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El sistema de la figura consiste en un pequeño bloque de masa m que desliza k sobre la superficie ABD. En el extremo D A D m del plano inclinado se apoya un resorte sin a masa, de constante k, cuyo extremo está a C distancia a del punto B en la posición h indeformada. Suponga que el bloque inicia α el movimiento a una altura h a partir del reposo, que no existe roce en el tramo AB, B que los coeficientes de roce entre el bloque y el plano inclinado son µe el estático y µd el dinámico y que si el bloque alcanza el resorte queda adherido al extremo de éste. Determine: Ø La(s) ecuación(es) diferencial(es) de movimiento del bloque cuando se mueve sobre el plano inclinado. Resuelva las ecuaciones para obtener la trayectoria. Ø Determine las expresiones de la velocidad y la aceleración del bloque en términos de la posición sobre el plano inclinado. Ø Determine la posición en que el bloque vuelve al reposo para los siguientes valores: α = 30o ; a = h /2 ; µd = tanα ; µe = 1.2 µd ; k = 0.1 mg / h DINPART7 - C2-95 SOLUCION El problema se resuelve por tramos 1) Tramo A-B: Suponiendo que m parte en A del reposo, por balance de energía se determina la velocidad al llegar al punto B. Considérese el nivel más bajo con Energía Potencial Vg nula: En t = 0 : Vg = mg h En B : Vg = 0 mg h = 1 mv B 2 2 ⇒ T=0 T = 1 mv B 2 2 ⇒ v B = 2gh 2) Tramo B-C: Movimiento sobre plano inclinado, con roce entre las superficies. Sea η la distancia a lo largo del plano inclinado, medida desde B. η α Ecuación Diferencial del Movimiento mη && = −Fr − mg sin α Si existe movimiento ⇒ Eq . estático dir . normal ⇒ Fr = µ d mg cos α Fr = µ d N al plano : N = mg cos α ⇒ mη && = − µ d mg cos α − mg sin α ⇒ &η& = − g(µ d cos α + sin α ) ó η && = −β g mg Ec. Dif . Mov. tramo BC donde β = (µ d cos α + sin α ) B Fr N Obtención de la Ec. Diferencial del Movimiento utilizando principio de Energía El cambio de energía ?(T+V) entre los puntos B y η debe ser igual al trabajo hecho por la fuerza de roce: ∆ (T + V ) = W [ ] ∆ (T + V ) = (T + V)(η) − ( T + V ) B = 1 m η& 2 + mg η sin α − 1 mv B 2 W = −Fr η = −(µ d mg cos α )η ⇒ [ mη& 1 2 2 2 2 2 ] + mg η sin α − 1 mv B 2 = − (µ d mg cos α )η 2 ⇒ η& + 2β g η = v B 2 Derivando esta ecuación se llega al mismo resultado anterior. Solución de la Ec. Diferencial η (t ) = − 1 g β t 2 + C 1 t + C 2 2 ⇒ η& ( t) = −g β t + C1 CI : t = 0 : η = 0 ⇒ C2 = 0 η& = v B = 2gh ⇒ C1 = 2 gh ⇒ η( t) = 2gh t − 1 gβ t 2 2 η& (t ) = 2 gh − g β t Ec. trayectoria e n tramo BC Ec. velocidad e n tramo Ecuaciones de Aceleración y Velocidad en función de la posición Ec. Dif . del Movimiento: &η& = −β g Conocida η && = η &&( η) se integra utilizando la ecuacion ⇒ η & η vB 0 vdv = ads ∫ η& dη& (t ) = ∫ − β g ⇒ 1 η& 2 − 1 v B 2 = −β g η 2 2 β ⇒ η& = 2 gh 1 − η h Nótese que se llega al mismo resultado obtenido mediante las ecuaciones de Energía. BC Determinación del alcance de m en el plano inclinado El alcance se obtiene del resultado para la trayectoria: η max ocurre para η& = 0 ⇒ t 1 = ⇒ η1 = η(t 1 ) = 2 gh 2 gh gβ 2 gh βg 2 2gh h 1 − gβ = 2 gβ β < a ⇒ m no llega a C h si η1 = = a ⇒ m llega y se detiene e n C β > a ⇒ alcanza a comprimir e l resorte El alcance de m se puede obtener además directamente de la ecuación de la velocidad obtenida de las ecuaciones de Energía o de la integración de la aceleración, haciendo cero la velocidad: 2 η& = 0 ⇒ 2 β g η1 = vB h ⇒ η1 = OK β 3) Tramo C-D: En este tramo se tiene tres posibilidades, según el alcance en B-C: Ø Caso η 1 < a: m no alcanza el punto C, deteniéndose antes. Al detenerse, si la fuerza máxima de roce estático es mayor que la componente del peso, m no se mueve y se mantiene en reposo. Si el roce no es suficiente, m se devuelve hacia abajo. Ø Caso η 1 = a: m alcanza justo el punto C, deteniéndose en este punto y quedando adherido al resorte. Al detenerse, si la fuerza máxima de roce estático es mayor que la componente del peso, m no se mueve y se mantiene en reposo. Si el roce no es suficiente, m se devuelve hacia abajo, pero adherido al resorte, iniciándose un movimiento oscilatorio. Ø Caso η 1 > a: m alcanza el punto C con velocidad, se adhiere al resorte, iniciando un movimiento oscilatorio sobre el plano inclinado con roce. Se analizará este caso. Sea ζ la distancia a lo la rgo del plano inclinado, medida desde C. Para analizar este caso, se requiere conocer la velocidad v C de m al llegar a C. ζ α C Velocidad en C de la ec. de la trayectoria para B − C, haciendo t = t 2 para η = a : ⇒ η = a = 2gh t 2 − 1 β g t 2 2 2 1 2h aβ γ 2h aβ donde γ = 1 − 1 − 1 − 1 − = β g h β g h h nóteseque se ha supuestoque > a por lo que la ecuacióntiene solución β ⇒ t2 = ⇒ v c = 2gh − gβ t 2 = 2gh − gβ γ β mg 2h aβ = 2 gh (1 − γ ) = 2gh 1 − g h Fe Fr N La velocidad en C se puede determinar además evaluando el cambio de energía ?(T+V) entre los puntos B y C, el que debe ser igual al trabajo hecho por la fuerza de roce: ∆ (T + V ) = W ⇒ 1 mv c 2 + mg a sin α − 1 mv B 2 = − (µ d mg cosα )a 2 2 ⇒ v C 2 + 2β g a = v B 2 = 2gh OK Ecuación Diferencial del Movimiento La Ecuación del Movimiento para el tramo C-D es similar a la del caso anterior, agregando la fuerza del resorte: mς&& = − Fr − mg sin α − Fe ⇒ m&ς& = −µ d mg cos α − mg sin α − kς ⇒ &ς& + ω 2 ς = −β g Ec. Dif . Mov. tramo BC Nótese que esta ecuación es válida solamente para el caso que m avance hacia D La Ec. Dif. del Movimiento puede obtenerse evaluando el cambio de energía ?(T+V) entre los puntos C y ζ: ∆ (T + V ) = W [ ] ∆ (T + V) = (T + V)(ς ) − ( T + V )C = 1 mς& 2 + mg ς sin α + 1 kς 2 − 1 mv C 2 2 2 2 W = −Fr ς = −(µ d mg cos α )ς ⇒ ς& 2 + ω 2 ς 2 + 2β g ς = v C 2 Al derivar esta ecuación se obtiene el mismo resultado anterior. Solución de la Ec. Diferencial La solución de esta ecuación es: ς (t ) = C 3 cos ωt + C4 sin ωt − β g ω2 ⇒ ς&( t ) = −C 3 ω sin ω t + C4 ω cos ωt CI : t = 0 : ς = 0 ⇒ C3 = β ω2 g aβ ς& = v C = 2 gh 1 − h ⇒ ς( t ) = β ω2 ⇒ ς&( t ) = − g (cos ωt − 1 ) + ⇒ C4 = 2gh aβ 1 − sin ωt 2 h ω β aβ g sin ω t + 2gh 1 − cos ω t ω h 2gh aβ 1 − h ω2 Ec. trayectoria e n tramo C − D Ec. velocidade n tramo C − D El rango de validez de esta solución está definido por la condición de movimiento desde C hacia D: Ecuaciones de Aceleración y Velocidad en función de la posición 2 Ec. Dif . del Movimiento: &ς& + ω ς = −β g Conocida &ς& = &ς&(ς ) se integra utiliza ndo la ecuacion ⇒ ς& ς vC 0 vdv = ads ∫ ς& dς& (t ) = ∫ − (β g + ω 2ς)dς ( ⇒ 1 ς& 2 − 1 v C 2 = − β g ς + 1 ω 2 ς 2 2 2 2 ) aβ ς ⇒ ς& = 2 gh 1 − − − (ως )2 h h Nótese que se llega al mismo resultado obtenido mediante las ecuaciones de Energía. 3) Determinación de la posición en que el bloque vuelve al reposo para los siguientes valores: α = 30o ; a = h /2 ; µd = tanα ; µe = 1.2 µd ; k = 0.1 mg / h Alcance en tramo B-C β = (µ d cos α + sin α ) = (tan α cos α + sin α ) = 2 sin α = 2 sin 30o = 1 ⇒ η1 = h = h = 2a β ⇒ Alcanza e l resortee n e l plano inclinado Velocidad al inicio de tramo C-D h aβ v c = 2 gh 1 − = 2 gh 1 − 2 = gh h h Alcance en tramo C-D 1 ς aβ ς 1 ς g ς 2 ς& = 2gh1 − − − (ως )2 = 2 gh 1 − − − 0 .1 ς 2 = 2gh − − 0.05 2 h h h 2 h h h 2 ς& = 0 ⇒ ς1 = ⇒ ( 1 ς ς2 − − 0 .05 =0 2 h h2 ) 110 − 10 h = 0.488h o ς 2 + 20ς h − 10h 2 = 0 En D: mg 0 .488 h + 1 mg = 0 .5488mg 2 h Fza máxima de roce estático= µ emg cos α = 1 .2 tan α mg cos α = 1.2mg sin α = 0 .6 mg Fza total = Fe + mg sin α = kς 1 + mg sin α = 0 .1 ⇒ La fuerza de roce es suficientepara impedir que e l cuerpo vuelva a moverse, permaneciendo e n reposo Alcance total = a + 0.5488h = 0.5h + 0.5488h = 1.0488h