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UNIDAD 4. TRABAJO Y ENERGIA.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.
Si la fuerza F que actúa sobre una partícula es constante (en magnitud y dirección) el
movimiento se realiza en línea recta en la dirección de la fuerza. Si la partícula se desplaza
una distancia x por efecto de la fuerza F (figura 5.1), entonces se dice que la fuerza ha
realizado trabajo W sobre la partícula de masa m, que en este caso particular se define
como:
Figura 5.1
Si la fuerza constante no actúa en la dirección del movimiento, el trabajo que se realiza es
debido a la componente x de la fuerza en la dirección paralela al movimiento, como se ve
en la figura 5.2. La componente y de la fuerza, perpendicular al desplazamiento, no realiza
trabajo sobre el cuerpo.
Figura 5.2
El trabajo es solo realizado por la componente en x de la fuerza Fx= F cos  y el trabajo
sería:
Siendo x la distancia que se desplazó.
De acuerdo a la ecuación anterior, se pueden obtener las siguientes conclusiones:
a) si α = 0º, es decir, si la fuerza, como en la figura 5.1, o una componente de la fuerza, es
paralela al movimiento, W = (F cos 0). x = F. x;
b) si α = 90º, es decir, si la fuerza o una componente de la fuerza es perpendicular al
movimiento, W = (F cos90). x = 0, no se realiza trabajo;
c) si la fuerza aplicada sobre el cuerpo no lo mueve, no realiza trabajo ya que el
desplazamiento es cero;
d) si 0 < α < 90º, es decir, si la fuerza tiene una componente en la misma dirección del
desplazamiento, el trabajo es positivo;
e) si 90º < α < 180º, es decir, si la fuerza tiene una componente opuesta a la dirección del
desplazamiento, el trabajo es negativo.
W= F.d
Resumiendo:
Donde: W es el trabajo, F es la fuerza total o neta sobre el cuerpo y d la distancia que
recorrió el cuerpo debido a la fuerza (F y d son vectores)
El trabajo es una magnitud física escalar, obtenido del producto escalar de los vectores
fuerza y distancia. De la expresión anterior, por la definición de producto escalar, queda
claro que el trabajo puede ser positivo, negativo o cero.
Su unidad de medida en el SI es N m que se llama Joule, símbolo J.
Las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m (peso, roce, normal, etc. también
pueden realizar trabajo. En la figura del ejemplo, específicamente en el D.C.L. las fuerzas
peso y normal no realizan trabajo ya que son perpendiculares al desplazamiento y la fuerza
de roce realiza trabajo negativo, ya que siempre se opone al desplazamiento. El trabajo total
sobre la partícula es la suma escalar de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.
Ejemplo A
Con una fuerza de 250 N que forma un ángulo de 60º con la horizontal se empuja una caja
de 50 kg, en una superficie áspera horizontal. La caja se mueve una distancia de 5m con
rapidez constante.
Calcular: a) el trabajo realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce c)trabajo total
α
50 Kg
Solución:
Diagrama de cuerpo libre
Para F:
Para N:
Para mg:
Para FR:
WF = (F cosα).d = 250× (cos60) ×5 = 625 J
WN = (N cos90). d= 0
WP = (mg cos270) d = 0
WR = (FR cos180) d,
Como no se conoce el valor de la fuerza de roce, se debe calcular, del DCL y aplicando la
primera ley de Newton, ya que la caja se mueve con rapidez constante, no hay aceleración,
se obtiene:
Eje x: F cosα - FR = 0
(1)
Eje y: F senα + N - mg = 0
(2)
De (1) FR = F cosα = 250 × cos60 = 125 N, reemplazando en el trabajo,
WR = 125× cos180×5 = -625 J
Por definición, FR =μ N, despejando N de (2) se tiene N = mg - F senα,
Entonces:
c) El trabajo total es WT= WF+WFn+Wp+WFr= 625+0+0-625= 0
Ejemplo B
Calcular el trabajo que debe realizar una persona para llevar un morral de 15 Kg por una
subida a una altura de 10 m. Considere la velocidad constante.
