Download Posiciones relativas de rectas en un plano

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Fecha_______________________
Grupo ________________________
Sr.Colon
1 Puntos
Un punto no tiene dimensiones.
S irve pa ra indica r una posición.
S e nombra n con letra s mayúsculas.
2 Rectas
Una recta tiene un a d imen sión : long itud .
S e designa n media nte dos de sus puntos o media nte un a letra minú scu la.
D os puntos determinan una recta.
D os recta s que se cortan determina n un punto.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contra rios, según se recorra la recta de
izquierda a derecha o de derecha izquierda.
3 Semirectas
Una semirrecta es cada una de la s partes en que queda dividida una recta por uno
cua lquiera de sus puntos.
Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura.
Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)...
Dos planos que se cortan determinan una recta.
Un plano viene determinado por:
1
Tres puntos no alineados:
2
Dos rectas que se cortan:
3
Dos rectas paralelas:
4
Por un punto y una recta:
Semiplanos
Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera
de sus rectas.
Posiciones relativas de rectas en un plano
1 Rectas paralelas
Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.
2 Rectas secantes
Son
las
que
se
cortan
en
un
único
punto,
llamado
punto
de
intersección.
3 Rectas coincidentes
Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.
4 Rectas perpendiculares
Son
dos
rectas
secantes
que
dividen
un
plano
en
cuatro
iguales.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de segmentos:
1
Segmento nulo:
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
2
Segmentos concatenados:
partes
Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.
3
Segmentos consecutivos:
Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen
a la misma recta.
4
Mediatriz de un segmento:
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es
perpendicular a él.
Operaciones con segmentos
1 Suma de segmentos:
La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer
segmento y como final el final del segundo segmento.
La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos
que lo forman.
2 Resta de segmentos:
La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento
menor y por final el final del segmento mayor.
La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos
segmentos.
3 Producto de un número por un segmento:
El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el
segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica.
La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.
4 División de un segmento por un número:
La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese
número da como resultado el segmento original.
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el
número.
División de un segmento en partes
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales:
1
Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2
Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de
medida a partir de A.
3
Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento
que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento
AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrecta s con origen
común.
A la s semirrecta s se las lla ma lados y a l origen común vértice.
Medición de ángulos
P ara medir á ngulos utiliza mos el gra do sexa gesima l (°)
Gra do sexagesima l es la amplitud del á ngulo resultante de dividir la circunferencia en
360 pa rtes igua les.
1º = 60' = 3600''
1' = 60''
Radián
Ra diá n (ra d) es la medida del á ngulo centra l de una circunferencia cuya longitud de
a rco coincide con la longitud de su ra dio.
1 ra d= 57° 17' 44. 8''
360º = 2 π ra d
1 Suma de ángulos
G ráfic a: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las
a mplitudes de los dos ángulos inicia les.
Numéric a:
1
Pa ra suma r á ngulos se colocan los grados deba jo de los gra dos, los minutos deba jo
de los minutos y los segundos deba jo de los segundos; y se suma n.
2
S i los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán
los segundos y el cociente se a ña dirán a los minutos.
3
S e ha ce lo mismo pa ra los minutos.
2 Resta de ángulos
G ráfic a: La resta de dos ángulos es otro á ngulo cuya a mplitud es la diferencia entre
la a mplitud del ángulo mayor y la del á ngulo menor.
Numéric a:
1
Pa ra resta r ángulos se coloca n los gra dos deba jo de los gra dos, los minutos deba jo
de los minutos y los segundos deba jo de los segundos.
2
S e restan los segundos. Ca so de que no sea posible, convertimos un minuto del
minuendo
en
60
segundos
y
se
lo
continuación resta mos los segundos.
>
3
Hacemos lo mismo con los minutos.
suma mos
a
los
segundos
del
minuendo.
A
3 Multiplicación de ángulos
G ráfic a: La multiplica ción de un número por un ángulo es otro á ngulo cuya amplitud
es la suma de ta ntos á ngulos igua les a l da do como indique el número.
Numéric a:
1
M ultiplica mos los segundos, minutos y gra dos por el número.
2
S i los segundos sobrepa san los 60, se divide dicho número entre 60; el resto será n
los segundos y el cociente se a ña dirán a los minutos.
3
S e ha ce lo mismo pa ra los minutos.
4 División de ángulos
G ráfic a: La división de un ángulo por un número es ha lla r otro á ngulo ta l que
multiplicado por ese número da como resulta do el á ngulo origina l.
:4 =
Numéric a: D ividir 37º 48' 25'' entre 5
1
S e dividen los gra dos entre el número.
