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TEMA # 1
Sean dos vectores unitarios a y b, de tal manera que se cumple:
(a + 2b)(5a - 4b) = 0
Determine el ángulo entre los vectores a y b.
Solución:
Para determinar el ángulo entre a y b:
1 1
a . b  a b Cos ø
ø  Cos 1 (a .b )
Como : ( a  2b) . (5a  4b)  0
2
2
5 a  4(a . b)  10(a . b)  8 b  0
6( a . b )  3
(a. b)  1 2
 ø  Cos 1 ( 1 2 )
ø   / 3 radianes
TEMA # 2
Sobre el gráfico que representa el movimiento de una partícula en línea recta.
Determine cual de las siguientes alternativa es incorrecta.
Parábola
(a) Se mueve con velocidad constante negativa en el primer segundo del recorrido.
(b) La partícula no se mueve en el intervalo de t = 1s a t = 2s.
(c) Durante el intervalo de t = 2s a t = 5s l partícula se desplaza 3m.
(d) En todo el recorrido la partícula da cambia su sentido 3 veces.
(e) La partícula desacelera en el último segundo de su recorrido.
Solución:
La partícula cambia su dirección sólo 2 veces durante todo el recorrido; en el instante t = 2s y en el
instante t = 5s.
La incorrecta es la ( d )
Por la pendiente de la curva se deduce que la partícula acelera enel último segundo de su
recorrido
La ( e ) también es incorrecto.
TEMA # 3
Julio va en su vehículo que tiene una longitud L y velocidad constante V. En el
recorrido pasa por un poste (de ancho despreciable) en un tiempo de 0.23 s;
continua su recorrido con la misma velocidad hasta ingresar a un túnel recto que
tiene una longitud de 500 m con aceleración uniforme demorándose 25.18 s hasta
salir por completo de él; instante en que observa la luz del semáforo cambiar a
rojo, por lo que aplica los frenos, desacelerándose uniformemente y logrando
detenerse en 7.72 s. Si la línea de cruce de peatones esta a una distancia de 100 m
medida desde el final del túnel, encuentre la velocidad, V, que tenía inicialmente el
vehículo, y su respectiva longitud L.
Solución:
Cuando el vehículo pasa por el poste, su velocidad es constante:
X  Vt
t1 
L  Vt1
L
(1)
V
Cuando pasa por el túnel, hasta que sale por completo de él, su aceleración es uniforme:
X 
V0  V f
2
t;
V V1
t 2 ( 2 ) ; donde V´ es la velocidad del móvil cuando sale por completo del túnel
500 + L 
2
Cuando el móvil sale por completo y aplica los frenos, su desaceleración es uniforme:
X 
V0  V f
2
t;
100  L 
V´
t3
2
V 
2(100  L)
(3)
t3
Resolviendo sistema de Ecuaciones: (1) y ( 3) reemplazamos en (2)
V  14.97m / s
y
TEMA # 4
Se deja caer un bloque de 1.5 kg de masa desde la parte superior de un plano
inclinado liso (de dimensiones especificadas en el gráfico). El bloque llega a la
parte inferior del plano y se desliza ahora sobre una superficie plana horizontal
lisa, una distancia despreciable, momento en el que se le imparte una fuerza
promedio F horizontal durante 0.01 s. Producto de la acción de la fuerza promedio,
el bloque vuelve a ascender sobre el plano inclinado y sale despedido de este
hasta aterrizar de forma horizontal sobre una superficie horizontal, que no es lisa,
deteniéndose luego de recorrer una distancia de 11 m y disipar 120 J de energía.
Con lo antes expuesto determine:
a) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie horizontal.
b) La fuerza promedio horizontal F impartida al bloque.
s = 11m
y = 2.5 m
F
x=2 m
Solución:
a) Para determinar el  K , analizamos el tramo C – D:
WF . N .C .   f K S
-120 = -  K NS
K 
120
 0.74
mgS
F
y
0
N  mg
b) Para determinar la fuerza promedio F:
(1) F 
Ft  m (V f  V0 )
m
(V f  V0 ); V f  velocidad después de actuar F
t
V0  velocidad antes de actuar F
para determinar V0:
Aplicamos conservación de la energía en tramo B – A ( bloque en descenso ):
EB  E A
mgh 
1
2
m V 02
V0  2gh  7 m / s hacialaizq uierda
Para determinar Vf:
Aplicamos conservación de la energía en tramo A – B (bloque en ascenso):
E A  EB
1
2
m V f2  mgh 
1
2
m VB2 (2)
Aplicamos conservación de la energía en tramo C – D ( superficie áspera):
0
WF . N .C  E D  EC
2(120)
 12.64 m / s
m
Como el bloque llega horizontalmente, la velocidad VC resulta ser la componente en X de la
velocidad VB , entonces
-120 = -
1
2
m VC2
VC  VB Cos 
VC 
VB 
VC
 20.25m / s
Cos
Retomando la ecuación (2), con el valor determinado de
VB  20.25 , despejamos V
f
,
V f  21.42 m s hacia la derecha
Reemplazando V0   7 m / s hacia la izquierda , y V f   21.42 m / s hacia la derecha en la
ecuación ( 1 ):
F  4263.64 Newton hacia la derecha
TEMA # 5
Dos vehículos pasan por un mismo punto A con velocidades distintas. El primer
vehículo parte del reposo desde el punto A y alcanza una velocidad máxima V1 en
un tiempo t1, a partir del instante t1, el vehículo se mueve con velocidad constante
hasta un instante t2.
El segundo vehículo se mueve en la misma dirección que el primero, pero este se
mueve a una velocidad constante V1 desde t = 0 hasta t1, posteriormente acelera
hasta obtener una velocidad máxima V2 (V2 > V1)en un tiempo t2. Entonces es
cierto que (justifique su respuesta):
a)
El primer vehículo ha recorrido mayor distancia que el segundo.
b)
El primer vehículo está delante del segundo, al tiempo t2.
c)
El segundo vehículo está delante del primero, al tiempo t2.
d)
Ambos vehículos están en la misma posición al tiempo t2.
e)
La velocidad media de ambos es la misma.
Solución:
El área bajo la curva del vehículo 2 es mayor que la del vehículo 1.
Por lo que concluimos que el vehículo 2 se desplaza más que el vehículo 1.
 La respuesta correcta es C) El segundo vehículo esta delante del primero, al tiempo t2
TEMA # 6
Un recipiente se llena completamente con 2 litros de agua a 20 °C. Cuando la
temperatura del recipiente y el agua se elevan a 80 °C, se derraman 6 ml de agua
por el borde del recipiente. Calcule el coeficiente de expansión lineal del material
del recipiente. (agua = 210 * 10-6 °C-1).
Solución:
Originalmente el recipiente y el agua tienen el mismo volumen (V0 ) A 200 C, al final cuando la
temperatura del recipiente y del agua es de 800 C; el volumen final del agua (Vagua ) es igual al
volumen final del recipiente (Vrecip) mas los 6ml que se derramó (Vderram ).
Para el recipiente:
(1) Vrecip  V0 (1  3 T )
Desarrollando la ecuación (2);
(2) , Vrecip  Vderram  V0  V0 T
(2) Vagua  V0 (1   T
Y reemplazando (1) en (2) , ;
(2) ,, V0  3 V0 T  Vderram  V0  V0 T

