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NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS GRUPO 1 En cada uno de los ejercicio del 1 al 12 calcular los valores reales de x e y que cumplen con la relación dada. 1. x + yi = 2 – 3i 5. ( x + yi )2 = 3 - 4i 2. 3x – 2yi = 6 + 4i. 6. (x - yi)2 = -8 - 6i 3. x + 3y + (2x – 3y - 9)i = 0 7. x2 - 4y + ( 2y - x)i = 2 - i 4. 2x – y + (3y-2x)i = 2 – 2i 8. x2 + y2 – 2 + ( x + 3y – 2 )i = 0 9. (2x + y) + (3x - 4y)i = (x - 2) + (2y - 5)i 10. (1 - i)x + (1 + i)y = 1-3i 11. (2+3i)x2-(3-2i)y=2x-3y+15i 12. (4x2 + 3xy) + (2xy - 3x2)i = 4y2 - 1/2 x2 + (3xy - 2y2)i En cada uno de os ejercicios (del 13 al 49), efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma canónica. 1 1 13. (1+i)+(3-2i) 20 a 2 4a 2 9a 2 2 3 14. (4-5i)+(2+7i) 1 1 2 15. (2+ 4 )-(3- 9 ) 16a 4a 4 3 27 21. 2 a 16. (3+2i)-(6-4i) 22. (1 i)(1 2i)(1 3i) 17 4 9 16 23. 18 2 36 49 7 24. (3 2i)(3 - 2i) ) 19 (4 - 3i)(3 4i) 25. . ( 3 2 1)( 3 2 1) 26. ( 1 2 3 )( 1 2 3 ) 1 27 (1 i)4 31 3 2 28. ( 29. ( 30. 3 3i )3 2 2 2 6 i) 2 2 5 3 1 2i 3 32. 2i 3i 33. 1 i 2i 34. 1 2i 1 i 1 i 1 2i 1 2i 1 2i 2 i )( ) 41 ( 3 4i 2i 2 36i 7 26i 42.. 6 8i 3 4i 35. i5 3 i3 1 2 36. (1 i) 37. (1 i)1 i 1 38. (1 i)2 i 2 40 43. (3 i 3 )3 44. (1 i)3 (1 i)3 45. (1 i)3 (1 i)3 -1- NUMEROS COMPLEJOS 6 46. (1 i) /(1 i) 47. (1 i) /(1 i) 4n 1 n Z 48. ( 49. 2 1 i 7 1 i 4 ( ) 2 ) i 50. z 1 i 1 1 4 i 1 i 51. Expresar las siguientes potencias en la forma canónica: a+bi a) i 9 f) i 4 n 1n Z 1 3 j) ( i )3 15 b) i g) i 4 n 3n Z 2 2 c) i 2 2 h) i1 9 0 1 k) (i 1)2 (i 1)2 i 4 48 2 3 7 3 d) i i) (4i 3i 4i i ) e) i1 5 7 52 Escriba en la forma canónica todos aquellos número complejos z tales que la parte real de 1/z sea igual a 1/2 , y que: a) b) c) d) e) la parte imaginaria de z sea cero. La parte imaginaria de 1/z sea ½ La parte imaginaria de z sea ½. La parte imaginaria 1/z sea 1. La parte imaginaria se z sea 1 53 Si z 2 3i, hallar im( z-z ). 3z z 2 54 . Hallar los valores reales de x e y para los cuales: a) ( x i) /(3 i) ( y 1) /(3 i) i b) y2 iy 2 6 i 2x ix c) (x-i)2-( 2 y i)2 4( 3-1 )i- 2 y 2-x 55. Probar que: a) x3 y3 3xy 1, si x (1 3i) / 2, y (1 3i) / 2 b) 1 x 2 ix x i 1 x2 i, x R 56. Hallar el valor de la expresión indicada para el valor dado. a) 2z 2 3z 2; z (3 / 4) ( 7 / 4)i b) 2z 2 4z 3; z (1 2 ) / 2 -2- NUMEROS COMPLEJOS c) z 2 8 z 2, z 4 5i 57. Demostrar que el número complejo 1 3i es una raíz de la ecuación 2 x 4 7 x 3 12 x 2 8 x 8 0 58. Demostrar que el número complejo 1 3i también es una raíz de la ecuación 35. 1 2 59. Demostrar que cada uno de los números complejos 3 1 3 i y i 2 2 2 son una raíz cúbica de la unidad. 60. Demostrar que cualquiera de las dos raíces cúbicas complejas de la unidad, mencionadas en el ejercicio 59, es igual al cuadrado de la otra. 61. Por factorización, obtener las cuatro raíces de la ecuación x 4 16 0 62. Demostrar que el número complejo a+bi es igual a cero si y sólo si a = 0 y b = 0. 63. Demostrar que la suma de cualquier número complejo con un negativo es igual a cero. 64. Demostrar que la operación de restar un número complejo z1de otro número z2 es equivalente a la operación de sumar z2 al negativo de z1. 