2
El cociente son los gra dos y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
3
S e a ña den estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los
minutos.
4
S e a ña den estos segundos a los que tenemos y se divide n los segundos.
1 Clasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso > 90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Nulo = 0º
Completo = 360°
Negativo < 0º
Mayor de 360°
2 Tipos de ángulos según su posición
2 . 1 . Ángu lo s
con secu tivo s:
Á ngulos consecutivos son a quellos que tienen el vértice y un lado común.
2 . 2 . Ángu lo s
ad yac en tes:
Á ngulos a dya centes son aquellos que tienen el vértice y un la do común, y los otros
la dos situa dos uno en polonga ción del otro. Forman u n ángulo lla no.
2.3.
Án gu lo s opu esto s po r el vértic e:
S on los que teniendo el vértice común, los la dos de uno son prolongación de los lados
del otro.
L os á ngulos 1 y 3 son igua les.
L os á ngulos 2 y 4 son igua les.
3 Clases de ángulos según su suma
3 . 1 . Ángu lo s
co mp lemen tario s:
D os á ngulos son complementa rios si suman 90°.
3.2.
Án gu lo s su plementario s
D os á ngulos son suplementa rios si suma n 180°.
4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal
4.1.
Án gu lo s co rrespond ien tes
L os á ngulos 1 y 2 son igua le s.
4.2.
Án gu lo s alterno s in terno s
L os á ngulos 2 y 3 son igua les.
4.3.
Án gu lo s alterno s ex tern os
L os á ngulos 1 y 4 son igua les.
5 Ángulos en la circunferencia
5.1.
Án gu lo c en tral
El ángulo centra l tiene su vértice en el centro de la circunferencia y s us la dos son dos
ra dios.
La medida de un a rco es la de su á ngulo central correspondiente.>
5.2.
Án gu lo in sc rito
El á ngulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus la dos son seca ntes a
ella .
M ide la mita d del a rco que a ba rca.
5.3.
Án gu lo semiinsc rito
El vértice de á ngulo semiinscrito está en la circunferencia, un la do secante y el otro
tangente
a
ella .
M ide la mita d del a rco que a ba rca.
5.4.
Án gu lo in terior
Su
vértice
es
interior
a
la
circunferencia
y
sus
la dos
seca ntes
a
e lla .
M ide la mita d de la suma de las medida s de los a rcos que a ba rcan sus la dos y la s
prolongaciones de sus la dos.
5.5.
Án gu lo ex terio r
S u vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus á ngulos son: o
seca ntes a ella , o uno ta nge nte y otro secante, o tangentes a ella.
M ide la mita d de la diferencia entre la s medida s de los a rcos que a ba rcan sus la dos
sobre la circunferencia.
6 Ángulos de un polígono regular
6.1.
Án gu lo c en tral d e un p olíg ono regu lar
Es el forma do por dos ra dios consecutivos.
Ej emp lo:
S i n es el número de lados de un polígono:
Á ngulo centra l = 360° : n
Á ngulo centra l del pentá gono regula r= 360° : 5 = 72º
6.2.
Án gu lo in terior de un p olíg ono regu lar
Es el forma do por dos la dos consecutivos.
Á ngulo interior = 180° − Á ngulo centra l
Á ngulo interior del pentá gono regula r = 180° − 72º = 108º
6.3.
Án gu lo ex terio r de un po lígo no regu lar
Es el forma do por un lado y la prolongación de un la do consecutivo.
L os á ngulos exteriores e interiores son suplementa rios, es decir , que suman 180º .
Á ngulo exterior = Ángulo centra l
Á ngulo exterior del pentá gono regula r = 72º
Escoge la opción correcta:
1T res puntos determinan.. .
una y solo una recta .
dos y solo dos recta s.
tres y solo tres rectas.
2D os puntos determinan.. .
una y sólo una recta .
dos y sólo dos recta s.
ninguna recta, porque se necesitan a l menos 3 puntos.
3Un plano. ..
está determina do por tres puntos no a linea dos.
sólo se puede determina r por tres puntos.
sólo se puede determina r por dos recta s.
4D os recta s se corta n en.. .
un punto.
una recta.
un plano.
5D os pla nos se cort a n en.. .
un punto.
una recta.
un plano.
6P a ra determina r un pla no es suficiente con una recta y...
un punto cua lquiera.
un punto interior a dicha recta.
un punto exterior a dicha recta.
Indica la posición de los pares de rectas que se dan en cada
caso
observando
la
figura:
7r y s son. ..
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
8r y t son. ..