Eje Y
Fh
D. C.L del morral
Eje X
Pm
Fh: fuerza que ejerce el hombre sobre el morral
Pm: Peso del morral
Realizando sumatoria de las fuerzas
En el eje X tenemos:
Fh sen α – Pm sen α = 0 no hay aceleración y Fh es positivo, porque
va en sentido del movimiento. Quedando que:
Fh = Pm = m.g = 15 Kg. 9.8 m/seg2 = 147 N
De lo calculado concluimos que el trabajo que realiza la persona debido a la fuerza que
debe ejercer para llevar el morral es igual al trabajo realizado por el peso del morral (fuerza
de gravedad), entonces:
W= Pm.d = 147N. 10 m La fuerza del peso actúa en el eje Y y está
ligada con la altura de 10 m.
W = 1470 J
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE.
Si una fuerza variable F está moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una posición
inicial a otra final, ya no se puede usar la expresión anterior para calcular el trabajo
realizado por la fuerza.
Si se calcula el trabajo total en el desplazamiento desde la posición inicial a la final, este es
igual a la suma de todos los pequeños trabajos dW, esto es:
Donde Xi es la posición inicial y Xf es la posición final.
Ejemplo:
Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición, es el de un cuerpo
conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje x, se deforma desde su
configuración inicial, es decir se estira o se comprime, por efecto de alguna fuerza externa
sobre el resorte, instantáneamente actúa una fuerza F producida por el resorte contra el
objeto que ejerce la fuerza externa, cuya magnitud es:
Fuerza ejercida por el resorte, se opone a que éste sea deformado donde x
es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no deformada en x = 0 y k
una constante positiva, llamada constante de fuerza del resorte, que es una medida de la
rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación se llama Ley de Hooke, y es válida para
pequeños desplazamientos, ya que si el resorte se estira demasiado, puede deformarse y no
recuperar su forma original.
El signo negativo indica que la dirección de esta fuerza es siempre opuesta al
desplazamiento, como se ilustra en la figura 5.3, donde F representa la fuerza producida
por el resorte.
fig. 5.3
Si el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo realizado por el
resorte es:
Ejemplo
Un resorte de k = 100 N/m se estira 10 cm. Calcular el trabajo que realiza la fuerza del
resorte para recuperar su posición inicial no deformada.
La posición inicial del resorte es o suponiendo que esta inicialmente sin deformar o sea (xi
= 0) y la posición final es xf = 10cm
Aplicamos la fórmula del trabajo para el resorte W=1/2K (xi 2 – xf 2), sustituyendo los
valores tenemos W= - 0.5 J. ¿Cuál sería el trabajo que ejerce la fuerza para estirarlo?
ENERGÍA CINÉTICA Ec.
Cuando se hace trabajo contra el roce, se observa que en la superficie de los cuerpos en
contacto se produce un aumento de temperatura. Es porque se ha producido una
transformación desde movimiento a calor, es decir que se ha producido una transferencia de
energía de movimiento a energía calórica. En otras transformaciones se produce energía en
forma de luz, sonido, eléctrica, nuclear, etc. En las transformaciones se miden cambios de
energía cuando se realiza trabajos, el trabajo es una medida de las transferencias de energía.
El concepto de energía se puede generalizar para incluir distintas formas de energía
conocidas como cinética, potencial, calórica, electromagnética, etc.
Un objeto en movimiento puede efectuar un trabajo sobre otro con el que entre en
contacto. Por ejemplo: un martillo en movimiento efectúa trabajo sobre el clavo al que le
pega. Por lo tanto todo objeto en movimiento que efectúa trabajo, tiene energía y la
energía en movimiento es llamada Energía Cinética. De esta forma, la mecánica de los
cuerpos en movimiento se relaciona con otros fenómenos naturales que no son mecánicos
por intermedio del concepto de energía. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, le
produce una aceleración durante su desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza para
mover al cuerpo es:
 F ( x)dx
Por la segunda Ley de Newton se tiene:
si la aceleración es la derivada de la velocidad tenemos:
Entonces podemos escribir, siendo dr el vector posición
y variaciones de posición implican velocidad, entonces
podemos escribir
quedando la fuerza como masa por velocidad por
variaciones de la velocidad en función del tiempo. Si queremos hallar el trabajo realizado
por la fuerza, aplicamos la integral de la fuerza multiplicado por el desplazamiento:
La cantidad ½mv 2 , se llama energía cinética, Ec, algunos libros la denotan K, es la energía
que se obtiene por el movimiento, es siempre positiva porque la rapidez está al cuadrado.
