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TEMA 2.- CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
Igual que en el caso de las variables estadística, son medidas que resumen la
distribución de la variable aleatoria y se utilizan para establecer comparaciones.
a)
b)
c)
d)
Pueden ser:
Medidas de posición.- media moda, mediana, cuarteles.
Medidas de dispersión.- varianza, desviación típica, desviación media.
Medidas de forma.- Asimetría y curtosis.
Medidas de dispersión relativa.- Coeficiente de variación de Pearson.
Pero para ello, hay que introducir el concepto de esperanza matemática.
La esperanza matemática de una variable aleatoria X está históricamente ligada
al concepto de equidad de un juego. Es lo que se espera ganar en un juego en el que
juega un gran número de partidas, ponderando las perdidas y ganancias por sus
respectivas frecuencias relativas de ocurrencia. Así ¿Cuánto se espera ganar si se lanza
una moneda numerosas veces y cuando sale cara se cobra un euro y cuando sale cruz, se
pierde un euro?
2.1 Definición de Esperanza Matemática de una v.a. X
Ejemplos:
Hallar la esperanza matemática de las variables aleatorias:
a)
X 0
1
3
4
8
P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2
b) f(x) = 1/20 si x está comprendido entre 0 y 20
c) Hallar la esperanza matemática de un jugador que juega tres papeletas en una
rifa de 100 números con un único premio de 500€, si cada papeleta cuesta 10€.
Tema 2.- Características de las Variables aleatorias.
Esperanza matemática de una función cualquiera g(X)
Ejemplos resueltos.
Propiedades de la esperanza matemática.
1.- La esperanza de una constante es la propia constante E[k] = k (demostrado)
2.- Si X está acotada a ≤ X ≤ b es a ≤ E[X] ≤b
3.- La esperanza E[a.X+b] = a.E[X]+ b (demostrado) y en general, la esperanza de una
combinación lineal de funciones de X es la combinación lineal de las esperanzas.
E[a.g(X)+b.h(X)] = a.E[g(X)]+ b.E[h(X)]
4.- Si g(xi) ≤ h(xi) para todo i es E[g(X)] ≤ E[h(X)]
5.- El valor absoluto de la esperanza de una función de X es menor o igual que la
esperanza del valor absoluto de la función. Eg ( X )  E g ( X ) 
6.- Si f(x) = f(-x) o sea si la función de densidad es simétrica su esperanza es cero
E[f(x)] = 0
Ejemplo: Hacer los ejemplos anteriores aplicando las propiedades de la esperanza
matemática.
José Luís Gutiérrez de Mesa
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Tema 2.- Características de las Variables aleatorias.
2.2 Momentos de una variable aleatoria
Son valores que resumen la variable aleatoria y se definen a partir de la esperanza
matemática. Pueden ser de dos tipos:
a) Momento de orden r respecto del origen. Se considera la esperanza
matemática de la función Xr y se expresa  r  E X r
b) Momento de orden r centrado o respecto de la media. Se considera la
r
esperanza matemática de la función (X-E[X])r y se expresa  r  E  X  E X 
 


Así, por ejemplo, los momentos más utilizados son:
Orden (valor de r)
R=0
R=1
R=2
Respecto del origen
α0 = E[X0] = E[1] = 1
α1 = E[X1] = E[X] = µ (media)
α2=E[X2]
Centrado o respecto de la media.
µ0 = E[(X-E[X])0] = E[1] = 1
µ1 = E[(X-E[X])1] = E[X] - E[X] = 0
µ2 = E[(X-E[X])2] = 2 (varianza)
Se puede demostrar que todos los momentos respecto de la media se pueden
expresar como momentos respecto del origen (Teorema de Köening)
Varianza
Es el momento central de orden dos. µ2 = E[(X-E[X])2] = 2 también se expresa
var(X)
Propiedades de la varianza
1º Fórmula alternativa muy útil Var(X) = E[X2] – (E[X])2 (demostración)
2º La varianza de una constante es cero. Var(k) = 0
(demostración)
3º La varianza de una constante por X, la constante sale al cuadrado.
Var(aX) = a2.Var(X)
(demostración)
4º
Var(aX+b) = a2.Var(X)
(demostración)
Ejemplos: Calcular la varianza de las funciones:
a)
 2 x
1 x  2
b) f ( x)   3
X
0
1
2
3
 0 en el resto
P 1/8 3/8 3/8 1/8
Aplicando la definición y utilizando la primera propiedad.
2.3 Otras características de las variables aleatorias unidimensionales.
Las demás características que ya se estudiaron en la primera parte, relativas a las
variables estadísticas, también se pueden definir, de forma análoga, para las variables
aleatorias. Así, se puede definir:
Mediana de una v.a. Es el valor xme que deja igual probabilidad a su derecha que a su
izquierda. Análogamente se pueden definir los cuantiles y percentiles.
José Luís Gutiérrez de Mesa
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Tema 2.- Características de las Variables aleatorias.
Ejemplo: Hallar la mediana de las variables aleatorias:
a)
 2 x
1 x  2
b) f ( x)   3
X 325 350 375 400
 0 en el resto
P 1/8 2/8 3/8 2/8
Moda de una v.a. Es el valor xmo más probable de una variable aleatoria.
Si X es discreta es el valor de X que tiene mayor probabilidad.
Si X es continua, es el valor de x donde f(x) presenta un máximo.
Medidas de forma:
Coeficiente de asimetría  1 
3

Coeficiente de curtosis  2  44  3
3


Coeficiente de variación de Pearson
Para medir el grado de homogeneidad de una variable aleatoria. CVX 
Cambio de origen y de escala
Si, a partir de la v.a. X, definimos Y 
X
EX 
X  o'
e
 X  o'  E  X   o'
 X  o'  var X 


