtragem espacial para a análise da solução do
problema inverso bidimensional na reconstrução das imagens das fontes magnéticas. Tais como
magnetização, susceptibilidade, e concentração das partículas presentes nos materiais
ferromagnéticos.
A solução do problema inverso fica simplificada ao considerarmos as fontes magnéticas
em duas dimensões (2D). Que é justamente o que nós assumimos neste trabalho. Nestas
condições uma amostra extensa de material magnético, centrada nas coordenadas
( x ', y ') ,
produz um campo magnético perpendicular ao plano da amostra Bz ( x, y ) e medido no ponto
do espaço ( x, y ) , segundo a lei de Biot-Savart vem dado por,
μ
B z ( x, y ) = o
4π
[
]
⎧⎪ 2( z − z ')2 − ( x − x ')2 + ( y − y ')2 ⎫⎪
∫ ∫ ⎨ (x − x')2 + ( y − y ')2 + (z − z ')2 5 / 2 ⎬⎪M z (r ' )dx' dy '
− ∞ −∞ ⎪
⎭
⎩
∞ ∞
[
]
(3.44)
Nessa expressão observa-se claro o problema biomagnético direto, que poderia resumirse como a geração ou detecção dos campos magnéticos, representado por dΒ(r ) produzido por
uma amostra previamente magnetizada M z (x' , y ') ; nosso objetivo é resolver o problema
biomagnético inverso (Pbi), ou seja, reconstruir a imagem da distribuição espacial das fontes
magnéticas que produz o campo magnético medido fora da amostra. Em geral o problema
inverso é mal condicionado no sentido de Hadamard mencionado com anterioridade.
Na prática as integrais não vão precisar estender-se fora das fronteiras do objeto fonte,
região na qual dmz ( x' , y ' ) = M z ( x' , y ' ) = C z ( x' , y ' ) ≅ 0 . Para encontrar uma solução à equação
anterior, vamos definir a função de Green do sistema, que segundo Roth, Sepúlveda, and
Wikswo 1989 esta defina por:
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
μ
G ( x − x ' , y − y ' , z − z ') = o
4π
82
[
]
⎧⎪ 2( z − z ')2 − (n − n ')2 + (m − m' )2 ⎫⎪
⎨
5/ 2 ⎬
⎪⎩ (n − n' )2 + (m − m ')2 + ( z − z ')2
⎪⎭
[
]
(3.45)
Consequentemente a eq. (3.38) converte-se em:
B z ( x, y ) =
∞ ∞
∫ ∫M
z
( x' , y ' ) ⊗ Gz ( x − x' , y − y ' )dx' dy '
(3.46)
− ∞−∞
Desde o ponto de vista matemático a lei Física expressa em (3.46) é a convolução
matemática entre a função de green com a função que representa o objeto que é a imagem a ser
obtida e entrada no sistema de imagens. Esta operação resulta na função campo magnético, que
é a imagem sobre a saída do sistema de imagem experimental, ou seja,
Desde a eq. (3.46) também pode ser descrito as parte da função característica do sistema
de imagens usado nesta tese. Composto pela a função de espalhamento pontual (PSF) da frase
em inglês (Point Spread Function) e que neste caso esta representado pela função de Green’s.
Para entender melhor tudo isto, vamos usar teorema da convolução e aplicar as
transformadas de Fourier a eq. (3.40) e chegamos a,
ℑ(dBz ( x, y )) = ℑ(dmz ( x' , y ' ) )ℑ(Gz ( r − r ' ) )
(3.47)
Onde ℑ significa transformada de Fourier. A transformada de Fourier da PSF é conhecida
como função de transferência óptica (OTF) da frase em inglês (Optical Transfer Function)
ℑ(Gz ( r − r ' ) ) = OTF
(3.48)
A OTF é geralmente complexa e pelo tanto tem um modulo (valor absoluto) e argumento. O
modulo da função de OTF é chamado de função de transferência de modulação (MTF) da
frase em inglês (Modulation of Transfer Function) ou função de transferência de contraste.
OTF = MTF
(3.49)
Por outro lado, o argumento é conhecido como função de transferência da fase. Uma
consideração muito importante é o fato de considerar o sistema de imagens linear, de modo que
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
83
ambas as entradas e saídas podam ser dados por series harmônicas com diferentes freqüências
espaciais.
A equação (3.47) pode ser rescrita como:
bz (K x , K y , z ) = g z (K x , K y , z − z ')mz (K x , K y )
(3.50)
Cumpriram-se as seguintes relações entre o espaço real e o domínio das freqüências espaciais,
bz ( K x , K y , z ) = ℑ{ Bz ( x, y, z )}
(3.51)
mz ( K x , K y ) = ℑ{M z ( x ', y ' )}
(3.52)
g z ( K x , K y , z − z ' ) = ℑ{Gz ( x − x ', y − y ', z − z ' )}
(3.53)
Na eq. (3.51) temos à transformada bidimensional de Fourier espacial do campo
magnético medido, o qual pode ser computado diretamente desde os dados medidos pelo
sistema multicanal de sensores magneto-rresistivos anisotrópicos. Na eq. (3.52) mostramos à
transformada bidimensional de Fourier espacial da magnetização M z ( x' , y ' ) , e na ultima
expressão temos à transformada bidimensional de Fourier espacial da função de
Green Gz ( x − x ', y − y ', z − z ') , dada por [Tan et al, 1996] e que tem a forma a seguir,
g z (K x , K y , z − z ') =
μo
{
2πKe − K ( z − z ' ) }
4π
(3.54),
sendo K = K x + K y a freqüência espacial total.