WT=ΔEc= Ecf-Eci
ΔEc= Variación de energía cinética
Ecf= energía cinética final
Eci= energía cinética final
Aplicado tanto para fuerzas constantes como fuerzas variables
Por lo tanto, el trabajo neto o total realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es
igual al cambio de energía cinética, enunciado que se conoce como el Teorema del Trabajo
y la Energía o de variación de energía cinética. Cuando la rapidez es constante, no hay
variación de energía cinética y el trabajo de la fuerza neta es cero. La unidad de medida de
la energía cinética es el Joule, J. Este teorema es muy útil cuando deseamos calcular la
rapidez del movimiento de una partícula, teniendo la posibilidad del cálculo del trabajo
realizado por la fuerza resultante que le genera el movimiento
Ejemplo: Un mueble de 40 kg que se encuentra inicialmente el reposo, se empuja con una
fuerza de 130 N, desplazándolo en línea recta una distancia de 5 m a lo largo de un piso
horizontal de coeficiente de roce 0.3
Calcular: a) el trabajo de la fuerza aplicada, b) el trabajo del roce, c) la variación de
energía cinética, d) la rapidez final del mueble
a) W = Fr ⋅ d = F cos 0º. d = Fx
WF = (130N).(5m) = 650J
b) FR =μ N = μ mg
WR = FrR ⋅ d = FR (cos180).d = −μ m g d
WR = -0.3·40·10·5 = -600 J
c) WTotal = ΔEc ⇒ WF +WN +WR +WP = ΔEc,
pero WN = WP = 0, ya que las fuerzas normal y peso son perpendiculares
al desplazamiento, entonces:
ΔEc = WF +WR = 650 – 600 = 50 J
d) Para calcular la rapidez final, usamos el resultado anterior
Sustituyendo:
ENERGÍA POTENCIAL Ep: Así como un objeto tiene energía de acuerdo a su
movimiento, también se puede tener Energía Potencial pero de acuerdo a la posición. El
ejemplo mas común de energía potencial es la gravitacional. Si sostenemos un ladrillo a
cierta altura, la energía potencial debida a esa altura generará un trabajo sobre una estaca
clavada en la tierra cuando se suelte. La energía potencial debido a la gravedad es:
Ep= m.g.h
siendo m la masa, g la gravedad y h la altura desde donde cae el cuerpo
Mientras más alto esté un cuerpo mas energía potencial tendrá. Si quisiéramos calcular el
trabajo que realiza el peso del cuerpo por acción de l gravedad tenemos que es igual a
Tp=F.d donde la fuerza es el peso y la distancia es la altura sustituyendo tenemos que
Tp=m.g.h y corresponde exactamente igual al concepto de Ep. Entonces podemos escribir
que:
Tp=Ep
y si se mueve el cuerpo desde una altura 1 una altura 2 escribimos:
Tp= m.g.y1 – m.g.y2
Tp= Ep1 – Ep2
Como conclusión, la energía potencial de un cuerpo debido a su peso solo depende de
la altura vertical y no de la trayectoria que realice, ya sea bajando por un plano
inclinado o no.
FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS: Imaginemos que tenemos
un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de
masa m; ambos en el piso de manera que si impulsamos al bloque, este se dirigirá hacia el
resorte con una velocidad constante v (ya que para facilitar nuestro análisis consideremos
que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula). Así que la única fuerza
exterior que actúa sobre el movimiento de este cuerpo
proviene del resorte.
A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su
velocidad (y energía cinética) disminuye hasta detenerse
por la acción de la fuerza del resorte. Aplicando la Ley de
Hooke, la fuerza del resorte es (F = - k. x). Después de
esto el bloque invierte el sentido de su movimiento,
cuando el resorte que estaba comprimido se estira. Va
ganando velocidad y energía cinética original; en ese
momento el bloque tiene la misma velocidad (signo
opuesto) que tenía antes de comprimir al resorte.