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
9r y w son. ..
coincident es.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
10r y v son.. .
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
11s y t son. ..
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
12s y w son. ..
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
13t y u son...
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
14r y v son.. .
coincidentes.
pa ra lela s.
seca ntes.
seca ntes y perpendiculares.
Sean a, b, c y d cuatro segmentos de 2 cm, 5 cm, 8 cm y 11 cm
respectivamente. Calcula la longitud de los segmentos que
resultan de hacer las siguientes combinaciones:
1
a + b + c =
cm
2
2c − b =
cm
3
3a − (2c − 3b) =
cm
4
(c : 4 + a + c) : 6 + d =
cm
Escoge la opción correcta:
5D os segmentos consecutivos tienen...
un extremo en común y misma dirección.
un extremo en común, pero no tienen la misma dirección.
la misma dirección.
6D os segmentos conca tenados.. .
pertenencen a la misma recta.
no pertenecen a la misma recta .
tienen un extremo en común.
7La media triz de un segmento es...
su punto medio.
una recta que pa sa por su punto medio.
una recta perpendicular a l segmento que pa sa por su punto medio.
8La media triz de un segmento lo divid e en...
dos pa rtes.
dos segmentos consecutivos igua les.
dos segmentos concatena dos igua les.
9La longitud de un segmento que resulta de suma r u n segmento de 2 cm má s el doble
de otro que mide 5 cm es.. .
7 cm.
12 cm.
10 cm.
10La s opera ciones con segmentos se ha cen usando...
segmentos consecutivos.
segmentos conca tena dos.
C ua lquiera de la s respuesta s anteriores es vá lida.
Elige la opción correcta:
1Un ejemplo de ángulo es.. .
la región del plano comprendida entre la s aguja s de un reloj.
la región del plano que queda entre dos la dos consecutivos de un cua dra do.
la s dos respuesta s a nteriores son correcta s.
2P a ra medir un ángulo no importa.. .
el ta ma ño del a rco interior que tomemos.
la posición de la s semirrecta s que lo forma n.
el origen ni la posición respecto a él de la s semirrectas que lo forman.
3La s a guja s de un reloj a las 12:30 h forma n un á ngulo aproxima do de...
180°.
90°.
45°.
4D os recta s perpendicula res forma n un ángulo de...
45°.
90°.
180°.
5S i tenemos una pizza dividida en 8 pa rtes, dos porciones de la misma forma n un
á ngulo de. ..
45°.
90°.
135°.
6P a ra pa sa r un á ngulo de gra dos a radianes basta ...
dividir por
.
multiplica r por
multiplica r por
790° son. ..
.
.
rad.
rad.
Ninguna de la s respuesta s anteriores es correcta .
8S i tenemos una pizza dividida en 8 pa rtes, cua tro porciones de la misma forman un
á ngulo de. ..
rad.
rad.
rad.
Realiza las siguientes operaciones:
1
35º 33' 54'' + 7º 42' 25'' =
º
'
''
2
25º 12' 4'' − 5º 19' 30'' =
º
'
''
3
(35º 33' 54'') · 4 =
º
'
''
4
(35º 33' 54'') : 3 =
º
'
''
Elige la opción correcta:
3D os á ngulos a dyacentes son los que...
suman 180°
suman 45°, tienen el vértice común, un la do común y los otros la dos son uno prolonga ción
del otro.
suman 180°, tienen el vértice común, un la do común y los otros lados son uno prolonga ción
del otro.
4Un ángulo obtuso. ..
es convexo.
puede ser convexo o cónca vo.
cóncavo.
5Un ángulo a gudo. ..
siempre es convexo.
puede ser convexo o cónca vo.
siempre es cóncavo.
6S i tenemos cua tro á ngul os opuestos por el vértice y uno de ellos mide 60°, los otros
tres miden respectiva mene.. .
60°, 120° y 120°.
60°, 240° y 240°.
No hay suficientes da tos pa ra saber la respuesta .
7L os
son igua les y se llama n a lternos internos.
son igua les y se llama n a lternos externos.
son igua les y se llama n á ngulos correspondientes.
á ngulos...
8L os
á ngulos...
son igua les y se llama n a lternos internos.
son igua les y se llama n a lternos externos.
Ningna de las respuestas a nteriores es correcta.
Completa según se indique:
9El á ngulo complementa rio de 57°.
º
10El á ngulo complementa rio de 35° 25' 56''.
º
'
''
Completa según se indique:
11El á ngulo suplementario de 123°.
º
12El á ngulo suplementario de 35° 25' 56''
º
'
''