2
2
Finalmente a solução do problema inverso se reduz a umas simples divisão no domínio da
freqüência espacial,
⎡ b (K , K , z ) ⎤
mz (K x , K y ) = ⎢ z x y
⎥
⎢⎣ g z (K x , K y , z − z ')⎥⎦
(3.55)
Uma vez mais temos a função de Green no denominador fato este que faz com que
nossa solução seja dominada por instabilidades devido às possíveis singularidades que podem
aparecer nas altas freqüências espaciais. Para evitar isto, segundo [TAN et al, 1996]; podem se
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
84
empregar a técnica de Janelas w(K x , K y ) que é um filtro passa baixa o qual atenua a
informação nas regiões do domínio das freqüências espacial onde g z (K x , K y , z − z ') apresenta
um valor pequeno, portanto (3.49) se converte em:
⎡ b (K , K , z )w(K x , K y , z )⎤
mz (K x , K y ) = ⎢ z x y
⎥
g z (K x , K y , z )
⎣⎢
⎦⎥
(3.56)
Como passo final para obter a imagem única da distribuição da concentração do
material magnético, o que é a informação desejada, dentro da banda limitada das freqüências
espaciais das medições e da Janela, se vai utilizar a transformada inversa de Fourier,
{
}
M z ( x ', y ') = ℑ−1 mz ( K x , K y )
(3.57)
o qual pode ser usado para determinar a imagem da susceptibilidade magnética,
χ ( x ', y ') =
M z ( x ', y ')
B exc ( x ', y ' )
(3.58)
onde B exc ( x ', y ' ) é o campo magnético de excitação ou magnetização dos phantoms e
produzido pelo sistema magnético de par de Helmholtz. Vale a pena colocar que o número de
zeros da função de Green pode ser minimizado diminuindo a distância sensor-fonte.
3.12. Método do Gradiente Conjugado
O Gradiente Conjugado (GC) é um método iterativo e efetivo para resolver sistemas
lineares esparsos formados por matrizes simétricas positivas semidefinidas. O método consiste
em gerar seguidas aproximações para a solução com direções ótimas de busca para atualização
da iteração e do resíduo.
Embora o tamanho desta seqüência possa se tornar grande, apenas um pequeno numero
de vetores são necessariamente mantidos na memória. Em cada iteração do método, dois
produtos internos são realizados para que se calculem dois escalares definidos de maneira que a
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
85
seqüência possa obedecer certas condições de ortogonalidade. Em sistemas positivos definidos
estas condições implicam que a distancia para a verdadeira solução esta sendo minimizada na
norma
Nesta parte vamos fazer um breve esboço do método iterativo de gradiente conjugado,
também usado no trabalho.
Direções Conjugadas
Teses: Dada uma matriz simétrica Q definida positiva, dois vetores d0 e d1 são ditos Qortogonais ou conjugados em relação à Q se satisfaz,
d 0Qd1 = 0
(3.59)
Se Q = 0, quaisquer dois vetores são Q-ortogonais. Quando Q = I, a Q-ortogonalidade é
equivalente à notação usual de ortogonalidade.
Temos também que um conjunto finito de vetores {d o , d1 , d 2 ,...d n } é dito Q-ortogonal se
d iT 0Qd j = 0 Para todo i ≠ j
(3.60)
Proposição: Se Q é definida positiva e {d o , d1 , d 2 ,...d n } um conjunto de vetores não nulos Qortogonais, então estes vetores são linearmente independentes LI .
Teorema das Direções Conjugadas: Seja {d o , d1 , d 2 ,...d n } um conjunto de vetores Q-ortogonais
não nulos. Para qualquer X 0 ∈ℜn a seqüência { X k } gerada por
X k +1 = X k + α k d k para ∀k ≥ 0
(3.54)
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
86
g kT d k
αk = − T
d k Qd k
e
com
(3.61)
g k = QX k − b
converge para uma única solução X * de QX = b , após n passos, tal que X n = X * .
O Método Gradiente Conjugado requer um armazenamento menor de informações,
vantagem significativa quando o número de variáveis é muito grande, minimizando uma
função quadrática n-dimensional, com no máximo n iterações. algoritmo é interessante, tanto
do ponto de vista computacional, como do desenvolvimento teórico. A teoria requer a
construção de direções conjugadas, a partir de direções lineares independentes e Q-ortogonais
resultando no seguinte algoritmo:
X o ∈ ℜn
d 0 = − g 0 = − ( QX 0 + b )
αk = −
g kT d k
d kT Qd k
X k +1 = X k + α k d k
(3.62)
g kT+1d k
d k +1 = − g k +1 + β k d k → β k = − T
d k Qd k
g k = ( QX k + b )
O passo inicial, neste algoritmo, é idêntico ao Método Gradiente. A cada iteração,
segue-se que as direções de descida são combinações lineares entre o gradiente em ( X k ) (atual)
e a direção de descida anterior ( d k +1 ) .
De fácil fazer a atualização das direções de descida, sua implementação é mais
complicada do que a do Método Gradiente, mas a convergência é obtida em um número finito
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
87
de passos. A convergência esta baseada na convergência do Método Gradiente via
reinicialização, e como a função decresce estritamente, de fato, o algoritmo converge.
Teorema do Gradiente Conjugado: O algoritmo Gradiente Conjugado é um método de
direções conjugadas. Se ele não termina em ( X k ) , então.
a ) [ g 0 ,..., g k ] = [ g 0 , Qg 0 ,..., Qg 0 ]
b) [ d 0 ,..., d k ] = [ d0 , Qd 0 ,..., Qd 0 ]
c)d kT Qdi = 0∀i ≤ k − 1
d )α k = −
g kT d k
d kT Qd k
e) β k = −
g kT+1d k
d kT Qd k
(3.63)
Onde {d o , d1 , d 2 ,...d n } é usado para denotar o subespaço gerado pelos vetores ( d 0 ,..., d k ) .
As partes (a) e (b) deste teorema são declarações formais sobre as relações entre os
gradientes e as direções de descida. A parte (c) é a equação que verifica que o método é de
direções conjugadas. As partes (d) e (e) são identidades entre formulações alternativas para
, freqüentemente mais convenientes do que as originais.
Capitulo # 3 Problema Inverso e Métodos de Solução
88
3.13 Referências Bibliogrtráficas.
1. Hansen, P.C. RANK-DEFICIENT AND DISCRETE ILL-POSED PROBLEMS.
SIAM Press, (1998).