El bloque pierde energía cinética durante una parte de su
movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida. Hay que
recordar que la variación de la energía cinética indica que existe trabajo; es claro que, al
término de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece
igual; ha sido conservada.
La fuerza elástica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la
misma manera, se las denomina fuerzas conservativas.
La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas ya que si
lanzamos un objeto hacia arriba (para el cual la resistencia del aire sea despreciable),
regresa a nuestras manos con la misma energía cinética con la que partió.
Sin embargo, si una partícula sobre la que actúan una o más fuerzas regresa a su posición
inicial con más energía cinética o con menos de la que tenía inicialmente, resulta que en
ese viaje de ida y vuelta su capacidad de producir trabajo varía. Podemos suponer que al
menos una de las fuerzas actuantes es no conservativa. La fuerza de rozamiento es el típico
ejemplo de una fuerza no conservativa.
Resumiendo: Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida
y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje
de ida y vuelta) es distinto de cero.
En nuestra experiencia cotidiana, al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba, por
ejemplo una piedra, observamos que a medida que va subiendo, su velocidad disminuye
hasta llegar a ser nula (cero) en el punto más alto de su trayectoria.
Como el sistema tierra – piedra es un sistema conservativo, la energía
cinética se mantiene constante durante el ascenso.
Tomemos dos posiciones cualesquiera a diferente altitud, y1 más bajo que
y2. Si llamamos v1 a la velocidad del objeto en la posición y1 y v2 a la
velocidad en y2 ; tenemos que v1 > v2 . Como la energía cinética es
directamente proporcional al cuadrado de la velocidad podemos indicar que
EC1 > EC 2.
Dijimos que el sistema es conservativo, entonces, ¿dónde está la energía
faltante o sea por qué su velocidad es cero al llegar arriba?
Existe un principio llamado "principio de conservación de la energía" que
nos indica que la energía no se crea ni se destruye. Es evidente, entonces, que a medida
que la energía cinética va diminuyendo otra clase de energía tiene que aparecer para que la
energía del sistema se mantenga constante, a esa energía se la denomina energía potencial,
(algunos libros la denotan U).
En sistemas conservativos, por cada variación de energía cinética, ocurrirá una variación
de energía potencial, pero opuesta a la energía cinética., de tal manera que la suma de
energía sea igual a cero. Ec + Ep = 0.
La energía potencial de un sistema representa una forma de energía almacenada, que puede
recuperarse totalmente en energía cinética. Pues bien podemos definir al trabajo en función
de la energía potencial diciendo:
W= -  Ep
Esto quiere decir que el trabajo realizado por una fuerza conservativa, sólo depende de los
puntos inicial y final del movimiento y es independiente de la trayectoria.
Ejemplo:
Cual es el cambio en la energía potencial gravitacional cuando un ascensor de 7117 N se
mueve de planta baja al piso que está a 381 m
Aplicamos la fórmula
 Ep = Ep2-Ep1= mg(y2-y1) =7117(381-0)= 2.711.577 Joul
Resumiendo:
Para fuerzas conservativas:
1. Cuando se aplican varias fuerzas que generan trabajo, la sumatoria de todos los trabajos
será igual a menos la sumatoria de todas las energías potenciales
 W    Ep
2. El cambio de energía total en estos sistemas conservativos es igual a cero
Ec + Ep = 0
Para fuerzas no conservativas:
Como la fuerza de roce y las fuerzas exteriores.
Entonces el trabajo total es el realizado por las fuerzas conservativas mas el trabajo
realizado por la fuerza de roce.
WT=Wfr + W de las fuerzas conservativas
Sabemos que el trabajo total es igual a la variación de energía cinética:
Ec  Wfr + W de las fuerzas conservativas,
realizado por la fuerza de roce:
Wfr =
Ec - W de las fuerzas conservativas,
W fuerzas conservativas = -  Ep,
despejando el trabajo
y como
podemos escribir
Wfr = Ec - (-  Ep)= Ec +  Ep
Lo que demuestra que en
sistemas no conservativos, la variación de energía es calculada como el trabajo realizado
por la fuerza de roce y que no es igual a cero.