65. Si n y k son enteros positivos tales que n = 4k + m, en donde m = 1, 2 ó 3, demostrar que in=im. 66. Si tanto a como b son números positivos, demostrar que: a . b abi , ( a )( b ) abi, a ( b ) ab. 67. Obtener definiciones para la suma, diferencia, producto y cociente de dos números imaginarios puros bi, di, en forma análoga a las definiciones dadas para números complejos a+bi y c+di. 68 Si el número complejo c +di 0, demostrar que c2+d2 y que, por tanto, el resultado obtenido en la definición del cociente de dos números complejos es válido. 69. Demostrar que le conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de dos conjugados. 70. Demostrar que el conjugado del producto de dos números complejos es igual a la suma de dos conjugados. 71. Demostrar que la suma y el producto de dos números complejos conjugados producen números reales y que su diferencia es un número imaginario puro. 72. Demostrar que si la suma y el producto de dos números complejos son números reales, entonces dichos complejos son conjugados. 73. Dados z, z1, z2, w C, demostrar que a) z es imaginario puro si y solo si z z b) Si z 2 (z ) 2 entonces z es ó un número real ó un número imaginario puro. -3- NUMEROS COMPLEJOS c) El producto z1 z 2 es imaginario puro si y solo si z1 z2 d) ( z1 ) ( z2 ) z z2 e) z1 z2 z1 z2 f) 1 1 ( ) z1 ( z1 ) es imaginario puro. g) ( 1 ) z1 z2 h) Re( z w z w) z w zw i) Im( z w z w) z w zw 74. Hallar el conjunto de los números complejos z que satisfacen: a) b) c) d) zz 8 1 z z zz e) z 100 ik k 40 1 z f) z g) z (i k ) 2 100 z z 3 2i k 1 75. Demostrar que: a) z1 z2 z1z2 2 Re( z1 z 2 ) , sug: z z 2 Re( z ) b) Re( z1 z ) Re( 2 ) 1 z1 z2 z1 z2 c) z1 z ) Im( 2 ) 0 z1 z2 z1 z2 Im( 2 1 2 2 d) Re( z ) Re( z 2 ) ( z 2 z ) x2 y 2 EJERCICIOS GRUPO 2 1. Calcular el módulo del número complejo dado: a) 1 i e) 3 5i f) -6 b) 2 2 3i g) 2 3 2 3i c) 1 7i d) 3 i h) 4 4 3i i) cos-isen j) 4i 2. Expresar los siguientes números complejos en su forma polar: a) 2 2i d) 8 g) 12 5i e) 5 5 3i b) 5 5 3i h) 2 3 2i f) 4i c) 4 4 3i i) 5 - 3i -4- NUMEROS COMPLEJOS 3. Representar z1 1 i , z2 3 i , z3 1 3i , en su forma trigonométrica, y luego hallar el número complejo z1 /( z2 z3 ) . En cada uno de los ejercicios del 4 sl 12 calcular el módulo y el argumento y hallar la forma polar del número complejo dado. 4. 1 i 5. 2 2 3i 6. 3 3 3i 7. 3 i 8. 2 2i 9. -7 10. 2 2 2 2i 11. 4 4 3i 12. 3i 13. Demostrar que un número complejo y su negativo tienen el mismo módulo. 14. Demostrar que un número complejo y su conjugado tienen el mismo múdulo. 15. Realizar las siguientes expresiones y expresar el resultado en su forma cartesiana. a) 2(cos 30º + i sen30º) (cos 60º + i sen60º) b) 3(cos45º + i sen45º). 2 (cos 90º + i sen 90º) c) 6(cos180º + i sen180º) . ½ (cos 30º + i sen 30º) d) 2(cos 20º + i sen20º) .7(cos 100º + i sen100º) e) 3 (cos 140º + i sen 140º) .6(cos 220º + i sen220º) 3(cos130º isen130º ) 2(cos 70º isen70º ) h) g) 6(cos 220º isen 220º ) 3(cos 40º isen 40º ) i) j) (cos 77º isen 77º )(cos 23º isen 23º ) (cos 55º isen55º ) f) 4(cos 70º isen 70º ) 2(cos 50º isen50º ) 5(cos135º isen135º ) cos 45º isen 45º 16. Pasando a su forma polar, evaluar: a) (4 4i )( 3 3i ) ( 3 i) b) (1 i )( 3 i ) (1 i )( 3 i ) 17.