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TEMA 1.- VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES
1.1 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.
Definición de variable aleatoria (v.a.)
Es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del
espacio muestral. Se designa con X.
Ejemplo: Si se lanzan tres monedas al aire y se observan los posibles resultados,
podemos definir la variable aleatoria X = “nº de caras obtenidas” y así observamos que:
Suceso aleatorio
(c,c,c)
(c,c,x)
(c,x,c)
(x,c,c)
(c,x,x)
(x,c,x)
(x,x,c)
(x,x,x)
X (nº de caras)
3
2
2
2
1
1
1
0
Se ha definido una auténtica variable aleatoria, porque a cada suceso elemental
le corresponde un número.
Variable aleatoria discreta.
Una v.a. X es discreta si puede tomar un número finito o infinito numerable de
posibles valores.
Ejemplo: El número de piezas defectuosas de un lote de piezas fabricadas. El número de
llamadas a una centralita en un intervalo de tiempo.
Variable aleatoria continua.
Una v.a. X se dice que es continua cuando puede tomar infinitos valores no
numerables, o bien, cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la recta real.
Ejemplo: Tiempo que tarda un alumno en hacer un examen para el que se ha dado un
máximo de 2 horas. La duración de las llamadas telefónicas de una empresa. El tiempo
que transcurre entre la llegada de dos coches consecutivos a una gasolinera.
1.1.1 Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.
Supongamos una v.a. X que toma los valores x1, x2, x3, ... xr y sea p1, p2, p3, ...pr
las probabilidades con que toma esos valores. Se suele denotar pi = p(X = xi) = p(xi)
Función de probabilidad o función de cuantía de una v.a. X discreta es la función que
asigna a cada valor de X su probabilidad que pondremos p(X = xi) = pi
La Función de probabilidad o función de cuantía se puede presentar de tres formas:
a) En forma de “tabla”:
… xr
… pr
 n
b) En forma de “fórmula”. Ejemplo: P( X  k )    p k (1  p) nk Si k = 0, 1 2, ...n
k 
X x1 x2
P p1 p2
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c) En forma de gráfica de diagrama de barras.
(Ver la función de probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo de las tres monedas)
Propiedades que ha de cumplir una función de probabilidad
1º- P( X  xi )  0 para todo xi
n
2º-
 P( X  x )  1
i 1
i
Observar que la v.a. del ejemplo cumple estas propiedades.
Ejemplo 1.2 (pag 20)
Un lote de 100 lámparas contiene 10 defectuosas. Un minorista decide tomar dos
lámparas aleatoriamente y si ninguna de las dos es defectuosa acepta el lote de las 100.
Estudiar la v.a. “nº de lámparas defectuosas en una selección aleatoria de dos lámparas”.
Función de distribución
Se define la función de distribución de una v.a. como una función acumulativa tal que
F ( x)  Pr( X  x)
Obsérvese que el valor de x varía desde -∞ hasta +∞ y toma valores desde cero
hasta 1, que es lo máximo que puede acumular. Las funciones de distribución de las
v.a. discretas son escalonadas.
(Ver el ejemplo de construir la función de distribución del experimento de lanzar tres
monedas)
1.1.2 Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Continua.
Una v.a. es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la
recta real R. Por tanto, no toma valores en unos cuantos puntos, sino en todos los de un
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Tema 1.- Variables aleatorias.
intervalo. Se ha de verificar, por tanto, que la función de distribución sea continua (sin
saltos) y derivable en todos sus puntos salvo en un número finito de ellos.
Función de densidad de una variable aleatoria continua es el límite al que tiende la
densidad de frecuencias relativas del histograma de frecuencias relativas cuando la
amplitud de los intervalos tiende a cero. Se representa por f(x).
Ver el ejemplo del tiempo de llegada de un autobús
Propiedades que ha de cumplir una función f(x) para ser una función de densidad.
a) f ( x)  0 Para cualquier valor de x.
b)



f ( x)dx 1
Esta segunda propiedad indica que el área que hay bajo la curva es 1 y
representa el total de la probabilidad.
b
Por tanto es P(a  X  b)   f ( x)dx que, gráficamente, se representa:
a
Se verifica, por tanto, que P(X = x) = 0 y también que P( X  x)  P( X  x)
Función de distribución F(x)
x
Es por definición, igual que en caso discreto, F ( x)  Pr( X  x)   f (t )dt