V0 T  Vderram
 53.3  10 6
3V0 T
0
C 1
TEMA # 7
En el techo de un elevador cuelga una polea, de tal
manera que en uno de sus lados sube Lucio, de masa
45 kg, con una aceleración de 1 m/s2 y en el otro
cuelga un bloque de masa 180 kg. El bloque descansa
sobre un émbolo que comprime un gas. Si el elevador
desciende a velocidad constante y el área del émbolo
es de 100 cm2, determine la lectura que mostraría un
manómetro conectado al recipiente que contiene el
gas.
a
V
M
A
Solución:
Pman  Pgas  Patm
N
N

Pman    Patm   Patm 
A
A

(1)
FY  0
FY  ma
T + N = Mg
T –mg = ma
N = Mg –T (2)
T = m(a + g) = 45 ( 1 + 9.8 )
T = 486 Newton (3)
Reemplazando (3) en (2), y luego en (1):
Pman  pascales
Pman 127800 pascales
GAS
TEMA # 8
z
4
B
2
2
7
5
A
10
8
6
x
y
Una partícula de 2 kg de masa se mueve
bajo la acción de una fuerza constante F,
cuya línea de acción se dirige del punto A
hacia el punto B. Si esta misma fuerza fue
capaz de mover a otro cuerpo de 5 kg a
partir del reposo hasta alcanzar una
rapidez de 18 m/s, habiéndose deslizado
1.5 m. Determine la razón de cambio de la
velocidad de la primera partícula (en
función de los unitarios i, j, k).
Solución:

El vector que va de A hasta B ( V ), me dará la dirección y sentido de la fuerza:

V    10,6,3    6,2,5    16i  8 j  2k

p 
 16i  8 j  2k
18
El análisis cinemático junto con la 2da. Ley de Newton aplicada sobre la segunda partícula nos dará

la magnitud de F :
F  m2 a2 ; de V 2  V0  2 a X despejamos a 2  108 m / s 2
2
F = 540 newton

Finalmente encontramos la aceleración a 1del despeje en la expresión:




F  ma 1, donde F  F V

 a 1  (  240i  120 j  30 k ) m / s 2
TEMA # 9
Víctor de 80 kg de masa sube por una escalera de
55 kg de masa y 5 m de longitud soportada por un
resorte de constante elástica K = 400 N/m en su
extremo superior como se muestra en la figura. Si
la superficie horizontal es rugosa con s = 0.7, y en
el instante mostrado la escalera esta a punto de
resbalar. Determínese a que altura con respecto al
suelo debe estar Víctor para que la escalera no
resbale.
k
h
37°
Solución:
(1) FelasticaLSen  Mg
h
l
 mg Cos  0
tan 
2
 Fx  0
F y  0
fs = Felástica
(2) N = ( M + m )g
(3) Felástica
=
 s N   s (M  m) g
Reemplazando (3) en (1) y despejando h, tenemos:
h = 1.64m
TEMA # 10
Un bloque de masa m = 10 kg descansa sobre una
superficie horizontal áspera de s = 0.7. El bloque
se une por un lado a un cilindro de hierro (r = 7.8)
de masa M = 30 kg que esta sumergido 30 % en
mercurio y el resto en agua. Por el otro lado se une
a un resorte de constante elástica k = 500 N/m.
Para la situación antes descrita, determine cuanto
esta deformado el resorte que esta unido al bloque.
k
M
m
Solución:
 Fy  0
N  mg
 Fx  0
T  Kx  fs
t  fs ,  kx
T  s N
X
K
X
X
T   s mg
K
113.83   0.7  10   9.8 
500
X  0.09m
X  9.05cm
 Fy  0
E H 2O  T  E hg  Mg
T  Mg  E H 2O  E hg
T  Mg   H 2O gs H 2O _  Hg gs Hg
T  Mg   H 2O g 0.7 Fe    Hg g 0.3s Fe 
T  Mg   H 2O g 0.7
M
M
  Hg g 0.3
 Fe
 Fe




T  Mg 1  0.7 H 2O  0.3 H 2O 
 Fe
 Fe 

T  113.83 Newtons
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