2. Golub H.C et al. MATRIX COMPUTATIONS. 2nd ed., Johns Hopkins Press, 1989.
3. R.J. Hanson, “A NUMERICAL METHOD FOR SOLVING FREDHOLM
INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND USING SINGULAR VALUES,”
SIAM J. Numerical Analysis, vol. 8, 1971, pp. 616–622.
4. Varah, J.M. ON THE NUMERICAL SOLUTION OF ILL-CONDITIONED LINEAR
SYSTEMS WITH APPLICATIONS TO ILL-POSED PROBLEMS,” SIAM J.
Numerical Analysis, vol. 10, 1973, pp. 257–267.
5. Horn, R.A and Johnson. TOPICS IN MATRIX ANALYSIS. Cambridge Univ. Press,
1991.
6. P. C. Hansen, Regularization Tools: A Matlab package for analysis and solution of
discrete ill-posed problems, Numerical Algorithms 6 (1994), pp. 1-35.
7. Cornelius Lanczos. An iteration Method for the solution of Eigen value problem of
linear differential and integral operators. Journal of research of the national Bureau of
standards. Vol. 45 No. 4, October 1950
8. Nagy, J. G, Plemmons, R. J and Torgersen T.C. Iterative Image Restoration Using
Approximate Inverse Preconditioning. IEEE Transactions on image processing vol. 5
no.7 July 1996.
9. P. C. Hansen. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems. SIAM, 1998.
10. J. G. Nagy. Restoration tools – an object oriented Matlab package for image
restoration. http://www.mathcs.emory.edu/~nagy/RestoreTools/index.html.
11. A.D. Hillery and R.T. Chin. Iterative Wiener filters for image restoration. IEEE Trans.
Signal Processing, vol.39, pp.1892-1899, Aug. 1991.
12. P.C. Hansen, Regularization tools: A Matlab package for analysis and solution of
discrete ill-posed problems. Numer. Algorithms 6 1–2 (1994), pp. 1–35.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
89
Capitulo 4 MEDIÇÃO DE CAMPOS MAGNÉTICOS
4.1 Introdução
A MAGNETOMETRIA É A CIÊNCIA das medições exatas da intensidade e
direção do campo magnético. Os chineses têm sido apontados como os primeiros na
historia do conhecimento, em aproveitar o magnetismo. Eles utilizavam o campo
magnético terrestre com o propósito da orientação durante a navegação. Há mais de
4.500 anos atrás eles usaram pedaços de magnetita como uma bússola para detectar a
direção do campo magnético terrestre, acredita-se que os chineses a utilizarem nas
viagens à Europa por volta do século treze. Ao redor de 350 anos depois, Sir William
Gilbert, em “De Magnete” foi o primeiro em descrever a terra como um imã gigante;
Gauss e Waxwell desenvolveram as ferramentas matemáticas para sua representação
analítica1.
(A)
TEMPERATURA
PRESSÃO
LUZ
TENSÃO
(B)
DIREÇÃO
PRESENÇA
ROTAÇÃO
CORRENTE
Condicionamento
dos Sinais
SENSOR
VARIAÇÃO DO
CAMPO
MAGNÉTICO
Saída
Condicionamento
dos Sinais
SENSOR
Saída
Figura 4.1: Em (a) um sensor convencional, em (B) um sensor magnético.
Os sensores magnéticos diferem de outros detectores em que estes não medem
diretamente a propriedade física de interesse. Aparelhos que monitoram propriedades
tais como a temperatura, pressão, tensão ou fluxo produz uma saída que reporta
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
90
diretamente o parâmetro desejado (ver Fig. 4.1). Por outra parte, os sensores magnéticos
detectam mudanças no campo magnético, e através destas mudanças obtêm-se
informações sobre a propriedade Física que esta sendo medida, tais como direção,
presença, rotação, ângulo ou correntes elétricas. A saída destes sinais requer algum tipo
de processamento do sinal para a conversão para o parâmetro desejado. Apesar dos
detectores magnéticos apresentem certa dificuldade para seu uso, eles têm provado
exatidão nas medições, e sem contato físico.
Figura 4.2: Classificação dos diferentes tipos de magnetômetros.
As bases físicas da tecnologia de medições magnéticas constituem hoje em dia
uma das áreas de maior interesse na área da pesquisas aplicadas. Existem várias vias
para medir campos magnéticos, muito dos quais são baseados na conexão entre o
fenômeno magnético e o elétrico. Atualmente, os detectores magnéticos são de
extraordinária importância e a cada dia ocupam um lugar de destaque nas áreas de
pesquisa e desenvolvimento.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
91
As aplicações deste tipo de tecnologia são muito abrangentes, ainda hoje se usa
a bússola magnética para a navegação2. Existe uma grande procura por sensores
magnéticos cada vez mais eficientes na escrita/leitura de bits magnéticos em discos
rígidos. Na indústria as medições de campo magnético são muitas vezes usadas para
medir-controlar à posição linear e de rotação, por exemplo, os dentes de uma máquina
de engrenagem em funcionamento, na detecção ou não da presença na passagem de
algum objeto assim como a medição de correntes elétricas. Exemplos destes últimos os
encontram na indústria aeronáutica, civil e petrolífera nas análises não-destrutivos feitos
para detectar falhas e fissuras nas estruturas dos aviões, de pontes, edificações, e nas
tubulações de oleodutos, respectivamente3.
Uma via para classificar os vários tipos de sensores magnéticos é pela faixa ou
intervalo de campo magnético que conseguem detectar. Podemos arbitrariamente
dividir-los em três categorias: baixo, médio e elevado campo magnético a ser medido.
Dispositivos que detectem campos magnéticos <1 µG (micro-Gauss) são considerados
sensores de baixo campos, aqueles que tenham faixa entre 1 µG até 10 G são sensores
de campo da terra, e detectores que mensuram campos >10 G são referidos como
sensores de campo polarização de imã. Na Fig. 4.2 mostramos uma tabela com a lista
da tecnologia de sensores e suas faixas de medição4. A seguir faremos um resumo dos
sensores magnéticos mais populares com o interesse de expor as idéias básicas a
respeito de seus princípios físicos de funcionamento, tamanho, potência entre outros
fatores.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
92
4.2 Bobina de Indução
O método mais simples de medir o campo magnético usa uma bobina de núcleo
de ar ou ferrita, e é conhecido como bobina de indução. O princípio de funcionamento
de uma bobina de indução é a lei de indução de Faraday e apresenta-se ilustrado na
Fig.4.3.