 E= Efinal – Einicial
Así como el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un objeto es el negativo de
la ganancia de energía potencial (Esto se debe a que cuando hay trabajo, hay movimiento,
hay velocidad, aparece la Energía cinética y disminuye la energía potencial).
Ejemplo: Un cuerpo de 44 N recibe un impulso que lo hace mover hacia arriba por un
plano inclinado a 30°, con una rapidez inicial de 5 m/seg. Por esta causa el cuerpo asciende
1.5m sobre el plano, se detiene y resbala después en sentido contrario hasta llegar al suelo.
Calcular la fuerza de fricción constante que actúa sobre el cuerpo y la rapidez con la que
regresa.
Tomando en cuenta el movimiento hacia arriba, en el punto más alto donde la
velocidad es nula
ET= Ec+Ep La Ec= 0, no hay velocidad, Ep=mgh.
Tenemos el peso 44N y la altura h= 1.5m. sen 30º. Sustituyendo tenemos:
ET= 44N.1.5m. sen 30°= 33J
En el punto más bajo, la Ec= ½ mv 2 y la Ep=0
ET= ½ (44N/9.8m/seg 2 ). 5m/seg= 57 J
Wfr= - Fr. d= - Fr.1.5 m además Efinal – Einicial = Wfr, quedando:
-Fr. 1.5 = 33 J – 57J
Despejando Fr= 16N
Tomando en cuenta el movimiento hacia abajo, el cuerpo regresa con una velocidad.
2
ET= Ep+Ec =0 + ½ (44N/9.8m/seg 2 ).v
En la parte superior, donde se inicia el retorno
ET=Ec+Ep= 0 + 44N.1.5m. sen 30°= 33J,
Y la Fr= 16N entonces el Wfr= - 16N.1.5m=
WFr= -24J como la variación de energía es igual a el trabajo realizado por la Fr entonces
Efinal – E inicial= WFr
sustituyendo:
2
½ (44N/9.8m/seg 2 ).v - 33J= -24J donde v=2m/seg
EJERCICIOS:
1. Un astronauta de 710 [N] flotando en el mar es rescatado desde un helicóptero que se encuentra a
15 [m] sobre el agua, por medio de una guaya. Tomando en cuenta, que fue elevado verticalmente
con una aceleración ascendente cuya magnitud es g/10. Calcula el trabajo realizado por: a) Por la
tensión de la guaya; b) Por el peso del astronauta; c) La energía cinética del astronauta justo en el
momento en que llega al helicóptero.
2. Un muchacho tira de un trineo de 10 [Kg] con una cuerda que forma un ángulo θ = 45º con la
horizontal y recorre 30 [m] sobre una superficie horizontal rugosa (μc = 0.2). Calcula:
a) El trabajo que realizan la fricción y la tensión de la acuerda, en el caso de que el trineo se
desplace con rapidez constante.
b) Repite el cálculo anterior suponiendo que parte del reposo y al final de un recorrido
similar su rapidez es 10 m/seg
3. Suponga que el bloque m de 5 [Kg]. Mostrado en la figura inicialmente se apoya
contra un resorte de constante de fuerza k = 50 [N/m], de modo que lo comprime una
distancia x = 30 [cm]. Posteriormente se deja libre y el resorte se dilata impulsando al
bloque a lo largo de la superficie horizontal rugosa (μc = 0.3). a) Determina el trabajo
realizado sobre el bloque por el resorte cuando éste se extiende desde la posición
comprimida a la posición de equilibrio. b) Determina el trabajo realizado por la fricción
en el mismo trayecto. c) ¿Cuál es la velocidad del bloque en este instante?
4. Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de
inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano es 0.16. Determinar:


la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
5. Se empuja al carrito dándole velocidad de manera que su energía cinética inicial es de
0,2 joule. El carrito cae luego por la pendiente. Calcular la Energía total del carrito en los
puntos a, b y c. datos: m = 1 kg
1m
Vb= 1 m/seg
0.5m
Vc= 0 m/seg
a
b
c