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Física
Fuerza de atracción entre los cuerpos
La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una
fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos
cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión
G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la
distancia entre los centros de los cuerpos
Aceleración de la gravedad
Se denomina intensidad del campo gravitatorio, o
aceleración de la gravedad g en un punto P distante r del
centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad
de masa situada en el punto P.
Fuerza central
La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza
de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa.
En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda,
en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el
descubrimiento de la estructura atómica.
Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El
momento de la fuerza M=
=0. De la relación entre le momento de las fuerzas
que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento
angular) se concluye que
El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.
El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial
L= mv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector
posición r y el vector velocidad v.
Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un
plano perpendicular a la dirección fija de L. De aquí, se concluye que la trayectoria
del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L
Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa
por el origen, el momento angular L=0. La partícula describe un movimiento
rectilíneo, cuya aceleración no es constante.
Fuerza conservativa
Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la posición A hasta la
posición B en las proximidades de un cuerpo fijo de masa M.
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector
desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.
dW=F·dl=F·dl·cos(180-θ)=-F·dl·cosθ=-F·dr.
donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial.
Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del
centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la
posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce el cuerpo fijo de
masa M sobre la partícula de masa m es conservativa. La fórmula de la energía
potencial es
El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0
El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total
(cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la
trayectoria.
Caída libre desde distancias grandes.
Examinamos la situación más simple, aquella en la que el momento angular L=0,
(movimiento rectilíneo) y solamente es necesario aplicar el principio de
conservación de la energía.
En el capítulo de Cinemática, hemos estudiado el movimiento de caída de los
cuerpos, suponiendo que partían desde una altura h<<R pequeña en comparación
con el radio de la Tierra. El tiempo t y la velocidad v con la el cuerpo que llega a la
superficie de la Tierra se calculan mediante las ecuaciones.
h=gt2/2
v=gt
Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra que
supondremos constante.
Vamos a describir el movimiento de un cuerpo que se deja caer desde una distancia
r>R del centro de la Tierra, hasta que llega a su superficie.
Como la fuerza de atracción, depende de la distancia r entre el centro de la Tierra y
el objeto, la aceleración no es constante. Sin embargo, el principio de conservación
de la energía nos permite calcular la velocidad v con la que llegará a la superficie
de la Tierra.
Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la superficie escribimos v=-dr/dt, ya
que r disminuye cuando v aumenta.
Se ha escrito la integral en términos de la variable adimensional r=x·r0. Se efectúa
el cambio de variable
Se integra por partes
Se evalúa el integrando para los límites superior e inferior.
El tiempo t que tarda en llegar el móvil a la superficie de la Tierra es
Ejemplo:
Se deja caer un objeto situado a h=20000 km de altura. Calcular el tiempo que
tarda en llegar a la superficie de la Tierra, y la velocidad con la que llega. Los datos
son:



Radio de la Tierra R=6.37·106 m
Masa de la Tierra M=5.98·1024 kg
Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2
r0=R+h=26.37·106 m, x=R/r0=0.24 el tiempo t=7120 s
Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad con la
que el objeto llega a la superficie de la Tierra es v=9746 m/s
Un cuerpo se deja caer desde una altura de h=20 km. Comparamos las
predicciones de la Cinemática y de la Dinámica.
h=gt2/2
donde g=9.83 m/s2 es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra
t=63.8 s, y la velocidad v=627 m/s
r0=R+h=6.39·106 m, x=R/r0=0.997 el tiempo t=64.0 s
El principio de conservación de la energía, nos proporciona el valor de la velocidad
v=626 m/s

Movimiento de los planetas
Cuando el momento angular L no es nulo, la trayectoria es una cónica,
tal como demostraremos en la siguiente página.
Para obtener ecuación de la
trayectoria
se expresa
el momento angular y la
energía en coordenadas
polares y se integra la
ecuación diferencial
resultante.
El parámetro
denominado
excentricidad, define el tipo de
trayectoria
Clase de cónica
Descripción geométrica
Descripción física
Elipse
E<0
Parábola
E=0
Hipérbola
E>0
Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya
excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida
a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado
de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene
que tener una energía total negativa (E<0).
Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la
posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando =0 y la posición
más alejada r2 se obtiene cuando
. Es decir,
Los semiejes a y b de la elipse valen
El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular
L, y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b
depende del momento angular L y de la energía E
Periodo
Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la
figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en
el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo
de forma triangular.
El ángulo del vértice
de dicho triángulo
es d y la base del
triángulo es un arco
de longitud
El
área del triángulo
es (base por altura
dividido por dos)
Integrando la ecuación del momento angular expresado en
coordenadas polares
La primera integral es el área total de la elipse
, que es igual a la
suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del
segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto
Poniendo el semieje b en función del semieje a, (final del apartado
anterior) llegamos a la fórmula que relaciona el periodo de la órbita de
un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley
de Kepler.
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