Figura 4.3 Ação de um campo magnético variável sobre uma espira indutora sensora.
Como resultado uma voltagem é detectado nos extremos da espira, esse sinal é
proporcional ao campo magnético aplicado e o qual queremos medir. A lei de indução
de Faraday é o principio de físico do funcionamento deste dispositivo sensor, chamado
de bobina indutora sensora.
Segundo a lei de Faraday é bem conhecido que uma mudança no fluxo
magnético
Φ
pode
produzir
( fem), ε = − dΦ = − d (B(t )A) .
dt
dt
uma
força
eletromotriz
de
acordo
com:
A variável B (t ) é o campo magnético que desejamos
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
93
medir e A é à área da espira ou bobina que o fluxo magnético atravessa, se esta for
constante podemos modificar a expressão anterior em.
ε ( fem) = − A
d (B(t ))
dt
(4.1)
Com este tipo de sensor podem-se medir principalmente campos magnéticos
variáveis, mas também são usadas para medir campos estáticos, neste caso as bobinas
devem se mover no seio do campo magnético para induzir a voltagem de Faraday2.
A voltagem ou corrente induzida na bobina detectora é proporcional ao campo
magnético que queremos medir. A intensidade desta voltagem depende da intensidade
do campo magnético, a freqüências e características geométricas da bobina. O sentido
da corrente nos indica a direção do campo magnético. Alguns dos problemas associados
com este tipo de sensor é a dependência da freqüência com o sinal detectado e a
resolução espacial e a sensibilidade limitados. Sensores deste tipo apresentam uma faixa
de freqüência útil típica desde 1Hz até 1 MHz.
Usando bobinas indutoras com núcleo de ferrita pode-se aumentar sua
sensibilidade. Alguns estudos reportam a construção de sensores deste tipo os quais têm
medido campos gerados por cultivos de células nervosas, o qual estão da ordem de pT
5,6
, donde pode-se dizer que estes sensores podem detectar campos baixos
aproximadamente da ordem de 10 −8 gauss e no limite superior não se tem limitações à
respeito de sua faixa de sensibilidade3.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
94
4.3 Sensores por Efeito HALL
Quando uma corrente está fluindo num material condutor, como mostra a Fig.
4.3 ao lado, e é influenciada pela ação de um campo magnético externo e transversal ao
plano da corrente. Este campo magnético exerce uma força transversal sobre os
portadores de carga que estão se movendo devido ao qual tendem a se deslocar para os
extremos do condutor. Estas cargas que vão se agrupando apresentam uma força elétrica
que poderia equilibrar o campo magnético que está influenciando o seu movimento e
como conseqüência produz-se uma diferença de voltagem mensurável entre as duas
partes extremas do condutor.
Figura 4.4 Funcionamento do sensor tipo Hall. Um material condutor baixo a ação de
um campo magnético que queremos medir. Devido à interação campo-condutor, se
produz uma força magnética transversal sobre os portadores de carga. Como resultado
as cargas vão se deslocar para os extremos do condutor. Desse modo, é gerada uma
diferença de potencial nos extremos do material chamado de voltagem de Hall.
A presença desta voltagem é conhecida como efeito Hall em homenagem a E. H.
Hall, quem fez sua descoberta no ano 1879. Podemos notar que a direção da corrente I
no diagrama anterior é o da corrente convencional, pelo que o movimento dos elétrons
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
95
está na direção oposta. Usando a regra da mão direita poderemos estabelecer a direção
das forças. Este é um fenômeno de condução o qual é diferente para diferentes
portadores de carga. Em muitas aplicações elétricas, a corrente convencional é usada
particularmente porque esta não faz diferenças, quando se considera que tanto a carga
positiva quanto negativa, se estejam movendo.
Mas a voltagem de Hall tem diferentes polaridades para portadores de cargas
positivas ou negativas, e isto tem sido utilizado para estudar os detalhes da condução em
semicondutores e outros materiais que tem mostrado uma combinação positiva e
negativa de seus portadores de cargas.
O efeito Hall pode ser usado para medir campos magnéticos por meio dos
sensores Hall. Portanto podemos concluir que a voltagem transversa medida num sensor
Hall tem sua origem na força magnética que atua sobre um portador de carga em
movimento e podemos dizer que é proporcional à densidade do fluxo do campo
magnético. Tipicamente este tipo de sensor usa materiais semicondutores como meio
condutor. Estes tipos de detectores são ideais para serem usados em meios onde exista
elevada densidade de fluxo magnético e encontram várias aplicações particularmente no
controle industrial.
Vamos calcular à voltagem de Hall para portadores de cargas positivas. Da
figura 4.4 podemos escrever que a força magnética vem dada pela seguinte expressão
r
r r
r
Fm = eVd B onde Vd é a velocidade de deriva das cargas. A corrente expressada em
r
r
temos da velocidade de deriva é I = neVd A onde e é à unidade elementar da carga; e n
é a densidade de portadores de cargas, A é a área do material. Então a força magnética
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
96
rr
r
eI B
. Por outra parte temos que a força elétrica é dada por
pode ser reescrita como Fm =
neA
r
r
V
Fel = eE = e H sendo VH e W a voltagem de Hall e a distância entre os dois extremos
W
do material, respectivamente. No equilíbrio as forças elétricas e magnéticas se igualam,
e dessa maneira podemos obter uma expressão para calcular a voltagem de Hall, ou
seja:
r r
eV
IB
,
Fe = Fm = H ; isolando obtemos VH =
W
ned
(4.2)
onde d é a espessura do material.