Se verifica que E Y   E 
y que VarY   Var 

e
e2
 e 
 e 
Se utiliza para hacer más fáciles los cálculos en las variables.
Un cambio de origen y de escala muy utilizado es la tipificación, que consiste en hacer
X 
el cambio Z 

Ejemplo:
Hallar la media y la varianza de la v.a. cuya función de probabilidad es:
X 325 350 375 400
P 1/8 2/8 3/8 2/8
Haciendo el cambio de origen y de escala y sin hacerlo.
2.6 Valor esperado de una función de una variable aleatoria bidimensional (discreta).
Dada una variable aleatoria bidimensional (X,Y) nos interesa calcular el valor
esperado de cualquier función g(X,Y). Entonces:
Caso discreto.- Si (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional cuya función
de probabilidad conjunta viene expresada por pij = P(xi,yj) = P(X = xi ,Y = yj) Se define:
r
s
Eg ( X , Y )   g ( xi , y j ).P(xi , y j )
i 1 j 1
(Los casos más usuales de g(X,Y) son X + Y, X.Y y combinaciones lineales de X e Y)
Ejemplo: (2.16 libro pág 136)
Sean A y B dos vendedores de pisos. Sea X la v.a. que indica el nº de pisos
vendidos por el vendedor A en una semana y se Y la v.a. que indica el nº de pisos
José Luís Gutiérrez de Mesa
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Tema 2.- Características de las Variables aleatorias.
vendidos por el vendedor B en una semana. Se sabe que la distribución conjunta de X e
Y es:
X\Y
0
1
2
0
0.20 0.15 0.05
1
0.05 0.20 0.05 Obtener el número total esperado de pisos vendidos por los
2
0.05 0.05 0.20 dos vendedores.
Propiedades de la esperanza matemática de algunas funciones de v.a.
bidimensional.
1.- Si X e Y son variables aleatorias con esperanzas E[X] y E[Y], entonces para
cualquier par de valores a y b se verifica que E[aX+bY+c]=a.E[X]+b.E[Y]+c
(demostración)
(esta propiedad se puede generalizar a más variables).
Ejemplo: Resolver el problema anterior utilizando esta propiedad.
Y, si A recibe una comisión de 1000€ por piso vendido y B recibe una comisión
de 1500€ ¿Cuánto se espera que tenga que pagar la empresa por comisiones?
2.- Si X e Y son variables aleatorias independientes con esperanzas E[X] y E[Y],
entonces para cualquier par de valores a y b se verifica que E[X.Y]= E[X].E[Y]
(demostración)
(esta propiedad se puede generalizar a más variables).
Ejemplo: Comprobar que en la v.a. bidimensional del ejemplo anterior E[X.Y] no es
igual a E[X].E[Y]
2.7 Momentos de una variable aleatoria bidimensional
Análogamente, son valores que resumen la variable aleatoria y se definen a partir de la
esperanza matemática. También, pueden ser de dos tipos:
a) Momento de orden r,s respecto del origen. Se considera la esperanza
matemática de la función Xr.Ys y se expresa  rs  E X r .Y s
b) Momento de orden r,s centrado o respecto de la media. Se considera la
esperanza matemática de la función (X-E[X])r. (Y-E[Y])s y se expresa
rs  E  X  EX r .Y  EY s




Así, por ejemplo, los momentos más utilizados son:
Orden (valor
de r y de s)
1,0
0,1
1,1
Respecto del origen
Centrado o respecto de la media.
α10 = E[X1.Y0] = E[X] = µx
α01 = E[X0.Y1] = E[Y] = µy
α11 = E[X1.Y1] = E[X.Y]
µ10 = E[(X-E[X])1(Y-E[Y])0] = E[(X-E[X])]=0
µ01 = E[(X-E[X])0(Y-E[Y])1] = E[(Y-E[Y])]=0
µ11 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = cov(X,Y)=xy
También, se puede demostrar que todos los momentos respecto de la media se pueden
expresar como momentos respecto del origen.
José Luís Gutiérrez de Mesa
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Tema 2.- Características de las Variables aleatorias.
Covarianza de dos variables aleatorias cov(X,Y)=xy
Es una medida de la variación conjunta de ellas.
Se define como µ11 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
Propiedades de la covarianza
1.- Expresión alternativa: Cov(X,Y)=E[X.Y]-E[X].E[Y] (demostración)
Ejemplo: Calcular la covarianza de la v.a. bidimensional del ejemplo anterior.
X\Y
0
1
2
0
0.20 0.15 0.05
1
0.05 0.20 0.05
2
0.05 0.05 0.20
2.- Si X e Y son variables aleatorias independientes, su covarianza es cero.
Pero si la covarianza es cero no quiere decir que sean independientes. (demostración)
Por ejemplo, Hallar la covarianza de la v.a. bidimensional
Y comprobar que es cero y que no son X e Y v.a.
independientes.
X\Y
1
3
5
1
1/9
0
2/9
3
2/9
2/9
0
5
0
1/9
1/9
3.- Si X e Y son variables aleatorias con esperanzas E[X] y E[Y] y se definen las
funciones U = a1X + b1 y V = a2Y + b2 entonces cov(U,V) = a1.a2cov(X,Y)
(demostración)
4.- Si X e Y son variables aleatorias con varianzas Var(X) y var(Y) entonces:
var(X±Y) = Var(X) + var(Y) ± 2cov(X,Y)
Corolario .- Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces:
var(X+Y) = var(X-Y) = Var(X) + var(Y)
José Luís Gutiérrez de Mesa
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