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NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcula:
2(1  i ) 1  i 1 (1  i )(1  i )
 3  

1 i
i
i
1 i2
(3  2i) 3
d)

3  2i
a) i 27 , i 84 , i 205 , i 23
b)
c) (2  2 3i ) 4 =
10
e) (i  i ) 
5
8 10
g) 2cos 40º i sen 40º 
3
2. Calcula a y b para que
1 i 3 
 
f) 

1

i


3
 2cos 20º isen 20º  
a  2i
 2 45º
3  bi
3. Demuestra que:

b) z1  z 2  z1  z 2
c) z 1  z
3  2 xi
4. Calcula el valor de x para que el cociente
4  3i
a) Sea un número real .
b) Sea imaginario puro.
c) Tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante.
a) z1  z 2  z1  z 2
1
5. Halla dos números complejos cuya suma sea 10, y su producto 26.
z1
es imaginario puro, la componente real de z1 es -4 veces
z2
la real de z2, y la suma de los dos es 9 +12i.
7. ¿Qué figura forman los afijos de los complejos que cumplan:
zz zz
a) z  z  2
b) z  z  4i
c)
?

2
2i
8. Prueba que si z tiene de módulo 1, su conjugado coincide con su inverso.
9. ¿Puede ser real el cociente de dividir un número complejo por su conjugado? ¿Puede ser
imaginario puro?.
10.Halla los números complejos que cumplen que su cubo coincide con su conjugado.
z
z 1
11.Prueba que arg ( )  2 arg ( z ) y arg ( )  0
z
z
12.Determina los coeficientes complejos a, b, y c del polinomio f(z) = z3 + a z2 +b z +c,
sabiendo que f(1) = 8 + 16i, f(-1) = 16 – 8i y f(i) = 0.
13.Si 1 + 3i es solución de la ecuación a x2 + b x + c = 0, con coeficientes reales, ¿cuál es la
otra solución?. Escribe la ecuación.
14.Calcula:
a) 3  4i
b) 3  3  3i
c) 4 i
d) 6  1
15.Una raíz cúbica de un complejo es 1 – i, calcula el número y las otras dos raíces.
16.Resuelve las ecuaciones:
a) (4+3i) z + 7-10i = 2+3i + (1-2i) z
b) z3 + 4 z = 0
c) x 2  2 3x  4  0
d) (2  i) z 2  (3  i) z  2  6i  0
e) z4 + 64 z = 0
f) z6 – 28 z3 + 27 = 0
g) x3 –2 x2 + 9 x – 18 = 0
17.Calcula la suma de los cuadrados de las raíces cúbicas de i.
18.De un hexágono regular ABCDEF centrado en el origen, se conoce el vértice A(1, -1). Halla
los demás vértices y el área del hexágono.
6. Calcula z1 y z2 sabiendo que
Soluciones:
 119  120i
e) 32i f ) 16 3  16i g ) 8 3i .
13
3
b)  2 c )
5. 5  i, 5  i
14
10.1, i,  1,  i
1. a)  i, 1,  i, i b) 1  i c)  128  128 3i d )
2. a = 4, b = 1
4. a)
9
8
6. z1  12  6i, z2  3  6i
12. a  i, b  5  12i, c  12  5i .
13. x 2  2 x  10
14. a) 2  i,  2  i
b) 6 18 45º , 6 18 165º , 6 18 285º
c) 122,5º , 1112,5º , 1202,5º , 1292,5º
3 i
 3 i  3 i
3 i
, i,
,
,  i,
2
2
2
2
15.  2  2i, 2 75º , 2 195º
25  32i
b) 0, 2i,  2i c) 3  i d ) 2,  1  i e) 0,  4, 2  2 3i g ) 2,  3i
16. a) z 
17
1
3
3 3 2
g ) 1, 3,  
i,  
i
17. 0
2 2
2
2
1 3 3 1
1 3 3 1
1 3 1 3
1 3 1 3
,
) C(
,
) D(1, 1) E (
,
) F(
,
)
18. B(
2
2
2
2
2
2
2
2
S 3 3
d)