O sensor pode medir tanto campos constantes quanto e variáveis no tempo e sua
limitação está na banda de freqüência, que é da ordem de 1MHz. A potência requerida
está na faixa entre 0,1 e 0,2 W e podem ser operados numa ampla gama de temperaturas
que vai desde perto de zero absoluto (-273 0C) até 200 0C. Por último a faixa de
sensibilidade varia desde 10-4 G até 104 G, aproximadamente3.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
97
4.4 Magnetômetros por Ressonância Magnética Nuclear
Estes magnetômetros usam o fenômeno conhecido como Ressonância Magnética
Nuclear (RMN) possibilitando um método para medir o valor absoluto de um campo
magnético com alta exatidão e sensibilidade, são chamados sensores magnéticos
escalares, pois não medem a direção dos campos e sim sua magnitude. O princípio de
funcionamento destes sensores é totalmente diferente dos outros relatos aqui; utilizando
a ressonância produzida em um núcleo atômico especifico quando sobre este atua um
campo magnético externo, e está ilustrado na Fig. 4.5.
Figura 4.5 Esquema do magnetômetro de precessão nuclear. Este tipo de sensor é
baseado no fenômeno de RMN, o qual se aproveita da resposta dos núcleos dos átomos
de hidrogênio à ação de um campo magnético,
Muitas vezes radiofreqüências são usadas para iniciar a excitação dos núcleos
atômicos. O magnetômetro de próton opera detectando a ressonância no núcleo de
átomos de hidrogênio (prótons). O sistema poderia consistir de um arranjo de bobinas
localizadas ao redor de um tubo contendo água. A corrente é passada a través das
bobinas, criando um campo magnético muito forte que afeta a orientação dos prótons na
água. Como resultado existe uma tendência dos prótons de serem alinhados numa
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
98
direção determinada pelo campo magnético. Quando a corrente é interrompida, o campo
magnético cessa.
Neste momento, na presença de um campo magnético externo, os prótons
retornam a reorientar-se na direção desse campo magnético externo. Devido aos spins
dos prótons esta reorientação não é instantânea. Dessa maneira, os prótons fazem um
movimento de precessão ao redor da direção do campo magnético externo (movimento
esse governado pelas leis da mecânica quântica). A freqüência à qual acontece esta
precessão é diretamente relacionada com a densidade do fluxo magnético permitindo
que sejam feitas medições exatas do campo magnético. Uma segunda bobina poderia ser
usada para detectar o campo produzido pelos prótons precessando ao redor do campo
magnético que se quer medir.
Uma das desvantagens dos magnetômetros baseados na RMN é que estes não
permitem a medição da direção do campo magnético. Inicialmente isto poderia limitar a
utilidade destes dispositivos, mas isto não é necessariamente o caso. Em muitas
aplicações, por exemplo, onde o objetivo é medir pequenas mudanças da densidade do
fluxo magnético a sensibilidade do sistema muitas vezes pode superar suas limitações.
Tem-se também a grande vantagem de que os dados desde o sensor são sinais-saídas
como uma freqüência e não níveis de voltagem ou corrente e como resultado é possível
obter elevado grau de exatidão. Estes magnetômetros têm um faixa de uso que vai desde
10 −8 G até 1G. Sua resposta em freqüência é limitada pela freqüência dos prótons no
líquido do hidrocarbono.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
99
4.5 Sensor Magnético Tipo Fluxgate.
Outro método de medição de campo magnético é o magnetômetro Fluxgate. O
sensor “porta do fluxo” como pode se lhe chamar apóia-se na resposta de um material
magnético à ação de um campo magnético. Se um material magnético com
permeabilidade μ é situado numa região onde tem um campo magnético (ver Fig. 4.6),
podemos observar que quando o material tem uma permeabilidade magnética μ >> 0 às
linhas do campo magnético vão entrar no material (“são atraídas pelo material”).
B
μ >> μo
μ ≅ μo
r
r
B = μH
H
Figura 4.6 Variação da densidade das linhas do fluxo magnético devido ao chaveamento
de um núcleo ferromagnético, ao variar sua permeabilidade magnética quando o mesmo
é estimulado por um campo de excitação H . Quando μ >> μ 0 as linhas são fortemente
atraídas pelo núcleo, e quando μ ≅ μ 0 , região de saturação, as linhas não são atraídas
pelo núcleo.
No entanto, quando se encontra saturado μ ≈ 0 as linhas não se concentram e
não entram no interior do material magnético7. O coração deste sensor é uma serie de
bobinas ao redor de um núcleo de material ferromagnético. As características do
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
100
material que forma o núcleo são fundamentais para o correto funcionamento do sensor.
Existem boas referências sobre o princípio de funcionamento do fluxgate7-10.
Figura 4.7 Configuração básica do sensor fluxgate esta formada por um núcleo
ferromagnético e bobinas enroladas na sua volta. O núcleo é excitado por uma corrente
de excitação I exc (t ) a traves da bobina de excitação. Isto produz uma modulação do
núcleo em duas vezes a freqüência de excitação. O campo que queremos medir é B0 e
B(t ) é o campo magnético correspondente ao núcleo do sensor; Vind é a voltagem
induzida na bobina detectora de n-espiras.
O princípio geral de funcionamento do fluxgate, ver Fig.4.7, é uma aplicação
imediata da Lei de Indução de Faraday:
ε (t ) = − A
d (φ (t ))
dt
(4.3)
que prevê a indução de uma força eletromotriz, nos terminais de uma bobina, se houver
variação no fluxo de campo magnético dentro dela. Descartando mudanças na
geometria (número de espiras, área da secção reta, etc) podem-se provocar variações no
fluxo através de mudanças na permeabilidade μ do material que constitua o núcleo
dessa bobina. A configuração básica do sensor fluxgate apresenta um núcleo de
ferromagnético do sensor que é excitado por uma corrente variável de excitação I exc (t ) .
Desse modo é possível chavear o estado de magnetização do núcleo através de um
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
101
campo magnético adicional, pelo que a permeabilidade do núcleo é modulada em duas
vezes a freqüência de excitação. Bo é o campo que está sendo medido e B (t ) o campo
correspondente ao núcleo do sensor. Vind
(ou voltagem no secundário) é a voltagem
induzido na bobina detectora de N-espiras. Usualmente núcleos para fluxgates são
feitos de ligas de material ferromagnético mole, tais como Permalloy que apresentam
uma curva de saturação
permeabilidade μ =
B× H
praticamente vertical, isto é, possuem alta
dB
para um valor de H
dH
não muito elevado e saturam
abruptamente para valores maiores de H (onde μ ≈ 0 ).