Por tanto, es el área que hay bajo la curva a la izquierda de x.
Gráficamente se representa:
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Propiedades de la función de distribución de las variables aleatorias continuas
La función de distribución de una v.a. continua verifica las siguientes propiedades:
1.- F(-) = 0
2.- F(+) = 1
3.- Si xi < xj entonces F(xi) ≤ F(xj)
b
4.- P(a  X  b)   f ( x)dx = F(b) – F(a) y
a
5.- Se verifica también que F’(x) = f(x) para cualquier valor x de la recta real.
Ejemplo 1.3 (pág. 32 del libro)
Sea una variable aleatoria continua X cuya función de densidad f(x) es:
 1
15  x  17
f ( x)   2
Se pide:
 0 en el resto
a) Probar que es una función de densidad.
b) Hacer su representación gráfica.
c) Hallar P(15<X<16) y P(16,25≤X≤16,75).
d) Hallar P(X≤16) y P(X<17).
e) Hallar la función de distribución y su valor en x = 16.
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1.2 VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES.
Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es la formada por la v.a. X que toma
valores con la v.a. Y conjuntamente.
1.2.1 Variable Aleatoria Bidimensional Discreta (X,Y)
Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es discreta si tanto la X como la Y
son v.a. discretas.
Función de probabilidad o de cuantía P(xi,yj) Representa las distintas
probabilidades de que X e Y tomen cualquiera de sus valores.
Si X es una v.a. que toma los valores x1, x2, x3, ... xr e Y es otra v.a. que toma los
valores y1, y2, y3, ... ys
La probabilidad de que la v.a. (X,Y) tome el valor (xi,yj) es la probabilidad
conjunta de que X = xi y que Y = yj que se denota por pij = P(xi,yj) =P(X = xi , Y = yj)
Se suele representar en forma de cuadro o tabla, aunque algunas veces se puede
poner con una única “formula”.
La representación gráfica se hace mediante un diagrama de barras
bidimensional.
Para que sea una auténtica función de probabilidad bidimensional se ha de
verificar que:
a) 0 ≤ P(xi,yj) ≤ 1
r
b)
y
s
 P( x , y )  1
i 1 j 1
i
j
Ejemplo:
Una caja contiene 4 bombillas buenas y 1 defectuosa. Se hacen dos extracciones
consecutivas sin reemplazamiento y se definen las siguientes variables aleatorias:
0 si la primera escogida es buena
0 si la segunda escogida es buena
X
Y
 1 si la 1ª escogida es defectuosa
 1 si la 2ª escogida es defectuosa
Obtener la función de cuantía bidimensional y su representación gráfica.
Función de distribución bidimensional.
Se define F ( x)  P( X  x, Y  y ) 
x
y
  P( x , y ) que representa la
xi  x1 y j  y1
i
j
probabilidad acumulada para valores de X inferiores o iguales a x y para valores de Y
inferiores o iguales a y.
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Tema 1.- Variables aleatorias.
Ejemplo (1.10 libro pág 61)
La siguiente tabla representa la distribución conjunta de la variable aleatoria X,
nº de tazas de café servidas por un camarero, e Y, nº de sobres de azúcar solicitados por
taza. Hallar F(2,3) y F(3,1)
Distribuciones marginales.
Si (X,Y) es una v.a. bidimensional discreta con función de probabilidad Pij =
P(xi,yj), se definen las funciones de probabilidad marginal de X y de Y respectivamente:
s
s
r
r
j 1
j 1
i 1
i 1
Pi   Pij  P( xi , y j ) i  1....r y P j   Pij  P( xi , y j ) j  1....s
Que equivale a sumar por filas y columnas la función de probabilidad conjunta.
Ejemplo: Hallar las distribuciones marginales del ejemplo anterior.
Distribuciones condicionadas.
P( A  B)
P( B)
Se define la probabilidad (función de probabilidad) de la v.a. X condicionada a
que la variable Y toma el valor yj:
x
 P( X  xi , Y  y j ) P( xi , y j )
P i

i  1...r y, análogamente:

P(Y  y j )
P j
 Y  yj 
Recordando que P( A ) 
B
Se define la probabilidad de la v.a. Y condicionada a que la variable X tome el
valor xi, como:
y
 P( X  xi , Y  y j ) P( xi , y j )
P j

j  1...s

P( X  xi )
Pi 
 X  xi 
Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, hallar la función de probabilidad de X condicionada
a que Y tome el valor 1.
Ejemplo 1.7 libro.
Sea una urna con 21 bolas, numeradas desde el número 1 hasta el 21, de manera que no
hay dos bolas con el mismo número. Deseamos conocer dos características de estos
números: su divisibilidad por 2 y por 3. Elegimos una bola al azar, y consideramos la
v.a. X, tal que, si aparece un número par (divisible por 2) le asignamos un 1 y si aparece
un número impar, le asignamos un cero. Análogamente, definimos la v.a. Y de tal forma
que le asignamos un uno si el número que aparece es múltiplo de 3 y un cero si no lo es.
Obtener
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Tema 1.- Variables aleatorias.
a) La distribución de probabilidad CONJUNTA.
b) Las distribuciones marginales.
c) La probabilidad de que el número elegido sea divisible por 3 sabiendo que es
par.
Ejemplo 3:
De un grupo de parlamentarios compuesto por tres del PP, dos del PSOE y uno
de IU, deben seleccionarse un comité de dos personas. Sea X la v.a. que representa el nº
de parlamentarios del PP que entran en el comité y sea Y la v.a. que representa el nº de
parlamentarios del PSOE que forman parte del comité. Obtener la distribución de
probabilidad conjunta de X e Y. Obtener las distribuciones marginales. Hallar la
distribución condicionada de X a que Y tome el valor 1.
Independencia de variables aleatorias
Recordando que si dos sucesos A y B son independientes P(AB) = P(A).P(B).
Decimos que las variables aleatorias X e Y son independientes cuando la
función de distribución conjunta F(x,y) se puede poner como producto de las funciones
de distribución de cada una de ellas F(x).F(y) que equivale a decir que
Pij = Pi.P.j
para cualquier par de valores i y j
Ejemplo: Comprobar si son independientes X e Y en los ejemplos anteriores.
1.2.2 Variable Aleatoria Bidimensional Continua (X,Y)
Una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es continua si tanto la X como la Y
son v.a. continuas.
Función de densidad bidimensional continua (función de densidad conjunta)
Una función f(x,y) es una función de densidad de una variable aleatoria bidimensional
(X,Y), si se verifica:
a) f ( x, y )  0 x, y  (, )
b)

 

  
f ( x, y )dxdy  1
Interpretación gráfica.
La función de densidad f(x,y) representa una superficie en la parte positiva de
los ejes X e Y del espacio tridimensional, tal que el volumen situado debajo de ella es
igual a 1 y se obtiene como paso al límite del histograma bidimensional, cuando las
amplitudes de los intervalos en X y en Y tienden a cero.
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Tema 1.- Variables aleatorias.
Se define:
P( x1  X  x2 , y1  Y  y2 )  
x2
x1

y2
y1
f ( x, y )dxdy y representa el volumen bajo la gráfica
(superficie) limitada por x1, x2, y1 e y2.
Función de Distribución
Se define: F ( x, y)  P( X  x, Y  y )  
x

y
 
f ( x, y)dxdy
Recomendación: Hacer los ejercicios 1, 5, 6, 7, 8 y 13 del libro.
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