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ÁLGEBRA
CD BI
1>
Calcula la inversa de la siguiente matriz siempre que sea posible:
 3 2 1


 0 1 0
 1 0 0 


2>
Resuelve la ecuación matricial siguiente:
x
2
z
3>
y   1 2   3 2 



t  0 2  0 0
Calcula las potencias n-ésimas de las siguientes matrices:
1 0 0
 1 1 0 




A  0 1 0 y B   0 0 0 
1 0 0
 1 0 0 




¿Qué podemos decir de la matriz A?
4>
Calcula el rango de siguiente matriz según los valores del parámetro:
1 
 2 2 a


 0 1 2  a
 a 1
1 

5>
PAU Resolver la ecuación matricial 2 A  3 X  B donde:
 2 1 0 
 5 5 6 




A   3 2 1  , B   6 7 8 
 1 0 2
 5 9 1 




Justificar la respuesta.
6>
7 4
 , se pide hallar:
 9 3 
PAU Dada la matriz A  
a)  A1 
b)  A2 
2
1
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1-5
ÁLGEBRA
7>
8>
 x 1

1 y 
PAU Sea A  
 0 0
.
 0 0
a)
Calcula los valores de x e y para los que se verifique que AA  
b)
Calcula si existen valores reales de x e y para los que se verifique AAt  
0 0
.
0 0
Discute y resuelve siempre que sea posible el sistema siguiente:
 x  y  10 z  1

 x  y  5(a  1)  6
 x  (a  1) y  10 z  2

9>
Ana, Sonia y Berta van a comprar material escolar. Ana compra el doble de cuadernos que
Sonia y Berta 2 menos que esta última. Si entre las 3 compraron 6 cuadernos, ¿podemos
afirmar que todas compraron por lo menos uno?
10>
Se decide otorgar un premio en metálico a cado uno de los tres primeros clasificados de una
competición de judo. El primer clasificado ganará el triple de lo que reciba el tercero, y su
cuantía a su vez coincidirá con la suma de lo que vayan a recibir el segundo y tercer clasificado.
Por otro lado, sabemos que el tercero ganará 100 euros menos que el segundo. ¿Cuál es el
premio de cada uno de los tres primeros clasificados?
11>
Resuelve e interpreta geométricamente el sistemas de ecuaciones lineales siguientes aplicando
el método de Gauss:
3 x  2 y  7 z  8

2 x  y  z  5
  x  4 z  3 z  6

12>
13>
3x  2 y  2 z  3

PAU Sea el sistema  x  z  1
2 y  z  0

a)
Expréselo en forma matricial.
b)
¿La matriz de los coeficientes posee inversa? Justifique la respuesta.
c)
Resuélvalo y clasifíquelo en cuanto al número de soluciones.
PAU Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 € a su madre. Como no tienen suficiente dinero,
cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre
paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 € que paga el hermano menor,
el mayor paga 3, ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2-5
ÁLGEBRA
14>
x  y  z  5

PAU Discute en función del parámetro a el siguiente sistema: 5 x  y  z  11 .
3 x  y  az  2

15>
Javier dispone de 14 € para comprar 3 cuadernos, 2 lápices y 1 goma de borrar. Los lápices
valen el doble que la goma de borrar y esta goma vale la tercera parte de lo que cuesta un
cuaderno. ¿Cuál es el precio de cada cosa?
16>
Indica si el sistema siguiente es compatible y resuélvelo en dicho caso:
2 x  2 y  7 z  8

 x  5 y  5z  7
 y  z  2

17>
1

0
Calcula el determinante de la siguiente matriz: 
3

0
18>
 2 2a 0 


a 0 .
Indica el rango de las siguiente matriz según los valores del parámetro a:  1
1 1 1


19>
PAU Dado el sistema de ecuaciones:
2 3
0 1
0 0
1 2
4

1
1

2
x  2 y  2z  0

x  y  z  3
 y  z  1

20>
a)
Escribirlo en forma matricial.
b)
Justificar, sin resolverlo, que no tiene solución única.
c)
Resolver el sistema.
a 1
1
z
 x


 
 
PAU Sean las matrices A   1 a  , B    , C   1  , D   z  .
y
 
1 0
 0
z


 
 
a)
Sabiendo que AB  2C  D , plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
(representadas por x, y, z) donde a es cierto valor desconocido.
b)
Si se supiera que el sistema tiene solución ¿podríamos descartar algún valor de a?
c)
Si se supiera que el sistema tiene solución única ¿podríamos descartar algún valor de a?
d)
¿Hay algún valor de a para el que el sistema tenga más de una solución?
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3-5
ÁLGEBRA
21>
PAU Dado el sistema:
 2 x  y  2,

 x  y  z  2,
 y  z  1

Exprésalo matricialmente AX  B , calcular la matriz inversa de A y resuélvelo.
22>
En la empresa OSURYAK. S.A. existe un departamento dedicado exclusivamente a reportar
información al equipo directivo. Confeccionan dos tipos de informes, informe tipo A e informe
tipo B, en los que trabajan administrativos y técnicos. Para realizar el informe tipo A
intervienen 40 administrativos y 8 técnicos, y para elaborar el informe tipo B se requieren 20
administrativos y 12 técnicos. En el departamento hay un total de 80 administrativos y 24
técnicos. Si su objetivo es reportar el máximo de informes y por lo menos uno de cada tipo en
cada reporte ¿Cuántos deben confeccionar de cada tipo? Considerar, para la solución,
redondeo al primer dígito en caso de obtener decimales.
23>
Indica si el siguiente problema posee solución razonando la respuesta. Obtén los valores
óptimos de la función siempre que sea posible.
Maximizar: F(x, y) = 12x – 15y
10 x  13 y  80 
12 x  11y  25

x0


y0
24>
Resuelve el siguiente problema, siempre que sea posible:
Minimizar: F(x, y) = 3x – 7y
5 x  2 y  11 
3x  3 y  13

x0


y0
25>
PAU Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y B utilizando como
materias primas, algodón, poliéster y seda. Si dispone de 60 unidades de algodón, de 35 de seda
y de 80 de poliéster y se sabe que las unidades de cada materia prima necesarias para la
producción de 1 rollo de cada tipo de tejido vienen dadas en la siguiente tabla:
Algodón
a)
Poliéster
Seda
A
1
2
0
B
3
2
1
Calcular el beneficio total máximo, sabiendo que el beneficio obtenido de un rollo de
tejido A es de 50 euros y del B es de 70. Explicar los pasos obtenidos para obtener la
solución.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
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ÁLGEBRA
26>
b)
¿Se obtendrá excedente de alguna materia prima? En caso afirmativo, decir cuántas
unidades.
c)
¿Cambiaría la solución del apartado a) si al menos hubiera que producir 15 rollos de
tejido A? Razonar la respuesta.
PAU Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más
grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los impresos
A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos tendrá que repartir de
cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
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