Na Fig. 4.7 pode-se ver um arranjo que permite o chaveamento do núcleo. Uma
corrente alternada I exc (t ) passando através da bobina de excitação gera um campo
magnético H (t ) que realiza todo ciclo de histerese. Uma vez que o núcleo é saturado
duas vezes durante um período na curva de magnetização, ε (t ) deve ser uma função
periódica com freqüência duas vezes maior que a do sinal de excitação I exc (t ) . Se não há
campo externo, a simetria do sistema faz com que nenhum sinal apareça nos terminais
da bobina de detecção. Não entanto, se existe campo externo, a curva de histerese é
deslocada em relação à H = 0 fazendo com que um sinal proporcional ao campo
externo seja induzido. Se o sinal de excitação tem uma freqüência f e é um sinal
periódico qualquer o sinal induzido de saída deve apresentar componentes de freqüência
pares, ou seja, 2 f em relação ao sinal de excitação.
Com sensores fluxgates podem detectar campos de baixa freqüências e
intensidade na faixa de 0.1nT até 10 mT. O fluxgate tem sido aplicado no estuda
partículas ferromagnéticas dentro do corpo humano. São capazes de medir campos
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
102
estáticos ou alternados até algum kHz, não têm partes móveis e têm um consumo muito
baixo de energia, da ordem de 80mW. Podem alcançar 10 pT de resolução (100 pT em
alguns aparelhos comerciais) e estabilidade de 1 nT durante períodos longos (meses). A
menos da excitação do núcleo sensor, toda sua eletrônica pode ser digital, podendo ser
reduzida a um único componente. Em termos de sensibilidade para campos de baixa
freqüência, perdem apenas para os magnetômetros SQUIDs, mas diferente desses, não
necessitam de baixas temperaturas para operar. As principais aplicações dos fluxgates
estão em medidas geofísicas, pesquisas espaciais, sistemas de navegação de aviões e
mísseis, detecção de veículos e submarinos e estabilizadores de corrente elétrica.
Aplicações em arqueologia, ensaios não-destrutivos e leitores de cartão magnético
também já foram reportadas8-10.
4.6 Sensor Magnético Tipo SQUIDS
Como foi comentado anteriormente para registrar sinais magnéticos muito
diminutas precisa-se de transdutores ultra-sensíveis tais como os dispositivos
supercondutores de interferência quântica ou SQUIDS. Os novos SQUIDS têm boa
performance ao serem resfriados com nitrogênio líquido a uma temperatura de 77 graus
Kelvin, enquanto os SQUIDs convencionais operam a 4.2 graus Kelvin. Este tipo de
magnetômetro utilizando supercondutores como elemento detector. Na Fig.4.8
ilustramos a montagem de um Dewar que contem o detector SQUID.
Estes sensores magnéticos foram inventados em 1962, quando B. D.
JOSEPHSON desenvolveu a teoria da junção entre dois materiais supercondutores
separados por uma fina barreira isolante, hoje conhecidos como junção Josephson.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
103
Existem dois tipos de SQUID, DC ou RF (AC). Os SQUIDS RF só têm uma junção
Josephson, no entanto os SQUIDS DC apresentam duas. Este último é mais caro e de
construção complexa, mas por outra parte é muito mais sensível.
O princípio de
operação do SQUID é baseado no efeito Josephson e na quantização do fluxo magnético
em um circuito supercondutor fechado11.
Figura 4.8 Esquema geral de um Dewar onde é esfriado o sensor SQUID.
O principio básico está muito ligado á quantização do fluxo magnético. Este é o
fenômeno pelo quais os estados quânticos favorecidos para um anel supercondutor são
aqueles nos qual o fluxo é um múltiplo estabelecido de um quantum de fluxo. Josephson
propôs que se um material supercondutor fosse interrompido por uma junção ou camada
fina resistiva uma “super-corrente” poderia aparecer12, 13. Isto foi possível devido ao
tunelamento da “super-corrente” através da junção. Se a corrente consegue se manter
abaixo de certo valor crítico Ic o material é supercondutor e a corrente fluindo através
da barreira está relacionada com a corrente crítica da seguinte forma:
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
I = Ic sin (ϕ )
104
(4.4)
Onde ϕ é a diferença na fase do ângulo das correntes através da barreira.
Experimentalmente, o efeito Josephson se caracteriza por uma corrente crítica,
abaixo da qual uma barreira de potencial, ou junção, é supercondutora. No estado
supercondutor o circuito apresenta resistência nula, consequentemente, mesmo quando
polarizado por uma corrente elétrica a tensão verificada nos seus terminais é nula, ver
Fig. 4.9. Para um valor de corrente superior à corrente crítica, a junção transita para o
estado normal, e passamos a detectar um nível de tensão não nulo. Desta maneira, estes
dispositivos podem ser entendidos como conversores, de extrema sensibilidade, de
variação de fluxo magnético em variação de corrente crítica, que são amplificadas e
detectadas14.
Figura 4.9 Anel supercondutor mostrando a juntura resistiva de Josephson. O gráfico
mostra a relação entre a voltagem e a corrente, ou seja, a resistência no anel. Vê-se que
dentre dos valores críticos de − Ic < − > Ic o estado no anel tem resistência zero, ou
supercondutor [Esquema extraída da Cf17].
Os SQUIDs RF tiveram bastante sucesso nos primeiros magnetômetros
comerciais, por sua relativa facilidade de fabricação pois apresentam apenas uma
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
105
junção. Por outro lado, o seu funcionamento exige eletrônica de radiofreqüência para
detecção, que pode gerar interferências nas amostras a serem medidas, além de ser de
operação relativamente complicada15.