¿Los siguientes números complejos están dados en su forma trigonométrica?. Si no es así, representarlos en su forma trigonométrica. a) 4[cos(-90º) + i sen(-90º) ] d) 2 (sen 30º + i cos30º) b) 2 cos 120º-2 i sen 120º c) 5[cos 80º + i sen -80º] e) -6[cos 40º + i sen40º] -4- NUMEROS COMPLEJOS f) -7[cos 40º - i sen 40º] g) -2(cos 15º + i sen 15º) h) - 3 (sen 25º - i cos 25º 18. Calcular y expresar el resultado en forma trigonométrica: a) (1 i)12 b) (1 i)8 f) ( 1 2 1 2 c) (1- 3 i)5 3 1 50 i) 2 2 i)25 g) ( d) (-1+i)9 e) ( 2 2 2 2 i)15 h) ( 3 -i) 8 19. Verificar las siguientes igualdades: a) ( b) ( 1 i 3 6 1 i 3 6 ) ( ) 2 2 2 1 i 3 5 1 i 3 5 ) ( ) 1 2 2 c) ( 3 i 6 i 3 ) ( ) 2 2 2 20. Utilizando la fórmula de Moivre, calcular: a) [3(cos 45º + i sen 45º)]6 d) (cos /4 + i sen/4 )10 b) [2(cos 15º + i sen 15º)] c) (cos30º + i sen 30º )8 4 g) [2(cos 60º + i sen 60º) ]6 e) (cos 150º + i sen 150º) f) (- cos /4 + i sen /4)8 21. Probar que: a) (cos 60º - i sen 60º)6=1 b) [2(cos 45º + i sen 45º)]4 = -16 c) [ 3 (cos 45º + i sen 45º)]6= - 27i d) [ 2 (cos 56º15’ + i sen 56º 15’)]8 = 16i. 22. Expresar en forma cartesiana. a) ( b) (1 i ) 2 ( 3 i )3 2 2i ) c) (3 3i) 4 ( 3 i) (3 3i)6 ( 2 6i ) 6 ( 3 3i )8 ( 15 5i )7 d) ( 2 3 i 2 3 )6 23. Efectuar los siguientes cálculos, y expresar en forma cartesiana: a) ( 1 i 8 ) 1 i b) ( 1 i 6 ) 1 i c) (1 i ) n n Z (1 i ) n 2 24. Hallar los números complejos que sean conjugados: a) con su cuadrado b) con su cubo -2- NUMEROS COMPLEJOS 25. Hallar los números complejos conjugados tales que su diferencia sea 6i y cociente un número imaginario puro. su 26. Dos números complejos tienen igual módulo y uno de ellos es el conjugado del cuadrado del otro. Si la suma de argumentos es 8 radianes, hallar dichos números. GRUPO DE EJERCICIOS 3 En los ejercicios de este grupo las amplitudes o argumentos son ángulos notables cuyas funciones trigonométricas pueden calcularse sin el uso de tablas. Los resultados finales pueden pasarse o dejarse en la forma polar. En cada uno de los ejercicios 1 – 12, calcular la potencia indicada usando el teorema de De Moivre. 1. [2( cos 15º + i sen 15º)]3 2. [ 2 ( cos 30º + i sen 30º)]4 3. [ 3 ( cos 15º + i sen 15º)]6 4. [2( cos 45º + i sen 45º)]4 5. [ 5 ( cos 20º + i sen 20º)]4 6. [2 ¼ ( cos 150º + i sen 150º)]8 7. (1+i)8 8. (-1+ 3 i) 9. (1-i)-3 10. (- 3 1 2 2 11. (- 3 1 i 2 2 12. ( 2 2 2 2 i)7 )9 )12 En cada uno de los ejercicios 13 – 18, calcular la potencia indicada usando (a) el teorema del binomio; (b) el teorema de De Moivre. 13. (1- 3 i)3 15. ( 3 -i)8 17. (-1+ 3 i)5 14. (-1+i)4 1 2 16. ( 3 i 2 )7 18. (-1- 3 )6 En cada uno de los ejercicios 19 – 31, calcular las raíces que se indican y representarlas gráficamente. 19. Las raíces cúbicas de -27. 20. Las tres raíces cúbicas de 8(cos 60º + i sen 60º). 21. Las raíces cúbicas de -2 +2i 22. Las cuatro raíces cuartas de -8 -8 3 i 23. Las cuatro raíces cuartas de -4 24. Las cuatro raíces cuartas de 4 - 4 3 i. -6- NUMEROS COMPLEJOS 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Las cinco raíces quintas de 32 Las cinco raíces quintas de -16 - 16 3 i. Las seis raíces sextas de 27i Las seis raíces sextas de 1 + 3 i. Las ocho raíces octavas de -128 + 128 3 i Las ocho raíces octavas de – ½ - 3 /2 i Las nueve raíces novenas de –i En cada uno de los ejercicios 32 – 41 calcular todas las raíces de la ecuación dada usando el teorema de De Moivre y también algebraicamente. 32. x3+8=0 36. x4 – 16 = 0 40. ix 3 + 1 = 0 12 3 33. x – 1= 0 37. x – 27 = 0 41. x 4 + 16i = 0 6 4 34. x – 64 = 0 38. x = -1 4 35. x – 1 = 0 39. x6 + 1 = 0 42. Calcular: a) [8(cos 60º + i sen 60º)]2/3 b) [4 (cos 300º + i sen 300º)]-1/ 2 -8-