A maioria dos SQUIDS se fabrica de chumbo ou nióbio puro. O chumbo
encontra-se usualmente em forma agregado com um 10% de ouro o índio, já que o
chumbo puro não é mecanicamente estável às mudanças repetidas de temperaturas
(exemplo as temperaturas extremamente baixas que se trabalha). A faixa de
sensibilidade destes magnetômetros é extremamente ampla, desde 10-15 T ate 100 T. Os
SQUIDs são usados para medir campos magnéticos extremamente baixos; atualmente
são os magnetômetros mais sensíveis conhecidos, com níveis de ruído mínimo de
3 fT
. Alguns processos em animais produzem campos magnéticos muito fracos
Hz
(tipicamente de um bilionésimo a um trilhionésimo de Teslas), e os SQUIDs são muito
adequados para estudar estes processos. Na MEG, por exemplo, usa-se as medidas de
uma bateria de SQUIDs para inferir a atividade neural no cérebro. Como os SQUIDs
podem trabalhar a uma maior velocidade que a taxa de atividade cerebral mais rápida e
de interesse, se pode obter boa resolução temporal via MEG. Outra aplicação é o
microscópio de varredura com SQUID, que usa um SQUID imerso em hélio líquido
como sonda. O uso de SQUIDs na indústria petrolífera, predição de terremotos e
análises de energia geotérmica se vai estendendo conforme se desenvolve a tecnologia
de supercondutores16.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
106
4.7 Sensores Magnetoresistivos. Principio de Funcionamento.
O campo magnético será seguido e medido por um arranjo de smgra. Os mesmos
são micro-circuitos do tipo HMC 1001/1002 e foram adquiridos na Honeywell. Eles são
basicamente formados por quatros resistores, em configuração de ponte de Wheatstone.
Na Fig. 4.10a mostramos o circuito da ponte.
(a)
(b)
Figura 4.10 Em (a) mostramos o circuito da ponte de Wheatstone dos smgra, e em (b)
ilustramos um elemento de um rmgr com o campo e a corrente aplicada.
Mais não é qualquer tipo de resistor do qual é feito o sensor; estes se chamam
resistores magnetoresistivos (rmgr) e têm a capacidade de converter campos magnéticos
em uma tensão de saída diferencial. Esta conversão é devido ao principio físico
chamado de efeito magnetoresistivo, que se baseia na propriedade de um material, em
nosso caso usamos um material ferromagnético chamado Permalloy (20% de Fe e 80%
de Ni), de mudar sua resistividade na presença de um campo magnético externo. Na Fig.
4.10b observa-se um elemento do rmgr com o campo e a corrente aplicada. Para criar o
sensor utilizam-se 4 rmgr idênticos e são orientados em forma de diamante com os
terminais conectados juntas, via metalização, para formar a ponte. Arbitrariamente, um
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
107
dos extremos (acima ou embaixo) da configuração é alimentado com um estímulo na
forma de voltagem de alimentação (Vcc). Nos extremos restantes detecta-se uma
diferença de potencial, já seja originado por um campo ou mesmo pelo offset natural da
ponte. Na Fig. 4.11a se observa a ponte do sensor sendo alimentado com um Vcc e ΔV
ilustra a voltagem originado. Um valor nominal da resistência usado nos sensores HMC
1001/1002 é da ordem de 1.1k Ω .
(a)
(b)
Figura 4.11 Em (a) observamos a ponte do sensor HMC 1001 sendo alimentado e em
(b) esquema ilustrando o efeito magnetoresistivo.
Quando não se tem campo aplicado (Zero Gauss) não se tem sinal nas terminais a
exceto uma pequena voltagem de offset devido às diferenças nas tolerâncias dos rmgr
como conseqüência de seu processo de fabricação.
No esquema da Fig. 4.11b
mostramos o principio básico de funcionamento dos smgra. Os rmgr apresentam
estrutura de domínios, pois é um material ferromagnético. Devido a isso, eles vão exibir
um bom comportamento, no sentido do efeito magnetoresistivo, quando e só quando,
todos os seus domínios magnéticos estejam alinhados numa mesma direção. Um campo
externo pode fazer variar o momento magnético dos domínios. Nessas condições
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
108
assegura-se elevada sensibilidade e boa reprodutibilidade nas medições com um mínimo
de histerese.
Os sensores são obtidos mediante um processo de deposição das laminas dos rmgr
num substrato de silicone e baixo a presença de um campo magnético muito intenso.
r
Este campo estabelece a orientação preferida, ou eixo fácil, do vetor magnetização M .
Este vetor é estabelecido paralelo ao longo do rmgr e baixo a ação de um campo
magnético aplicado ele poderia encontrar-se numa direção qualquer entre a direita ou
esquerda da lamina. Assumindo por um momento que existe uma corrente elétrica
fluindo no material formando um ângulo Θ de 450 com a longitude do sensor. Devido à
ação de um estímulo magnético externo é criado um ângulo alfa α entre a direção do
fluxo da corrente I e o vetor M. As propriedades elétricas do Permalloy permitem uma
relação entre o vetor M e a da corrente I, que em geral não é linear.
Figura 4.12 Curva característica do efeito magnetoresistivo.
Na Fig. 4.12 ilustra-se esta propriedade. A resistência do smgr é maior quando a
corrente I flui paralela ao vetor M. Nessa mesma figura observamos que quando não
está presente um campo magnético externo, o vetor de magnetização M, e a corrente
elétrica I apresentam separadas segundo o ângulo Θ . Ao se aplicar um campo
magnético externo B, paralelo ao plano do Permalloy, mas perpendicular ao eixo fácil,
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
109
o vetor da magnetização interno M, girará um ângulo α , em relação à direção da
própria magnetização no estado inicial sem campo e á da corrente.
Figura 4.13 As barras de alumínio formam os chamados pólos Barber.
A resistência elétrica do smgr tem um comportamento anisotrópico, na direção
para quando Θ = 0o temos que rmgr é máxima e quando α=900 é mínima, como
observamos na seguir na Fig. 4.12.
Para campos muito baixos a relação entre a resistência e o campo aplicado não é
linear. Para convertê-la em linear colocam-se lâminas de material condutor (quase
sempre de alumínio) sobre a superfície do Permalloy formado um ângulo de 45º com o
eixo fácil do sensor, isto é chamado de pólos de Barber. Na Fig. 4.13 aparecem
ilustrados estes pólos cuja função principal ao ter condutividade diferente ao do
Permalloy, consiste em rodar um ângulo de 450a corrente I, e mudar o ângulo ente I e
M desde α, até α – 450. Nestas condições para campos baixos sua sensibilidade é
aumentada e a razão campo/resistência pode ser considerado linear ver Fig. 4.12.
A origem física do efeito magnetoresistivo está no fato de que, uma vez o
material (Permalloy) esteja baixo a influência de um campo magnético externo aparece
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
110
uma diferença no deslocamento dos níveis de energia de Fermi dos elétrons com um
spin negativo e positivo, respectivamente.
A dependência da resistividade com o campo magnético é normalmente
interpretada pelo chamado modelo de duas correntes, proposto por Mott. Esse modelo
diz que os elétrons que participam da condução da corrente elétrica são os elétrons
híbridos sd. Podemos separar estes elétrons em duas "famílias", de acordo com a
orientação relativa da componente z de seus spins em relação à magnetização local: os
elétrons spin up e os elétrons spin down. Nesta descrição, o eixo z é escolhido como o
eixo de quantização e é paralelo à magnetização. As baixas temperaturas, estas duas
famílias de elétrons carregam a corrente em paralelo, pois muitos poucos espalhamentos
afetam o spin dos elétrons. Este é o modelo de duas correntes proposto por Mott18.
Em metais de transição ferromagnéticos (também a baixas temperaturas) estes
dois canais de elétrons podem ter espalhamentos muito diferentes, independente do tipo
de centro de espalhamento (impurezas magnéticas, defeitos cristalográficos tais como
deslocações, fronteira de grão ou mesmo fônons). Esta dependência de spin nos
espalhamentos eletrônicos resulta da diferença na densidade de estados vazios das subbandas d-up e d-down ao nível de Fermi, os quais os elétrons podem ocupar após serem
espalhados. Esta diferença nas densidades de estados de elétrons spin up e elétrons spin
down é uma conseqüência do "splitting" da banda d, uma característica do magnetismo
em metais de transição18.
A magnetoresistividade (MR) pode ser medida em três diferentes geometrias: MR
longitudinal ( ρ || ), MR perpendicular ( ρ ⊥ ) e MR transversal ( ρ T ), conforme a figura1
indica. Onde j é a densidade de corrente, como observamos na Fig. 4.14.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
111
Figura 4.14: Efeito magnetoresistivos em (a) MR longitudinal ( ρ || ), em (b) MR
perpendicular ( ρ ⊥ ) e em (c) a MR transversal ( ρ T ) [Figura extraída de Cf18].
Figura 4.15: Representação de vários tipos de comportamento da MR. (a) MR comum
em um metal não-magnético, (b) MR anisotrópica em um metal ferromagnético, (c) MR
gigante negativa em uma multicamada e (d) MR gigante negativa em um sólido
granular [Figura extraída de Cf18].
Na Fig. 4.15 é apresentada a representação esquemática de vários tipos de
comportamento da MR em função do campo magnético aplicado. As características da
MR em vários materiais reais podem ser resumidas como a seguir, em ordem crescente
de efeito:
A OMR – Ordinary Manetoresistance: tem origem na força de Lorentz e é observada
em metais não magnéticos comuns, tais como Au e Cu. A MR é muito pequena. Tanto
que ρ || quanto ρ ⊥ são positivas e aumentam com H ao quadrado, com ρ T > ρ || ,
como mostra a
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
112
Fig. 4.15(a)18.
B. Magnetoresistência Anisotrópica – AMR:
A AMR – Anisotropric Magnetoresistance, em metais ferromagnéticos e ligas, são
observadas MR substanciais. Na maioria das vezes ρ || é positiva e ρ T é negativa, como
na Fig. 4.15(b), e ao contrário da OMR, ρ T < ρ || . E ambas podem ser saturadas a
campos não muitos altos. A AMR depende da direção da magnetização espontânea e é
devido à interação spin órbita. O campo de saturação (Hs) para a AMR. Isto, somado
aos valores mensuráveis da variação da resistividade entre H=0 e H= Hmáx forma a base
da maioria das aplicações magnetoresistivas de baixo campo18.
C. Magnetoresistência Gigante – GMR:
A GMR – Giant Magnetoresistance ou também conhecida como efeito de válvula de
spin foi descoberta em 1988 por Baibich em multicamadas de Fe/Cr. Através destas a
interação intercamada, com acoplamento antiferromagnético das camadas adjacentes de
Fe, leva a magnetização zero (M=0). Sob um campo magnético suficientemente alto,
um alinhamento paralelo (M=Ms) é obtido. Notadamente, as resistividades do
alinhamento paralelo e do antiparalelo diferem entre si por um fator dois. Este efeito
tem sido observado em uma grande variedade de multicamadas, Fig. 4.15(c). Devido a
MR nas multicamadas de Fe/Cr ser tão grande, o efeito de MR tem sido amplamente
chamado de magnetoresistência gigante (GMR). Em 1992, a GMR foi observada em
sistemas magnéticos granulares, Fig.4.15(d), de Co/Cu, dissipando a noção até então
existente de que o fenômeno era exclusivo das multicamadas. Os efeitos de GMR
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
113
observados em multicamadas e sólidos granulares podem ser de fato muito grandes
(Δρ/ρ> 160%) em alguns casos, mas modestos (Δρ/ρ<5%) em outros18.
OMR, AMR e GMR não são efeitos isolados. AMR está presente também em
sistemas que apresentam GMR. Isto é de particular preocupação se a GMR é muito
pequena. Nesse caso, as medidas devem ser feitas em várias geometrias para separar a
contribuição da AMR.
Sob um alto campo magnético, materiais com AMR
normalmente apresentam uma fraca dependência com H ao quadrado devido a OMR18.
Capitulo # 4 Tecnologia de Medição de Campos Magnéticos
114
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